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非线性弹性动力学方程组的外问题 摘要 本文讨论非线性弹性动力学方程组的外问题非线性弹性动力学方程组是一个 具有重要理论意义与应用价值的模型许多著名的数学家的工作都涉及到这一领 域但目前关于方程组的工作主要局限于c a u c h y 问题 f j o h nf 1 0 j 于1 9 8 8 年利 用线性弹性动力学方程组的基本解的估计证明了非线性弹性动力学方程组初值问题 的经典织的几乎整体存在性，1 9 9 6 年，sk l a i n e r m a n 和t c s i d e r i s 【2 3 】利用能量 估计和k 1 m n e r m a n s o b o l e v 不等式证明了相同的结果最近，r a g e m i 和t c s i d e r i s 【3 3 】分别证明了非线性弹性动力学方程组满足零条件时此问题解的整体存在 性 1 7 面对本文的结果作一简单介绍 ( 1 ) 证明了非线性弹性动力学方程组外问题经典解的局部存在性为了证明这 一结果，还利用线性发展算子及积分一微分方程的方法，证明了具有( 属s o b o l e v 空 问中的) 变系数的二阶线性双曲型方程组外问题解的存在性 ( 2 ) 证明了非线性弹性动力学方程组c a u c h y 问题经典解的几乎整体存在性，并 给出解的生命区间的下界这个结果虽然不是新的，但我们所用的方法及所得到的 估计是不同的这些估计是外问题讨论中所需要的 ( 3 ) 讨论了非线性弹性动力学方程组在星形域外的d i r i c h l e t 型初边值问题，对 具有小初值情况，证明了该问题经典解的几乎整体存在性，给出解的生存区间的下 界这是本文的主要结果 ( 4 ) 用更简单的方法导出了与【1 中相同的非线性弹性动力学方程组的零条件， 进而证明了f i j 和f 3 3 f 申的零条件的等价往 关键词：非线性弹性动力学方程组，c a u c h y 问题，外问题，几乎整体存在性， 零条件 t h ee x t e r i o rp r o b l e mf o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e m a b s t r a c t i nt i f f sp a p e r ，w ed e a lw i t ht h ee x t e r i o rp r o b l e mf o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e r n t h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e mi sav e r yi m p o r t a n tm o d e lf r o mb o t ht h e o r e t i c a l a n dp r = m t i c a lp o i n t so fv i e w m a n yf a m o u sm a t h e m a t i c i a n sh a v ew o r k e di nt h i sa r e a ，b a t m o s tr e s u l t sa r ea b o u tt h ec a u c h yp r o b l e m i n1 9 8 8 ，f j o h n 【1 0 】p r o v e dt h ea l m o s tg l o b a l e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e m b ya p p l y i n gt h ee s t i m a t e so nt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no ft h el i n e a re l a s t i co p e r a t o r - i n 1 9 9 6 s k l a i n e r m a na n dt c s i d e r i s 2 3 js h o w e dt h es a m er e s u l tb ya p p l y i n ge n e r g y e s t i m a t e sa n dk l a i n e r m a n s o b o l e vi n e q u a l i t i e s r e c e n t l y , r a g e m if 1 a n dt c s i d e r i s 1 3 3 i n t r o d u c e dt h en u l l c o n d i t i o n sf o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e mi nd i f f e r e n t w a y sr e s p e c t i v e