（教育学原理专业论文）中小学生对统计的认知水平研究.pdf

摘要 2 0 世纪7 0 年代以来，西方学者对概率与统计的研究成为热点问题。在对学生关于 概率统计认知的研究中，心理学家与数学教育家都将对概率和统计的错误认识和推理作 为研究的焦点。从2 0 世纪8 0 年代开始，全球范围“把统计和概率的初步知识”作为数 学素养的部分而引入小学到高中的课程中。其中澳大利弧、美国、新西兰等国家的课 程改革建议应该在学校教育的早期就让学生开始学习概率和统计。但统计知识进入中小 学课程的历史只有十几年，很多国家的中小学统计教育都刚刚起步。而我国将统计知识 纳入中小学数学课程只有将近五年的时间，没有足够令人信服的中小学统计教育的研 究，因而造成了教育研究跟不上课程改革步伐的被动局面。总体来讲，国内外学界对中 小学生对统计的认知水平如何或者他们具有怎样的统计观念、学过和没有学过统计的中 小学生对统计的认知是否存在差异等方面的研究一直相对薄弱。 因此，本文以中小学生对统计的认知水平作为主要课题，进行系统的实验研究。实 验的具体目标是：第一，探索学过和没有学过统计的一至八年级的学生对统计的认知发 展。第二，探讨学过和没有学过统计的一至八年级的学生对统计的认知是否有差异。第 三，分析差异的来源。以中小学生为被试，进行了四个系列的研究，它们分别是不确定 性、机会大小、样本和数据分析。总体来说，论文的特色及主要研究成果有：( 1 ) 有些 不确定性知识不教，学生也理解。有些不确定性知识需要教，否则学生不理解。研究发 现，学过与没有学过统计的一至八年级的学生对列出简单、复杂事件的所有可能结果 的认识水平上存在显著差异。学过和没有学过统计的一至五年级的学生几乎不会从比率 角度认识不确定性。学过和没有学过统计的七八年级的学生从比率角度理解不确定性的 水平有显著差异。但是学过和设学过统计的一至八年级的学生几乎都能识别哪些现象是 确定，哪些现象是非确定性的。( 2 ) 机会知识只有教了，学生才理解。研究表明，学过 与没有学过统计的一至八年级的学生对机会大小的理解水平有显著差异。学过和没有 学过统计的一至五年级的学生几乎不会从比率角度比较机会大小。学过和没有学过统计 的七八年级的学生从比率角度比较机会大小的理解水平有显著差异。( 3 ) 样本知识需要 教，否则学生不理解。学过和没有学过统计的一二年级的学生基本不理解样本，没学过 统计的三年级以上的学生初步具有分层抽样( 非随机) 思想。研究发现，学过和没有学 过统计的一至四年级的学生对样本的理解水平没有差异。学过和没有学过统计的一、二 年级的学生对样本的理解水平仅限于总体，并且不理解总体与样本的关系。4 0 左右没 有学过统计的三至五年级的学生和5 0 左右的六至八年级的学生已经初步具有非随机 的分层抽样思想。( 4 ) 小学生基本不会分析数据，而受过这方面训练的初中生能够运用 简单的统计量分析数据。研究表明，学过和没有学过统计的一至六年级的学生对数据分 析的理解水平没有差异。学过和没有学过统计的七、八年级的学生对数据分析的理解水 平有显著差异。( 5 ) 学过统计的一二年级的学生对统计的理解水平几乎接近，三年级的 学生对统计的理解水平明显高于一二年级的学生。研究表明，学过统计的二、三年级学 生对统计的理解水平有显著差异，其中学过统计的三年级学生对机会大小、样本与总体、 抽样、数据分析的理解水平高于学过统计的= 年级的学生。 由于实验条件和时间的限制，中小学生对统计的认知水平的深度、广度以及产生认 知差异的本质根源问题，还有待于将来进一步研究和探讨。 关键词：统计；认知；差异；中小学生 i i a b s t r a c t s m c em es e v e n t i e so ft 、e n t yc e n t 【i 】嗽t l l er e s e a r c ho nm ep r o b a b i l i 母a n ds t a t i s t i c sh a s b e c o m et b eh o t s p o t so fw e s t e ms c h o l a r s i ns t u d y i n go fs t u d e n t s c o g i l i t i o nt 0p r o b a _ b i l i 谚a n d s t a t i s t i c s ，枷lp s y c h 0 1 0 9 i s t s 卸dm a 也锄a t j c a le d u c a t o r sw e r ef o c l l sd n 吐1 em i s t a k ec o g m t i o n a n dr e a s o r l i i 培o f 也ep m b a b i l i 哆a i l ds t a ：d s t i c s f r o mt l l eb e g i 彻i i n go f1 9 8 0 s ，mt h eg l o b a l e x t e m ，t | 他e l e m e m a r yk n o w l e d g eo fs 诅t i s t i c sa r i dp m b a b i l i 够a sap a r to fm