ppt43第三节逻辑函数的图解化简法.ppt

对于任何一个逻辑函数的功能描述都可以作出真值表，根据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。,最小项之和：,最大项之积：,真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。,但是把真值表作为运算工具十分不便。用图解化简法，化简逻辑函数方便简单。,第三节逻辑函数的图解化简法,F=1的输入变量组合有AB=01、10两组。,F=0的输入变量组合有AB=00、11两组。,从以上分析中可以看出：,如果把真值表按特定规律排列成方格图的形式，这种方格图称为卡诺图。利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进行化简。通常称为图解法或卡诺图法。,3、卡诺图小方格相邻数=变量数。,2、每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用格雷码排列。保证逻辑相邻，几何位置相邻。,一、卡诺图构成,二、卡诺图构图思想：,1、n变量函数就有2n个小方格。每个小方格相当于真值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。,逻辑函数的图解化简法,1变量卡诺图,变量数n=1在卡诺图上有21=2个小方格，对应m0、m1两个最小项。,0表示A的反变量。,1表示A的原变量。,2变量卡诺图,变量数n=2在卡诺图上有22=4个小方格，对应m0、m1、m2、m3四个最小项。,每个小方格有二个相邻格：m0和m1、m2相邻。,二变量格雷码排列：,任何相邻码组之间只有一个码元不同。,逻辑相邻，几何位置相邻。,逻辑函数的图解化简法,3变量卡诺图,变量数n=3在卡诺图上有23=8个小方格，对应八个最。每个小方格有三个相邻格。,m0和m1、m2、m4相邻。,m1和m0、m3、m5相邻。,m2和m0、m3、m6相邻。,三变量格雷码排列顺序：,卡诺图小方格相邻数=变量数。,小方格的编号就是最小项的编号。,逻辑相邻，几何位置也相邻。,要求掌握格雷码排列规律。,逻辑函数的图解化简法,4变量卡诺图,变量数n=4在卡诺图上有24=16个小方格，对应十六个最小项。每个小方格有四个相邻格。,m0和m1、m2、m4、m8相邻。,m5和m1、m4、m7、m13相邻。,m9和m1、m8、m11、m13相邻。,四变量格雷码排列：,逻辑函数的图解化简法,5变量卡诺图,变量数n=5在卡诺图上有25=32个小方格，对应32个最小项。每个小方格有5个相邻格。,m0和m1、m2、m4、m8、及对称相m16。,m5和m1、m4、m7、m13、及对称相m21。,m23和m19、m21、m22、m31、及对称相m7。,m27和m25、m26、m19、m31、及对称相m11。,找相邻格的方法：先按四变找再找对称相,随着输入变量的增加，小方格数以2n倍增加。若N=6有64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系难以寻找。所以卡诺图一般多用于5变量以内。,逻辑函数的图解化简法,卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？方法有四种：,1、真值表法,已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为1的最小项，在的卡诺图对应小方格内填1，把真值表中输出为0的最小项，在卡诺图对应小方格内填0。,例：已知真值表为,填有1的所有小方格的合成区域就是该函数的卡诺图。,二、卡诺图表示逻辑函数的方法,例：,画出四变量卡诺图，并填图：,将F中的所有最小项填在卡诺图的对应小方格内。最小项填“1”，其余位置填“0”。,2、配项法,（四变量函数）,首先通过配项法将非标准与或式变换为标准与或式。即最小项之和的形式。,卡诺图表示逻辑函数的方法,是m13和m12的公因子,所以只要在A=B=1，C=0所对应的区域填1即可。,同理：在A=0，B=D=1所对应的区域填1。,在A=1，C=1所对应的区域填1。,3、直接观察法：（填公因子法）,卡诺图表示逻辑函数的方法,最大项和最小项互为反函数。,因此：在卡诺图上最小项用“1”格表示，最大项用“0”格表示。,4、将最小项之和形式化简为最大项之积形式：,任何一个逻辑函数不但可以表示成最小项之和的形式，也可以表示为最大项之积的形式。,卡诺图表示逻辑函数的方法,本例说明：任何一个逻辑函数，根据需要可以用“1”格表示，也可以用“0”格表示。,例：已知,要求将F表示为最大项之积的形式。,在三变量卡诺图中填“1”格表示最小项，其余填“0”格表示最大项。,1,0,1,0,1,1,1,1,“0”格表示最小项的非。,卡诺图表示逻辑函数的方法,以四变量为例说明卡诺图的化简方法:,若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。,“0”维块：表示四个变量一个也没有被消去。,“0”维块相加,“1”维块,“2”维块,“3”维块,从上述分析中可以看出：,二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有0，1变化因子。,四个“0”维块相加，可合并为一项，并消去二对有0，1变化因子。,八个“0”维块相加，可合并为一项，并消去三对有0，1变化因子。