l ya n dp r o v e dt h eg l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h e i n i t i a lv a l u e p r o b l e mw i t hs m a l li n i t i a ld a t a n o ww es t a t eo u rr e s u l t s ( 1 ) w ep r o v et h el o c a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h e e x t e r i o rp r o b l e mf o rt h e n o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e m t og e tt h i sr e s u l t ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s f o rt h es e c o n do r d e rl i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e mw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ( i ns o b o l e vs p a c e s ) o u t s i d eo fad o m a i n b yu s i n gl i n e a re v o l u t i o no p e r a t o r sa n di n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 2 ) w ep r o v et h e a l m o s tg l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h ec a u c h yp r o b l e m f o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e ma n dg i v et h el o w e rb o u n do ft h el i f e s p a no fs o l u t i o n s a l t h o u g ht h i sr e s u l ti s n o tn e w ，o u rm e t h o da n dd e r i v e de s t i m a t e sa r ed i f f e r e n t i h e s ee s t i m a t e sw i l lb eu s e di nt h es t u d yo ft h ee x t e r i o rp r o b l e m ( 3 ) w ed e a lw i t ht h ed i r i c h l e ti n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e mf o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y - n a m i cs y s t e mo u t s i d eo fas t a r - s h a p e dd o m a i n w ep r o v et h ea l m o s tg l o b a le x i s t e n c eo f s o l u t i o n st ot h i sp r o b l e mw i t hs m a l li n i t i a ld a t aa n dg i v et h el o w e rb o u n do ft h el i f e s p a n o fs c l u t i o n s t h i si st h em a i nr e s u l ti no u r p a p e r ( 4 ) - a t ed e r i v et h es a m e n u l lc o n d i t i o na si nf 1 1f o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n a m i es y s t e m i nas i m p l e rw a ya n dp r o v et h ee q u i v a l e n c eo ft h en u l lc o n d i t i o n si n t r o d u c e di nb o t h 【1 l a n d 【3 3 】 k e y w o r d s ：n o n l i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e m ，c a u c h yp r o b l e m ，e x t e r i o rp r o b l e m ， a l m o s tg l o b a le x i s t e n c e ，n u l lc o n d i t i o n j j 第一章绪论 在没有外力作用的情况下，3 维空间中一个各向同性的、均匀的、超弹性材料 的位移= ( u l ，u 2 ，3 ) = u ( t ，。) 