不確定度

赛宝计量检测中心信息产业部电子计量技术服务中心,测量不确定度基础知识讲义,第一章引言,一、正确表述测量不确定度的意义,测量的重要性.测量不确定度就是对测量结果的质量的定量评定.测量不确定度表示方法的统一是国际贸易和技术交流不可缺少的，它可使各国进行的测量和得到的结果进行相互比对，取得相互的承认或共识。,二、“GUM”的由来,测量不确定度表示导则（GuidetotheExpressionofuncertaintyinmeasurement）简称“GUM”，其由来已久。1963年，美国国家标准局（NBS）的Eisenhart建议用测量不确定度。1977年，国际电离辐射咨询委员会（CCEMRI）讨论了表达不确定度的几种不同建议。1978年，国际计量委员会（CIPM）着手统一测量不确定度的应用。,二、“GUM”的由来,1980年，国际计量局（BIPM）起草了INC-1（1980）建议书，推荐了不确定度的表述原则。1993年，国际标准化组织（ISO）正式发布了测量不确定度表示导则，由七个国际组织（ISO，IEC，OIML，CIPM，IFCC，IUPAC，IUPAP）联合起草，澄清了模糊概念，统一了评定方法和表示方法。1995年又作了修订和重印。,第二章概率论与数理统计基础知识,一、概率统计,1、概率与概率分布.概率：某一随机事件在试验中出现可能性大小的一个度量。置信水平：测量值落在x区间内的概率。概率分布：测量结果的值和该值出现的概率之间的对应关系。概率密度函数.,一、随机变量基本概念,1、随机变量.事件：观测或试验的一种结果，称为一个事件。例如，明天的天气是晴天、阴天还是雨天，这三种可能性中的每一种都称为事件。必然事件：在一定条件下必然出现的事件。例如向上抛一石子必然下落。不可能事件：在一定条件下不可能出现的事件。例如工件直径的测量结果为零或负值都是不可能事件。,1.随机变量,随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的事件。例如工件直径的测量结果出现在9.91mm与9.92mm之间是一个随机事件。随机变量：如果某一量(例如测量结果)在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量叫做随机变量。,1.随机变量,随机变量根据其取值的特征可以分为连续型和离散型两种。连续型随机变量可在某一区间内任意取值，而离散型随机变量只可在某一区间内取有限个或可数个实数值。,2、概率和分布函数,(1)概率的古典定义若实验时，有且只有n个可能发生的情况，并且每个情况都是可能的，其中恰有m个情况具有性质E，则E出现的概率为：(2.1),2、概率和分布函数,例：箱中有20个球，其中12个为白球，8个为黑球，设摸出白球的事件为E，求摸出白球的概率P(E)。解：因箱中球共有20个,表明可能结果有20个,白球出现的结果有12个,故：P(E)=.：P(末位为奇)=P(末位为1)+P(末位为2)+P(末位为3)+P(末位为9).=1/10+1/10+1/10+1/10=1/2.,（2）概率基本运算,加法定理：若A1、A2、.,Am是m个两两不相容的(即任两个不能同时出现)的事件，则任一Ai出现的概率为：P(A1+A2+.+Am)=P(A1)+(A2)+.+(Am)=P(Ai)(2.2)例：数字舍入时，以末位1为单位，当尾数小于0.5时舍去，大于0.5时进入，等于0.5时视末位为奇则进入，为偶则舍去，求末位为奇的概率：,（2）概率基本运算,解：末位全部可能出现数字为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，它们两两互不相容，因末位为奇，即末位为1，3，5，7，9中任一数。由加法定理：P(末位为奇)=P(末位为1)+P(末位为2)+P(末位为3)+P(末位为9)=1/10+1/10+1/10+1/10=1/2,（2）概率基本运算,1、乘法定理：若A1、A2、.,Am是m个互相独立的事件(一事件的出现与否不影响其它事件的出现)，则各Ai同时出现的概率为：P(A1、A2.Am)=P(A1)P(A2).P(Am)(2.3)例：加工圆锥轴100件，加工后测得小端直径超出公差的有5件，大端直径超出公差的有8件，问任取一件，大端直径和小端直径同时超出公差的概率是多少？,（2）概率基本运算,解：设A1为小端超出公差的事件，则P(A1)=5%；A2为大端超出公差的事件，则P(A2)=8%，显然，小端直径和大端直径同时超出公差的事件是由A1、A2两个相互独立事件组成的，故由乘法定理(2.3)有：P(A)=P(A1)P(A2)=5%8%=0.4%,3.概率与频率,在相同条件下，对同一实验的n次测量中，可能出现的事件结果为A、B。若某事件A出现的次数是m,m与总实验次数n之比m/n称为在n次实验中出现的频率。