（概率论与数理统计专业论文）二维线性系统脉冲传递函数估计的渐近性质.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：在自动控制、无线电技术、机械振动等方面，经常遇到的随机过程是与” 系统”相联系的，而且估计和识别线性系统特征也是无线电物理学、水声探测学、 地震学、生物学、医学等诸学科研究的主要课题之一概率论在线性系统理论研 究方面有广泛的应用本文就是运用随机过程和谱分析的方法对二维线性系统的 脉冲传递函数进行估计，并讨论了二维线性系统脉冲传递函数估计的性质 本文共分为四章： 第一章中综述了本文所研究课题的背景、发展现况，给出必要用到的基本概 念和需要引用的已知结论，并给出了脉冲传递函数的估计量磁拿o ” 第二章中引进了与脉冲传递函数估计量密切相关的随机过程z 羚朋，并给出 了它的相关函数及其性质 第三章中研究了过程z 等，聊的有限维分布的渐近正态性，证明了估计量王尝，) 是渐近无偏估计，并且讨论了估计误差州 一) 的有限维分布的渐近正态性，给出 了其渐近正态性存在的条件 第四章中讨论了过程z 等，- ，叫争，朋在连续函数空间上的渐近正态性，给出了 它们渐近正态性存在的条件 关键词：脉冲传递函数；高斯过程； 渐近正态性； 渐近无偏性；估计量 分类号：0 2 1 1 6 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：i ns o m ef i e l d s ，s u c ha sa u t o m a t i cc o n t r o l ，r a d i ot e c h n o l o g y , m e - c h a n i c a lv i b r a t i o n s ，w ef r e q u e n t l ym e e tt h es t o c h a s t i cp r o c e s sw h i c hi sr e l a t e sw i t h ”s y s t e m ”，m o r e o v e rt h ee s t i m a t i o na n dt h er e c o g n i t i o nl i n e a rs y s t e mc h a r a c t e r - i s t i ca l s oi st h em a i nr e s e a r c ht o p i c sw h i c he x t e n s i v e l ya p p l i e di nt h er a d i op h y s i c s ， t h eu n d e r w a t e rs o u n ds u r v e ys t u d y , t h es e i s m o g r a p h y , t h eb i o l o g y , t h em e d i c i n e a n ds oo n t h et h e o r yo fp r o b a b i l i t yh a st h ew i d e s p r e a da p p l i c a t i o ni nt h ea s p e c t o ft h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c ho ft h el i n e a rs y s t e m t h i 8p a p e rm a l n l yu t i l i ：z e st h e m e t h o d so ft h es t o c h a s t i cp r o c e s so ft h es p e c t r u ma n a l y s i st oe s t i m a t et h ei m p u l s e t r a n s f e rf u n c t i o no ft h et w o - d i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m ，a n dd i s c u s st h ep r o p e r t yo f t h ee s t i m a t i o no fi m p u l s et r a n s f e rf u n c t i o no ft h et w o - d i m e n s i o n a ll i n c