（概率论与数理统计专业论文）arch类模型在应用中的比较分析.pdf

中文摘要 摘要 e n g l e f l 9 8 2 ) 提出的a r c h 模型，对经济时间序列中的条件方差分析十分有 用，a r c h 模型可以很好地刻划金融数据。金融或经济时间序列有一些共同特征。首 先，收益序列没有明显的自相关性，但其平方或绝对值却高度自相关，序列的波动呈聚 集性。其次，收益序列通常有高峰厚尾特征。另外，一些序列有杠杆效应，即对信息反 应的不对称性。 本文首先介绍了正态分布、t 分布、稳定分布及其性质，研究表明t 分布和稳定分 布有高峰厚尾特征。接着介绍了g a r c h 类模型和e g a r c h 类模型，证明了基于t 分布 i 笋j g a r c h ( 1 ，1 ) 模型比基于正态分布的g a r c h ( 1 ，1 ) 模型有更高的峰度。近年来基于稳定分 布的g a r c h 模型常被应用于金融时间序列的建模，从而推广了e g a r c h 模型，得到了基 于稳定分布的e g a r c h 模型，给出了该过程有平稳解的一个充分条件。随后，介绍了分 布和模型的拟合优度检验方法，其中由p p 图和q q 图的比较得到p p 图是一种更具解释性的 拟合优度检验方法。在p p 图的应用中。检验了对数收益的无条件方差的分布和a r c h 类 模型。 在赛亚研究中，利用p p 图和其它检验方法得到金融资产的对数收益时间序列有高 峰厚尾和a r c h 效应。通过模型的比较分析，得到基于稳定分布的a r c h 类模型比基于 正态分布、t 分布的a r c h 类模型能更好地刻划金融时间序列的特征。尤其通过对数收益 的v a r 的比较得到基于稳定分布的a r c h 类模型能更好评估风险。由殷指的v a r 的比较分 析可以得到沪深两市比港美股市蕴含着更大的风险。最后利用a r c h 类模型预测了深证成 指的周波动性并比较了预测效果，结果表明了基于稳定分布f 臼a r c h 类模型的预测效果优 于其它模型。 第1 页，共4 4 页 a b s t r a c t t h ea u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t j c ( a r c h ) c l a s so fm o d e l sf o rc o n d i t i o n a l v a r i a n c e sw a s p u tf o r w a r db ye n g l e ( 1 9 8 2 ) p r o v e d t ob ee x t r e m e l yu s e f u lf o ra n a l y z i n ge c o n o m i c t i m es e r i e s g a r c hm o d e l sh a v eb e e nd e v e l o p e dt oa c c o u n tf o re m p i r i c a lr e g u l a r i t i e si nf i n a n c i a ld a t a m a n yf i n a n c i a lt i m es e r i e sh a v ean u m b e ro fc h a r a c t e r i s t i c si nc o m m o n f i r s t l y , t h e l o g a r i t h m i cr e t u r ns e r i e su s u a l l ys h o w n oo rl i a l ea u t o c o r r e l a t i o n ，w h e r e a st h es q u a r e dv a l u e so r a b s o l u t ev a l u e so f t h es e r i e sh a v eh i g ha u t o c o r r e l a t i o n v j l a t i l i t yo f t h er e t u r ns e r i e sa p p e a r st ob e c l u s t e r e d s e c o n d l y , n o r m a f i t y h a st ob er e j e c t e df r e q u e n t l yi nf a v o ro f s o m et h i c k m i l e dd i s t r i b u - t i o n s t h i r d l y , s o m es e r i e se x h i b i ts o c a l l e dl e v e r a g ee f f e c t s ，t h a ti s ，c h a n g e si ns t o c kp r i c e st