随着测量次数n的增加，m/n将趋于稳定。所稳定到的常数即为理论频率，这个理论频率叫做在给定条件下事件A出现的概率。,（3）分布函数,对于任何实数x，事件x对于离散型的随机变量，由于其可能的取值是离散(间断)的，并且能以确定的概率取值，其分布函数的形式为：P(x=xi)=Pi(i=1,2,n)(2.4),（3）分布函数,它可以用分布表(见表2.1)和分布图(见图2.1)直观的表示出来。表2.1.,（3）分布函数P,x1x2x3x4x5x(图2.1）,（3）分布函数,离散型随机变量具有以下性质：Pi=0,（3）分布函数,对于连续型随机变量，其取值落在区间(-，x)内的概率P(Xx1时F(x2)=F(x1)F(x)=0F(x)=1,（3）分布函数,分布函数表示出了任一区间内的概率，但对于连续型随机变量的概率分布的规律，则需要引入概率密度函数这一概念来描述。我们称概率分布函数的导数为概率分布密度函数，记为：F(x)=F(x)(2.6).它与分布函数的关系是：它具有以下性质：f(x)=0.p(x1xx2)=F(x2)F(x1)=,（3）分布函数,概率密度函数的用途：如图2.2所示，F(x)在xi点的值，等于f(x)曲线左半部画有阴影部分的面积值；x在(x1,x2)内取值的概率等于在这区间上的曲边梯形面积值(性质)；x取全部可能值的概率等于曲线与x轴所夹的全部面积，其值等于1(性质)。,（3）分布函数,f(x)0 xix1x2x注：请注意区别图2.1与图2.2的不同,二、随机变量的数字特征,随机变量的分布函数或分布密度函数可以完全确定一个随机变量。但在实际问题中，求分布函数或分布密度函数不仅十分困难，而且常常没有必要。,二、随机变量的数字特征,数学期望：随机变量的统计平均值，简称期望。方差：无穷多次测量的测得值的误差平方的算术平均值，用2表示。,二、随机变量的数字特征,标准偏差：简称标准差，是方差的正平方根，用表示。小表明测量值比较集中，大表明测量值比较分散，所以常用标准偏差来表征测量值的分散程度。期望的最佳估计值-算术平均值,二、随机变量的数字特征,有限次测量时标准偏差的估计值-实验标准偏差，用s表示算术平均值的标准偏差：若单次测量值的估计标准偏差为s(x)，则算术平均值的估计标准偏差为有限次测量的算术平均值随测量次数增加而分散性减小，而测量次数的增加意味着测量时间和测量成本的增长。一般情况下，n取420次。,二、随机变量的数字特征,相关：两个随机变量，其中一个量的变化会导致另一个量的变化。协方差：两个随机变量X和Y，各自的误差之积的期望。它描述了两个随机变量相互依赖的程度，所以通常用相关系数代替之。,二、随机变量的数字特征,相关系数：相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量，它等于两个变量间的协方差除以各自方差之积的正平方根：用表示。相关系数的估计以r(x,y)表示，并且在标准不确定度合成时，应考虑分量间的相关性。,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,1、正态分布正态分布是一种连续分布，是大量实践经验抽象的结果。正态分布以x=为其对称轴，它是正态总体的平均值。参数刻划总体的分散程度，它是总体的标准差。所以，正态分布曲线可由总体平均值及标准差确定下来。,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,由于，能完全表达正态分布的形态，所以常用简略记号XN(,)表示正态分布。当=0，=1时，XN(,)称为标准正态分布。在概率论中，落在下述区间内的概率特别有用(见图2.4)：P(-=X=+)=0.6826.P(-2=X=+2)=0.9545.P(-3=X=+3)=0.9973.,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,图2.4重要的概率值,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,2、均匀分布(2)在某一区间-a，a内，被测量值以等概率落入，而落于该区间外的概率为零，则称被测量值服从均匀分布，通常记作U-a，a。服从均匀分布的测量有数据切尾引起的舍入不确定度；电子计数器的量化不确定度；摩擦引起的不确定度；,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,数字示值的分辨力；滞后；仪器度盘与齿轮回差引起的不确定度；平衡指示器调零引起的不确定度。在缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为服从均匀分布。,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,3、反正弦分布服从均匀分布的变量的正弦或余弦函数，服从反正弦分布(见图2.5)。