高考数学 7.8 立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离课件.ppt

第八节立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离,【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则,(2)直线和平面所成角的求法:如图所示,设直线l的方向向量为e,平面的法向量为n,直线l与平面所成的角为,两向量e与n的夹角为,则有sin=|cos|=.,(3)二面角的求法:a.如图,AB,CD是二面角-l-两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小=.b.如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos=_或_.,cos,-cos,2.必备结论教材提炼记一记(1)利用可以求空间中有向线段的长度(2)点面距离的求法.已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为.,3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离的方法.(2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.,【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是(0,直线与平面所成角的范围是0,二面角的范围是0,.(),【解析】(1)错误.两直线的方向向量所成的角应是两直线所成的角或其补角.(2)错误.若直线的方向向量和平面的法向量所成的角为,直线与平面所成的角为,则sin=|cos|.(3)错误.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.,(4)正确.由异面直线所成的角、线面角及二面角的定义可知,两异面直线夹角的范围是(0,直线与平面所成角的范围是0,二面角的范围是0,.答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-1P117T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为.,【解析】以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2).点C1在侧面ABB1A1内的射影为点所以=(-2,0,2),设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为,则又0,所以=.答案：,(2)(选修2-1P105例1改编)已知一个平行六面体的各棱长都等于2,并且以顶点A为端点的各棱间的夹角都等于60,则该平行六面体中平面ABB1A1与平面ABCD夹角的余弦值为.,【解析】如图所示，在平面AB1内作A1EAB于E，在平面AC内，作CFAB，交AB延长线于点F，则=2sin60=，=2cos60=1,设两平面夹角为，则答案：,3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)【解析】选B.(1,0,-1)(-1,1,0)=-1,夹角不可能为60,(1,0,-1)(1,-1,0)=1,且|(1,0,-1)|=|(1,-1,0)|=,夹角恰好为60.,(2)(2015秦皇岛模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(),【解析】选C.如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则B(1,1，0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2),所以=(0,-1,1)，=(0,-1,2),所以,(3)(2015金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由已知平面OAB的一条斜线的方向向量=(-1,3,2),所以点P到平面OAB的距离d=,(4)(2015济南模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A.30B.45C.60D.90,【解析】选B.建立如图所示空间直角坐标系,设AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),由题意,AD平面ABP,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD,又因为CD平面PAD,所以AECD,又PDCD=D,所以AE平面CDP.所以=(0,1,0),=分别是平面ABP,平面CDP的法向量,且=45,所以平面ABP与平面CDP所成的二面角为45.,考点1向量法求异面直线所成的角【典例1】(1)(2015上饶模拟)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,且AA1面ABC,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是.,(2)(2015岳阳模拟)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4.证明:PQ平面ABCD.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.,【解题提示】(1)采用基向量法,选择为基底,分别表示出,再求其夹角可解.(2)设AC,BD的交点为O,证明PO平面ABCD,QO平面ABCD,P,O,Q三点共线即可.分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,转化为向量与向量的夹角问题.,【规范解答】(1)不妨设棱长为2，选择基底则故异面直线AB1和BM所成的角的大小是90.答案：90,(2)如图,连接AC,BD,设ACBD=O,连接OP,OQ.因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO平面ABCD,QO平面ABCD.从而P,O,Q三点在一条直线上,所以PQ平面ABCD.由题设知,四边形ABCD是正方形,所以ACBD.,由知,PQ平面ABCD,故可分别以CA,DB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,由条件得P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以于是从而异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.,【规律方法】1.向量法求异面直线所成角的思路及关注点(1)思路:选好基底或建立空间直角坐标系;求出两直线的方向向量v1,v2;代入公式|cos|=求解.(2)关注点:两异面直线所成角的范围是(0,两向量的夹角的范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.,2.