（应用数学专业论文）鞅在生存分析中的应用.pdf

鞅在生存分析中的应用 摘要 生存分析是数理统计学研究的一个重要分支，自二十世纪7 0 年代中期 以来得到迅速发展，生存分析最初起源于现代医学，工程等科学研究中的大 量实际问题，着重对删失数据进行统计分析研究，因此具有很强的实用性， 对医学、工程产品的可靠性的统计具有重要作用。生存分析理论结合一些新 的概率统计的前沿理论，能妥善地处理现实生活中常见的删失数据问题，而 且在解决实际问题的同时，揭示了一些更为复杂的理论问题，促进了数理统 计的发展。 本文在综述生存分析中的基本理论与方法的基础上，引入了随机过程中 的点过程鞅分析方法，探讨了非参数估计中的乘积限估计。并将带有右删失 数据的生存分析试验引入到参数连续、状态连续的严平稳弱混合随机过程 中，把该随机过程中得到的生存数据样本表达为计数过程，用点过程鞅方 法，讨论了该随机过程中生存函数的乘积限估计的渐近无偏性及此估计量的 弱收敛性质，并给出用鞅分析计算乘积限估计的方法。讨论了严平稳弱混合 过程中与生存函数有关的函数，即危险率函数、累积危险率函数、平均生存 时间、剩余寿命分布函数、平均剩余寿命函数的估计，并就估计的a s 性质 进行了相关讨论。 本文又将鞅分析方法引入到带有右删失数据的可靠性增长服从非时齐 p o i s s o n 过程的试验中，用极大似然估计的方法确定带有右删失数据的模型 的形状参数，通过将非时齐p o i s s o n 过程转化为时齐p o i s s o n 过程，用鞅分 析讨论了故障发生的平均时间问题及用鞅的停时理论讨论故障发生的时间间 隔问题，得到了相关结果。 关键词生存分析；右删失数据：鞅方法：乘积限估计 堕堡堡矍三查耋矍兰里圭兰堡丝兰 t h e a p p l i c a t i o no ns u r v i v a la n a l y s i s b ym a r t i n g a l e a b s t r a c t s u r v i v a la n a l y s i s ，w h i c hi sa n i m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ， h a sd e v e l o p e dv e r yq u i c k l ys i n c e19 7 0 s i to r i g i n a t e df r o ml o t so fp r a c t i c a l p r o b l e m si nm o d e mm e d i c i n ea n de n g i n e e r i n g ，s t r e s s e ss t a t i s t i c a la n a l y s i so f c e n s o r e dd a t a ，h a sg r e a tp r a c t i c a b i l i t ya n dc o n t r i b u t e sal o tt or e l i a b i l i t ys t a t i s t i c s o fp r o d u c t si nm e d i c i n ea n de n g i n e e r i n g b ya p p l y i n gs o m el a t e s tt h e o r yo f p r o b a b i l i t yt h e o r ya n ds t a t i s t i c s ，s u r v i v a la n a l y s i sn o to n l yd e a l sw i t hc e n s o r e d d a t ap r o b l e mi nr e a ll i f e ，b u ta l s or e v e a l sm o r ec o m p l i c a t e d l yt h e o r e t i cp r o b l e m s a n dp r o m o t e st h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ，w h i l ei ts e t t l e sd o w n p r a c t i c a lp r o b l e m s f i r s t ，i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dm e t h o d so fs u r v i v a l a n a l y s i s ，m a r t i n g a l ea n a l y s i sm e t h o do fp o i n tp r o c e s si ns t o c h a s t i cp r o c e s si s i n t r o d u c e da n dp r o d u c tl i m i te s t i m a t o ro f n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o ni sd i s c u s s e d m