（概率论与数理统计专业论文）去心n中取相令kg系统的可靠性分析.pdf

1 u li ii ii iii l llli i iiil 、t18 8 4 5 13 r e l i a b i l i t ya n a l y s i so f t h ed e l e t e dc o n s e c u t i v ek - o u t - o f n ：g s y s t e m a t t e rr e m o v i n gt h ew r o n gc o m p o n e n t b y c h e nl i b s ( j i a n g x is c i e n c e & n o r m a lc o l l e g e ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e i i l p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s i n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e & t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rl i a n gx i a o l i n a p r i l ，2 0 1 1 一 ， 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重卢明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明本人完全意识到本卢明的法律后果由本人承担 作者签名： 形砀 j 晌月刁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权长 沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：飞向风 导师签名乙缝d 夕一日7 日 、 ， 月 月 ， r 年 年 哪 驯 期 期 日 日 摘要 近年来，由于解决工程实际问题的需要，复杂系统的可靠性分析受到了学者 们的广泛关注。i i 中取相邻k ：g 系统是一类应用广泛的复杂系统，它被定义为n 个部件按线型或坏型排列，系统正常当且仅当至少有k 个相邻的部件正常。为了 研究更贴近于实际的寿命现象，本文提出了一类新的复杂系统模型：去心n 中取 相邻k ：g 系统。它被定义为e 1 个部件按线型或环型排列，系统正常当且仅当至 少有k 个相邻的部件正常或者相邻k + 1 个部件中仅有1 个部件失效，特别地， 当这个失效部件在k + l ( k 为偶数) 个相邻部件的正中间时，去心n 中取相邻k ：g 系统被称为标准去心i i 中取相邻k ：g 系统。本文利用可靠性中更新过程和马尔 科夫更新过程的一般理论，分五章对去心n 中取相邻k ：g 系统的可靠性问题进 行了研究。第一章是引占部分，第二章介绍了可靠性的基本概念与去心n 中取相 邻k ：g 系统的定义，第三章和第四章分别讨论了n 为奇数时标准去心n 中取 相邻1 1 1 ：g 可修系统和去心n 中取相邻n 2 ：g 可修系统的可靠性分析。假定 系统是可以维修的，部件的寿命服从指数分布，维修时间服从一般分布，利用补 充变量方法和拉普拉斯变换方法，对系统进行了可靠性分析，并得出了这个新系 统一些重要的可靠性指标。最后为结论和展望，介绍了本文的创新之处，在实际 生活中能解决那些方面的问题，同时也提出了一些需要改进的地方。 关键词：去心n 中取相邻k ：g ；补充变量方法；可靠性：可用度 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，d u et ot h en e e do f s o l v i n ge n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，t h er e l i a b i l i t y o f c o m p l e xs y s t e m si sw i d e l yc o n c e r n e db ys c h o l a r s t h ec o n s e c u t i v ek o u t o f - n ：g s y s t e mi sak i n d o fc o m p l e xs y s t e mw i t h w i d e l ya p p l i c a t i o n i tc o n s i s t so fn c o m p o n e n t sa l o n gal i n eo rac i r c l es u c ht h a tt h es y s t e mi sg o