e n d t on e g a t i v e l yc o r r e l a t e dw i t hc h a n g e si nv o l a t i l i t y 1 1 1 en o r m a l s t u d e n t sta n ds t a b l ep a r e t i a nd i s t r i b u t i o n sw i t ht h e i rc h a r a c t e r i s t i c sa r ef i r s t l y i n t r o d u c e d r e s e a r c hi n d i c a t e s 也a ts t u d e n t sta n ds t a b l ep a r e t a i nd i s t r i b u t i o n sh a v et h ec h a r a c t e r - i s t i e so f l e p t o k u r t o s i s s e c o n d l y , g a r c h a n de g a r c hc l a s so f m o d e l sf o rf i n a n c i a lt i m es e r i e s 缸ei n t r o d u c e d i ti sp r o v e dt h a tg a r c h ( 1 ，1 ) w i t hs t u d e n t sti n n o v a t i o ni sl l l o r eo fl e p t o l e a r t o s i st h 髓g a r c h ( 1 ，1 ) w i t hn o r m a li n n o v a t i o n t h eu s eo f g a r c hm o d e l sw i t hs t a b l ep a r e t l a n i n n o v a t i o n si nf i n a n c i a lm o d e l l i n gh a sb e e nr e c e n t l ys u g g e s t e di nt h el i t e r a t u r e t h ee x t e n s i o no f e g a r c hm o d e lw i t hs t a b l ep a r e t i a nd i s t r i b u t i o na n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es t a t i o n a r i t ya r e p u t f o r w a r d s u b s e q u e n t l y , t h e m e t h o d s o f g o o d n e s s - o f - f i t t e s t o f d i s t r i b u t i o n a n d m o d e l a l e i n t r o d u c e d i ti sf o u n df r o mt h ec o m p a r i s o no f p p p l o ta n dq qp l o t t h a tp p p l o ti sa m o r e i n t e r p r e t a b l e g r a p h i c a lg o o d n e s s - o f - f i tt e s t i nt h ea p p l i c a t i o no f p pp l o t s ，u n c o n d i t i o n a lv a r i a n c ed i s t r i b u t i o n o f l o g a f i t h n a i cr e t u r na n da r c ht y p em o d e l s a r et e s t e d i nt h ee m p i r i c a la n a l y s i s ，p pp l o to ro t h e rt e s tm e t h o d ss h o wt h a tl o g a r i t h m i cr e t u r nt i m es e r i e so f f i n a n c i a la s s e t sh a v el e p t o k u r t o s i sa n dh e t e r o s k e d a s t i c i t y i ti sf o u n df r o mt h ec o m p a r i s o n t h a tt h ea r c h t y p em o d e l sw i t hs t a b l ep a r c t i a ni n n o v