服从反正弦分布的测量有度盘偏心引起的测角不确定度；正弦振动引起的位移不确定度；无线电中失配引起的不确定度；随时间正余弦变化的温度不确定度。图2.5反正弦分布,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,4、t分布(学生分布)被测量，其N次测得值的算术平均值。设N充分大，则,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,若以有限n次测量的标准差s，代替无穷N次测量的标准差，则式中，为自由度，上式即为服从t分布的表示式。当自由度趋于时，s趋于，t()趋于N(0,1)。t分布是一般形式，而标准正态分布是其特殊形式，t()成为标准正态分布的条件是当自由度趋于(见图2.6)。对于t分布，t变量处于内的概率为P，为其临界值(见图2.7)。临界值用于扩展不确定度评定中作为包含因子，即。,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,图2.6t分布与标准正态分布图2.7临界值,三、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,5、统计分布中常见术语图示统计分布中常见的术语(以标准正态分布为例)示于图2.8，图中图2.8统计分布中常见的术语图解,四、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,置信水平(置信概率，置信水平)以p表示；显著性水平(置信度)以表示，=1p；置信区间以-k，k表示；置信因子以k表示，当分布不同时，k值也不同。对于正态分布k，p的对应值。见表2.2。,四、几种常用随机变量的概率分布及其数字特征,表2.2正态分布k,p对应值对于均匀分布，k=；对于三角分布，k=；对于反正弦分布，k=。,第三章测量不确定度基础,一、测量不确定度的定义和有关术语1、测量不确定度的定义定义：与测量结果相关的参数，表征合理赋予的被测量之值的分散性。2基本术语及其概念2.1可测量的量measurablequantity现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。2.2量值valueofaquantity一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。,2基本术语及其概念,2.3量的真值truevalueofaquantity与给定的特定量定义一致的值。一个量的真值，是在被观测时本身所具有的真实大小，它是一个理想的概念。2.4量的约定真值conventionaltruevalueofaquantity对于给定目的的具有适当不确定度的、赋予特定量的，有时该值是约定采用的。实际使用中常用某量的多次测量结果来确定约定真值。,2基本术语及其概念,2.5被测量measurand作为测量对象的特定量。2.6测量结果resultofmeasurement由测量所得到的赋予被测量的值。2.7测量准确度测量结果与被测量的真值之间的一致程度。准确度是一个定性概念。,2基本术语及其概念,2.8测量精密度precisionofmeasurementISO3534-1在规定条件下获得的各独立测量值之间的一致程度。2.9测量结果的重复性repeatability在相同测量条件下，同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。2.10测量结果的复现性reproducibility在改变了测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。,2基本术语及其概念,2.11包含因子coveragefactor为获得扩展不确定度，而对合成标准不确定度所乘的数字因子。包含因子一般以k表示，置信概率为p时的包含因子用kp表示。2.12自由度在方差计算中，自由度为和的项数减去对和的限制数，记为0在重复性条件下，对被测量作n次独立测量所得的样本方差为，其中i为残差，故在方差计算式中和的项数即为残差的个数n；而且残差之和为零，即是约束条件，故限制数为1，由此可得自由度=n-1。不确定度的相对不确定度与自由度有如下关系,2基本术语及其概念,可见愈大，愈小，故自由度反映了相应标准不确定度的可靠程度。合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，以eff表示。2.13置信概率confidencelevel与置信区间或统计包含区间有关的概率值（1-），为显著性水平。当测量值服从某分布时，落于某区间的概率p即为置信概率。置信概率是介于（0，1）之间的数，常用百分数表示。