o di fa n do n l yi fa tl e a s t kc o n s e c u t i v ec o m p o n e n t si nt h e s y s t e ma r ec o o li no r d e rt or e s e a r c ht h el i f e p h e n o m e n o nt h a ti sm o r ec l o s e dt ot h ea c t u a ll i f e ，t h i s p a p e rp r o p o s e san e w c o m p l e xs y s t e mm o d e l ：t h ed e l e t e dc o n s e c u t i v ek - o u t _ 0 f - n ：gs y s t e m i tc o n s i s t so f nc o m p o n e n t sa l o n gal i n eo rac i r c l es u c ht h a tt h es y s t e mi s g o o di fa n do n l yi fa t l e a s tkc o n s e c u t i v ec o m p o n e n t si nt h es y s t e ma f t e rr e m o v i n gaf a i l e dc o m p o n e n ta r e g o o d i np a r t i c u l a r , w h e nt h ef a i l e dc o m p o n e n tt h a ta r er e m o v e di si nt h em i d d l eo f k + l ( ki s e v e nn u m b e r ) c o n s e c u t i v ec o m p o n e n t s ，i ti s s a i dt os t a n d a r dd e l e t e d c o n s e c u t i v ek - o u t o f - n ：gs y s t e m t h i sa r t i c l eh a sd i s c u s s e dr e l i a b i l i t ya n a l y s i so f t h ed e l e t e dc o n s e c u t i v ek - o u t o f ns y s t e mb y u s i n gg e n e r a lt h e o r yo ft h er e n e w a l p r o c e s sa n dt h em a r k o vp r o c e s sc o n s i s t e do ff i v e c h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri s p r e f a c ep a r t s t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l yi n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p to fr e l i a b i l i t v a n dt h ed e f i n i t i o nt h ed e l e t e dc o n s e c u t i v ek - o u t - o fn ：gs y s t e m i nt h i r d c h a p t e ra n d f o u r t hc h a p t e r , t h i s p a p e ri n t r o d u c et h er e l i a b i l i t ya n a l y s i so fs t a n d a r dd e l e t e d c o n s e c u t i v en - 1 。o u t o fn ：gs y s t e mw h e nn i so d da n dt h er e l i a b i l i t ya n a l y s i so ft h e d e l e t e dc o n s e c u t i v en 一2 一o u t o f - n ：gs y s t e m w ea s s u m e dt h a ts y s t e mi s r e p a i r a b l e t h ew o r k i n gt i m ei se x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n dt h er e p a i rt