是由下面的拟线性双曲型方程组决定的( 见【4 12 6 1 ) ： l u ：辞“一谚u 一( 碍一c 1 ) v d i v u = y ( v u ，v 2 “) ， ( 11 1 ) 其中f = ( f 1 ，f 2 ，f 3 ) ， 3 一( v u ，v 2 u ) = 四1 ( v u ) a ，江1 ，2 ，3 ， ( 1 t 1 2 ) j , 1 t = 1 ( 静( v “) 而( ，1 ，c 2 由l a m 常数 ，p 给出 f 昙，旦，叭， ( 1 1 3 ) i 面，一o x 2 o x 3 ) 。j 罐= + 2 p ，鼋= p 岛= 诜= 爰，岛= 否0 i ( 1 = 1 ，2 ，3 ) 1 = ( i _ ；。i ) ，c ，2 = 00 - - 1 ，v 3 = ( ；) ( 1 1 4 ) v 鼠 絮 。忙 显然有 另外，由命题2 1 知 l ，z “卜0 ，f s ，l 】= - 2 l q i r ，a ( v “) = i ! 薯( v 札) = c ；( v ) ( 1 1 6 ) 本文讨论方程组( 1 1 1 ) 的经典解的几乎整体存在性，许多关于经典解几乎整体 存在性的工作都是针对非线性波动方程的f j o h n 和s k l a i n e r m a n 1 2 ，1 9 ，2 0 l 利 用波动算子的l o r e n t z 不变性证明了具小初值的3 维非线性波动方程组c a u e h y 问 题经典解的几乎整体存在性并给出生命跨度的估计后来，s k l a i n e r r n m l 和t c s i d e r i s1 2 3 1 不用l o r e n t z 不变 生也得到了相同的结果，最近，m k e e l ，h f s m i t h 和 c1 ) s o g g e 1 6 ，1 7 1 对具有小初值的半线性和拟线性波动方程组的c a u c h y 问题经典 解的几乎整体存在性又给出了一个较简单的证明进而，他们利用波动方程组局部 能量指数衰减性的结果( 见1 2 5 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】) 将这一研究拓展到外问题上，分别证明 了3 维半线性及拟线性波动方程组在星形域外的d i r i c h l e t 型初边值问题的经典解的 几乎整体存在性( 见【1 6 ，1 7 】) 在 1 5 ，2 7 】中还证明了非线性波动方程组满足零条件 时d i r i c h l e t 型外问题解的整体存在性 对于非线性弹性动力学方程组( 1 1 1 ) ，目前的工作主要是关于c a u c h y 问题的研 究t h o m a sj r h u g h e s ，t k a t o 和j em a r s d e n1 6 】以及f j o h n1 8 8 分别证明了非 线性弹性动力学方程组c a u e h y 问题解的局部存在性 f j o h nf 1 0 】综合【1 2 】和f 2 1 】 中的方法，用线性弹性动力学方程组的基本解的估计证明了非线性弹性动力学方程 组初值问题的经典解的几乎整体存在性s k l a i n e r m a n 和t c s i d e r i sf 2 3 回避了 对线性算子的基本解的估计和l o r e n t z 不变性，用能量估计和k l a i n e r m a n s o b o l e v 不 等式证明了相同的结果r a g e m i 1 1 和t c s i d e f i s 【3 3 】分别证明了方程组( 1 1 1 ) 满足零条件时此问题解的整体存在性 下面对全文的结构安排作一简单介绍 第一章是绪论部分在这一章中，我们简单介绍了非线性波动方程组和非线性 弹性动力学方程组经典解已有的结果，并对全文的主要结果以及证明方法给以简单 说明 第二章讨论非线性弹性动力学方程组的小初值问题用与f 1 2 ，2 3 】中不同的方 法证明了该问题解的几乎整体存在性，给出解的生存区间的下界本章的主要结果 是下面的定理 2 定理1 1 1 设，g c 。( r 3 ) ，则存在整数n 0 及常数c ，o 0 ，使对0 如) 。g i i l 。( r 3 ) 5e ， ( 1 1 7 ) 砒。f ( v u , v 2 u ) 1( 1 1 8 ) iu ( o ，) = ，( ) ，o t u ( o ，z ) = g ( ) 存在解u ( t ，) c ”( 【o ，咒】r 3 ) ，其中 噩= e x p ( c ) ， 而 = ( 1 + 蚓2 ) 上面定理的证明籍助于类似于【1 7 】中的估计在这些估计中，最关键的是点点 估计与加权l 。