a t i o ni sm o r ec a p a b l et oc a p t u r ec h a r a c t e r - i s t i e so ff i n a n c i a lt i m es e r i e st h a na r c h t y p em o d e l sw i t hn o r m a ja n ds t u d e n t sti n n o v a t i o n s s p e c i a l l y , a r c ht y p em o d e l sw i t hs t a b l ep a r e t i a ni n n o v a t i o n sc a l lb e t t e ra s s e tr i s ki nt e r m so f c a l c u l a t i n gv a i l o f f i n a n c i a ll o g a r i t h m i cr e t u m t h ec o m p a r i s o no f 凇o f s t o c ki n d i c e si n d i c a t e s t h a tt h er i s ko f s h a n g h a is t o c km a r k e ta n ds h e n z h e ns t o c km a r k e ta r el a r g e rt h a nh o n g k o n gs t o c k m a r k e ta n da m e r i c a ns t o c km a r k e t i nt h ee n d ，t h i sp a p e re x a m i n et h ef o r e c a s t i n gp e r f o r m a n c e o fa r c h t y p em o d e l sf o rt h ew e e k l ys h e n z h e ns t o c km a r k e tv o l a t i l i t y t h er e s u l t ss u g g e s tt h a t a r c h t y p ep r o c e s s e sd r i v e nb y s t a b l ed i s t r i b u t i o ni sm o r ee f f e c t i v et h a nt h eo t h e r s 第一章引言 第一章引言 在分析经济时间序列过程中经常见到这样的现象。一个平稳零均值的时间序列显然 平稳的，但其方差的变化呈现一定的规律性，这就是较大的方差族往往后跟着另个较 大的方差族。在进行时间序列模型分析后，也往往发现所得的残差项虽然是不相关的， 但残差项的平方或绝对值却呈现较为显著的相关性，这说明残差项的二阶矩或绝对值之 间存在关系。 在实证研究中，如在投资分析和投资风险分析时也存在不确定性分析问题。比如一 般股票的收益率往往同该种股票的风险有关，风险具有较大的不确定性。如何使用风险 的不确定性规律来改进对股票收益率的预测显然是一个非常有意义的问题。于是，如 何度量并模拟这些不确定性，并利用其进行经济分析和改进模型就成为一个重要的课 题。a r c h 模型提供了一种解决这类问题的办法。 1 刍e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出p 衄h 模型 1 】以来，a r c h 模型得到很大的发展。b o l l e r s | e v ( 1 9 8 6 ) 又 提出了g a r c h 模型吼b o l l e r s l e v ( 1 9 8 7 ) 叉提出 t a r c h 模型f 3 】。实践中大多数金融数据 序列的收益分布较正态分布而言，有高峰厚尾特征。而g a r c h 模型有助于刻划这种现 象。由于g 唑g 望垫型堡塞自! 壁查差量重圭垂差垩五崖l 耐殴，因此残差的符号不影响波 动，即条件方差对正的价格变化和负的变化的反应是对称的。实践中，研究人员发现， 当坏消息出现时，波动趋于增大，当好消息出现时，波动趋于减小。g a r c h 模型不能 解释这种现象。为了刻划消息的不对称影响，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了指数g a r c h ( e g a r c m 模型【4 l 口g l o s t e n ，j a g a t m a t h a n & r u n l d e ( 1 9 9 3 ) 通过引入了一个“哑”变量提出了g j r 模 型【s 】。d i n g ，g r a n g e r e n g l e ( 1 9 9 3 ) 虑到了杠杆效应通过引入非对称参数又提出了有偏 幂a r c h ( a _ p a r c h ) 模型旧。