o r e o v e r , w ei n t r o d u c es u r v i v a la n a l y s i se x p e r i m e n tw i t hr i g h t - c e n s o r e dd a t a i n t os t r o n gs t a t i o n a r y w e a k l ym i x i n gp r o c e s st h a tp a r a m e t e ri sc o n t i n u o u sa n d s t a t ei s c o n t i n u o u s ，e x p r e s ss u r v i v a l d a t a s a m p l ea sc o u n t i n gp r o c e s sa n d i n t r o d u c em a r t i n g a l ea n a l y s i sm e t h o do fp o i n tp r o c e s s f u r t h e r m o r e ，a s y m p t o t i c u n b i a s e d n e s so fp r o d u c tl i m i te s t i m a t o ro fs u r v i v a l a n a l y s i s a n dw e a k c o n v e r g e n c eo fp r o d u c tl i m i te s t i m a t o ri ns t o c h a s t i cp r o c e s sa r ed i s c u s s e da n da m e t h o do fc a l c u l a t i n gp r o d u c tl i m i te s t i m a t o rb ym a r t i n g a l em e t h o di sp r e s e n t e d b e s i d e s ，w es t u d yf u n c t i o n a le s t i m a t o r so fs u r v i v a lf u n c t i o n si n s t r o n g s t a t i o n a r y - w e a k l ym i x i n gp r o c e s s ，i n c l u d i n gf a i l u r e f a t ef u n c t i o n ，c u m u l a t i v e f a i l u r ef a t ef u n c t i o n ，m e a ns u r v i v a lt i m ef u n c t i o n 。r e s i d u a ll i f ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ，m e a nr e s i d u a ll i f et i m e ，a n da l m o s ts u r ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so f t h e s ee s t i m a t o r s s e c o n d ，w ei n t r o d u c em a r t i n g a l em e t h o di n t oi n c r e a s e dr e l i a b i l i t y e x p e r i m e n to fi n h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s sw h i c hi sw i t hr i g h t - c e n s o r e dd a t a ， n 堕垒堡垩三奎兰塞兰堡圭耋堡丝兰 a n df i xt h es h a p ep a r a m e t e r so fm o d e lw i t hr i g h t - c e n s o r e dd a t ab ym a x i m u m 1 i k e l i h o o de s t i m a t i o n b y t r a n s f o r m i n gi n h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s si n t o t e m p o r a l l yh o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s ，w es t u d ym e a nt i m ep r o b l e mi n m a l f u n c t i o nb ym a r t i n g a l ea n a l y s i sa n dt i m ei n t e r v a lp r o b l e mi nm a l f u n c t i o nb y s t o p p i n gt i m et h e o r yo f