《Jordan标准型》PPT课件.ppt

第2章：Jordan标准形介绍,JordanCanonicalForm,第2章：Jordan标准形介绍,问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基1，2，n和矩阵J，使T:1，2，nJ矩阵J尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选A为对角形线性变换的对角化问题。建立J一般的结构Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题Jordan化方法重点：,2.1线性变换的对角表示,背景：T(12n)=(12n),一、变换T的特征值与特征向量定义(p35，定义2.1)求解分析：(p35，定理2.1),(12n)线性无关Ti=ii；Li是不变子空间,A的特征值就是T的特征值A的特征向量是T的特征向量的坐标,例题1(p37，例题2.1)3、特征向量的空间性质特征子空间：特征子空间的性质：(p36，定理2.2)Vi是不变子空间ij，则ViVi=0若i是ki重特征值，则1dimViki推论：若i是单特征值，则dimVi=1V1+V2+=Vs=V1V2VsV1V2VsVn（F）,二、线性变换矩阵对角化的充要条件,T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。dimVi=ndimVi=ki,定理2.4(p39),T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。,例题2已知1，2，3是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1T（2）=22T（3）=1+t2+23,讨论：t为何值，T有对角矩阵表示,例题3证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。,2.2Jordan矩阵介绍,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。一、Jordan矩阵Jordan块(p40，定义2.3)形式：确定因素：Jordan块矩阵的例子：,值矩阵的阶数,例题1下列矩阵哪些是Jordan块？,形式：Jordan矩阵举例特点,元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵,2Jordan矩阵,3Jordan标准形定理2.5(p41)含义：,Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB,二、方阵A的Jordan标准形的求法,目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理2.5的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。求法与步骤：,矩阵A和JA的特征值相等,细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有,Jordan链条，y2，ynj,特征向量,广义特征向量,方法步骤：,由特征值i的代数重数确定主对角线元素是的i的Jordan矩阵J(i)的阶数。由特征值i对应的线性无关的特征向量的个数确定J(i)中Jordan块的个数由特征向量求得的Jordan链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA,例题1(p44，例题5)例题2(p45，例题6),例题3将矩阵A化为Jordan矩阵。,例题4(p46，例题7),2.3最小多项式(minimalpolynomials),讨论n阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法,一、矩阵多项式定义,2.性质（定理2.7）AX=0Xg(A)X=g(0)XP-1AP=BP-1g(A)P=g(B),3矩阵多项式g(A)的计算方法：,mr,g（J）的结构特点：由第一行的元素生成,Jordan块,例题1设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解,二、矩阵的化零多项式(AnnihilatingpolynomialsofMatrices),问题：AFnn，A0，是否存在非零多项式g（），使得g(A)=0？化零多项式（P.52）如果g(A)=0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（A）=0的决定因素。存在性问题。Cayley-Hamilton定理（P.52，定理、2.7）：AFnn，f()=det(IA)，则f(A)=0。Cayley定理的应用举例：使Ak(kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（0）0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f(T)=0，即f（T）为零变换。,三、最小多项式,1定义（P.54，定义2.5）mA（）是最小多项式,mA（A）=0mA（）在化零多项式中次数最低。mA（）最高次项系数是1。mA（）整除任何化零多项式,2mA（）的结构：设f（）=IA=,定理2.8：mA（）=,定理2.9：mA（）=是i对应的Jordan块的指数。,P.54,3变换对角矩阵表示的条件定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1（P.56，eg10）例题2设AR44，mA（)=,求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。,例题3设是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。,相似问题中的一些矩阵结果,1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）：A2=A幂零矩阵（nilpotent）：A0，k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）：A2=I,A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。,A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵,A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵,2(p47，例题8)设A为阶方阵，证明矩阵A和AT相似。证明思想：证明A和AT相似证明Jordan矩阵JA和JAT相似证明JA和JAT的Jordan块J和JT相似。证明方法：取逆向单位矩阵S，证明：SJ=JTS（backwardidentity）,3、矩阵A，AT，A和AHA,设A为n阶方阵，则下列结果成立：矩阵A相似于矩阵AT矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的Jordan块以共轭对出现。矩阵AHA相似于矩阵AAH,4.设矩阵AFmn，矩阵BFnm，则AB和BA的非零特征值相同。,讨论：若A、B都是方阵，AB和BA的特征多项式是否相同？AB和BA的最小多项式