解析函数的零点孤立性.ppt

复变函数论,FunctionsofOneComplexVariable,湖南第一师范学院数理系,第四章解析函数的幂级数表示法,4.1复级数的基本性质,4.2幂级数,4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理,4.3解析函数的泰勒级数,4.4解析函数的零点孤立性定理及解析函数的唯一性定理,定义4.7设解析函数f(z)在区域D内一点a的值为零，则称a为解析函数f(z)的零点.,将解析函数f(z)在零点a展成幂级数.若f(z)不恒为零，则幂级数系数不全为零.,若存在正整数m,使得,则称m为零点a的阶,a为f(z)的m阶零点.当m=1时，称a为的f(z)单零点.,定理4.17不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为：,f(z)=(z-a)m(z),其中(z)在点a的邻域|z-a|R内解析，且(a)0.,注意零点与因式的关系！,证明,例题,例4.15求函数f(z)=zsinz在零点z=0的阶.,解,或且,知函数f(z)=zsinz在零点z=0的阶为3.,例4.16求sinz1的全部零点，并指出它们的阶.,解：令sinz=0,得eiz-e-iz=2i,所以(eiz-i)2=0,即eiz=i,实变函数的零点是孤立的吗？,它的零点为：,零点序列存在聚点，因而此函数的零点不是孤立的.,解析函数的零点孤立性,定理4.18如果|z-a|R内的解析函数f(z)不恒为零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得f(z)在其中无异于a的零点.,即：不恒为零的解析函数的零点是孤立的.,证明设a为f(z)的m阶零点，于是,f(z)=(z-a)m(z),(z)在a解析且(a)0,必存在a的邻域使(z)在其内恒不为零.,推论4.19设(1)函数f(z)在邻域K:|z-a|R内解析;(2)在K内f(z)有一列零点zn(zn0)收敛于a,则在K内f(z)必恒为零.,证明因f(z)在点a连续，且f(zn)=0，,令n，得f(a)=0.,故a为f(z)的非孤立零点.,解析函数唯一性定理,定理4.20设(1)函数f1(z)和f2(z)在区域D内解析;(2)D内有一个收敛于aD的点列zn(zna)，在其上f1(z)和f2(z)等值，则f1(z)和f2(z)在D内恒等.,Kt,Kt-1,aa,a,at-1,at,anb,证明令f(z)=f1(z)-f2(z),D,K0,K1,设b为D内任意一点，用折线L把a,b两点连接起来，以d表示L与D的边界间的最短距离.,推论4.21设在区域D内解析的函数f1(z)及f2(z)在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D内恒等.,例题4.17,设函数f(z)及g(z)在区域D内解析；在D内f(z)g(z)0,试证：在D内f(z)0或g(z)0.,证若有z0D使g(z0)0.由连续性知，存在z0的邻域K，使g(z)在K内恒不为零.故必f(z)0(zK)有唯一性定理得f(z)0(zD),推论4.22,一切在实轴上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在z平面上都是解析的.,唯一性定理的重大理论意义：,解析函数可以由局部确定全体.,例4.18（参见教材175页）,最大模原理,定理4.23设函数f(z)在区域D内解析，则|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内恒等于常数.,则除f(z)为常数的情形外，|f(z)|M(zD),柯西不等式中,D,证明反设|f(z)|在区域D内一点z0到最大值，记|f(z0)|=M,则必有0M，取邻域K:|z-z0|R全含于D，则,故在圆周|z-z0|=R上，|f(z)|=M.,D,在R0的过程中，均有|f(z)|=M.,故在圆|z-z0|R内，|f(z)|=M.,进而由唯一性定理知在D内，f(z)=C.,故在圆|z-z0|0，且f(z)在