m a r t i n g a l e ，a n do b t a i ns o m er e l a t e dr e s u l t s k e y w o r d ss u r v i v a la n a l y s i s ；r i g h t c e n s o r e dd a t a ；m a r t i n g a l em e t h o d ；p r o d u c t l i m i te s t i m a t o r i - 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文鞅在生存分析中的应用，是 本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取 得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研 究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。 本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：日期：2 i ”7 年3 月) 。日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 鞅在生存分析中的应用系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导 师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论 文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允 许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密曰7 。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名： 祀日期：力呷年3 a p o 日 导师签名： 川垮缸 日期：川年? 月。日 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究意义 生存分析是近二三十年发展起来的数理统计的新分支，它是根据医学、生 命科学、可靠性工程、保险等科学研究中的大量实际问题提出来的。简单地 说，生存分析可以广义地认为是一个或者多个非负随机变量的一类统计分析技 术，即根据观测到的数据对一个或者多个非负随机变量进行统计推断，是主要 研究随机删失数据的统计分析。随机删失是生命科学、医药追踪研究、可靠 性寿命试验及其他一些实际问题中常常碰到的一种重要类型的统计数据。其理 论与方法不仅能应用于生命科学、医药卫生、可靠性工程，而且在保险数学、 犯罪学、社会学、市场学、环境科学、航空航天等高科技领域都有广泛的应用 前景。 生存分析的起源可以归结于几个世纪之前对死亡表的研究及半个世纪前开 始的工程研究。二战引起了人们对武器可靠性的研究，而且这一研究一直持续 到今天的武器及商业产品，医疗产品上。随着科学技术的进步人类开发了许多 新的大型设备和系统。例如计算机网络系统、通讯系统、自动生产线系、银行 服务系统、核电站、大型客机等等。这些系统都结构复杂、功能强大、研制开 发周期长、费用巨大、系统一旦发牛故障，将对社会、经济、环境等方面造成 不同程度的损害。因此系统效能中最重要的指标可靠性越来越受到人们的 高度重视。故生存分析中的一个重要目标是对可靠性的研究。生存分析不是孤 立的研究某个个体的生存时问，而是研究一批个体的生存时间，任何个体的生 存时问多长带有偶然性，而一。批个体的生存时问多长就带有一定的规律性。生 存时间可以广泛的定义为一给定的事件发生的时间。这个时间可以是疾病的发 生、药品的持续效果、一种处理的反应、一种产品的寿命、病情复发或死亡。 生存数据不仅出现在生物医学中，而且出现在工业可靠性、社会科学和商业研 究中。在这些领域生存数据的例子是：可靠性工程中的电子设备( 原件或系 统) 的寿命，犯罪学中重罪犯人的假释时间，社会学中首次婚姻的持续时间， 它也可以不是时间，它可以是汽车车轮转动的圈数，也可以是市场学中报纸或 杂志的篇幅和订费，甚至可能是保险公司在某一索赔案中所负的保险费，股市 指数的连续上涨和下跌的也可以看成是一种特殊的生存数据口】。 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 和普通统计学一样，生存分析处理生存数据的方法也主要分成两大类：对 生存时间分布总体情况了解很少的时主要用非参数方法：当总体的分布类型已 知，只是若干个参数未知时，采用参数性方法。参数性方法可以适用于样本较 小的情况，非参数方法则必须要求生存数据的样本较大。