建立空间直角坐标系的策略(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(2)如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系.,【变式训练】(2015天津模拟)将正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,异面直线AD与BC所成的角为(),【解析】选C.不妨以ABC为底面，则由题意当以A，B，C，D为顶点的三棱锥体积最大，即点D到底面ABC的距离最大时，平面ADC平面ABC，取AC的中点O，连接BO，DO，则易知DO，BO，CO两两互相垂直，所以分别以所在直线为z，x，y轴建立空间直角坐标系，令BODOCO1，则有O(0,0,0)，A(0，1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，(0,1,1)，(1,1,0)，所以cos，所以异面直线AD与BC所成的角为.,【加固训练】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.,【解析】方法一:如图,取CN的中点K,连接MK,A1K,则MK为CDN的中位线,所以MKDN.所以A1MK(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.,设正方体棱长为4，则A1KMKA1M6，所以A1M2MK2A1K2，所以A1MK90.,方法二：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，所以所以所以，所以A1M与DN所成的角的大小是90.答案：90,2.(2015成都模拟)如图1,四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,ABCD是直角梯形,M为侧棱PD上一点.该四棱锥的俯视图和侧视图如图2所示.,(1)证明:BC平面PBD.(2)证明:AM平面PBC.(3)线段CD上是否存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点N,并求CN的长;若不存在,说明理由.,【解析】(1)由俯视图可得,BD2+BC2=CD2,所以BCBD.又因为PD平面ABCD,所以BCPD.因为BDPD=D,所以BC平面PBD.(2)取PC上一点Q,使PQPC=14,连接MQ,BQ.由侧视图知PMPD=14,所以MQCD,MQ=CD.在BCD中,易得CDB=60,所以ADB=30.又BD=2,所以AB=1,AD=.又因为ABCD,AB=CD,所以ABMQ,AB=MQ,所以四边形ABQM为平行四边形,所以AMBQ.因为AM平面PBC,BQ平面PBC,所以直线AM平面PBC.,(3)线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为理由如下：因为PD平面ABCD，DADC，以所在直线为x,y,z轴.建立空间直角坐标系Dxyz所以D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3)设N(0,t,0)，其中0t4.所以要使AM与BN所成角的余弦值为,则有所以解得t=0或2，均适合0t4故点N位于D点处，此时CN=4；或点N位于CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为,考点2向量法求直线与平面所成的角【典例2】(2014福建高考)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将ABD沿BD折起,使得平面ABD平面BCD,如图.(1)求证:ABCD.(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.,【解题提示】(1)由平面ABD平面BCD,推得AB平面BCD,进而证明ABCD.(2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系,求相关点的坐标,相关向量的坐标,由向量的线面角公式求得.,【规范解答】(1)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AB平面ABD,ABBD,所以AB平面BCD.又CD平面BCD,所以ABCD.,(2)过点B在平面BCD内作BEBD,如图.由(1)知AB平面BCD,BE平面BCD,BD平面BCD,所以ABBE,ABBD.以B为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.,依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),则设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),则即,取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为,则即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.,【易错警示】解答本题有三点容易出错:(1)在第(1)问证明ABCD时,易忽视交待面面垂直性质定理的条件及CD平面BCD.(2)将相关点,相关向量的坐标及平面的法向量计算错.(3)将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成的角.,【互动探究】在本例(2)的条件下,求直线CM与平面ABD所成角的正切值.【解析】方法一：向量法：由本例(2)解析知而平面ABD的一个法向量=(-1,0,0).设CM与平面ABD所成的角为，则sin=|cos|,所以所以方法二：几何法：由(1)知CD平面ABD，所以CMD为直线CM与平面ABD所成角,在RtCDM中，CD=1,DM=所以,【规律方法】1.平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设平面的法向量为n=(x,y,z).(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(3)解方程组,取其中的一组解,即得法向量.,2.向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.提醒:在求平面的法向量时,若能找出平面的垂线,则垂线上取两个点可构成一个法向量.,【变式训练】(2015成都模拟)已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)证明:BN平面C1B1N.(2)设直线C1N与平面CNB1所成的角为,求cos的值.,【解析】(1)该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,则BA,BC,BB1两两垂直.以BA,BB1,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),因为所以BNNB1,且BNB1C1,又因为B1NB1C1=B1，所以BN平面B1NC1.,(2)设n=(x0,y0,z0)为平面CNB1的一个法向量，则即令x0=1,则n=(1,1,2).又=(4,-4,-4)，则sin=|cos|=，从而cos=,【加固训练】1.