在不确定度评定中置信概率又称置信水准或置信水平。,2基本术语及其概念,2.14测量误差errorofmeasurement测量结果减去被测量的真值。误差应该是一个确定的值，是客观存在的测量结果与真值之差。但由于真值往往不知道，故误差无法准确得到。误差与不确定度是两个不同的概念，不应混淆或误用。测量误差与测量不确定度的主要区别见表3.1,2基本术语及其概念,2.15测量误差errorofmeasurement测量结果减去被测量的真值。误差应该是一个确定的值，是客观存在的测量结果与真值之差。但由于真值往往不知道，故误差无法准确得到。误差与不确定度是两个不同的概念，不应混淆或误用。测量误差与测量不确定度的主要区别见表3.1测量仪器的特性可以用最大允许误差、示值误差等术语描述。在技术规范、规程中规定的测量仪器允许误差的极限值，称为“最大允许误差”或“允许误差限”。它是制造厂对某种型号仪器所规定的示值误差的允许范围，而不是某一台仪器实际存在的误差。,2基本术语及其概念,测量仪器的最大允许误差可在仪器说明书中查到，用数值表示时有正负号，通常用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。例如V，0.1%，1%，110-6满量程值，（0.1读数+0.1ns）等。测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，但可以作为测量不确定度评定的依据。测量结果中由测量仪器引人的不确定度可根据该仪器的最大允许误差按B类评定方法评定。,2基本术语及其概念,测量仪器的示值与对应输入量的约定真值之差，为测量仪器的示值误差。对于实物量具，示值就是其标称值。通常用高一等级测量标准所提供的或复现的量值，作为约定真值（常称校准值或标准值）。在检定工作中，当测量标准给出的标准值的扩展不确定度为被检仪器最大允许误差的1/31/10时，且被检仪器的示值误差在规定的最大允许误差内，则可判为合格。,2基本术语及其概念,2基本术语及其概念,2.15修正值用代数法与未修正测量结果相加，以补偿系统误差的值。通常用高一等级的测量标准来校准测量仪器，以获得修正值。修正值等于负的系统误差估计值。但应指出，该修正值本身有不确定度，因而补偿是不完全的。为补偿系统误差，而与未修正测量结果相乘的因子称为修正因子。2.16相关系数相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量，它等于两个变量间的协方差除以各自方差之积的正平方根，用表示。其估计值以r(x,y)表示，并且r(x,y)=,2基本术语及其概念,相关系数r(x,y)的取值范围是-1，1，当r=1时，表示两变量完全正相关；当r=0时，表示两分量无关；当r=-1时，表示两变量负相关。在标准不确定度合成时，应考虑分量间的相关性。2.17独立如果两个随机变量的联合概率分布是其每个概率分布的乘积，那么这两个随机变量是统计独立的。如果两个随机变量是独立的，则它们不相关。但反之不一定成立。,二、测量不确定度的来源,在测量过程中有许多引起不确定度的来源，它们可能来自以下几个方面：a)被测量的定义不完整；b)复现被测量的测量方法不理想；c)取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；d)对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；e)对模拟式仪器的读数存在人为的偏移；,二、测量不确定度的来源,f)测量仪器的计量性能(如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性等)的局限性；g)测量标准或标准物质的不确定度；h)引用的数据或其它的参量的不确定度；i)测量方法和测量程序的近似和假设；j)在相同条件下被测量在重复观测中的变化。上述不确定度的来源可能相关，例如，第j项可能与前面各项有关。对于那些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可能导致测量结果的误差。,在实际测量的很多情况下，被测量Y(输出量)不能直接测得，而是由N个其它量X1，X2，X3XN(输入量)通过函数关系f来确定(3.1)式(3.1)表示的这种函数关系，就称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。如被测量Y的估计值为y，输入量Xi的估计值为xi，则有(3.2),三、测量不确定度评定及其数学模型的建立,数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序，就可能有不同的数学模型。