其中生存数据主要服 从的参数分布9 1 有指数分布、w e i b u l l 分布 4 1 、极值分布、广义g a m m a 分布、 对数罗吉斯提克分布、r a y l e i g h 分布和p a r e t o 分布等多种形式，对于更为常用 到的处理生存数据的非参数方法主要包括寿命表法【5 】、k a p l a n m e i e r 估计1 6 1 、 t u r n b u u 估计1 7 1 等多种方法，其中k a p l a n m e i e r 估计是k a p l a n 和m e i e r 于1 9 5 8 年提出来的，由于它的乘积极限形式，又称为乘积限( p l ) 估计，k a p l a n m e i e r 估计在生存分析中有着经典的地位，广泛的适用范围。它在生存分析中的地位 相当于完全观察下的经验分布函数，然而它的构造及其统计特性的研究要比经 验分布函数复杂得多，近年来人们主要致力于这一估计的研究，将鞅分析引入 到该领域内进行了研究与探讨。 鞅是随机过程的一个前沿理论，将鞅的理论引进到的生存分析的研究当 中，对认识生存分析的性质有着重要的意义。近年来鞅的收敛、鞅的分解、鞅 的构造，鞅不等式、可积变差鞅、鞅的随机积分、鞅的中心极限定理、可料过 程的局部鞅，特殊半鞅的可料性、指数鞅的一致可积性、b 值鞅、鞅重抽样方 法、点过程鞅方法等等鞅的理论和方法被应用到生存分析的研究当中去。如何 进一步发展鞅的理论并应用于生存分析，发展生存分析的理论与方法，从而解 决更加广泛的生存分析中的遇到的实际问题，已成为生存分析及其发展的迫切 需要，也是鞅理论研究与应用的一个当务之急。 1 2 研究状况及其进展 生存分析是近几十年来发展起来对生存数据进行统计分析的一门学科，进 二十年来受到了国内外统计学家的关注，研究异常活跃。生存分析中人们最关 心的是非负随机变量x 的分布函数，所以估计分布函数的问题是生存分析中 研究最多的问题之一。生存分析中的乘积限估计s = 1 一f 是1 9 5 8 年k a p l a n 与 m e i e r 在不完整数据即包含寿终数据和右删失数据的情况下提出来的，由于统 计量是以乘积的形式出现的，所以也被统称为k a p l a n m e i e r 乘积限估计。 k a p l a n - m e i e r 乘积限估计是一种非参数极大似然估计，e f r o n 引进另外一种计 算乘积限估计的方法 s l ，右向重新分配算法，简化了一些计算过程。k a p l a n m e i e r 乘积限估计是唯一的自相容估计，k a p l a n m e i e r 乘积限估计的自相容性 哈尔滨理工人学理学硕上学位论文 使得它能通过迭代法进行计算，迭代方法的发现使得k a p l a n m e i e r 乘积限估计 能被应用到更加一般的删失问题中去。1 9 7 4 年b r e s l o w 和c r o w l e y p l 证明了 k a p l a n m e i e r 乘积限估计的弱收敛性；后来g i l l 做了突破性的工作，扩展了弱 收敛区间；m a j o r 和r e j t o 建立了强逼近定理，证明了乘积限过程有类似十经 验过程的强逼近定理。p e t e r s o n 通过给出的p e t e r s o n 表达式，从而证明了 k a p l a n m e i e r 乘积限估计的强相合性【l o l 。关于k a p l a n m e i e r 乘积限估计的强相 合性收敛速度，文献1 中已经有很多研究，概括地讲分为两种情形： ( 1 ) 限制在区间【0 ，r 】上f 0 1 d e s 和r e j t 5 等人证明了 l i m s u p n l ，2 ( 1 0 9 l o g n ) 叫2s u p i s ( f ) - s ( t ) c ( 1 一i ) 月o g t | ! ；r 成立，其中c 是仅依赖于f 的常数。 ( 2 ) 在较强的条件f ( 如) = 1 下，c s o r 9 8 和h o r v , l t h 证明了下式 癣2 n ) ”z ( 1 0 9 l o g 万啦鲫p i 鼬) 一s ( f ) | z o ( z x 0 ) ，则 称该个体的生存数据在z 是右( 左) 删失的，并说x 是右( 左) 删失数据。生存分 析的特点之一就是分析含有删失数据的情况，本文只讨论含有寿终数据和右删 失数据的情况。 定义2 3 产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的概率叫做产 品的可靠性。在产品研制周期内，通过“试验一故障分析一纠正错误一再试 验”过程，使产品可靠性逐步提高的过程，叫作可靠性增长。 定义2 4 从一个总体中随机抽出n 个个体进行寿命试验，每个产品试验进 行到预先给定的时间t 为止，这个方案叫做定时截尾试验。从一个总体中抽取 n 个同时进行寿命试验，试验进行到恰好出现第，个寿终时停止，这个方案叫 做定数截尾试验。 定义2 5 记，( ，) 为生存时间：j 的分布函数，用定义，( ，) = p ( x f ) ，其中 t 0 ，则生存函数定义为s ( ，) = 1 一f ( f ) = p ( t f ) ，s ( 0 ) = l ，s ( + ) = o 。 定义2 6 危险率函数在可靠性统计中叫失效率函数，在医学研究中也叫做 瞬时死亡率，死亡强度等。