(2013新课标全国卷)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明ABA1C.(2)若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.,【解析】(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.,(2)由(1)知,OCAB,OA1AB,又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题设知A(1,0,0)，A1(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则,设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z)，则有即可取n=(,1,-1).故所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为,2.(2013湖南高考)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,ACBD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:ACB1D.(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.,【解析】方法一:(1)如图,因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1,又ACBD,BB1BD=B,所以AC平面BB1D,而B1D平面BB1D,所以ACB1D.(2)因为B1C1AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图,连接A1D,因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1=BAD=90,所以A1B1平面ADD1A1,从而A1B1AD1,又AD=AA1=3,所以四边形ADD1A1是正方形,于是A1DAD1,A1B1A1D=A1,故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D,由(1)知,ACB1D,ACAD1=A,所以B1D平面ACD1,故ADB1=90-.在直角梯形ABCD中,因为ACBD,所以BAC=ADB,从而RtABCRtDAB,故即AB=,连接AB1,易知AB1D是直角三角形，且B1D2=BB12+BD2=BB12+AB2+AD2=21,即B1D=在RtAB1D中，即cos(90-)=,从而sin=.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为,方法二:(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).,从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0),因为ACBD,所以=-t2+3+0=0,解得t=或t=-(舍去).于是因为=-3+3+0=0,所以即ACB1D.,(2)由(1)知，=(0,3,3),设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,则即令x=1,则n=(1,-).设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为,3.如图,四棱锥S-ABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD平面SAB.(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.,【解析】以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0).又设S(x,y,z),则x0,y0,z0.,(1)=(x-2，y-2，z)，=(x，y-2，z)，=(x-1，y，z)，由得故x=1.由|=1得y2+z2=1，又由|=2得x2+(y-2)2+z2=4，,即y2+z2-4y+1=0，故y=于是故DSAS，DSBS，又ASBS=S，所以SD平面SAB.,(2)设平面SBC的法向量为a=(m，n，p)，则又故取p=2得cos，a=故AB与平面SBC所成角的正弦值为,考点3向量法计算与应用二面角的大小知考情利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2)或(3)问的形式出现.,明角度命题角度1:计算二面角的大小【典例3】(2014山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,DAB=60,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.,【解题提示】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解.,【规范解答】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CDC1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CDAM,CD=AM,所以AMC1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1MC1,又因为C1M平面A1ADD1,AD1平面A1ADD1,所以C1M平面A1ADD1.,(2)方法一:因为ABA1B1,A1B1C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CNAB,连接D1N,则D1NC即为所求二面角的平面角,在四边形ABCD中,DC=1,AB=2,DAB=60,所以CN=,在RtD1CN中，所以D1N=,所以cosD1NC=,方法二：作CPAB于P点,以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间直角坐标系，所以所以设平面C1D1M的法向量为n1=(x1,y1,z1),所以,令y1=2,所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以显然二面角为锐二面角，所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值为,命题角度2:应用二面角的大小或范围【典例4】(2014新课标全国卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC.(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.,【解题提示】(1)连接底面的对角线,利用三角形的中位线找到线线平行,从而证得线面平行.(2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别找到二面角D-AE-C的两个半平面的法向量,利用两向量的夹角公式,求得底面矩形的另一条边长,进而求得三棱锥的体积.,【规范解答】(1)连接BD,设AC与BD的交点为G,则G为AC,BD的中点,连接EG.