i m eo f ac o m p o n e n th a s a l lg e n e r a ld i s t r i b u t i o n t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h es y s t e ma n dg e ts o m ei m p o r t a n t r e l i a b i l i t yi n d e xo ft h es y s t e mb yu s i n gt h es u p p l e m e n t a r yv a r i a b l et e c h n i q u ea n dt h e t o o lo ft h el a p l a c et r a n s f o r m t h el a s t p a r ti n c l u d e st h ec o n c l u s i o na n do u t l o o k i n t r o d u c i n gt h ei n n o v a t i o n i tc a ns o l v et h o s ep r o b l e m si nr e a ll i f ea n dg i v eo u ts o m e p r o b l e m si nn e e do fi m p r o v e m e n t k e yw o r d s ：t h ed e l e t e dc o n s e c u t i v ek - o u t - o f - 1 1 gs y s t e m ；t h es u p p l e m e n t a r y v a r i a b l et e c h n i q u e ；r e l i a b i l i t y ；a v a i l a b i l i t y 珏 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论 1 1可靠性数学理论的发展一l 1 2 本文研究的背景及其现状2 1 3 本文研究的内容及其创新之处3 第二章系统可靠性相关理论 2 1 系统主要可靠性度量指标4 2 2 去心n 中取相邻k ：g 系统与可靠性相关知识5 2 3 研究方法综述7 第三章n 为奇数时标准去心n 中取相邻n 1 ：g 系统的可靠性分析 3 1 弓i 言8 3 2 模型假设8 3 3 模型分析。9 3 4 系统的可靠性指标一1 1 3 5 结束语13 第四章去心n 中取相邻n 一2 ：g 系统的可靠性分析 4 1 弓l 。占1 4 4 2 模型假设1 4 4 3 模型分析14 4 4 系统的可靠性指标2 2 4 5 结束语一2 8 结论与展望2 9 参考文献3 0 致谢3 3 附录a 3 4 第一章绪论 1 1可靠性数学理论的发展 随着各领域对精度和质量的要求越来越高，促使可靠性数学理论日益丰 富。最早应用可靠性理论的研究领域之一是机械维修问题中对部件寿命的分析 1 1 l 。随后就将更新理论应用于更换问题中1 2 l 。后来由于概率论和随机过程的理 论的不断发展，使得可靠性理论的研究更加丰富，在三十年代威布尔、龚贝 尔、爱泼斯坦伍等研究了材料的疲劳寿命问题和相关的极值理论问题，在研究 过程中，可靠性系统基本上可以分成可修系统和不可修系统。近年随着各个学科 之间的相互联系和综合，使得可靠性学科发展成为以产品的寿命特征作为主要研 究对象的一门综合性和边缘性学科，涉及到技术、工程、管理和计算机软件评定 等的许多领域。最初，可靠性数学只是依靠可靠性基础理论知识。现在已发展成 为应用概率、数理统计、运筹学和随机过程知识的一个边缘性学科。在我国和谐 社会的建设中，各行各业对产品可靠性问题越来越重视，推动了可靠性研究领域 的发展，推动了可靠性理论目趋完善。 在技术科学方面，可靠性数学理论发展到航天、航空领域中，如对在航天、 航空的产品寿命进行可靠性分析，对航天、航天系统的可靠度进行评定。在工程 科学方面，结构耐久性方面的研究，特别是对耐久性评估理论的研究方面，可靠 性数学理论的应用使得工程结构评估方面有了很大的提高。如对现有桥梁结构做 出正确的可靠性评估，准确预测出其剩余寿命，保证结构在寿命延续期内的安全 性。结构构件可靠度理论也比较成熟的在实际中应用，并反映延性对桥梁的重要 性。在不少结构设计规范中，结构系统可靠度较早采用以可靠度为基础并应用可 靠度极限的方法，对工程的可靠度和可用度进行分析。后来提出不同失效模式对 工程系统可靠度的分析有不同的影响，随后又对系统的数学模型进行改进。在机 械设计领域中，可靠性设计在理论和方法上都达到一定的水平，获得了一定的经 济效益，为了使机械产品保证有更高的可靠性，又保证具有最佳的工作效能，将 可靠性设计和优化设计相结合，开展了基于机械部件的可靠想设计，运用最优的 方法，使机械效率得到更好的提高。