非负随机变量x 的分布密度函数为( f ) ，则定义 x 的危险率函数为 m ：盟：盟( f o ) 1 一，( f )s ( f ) 等价定义形式为 = l i m m1 f p ( x ，+ a t i x ，) 危险率函数与分布函数的关系为 a o ) = 导( 一l o g o f o ) ) ) = - “3 7 , ( - l o g s ( t ) ) 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 于是有 即) _ 1 廿( f ) _ c x p _ r 砸) 出 危险率函数是刻画生存时间的重要特征之一，它实际一 ：是条件生存率，可 以粗略地解释为：五( f ) 是在时间t 活着的个体，在接下来的单位时间区间内死 亡的条件概率。在危险率函数基础上定义累积危险函数为 a ( t ) = i 。五( 础缸 定义2 7 设产品的寿命为x ，分布函数为f ( t ) ，若产品工作到时刻x 后仍 正常工作，其继续工作的时间x x 的分布函数为只( f ) ，则 f a t ) = p ( x - x t i x 叫= 等 称之为剩余寿命分布函数。令m ( x ) 为产品工作到时刻x 仍能正常工作的条件 下，继续工作的平均时间，则 m ( 曲= i ；t d f x ( t ) = f o 0 ，m 叫作形 状参数，7 叫作刻度参数。当形状参数m = 1 时，又叫指数分布。指数分布的分 布函数为 f ( f ) = l f - ( ；) f o 概率密度函数为 1 _ f 口 ，“) = 二p t 0 1 1 定义2 1 0k a p l a n m e i e r 估计适用于生存数据全部为寿终数据或右删失数 据的情况。设观察从0 时刻开始，记录总体的”个生存数据，2 ，若 为寿终数据时记巧= 1 ：若为右删失数据时，记巧= 0 。，是 t i ，t 2 ，的次序统计量，对应得到一系列暖，) ( 1 i ) ，k a p l a n m e i e r 估 哈尔滨理工丈学理学硕士学位论文 计定义为 s ( f ) = l ，t 【o ，t ) ) 垂( 署羔r 州“九一= 啦，川 0 ，t 【彬) k a p l a n m e i e r 估计有以下的等价定义形式： 设置，( f = 1 ，”) 是分布甬数为，( f ) 的聆个非负独立同分布的随机变 量，】= ( i = 1 ，一) 是n 个非负独立同分布的随机变量，分布函数为c ( t ) 。设 z = m i n x , ，z ，巧= ，( 五，：) o = 1 ，2 ，玎) 其中，( ) 为示性函数，在本文中均有此表示。易知z 有分布函数 爿( f ) = p ( t ，) = 1 一( 1 一，( f ) ) ( 1 一c ( f ) ) ( f 0 ) 设l 。) s 夏：) 五。，是五，五，l 的次序统计量，反) 为对应的五，) 的 点值，则k a p l a n - m e i e r 估计是 札照( 芸矗) 气n g ” k a p l a n m e i e r 估计是生存函数s ( f ) 的广义极大似然估计。当试验时间 t f ) s ( f ) = d 一 ( 2 ) 使用迭代公式 弘枷妒挣f - - 卅磊( 1 - ) 端f 2 2 生存分析中的极大似然估计理论 设( z b ) 足任何可测空间，善是概率空问( q ，f ，b ) 到( ，b ) 的可测映射， 哈尔滨理工大学理学碗上学位论文 这里口0 ，o 是r “中非空开集。设孝有分布密度似卯( 关于某盯有限测度 ) ，即 b ( 善爿) = l 。f ( x ，口址( 出) ( 0 o ) 定理2 1 设置，以是来自善的样本且独立同分布，分布函数为 ，p ) ，o ，概率密度函数为回，令上啦，；印= 兀尥，力是样本似 然函数，若满足如下条件，则最大似然估计具有强相合性： ( 1 ) f 0 ) 是x x o 上有定义的正值函数； ( 2 ) f ( x ，口) 对0 连续； ( 3 ) 警，鬻吼一川存姐馘 ( 4 ) 对每一个岛0 t 存在u o = o ：l l o o o l l ) c o ( o ) ，以及函数 心o ) 和满足 i o 御2 f ( x q o ) l s 佩c 力ia q 够i ” 陆铲阻ia 即ql ” ( i , j x , o e ) x ) ( f ，j ，薯p u ) 且l 氏( x ) ( m ，l 瓯o ) f ( x , o o ) z ( d x ) o o ； ( 5 ) 0 i n f 磊( x 一, o ) ( f ：l ，埘) 对x 是线性无关的0 七) ； d 伊 ( 6 ) l n ( x ，毛；d 是正规的，即对测度出去个零测集外，似然 方程组 o i 矿n l n = 。u = 1 ，m ) 有且仅有一解。 定理2 2 设孝的密度函数厂( x ，目) 满足定理2 1 中条件，参”是基于样本 ( 五，以) 的最大似然估计，则对任何0 0 有 p e ( 1 i m t ；( ”) ；0 、；1 2 3 本章小结 本章综述了生存分析中的的基本知识和相关理论及性质，引入了生存分析 中人们普遍关注的生存函数的定义、性质，及其相关函数即危险率函数、累积 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 危险率函数、平均生存时间、剩余寿命分布函数的、平均剩余寿命函数的定 义、性质，及包含删失数据的极大似然估计的性质。