例如：一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t0时的电阻为R0，电阻器的温度系数为，则电阻器的损耗功率P(输出量或被测量)取决于V，R0，和t(输入量)，即同样是测量该电阻器的损耗功率P，我们也可采用测量其端电压和流经电阻的电流I来获得，则P的数学模型就变成,三、测量不确定度评定及其数学模型的建立,有时输出量的数学模型也可能简单到Y=X，如果一卡尺测量工件的尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。Xi的不确定度是y的不确定度的来源。寻找不确定度来源时，可从测量仪器、测量环境、测量人员、测量方法、被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏、不重复，特别应考虑对结果影响大的不确定度来源。遗漏会使y的不确定度过小，重复会使y的不确定度过大。,三、测量不确定度评定及其数学模型的建立,评定y的不确定度之前，为确定Y的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。y的不确定度将取决于Xi的不确定度，为此首先应评定Xi的标准不确定度u(Xi)。评定方法可归纳为A、B两类。测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于数学模型可能不完善，所有有关的量应充分的反映其实际情况的变化，以便可以根据尽可能多的观测数据来评定不确定度。在可能情况下，应采用按长期积累的数据建立起来的经验模型。,三、测量不确定度评定及其数学模型的建立,由y=可得到输出量(被测量)Y的估计值y(测量结果)的不确定度为(3.3),四、不确定度传播律,式(3.3)称为不确定度传播律，其中称为灵敏系数，分别为输入量Xi的估计值xi的标准不确定度，为任意两输入量估计值的协方差函数。各输入估计值及其标准不确定度得自输入量Xi可能值的概率分布。此概率分布可能是基于的观测列的频率分布，也可能是基于经验和有用信息的先验分布。标准不确定度分量的A类评定基于频率分布，B类评定基于先验分布。应认识到，A，B两类评定只是评定方法的不同，其本质是相同的。,四、不确定度传播律,不确定度依据其评定方法可分为“A”，“B”两类，它们与过去“随机误差”与“系统误差”的分类之间不存在简单的对应关系。“随机”与“系统”表示两种不同的性质，“A类”与“B类”表示两种不同的评定方法。因此，简单地把A类不确定度对应于随机误差导致的不确定度，把B类不确定度对应于系统误差导致的不确定度的做法是错误的。,五、测量不确定度分类,A类：由观测列统计分析所评定的不确定度。用实验标准偏差s表征。B类：由不同于观测列统计分析所作评定的不确定度。用根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准偏差表征。测量不确定度在使用中根据表示的方式不同有三种不同的术语：标准不确定度、合成不确定度和扩展不确定度。标准不确定度：测量结果的不确定度用标准偏差表示。合成标准不确定度：测量结果的标准不确定度是各不确定度分量的合成得到的。扩展不确定度U：为了提高置信水平，用包含因子k乘合成标准不确定度得到的一个区间来表示的测量不确定度。即,三、测量不确定度评定及其数学模型的建立,第四章测量不确定度的评定方法,一、不确定度评定的总流程,图4.1简明的表示出测量不确定度评定的全部流程。,二、标准不确定度的A类评定,1、基本方法(贝塞尔法)对单一被测量X，在重复性条件或复现性条件下进行n次独立重复观测，观测值为xi(i=1,2,n)。算术平均值为(4.1)s(xi)为单次测量的实验标准差，由贝塞尔公式计算得到(4.2),二、标准不确定度的A类评定,为平均值的实验标准差，其值为(4.3)某物理量的观测值，若已消除了系统误差，只存在随机误差，则观测值散布在其期望值附近。多次测量的平均值比一次测量值更准确，随着测量次数的增多，平均值收敛于期望值。因此，通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计(即测量结果)，以平均值的实验标准差作为测量结果的标准不确定度，即A类标准不确定度。,二、标准不确定度的A类评定,观测次数n充分多，才能使A类不确定度的评定可靠，一般认为n应大于5。但也要视实际情况而定，当该A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时，n不宜太小，反之，当该A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较小时，n小一些关系也不大。对单一被测量x，在重复性条件或复现性条件下进行n次独立重复观测，测其自由度为：=n-1,二、标准不确定度的A类评定,例对一等标准活塞压力计的活塞有效面积进行检定。