在管理科学方面，近几年可靠性数学理论已 经很成熟的应用到供应链管理中，成为对供应链配送中心绩效评价的重要指标。 l 1 2 本文研究的背景及其现状 在市场竞争日益激烈的环境下，产品生命周期越来越短，客户对产品和服务 的期望越来越高。如何满足客户需求、提高市场占有率、降低成本并取得良好的 经营利润成为企业的一大难题。在这种背景下，我们有必要建立好的数学模型， 对产品的寿命进行评估，更有利于产品的发展。 可靠性理论宅要研究的是产品的寿命特征，这就离不开对产品寿命的定量分 析和比较，从这种意义上可以把可靠性分析看成是一门定量的科学。既然是定量 的科学，那就要建立一定的数学模型，并对提出的问题在数学模型中进行定量的 计算。近年来，研究得比较多的是力中取相邻k 系统，是八十年代初期从工程实践 中抽象出来的数学模型，该系统在输油泵站系统、街灯系统、卫星中继通讯系统、 长途通讯系统、配送服务系统、微波塔系统等均有应用。可将n 中取相邻k 系统 分为n 中取相邻k 坏系统和n 中取相邻k 好系统，l ； 者简记为相邻n - k ( f ) 系统， 它是指系统的1 3 个( 按环形或直线) 顺序排列的部件中只有当k 个或k 个以上相邻 部件失效时系统失效：后者简记为相邻n k ( g ) 系统，它是指系统的n 个( 按环 形或直线) 顺序排列的部件中只有当k 个或k 个以上相邻部件正常工作时系统才 正常工作。 目前，已有一定数量文献对n 中取相邻k 系统的可靠性问题进行了研究，并 取得了丰硕的成果，主要利用马尔可夫过程对故障部件可以修复如新的n 中取相 邻k 系统的可靠性研究，以及有用最小割集法对不可修n 中取相邻k 系统的可靠 性研究。如汪太鹏、张元林1 9 i 等人利用更新过程的相关理论研究了故障部件可 以修复如新的1 3 中取相邻k 系统。对于n 中取相邻k 系统一般模型，王文义和葛 广平1 4 l l 假定系统各部件相互独立且只有工作和失效两种状态，得到了线性与环 形时的失效概率和可靠性数量指标。 在大量的文献中，作者都是假定部件失效后修理工修理故障部件，并服从先 坏先修的原则，在前人所做的大量工作中都显示系统的状态足明确的具体的，组 成系统的部件个数是已知的。在连续k 个部件中，只要有一个部件故障系统就失 效。但有时在连续正常的k 个部件中，有部件失效，但系统并没有瘫痪，还可以 正常工作，在n 中取相邻k 系统的研究中，还未曾见到。如在供应链的研究中， 供应链中的某个环节出现故障，可有相邻的环节中的资源进行补充。梁小林，胡 尊国考虑了基于马尔可夫过程的配送服务过程，分配时间和送货时间都是一般分 布的过程，通过马尔叮夫核的方法得出了系统的可靠性指标。在各种可靠性评估 方法中，建立可靠性数学模型，提出了去心n 中取相邻k 的可靠性系统。 2 1 3 本文研究的内容及其创新之处 本文在以可靠性研究结果的基础上，讨论了去心n 中取相邻k 的可靠性系 统。得出了系统的一些可靠性指标，并说明了它在实际应用中的理论意义。 第二章简单介绍了可靠性数学理论的相关知识，如可靠性的数量指标、马尔 可夫过程、更新过程。重点介绍了去心n 中取相邻k 系统，给了这个新系统的定 义和n 中取相邻k ：g 系统的区别。本章还给出了标准去心n 中取相邻k ：g 系统 的定义和本文应用的主要方法。 第三章，并讨论了n 为奇数时标准去心n 中取相邻n - 1 ：g 系统的可靠性分 析。假定系统是可以维修的，部件的寿命服从指数分布，维修时间服从一般分布， 利用补充变量方法和拉普拉斯变换工具，对此系统进行了可靠性分析，并得出了 一些重要的可靠性指标。 第四章讨论了去心n 中取相邻n l ：g 系统的可靠性分析。在这一章节中，求 出了系统可靠性指标的线性行列解。使系统的解更具有一般性。 本文的创新点就是提出了一种新的可靠性模型，并求出了系统各项可靠性指 标。丰富了复杂系统的理论知识。得出了去心n 中取相邻n 一1 ：g 系统的可靠性 数量指标。 盖 第二章系统可靠性相关理论 2 1 系统主要可靠性度量指标 ( 1 ) 可靠度 可靠度定义为产品在t 时刻的生存函数r o ) = p r = 乒( f ) 。我们通常用非负 随机变量x 来描述产品的寿命，x 相应的分布函数为f ( f ) = 尸讧 t ，t 0 。一般 记r ( f ) 为产品的可靠度或可靠度函数，产品的平均寿命脚可以用公式表示为 m t t f = = 陋o ) 。不可修产品的主要可靠性指标是可靠度和平均寿命。 i ( 2 ) 可用度 我们可以用一个二值函数来描述可用度。对一个只有正常和故障两种可能 状态的可修产品而言，t 0 ，令 圳= ：，瓣 f 产品正常 f 产品故障 将时刻，产品的瞬时可用度定义为4 0 = 尸 ( f ) = l 。