作为本文的预备知识，这 些基本知识对于下文的研究都是必要的。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章鞅分析及其在生存分析中的应用 3 1 鞅的概念及有关理论 3 1 1 鞅的概念 设( q ，) 是概率空间，即q 为任意非空的集合，f 是n 的一些子集组 成的盯代数，p 是f 上有定义的概率测度。称 f ，t o ) 是( q ，f ，p ) 上的盯代 数流，若下列条件满足：对一切t 0 ，f 是盯代数，且只c fc f ( 一切 0 j io s t 定义3 1 称口代数流，t 0 ) 是右连续的，若对一切t 0 ，z + = z 。称( gf ，) 上的广义实值随机过程x = ( 石( f ) ，t o ) 是关于盯代数流 e ，t 0 ) 适 应的，若对一切t 0 ，石( f ) 是f 可测的。 定义3 2 随机过程里的每一个x c t ) 均是烈q ) 的函数，x ( f ) = x ( t ，功， 这是( f ，纠的函数。当出固定时，x ( t ，功是f 的函数，这个函数叫做随机过程 的轨道，记作比功 定义3 3 记号f ：= 盯( x ( s ) ，0 s s ，) 表示q 中使x ( f ) 均可测的最小矿代 数。即随机过程x = ( x ( f ) ，t o ) 关于盯代数流 f o 是适应的。称( gf ，p ) 上 的实值随机过程x = ( j ( f ) ，t o ) 是右连续( 左连续) 的，若其所有轨道是x ( t ，功 是t 的右( 左) 连续函数。 定义3 4 概率空间( q ，p ) 上给定仃代数流，t o ) ，考虑集合系： e = ( j ，门a ：0 s t ，a e ) u o ) a ：a f o ) ， 在【o ，o o ) q 中包含e 的最小盯代数叫做可料仃代数，用矿表示。称( o ，f ，d 上的实值随机过程x = ( x ( ，) ，t 0 ) 是关于盯代数流 f ，t o 的可料过程，若 二元函数z ( f ) = x ( t ，功关于可料盯代数庐可测。 引理3 1 若随机过程x = ( j ( f ) ，t 0 ) 是适应于盯代数流 f ，t 0 ) 的左连续 过程，则它是可料过程。 定义3 5 称n = n ( t ) 是计数过程，若是右连续增过程，( o ) = 0 ，( f ) 0 ，n = n ( t x t 0 ) 是简单计数过程，若它是计数过程且a n ( t ) = 0 或 a n ( t ) = l 。 窒垒堡垩三奎兰登兰竺圭耋堡兰三 定义3 6 设x = ( x ( f ) ，0 ) 是适应于盯代数流，t o ) 的右连续过程， 若对一切t 0 ，e i x ( f ) i o o 且对一切0 j o ) 其中， 4 ，f d ) = l i ms u p 4 3 1 3 计数过程的鞅分析 在简单计数过程中可以通过如下方法构造鞅。设x ，】，均为概率空间 ( q ，d 上的非负随机变量，x 的分布函数为f ( t x t o ) ， t = x y ，艿= z ( x sy ) ， q ( f ) = i x f ，j = 1 ) ， q ( f ) = z x f ，j = o ， e = 盯( q ( x ) ，q ) ，0 x f ) ， a ( f ) 2 j 。两杀尹( 。) ( f o ) ， b ( f ) = iz ( t x 矽a o ) ( f o ) ， 性质3 1 在上面给定的条件下( 1 ) 口代数流，t 0 ) 是右连续的： f + = f ；( 2 ) 随机过程q ( f ) ( f o ) 关于f 代数流 f ，0 ) 是适应的。( 3 ) 随机过 程q ( t ) ( t 0 ) 是右连续的。 在概率空间( n ，f ，p ) 上，相互独立同分布的正值随机变量列 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 五，l i 行 ， r ，l i ) 的分布函数为，( x ) ，f ( o ) = 0 。对任意t 0 ，令 z = 置n r ，4 = j ( z ，l ：) ， q ( f ) = ，( 置t ，巧= 1 ) ， q ( f ) = j ( 置t ，巧= o ) ， f = 盯( q ( x ) ，q ( x ) ，f = 1 ，2 ，n , o x f ) ， m ( f ) = q j ( f ) 一骂( ，) ， a ( ) 。j 。西杀( x ) 旦( f ) = l 。，( 巧x ) d a ( x ) ， 形( f ) = j = q ( 渊( 曲，( j - 1 ，2 ) ， 其中， g ( f ) ，t 0 ) 是关于仍，t 0 可测的有界可料过程。有如下性质、定 理。 