在各种压力下测得10次活塞有效面积S0与工作基准活塞面积Sn之比li如下：0.2506700.2506730.2506700.2506710.2506750.2506710.2506750.2506700.2506730.250670则其最佳估计值L为,二、标准不确定度的A类评定,由贝塞尔公式求得单次测量标准差s(li)为L由测量重复性导致的标准不确定度u1(l)为上面是表示一等标准活塞压力计活塞有效面积与工作基准活塞面积之比的由测量重复性引起的不确定度分量，由,二、标准不确定度的A类评定,得到由测量重复性引起的的标准不确定度分量以相对不确定度表示,二、标准不确定度的A类评定,2、极差法在重复性条件或复现性条件下，对Xi进行n次独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差R称为极差。在Xi可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果xi的实验标准差s(xi)可按下式近似的评定(4.4)式(4.4)中系数C及自由度如表4.1所示。,二、标准不确定度的A类评定,表4.1极差系数C及自由度一般在测量次数较小时采用极差法，以49为宜。极差法与贝塞尔法相比，得到不确定度的自由度下降了，也就是说不确定度评定的可靠性有所降低。,3、A类不确定度评定流程,标准不确定度A类评定流程图4.2,三、标准不确定度的B类评定,用非统计的方法进行评定，用估计的标准偏差表征。一般，根据经验或有关信息和资料，分析判断被测量可能值的区间(,-)，假设被测量的值落在该区间的概率分布，由要求的置信水平和选取的k因子，估计标准偏差。B类评定的标准不确定度为：uB（x）=/k。,三、标准不确定度的B类评定,1、B类不确定度评定的信息来源当被测量X的估计值不是由重复观测得到，其标准不确定度u(xi)可用xi的可能变化的有关信息或资料来评定。B类评定的信息来源有以下六项：以前的观测数据；对有关技术资料和测量仪器特征的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件；,三、标准不确定度的B类评定,校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等；手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。用这类方法得到的估计方差，可简称为B类方差。,三、标准不确定度的B类评定,(1)已知扩展不确定度U和包含因子k如估计值来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确给出了其扩展不确定度u(xi)是标准差s(xi)的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u(xi)可取u(xi)/k。,三、标准不确定度的B类评定,例校准证书上指出标称值为1kg的砝码的实际质量m=1000.00032g,并说明按包含因子k=3给出的扩展不确定度U=0.24mg。则该砝码的标准不确定度为u(m)=0.24mg/3=80g。相应的相对标准不确定度为在这个例子中，砝码使用其实际值1000.00032g，而不使用其标准值，即砝码是以等使用。评定出的标准不确定度是1000.00032g的标准不确定度。,三、标准不确定度的B类评定,(2)已知扩展不确定度和置信水准P的正态分布如xi的扩展不确定度不是按标准差的k倍给出，而是给出了置信水准P和置信区间的半宽Up，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度u(xi)。(4.5)正态分布的置信水准(置信概率)P与包含因子kp之间存在着表4.2所示的关系。表4.2正态分布情况下置信水准P与包含因子间的关系P(%)5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763,三、标准不确定度的B类评定,这种情况在以“等”使用的仪器中出现最多，例如使用某一等量块，我们可以查到该等别量块的扩展不确定度与量块的标准值有一个关系式，通过表4.2和式4.5就可以计算出量块的标准不确定度。例校准证书上给出标称值为10的标准电阻器的电阻在23时为(23)=(10.000740.00013)同时说明置信水准P=99%。由于U99=0.13m，按表4.2，kp=2.58，其标准不确定度为u(Rs)=0.13m/2.58=50。相应的相对标准不确定度为,三、标准不确定度的B类评定,如根据所获得的资料表明，输入量xi的值有50%的概率落于-和+的区间内。取xi的最佳估计值xi为该区间的中点。设该区间的半宽为(+-)/2=。在假设xi的可能值接近正态分布的前提下，由表4.2知k50=0.67，则取xi的标准不确定度u(xi)=/0.67。