a rs y s t e m p a p e rd i v i d e si n t of o u rc h a p t e r s ： i nf i r s tc h a p t e r ，w es u m m a r i z et h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，p r e s e n td e v e l o p m e n t s i t u a t i o na n dw eg i v et h eb a s i cc o n c e p ta n dk n o w nc o n c l u s i o n sw h i c hw en e e dt o q u o t e a tl a s tw eg i v et h ee s t i m a t i o no ft h ei m p u l s et r a n s f e rf u n c t i o n h k ( 争) i ns e c o n dc h a p t e r w ei n t r o d u c et h es t o c h a s t i cp r o c e s s z ( 争，聊w h i c hi sc l o s e l y r e l a t e dw i t ht h ee s t i m a t i o no ft h ei m p u l s et r a n s f e rf u n c t i o n ，a n dg i v et h ep r o p e r t y a n dc o r r e l a t i o nf u n c t i o no ft h es t o c h a s t i cp r o c e s s 2 i 拿，哪 i n t h i r dc h a p t e r ，w er e s e a r c ht h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ff i n i t e - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n so ft h ep r o v e s s z 等m ，p r o v et h ee s t i m a t i o n h ( 笋聊i sa s y m p t o t i cu s - b i a s e de s t i m a t i o n ，a l s ow ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ff i n i t e - d i m e n s i o n a l d i s t r i b u t i o n so ft h ee s t i m a t i o ne r r o r 叫 朋ta n dg i v et h ec o n d i t i o nw h i c hm a k e t h ea s y m p t o t i cn o r m m i t yh o l d i nf o u rc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h ep r o c e s sz 筹， 以 i nt h es p a c eo fc o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，a l s og i v et h ec o n d i t i o n sw h i c hm a k e t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yh o l d k e y w o r d s ：i m p u l s et r a n s f e rf u n c t i o n ；g a n s s i a np r o c e s s ；a s y m p t o t i cn o r - m a l i t y ；a s y m p t o t i cu n b i a s e d ；e s t i m a t i o n c l a s s n o ：0 2 1 1 6 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：杏云砘 签字日期：谢年1 2 月如日 导师签名： 力弓i 钞j 签字日期：朋香年，上月矽日 致谢 在北京交通大学两年多的学习和生活中，我得到了很多老师和同学的关心和 帮助，值此毕业之际，我想说一声：谢谢你们! 