在三角形PBD中,中位线EGPB,且EG在平面AEC内,所以PB平面AEC.(2)设CD=m,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(0,0),所以,设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则解得一个n1=(1,0,0).同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则解得一个,因为=解得m=.设F为AD的中点，连接EF，则PAEF,且EF=,EF平面ACD,所以EF为三棱锥E-ACD的高.所以所以三棱锥E-ACD的体积为,悟技法1.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.,2.向量法应用二面角大小(范围)的技巧建立恰当的空间直角坐标系,将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示,利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数,进而求解.,通一类1.(2014广东高考)四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.(1)证明:CF平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.,【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以ADDC.又PD平面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD,DCPD=D,所以AD平面PCD.又CF平面PCD,所以CFAD,而AFPC,即AFFC,又ADAF=A,所以CF平面ADF.,(2)以D为原点，DP,DC,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设DC=2，由(1)知PCDF，即CDF=DPC=30，有FC=DC=1,DF=FC=，则D(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0)，,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，由得取x=4,有y=0,z=，则n=(4,0,)，又平面ADF的一个法向量为所以所以二面角D-AF-E的余弦值为,2.(2014四川高考)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MNNP.(1)证明:P为线段BC的中点.(2)求二面角A-NP-M的余弦值.,【解析】(1)由三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥A-BCD中:平面ABD平面CBD,AB=AD=BD=CD=CB=2,设O为BD的中点,连接OA,OC,于是OABD,OCBD,OAOC=O,所以BD平面OAC,所以BDAC,因为M,N分别为线段AD,AB的中点,所以MNBD,又MNNP,故BDNP,假设P不是线段BC的中点,则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线,从而BD平面ABC,这与DBC=60矛盾,所以P为线段BC的中点.,(2)方法一:作NQAC于Q,连接MQ,由(1)知,NPAC,所以NQNP.因为MNNP,所以MNQ为二面角A-NP-M的一个平面角.由(1)知,ABD,BCD为边长为2的正三角形,所以OA=OC=,由俯视图知,AO平面CBD,因为OC平面CBD,所以AOOC,因此在等腰直角AOC中,AC=,作BRAC于R,在ABC中,AB=BC,所以BR=因为在平面ABC内,NQAC,BRAC,所以NQBR,又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,因此NQ=.同理可得,MQ=.所以在等腰MNQ中,cosMNQ=故二面角A-NP-M的余弦值是.,方法二：以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则于是,设平面ANP和平面NPM的法向量分别为m=(x1,y1,z1)和n=(x2,y2,z2)，由设z1=1，则由,设z2=1，则n=(0,1,1)，所以二面角A-NP-M的余弦值为,考点4向量法计算空间距离【典例5】(1)(2013北京高考)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.,(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱,O1是A1C1和B1D1的交点.若点C到平面AB1D1的距离为,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.,【解题提示】(1)可以选择两种途径:一是建立空间直角坐标系,利用向量法确定点P到直线CC1的距离的最小值;二是将点到直线的距离转化为线面之间的距离求解.(2)以A1为原点建立空间直角坐标系,设AA1=h,求出相关点,相关向量的坐标,代入点到平面的距离公式构建关于h的方程求解.,【规范解答】(1)方法一：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,2)，E(1,2,0)，=(-1,-2,2).设P(x,y,z),0,1,则=(x-1,y-2,z).所以(x-1,y-2,z)=(-1,-2,2).,解得x=1-,y=2-2,z=2P(1-,2-2,2)设点P在直线CC1上的垂足为Q，得Q(0,2,2),当=时，答案：,方法二:取B1C1的中点E1,连接D1E1,E1E,则CC1平面D1EE1.所以点P到直线CC1的距离的最小值即为CC1与平面D1EE1的距离.过点C1作C1FD1E1于F,线段C1F的长即为所求.在直角C1D1E1中,C1F=答案:,(2)建立如图空间直角坐标系，设AA1=h,有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0)，C(1,1,h).=(1,0,-h),=(0,1,-h),=(1,1,0).设平面AB1D1的一个法向量为n=(x,y,z),因为所以所以取z=1，得n=(h,h,1),所以点C到平面AB1D1的距离为,【规律方法】1.空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此,要求两点间的距离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模.,2.求点P到平面的距离的三个步骤:(1)在平面内取一点A,确定向量的坐标.(2)确定平面的法向量n.(3)代入公式d=求解.,【变式训练】(2015孝感模拟)如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2.则点A到平面MBC的距离为.,【解析】取CD中点O,连接OB,OM,则OB