估计在加权l 。估计中，我们利用了将线性弹性波分解为横波与 纵波的叠加这一手段，即下面的 引理1 1 2 设f ( t ，。) 当t 固定时为关于髫具有紧支集的光滑函数，则问题 ：i ! 烈笺咄烛3 加， 可分解为两个波动方程组的c a u c h y 问题： 竺和悟竺纛 l i f d l l z ( r s ) c l l y l l r 。( r s ) ，1 i f 2 i i l 。( r 。) sc i i f i i z ： 2 ，设a i j a ( t ，) e 2 ( i o ，t 3 ) = t 0 ，茁) c “( 【o ，t l 。 r 3 k ) l0 n w ( t ，z ) l o 。( i o ，t 】r 3 咒) ，l a i 耐，h ( r 3 咒) ，g h 一1 ( r 3 _ k = ) ，且 b g p f 【o ，t l ；日h 一2 一卢( 醇k ) 1 ，0 t 臼sh 一2 ， 彦- 1 b l 1 ( i o ，卅；l 2 ( r 3 丘) ) 如果h 一1 阶相容性条件成立，则问题 i 辞一埘( t ，茁) 岛a = 扩，i = 1 ，2 ，3 ， ( t ，) r 十r 3 咒， 1 k k l ( 1 - 1 1 4 ) l “( o ，出) = ，( z ) ，o t u ( o ，嚣) = g ( g ) ， u ( t ，o ) = = 0 ， 。a 4 存在解札，使 且 “( t ，z ) g 9 ( 【o ，卅；日“一4 ( r 3 瓦) ) ， o 墨卢茎 ， l 器伊蚺) 慨k 3 q e h “( 谴3 聊+ 肛1 ( 雠3 w r 。s 蜓u p t h 饕2 ( 即) j l l 2 ( 皿3 c ) + 上i i 膨。1 6 ( 即) l l 础叭q d r ) ，vt 0 ( 1 1 1 5 ) 其次，对a t j k l 满足s o b o l e v 正则性的情况，我们得到了下面的线性弹性动力学 方程组外问题解的存在性 引理1 1 6 考虑下面的问题 r 3 l 跏l 班z ( t ，x ) o j 岛u 。0 ，忙l ，2 ，3 ， l ( o ，) = ，( $ ) ，魂“( o ，z ) = g ( 2 ) ， 、1 11 0 和整数n 0 ，使对0 魄) 。北。( r a v c ) ( 1 1 1 9 ) h i i & i 1 ，则有 t l 矿u ( t ，) ls i l s j 0 1 f ( s ) 1 1 l 2 ( r 3 t o ：5 4 ) d s 萎isjz9嗍s朋l箐，v(1122)n l “+ 3 另外，由k a p i t o n o v 定理、弹性波的分解以及第二章中的估计，我们有下面的 加权瑶。估计 引理1 1 1 1 设u = u ( t ，。) c 。为问题( 1 1 2 1 ) 的解，则 ( 1 n ( 2 + t ) ) 一 e | | 一 6 p 札，l 2 ( 【o ，叫r a v c ) l a i _ n 曼 g f i i l e t u ( s ，) i l l 。( r s r o d s 。b l n + g i i l o ”u i i l 2 ( 【o ，q r 3 ( ) ，vt 0 ， ( 1 l 2 3 ) ( 1 n ( 2 + 圹 l | 一 s “矿l 。( r 3 ) 篡；“ c f i i l s m o a u ( s ，) i l l 2 ( r s q d s “”l a l 十m 1 有 l 。( 捆。c r 一1 p a j h l i l 。( 譬吲2 脚 陋i + 卜丫f 2 引理1 1 1 3 设h g ”( r 3 ) ，则 s u p ih(po)l鲫l三上。i(fi。h)(pe)l枷(1126iol=1 ) i 暴2 j s 2 引理1 1 1 2 及引理1 1 1 3 的证明可分别参见【2 1 】及卧 8 第二章非线性弹性动力学方程组c a u c h y 问题解的几乎整体 存在性 本节中，我们给出主要估计：加权l 2 估计( 见命题2 1 3 ) 及点点f 占计( 见命题 引理2 1 1 设f ( t ，z ) 当t 固定时为关于x 具有紧支集的光滑函数，则问题 j l “= f o ，。) ，o ，) r + 琏3 ， ( 2 1 1 ) 【u ( o ，) 3o t u ( o ，) 20 可分解为两个波动方程组的c a u c h y 问题， 霪：) i _ ：竺，2 a f 。1 ，：。和 霹t = u 2 0 一：u c 2 ；= “0 2 ，2 三。：。， l if 1 1 1 l 。( r 。) sc i i fj i m ( r s ) ，l l f 2 l b ( r 3 ) 曼c i f i i l 2 ( r a ) ， 脚，= 击上。警等咖 仁， 注意到一妒= d i v f ，对以原点为球心、半径r 充分大的球域b r ，有 上。妒+ 妒如= b f v 岫 五。