首先我要衷心地感谢我的导师付俐副教授两年多来对我的悉心指导和谆谆教 诲，本论文的各项工作都是在付老师的悉心指导下完成的两年多来，无论在学 习和生活中，付老师自始自终都给了我极大的支持和帮助付老师严谨求实的治学 态度，精益求精的科研作风和精深渊博的领域知识极大地影响并鞭策了我，是我 不断克服困难，增强学习积极性和信心的动力源泉付老师不仅为指导我的学习和 科研工作倾注了大量盼d 血，还对我的生活给予了无微不至的关心和照顾她经常 给我们讲一些做人的道理使我获益匪浅，她谦虚正直，平易近人的长者风范和对 生活乐观进取的态度不断感染和激励我，使我不断的成熟起来在此，谨向恩师表 示深深的敬意和衷心的感谢! 感谢关心我们成长的学校、学院领导，感谢给我以传道授业解惑的所有老师 们，感谢所有帮助过我的同学和朋友，感谢我同门的师兄妹们，谢谢你们给了我 一个愉快的学习环境，让我的人生又多了一段美好的回忆 感谢二十多年来抚育我成人，支持我完成学业的父母，感谢他们的鼓励和教 诲，他们对我的无私支持和鼓励是我前进的最大源泉和动力 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导 李云丽 2 0 0 6 年1 1 月 于北京交通大学理学院 北京交通大学硕士学位论文1 绪论 1 绪论 在第一章中，我们简单介绍所研究课题的背景，引入本文所用到的一些符号，基 本概念和已知的基本结论，并给出了脉冲传递函数的估计量 1 1 引言 在自动控制、无线电技术、机械振动等方面，经常会遇到的随机过程是与”系 统。相联系的，而对线性系统特征的估计和识别也是无线电物理学、水声探测学、 地震学、生物学、医学等诸学科研究的主要课题之一从七十年代起概率论在线性 系统理论研究方面得到了广泛的应用在【1 】，【2 1 1 3 】，【4 】，【5 】等工作中探讨了对线性系 统脉冲传递函数进行估计和识别的各种统计方法这些工作的不足之处是所研究 的模型都是理想化的”白噪声”模型因此，所得到的研究成果应用性不强 设给定一个物理上可实现的时齐线性系统，它的脉冲传递函数为h ：= ( 日( r ) ， r 功，这就意味着实值函数日满足条件：日( 7 ) = 0 ，7 0 相应地，系统k 对容许输入信号z ( t ) ，t r 的响应甜( t ) 有下列的形式： y ( t ) = h ( t s ) x ( s ) d s ；日( 5 ) 卫o s ) d s ，t 冗 ( 1 1 1 ) j 一j o 也就是说，我们有一个满足输入信号z ( t ) ，t r 的”黑箱”( 见图1 1 ) ，并且有由公 式( 1 1 ，1 ) 确定的系统的输出，t r ，我们希望通过利用系统的输入和输出来估 计函数日的性质 在【6 】中对一维线性系统脉冲传递函数日( 7 ) ，_ r o ( 日( r ) = 0 ，r o ，p 【l ，o o ) 如通常，如( 回一按勒贝格测 度p 次可积的复值函数妒= ( 妒( z ) ，嚣s ) 空间，即： 妒岛( s ) ， 如果 ， i i 妒i i ，= ( i 妒( z ) i ，d z ) ； o o 善 空间4 ( s ) 关于范数是可分的巴纳赫空间。如果p = 2 ，l 2 ( s ) 一希尔伯特空 间；厶。( s ) 一有界函数空问，即： 妒l o o ( s ) ， 如果 i l 妒0 。= s u p i 妒( z ) i 0 ，x o 0 ，c 0 ，且对每一个口存在s _ h 的伪度量几，使得 对任何z ( o ，x o ) 和任何8 ，t s p lk ( 5 ) 一圪( 。) l i 善) 口e x p - b 南) 。k 2 ) 伪度量p 。( t ，8 ) = s u p p 。( t ，s ) ，t ，s s ，关于伪度量p 连续； 3 ) 船8 - 。p ，。h 2 ( s , 5 ) 如= o ， 这里 r a ( 只e ) = 珥。慨e ) 一集合s 关于伪度量儿的熵则对任何q p y ：c ( s ) ) = 1 且对任何 0 l i m 8 u 。p 川。s u 。p 。lk ( 。) 