本文推广t e g a r c h 模型，主要是考虑到稳定分布不存在二 ! 嗲，所以奄焦型主塑基垂墅臼燮盛丕丕量堡塞塑堑垒盟垂。 熏塑里鱼坚曼曼幽垩整些哩 一 这样就解决了基于稳定分 晟近几年，g a r c h 类模型在实际应用中得到广泛的应用，如：金融资产收益模型研 究( 参见文献【7 【8 】) 虽然平稳的基于正态分布的g a r c h 模型比正态分布有更高的峰度， 但实证研究发现对金融收益数据利用g a r c h 模型进行建模后的残差仍有相当的峰度，为 弥补其不足，在某些文献中对于g a r c h 的更新采用了厚尾分布，常用的分布有t 分布 9 】、 广义误差分布( g e d ) ( n e l s o n ，1 9 9 0 ) 、混合正态分布【”】、g r a m c h a r l i e r 型分布、广义t 分 布 ”1 、广义有偏t 分布【1 3 j 、正态p o i s s o n 混合分布和正态对数正态混合分布。只是近 来稳定分布被应用于资产收益的条件异方差建模( 特殊情形可参见b 6 1 9 ，一般情形可 参见 2 0 - 2 3 ) a 在诸多分布中，稳定分布是令人头痛的，因为它在一般场合下没有显式 表示密度函数和累积分布函数，但同时它又是最吸引人的，因为它是唯一个具有吸引 第1 页，共4 4 页 场的分布族，即独立同分布随机变量的和收敛到稳定分布。另外稳定分布的四个参数分 别代表了位置、刻度、峰度、偏度。因此它能较灵活地反映了经济或金融时间序列收 益f 或残差) 分布中的峰态或偏性。在实际应用中，基于有偏稳定分布的g a r c h 模型比基 于对称t 分布的g a r c h 类模型更适合。本文首先比较了基于正态分布、t 分布、稳定分布 的g a r c h 年 i e g a r c h 模型。得到基于稳定分布的a r c h 类模型更能刻划市场的波动。接 着运用基于稳定分布的a r c h 类模型对股票市场进行了初步研究和计算了风险值( v a r ) 。 通过v a r 比较了上证指数、深证成指、香港恒生指数和美国道琼斯3 0 指数四种指数的风险 大小。在模型的均值方程中把条件标准差引进模型字，从而修正工氓的值，主要是考虑 了风险的补偿和回报。这样更好地刻划了市场的信息。最后研究了深证成指的周波动预 测，结果表明莲王整塞坌查的盟腿g 廷耋拦型鳇夏堑些型型金魁间燮波动性。 拟合优度检验在统计理论中有其特殊地位，而且和实际应用有密切的关系。众所 周知，参数估计和假设检验总是在总体分布是一定类型的条件下展开其讨论的。就 是对总体分布要求很少的非参数方法，也是在总体分布满足一定条件下讨论各类问题 的。统计理论( 如线性模型和方差分析) 的问题总是在观察值的分布或模型的残差f 扰 动) 属于特定分布的前提下讨论的。在用统计方法处理实际问题时，也总是先选定一 统计模型，按该模型的理论处理这些问题。那么，如何从实际数据出发确定总体或模 型的残差所属的分布呢? 除基于统计量的拟合优度检验方法( 如y 2 检验，k o l m o g o r o v - s m i m o v d 检验，详见 2 4 1 ) 外，图形法是一种直观的、简单的、优良的方法，常用的统计 软件( 女n s a s 、s p s s ) 和数学软件( m a t l a b ) 仅给出正态分布的q q 图来进行拟合检验的。文 献 2 5 1 提出了更具优良的稳定化p p 图( 简称p p 图) ，但仅对正态性检验进行了研究。本文给 堂i ! 盆查独望星筮互笪墼图，并旦旦塑圉堕土垂堡垒塑塾垫堡适盛堂的殖数控益壅堕坌 查进行工趄佥述鏖捡验。在a r c h 类模型的充分性检验中，本文提出用统计量d 。，和p p 图 进行检验。实践表明p p 图是一种直观的、具有很好解释性的工具。 第2 页，共4 4 页 第二章分布及其性质 2 1基本概念 第二章分布及其性质 定义2 1 ：设随机变量x 有二阶和三阶中心矩：卢2 = 口2 = d ( x ) ，卢3 = e ( x e ( x ) ) 3 ，则称岛= s ( x ) = p 。矿为随机变量x 的偏度( 或偏度系数) 。岛 o 表示密 度曲线是正偏态的，岛 2 ) 。 在经济时间序列分析中经常用到下面的标准t 分布。令 x 忽2 顽i 酉 可以得到标准t 分布( 以下简称为t 分布) 的密度函数 脚，= 瑞辫， 这里 2 ，有e ( i 盈1 ) = 筹踹，盈的r 阶矩为 尬蛐雠) = 堕铲 t 1 r ! ! 三、 蛆2 而 仁州，+ 两x 2 尸出 第3 页，共4 4 页 ( 2 一1 ) ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 2 4 稳定分布 令1 + 篙= “，可得 m = 再铆= ：，则 打r ( ；)”c u 尬= 学z 1 t 孚 最后，利用b e t a 分布的性质 黼1 x o - 1 ( - 叫 如= ， r ( a ) r ( 口) 、“7 1 砟可以化为公式( 2 3 ) 的情形。 