,m0+m1,m3+m2,m4+m5,m7+m6,将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。,相邻项,三、卡诺图化简逻辑函数的方法：,2、画出表示该函数的卡诺图。,3、画合并圈。,将相邻的“1”格按2n圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。,1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。,2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。,3、由于A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。,4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格。,卡诺图化简原则：,4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。,1、将函数化简为最小项之和的形式。,卡诺图化简步骤：,解：1、,正确填入四变量卡诺图,ABCD=0000处填1,ACD=010处填1,ABC=011处填1,ABD=011处填1,ABC=111处填1,ACD=110处填1,ABCD=1001处填1,1,1,2、按2n圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。每个合并圈对应一个与项。,3、将每个与项相加，得到化简后的函数。,例1：化简,11,1,1,11,1,解：,本例说明：,同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。,例2：化简,本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图对应小方格处直接填“1”。,作业,8(2)、10（3）、11、12（3）（4）、13、14、15（2）（4）,P113,2、画出表示该函数的卡诺图。,3、画合并圈。,将相邻的“1”格按2n圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。,1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。,2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。,3、由于A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。,4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格。,卡诺图化简原则：,4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。,1、将函数化简为最小项之和的形式。,卡诺图化简步骤：,解：1、,正确填入四变量卡诺图,ABCD=0000处填1,ACD=010处填1,ABC=011处填1,ABD=011处填1,ABC=111处填1,ACD=110处填1,ABCD=1001处填1,1,1,2、按2n圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。每个合并圈对应一个与项。,3、将每个与项相加，得到化简后的函数。,例1：化简,11,1,1,11,1,解：,本例说明：,同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。,例2：化简,本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图对应小方格处直接填“1”。,本例说明：每一个合并圈要有新未被圈过的“1”格。二维块BD中所有的”1”格均被其余合并圈所包围。所以BD是冗余项，应取掉。,卡诺图化简逻辑函数的方法：,解：题意要求将最小项之和化简为最大项之积的形式。,即由与或式求出或与式。,填“1”格，圈“0”格，,例4：化简F=m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)为最简或与式。,卡诺图化简逻辑函数的方法：,题意要求：将最大项之积化简为或与式。最大项和最小项互为反函数。最小项填“1”格，最大项填“0”格。,AB,AD,AC,CD,BD,即：填“0”格，圈“0”格，,例5：化简F=M(3,5,7,9,1015)为最简或与式。,卡诺图化简逻辑函数的方法：,为最简或与式及最简与或式。,解：1、将已知为或-与式的函数F填入卡诺图的简便办法是：等式两边求反，然后在卡诺图上填“0”格，其余填“1”格。,2、利用观察法，填“0”格，圈“0”格,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,3、最简与或式是填“1”格，圈“1”格,直接写出F的与-或式。,例6：化简,（一）、与非逻辑形式（用与非门实现）,1、填“1”格，圈“1”格，得出F与或式。,AB,BC,AC,2、两次求反，一次反演得出与非与非式。,3、根据与非式，画出用与非门组成的逻辑电路图。,逻辑函数的形式是多种多样的，前面我们已经学过与或式、或与式，还有与非式、或非式、与或非三种表示形式。