Maple在微积分上的应用.ppt

Maple在微積分上的應用,教授：蔡桂宏博士學生：施凱晏學號：95356071,95503統資軟體課程講義,Letusstart!,報告大綱：,函數與極限導數與導函數導數的應用積分積分應用與技巧,第一章函數與極限,1.1函數1.2函數的運算1.3極限的基本概念1.4Maple的極限計算法1.5函數的連續性,1.1函數,(1)偶函數與奇函數：如果，則稱f為偶函數(evenfunction)。若，則稱f為奇函數(oddfunction)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱於原點。EX:(2)片段函數(piecewisefunction)：Maple以piecewise指令來定義片段函數，其語法如下:piecewise(cond1,f1,cond,f2,condn,fn,otherwise)若條件式cond1成立，則執行f1，若cond2成立，則執行f2，以此類推。若所有條件都不成立，就執行otherwise，若otherwise沒有指定，則其預設值為0。EX:,1.2函數的計算,(1)函數的合成：以函數g合成f，而產生的函數f(g(x)稱為合成函數(compositefunction)，記為f。g。因此(f。g)(x)=f(g(x)。而Maple以小老鼠符號來代表。EX:合成函數也可以由片段函數組成。EX:,而，試以Maple求出(f。g)(x),1.3極限的基本概念,極限(limit)常用來描述當x趨近某個數值時，函數y=f(x)的變化情形。(1)極限的直觀介紹:考慮，在x=0並沒有定義(因為分母為0)，但因為sinx也為0，所以式子變為0/0的數學式，探討其值為何。EX:(2)夾擠定理(squeezetheorem):定理:設在一個包含a點的開區間中的所有的x值，恆有g(x)f(x)h(x)，若則EX:以函數圖形來說明夾擠定理意義，,1.4Maple的極限計算法,(1)Limit&limit:計算函數的極限值。趨近方向dir為一選項，其值可以是left或right。若沒有指定，則以雙方向趨近，而趨近的點可以是一常數、變數、或者是infinity、-infinity。EX:EX:limit指令也可以用來求解片段函數的極限值。,1.5函數的連續性,(1)連續性:定義函數的連續:如果(1)f(a)有定義，(2)存在，而且(3)，則稱函數f(x)在x=a為連續。EX:利用Maple來判別函數是否連續。(2)Maple有關測試函數連續性的指令:EX1:EX2:,(3)介值定理(theintermediatevaluetheorem):定理:如果函數f於閉區間a,b連續，且，則於閉區間a,b至少存在一數c使得f(c)=N。由介值定理可以推論得，若函數f於閉區間a,b連續且f(a)*f(b)0(亦即f(a)與f(b)的乘積為負)，則於閉區間a,b內至少存在一解c使得f(c)=0。EX:,第二章導數與導函數,2.1導函數與導數2.2導函數的求法2.3Maple的微分指令2.4鏈鎖律2.5高階導函數2.6隱微分法,2.1導函數與導數,(1)導函數:f(x)的導函數之物理意義，即是f(x)之切線的斜率函數。定義導函數:函數f(x)的導函數定義為，而的定義域為使得該極限存在的所有x所組成。EX:,(2)導數:定義導數:函數f(x)在x=a的導數記為，亦即。若函數f(x)在x=a的導數存在，亦即則稱f在x=a可微分(differentiable)。一般而言，函數f(x)於x=a不可微分通常發生於下面三種情況:函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX:函數於x=a不連續(斷點)。函數於x=a的切線為一垂直線(斜率為)。EX:EX:可微分例子。,2.2導函數的求法,(1)乘幕律(powerrule)若n為正整數，則。EX:(2)和與差的公式:若f與g為可微分函數，則EX:試求的導函數。,(3)積的公式(productrule):若f與g皆為可微分函數，則(4)商的公式(quotientrule):若f與g皆為可微分函數，且g(x)0，則EX:設，試求。到目前為止，皆以導函數的定義式來計算函數的導函數。