它只涉及时刻f 产品是否正 常，对时刻t 是否发生故障并不关心。 在瞬时可用度彳o ) 的基础上，我们进一步定义时间( o ，f 】内平均可用度 加) = p o 伽 o 若极限彳= 她瓢) 存在，则称彳为极限平均可用度。而若极限彳= ，1 i m 。彳( f ) 存在， 则称其为稳态可用度，显然若稳态可用度彳存在，则极限平均可用度彳必存 在，且有彳_ a 。 ( 3 ) 产品故障次数 对于t 0 ，产品在时间故障次数( f ) 是一个取非负整数值的随机变量。产品 在时间( o ，t i 内故障次数分布为 最( f ) = p o ) = 七) 七= o ，1 ，2 产品在( 0 ，f 】时间内平均故障次数为肘( f ) = e o ) = 蛾( f ) 。当m ( f ) 微商存在时， 4 称朋o ) = 望字是瞬时故障频道。极限存在时称膨= ；骢丝笋为稳态故障频度。 2 2 去心n 中取相邻k ：g 系统与可靠性相关知识 2 2 1 去心n 中取相邻k ：g 系统 去心n 中取相邻k ：g 系统是指由n 个部件按线型或者环型组成的系统，系 统i f 常当且仅当至少有相邻k 个部件正常或者相邻k + 1 个部件中当且仅当一个 部件故障。去心n 中取相邻k 系统对相邻k o u to f 甩：g 系统进行了改进，如系 统有5 个部件按线型进行排列，在相邻3 o u to f 5 ：g 系统中，当第f o = 1 , 2 ，4 5 ) 个部件故障时，系统正常，当第3 个部件故障时，系统失效。而在去心5 中取相 邻3 ：g 系统中，当第砸= 1 , 2 ，4 ，5 ) 个部件故障时，系统正常，当第3 个部件故障 时，系统仍然是正常的。又如当部件1 先失效，接着部件3 失效时，对于5 中取 相邻3 ：g 系统是失效的，但对去心5 中取相邻3 ：g 系统是正常的。 在去心n 中取相邻k ：g 系统的基础上，定义标准去心n 中取相邻k ：g 系 统。标准去心n 中取相邻k ：g 系统是指当k 为偶数时，n 个部件按线型或环型 组成的系统，系统正常当且仅当至少有k 个相邻部件正常或者故障部件两旁至少 l 有相邻兰1 个部件正常；当k 为奇数时，n 个部件按线型或环型组成的系统，系 z 统正常当且仅当至少有k 个相邻部件正常或者故障部件两旁至少有相邻芝个 z 部件正常。如在标准去心5 中取相邻3 ：g 系统中，当部件都正常时，系统正常， 当第3 个部件故障时，系统正常，其余状态系统都是失效的。 2 2 2 可靠性相关知识 ( 1 ) 马尔可夫过程 设口似f o 是取值在状态空间e = o ，l ，) 或e = o ，1 ， 上的一个随机过 程，若对任意自然数n ，及任意n 个时刻点0 t x t ： f 。有 尸忸( f ) = 厶ix o 。) = ，x o ：= i 2 ，一 x 以q ) = 一， = p 忸也) = ix o _ ) = 厶q 则称仁n ，o 为离散状态空间e = o ，l ， 或e = 0 ，l ， 上的连续时间马尔可 夫过程，又如果有 p x ( f + ”) = j i r q ) = i - 只( f ) ， f ，j - e 则称马尔可夫过程 x ( f ) ，r o 是时齐的。 当系统各部件的寿命分布，故障后的修理时间分布以及有关分布均为指数 分布时，马尔可夫型j 修系统的一股模璎假定一个川修系统有n + 1 个状态，其 中状态0 ，1 ，k 是系统的工作状态，k + i ，n 是系统的故障状态，记 e = 0 ，l ， ，w = o ，l ，k ) 和f = 取+ 1 ，k + 2 ， 。令x ( f ) 表示时刻t 该系统处 得状态，若忸1 6 f ) ，f o 是时齐的马尔可夫过程，且在充分小的时间，内的转移 概率函数满足 弓( a t ) = 1 - 弓( a t ) = 1 - 吗+ d 陋) 其中 ；釜盈 a 口= 一e a 妒 ，l 因此 j e 占 只陋) = l + a 。出+ d 纽) n 。= 恶，q i 掌蔷量j t ，j e ( 2 ) 更新过程：设五，五，是独立同分布的随机变量序列，它们的分布 函数为f ( t ) ，均值为，且满足p ( 鼍= o ) o 也称为更新过程。 由于 ( f ) = 七；= 墨f 最+ ，k = 0 , 1 ， 可得 尸 ( f ) = 后 = 尸 & f 一尸 瓯+ f = 一( f ) 一“( f ) ，k = 0 , 1 ， 故得( 0 , t 】内平均更新次数为 6 肘( f ) = e ( f ) = k e n ( t ) = k = ( ，) 我们称m ( t ) 为更新函数。如果声( f ) 存在密度卤1 数f ( t ) ，则m ( t ) 可微，且 册( ，) = 要m ( ，) = 卢( f ) ，其中厂( f ) 是密度函数( ，) 的七藿卷积 t l $ k f f i l i 2 ( ，) = f 巾一“) 厂( 材) 知 【”( ，) = f 广。