图2 - 1 t 分布的概率密度图 t 分布的偏度s 慨) = 0 ，峰度为 耳( 幺) = 至潞= e ( 刁) =墨粤( 2 - 4 ) 4p 一 从图2 一l 可以看出随着”的减小，分布的高峰厚尾的特征更加明显。所以”是刻划t 分布 尾部的指数。 2 4 稳定分布 1 、定义与表示形式 第4 页 盐4 4 页 第二章分布及其性质 定义2 0 、b 足且 其中s i g n ( 定义2 4 ：称随机变量x 服从稳定分布s ( 口，p ，7 ，6 ；0 ) 吲，若 x 皇v ( z - f l 洫孙6 ：兰 x 有特征函数 e e x p ( i u x j = e x p ( 一1 “l 乱i 。【1 + i f l f ( u ，n ，1 ) + i 5 u ) 1 ) 其中 m a 舻 鬈：粼黔。u 曙： 当，y = 1 ，6 = o 时，分布是标准化的，即s ( 口，1 ，0 ；0 ) ，简记为s ( n ，卢；0 ) 定义2 5 ：随机变量墨是s ( q ，卢，7 ，5 1 ；1 ) ，若： x ，皇【7 t z z + + n 8 1 + p ；7 ，n 7 ) ：兰： x 有特征函数： e e x p ( i u x j ) = e x p ( 一7 。阻f 。 1 一i 励( ，。) 】+ i 巩“) 其中 咖，垆旧t a n 。i 茎黜：絮： 0 2 5 1 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) r 2 - s ) ( 2 - 9 ) ( 2 一l o ) ( 2 1 1 ) 特别地，当7 = 1 ，6 = 0 时，分布是标准化的，即s ( o ，卢，1 ，0 ；1 ) 。简记为s ( o ，p ；1 ) 。 稳定分布只有三种分布有直接的解析表达式。具体为： ( 1 ) 正态分布：v ( p ，口2 ) = s ( 2 ，0 ，口 j ，p ；0 ) = s ( 2 ，0 ，o 以，p ，1 ) 其密度函数为 m ) = 丽1e x p ( _ 警) ，一o 。 z 。o ( 2 j 2 ) 第5 页，共4 4 页 2 4 稳定分布 其累积分布函数是f ( z ) = p ( xsz ) = 西( ! ) ，这里西( 。) = 标准正态随机变量小于或等 于z 的概率。 ( 2 ) c a u c h y j ) ：f f i ：c a u c h y ( 7 ，d ) 一s ( 1 ，0 ，y ，d i 0 ) = s ( 1 ，0 ，m5 i l ) ，其密度函数为 ，( z ) 1 吖 0 0 z 。o ( 2 13 ) 其累积分布函数是f ( z ) = 4 - a r c t a n ( ! ) a ( 3 ) l 6 v y 分布：l 6 v y ( 7 ，j ) = s ( j ，i ，1 ，t i ) = s ( ；，1 ，1 ，j + ，y ；o ) ，其密度函数为 m ) 2 丢志e x p ( 一南锄一( 2 - 1 4 ) 其累积分布函数为f ( z ) = 圣( 、；与) 。 2 、稳定分布的性质 稳定分布各个参数的意义如下： 1 ) a 为特征指数，0 0 意味着分布向左偏，卢 o ，它反映了随机变量的量纲变化。 4 ) 6 ，6 ，为分布的位置参数，它反映了分布的具体位置。 下面研究一下两种定义的关系及其分析性质。当n 一1 时，夕( u ，) 不连续， 但，( u ，口，- r ) 连续。事实上 曼m ，州) = 磐s 酬谢 = l i r as i g n 错 ：2 1 n ( 7 ：，( u ，l ，7 ) 7 r 由此说明s ( 口，卢，7 ，毋0 ) 比s ( 。，鼠7 ，岛；1 ) 有更好的分析性质。从而s ( n ，鼠j ；o ) 的密 度函数、随机数等容易计算。 两种定义对于o ，p ，7 的意义是相同的。从图2 2 和图2 3 可以看出，对于相同的口两 种定义的稳定分布的密度函数的形状是相同的，而位置的不同，这是因为形状是由参 数n ，卢决定的。另外，也可以看出，随着。的减小，分布的尾部变厚和峰度变高，所以稳 第6 页共4 4 页 第二章分布及其性质 ( a ) 图+ 2 - 2 s ( n ，o 5 ；o ) 的密度函数 ( a ) 图2 - 3 s 恤，o 5 ；1 ) 的密度函数 第7 页，共4 4 页 24 稳足分布 定分布能更好的刻划金融数据的高峰厚尾特征。6 与西有如下关系 a = 黜1 1 b 【6 l + p ；1 l n ( 7 ) ，o = 卜7 当盈服从稳定分布，有 je l z i “= o ( 3 ，d o 【e 4 。，d n 于是，当o 0 1 1 时，v a r ( z t ) = 0 0 ，仅当1 n 2 时，e l z t i 。