a n l e m a t i c a l 1 i t e r a c yw a sa b s o r b e di n t ot h ec u r r i c l l l u mo fp r i m a r ys c h o o l ，m i d d l es c h 0 0 1a n ds e n i o rm 曲 s d l 0 0 1 t h ec m n c m u mr e f o h 彻士i o n so fa u s 订a l i a a m e r i c aa n dn e wz e a l a n da d v i s e 也a t 咖d e n t ss h o l 】l db e 西nt os t u d y 协ep r o b a b i l i t y 觚ds t a t i g t i c si nt h ee a r l i e rs c h 0 0 1e d u c a 矗o n b ms t a t i s t i c so i l l yh a st e ny e a r sb j s t c 呵mt h ec u i c u l 哪o f1 1 1 i d d l ea n d m a r ys c h o o l ；e v e n m 舡l yc o u n l 矗e sj u s ts t a nt h es t a t i s t i c se d u c a t i o n w h i l ei no u rc 0 1 l m r y 也es 洲s t i c sw a s “b s o r b e di m om i d m ea i l dp r i 卫 1 a r ) rs c h 0 0 1 s m a t l l e m a t i c a lc u r r i c l l l u mn o t1 0 n g e rm a nf i v e y e a r ss ot h a tt 1 1 e r ei sr l oe n o u g hr e s e a r c ho nt h em i d d i ea n dp r i m a r ys c h 0 0 1 s s 诅t i s t i c s e 血w a t i o n 。w h i c hc a u s e d 也ep a s s i v es 蕊o n 黼舒u c 蕊髓面1 e s e a i 如w a sn o tk e e pu p 诵证 也ec 删c u l u mr c f l o m l 丑t i o n g e n e r a n ys 肼a k i i l g ，i i l s i d ea i l do u t s i d es c h 0 1 a r s r e s e a r c 也o n 廿l e i n i d d l e 趾dp r i m a r ys c h 0 0 1 蚰】d e n t s c o g l l i z i n gm eg 嘶s t i c s ，t l l e i rc o n c 印to fs t a t i s t i c s ， w h c t h c rt h e r ea r es o m ed i 丘b r e r l c e sb e n 血em i d d j e 如dp 抽a r ys c h o o ls t u d e n t sw h o s t i l d i e da l l dd i dn o ts t u d i e dt 1 1 es t a t i s t i c s ，i s “w a y s - r e l a t i v e l yu ns l l b 虬m t i “ t h e r e f o r e ，m yt h e s i sw mm a k em es y s t e m a t i cc ) 中e r i m e n t a ls n l d ya r o u n dt h em a i n su _ b j e c to f 地m i d d l ea n dp 加a r ys c h o o l 咖d e m s c o 鲥d o nl e v e l t h es p e c i f i ca i m so fm y e x p e r i m e n ta r ef o l l o w i i l g ： f i r s t l y ，t oe x p l o r et h es t a t i s t i c sc o 擎l m o d e v e l o p i n e n to ft l l es t u d e n t s 丘d mg r a d eo n et o 掣a d ee i g h t ；s e c o n d l y ，t od i s c u s sw h e 也e r 也e r ca r es o r i l cd i 饪b r e n c e si nt h es t a t i s t i c sc o 母l 坩o n b 咖e e nm es m d e n t sw h os t u d i e ds t a t i s t i c sa i l dt h o