高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件(理).ppt

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式,【知识梳理】1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:_.(2)商数关系:_.,sin2x+cos2x=1,2.三角函数的诱导公式,-sin,-sin,sin,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,tan,-tan,-tan,【特别提醒】1.诱导公式的记忆口诀奇变偶不变,符号看象限.,2.特殊角的三角函数值表,【小题快练】链接教材练一练1.(必修4P21习题1.2A组T12改编)已知tan=-3,则cos2-sin2=.,【解析】由同角关系得cos2-sin2答案:-,2.(必修4P29习题1.3B组T2改编)已知则sin(+)=.【解析】因为所以sin答案:-,感悟考题试一试3.(2016合肥模拟)sin585的值为()【解析】选A.因为sin585=sin(360+225)=sin225=sin(180+45)=-sin45=,4.(2016重庆模拟)设tan(5+)=m,则的值为(),【解析】选C.因为tan(5+)=m,所以tan=m,5.(2016陕西师大附中模拟)若sin=-,tan0,则cos=.【解析】由已知,在第三象限,所以答案:-,考向一同角关系的应用【典例1】(1)(2015唐山模拟)已知sin+cos=,则tan=()(2)已知ABC中,sinA+cosA=-,则tanA=.,【解题导引】(1)将已知两边平方转化为关于tan的方程求解.(2)根据同角关系解方程组,求解.,【规范解答】(1)选A.因为所以所以sin2+2sincos+2cos2=3.,所以2tan2-2tan+1=0.所以tan=.,(2)列出方程组由第一个方程得,cos=-sin,代入第二个方程得即得sinA=或sinA=,因为ABC中00,所以tanA=答案:-,【一题多解】解答本题,还有以下解法:由已知得sinA0,cosA-1,由sinA+cosA=-两边平方,整理得,分子分母同除以cos2A得解得tanA=-.答案:-,【规律方法】同角关系的两个基本题型(1)已知正切值,求正弦和余弦的齐次式的值:整式的分母换成1,再用平方关系,构造出分子、分母都是关于正弦、余弦的齐次式;把分子分母同除以余弦的齐次幂,转化为一个关于正切的分式;代入已知的正切值可解.,(2)(已知正、余弦求值)已知正弦和余弦的表达式的值求值:关键是通过平方关系,在sin+cos,sin-cos,sincos之间建立联系,比如设sin+cos=tsincos=,sin-cos=(注意根据角的范围选择正负号)或者,解这些题目的最基本方法是解关于sin,cos的方程组,解得sin,cos的值.易错提醒:(1)平方关系最多使用一次,注意开方时正负号的选取.(2)解方程组时,注意三角函数的符号,不要产生增解.,【变式训练】(2015广东高考)已知tan=2.(1)求的值.(2)求的值.,【解析】(1),【加固训练】1.(2016郑州模拟)已知tan=2,则的值为()【解析】选B.由,分子分母同除以cos,得,2.已知是第二象限的角,tan=-,则cos=.,【解析】因为是第二象限的角,所以sin0,cos0,由tan=-,得cos=-2sin,代入sin2+cos2=1中,得5sin2=1,所以答案:-,3.已知则tan=.【解析】由所以tan=-2.答案:-2,4.已知sin-cos=,(0,),则tan=.【解析】两边平方得cos2+sin2-2sincos=2,所以sin2=-1,所以tan=-1.答案:-1,考向二诱导公式及应用【典例2】(1)(2016黄冈模拟)设cos(-36)=k,那么tan2016=(),(2)(2016广州模拟)已知那么cos=.,【解题导引】(1)先利用同角关系求出sin36的值,再利用诱导公式化简求解.(2)利用诱导公式化简求解.,【规范解答】(1)选A.sin36=所以tan2016=tan(3605+216)=tan216=tan(180+36)=tan36=(2)答案:,【母题变式】1.若本例题(2)条件变为求cos.,【解析】因为sin(+)=,所以-sin=,所以sin=-,所以cos=,2.若本例题(2)条件不变,求tan.【解析】由例题解析知cos=,所以在第一、四象限.当在第一象限时,sin=,此时tan=当在第四象限时,sin=-,此时tan=,【规律方法】1.求任意角的三角函数值的步骤负角化正角,正角化锐角,最后求值.2.化简三角函数式的基本思路分析结构特点,选择恰当公式,观察角的关系,获得最简形式(项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求值).,【变式训练】已知sin(3+)=,求的值.,【解析】因为sin(3+)=-sin=,所以sin=-.原式=,【加固训练】1.(2016福州模拟)已知sin10=a,则sin70等于()A.1-2a2B.1+2a2C.1-a2D.a2-1,【解析】选A.由题意可知,sin70=cos20=1-2sin210=1-2a2.,2.已知cos(+)=-,且角在第四象限,计算:(1)sin(2-).(2)(nZ).,【解析】因为cos(+)=-,所以-cos=-,cos=.又角在第四象限,所以,(1)sin(2-)=sin2+(-)=sin(-)=-sin=.,考向三同角关系和诱导公式的综合应用【典例3】(2016兰州模拟)已知3cos2(+x)+5cos=1,求6sinx+4tan2x-3cos2(-x)的值.,【解题导引】将已知条件化简,求出sinx,cos2x,tan2x,而后代入化简后的所求式求解即可.,【规范解答】由已知得3cos2x+5sinx=1,即3sin2x-5sinx-2=0,解得sinx=-(sinx=2舍去).这时故6sinx+4tan2x-3cos2(-x)=,【规律方法】三角函数的化简与求值问题的解题方法(1)求值:给角求值:用诱导公式遵循“负化正,正化小,到锐角”的一般步骤求值;给值求值:先用诱导公式统一角,再用同角关系求值;给值求角:先确定要求的那个角的一个三角函数的单调区间,然后求这个角的三角函数值,最后根据三角函数图象或定义求角的值.,(2)化简的常用方法:弦切互化法:主要利用商数关系tan=进行弦化切,或切化弦,如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x的类型要弦化切;和、积转化法:如利用(sinxcosx)2=12sinxcosx的关系变形、转化;巧用“1”的代换:1=sin2x+cos2x=tan.,【变式训练】(2016唐山模拟)已知为钝角,则sin=,cos=.,【解析】因为为钝角,所以所以所以答案:-,【