( ，- ”) ( ”) 幽，k = 3 ，4 称m ( t ) 为更新密度。 2 3 研究方法综述 ( 1 ) 克拉默法则 在求解线性方程组时，通过用克拉默法则，求出线性方程的解。 ( 2 ) 补充变量法 当过程是广义马尔可夫过程，即非马尔可夫系统时，引入补充变量的方 法，它是处理非马尔可夫型可修系统的重要方法之一。利用初始条件，建立偏 微分方程，从而求出了系统的主要可靠性指标。 ( 3 ) 拉普拉斯变换、拉普拉斯一司梯阶变换 定义f ( f ) 是( o ，】上的实值函数，若积分厂o ) = f p 一对f o 存在，则称 厂( j ) 为f ( ，) 的拉普拉斯变换，简称l 变换，并记为厂( s ) = 三 f ( f ) ；若积分 ( s ) = j c o 口叫f ( f 净存在，则称厂( j ) 为f ( ，) 的拉普拉斯一司梯阶变换，简称l s 变换，并记为厂( s ) = 醪 f ( f ) ，其中s 为复变数。 7 第三章n 为奇数时标准去心n 中取相邻n 一1 ： g 3 1 引言 系统的可靠性分析 标准去心n 中取相邻k ：g 系统是指当k 为偶数时，1 1 个部件按线型或环型组 成的系统，系统i e 常当且仅当至少有k 个相邻部件正常或者故障部件两旁至少有 相邻鲁1 个部件正常；当k 为奇数时，n 个部件按线型或环型组成的系统，系统 z 正常当且仅当至少有k 个相邻部件正常或者故障部件两旁至少有相邻与 个部 z 件j f 常。该系统对相邻后一o u t o f 一以：g 系统进行了改进。当系统中有部件故障， 但由于实际原因并不影响系统的工作。如系统时由n 中部件线性排列。当n 为奇 数时，若第三 个部件故障时，可由其两旁的芝 正常部件对其进行补充，由 此可以看成第三望个部件仍可以正常工作。但这种情况在相邻k - o u t o f - n 系统中， z 当k 取，一1 时系统都是失效的。 针对以上情况，本节讨论部件服从指数分布，修理工修理时间服从一般分布的 标准去心n 中取相邻n 1 ( n 为奇数) ：g 系统，并研究了该系统的可靠性指标。 3 2 模型假设 ( 1 ) 标准去心n 中取相邻n 1 ( n 为奇数) ：g 系统的定义为：系统正常当且 仅当至少有n 1 个相邻部件正常或者故障部件两旁有芝；个部件正常。 z ( 2 ) 第f 个部件的工作时间置服从参数为五的指数分布，f = l ，2 ，3 ，n 。故障 部件的修理时间y 为一般连续型分布，生存函数为虿( f ) 。 一- - 1 - - 。 = 。 “ =i1gq) g ( x ) d x e x p ( - c b ( x ) d x ) 1 - t g q ) d t = 2 i ( 3 ) 故障部件能修复如新且服从先坏先修的原则，另外，当系统失效时，系 统停止工作，即没有失效的部件将不再失效。 ( 4 ) 在f = 0 时，假定部件全部为新。 8 ( 5 ) 工作时间、修理时间均相互独立。 3 3 模型分析 系统状态定义如f ： o ：f 时刻部件正常，系统正常； 1 ：t 时刻有一个部件故障，系统正常； 2 ：，时刻有一个部件故障，系统故障； 3 ：t 时刻有二个部件故障，系统故障。 令s ( ，) 表示系统在时刻，所处的状态，则书o x f o 是取值于状态空间 o ，l ，2 ，3 的 随机过程，由于修理时间不是指数分布，故$ g ) ，f o 不是m a r k o v 过程，现引入 补充变量如下： y ( f ) ：表示时刻f 修理工已用去的修理时间。 于是，豳 】，( f ) 构成一个向量m a r k o v 过程。状态概率定义为： p o ( , ) - - p 秘( ，) = 0 p 。( ，；j ，x 纱= p o ) = 1 ，y l ，1 6 f ) y + d y p ：o ，y x 耖= p s ) = 2 , y l ，o ) y + d y p ，( t ；y ) d y = p s ( f ) = 3 ，y 】，o ) y + d y 根据模型假设可得系统状态概率微分方程组如下： 下a p o ( o = 嘲a 岛( f ) + j c 0 6 ( y ) a ( ，y ) + p 2 ( t , y ) 咖 ( 1 ) o p , o - , y ) + 墼婴：一酝一l m + 6 渺。o ，j ，) 西 西 “7” 鲥必+墼幽：-6b：ot西 “7 垒丛必+垒必：-6)p，o，y)+g1)锄(f，力ot 加 “7 、7 “”“ 边界条件为 a ( 加) 硼( 州j c o 掣等 仍( r ，。) = ( 力一3 ) 允( f ) + j c o 皇! 