s ed i dn o t ；t h 砌y ，t oa i l a l y z et l l eo r i g i no f d i 丘b r e n c e s 1w i l ls e tl l l em j d d l ea 1 1 dp r i m a r ys c h o o 】咖d e n t sa st l l es u b e c t sa n dm a k ef o u r s e 一船o f s t u d y i n g ：l l l l c e r t a i l l 魄c h 卸c e ，s a i i i p l ea i l dd a t aa n 觚y z i n g t bs u m ，t h ec h a r a c t e r i s t i ca 1 1 dm a i nc o n c l u s i o n so fm y 廿1 e s i sa r ef o l l o m n g ：f i r s t l y ，t l l e s t u d e n tc o u l du n d e r s t a l l ds o m el ( 1 1 0 w l e d g eo fu n c e n a i n t yi fs o m eb o w l e d g eo fu n c e r c a i n t y w a sn o tt a u 曲t ；t l l e 咖d e n tc a n t1 l i l d e r s t a n d “i ft h e ya r en o tt a u 曲t r e s e a r c hs h o w s ，m e r e 戤e t e m 矾a b l e 艇f e t 跚c e s i n t h e l 尉do f r e c o g n h i o n o fr e p r e s 锄n g a np r 曲d b l e o u t c o m e s o f s i m p l eo rc o m p l i c a t e dm a t t e rb e t w e e nt h e 咖d e m s 胁g r a d eo n et 0g r a d ee i g h tw h os t u m e d m es t a t i s t i c sa n dm o s ed i dn o t f r o m 争a d eo n et og r a d ef i v e 也es t u d e n t s ，w h os t u d i e dt h e 虬a t i s t i c so rt h o s ed i dn o t n e a d yc o u l dn o tr e c o g n i z et h eu n c e n a i n t yi nt l l ev i e wo fr a t i o t h e g t u d e m so fg r a d es e v e na 1 1 dg r a d ee i g h t ，m os t u d i e dm es t a t i s t i c so r 廿l o s ed i dn o t c o u l d l u r e c o g n i z e 也ec 袖t y 缸) m m ea i l 酉eo f 圳o ，b u t 曲e i r1 l | 1 d e 渤n d i n gl e v e ld i f 托r sc v i d e n y b u tp r i m 盯ya n dm i d m es c h 0 0 1 蚰u d 神c a l lr e c o g l l i z ew h j c hp h e n o m e n aa r ec e n a i n ，w h i c h o n ei su n c e r t a i n s e c o n d l y ，t h es t u d e n t sd o n tu n d e r s t a l l db l o w l c d g e0 fc h a n c eu n t i lm e i m o w l e d g eo f c h a n c ew a s 诅u g h t r e s e a r c hs h o w s ，t 1 1 es n j d e m s r o mg m d eo i l et og m d ee i g h t ， w h os t i l d i e dt l l es t a t 枷c sa n dd i dn o t 咖d y ，h a v ed i 咖l c td i 髓r e n c e si nm el e v c lo f m d e r 赡池gt h ec h a n c e f i o mg r 8 d eo n e 把晷勰e 蠹v e 垃坨咖d e n 坞，w h os m d i e d 也e s t a t i s t i c so rm o s ed i dn o t ，n e 盯l yc o u l dn o tc o m p a m t i v ec h a l l c ei nt 1 1 ev i e wo fr