，即说明盈不存在 比。更高阶的矩。 当1 a 2 和0 d 2 ，e i z , i 。有精确的表达式 a n 属“：= e l z , 1 8 = 面1r ( 1 一兰) ( 1 + ，口) 击c 。s 罢”c t a n ，口( 2 - 1 6 ) 这里月= 3 t a n ( q 2 ) 亿= ；q 一回c o s 警：喜：兰： 3 、模拟 在这里u ，仉，巩表示来u n i f o r m ( 0 ，1 ) 的独立随机变量。对三种特殊的稳定分布有简 单的方法产生其随机数。众所周知，对于正态分布 x l = 肛+ o x 一2 i n u xc 0 8 ( 2 7 ：巩) 恐2 p + 口 一2 1 1 1 0 2 s i n ( 2 7 r ) ( 2 1 7 ) 可以产生两个独立的( 地a 2 ) 的随机变量。 c a u e h y 分布c a u c h y ( ，) , ，6 ) 的随机数可由下式产生 1 x = 7 t a n ( r ( u 一；) ) + 5( 2 1 8 ) l 6 v y ? - 布l 6 v y ( 7 ，6 ) 可由 x 2 7 云“( 2 - 1 9 ) 产生，其中z n ( 0 ，1 ) 。 对于一般稳定分布情形，c h a m b e r s 等( 1 9 7 6 ) 给出了其随机数的模拟方法。 定理：( 稳定分布随机数发生器【2 9 】) 令0 和w 相互独立，0 是( 一j ， ) 上的均匀分布，w 是均值为1 的指数分布，0 o 为也一l 的可测函数，记 为a r c h 。由定义，e 。是序列不相关具有零均值。但它的条件方差等于。 b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出的广义a r c h ( g a r c h ) 模型，其条件方差函数为 砰= n o + 啦最；+ 岛 ( 3 _ 4 ) i = l j = l 记为g a r c h ，g ) 。使用后移或滞后算子b 上式可表示为 砖= o 日+ a ( b ) e ；十p ( b ) 露， ( 3 5 ) 其中 a ( b ) ；a l b + 0 2 口2 + + b 9 ， 卢( b ) = 卢1 b + 皮b 2 + + 岛b 9 根据方程( 3 _ 4 ) ，直观上有g a r c h 模型是基于无限a r c h 模型得到的。若多项式1 一 z ( b ) = 0 的所有根都落在单位圆外，则 砖= 。o ( 1 一芦( b ) ) 一1 + n ( b ) ( 1 一卢( b ) ) 一1 0 ； = f 百十扣己。 一1 一p ，一一岛毛j ”“。 因此g a r c h ( p ，口) 过程可视为a r c h ( o o ) 过程。 第l o 页，共4 4 页 星三皇全壁堕望生! ! 堡型： ：=： 3 2 g a r c h ( 1 ，1 ) 的性质 在实证研究中，最常用的是p = 1 ，和g = 1 时的g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，即 i 龟u t 2 2 ：忽o 以0 j r 。1 ( 21 + 卢。乙， ( 3 。6 ) 其中盈是独立同分布过程，且e ( 施) = 0 ，v a r ( z t ) = 1 。参数：a o 0 ，a 1 0 ，岛 d ，q l + p l 1 。 由式( 3 6 ) 得 于是 仃；= 凸缸+ 口1 毒l 盯乙l 十z , o l l = a o + ( d l z 2 1 + 卢1 ) 盯 1 = d o + o o ( 1 乏1 + 角) + ( o i l 毒l + n ) ( d l 互2 2 + 历) 吐2 j = n o + o t o 【( 衄毒；+ 岛) g ( a ；) ia 。+ 硅。f 和e ( z 各t ) + 伍) j i = 1i = 1 = 锄十锄( o l + 屈) j i = l ： ! 生百 (37)1 一啦一历 ”7 对口；= a o 十a ，0 1 + 历程一。两边平方得 考= 。：+ q 1 2 t t 4 1 + p 1 2 盯4 一l + 2 a l 卢1 e 2 - l 吐1 + 2 c f o c r le 0 1 十2 0 0 岛盯己1 注意到盈和砰是独立的，用2 t 矶代替缸再求斯望得 e ( 4 ) = 嗣+ n ；e ( 毒，吐，) + 辟e ( 吐，) + 2 q 1 岛e ( z 1 1 盯0 1 ) + 2 a oo f l e ( z 王1 仃2 1 ) + 2 a o 岛e ( 仃乙1 ) = 。；+ a ；e ( 圣，) e ( o l ，) + 所e ( 一- ：) + 2 q 。卢，目( 乏l 。) e ( o l 。) + 2 。o o ，e ( z l ，) e ( o l ，) + 2 a 。p 。e ( 0 5 ，) = 。