事實上，Maple的內建指令diff提供了更方便的方法來計算微分。,2.3Maple的微分指令,Maple提供了微分指令diff與微分運算子D來處裡函數的微分。diff是用來計算函數的微分，而D則是針對函數運算子所設計，用來求出運算子的微分式。(1)微分指令diff:EX1:diff指令的用法EX2:Diff指令的用法p.s:數學上慣用以來表示單變數函數f對x微分。若f為多變數函數，則習慣上以來表示f對x的偏微分(partialdifferentiation)。Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號來取代慣用的。,(2)微分運算子:Maple的內建函數如sin,cos,abs與sqrt等皆為函數運算子，而函數運算子加上引數(如:sinx,cosx等)即成為一個標準函數。定義函數運算子D():D(f):求函數運算子f的一階微分運算子EX:內建&自定函數運算子,2.4鏈鎖律,定義鏈鎖律:設g在x可微分，且f在g(x)為可微分，則合成函數f。g在x為可微分，且廣義的成幕律:若f(x)為x的可微分函數，則EX:,2.5高階導函數,Maple計算二階以上之導函數的指令與一階相同，只是語法稍有不同。下面列出了diff指令與微分運算子D在二階以上之導函數的用法。EX:,2.6隱微分法,如果方程式f(x,y)=0無法表示成y=f(x)的形式，則前幾節所介紹的微分法便不適用，因此必須嘗試隱微分法來求得函數f的微分。EX:顯然地，上式無法把它表示成y=f(x)的形式，那麼如何求出?Sol:EX:設，利用隱微分法求。,事實上，Maple提供了一個簡單的implicitdiff指令，可以更方便的計算函數的n階隱微分。前EX:EX:,第三章導數的應用,3.1函數圖形的判別3.2極大值與極小值,3.1函數圖形的判別,函數圖形的外觀可以簡單藉由函數的導函數來判別。下面介紹(1)函數的遞增遞減(2)函數圖形的凹向性。(1)函數的遞增遞減：EX:,(2)函數圖形的凹向性：若要知道函數圖形凹向上(concaveupward)或凹向下(concavedownward)等幾何上的性質，則必須求助二次導函數。EX:,3.2極大值與極小值,EX:,第四章積分,4.1不定積分4.2Maple的積分運算4.3代換積分法4.4定積分:曲線下的面積4.5面積的估算4.6微積分基本定理,4.1不定積分,把函數f微分，可以得到它的導函數f。若已知一函數的導含數為f，則求其反導函數(anti-derivative)的過程稱為反微分(anti-differentation)。EX:試求的反導函數。F(x)的導函數為則F(x)即為，其中c稱為積分常數，因為它會伴隨著每一個不定積分產生。,的反導函數。,，所以,為,的反導函數，但是反導函數並不唯一，因此,的反導函數為,。,而函數f的反導函數則表示成,，,此式稱為f(x)的不定積分(indefiniteintegral)。,因此，,的反導函數為,，故,4.2Maple的積分運算,注意，大部分的符號運算軟體如Maple、Mathematica等，在計算不定積分時多半不會自動加上積分常數。EX:,4.3代換積分法,Maple的student程式庫裡也提供了一個變數變換的指令changevar，以方便執行積分的變數變換。如下：Changevar(g(x)=u,Int(f(x),x)將被積分函數f(x)裡的部份表示式g(x)代換成u，並回應一個代換過後的積分式。EX:,4.4定積分:曲線下的面積,此處重心放在求兩條曲線間的面積，而這種求算面積的方法可以視為定積方(definiteintegral)的一種基本應用。簡單來說，定積分可看成是兩條曲線所包圍起來的面積。想要算出曲線下面積A時，可以先把所圍成的區域分割成n個寬度相等的小矩形，再分別求這些小矩形的面積，然後把它們相加即可求得近似的面積。若分高的等份數越多，所求得的結果也就越精準。,Maple的student程式庫提供了幾個指令來繪製小矩形，並估算這些小矩形面積的總和(下節介紹)。EX1:EX2:試以下列所指定的方法，用Maple計算於區間0,4內與x軸所圍成的面積，並比較各種方法的精確度。(a)左接矩形，分別取n=4，n=8與n=20。(b)中接矩形，取n=20。,4