a t i o 1 1 1 e s t u d e n t so fg r a d es e v e na n d 鲫d ee i 曲t ，、v ：h os t u d i e dt h es 枷s t i c so rt h o s ed i dn o t ，c o u l d c o n 叩a r a t i v ec h a n c e 缸粕也e 柚g l eo fr a 畸o ，b u t 也e i ru d e r s t a 】帕抽g1 e v e ld i f f e r se v i d e n n y t 蜘r d 】y ，t 1 1 es t i l d e m sd o n tl l n d e r s t a t l dk n o w l e d g eo fs 锄p l eu n t i lt 1 1 eh l o w l e 如eo fs 锄p l e w a st a u g h t t h es t u d e n t so fg r a d eo n e 趾dg r a d et w 0 ，w h e n l e rt h e ys t l l d i e dk n o w l e d g eo f s 诅t i s t i c so rn o t ，d o n tu n d e r s 协dk 1 1 0 w l e d g eo fs 咖p l e t h es t l l d e n t s 疗o mg r a d et l l r e et o 掣谢ee i g h t ，w h e m e rt h e ys t i l d i e dk i l o w l e d g eo fs t a t i s t i c so rn o t ，h a v et h ee l e m e n t a r yt h o u g h t o fs n a t i f i e ds 锄p l i n g ( n o tr 觚d o m ) r e s e a r c h 出o w s ，丘o mg m d eo n et 0g r a d ef o u rt 1 1 es t u d e m s ， w h os t u d i e dt l l es t a t i s d c so rt h o s ed i dn o t ，h a v en od i f r e r e n c ei nt l ：i el o v e lo f l l i l d e r s t a l l d i n gt h e s 黜p l e s t h es 札d e 】如o fg r a d eo n ea n d 铲a d e 僦o ，w h os t i l d i e ds t a t i s t i c so rt h o s ed i dn 吡a r e 1 i m i t e dt o 也ep o p u l a t i o ni u n d e r s 锄d i n g 也es a m p l e s 锄dt h e yd on o tu i l d e r s t 如d 血er e l 砒i o n b e t w e e np o p u l a t i o na n ds 锄p l e a b o u tf i r 移p e r c e l l to fs t t l d e m sf b m 掣a d e 廿1 ：r e et o 蓼a d e f i v ea n da _ b a mf i f t yp e r c e n to fs t 吣e m s 抒o mg r a d es i xt og m d ee i g h t ，w h od i dn o ts n l d y s 伽s t i c s ，h a v et l ee l e m e m a r yt h o u g h to fs 锄p l i n g f o l l n m y ，p r i m a r ys c h o o ls t u d e n t sc o u l d n o ta n a l y z e 出衄，b u tm i d d l es c l o o ls t i l d e n t sw h os t i l d i e dt 1 1 es t a t i s t i c sc a n u s es i l r l p l es t a t i s t i c t 0a n a 【y z ed 啦r e s c a r c hs h o w s ，f f o m 铲a d eo n et o 簪a d es i xt 圯触n t s ，w l os c l l d i e do r l o s ed i dn o t 、h a v en od i 髋r e n c ei nt h el e v e lo fu n d e r s t a n d 协gm ed a 土a 姐a l y z i n g w k l e 也e s m d e n t s 丘d mg r a d es e v e nt o 蓼a d ee i 曲t ，w h ob a t hh a v es t u d i e d 如dh a