i v 卯如= z 日且妒筹a r 一上。f v - p 如 c z - 司 容易验证 z 口。妒鬟扭川a s r 一。 这样，对任意给定的 0 成立如下估计 上。i v 妒1 2 如= i 上。f v 妒如l s 上。i v 妒1 2 如+ 上。俐2 如 所以 令 v 妒i i l 2 ( r 3 ) sa l l f | | 正2 ( r 3 ) f l = 一v 妒，f 2 = f + v 妒 则 r o t f l = 0 ，d i v f 2 = 0 设虬“2 分别为下述问题的解； l辞u 1 一c u l = f 1 it = 0 ：u l = 0 ，晚u l = 0 和 i礴u 2 一c a u 2 = f 2 lt = 0 ：“2 = 0 ，a u 2 = 0 由r o t f l ：0 可得r o t u l = 0 由此容易验证v d i v u l = d i v f 2 = 0 知，d i v u 2 = 0 ，所以l u 2 = f 2 引理2 1 1 证毕 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) u l ，所以l 1 = f 1 又由 口 引理2 1 2 设= “( t ，出) g o 。为一f 述问题的解： 卜u = f ( t ，。) ，( ) r + r 3 ，f 2 16 1 iu ( o ，) = ，( z ) ，o u ( o ，) = g ( ) 。 则 ( 1 t ) 一 | | 札7 i i l 。( p ，t j x r 。) c l l d ( o ，) 1 1 l z ( r s ) + c j o i i f ( s ，) 1 i l 2 ( r 3 ) 4 s ，v o ，( 2 1 7 ) i i v i i l 。 【。，q ，陋l 1 ) 曼g 1 1 ( o ，) i i l 。( r s ) + c j o i i y ( s ，) i i l 2 【r 3 ) 如，v o ( 2 1 8 ) 证明由标准的能量估计得 j 0 0 t l l u 川z 。，a s sg z i l u ( o , ) l l 。a ，+ ( z 8i l f c r ，l i 。c r s ，a r ) 2 a s 茎e c - + f ”c 。，引l b 。，+ ( z 。“f 。，训i 。c 舻，a s ) 2 ， ( 2 1 7 ) 式得证f 面证明( 2 1 8 ) 式成立设“具零c a u c h y 数据由( 2 1 4 ) 式，( 2 1 5 ) 式及1 1 6 1 中引理2 2 的( 2 2 ) 式，有 忙i | | 口伸州牡阳) g 上i i f l ( s , ) i i 伊( 舻) 4 ssg 上i i f ( 8 ，) i i l 2 ( 舻) d s ，v 。o ， l l 2 州脉l 蜘。川f 2 ( ”) i i l 2 ( r 3 ) 如兰e 上i i f ( 8 ，训l 2 ( 如，v 。o j uju 则 r t m m 叭 s ) 时，由( 2 1 - 7 ) 式知 ( 2 1 1 0 ) 式成立下证积分区域为 ( s ，算) ：0 s t ；i x l s ) 时，( 2 1 1 0 ) 式成立由 ( 2 均) 式知，当积分区域为“s ，) ：0 曼8 曼t ；l l 击时，由引理( 1 1 1 3 ) 及( 2 1 t 2 ) 式知( 2 1 1 5 ) 式成立 口 ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) 下证俐 而1 时，( 2 1 1 5 ) 式成立 由( 2 1 1 4 ) 式知， 川e z 。击也f c t ，x - - c 2 z 打 十g z 击凡即一哪邶叱) 打 邓也伊。岫i , x - c 2 y ) l 裔y 十g t 叭川乩。咱驯啬 吲s a o2 ( h ) 1 诜，j f ( t , x - - l ( h m j 慨础打 = g z 。c h ，( 1 以阳南叭t ，x - - l z 慨瑚打 g z 击垒孑呸s u 峰p 。屯_ r i f ( t , x - - l z 凇比) 打 如。娑。以旧川”j , x - l y ) l 啬 则 i 社( t ，z ) i 曼i i + i 如l 如凡妒 咄j , x - c 2 y ) l 啬w 凡暇川可f , z - c l y ) r 斋 w 。蝉s u 如p 兑限卜妣一训斋 要证( 2 1 1 6 ) 式，只要证，vf 【c 2 1e l i ，有 j ! y l ：li f ( i - - 川舻f 啬0 1 k 到椭删箐 而由【17 j 中命题2 1 的证明知上式成立 口 引理2 1 6 设j w l 充分小对l = 。墨3 ，m ( v u ) 岛 + g ，有 w ( t ，) f f c 。( n 。) g ( i f ”( 。，) f f l 2 ( a 3 ) + z o g ( s ，) | | c 。