性质3 2 在概率空间( q ，) 上，若q 时) 是适应于盯代数流，t 0 ) 的右连续增过程，q ( o ) = 0 ，且对一切t 0 ，e lq ( ，) i ，设b ( t x t 0 ) 是 q ( t ) ( t o ) 的补偿子，又日( ，x f o ) 是关于，t 0 ) 的可料过程，满足对一切 o ) e q 及，o ，日( x ，) d b ( x ，) 均存在，并且e lh ( x , w ) ( 培o ，吐，) l o ) 的非负下鞅，可料变差过程为 哈尔滨理工人学理学硕上学位论文 a c t ) = j = m ) ( 1 一a a ( 瑚州x ) f m ) = 窆旭刎1 t i l l 3 7 c o v ( 彤( f ) ，( f ) ) = r e ( ，( 7 ：x ) c 。( x ) c i ：( x ) ( 1 一a ( 工) ) ) d a ( x ) 性质3 8 e w e ( t ) = o ( j = l ，2 ) 证明e ( f ) = e 窆r q ) d m ( x ) = 窆e 【q ( z ) d m ( x ) m ( ，) 是鞅，q ( f ) 是可料过程，则r q ( 功d m ( x ) 是鞅。 由鞅的性质可知 e ( j = q ( x ) 以( 圳e ) = e q ( x ) 姒( x ) i f ) = o e 乃( f ) = 砭j = g 彬= o u = 1 ，2 ) 3 2 鞅分析在乘积限估计计算中的应用 本节用连续时间样本来估计生存函数，把右删失情况推广到连续时间场 合，探讨鞅分析在乘积限估计计算中的应用。 3 2 1 随机过程中的生存分析 关于生存函数、累积危险率函数、平均生存时间、剩余寿命分布函数的估 计及其性质已经有许多讨论研究，利用分布函数可以估计这些函数。但是以上 生存分析的结果都是基于离散样本的，本节用连续时问样本来估计生存函数， 把右删失情况推广到连续时间场合，即假设x = f x ( c o ) ，0 1 与 z = z ( t o ) ，缈o ) 是定义在概率空间( q ，f ，) 上两个非负实可测连续时间严 平稳弱混合过程。本节将生存分析及可靠性试验中的右删失问题引入到随机过 程中来。考虑在连续参数，连续状态下的随机过程中带有右删失数据的生存函 数的估计问题。 定义3 8 设随机过程x = z ( t o ) ，国0 ) 的有限维分布函数族为 ，。( ，0 ；( 0 1 ，6 ) ， - 0 1 ，一，c o 0 ，r t 1 ) 若对任意的月和任意的q ，r o 0 ，及使q + f ，峨+ 孝0 的任意f ，有 ，( ，；q ，一，( 0 n ) = f ( t i ，- ；i + f ，o j + 善) 则称x = z ( c o ) ，o ) 是严平稳随机过程。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 定义3 9 若随机过程x = ( 曲，珊o ) 满足 s u ps u pi p ( a n b ) 一p ( 4 ) p ( b ) i j = 斗0 砬0j e 口( j ( ) ) 口e 口f j ( f ” 则称x = x ( 功，彩0 是弱混合随机过程。 以下讨论都是基于下列假设、定义和记号进行的： ( 1 ) 设试验从时刻0 开始，到时刻r 停止，x = x ( c o ) ，c o 0 ) 与 z = ( z ( ) ，彩0 ) 的分布与时间m 无关。试验可得到一组生存数据的样本( 包 含寿终和删失数据) ，设置( f = l ，2 ，月) 分布函数为，( f ) ( f 0 ) ，f ( o ) = 1 。 生存函数为s ( f ) = l 一，( f ) 。 ( 2 ) 设z f o = l ，2 ，h ) 与x j ( i = 1 ，2 ，- * - 9 栉) 相互独立，分布函数为 g ( t ) ( t 0 1 。 ( 3 ) 设 t | = x 。，z 。，5 ；= l t x i s z ， q ( f ) = j z f ，巧= 1 ) ( f o ) ， ( 3 - 1 ) q ( ，) = ， z f ，4 = 0 ) ( f o ) ， 4 ( f ) = 户( 互 f ) ( f = 1 ，2 ，”) o o ) ， b a t ) = p ( 互t x i = l ，2 ，n x t o ) ， c ( f ) = p ( z t x i = i ，2 ，功o o ) ， 口( f ) = j ( z t x i = l ，2 ，n x t 0 ) ， 烈f ) = q ( f ) = ，珥f ，4 = l ( f = 1 ，2 ，疗) ， ( 3 2 ) l = l= l d ( f ) = d i ( f ) ；，何t x i = l ，2 ，功， t = li = l 一， a ( f ) _ j ：o - - l - - ，d f ( 力， m ( f ) = q ( f ) 一i 。p ( x ) d a ( x x i = l ，2 ，功， 令f ；a ( q a x ) ，豆( x ) ，0 s 聋s t ) ，根据以上在连续参数，连续状态下的严 平稳弱混合过程中对生存数据的定义及简单计数过程的定义，我们可以证明 以下结果： 推论3 1q ( f ) = ， z t ，点= 1 ) 是简单计数过程，q ( t ) 是计数过程。 证明 由性