v en o ts t u d i e d s t a t i s t i c s ，d i 氆圩g r e a t l y 血t h el e v e lo fu n d e r s t a l l d i n gt h ed a t a 鲫脚y z i n g f i f 珊y ，t h es t u d e m s f b m 掣a d eo n e t og r a d et w o ，w h ot l a v eg t i l d i e ds t a 矗s t i c s ，a r en e a r l y 也es 锄ei n 也e1 e v e lo f u n d e r s t a i l d i i l gs t a t i s t i c s t h es t u d e n t so fg r a d et h r e ea r es u p e r i o rt ot h es t u d e n t so f 掣们eo n e a n d 铆oi i lt 1 1 e1 e v e lo fu n d e r s 协n d i n gs 枷s t i c s r e s e a r c hs h o w s ，廿l es t u d e m s 行o mg r a d et w o t of a d em r e e ，州h oh a v es t u d i e ds 伽s t i c s ，h a v eg r e a td i 丘b r e n c e si nt 1 1 el e v e lo f 恤d e r s t a i l d i n g s t a _ t i s t i c s t h e 咖d e n t so fg r a d en l r e ea r es u p e r i o rt ot l l e 曲j d e n t so fg r a d et w oi n 廿l el e v e lo f u n d e r s t a n d i n g 廿1 ec h a n c e ，s 锄p l ea i | dp o p u l a t i o n ，s a 呻l i n ga sw e l la sd a 诅a n a l y 妇n g f o rt l l el i m i to fe x p e r i r n e n t a ic o n d i t i o na i l dt i m e ，m ed e 印n e s sa n de x t e n to fi i l i d d i ea n d 埘m a r ys c h o o ls t l l d e n t s s t a t i s t i c sc o g t l i 怕na r i d 也ee s 嘣m 矗lo r i g i no fd i 珏醯n tc o 卿t i o n s s h o u l db es t i 】d i e da n dd i s c u s s e df l l i t h e ri nt l l ef i n u r e k e yw o r d s ：s t a t i s t i c s ；c o 黜i o n ；d i 陆e 1 1 c e s ；m i d d l ea t l dp r i m a r ys c h 0 0 1s t u d c n t s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：垩塞勉日期： 协。工 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 蚴指导教师签名： 日期：趟日 期： 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 厦期 i 印宁i 卜 电话： 邮编： 第一章引言 一、研究的背景 ( 一) 国外统计课程发展及中小学统计教育研究的现状 2 0 世纪8 0 年代开始，全球范围内“把统计和概率的初步知识”作为数学素养的一 部分而引入小学到高中的课程。其中澳大利亚、美国、新西兰等国家的课程改革建议应 该在学校教育的早期就让学生开始学习概率和统计。澳大利亚教育理事会1 9 9 1 年提出， 掌握机会、数据处理和统计推断领域的观念是适应社会的重要指标。从美国1 9 8 9 年学 校数学课程与评估标准到1 9 9 8 年重新修订中小学数学课程标准阐述了学校数学教 学十项标准的总观点，并将其贯穿在各个年级的标准中，通过具体的示例详细解释。其 中前五项内容标准中的一项为“数据分析、统计和概率”。强调“数学教学纲要应关注 数据分析，统计和概率从而使学生提出问题并收集，整理和表示数据来解决提出的问题； 用数据分析基于数据的推理，预测和争论；理解和应用机会和概率的基本术语”。统计 进入中小学课程的历史只有二十几年，很多国家的中小学统计教育都刚刚起步。只有一 些西方国家研究中小学统计教育，因此，只有很少的信息指导课程制定与实施，很大程 度上造成教育研究滞后于课程改革。 从文献来看国外心理学家和统计教育工作者为主的研究人员主要对概率错误概念、 数据处理过程认知的研究。