：+ ( q ：e ( 乏2 ) + 2 & l ，8 i + 群) e ( 盯0 j ) + 2 c r 。( o i + p i ) e ( 口乏t ) 第l1 页，共4 4 页 3 2g a r c h ( 1 ，1 ) 的性质 因为 一；) 是平衡过程 ，) 所1 一a ；e ( z 0 ，) 一2 a 1 卢 0 3 ( 14 - o t 】+ 卢1 ) ( 1 一- 一臃) ( 1 一o e ( z 0 ，) 一2 q - 岛一声；) 当e 一n - g a r c h ( 1 ，1 ) 时，e ( z 0 1 ) = 3 ，从而 即肛f 石蒜鸶# 岛 因此，当3 a i + 2 q 1 l 臼l + 厮 3 。 这说明基于正态分布的g a r c h 0 9 ，曲模型比正态分布有更高的蜂度。 当白t g a r c h ( 1 ，1 ) 时，因为 耐) = 坚铲：等 ( 3 - 1 3 ) 进一步可以得到e ：的峰度： 川= 等。日和f 1 - - 丽( ( 2 1 j q - i l l 雨) 2 丽确 ( 3 - 1 4 ) 易得当 4 时，基于t 分布的g a r c h ( 1 ，1 ) 模型( “弘r c h ) 比基于正态分布的g a r c h ( 】，1 ) 模型( n g a r c h ) 有更高的峰度。所以在实证研究中t g a r c h 模型能够更好地刻划金 融魏据的高蝰厚尾特秆。 第1 2 页，共4 4 页 此耳周鲫 卵+ e 沁 】| 4 “ 跏 掣舞瓣 塑卜 第三章金融时间序列模型 3 3e g a r c h 模型 实践中大多数金融时f 司序列的分布较正态分布而言有高峰厚尾特i 正。而g a r c h 型 有助于刻划这种现象。由于g a r c h 模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此 残差的符号不影响波动，即条件方差对正的价格变化和负的变化的反应是对称的。 然而实践中，研究人员发现，当还照! 垦埠婴堕，选垫趋乏增大，当妊媸患巡塑堕， 波动趋于减小。显然g a r c h 模型不能解释这种现象。为了刻划对消息反应的不对称 性，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了指数g a r c h ( e g a r c h ) 模型，其条件方差函数为 口口p i n a t 2 = n o 十z t t + 【l z t j i e l z t j l 】+ 风i n ( a l ) ，( 3 - 1 5 ) t = 1 j = l 詹= l 其中参数o t o ，啦( i = 1 ，2 ，q ，口o ) ，风( k = 1 ，2 ，p ，p 0 ) ，和0 = 1 ，2 ，口，q q 、。 对于e g a r c h 0 ，口) 模型，在式( 3 1 5 ) 中，如果a ， 0 ，则当e t 一沩负时，方差趋向于增 大，当龟一，为正时，方差趋向于减小，因此可用来模拟负相关现象。这样，e g a r c h ( r ，0 模型不仅可以反应过去残差的数量对波动的影响，而且可以反应出其符号对波动的影 响，因此更适合于资产定价方面的应用。因为l n 砖是一线性过程，所以其平稳性比较客 易判断，如果l n 砰序列是平稳的，则表明外界的冲击是暂时的。 在实证研究中，通常只用e g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，其条件方差函数为 i n ( 砰) = a o + a 1 忽一z + 7 - ( 1 魂一- j 一_ e l 魂一- 1 ) 十p 1i n ( 吐，) ( 3 1 6 ) 其中劬，a l ，胁，7 l 为参数。在实际计算中，通常添加约束条件一1 n o ，o t l , 岛，m l 时& l 口- g a r c h ，口) 模型平稳的充分必 要条件为 gp 。，e + b 1 i = i j = 1 定y 3 - 2 ：序列如) 为来自础矿g a r c h ( p ，g ) 过程【1 8 2 1 ，”1 ( 简记为s g a r c h ) ，若条件方 差函数为 qp 一? = 。+ a t l e t - - i + 岛吐j ( 3 - 1 8 ) i = 1 j = 1 m i t m i k 等( 2 0 0 2 ) 得到当墨1 啦e 盈 d + 笔1 岛 l 时础, 8 - g a r c h 扫，口) 过程有唯一的 严平稳解，这里假定：1 0 ，啦三o ( i = 1 ，2 ，g g 1 ) ，岛兰0 ( j = 1 ，2 ，b p o ) ，0 d o t 。可以看出，口一g a r c h ( p ，g ) 模型是础, z - g a r c h ( p ，d 模型的 特例。 