现在讨论如何在卡诺图上实现这三种形式的化简。,例：已知,根据电路要求，选择不同化简方式。,要求用与非门、或非门、与或非门实现。,四、逻辑函数按要求形式化简,（二）、或非逻辑形式（用或非门实现）,1、填“1”格，圈“0”格,2、等式两边求反，得出F或与式。,3、对F两次求反，一次反演得出或非或非式。,4、根据或非或非式，画出用或非门组成的逻辑电路图。,逻辑函数按要求形式化简,（三）、与或非逻辑形式（用与或非门实现）。,1、圈“0”格，,2、等式两边求反，得出F与或非式。,3、根据与或非式，画出用与或非门组成的逻辑电路图。,逻辑函数按要求形式化简,逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。,在每一组输入变量的取值下，函数F都有确定得值，不是0就是1。,1、在输入变量的某些取值下，函数F取值是0是1都可以。不影响电路的逻辑功能。,2、输入变量受外界条件约束，某些输入组合不可能在输入端出现,不必考虑输出。这些输入取值组合称为无效组合。同无效输入组合相对应的最小项称为：无关项、任意项、约束项。,完全描述：,非完全描述：,五、包含无关最小项的逻辑函数的化简,ABCF,0000,0011,0101,1001,没操作,乘法,减法,加法,011X,101X,110X,111X,不允许BC同时为1，记作BC=0,不允许AC同时为1，记作AC=0,不允许AB同时为1，记作AB=0,不允许ABC同时为1，记作ABC=0,约束条件：BC+AC+AB+ABC=0,通过配项展开为最小项之和形式：,从本例可以看出：将恒为0的最小项加入或不加入到F表达式，都不影响函数值。因此：将无关最小项记做x,对函数化简有利当作1，对化简没利当作0。,真值表：,恒为0的最小项就是无关项,例：假设用A、B、C、三个逻辑变量，分别代表计算器的加、减、乘三种运算。,假定：有操作为1，无操作为0。,解：依题意列真值表。,ABCDF,00000,00010,00100,00110,01000,01011,01101,01111,10001,10011,1010X,1011X,1100X,1101X,1110X,1111X,由真值表写出F表达式：,例1：用8421BCD码表示一位十进制数X,当x5时，输出F=1，否则输出F=0，求F的最简与或式。,不考虑无关项的化简,考虑无关项的化简,包含无关最小项的逻辑函数的化简,约束条件,解：AB=0表示A与B不能同时为1,AB=11（即AB同时为1)所对应的最小项，就是无关项。,例2:化简,无关项X对化简有利当作1，对化简无利当作0。,包含无关最小项的逻辑函数的化简,前面所学的函数化简，均假定输入信号既提供原变量，又提供反变量。在实际逻辑电路设计中，只有原变量输入，没有反变量输入。因此在函数化简时采取适当方法就能得到只有原变量输入。,1、公式法：先介绍几个概念,头部因子和尾部因子：,一个乘积项可以写作：,乘积项不带反号的部分称为头部。,每个乘积因子abc-称为头部因子。,乘积项带反号的部分称为尾部。,每个乘积因子，xyz,uvw称为尾部因子。,例：,头部因子,尾部因子,六、输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,尾部代替因子,例：,头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因子中取走。,证明：,一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。,即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头部因子放进去，缩短将头部因子取出来。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个乘机项可以合并为一个乘积项。,例：已知,在输入没有反变量的条件下化简为与非与非表达式。,解：a、用卡诺图常规化简,乘积项合并,共用：7个门，其中，3个非门，4个与非门。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,公式法化简的目的：寻找公共项,减少与非门数量。只用4个与非门。,b、用公式法化简,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,2、禁止逻辑法,先介绍一个名词：,1重心：,如：AB=11ABC=111ABCD=1111,1重心的特点：,凡合并圈包含1重心的与项不会含有反变量。,C,AB,AC,BD,禁止逻辑法的基本思想：,但这样的合并圈有可能把不属于原函数的某些最小项也圈进去了，要保证原函数功能不变，必须扣除这些不属于原函数的最小项。,在卡诺图上所有变量取值为1的小方格称为1重心。,保证输入端不会出现反变量，化简函数时必须包含1重心。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,例：,a、常规化简,b、含1重心化简,假定：m7=1画入合并圈，化简结果C与原函数不一致，因为把m7看作1圈入，实际m7=0因此要把m7禁止掉。,证明：,推论：任一逻辑函数，如果用不属于它的最小项之和的非乘之，其逻辑功能不变。,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,C、扩大禁止范围，减少输入因子,输入只有原变量没有反变量的逻辑函数化简,