具体的以下几个方面：一是揭示人们对随机现象的认识，如 人们的直觉、错误概念、偏见以及认知发展过程。二是了解如何影响人们对随机现象的 认识。比如，采取怎样的教学克服错误概念。三是学生对数据的认识，比如，主要研究 学生对统计的概念的理解，如样本、随机、均值、变量等概念。然而，就目前而言，这 些研究基本上都是一些西方国家做的，而且以中小学为研究对象的也还不多。大多数关 于学生概率思维的研究都是2 0 世纪7 0 年代以后出现的。8 0 年代，h a w k i n s 和k a p a d i a 在他 们的论文中回顾和评述了这一领域已有心理学和教学研究，他们提出了一些读者思考的 问题，如，不同年龄的学生对概率具有怎样的认识? 怎样改变他们的认识? 直觉的认识 与规范的认识之间有怎样的关系? s u s a n n ep l a j o i e ( 1 9 9 5 年) 等人的文章中综述 了这一领域研究的情况，他们提出了将来研究领域的目标，帮助大学之前统计教育建立 完整的教学和评估过程的模型。这个模型寻找教学的统计内容，什么时候和怎样教，评 价学生对统计的理解。”2 0 0 3 年，j a n em w a t s o n 的一篇综述性的文章中提出，学校统 计文化学生应该学什么? ”3 在所有的年龄层次，如何进一步揭示随机的实质，进一 步把诊断方法运用于调查学生的思维过程，还需要做些什么? 做多久昵? 总之，现有的研 究结果还没有很好地回答以上这些问题。 究结果还没有很好地回答以上这些问题。 ( 二) 国内统计课程发展及中小学统计教育存在的问题 1 小学阶段统计课程目标与要求 统计知识在我国建国以来的历次大纲中，除了1 9 5 2 年的小学算术教学大纲( 草案) ( 以下简称大纲) 中没有提出统计知识学习的要求外，在后续几个大纲的修改中， 均将统计知识的学习作为小学数学学习的内容之一，但在不同年代大纲对统计知识 的要求则有较大的差异。 ( 1 ) 重视统计图表的绘制 上世纪5 0 年代至6 0 年代，我国在引进前苏联教学大纲和教材中，将小学数学教学内 容的体系确定为以计算教学为中心。因此，在教材中安排比较多的内容是运算技能的训 练，并将这一训练要求作为小学数学教学的重点。应用题和几何知识则是围绕计算技能 训练的配套练习，统计知识的内容仅占狠小的篇幅，其教学内容的重点贝n 在统计图表的 绘制以及简单的运算上。1 9 5 6 年的大纲对统计的教学要求是统计图表在劳动生产和 日常生活里有广泛的应用，在小学里学习这些可以使儿童获得一些实际应用的知识和技 能，并且可以为将来参加劳动生产做一些准备。“31 9 6 3 年的大纲对统计的要求是统 计图表的知识，在日常生活中和生产劳动中用处很多。因此，在小学里应该讲授统计图 的初步知识。讲授的时候，着重讲授常遇到的一些简单的统计图表。1 9 6 3 年大纲与 1 9 5 6 年相比，强调在小学里应该讲授统计图表的知识。着重讲授常遇到的一些简单的统 计图表。其余的要求基本相同。从上述的大纲中看到，小学阶段的统计教学的主要 目标是认识统计图表、绘制统计图表为主要内容。 ( 2 ) 渗透统计的思想和方法 在上世纪的7 0 年代至9 0 年代，国际上掀起了对数学教材进行改革的浪潮，各国根据 社会的需要，重新审视传统教材的内容，倡导将数学思维、数学思想作为小学数学的重 要内容。受国外数学改革的影响，以及我国8 0 年代末开始实施义务教育法的背景下，我 国小学数学的教学内容也进行了多次的改革。其中比较突出的一点是提出渗透数学思想 的要求，统计思想作为数学思想的一个方面也理所当然成为数学思想渗透的一个部分。 1 9 7 8 年的大纲提出在百分数和统计图表等内容中。注意使学生接触一些初步的统计 思想和方法。在1 9 9 2 年的大纲中贝0 进一步强调统计思想与方法，认为统计知识在日 常生活和生产中有广泛的应用，要结合有关内容，使学生了解一些简单的统计思想和方 法，逐步看懂简单的统计图表，对于绘制统计图表要求不宜过高。从大纲的几次修 改中，对统计知识的教学要求从纯粹的认识统计图表，逐步发展到把统计教学作为一种 “统计思想和方法”的渗透。在教材中，统计思想和方法的渗透主要是通过加强数据与 整理数据来实现的。人教社1 9 9 4 年版第十册教材的第章就安排了简单的统计。在数据 的收集和整理方面，安排了两个例子。例1 介绍原始数据的收集与整理，并把这些数据 制成统计表和条形统计图。例2 是一个班女同学测量身高的记录单，记录了每个人身高 的原始数据。请学生把这一组较复杂的原始数据进行分组整理，并进一步制成统计表。 ”1 上世纪7 0 年代至9 0 年代大纲提出的数学统计的思想与方法的渗透仅仅是初步的认 识，并没有具体阐述如何渗透的要求。2 0 0 0 年大纲则提出具体渗透的途径，并十分 2 强调让学生经历统计的全过程。这次的大纲是历次统计知识要求幅度最大的一次。 2 中学阶段统计课程目标与要求 2 0 世纪初，概率论传入中国，1 9 0 5 年京师大学堂的教科书普通代数学中把概率 叫做“适遇”。1 9 1 6 年的科学上曾有文介绍“决疑数学”，概率则称“或然率”。1 9 0 4 年颁布实旄了第一个学制( 癸卯学制) ，相应地制定数学课程标准。