在实际应用中，如股价指数和货币的研究中( 参l m i t t m k 等，1 9 9 8 ，2 0 0 0 ) g i $ ) l t l 0 1 0 d 。a 口。的无条件期望为 在实际计算时，通常添加约束条件一1 1 ， 在实证分析中，若考虑收益率的风险调整和风险补偿，可以让条件方差函数巩进入模 型的均值方程( 可参见x n f 3 6 j ) 。因此可以假设序列 轨) 的条件均值方程为 玑= 上+ m o t + 白 ( 3 - 2 6 ) 这样就可以得到相应的髭圹e g a r c h - m 模型和其它的a r c h 类模型。 3 5 参数估计 通常用极大似然黼a r c h 类模型( 3 1 ) 与( 3 2 ) ，假设钳是独立同分布标准化更新过 程，d ( 忽，口) 表示它们的密度函数，t 表示样本的观察数目。则序列恤( p ) ) 的对数似然函 数为 工( 协) ；日) = h ad ( z t ；o ) 一l n 吼( 日) 】( 3 - 2 7 ) 这里口是关于模型和分布中的参数向量，其极大似然估计是由( 3 2 7 ) 式最大化得到的。 对于基于正态分布的p 皿c h 类模型，盈n ( o ，1 ) ，则对数似然函数为 l n ( o ) = 陋柏o t 。1 ) 一i n a t 】 一；宴 1 n ( 2 卅l n ( 砰) + 篓】 仔2 8 ) =l 这里咖( ) 是标准正态概率密度函数( p d f ) 。 对于基于t 分布的a r c h 类模型，五表示一个具有零均值，方差为l 和自由度为p 的t 分 布( 即z ( 0 ，l ，) ) ，则对数似然函数为 厶( = h l n f r ( 掣) 1 n f r ( ；) 卜o5 1 n 一2 ) 】) 第15 页，共4 4 页 ，2 0d 卜 盯n kp ， + 1 ze 一 一 z w 。纠 + 一 za 。 + a = d c 盯n 3 ，5 参数估计 嘶p tn 蠢+ ( 1 驯州，+ 菇与) ( 3 - z ，) 其中参数v 表示自由度，2 。，r ( - ) 是g a m m a 函数，t 分布的尾部的厚度随的增长而 下降。 最后对于基于稳定分布的a r c h 类模型，由于稳定分布的概率密度函数没有解析 表达式，所以参数的似然函数很难获得。例如对口- g a r c h ( 1 ，i ) 模型的参数向量o = ( p ，n o ，a ，卢，a ，卢，d ) 的极大似然估计( m l e ) 是通过对数似然函数 b ( 0 ；e l ，e t ) 耳跏(警)1= 。 ( 3 3 0 ) 的最大化获得的。其中稳定分布的密度函数畿，口( ! 譬) 只能用其近似得到，所以其m l e 也 是近似的。其算法是m i t t n i k 等旧提出的。 苎! 娜近似叠到稳定分市鲍童应函擞a 方法是通过翌墼函数进行快速f 砌e r 挛 d u m o u c h e l t 3 8 】证明了稳定分布的密度函数 的m l e 是一致渐近正态的，其渐近方差矩阵是由f i s h e r 信息阵的逆阵得到的。参数的近似 标准误差是f h h e s s i a n 矩阵的数值近似获得。 第1 6 页盐4 4 页 第四章拟台优度检验 第四章拟合优度检验 4 1p p 图及其应用 拟合优度检验在统计理论中有其特殊地位，而且和实际应用有密切的关系。众所 周知，参数估计和假设检验总是在总体分布是一定类型的条件下展开其讨论的。就 是对总体分布要求很少的非参数方法，也是在总体分布满足一定条件下讨论各类问题 的。统计理论( 如线性模型和方差分析) 的问题总是在观察值的分布或模型的残差( 扰 动) 属于特定分布的前提下i 寸论的。在用统计方法处理实际问题时，也总是先选定一 统计模型，按该模型的理论处理这些问题。那么，如何从实际数据出发确定总体或模 型的残差所属的分布呢? 除基于统计量的拟合优度检验方法( 如x 2 检验，k o l m o g o r o v s m i r n o vd 检验，详见【2 4 ) 外，图形法是一种直观的、简单的、优良的方法，常用的统计 软件( 如s a s 、s p s s ) 和数学软件( m a t l a b ) 仅给出正态分布的q q 图来进行拟合检验的。文 献 2 5 】提出了更具优良的稳定化p p i 蛩( 简称p p 图) ，但仅对正态性检验进行了研究。本文比 较了t 分布和稳定分布的p p 图和q q 图，得出p p 图是一种直观的、具有很好解释性的检验 工具。 4 。1 】p p 图和q q 图的构成 设随机变量y 服从位置一刻度参数分布，其分布函数为昂( 2 ) ，一 肛 0 ， 其中胁为位置参数，赫为刻度参数，并称蜀( - ) 为标准分布。记= 岛( 2 ) ，则勰 从( o ，1 ) 上的均匀分布u ( o ，1 ) ，从而得到 y = 弘+ 口疗1 ( u ) ( 4 一i ) 设l y 2 曼为来自分布f d ( 2 ) 的容量为n 的次序统计量，“l 牡2 为 来自均匀