一y o ( 0f 小= 0 附注1 2 1 由c h e b y s h e v - m a r k o v i a n 不等式知，如果将条件：存在b 0 ，c 0 ，且对 每一个a 存在s 上的伪度量几，使得 s u ps 螂u pe 唧 b l 觜i c ) 0 | h i ；( 1 0 ，畦，由d o 则对任何n 0 ，8 ( 0 ，1 ) 有 t s u 灿p s u pe 唧t 老赢措焉蒜，南 这里a 是与s 无关的常数 1 3 脉冲传递函数的估计量 设矗= ( 乃( 。) ，z 月) ，( o ，c o ) ，j ；l ，2 是实值非负函数族，且满足下 列条件： ( 口) 蠢0 ) = z ( 一z ) ，z r ； ( 6 ) 一( z ) 工l ( 冗) ； ( c ) ( 。) 工。( r ) ；且m = m a x s u pj 乃j ，歹= l ，2 ) o 满足条件( 1 3 1 ) ，且还有下列关系式成 i i 蠢i l ，；( 厂”i 办( 丢) i ，出) ；= ；i i 乃i i ，, p - l 巧( t ) ：厂”n 办( 丢) 如= z x b j ( z x t ) 注：若- 兰乃( z ) 如；1 ，则= j ：乃( z ) 如= 巧( o ) 例1 3 2 作为满足条件( 1 3 2 ) 的具体函数，我们给出如百几种： ( 1 ) f c x ) = 舞e 一；( b ( t ) = 去e - ；) ； ( 2 ) m ) = 烈1 l 臻x l 0 - 可测可分平稳中心实值高斯过 程，其谱密度为一创，相关函数为b p ，且x f ( t ) ，趟创( t ) 独立由于鼋创是连续函 数，所以过程巧( t ) ，j = l ，2 是均方连续的 设戈( ) ：( 婪：) 是干扰线性系统的过程，系统对输入信号文( ) 的反 应可表示如下形交： 7 亨【( t ) = 日( t s ) 艾 ( s ) d s t r ， 其中 即，= ( 巩2 。o ( t ； 1 2 ( 21 一脉冲传递函数， h z 2 ( t ) 。 8 北京交通大学硕士学位论文 1 绪论 矿怆，= ( 瑟竺) ， 也就是 可( t ) = 。五。 一s ) x l ( s 冲+ 。凰：( t s ) 墨( s ) d s ， 磅( t ) ：厂王如。o 一8 ) x i ( s ) 幽+ 厂王k ( t 一8 ) 趟( s ) d 8 ， ( 1 3 2 ) 记曙( f ) = 。日幻。一s ) 巧( s ) 如七，j = 1 ，2 ， ( 1 3 3 ) 故( t ) = ，警c t ) + ，警( t ) k = 1 ，2 我们知道中的积分在均方意义下有定义的充要条件是下面的积分对k ，j = 1 ，2 存 “ 厂厂= 酽( t s ) o ) d s d t ( ”4 ) 引理1 3 1 设对七，j = 1 ，2 ，点沁如( 月) ，则辔有定义且是平稳中心均方连续 的高斯过程，谱密度为： 妒旨( a ) = ih , ；j c a ) 1 2 乃( a ) ，a 且 ( 1 3 5 ) 这里王是丑玉的富氏变换此外，巧出，是联合高斯过程 证明：由r e n 印不等式和n b i 吐凰咀e u i 定理知， 厂。厂”i i ( 。) 如( t ) ( t s ) ld s d t 丑砖( s ) 月b ( t ) b j 创( t 一8 ) l j oj o = 1 月b ( s ) i ( 1 月砖i + i 奄i ) ( s ) 幽 剑i l + i 巧 由h o l d e r 不等式( 参见引理1 2 1 ) 扣i l b i i 1 1 2 1 1 1 磅剑j | 2 j | 磅9 t 因此 z ”z ”i 丑砖( 。) c 。毯( t 一。) i 如d t 剑月0 磅i i l 0 ，a o ，c 是条件( 1 3 1 ) 中确定的常数，作为函数三( f ) 的估计量，我们来研究随机变量 蜡朋( r ) ：= 击( 圳耐n h - t ) ( 1 卸 9 北京交通大学硕士学位论文 1 绪论 = 土c n 圣躜( 圳砖脚n h - 7 ) + 去三蹬( 圳碍( n h - r ) 其中h = ( ) ：= 去，c = 2 丌，( o ) 令 砖聊= ( 蜡( r ) ，下r ) 考虑当一0 0 ，n h 一时唾拿朋的渐近状态 过程上学聊的相关函数的平均渐近行为为： e 月筹朋= e 南爱7 1 ) 碍脚( n _ h 下) ；e 击耋蹬( 叫酽( n _ i l 一订+ e 上c n 圭堵( 圳( n 一一 = e 击壹埘( n ) 霹( n 一下) + e 丽1 壹曩( 竹7 1 ) 耐( 砒一下) n = 1n = 1 = e 素主f 凰( s ) 华( n h - s ) d s x ( h ( n h - r ) + e 南至铲勘( s ) 砖( n _ i l s ) d 删( n h - r ) ：击j 登e 砖( 礼h 一。) 