1 9 1 2 年公布的中 学校令施行细则以及1 9 1 6 年的国民学校令施行细则中有关数学的要目。1 9 3 0 年， 中国有本使用很广的高中教材范氏大代数，其中列有“概率”的专章。新中国成 立初期，范氏大代数曾作为必修教材使用，但2 0 世纪5 0 年代学习苏联的数学教育， 概率统计被排除在中学数学课程之外。“1 1 9 5 2 年，以苏联中小学数学教学大纲为基础， 制订了我国中学数学教学大纲( 草案) ，1 9 5 5 年，教育部又对这份大纲进行修订， 制订了中学数学教学大纲( 修正草案) ，这两份大纲都规定了教学目的，例如在“修 正草案”中指出：“中学教学的目的是教给学生有算术、代数、几何和三角的基础知识； 培养他们应用这些知识解决各种实际问题的技能和技巧，发展他们的逻辑思维和空间想 象力；在数学教学中贯彻新民主主义教育的一般任务；形成辩证唯物主义的世界观，培 养他们的逻辑思维和空间想象力；培养新的爱国主义以及民族的自尊心，锻炼他们的坚 强的意志和性格。”但是在学习苏联的过程中，也存在着盲目照搬的倾向，把苏联十年 制学校的数学课程内容，放到我国十二年制的学校中来，延长了算术课的时间，而且取 消了高中平面解析几何课，降低了我国中学数学的水平。 由于“大跃进”和国际数学教育现代化运动的影响，全国掀起了群众性的教育革命 的热潮。1 9 5 8 年中共中央提出了“教育为无产阶级政治服务，教育与生产劳动相结合” 的教育方针和“教育必须改革的号召”。1 9 6 0 年2 月在上海举行的中国数学会第二次代 表大会，这次会议的中心议题之一是根本改革各级各类学校的数学教育问题。在这次大 会上，北京师范大学数学系中小学数学教育改革研究小组提出了对于中小学数学教材 内容现代化的建议，提出了中学必须讲授某些现代数学知识，例如解析几何、代数、 概率论与数理统计等。但由于理论上要求过高过深，在联系实际上又脱离中学生的实际， 使得教师难以教、学生难以学，只在少数学校试验后不久就退出了教育舞台。 在中共中央提出的“调整、巩固、充实、提高”的方针指引下，认真总结了全面学 习苏联和教育大革命的经验教训，1 9 6 1 年和1 9 6 3 年教育部先后两次修订了中学数学教学 大纲。1 9 6 1 年1 0 月制订的全曰制中小学数学教学大纲( 草案) ，提出了确定教学内容 的原则：( 1 ) 必须选择算术、代数、平面三角、平面解析几何各科中主要方面的基本知 识，使学生既有全面、又有重点地掌握数学的基本知识和基本技能；( 2 ) 适当增加在近 代科学技术上广泛应用的数学知识，如函数的知识特别加强，近似计算、概率、视图等 知识应适当介绍；( 3 ) 注意与高等学校的学科衔接，如关于极限的概念在中学就应当引 入，长期培养；( 4 ) 必须注意反映我国数学上的优秀传统和成就，如勾股定理等。高中 增加了平面解析和概率的初步，基本上符合既缩短学制又提高程度的要求。” 1 9 6 3 年5 月，在1 9 6 1 年大纲的基础上又编制了十二年制的全日制中学数学教学大 纲( 草案) 。这个大纲第一次明确提出要“培养学生正确而且迅速的计算能力，逻辑能 3 力和空间现象能力”的要求。它增加了平面解析几何，适当加深、拓宽了数学各科的内 容。例如，初中几何增加了三角初步知识，高中代数增加了概率初步知识、行列式。增 加的内容比较适合当时的我国国情，使我国中学数学教学质量得到了稳步提高。 从1 9 7 8 年开始，历次数学教学大纲改革都规定了在初中三年级学习统计初步，但在 执行过程中，统计教学并没有取得理想的效果。1 9 8 6 年1 1 月，国家教委按照“适当降低 难度，减轻学生负担，教学要求尽量明确具体”的三项原则制定过渡性的全日制中学 数学教学大纲。将微积分初步、概率、行列式和线性方程组改为选学内容。1 9 9 2 年的 初中数学大纲中，统计知识的安排如下：统计的初步知识占了代数内容的五部分中的一 个小部分，比例甚微。具体内容如下，总体和样本，众数，中位数，平均数，方差与标 准差，方差的简化计算，频率分布。嘞般这部分内容安排在初三年级，但是在实际的 教学中这部分知识几乎不怎么教，或者说不受重视，考试也很少涉及。 2 0 0 1 年7 月颁布了全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 。2 0 0 3 年3 月教育部印 发了义务阶段数学课程标准。和以往大纲有所不同，把概率统计教学的内容作为一 个整体进行安排，把概率统计的教学延伸到了小学一年级。 二、研究的必要性 统计自古以来都是管理国家的重要工具，即用来收集和分析国家管理中需要的各种 数据。统计起源于很早，在人类历史上，自从有了国家，就有了统计。它是随着社会生 产的发展和适应国家管理的需要而产生和发展起来的。在原始社会里，人类最初的一般 计数活动，蕴藏着统计萌芽。随着奴隶制国家的产生，统治阶级为了对内统治和对外战 争。需要征兵征税，开始了人口、土地和财产的统计。中国从公元前2 0 0 0 多年的夏朝 开始就有人口、土地等方面的统计。例如分中国为九州，人口1 3 5 5 万，土地2 4 3 8 万顷。 在差不多同一时期的古希腊、罗马的奴隶制国家里，也有人口、财产和世袭领地的统计。 