( 。) d s ) 一( 引o 尝州v 酬b 膨) ，嶝叫z u ， 其中c h l ( v u ) = ( c 孥( v u ) ) 为矩阵 证明引入下面的微分算子 c = l 一c 2 ，“( v u ) 岛 记 3 q o ：i o o v l 2 + c ；i v 1 2 + ( 碍一c 1 ) ( d i v v ) 2 + ( 岛 ) 7 a 。“( v u ) o m v ， z ，m = l 3 q j ：一2 c i ( 岛 ) t ( o j v ) 一2 ( 回一c ；) d i v v o o v j 一2 ( o o v ) t g 2 ( v “) 瓯 k = l 3 q = ( 国 ) t o c 。m ( v ) a 一2 ( a 0 ) t a 2 g 2 m ( v u ) a ) 2 r n = l 注意到c “( v u ) 的对称性，则 f 2 1 1 8 ) 由i v ”l 小，不妨设l v 训 a ，则存在依赖于( 2 1 ，c 2 ，a 的正常数“，使 v 2 q o p 2 ( 2 1 1 9 ) 对( 2 1 1 8 ) 式在瞅上积分，有 岛上。q 0 如2 上。( 2 ( o o 们t 助+ 曲如j r 3j r 3 令 即) = 上。q 。如， 则 a o ( 亩( t ) ；) 2 f r 3 ( ( 2 岛u ) t g + q ) 如 o e 一( t ) j 1l l c ( t ，) l l 弘( r 3 ) + c 0 巩p c 。”( v u ) i i l m ( s ) 啻( t ) 即 3 o o k ( t ) c l i c ( t ，) ll l 。畔s ) + g 1 1 岛，。c 2 ”( v “) l l l 一( r a ) 壶( t ) ； 上式两边在【o t 】上积分，得 亩( t ) a 啻( o ) + c i i c ( s j 0 g +秽c 岛 2 _ l 0 oq阮 。脚 sd 1 2 s日 舻 l v m g z侥 。f ，旧 g+ 屿 sd 舻l 南g r o n w a l l 不等式，有 即舡c ( 删触川础蛸a s ) e x p ( e 睡。愀帅训b 灿) 由( 2 1 1 9 ) 式及上式知( 2 1 1 7 ) 式成立 命题2 1 7 对l u = f ( v u ，v 2 ) ，有 i i s “z 。u 沁，) l l 纠r s ) l a l - - m 一 m ，m 1 f 茎c (l 妒z 。u ，( o ，) i l l 。( r a ) 口 + o + m 0 ，使对0 ! o ， 如果 i i ( 如) 。川l 2 ( r a ) + 1 | ( 魄) 。g 驴( r 3 ) ， ( 2 2 1 ) 陋l ! i 口i n - 1 那么下述问题 l u 。f ( v u , v z u ) i( 2 2 2 ) i“( o ，) = ，( ) ，o , u ( o ，髫) = g ( x ) 1 6 研岛 uvg 。p n zs 蝉 g 8 国 珏vg 。一 8 zs 蝉 gu n 孑 “ s 魏国 铲8 。硝蝉 e 存在解u ( t ，z ) c o 。( 【o ，咒】r 3 ) ，其中 证明设为不小于9 的整数( 下面的证明中取n = 9 ) 令“o = 0 ，定义 l l bk 1 ，2 ，为下面问题的解： 记 j 眈铲3 g i n ( v u k - i 硒跏铲f ( 乳l 】v 2 蚍) _ ( 2 23 ) iu k ( o ，o ) = ，( o ) ，a t u k ( o ，嚣) = g ( ) m k ( 1 1 ) = ( i n ( 2 + t ) ) 一 1 l ( 1 + r ) 一 z 。北。( m 脚) + 。茹川十m 9 妒执，+ 。翌卜扪i 裂铷岫jo t 川十一，m s l o 蜒t i j 蚤 二i k ( t ) + ，如( t ) 十，仃k ( t ) ( 2 2 4 ) 下面用数学归纳法证明：如果疋= e ；中的c 充分小，那么存在常数c 。，使对 充分小的s 成立 m k ( t e ) s g l ，k = 0 ，1 ，2 ，- ( 2 2 5 ) 显然，k = 0 时，( 2 2 5 ) 式成立假设m 一1 ) sc 1 e ，下证( 2 2 5 ) 式对k 也成立 由( 2 1 1 0 ) 式，有 i k ( t ) c ( i n ( 2 + t ) ) 一 1 1 ( i + r ) 一 ( 5 唧z “u ) 7 i i l 。( h t 】。舻) e ，( i i ( s “z k ) ( 。，。| i 驴( 。s ) + z to s “z 8 f k ( s ，引l 。( n 。) d s ) i a l + m _ 8 ，m 茎1 、 ”。 对v7 1 正，由c 充分小及归纳假设，有 z 1 。剐( 叩毗1 ) ) 忆嗍出 5 s z t 而1 蜓咖( 1 + 以) c l 1 7 则由( 2 1 2 0 ) 式，有 则 ，i k ( t ) 曼g 0 s “z 。