霹( n h r ) h i j ( s ) 如 = 1 + 南f 量e 耐( n h - , ) x j ( n 一订如( s ) d s 一南j 壹磅( r s ) 皿( s ) d s + 南j 壹b j ( r 一。) 如( s ) 幽 t 1 = 1n = j = ：j 尹毯( r s ) 皿j ( s ) 幽+ ：j f 毯( r s ) h 2 j ( s ) d s = ：f 奄( r s ) ( s ) d s 显然e 三学肿是与无关的，而日筹却与有关， 故e 三曾丑筹，估计是有偏的 1 0 2 经验过程省的定义及性质 本章将给出与脉冲传递函数估计量日乎哪有密切关系的经验过程省聊的定 义，相关函数及其极限性质 2 1 经验过程密的定义及相关函数 令 z 乎( 7 - ) = 、，叮元再巧【日等( r ) 一e 日等( f ) ) 】， r o ，詹，歹；1 ，2( 2 1 1 ) 定理2 1 1 设月b 易( 固，七，歹= 1 ，2 那么对所有力，忍0 ，n h 0 ， 0 ，膏，j = 1 ，2 ，有下列等式成立： e 瓒聊( n ) z 筹柳( 见) ，= c 砦聊( n ，见) ( 2 1 2 ) 其中 嗜聊( n 问= 警仁仁妒刊叫刚甜，f ( 札，) ( 地) + e ( n 一口) t t1 日玉( 札1 ) 1 2 露( 札1 ) 巧( t 上2 ) + e h u l - t - r l m ) 曰玉( m ) 月玉( 地) 乃( m ) 乃( t 2 ) 】既，( 坳一“1 ) 砒1 d ； 脚= 卜翥矧 神，= 杰。番h n ，。= 嚣 月玉是丑b 的傅里叶变换，c 是条件( 1 3 1 d ) 中定义的常数 证明：由磷( t ) 的定义得，对j = 1 ，2 e 砖( s ) 曩( s + t ) = 磅( t ) = e f t 乃脚( u ) d u 由( 1 3 5 ) 得 踏( s ) 堵( s + t ) = 钱匕( t ) = e “i ( “) 1 2 乃( u ) d u ；k ，j = l ，2 进一步由p l 强c h e r e l 定理得 嘴) ( t 刊酽= b = f 巴h b ( 。u 垆_ 如薯 由( 1 3 7 ) ，( 1 3 8 ) ，( 2 1 1 ) 及独立性得 e z 筹加机) 省川h ) ) n h ( a ) e h ( k ( 力) 一嘴( 7 1 ) j 孵( 死) 一嘴( 忍) 】 ；n h ( a ) e h ( k 尹聊( 7 1 ) 月等( 见) 一层王磐帅( n ) e 蜡聊( 记) 1 = n h ( a ) e 。a f i 壹( 加) 毒( 咖一7 1 ) 素曼( 口，1 ) 耐蹦( q h r 2 ) p = iq = j e 击妻) o m ) 碍( 砷一n ) e 素耋( 口h ) 砖锄( q h - r 2 ) j = 豁睦妻酬o , h ) x ( j ) 一n ) ( q 7 i ) 矽( q h - - ， 2 ) 一暑n n 酬o 呐) x j 一n ) 酬( 口7 1 ) 习( q h - r 2 ) 】 = 葡ha 乌高np - 。( ) 霹一n ) ( q 九) 耐( 西一您) 一酬( p ) 巧出( v h n ) i 删( q h ) x ( j ( q a 一死) l = 攀罐薹【叫一n ) y p 啪( 咖一死) y 砦( 鳓 + e 耐( p 7 l n ) ，管( p _ 1 1 ) 砖( q h 一忍) 】管( 口 ) + 叫( 砷一n ) ，砦o , h ) x i ( q h 一亿) 】沓( g ) + e 巧( 加一7 1 ) 背( p ) 耐( q h 一忍) 】学( 口助 一酬( 加) 耐( 础一力) 趔( g ) 巧( g 一亿) 】 = 筹宝宝【酽( ( p - 口) | i l + 血刊蛾。( ( p 刊 ) + 巧( p g ) _ i l + 死一n ) b ! 