当时生产力水平很低，统计处于初级阶段。到了封建社会，统计已略具规模。封建君主 和精明的政治家日益意识到统计对于治国强邦的重要作用。为了直观，人们发明了各种 报表、直方图、扇形图等，这种传统意义上的统计学( 即古典统计学) 在今天依然非常 重要，这也是我国中小学统计教学的主要内容之一。到了1 7 世纪中叶，欧洲的资本主 义经济得到迅速发展，统计工作开始从国家管理领域扩展到生活经济活动的多个领域， 成为经营决策和生产管理的重要手段。随着各学科的建立和发展，对统计数字和统计方 法的要求越来越多了，统计工作成为社会的专业性活动。工业、农业、商业、交通、邮 电、海关、银行、保险等社会各方面逐渐形成专业统计、大大促进统计事业的发展，近 代统计学由此逐步发展起来的。1 9 世纪末，人们把数学特别是概率论的有关知识引进统 计学，构建了统计学的基础。与古典统计学相比，近代统计学仍然是对于数据收集和分 析，但却有本质的区别，因为近代统计学进行分析的基础是“不确定性”，即“随机性”。 到了现代，人们发现采用随机方法对大量数据进行分析，不仅方便而且更为准确。比如， 对于国民收入，可以动用大量人力收集数据，但是谁都知道，这样收集的数据不可能准 确，远不如我们依据某种划分出地区和人群，然后抽样，加权求和准确。到了2 1 世纪， 银行、保险、电信以及材料科学、基因组学等新兴学科的实验数据是“海量”的，对其 进行分析只能借助随机的方法。 统计本身内容和特点与传统数学内容的差距很大，并不是单纯的知识教学。中小学 传统数学的教学内容，主要是对日常生活中见到的图形和数量的抽象，研究的问题是图 形的变化与计算法则，研究的基础是定义和假设，研究的方法主要是归纳、递归、类比 和演绎推理。统计学则不同，统计学是通过数据来进行分析和推断的，统计研究的基础 是数据。这些数据的特点是，对于每一个数据而言，都具有不确定性，我们需要抽取一 定数量的数据，才可能从中去获取信息。因此，统计学的研究依赖于对数的感悟，甚至 是对一堆看似杂乱无章的数的感悟。通过对数据的归纳整理、分析判断，去发现其中隐 藏的规律。“1 统计进入中小学课程的历史只有二十几年，很多国家的中小学统计教育都刚刚起 步。因此，只有很少的信息指导课程制定与实施，很大程度上造成教育研究滞后于课程 改革。 我国中小学统计教育的研究也比较薄弱，数学课程改革将近五年的时间，没有足够 令人信服的统计教育的研究，造成了教育研究跟不上课程改革步伐的被动局面。对于中 小学统计编写教材者及实施者，没有深刻的理解统计的含义及其思想方法，整体上很难 把握统计课程目标以及统计课程的实施。现实的统计教学既要面对学生顽固的确定的思 想方法，又要面对他们已有的朴素的统计直觉，而我们的教学必须让学生觉得他们已有 的概念中存在着某种不协调，以便创造机会去改变原有的认识和观念，使学生理解和掌 握统计的思想、观念和方法。那么现实最大的问题症结在于究竟中小学生对统计的认知 水平如何，他们具有怎样的统计观念? 三、问题的阐述 以往统计教育上的研究过于强调概率的错误概念，或脱离具体的情境，研究学生对 统计的一些概念名词的理解。有关中小学生对统计的认知水平如何，他们具有怎样的统 计观念以及学过和没有学过统计的中小学生对统计的认知是否有差异一直是一个研究 的相对薄弱领域。本论文将中小学生对统计的认知水平作为主要课题，进行系统的实验 研究。实验的具体目标是：第一，探索学过和没有学过统计的一至八年级的学生认识统 计的经历是怎样的发展过程。第二，探讨学过和没有学过统计的一至八年级的学生对统 计的认知是否有差异。第三，分析差异的来源。探索学生对统计学习的认知发展规律， 对于我国正在实施的课程标准提出一些建议，以及对于下一轮课程标准的修订在理论上 起到一定的指导作用。 第二章文献述评 2 0 世纪7 0 年代以来，西方学者关于学生概率与统计思维的研究成为热点。国外心 理学家和数学教育家从两种不同角度研究概率和统计，而人们对统计和概率错误的认识 和推理仍旧是两个领域的研究者都感兴趣的课题。心理学家的大部分研究是针对在不确 定情形中如何推理，面对着多少带着一些概率意义的信息作研究、判断和决策时的心理 动因。心理学家主要地是观察者或描述者，他们通常设法在他们的理论模型下解释所观 测到的一切。数学和统计教育方面的研究者是真正的参与者，因为他们的任务是提高学 生的随机知识，所以他们一般不满足于仅仅观测人们在不确定情形下推理的谬误，而是 想要改变学生关于概率统计的观念和信念。观测者和参与者的不同研究角度，为理论框 架和研究方法上的相互合作和渗透提供了一个很好的基础。从文献来看国外心理学家和 统计教育工作者为主的研究人员主要对概率错误概念、数据处理过程的认知过程以及概 率和统计思维框架进行研究。 一、概率概念的研究 心理学家和数学、统计教育者研究的主要问题有两类，第一类主要是研究概率的原 始概念，概率直觉，对概念的错误认识等( 刻画人们是如何思维的) 。第二类主要是研究 如何影响人们的信念和概念( 如何去影响人们的思维) 。到目前为止，研究者从以下几个 方面进行了深入的研究。 ( 一) 区分可能事件、不可能事件和必然事件 从两个角度研究中小学生对可能事件、不可能事件和必然事件的