,三、标准不确定度的B类评定,例机械师在测量零件尺寸时，估计其长度以50%的概率落于10.07mm至10.15mm之间，并给出了长度L=(10.110.04)mm，这说明0.04mm为p=50%的置信区间半宽，在接近正态分布的条件下，按表4.2，k50=0.67，则长度L的标准不确定度为u(l)=0.04mm/0.67=0.06mm。如已知信息表明Xi之值接近于正态分布，并以0.68概率落于(+-)/2=的对称范围之内，由表4.2知kp=1，则u(xi)=。,三、标准不确定度的B类评定,(3)已知扩展不确定度Up以及置信水准P与有效自由度eff的t分布如xi的扩展不确定度不仅给出了扩展不确定度Up和置信水准P，而且给出了有效自由度eff或包含因子k，这时必须按t分布处理。(4.6)这种情况提供给不确定度评定的信息比较齐全，常出现在标准仪器的校准证书上。,三、标准不确定度的B类评定,例校准证书上给出标称值为5kg的砝码的实际质量为m=5000.00078g,并给出了m的测量结果扩展不确定度u95=48mg，有效自由度ueff=35。查t分布表可得知，故B类标准不确定度为,三、标准不确定度的B类评定,(4)已知置信区间和包含因子根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被测量值落入的区间，并估计区间内被测量值的概率分布，再按置信水准p来估计包含因子k，则B类标准不确定度u(x)为式中-置信区间半宽；k-对应于置信水准的包含因子。,三、标准不确定度的B类评定,(5)其他几种常见的分布如已知信息表明Xi之值xi分散区间的半宽为，且落于xi-至xi+区间的概率P为100%，即全部落在此范围中，通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度u(xi)=/k，因为k与分布状态有关(见表4.3)。,三、标准不确定度的B类评定,表4.3常用分布与k，的关系分布类别P(%)ku(xi)正态99733/3三角100梯形=0.711002a/2矩形(均匀)100反正弦100两点1001,三、标准不确定度的B类评定,表4.3中为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布来说，特别当等于1时，梯形分布变为矩形分布；当等于0时，变为三角分布。例手册中给出纯铜在20时的线膨胀系数20（Cu)为16.5210-6-1，并说明此值变化的半范围为=0.4010-6-1。按20（Cu)在(16.52-0.40)10-6-1，(16.52+0.40)10-6-1区间内为均匀分布，于是u(a)=0.4010-6-1/=0.2310-6-1,三、标准不确定度的B类评定,例数字电压表制造厂说明书说明：仪器校准后12年内，在1V内示值最大允许误差的模为1410-6(读数)+210-6(范围)。设校准后20月在1V内测量电压，在重复性条件下独立测得电压V，其平均值为0.928571V平均值的实验标准差为。电压表最大允许误差的模=1410-60.928571V+210-61V=15Va即为均匀分布的半宽，按表4.3，则示值误差的标准不确定度为,三、标准不确定度的B类评定,由示值不稳定性导致的不确定度为A类标准不确定度，即由示值误差导致的标准不确定度为B类标准不确定度，即在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布是较合理的。但如果已知被研究的量的可能值出现在至中心附近的概率，大于接近区间的边界时，则最好按三角分布计算。如果本身就是重复性条件下的几个观测值的算术平均值，则可估计为正态分布。三角分布是均匀分布和正态分布之间的一种折衷。,三、标准不确定度的B类评定,如果被测量受许多个相互独立的随机影响量的影响，这些影响量变化的概率分布各不相同，但每个变量影响均很小时，被测量的随机变化将服从正态分布。如果被测量既受随机影响又受系统影响，而又对影响量缺乏任何其他信息的情况下，一般假设为均匀分布。有些情况下，可采用同行的共识，如微波测量中的失配误差为反正弦分布等。B类不确定度评定的可靠性取决于可利用的信息的质量，在可能情况下应尽量充分利用长期实际观测的值来估计其概率分布。,三、标准不确定度的B类评定,(6)由重复性限或复现性限求不确定度在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性限R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为U(xi)=r/2.83或u(xi)=R/2.83,三、标准不确定度的B类评定,这里，重复性限r或复现性限R的置信水准为95，并作为正态分布处理。由于Y=X1-X2式中X1与X