二兰坚兰掣 9 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) p 3 0 ，o ) = 0 ( 7 ) 记g ( s ) = r 6 0 疗( y 弦唧d y = r g o ) e - j y d y ，百o ) = r 石( 少弦一吵咖。 系统状态概率方程组( 1 ) ( 7 ) 解的l a p l a c e 变换式为 妒；g ) 一l = 一拧和：g ) + r k ：g ，y ) + p ；g ，y 灌( y ) 方 印：+ + 掣= 一酝一l m + 圳两 印；g ，y ) + 垒鼙必：而场；g ，j ，) d 1 ， 妒；g ，y ) + 垒氅必：- 6 扫；g ，y ) + g l 场：g ，y ) d 1 ， 两( 则) 划成( s ) + f 掣等 苡( s ，。) ：( 以一3 ) 五戍( j ) + j c o ! 竺二三堕星三掣 硝g ，o ) = o 由( 9 ) 可解得 p ? 6 y 1 ：p ? 6 ，o k b - l m + ，b 否( ) ，) 由( 1 0 ) 司解得 p ；g ，j ，) = p ；g ，o k 一秒石) 将( 15 ) ，( 1 6 ) 式代入( 8 ) 式中可得 硫( s ) 一1 = 一融成( s ) + j c o 两( s ，o ) e 讯剃m j 抄否( y ) + 苡( s ，o ) p 一秒g ( y ) b ( y ) d y = 一，现反( s ) + 两( s ，o ) g ( ( 刀一1 ) 五+ j ) + 疚( j ，o ) g s ) 将( 1 1 ) 式改写为 - - i “p 3 ( s ，y ) + b + 6 ) k ；g ，y ) = o o a v ；( s ，力 解得 p 圳= e - j o o + b ( o m 0 ) + r 协胁肛+ 6 ( 批耐 将( 1 4 ) 式和( 1 5 ) 式代入上式，得 雳( s ，y ) ：e 一石( y ) r ( 刀一1 ) 研( 只o ) p 一似一l 舢s 强否( f ) p r o + 啦肛魂 1 0 ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 15 ) ( 1 6 ) ( 17 ) = p 一砂否( j ，) ( 疗一1 ) 2 p l * ( 凡o ) f p ( ( 一一1 ) 工+ j ) f 否( f ) p j ：畦e j ：6 ( ：出 = 两( s ，o ) 否( j ，) ( 1 _ e - ( n - o a y ) 8 + 矽 将( 1 8 ) 式代入( 1 2 ) 、( 1 3 ) 式得 两( s 。) = 3 名成( s ) + 三兰三三箸尘【g ( j ) 一g ( ( 刀一1 ) 力+ s ) 】 废( 邸) ：( 稍) 碱( s ) + 坠型掣【g ( s ) 一g ( ( 川) 五+ s ) 】 刀一i 。 。 ( 18 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) 由0 7 ) 、0 9 ) 、( 2 0 ) 式中得 拍o ) = 瑚，枷) = ( n - 3 ) 百2 ( n - 矿1 + g , ( s ) ) p o ( s ) ( 2 1 ) 盛( s ) = 面面面i 虿丽j 瓦丽n 珂- lf - 2 9 丽? ( s 习) 而j 瓯i 焉雨i 而歹 = 而了夏而f 獗n - i l - 万2 9 ；瓦( s ) 面磊面而 ( 2 2 ) s ( 甩一l 一2 薪( j ) + 名 ，z ( 刀一1 ) + ( 刀一3 ) 薪( s ) 】( 1 一g ( s ) ) l z z ， 其中g ? g ) = g g ) 一g 舫一l m + s ) 将( 2 1 ) ，( 2 2 ) 代入0 5 ) ，( 16 ( 1 8 ) ) 式可得 薪( 墨y ) 一3 川( n - 一1 ) 锔2 p 0 1 ( s s j ) e - ( t n - o a - - ) , 8 ( y ) 苡( s y ) = ( n - 3 ) 2 i ( = n j - = 1 乏+ 5 9 _ l 了( s 厂一) ) p o ( s ) p 一砂石( y ) 曲= 瑚砸) 1 - e - ( - o 名y p 3 4 系统的可靠性指标 根据第3 3 节系统概率方程组的分析，容易得到以下系统在时刻f 瞬间可用度的 l a p l a c e 的变式及系统稳态可用度。 系统的瞬时可用度为 彳o ) = p 。o ) + f p 。1 6 f ，y ) 方 对上述表达式关于t 取l a p l a c e 变换，利用第2 节中的有关结论直接计算可得 彳g ) = r e - - 么o ) 出= p ：g ) + r p ：g ，j ，协 = 成( s ) + f 。