含乞( ( p 一口) _ 1 1 ) + b 含( n ) b 含乞( 心) + b ( ( p q ) _ i l + 死) b 纶沁( 一( p 一口) + n ) 】 一滁暑n 暑n 蛾h ) b ( l x ) t 死) = 筹暑n 暑n 酽( 佃一口) 危+ 他一n ) 啦。( 函一口) 动+ 黜( p q ) + 死 一乃) x 蛾( o 一力+ 残( 加一曲 + 髓) 战沁( 一( p 一曲矗+ n ) 】 = 豁p 登。= l q 曼= l e e 。帅训u 1 乃( 牡t ) 饥己e ( i ( p - q ) h ) t nl 曜一( 训2 ( t 2 m + 滁互n 暑n 仨) 训”1 ( u - ) 也te e ( 帕m ( 训2 ( 地) 如：+ 滁圭曼e ( 妒- ) ) t 1 ( ( 砒- j ：一( 一p - 叮) 6 ) + n 日玉( t 2 ) 巧( 坳) d 砌 = 等仨加- 口) ”- i 哦。( 抛) 1 2 乃( 牡- ) ， ( 1 1 2 ) + 裂( n 刊“- 1 ( “z ) 1 2 垆( 钍- ) ，j ( t 2 ) n n e ( ( p q ) 6 ) ( ”l 一 。) d m d u 2 p = lq = l + 筹巴一( 一蜘m ( “- ) ( z ) 乃( n - ) 一创( u 。) = 滁危仨眇砷，i - h ( “2 ) 1 2 ，f ( u ) 乃( t l ：) + e l ( n - , 2 ) 。- ! ! 塞奎望盔兰堡主兰垡堡壅! 丝竺整篓丝：塑塞墨墨丝堕 1 月玉( 地) j 2z ( 蕾h ) 乃( 地) + e f n - - + n m ) 刀蔷( 啦) ( 地) 蠢( 乱1 ) 乃( t 2 ) 1 【萎萎( 沪) 砷( ”- 一m ) 】如，如 1 9 = = 1 # j 互n 至n c 沪扣t 一，= ( 帮) 2 ( o ”。) 砷扣t m ) = ( 笔 五；i ；i ) p ：1 口2 1 、广7 上式 = 等等j = = ：j ：【e ( n n m ，1 日z 。( “- ) 1 2 矗( “- ) 0 ( 地) + e ( n n ) t - i ( u 1 ) 1 2 ，( 札1 ) 乃( t 2 ) + 一( n m 慨蚴( “t ) ( 坳) ( 。) ( z ) 】( 专姜兰爱) 。妣 = 鍪仁：j ：【e ( n m m - ih ：i ( u - ) 1 2 ，f ( 乱- ) 力( t 2 ) + c ( n n ) - 1 月乞( u - ) 1 2 蠢( t 1 ) 巧( “：) + 一( n ”+ n z ) 丑( t 1 ) 日玉( t 2 ) 乃( u 1 ) 乃( t 2 ) 1 n h ( “，一“1 ) 刍( 等主差；) 2 妣d u 2 = 擎j ：乙o o 。【e m n ) t - 1 月矗扣t ) 1 2 一( “- ) 0 ( 坳) + e h n ) q - ih ：, 2 c u ，) i 2 x 矗似- ) 乃( 坳) + e h t + n m ) 日玉( “- ) 月玉( 抛) 矗( ”，) 乃( t 正2 ) 】圣 ( ) ，( t 2 一m ) d m d u 口 当 1 1 12 t 2 时， n y 、fe t ( 沪q ) ) ( u l m ) ：2 p = lq = l 此时，上式= 警j ：f - ”o o e i ( n n ) t t1 日：，( 钍- ) 1 2 ，f ( “z ) 乃( “：) + e h n ) “- i 上m 1 ) 1 2 露( t 1 ) 0 ( 啦) + e ( n ”- + n m ) 王( u 1 ) 日玉( “。) 矗 。) 一6 ( t 2 ) 】等d “- 她，以，n 月 1 4 ! ! 室奎望查兰堕主兰垡堕苎 ! 丝竺垫矍筮! ! 箜塞墨墨丝壁 又h = 云，且f e j 自核是周期函数 记 踟c ，= 卜公心翥裂篡， 龇水，； 赤。器h n ，：蒜i ： 故e 省，聊c n ) z 诊聊( 匏) = c 学( n ，您) 定理2 1 。2 设正k6 - l 2 ( r ) ，j = l ，2 那么对所有n ，龟0 ，n h 0 ， 0 ，七，j = 1 ，2 ，有下式成立： 嗜朋( r i ，死) 警学 o 葑 证明： c 学朋( n ，吐) = e 互诊研( n ) z 筹( 忍) = 擎j 乏j ：p h n ) t t1 日；l 扣，) 1 2 矗( u ，) 巧( “2 ) + h n 扣ti 1 ) | 2 脚似1 ) 0 ( 地) + e t n 。