皈( o ，圳驴 l o l + m 9 ，m 墨1 + g t i l l s “z 。 j o l al + m _ 9 ，r a _ l 3 ( v u k 一1 ) 绕刚让k 慨r 3 ) 幽 氏( 是) + ，氏( 疋) g e + g k 妒z 。r ( s ，) 慨蛸如 j 0 h i + m 兰8 ，m 1 对( 2 2 6 ) 式右边的第一个积分，有 壹( v 。) 岛帅川l ? ( 孤 ( 2 删 , n = l 1 5 fi i s “z 。屁( s ，) ( r 3 ) d s j o + ：吕，。曼l 曼cf 娃l l s , “z 。( a 让a 2 酬耿幽 j ” a l + m s s ，m s l、“ 兰g 肿s ，训，( 川+ 纛，晔咿嘣”) 忆d s 旧枨卅妒脚吣小 训) 执小训忆3 ) d 5 训 矧是= 之泛= ，暑e知枨卅妒脚蚺小，训) 嵫，陋吆咿饥。，。唑。育，拈 + c f 4 ( 川+ 荟雕。| s m z 。凯1 ) 。( + 荟蜓。1 驴z 咿妣训她御d s 口 z m s ( 一唧 o f g 佻a z b 昧小，川) ) ( 蚓+ 垂蚓小，川) 如 c z 咒等掣呱( s ) d s c c l e l n ( 1 + 正) 慨( 正) _ c c l c 慨( 噩) 同理，a 2 c c l c m k ( t 。) 由引理1 1 1 2 ，固定8 ，r ，对蚓【譬，2 r ，有 i l s ”z 。o u k l ( s ，) i l l i 导，2 司c ( i + r ) 一1 1 1 s ”z 。o u k 一1 ( 8 ，) 1 1 驴【譬，4 同 l a l + m 1l o l + m 3 ，m 1 则 躯g “l 掣肾“”川州) f k i l l + m 7 ，。；，“s ”。z 。a 2 u m c s ，“。c n s ，) a s ，m 茎l 曼a z 飞+ 纛。卅一一s ，川b ，) 气十委r t ： 1 1m 却酽毗训础蚪1 d s 陋l 十m 茎8 。一 曼叱+ 委m 刊南吁饥“”川纠1 l o l + m 3 ，m 1 气十荟胂舭- 川 n 训础h ) 1 i a i 十m 8 ，m s l sc c l e l n ( 2 + 正) 慨( 疋) 茎c c , c m k t s ) 同理可证 a 4 + a 5 墨c c l c m k ( 冗) 对( 2 2 6 ) 式右边的第二个积分，同理可用c c x c m k ( t 。) 控制所以有 i k ( t ) + ，如( 正) 兰c e + c c l c m k ( t e ) 下证 1 9 显然，齐次方程组l v = 0 具初始数据，g 的解 满足( 2 2 7 ) 式下证方程组 的解w 也满足( 2 2 7 ) 式 由( 2 1 1 5 ) 式，有 则 fl w = n = l u ， 1 ”( o ，) ：执 ( o ，) 一o 。! 圳7 2 州分川州ef 上3 l 聂募! 。妒z 。气捌篙 a j ( 噩k i 十袅。畔m 1 f 。d y d s + aj ( 是k i + 纛。l s , , z 。f 叫d y 圳d s d 1 + d 2 由 i s m z 。n i c i s ”z 。( o u k l 护u k ) l 叱+ 荟s m z v e u t1 ) ( + r r t 6 , 。 1 即1 ) ，仁z 固 吣g z 疋屯( 川+ 纛。”南叼删，i ) ( i ( 1 - y 1 ) 屯矿啪，y ) 1 ) 删s p i + ”。主6 三1 、 兰g (i i ( t + l y l ) 咖“z “峨_ 1 ( ”) 1 1 即引川) ) i 。i + ”1 s 6 “s 1 、 l i i ( t + l y l ) 一i 1 s “z 。“( s ，) i i l o ( i 。，正】r s ) ) ：s u pi s z o 取l l d i + ? 篇m l 1 9 1 1 e ( i 蜓， s z u k - l j i l 。( 1 y l _ 2 ) a j + m _ 8h 卅荟妒删协静) 1 i，m 1b l 十m 1 8 ，m 兰1 g ( i a l + m _ 8 ，。；1 队，+ i ”i ，一 s z 。峨一- i i c 。c s 。，1 i，m ( i 雁“- + 1 1 ) - ；伊zu k h l 2 ( 1 y i 2 ) a l + m 8 1 1 i，m 耶c z 气+ 荟一姐圳咖吁啦小，训酬川) k点眦圳毛俨呶即川叫圳蜊)如t亩曲ml l n l + m s 8 ， ”旧i 二。 c 1 1 ( 1 + r ) 一 驴z 。吨一l ( s ，) i l l 。( 啪j 肫3 ) 1 1 ( 1 + r ) 一j 1s z 。“她t ) i l l 。( 雌1 槲) 唧s u 靼p 烈晰芦1 c 慨嗡 则( 2 2 7 ) 式成立故 由此可得，当c 充分小( 不依赖) 时，对充分小的，存在c 1 使 估计( 2 2 5 )