露( s ，o ) p 椰_ 1 炒咿g ( j ，) 咖 = 露( s ) + f 函3 ( n 磊- 1 ) 而g p o 可( s ) 丽 1 一g ( ( ) 枷) ( 甩一1 ) 力( 万一1 2 9 ：l ( s ) ) + s + 3 ( 刀一1 ) 旯【1 一g ( ( 刀一1 ) a + s ) 】 = ：- - - - - - - - ? 。：。一 【s + ( n - 1 ) a l s ( n - l - 2 9 ：( s ) ) + 研纷( 以一1 ) + ( 刀一3 ) g ：( s ) 】( 1 一g ( s ) ) 】 ，、n b f ( ( 刀一1 ) a ) b 止垆(力。一n-3+29(n-1)r)b+n2-3-(n-3)g(n-1)2)兄 为了求得系统的可靠度，令故障状态2 、3 为系统的吸收状态，则系统构成了 一新的广义m a r k o v 过程每阮页刁 ，状态概率定义为： 骗o ) = p 翮= o q o ( t ，y ) = p 翮= l ，y r - ( g - y + a y 假定f = 0 时，所有部件都是好的，即 q ( o ) = 1 ，骇( 0 ) = 0( 2 3 ) 系统状态概率微积分方程组如下： 昙蜴( r ) = 一以q ( f ) + j c o q ( 弘( y ) a y 昙q 1 ( f ，y ) + 导q l ( ，j ，) = 一一l 弘+ 6 ) b o ，y ) 边界条件为： g ( ，0 ) = 3 力q ( ，) ( 2 4 ) o y o o ( 2 5 ) 对上式作l 变换，用仞始条件( 2 3 ) 可得 s 娥( s ) 一l = 一n x q o ( s ) + r q ? ( s ，y ) b ( y ) d y s q ? g ，y ) + 昙q ? g ，y ) = 一勋一l m + 6 【y ) 切? g ，j ，) 0 昂一) o ，y ) a y = p s ( t ) = 【l ，f 工y r ( t ) j = 1 , 2 最2 j ) o ，y ) 咖= 尸 s ( ) = ( 2 ，工y y ( t ) y + 咖 j = 1 , 2 , 3 ，4 j ) o ，y ) 咖= p s ( t ) = 【3 ，七_ ) ，y h f ) y + d y k = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 根据模型假设可得系统状态概率微分方程组如下： 掣卸。o ) + j c o 概) + p o , 2 ) ( f ，j ，灿( 1 ) 掣+ 掣：一b 一m + “岫 西却 “7 一v w j ”川 掣+ _ o p o , 2 广) ( t , y ) ：一酝一l n + “帆) 西却 “7。v7 f j ”川 1 5 ( 2 ) ( 3 ) 掣+ 掣娟却曲峨) ( f 小) 掣+ 掣：一骱一2 p + 材渺亿：，( ，y ) + g 一2 蛾”o ，y ) o t o y 掣+ 掣娟却曲岫帅2 岫 垒焦婺型+ 垒焦祟型：一“功( 2 t 4 ) o ，y ) + g 一3 妇( 1 2 ) ( ，y ) 国却 “怫 “、 7u “叫、 垒趔+皇堑掣：一材扫(31)(，y)+g一2泐(：j)o，y)ot 却 “、 。“”、 煎掣+ 煎掣：叫如) + 和础，y ) 西却 叫”、 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 9 ) 掣+ 下a p t 3 , 3 ) ( t , y ) 炽小) ( f ，y ) n 下o g p o 4 ) ( t , y ) + 剑( y 如) + 勿) 西 0 3 , ”怫v 、 ” 掣+ 掣炽小) “2 ) 边界条件 p ( 1 i ) ( f ，o ) = e a r 。( ，) + j c o “) b ( 2 1 知，y ) + 职： 3 ) ( r ，y 舫 ( 1 3 ) p o , 2 ) ( t ，o ) = g 一2 场。( f ) + r 炳：，2 ) o ，j ，) + 耽4 ) o ，少物 p ( ：。，) ( f ，o ) = fp ( 3 。) ( f ，y x 协 p ( 2 2 ) ( f ，o ) = f k ( 3 1 ) ( f ，j ，) + p ( ， 5 ) o ，j ，冲) 咖 p ( 2 3 ) o ，o ) = fp o 。：) ( f ，y ) , t y ) a y 趴：，。) ( f ，o ) = fp ( 3 ，3 ) ( ，y x x 纱 p ( 3 。) o ，o ) = p o ：) ( f ，o ) = p o 。，) ( f ，o ) = p ( ，。) o ，o ) = p ( 3 ，) o ，o ) =