t + n ”) 上 。) z ( 抛) 乃( t z ) 乃( 抛) 】f ，( 抛一u ) d u , d u 2 0f ( 砌一牡1 ) = 1 ij 鼍j 二e i ( n n ) t t1 日：l ( t - ) p 一( “1 ) 力( t 1 2 ) j ( t 1 2 一1 ) d u l d u 。i sm 2j 三l 丑；l ( 1 ) 1 2 ( ：f ，( t 1 2 一u 1 ) d u 2 ) d u l = 严0e 矗( 札，) 幢 同理有 i 仁仁e i ( n - r ) u , 例训艘) 批谚f u 2 - - u 1 砒i s 朋。j ：1 日玉( “- ) 1 2 ( j ：二f ，( t | 2 一t 1 ) d “2 ) 6 轧1 = 舻9 旧 类似不等式( 1 3 6 ) 可得 ，。厂ei(nie i ( ”，机m 哦f ( 让。) 睇f ( “：) 0 脚( u 。) z 沁) 几，n ( u 2 一t 。) d u ，如。 m + “”) 日玉( 让1 ) 曰西( “2 ) 巧脚( u 1 ) 乃创( t 2 ) 几， 一t 1 ) d u l d 砌 舻仨仨i ( “) ( t 2 ) if ，他一“，) 砒如- 舻0 f i l l = 舻艟 由上面三个不等式可推得 曙册( n ，见) s 鍪( 舻“晖。脏+ 舻o 眩+ 胪i i 嘞 鱼竽m 1 1 日玉旧) 推论设月砖三如( 冗) ，七，j = 1 ，2 那么对所有n ，忍2o ，n h o ，a o ，詹，j ：1 ，2 ， 有下式成立： d ( 上磐川( 力) = ei 王磐聊( 力一e 王磐聊( 7 ) 1 2 黑峄钏峪 s i 巧可i 1 丐“t 爿西主， 证明：d ( 1 磐肿( r ) ) = e1 月砦川( r ) 一e 丑筹叼( 下) 1 2 = 丙。e z 。( a 朋( r ) 省朋( r ) = 击c 学朋( f ，订 等篑n 擎圳月南眶) 由定m ( 2 1 2 ) 可知推论成立 2 2 过程辔朋的相关函数的极限 令 ( n ，见) 5 磊1 上。【e 晒- n h i 哦，( “) 1 2 + ”“扣1 日玉( t ) 1 2 + ( n + 。扣( 王) ) 2 d uk , j = 1 ，2 ，n ，功0 ( 2 2 1 ) 定理2 2 1 设对k , j = 1 ，2 有： ( 1 ) 婊j 工2 ( 冗) ；( 2 ) 存在- p l ，使得丑岛上卸( 冗) ； ( 3 ) 函数三在肚几乎处处连续，则对蠡，j = l ，2 a 所w n ，死o 成立下面等式： 凛终曰 搿研n ) 省肿( 乃) ) = c 砖( n ，死) ( 2 2 2 ) 证明：由于对所有n h 0 ，i l j t 0 l = 1 这里 f ，c z ，= 西m ：p 翥柔蓦；会 龇础，= 赤。番h n ，：篡嚣 则对七，j = 1 ，2 有 咖去仁仁( n - n ) - i h ；1 ( 训2 舻1 一) t 1 6 ! ! 室奎望查兰堡主堂垡堡苎! 丝鳖塾墨缕! ! 塑塞墨墨丝堕 ( ( 乱) ) 2 】f a ：( u 2 一“1 ) 存c - 幽l 砒力，您o 这里c 是条件( 1 3 1 ) 中的常数 有此及等式e 搿忉n ) z 筹叼( 死) ) = n ，r 2 ) 得： e z 等m ( n ) z 孑加0 - 2 ) 一c 学聊( n ，您) = 萼( + 如+ 厶+ 1 4 + 如) 其中 五= 0 0 c o e i ( m - 7 1 ) m f昱：。(社，)f2【矗脚(“。)z(抛)二杀j-玩，(抛一m)dum)du-oo 。如 五= f 昱：。( t | ，) f 2 【矗( “1 ) z ( 抛) 一岳j - 玩， r ( 抛一 。如 一 1 厶= ”仁h n mi j ( t t ，) 1 2 【矗脚( 缸- ) 乃( 钍。) 一。：- - ! 。- 1 - o o j ，( t 2 一牡，) 咖，砒 厶= h n 扣- i 丑玉( t 1 1 ) 1 2 【矗( t 正1 ) 乃( t 2 ) 一一，f ，( t 2 一牡1 ) c 轧1 砒j ，一 1 磊= ”m 协”。k 晒枘) 。- x 丑岛( 锃t ) ) 2 巧扛- ) z 封如 死一牡，) 妣弛 厶= 一”1 蜘m ) 月奄( u x - 。*，h 巧* ( t 。) 以x t 。彬k t 2 艮，一u 1 ) 砒。讹 五=z”，一ei(n叫)2蟛)z(”：)-杀4ff-2】死池一灶，)du-00-oo ，砒 五= n + n ) “，( 月玉，) ) 2 蟛( t 1 ) z ( ”2 ) 一! 一】j 么( 地一灶1 t 砒 jr t 下面我们来证明，对k = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 有 ，i 。i m 20 ( 2 2 3 ) 一 用 表示在厶中被积函数取模时的积分形式，且用以( d ) 表示在 的表达式中 积分是在区域d 舻上进行的 首先我们来估计 为此讨论平行四边形 a ( a ，酚= 似1 ，“2 ) 铲if “1i a ，lu 2 一t 1i 6 ；口，b 0 如果n 或者b 为0 0 ，那么g ( n ，6 ) 变为一个带区域显然对所有n h 0 ，a 0 ，n 0 j , ( r 2 a c a ，口) ) ( 舻g ( n ，o o ) ) 4 - ( 譬g ( o o ，o ) ) ( 肘。+ 杀) 【，f1 日：，( 让- ) 1 2f ，( t 2 一“1 ) 出t 。砒 l u d * + ，j 日矗( 札1 ) 1 2f ，_ ( t 2 一t 1 ) d l d u 2 】 l u z - , n l a = ( 舻+ 杀) 【fi 哦，( “) 1 2 砒+ i i 哦。i i ；，珏n ( u 。一牡- ) 训 = ( 舻+ 杀) fi - t ，( u ) 1 2d u + i i 哦。惦ff 1 ，( u ) d u i ( 2 2 4 ) i u l a l u i 4 1 7 这里m = m a x s u pi 一l ，j = l ，2 ) 0 纂 ( 矾g ( 口，口) ) ( 舻+ 杀) 1 ( 圳2 如 4 _ 钳 ： 又因为三厶( 脚所以 薹磊了嚣 ( 铲g ( 叩) ) = 0 进一步，我们看到 j l ( 矾g ( n ，n ) ) i ( 让1 ) 1 2 l 矗( 矗( 也) 一杀i f ( t 2 飞) 妣讹 s，。恶、i(u-)(坳)一杀|f1眩(ul 2 ) g ( n 。4 ) 。 嘲l 由( 1 3 1 ) 的( d ) 得，对任何口 0 搀巴西( g ( o ，o ) ) = 0 所以 西f 引= 戛丽l l s 燕砸 暮l i m e 丽 ( g ( n ，n ) ) + 薹西西 ( 兄2 g ( 口，n ) ) = 0 因此，等式( 2 2 3 ) 对k = l 成立 显然，用完全相同的方法可证得等式( 2 2 3 ) 对k = 2 ，5 也成立 现在我们估计厶对任n a 0 ，n h 0 ， 0 2 3 ( r 2 g ( a ，：) ) 2 m 2f，1 月玉( “1 ) 1 2 - 如，( t 也一u ) d u l d u 2 冬2 u 。2 ，1 日玉( “1 ) 1 2 f ，( 2 一u 1 ) d m d u 2 h j a + ，f1 月奄( “1 ) j 2 以，t i r ( u 2 一m ) d u l d u 2 】 i 啦一“1 p 吾 ， 2 舻【，j - i ( 训2 砒+ i i | i ；，e ，( “) 酬 i i i ) a m ： 些室奎望- 丈堂堡主堂竺! 垒壅! 丝叁塾矍生：! ：塑塞墨墨丝堕 所以 1 甄了匿五( 舻g ( n ，：) ) = o 由于对任何n h 0 0 以( g ( 口，：) ) a s ( g ( o o ，：) ) l 护fy ie 。”一e “1 “ti 1 日毛( t 1 ) 1 2 f ，( 也一u 1 ) d u l d v a 2 m 2 f，ls i n 皇i ! = 业i 1 日玉( “1 ) 1 2 j 么( 坳一1 1 ) d u l d “2 k 一 l i 0 ， 五( j 字g ( n ，) t j ! i ，( 席 g 扣，n ) ) + j ! i 。( 符 g ( n ，n ) ) 五，( 舻丌( 焉) ) + j 4 2 ( r 2 g ( a ，口) ) j ! 塞奎望查堂堡主兰垡笙壅 ! 丝竺堕型缕! ! 塑塞墨墨丝堕 显然，将不等式( 2 2 4 ) 中的常数m 24 - 杀改为常数m 2 便是积分j 如( 膨g ( 口，) ) 的 估计因此， 薹磊了匿如( 序g ( o d ) ) ；0 我们借助r e m p 不等式和h o i d 盯不等式( 参见引理1 2 1 )