（应用数学专业论文）非线性微分方程边值问题的周期解研究.pdf

学位论文独创性声明 本人邦熏声明： l 、坚持以。求实、创新的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 聋逾 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 一牟竣一j 毕耻 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 中文摘要 非线性微分方程，特别是二阶非线性微分方程，由于涉及领域广泛而倍受 人们关注。一直阱来，此类问题的周期解的存在唯一性一直是研究的热点之一， 近年来，人们又开始深入到寻求求取数值解，在探究求解方法上一直以简单、 准、快为标准，数值延拓法因此成为准确有效的首选方法。二阶非线性微分方 程中，l i 6 n a r d 型及d u f f i n g 型方程在大气科学中有着十分广泛的应用，但是人 们在研究实际问题时往往得到的是特殊类型的方程，通常用近似方法求解，这 就使得解在一定程度上存在着偏差。本文中，我们探讨带阻尼项的d u f f i n g 型 方程周期解的存在性条件，运用不动点方法和l e r a y s c h a u d e r 度理论来证明其存在 周期解，尽可能放宽其约束条件，并针对具体的大气动力学方程，分析并求取 其周期解的存在性条件。接着，我们尝试运用数值延拓法求取其周期数值解。 二阶半线性椭圆型方程的边值问题有着深刻的物理背景，此类问题在弹性力学、 电磁学以及流体力学中都有着广泛的应用，若能求出其精确数值解在理论和数 值上都有着重要价值，我们运用数值延拓法在扩大收敛域的基础上建立全局收 敛算法来求取其周期数值解。 关键词：周期解、不动点方法、l e r a y - s c h a u d e r 度理论、同胚、数值延拓、d u f f i n g 方程、l i 6 n a r d 方程、椭圆型方程 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 a b s t r a c t t h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e s p e c i a l l y , t h es e c o n d o r d e ro n ei sp a i dc l o s e d a t t e n t i o nb e c a u s et h e yr e l a t ew i d ef i e l d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u eo ft h ep e r i o d i c s o l u t i o no f t h e s ep r o b l e m sa r ea l w a y so n eo f t h ec e n t r a li s s u eo f t h er e s e a r c h p e o p l e s t a r tt os e e kn u m e r i c a ls o l u t i o n r e c e n t l y t h es t a n d a r ds o l u t i o nw a yi ss i m p l e ， a c c u r a t ea n df a s t ，s ot h en u m e r i c a lc o n t i n u a lm e t h o db e c o m et h ef i r s tc h o o s e i n s e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h el i n a r da n dd u f f m gt y p ee q u a t i o n s a r ea p p l i e dw i d e l yi na t m o s p h e r e b u tp e o p l ea w a y sg e ts p e c i a lt y p ee q u a t i o nw h e n s m d y i n ga c t u a lp r o b l e m t h e yu s u a l l yu s ea p p r o x i m a t ew a y st oh a v es o l u t i o n t h i s m a k e st h ed e v i a t i o no fs o l u t i o ni ns o m ed e g r e e i nt h i sp a p e r , w ew i l ld i s c u s st h e e x i s t i n gc o n d i t i o no ft h ep e r i o d i cs o l u t i o no fd u r i n gt y p ee q u a t i o nw i t hd a m p i n g t e r m w eu s eh o m e o m o r p h i s ma n df i x e dp o i n tm e t h o dt op r o v et h ep e r i o d i c s o l u t i o n se x i s t e n c e w et r yt ol o o s ei t sc o n d i t i o n ，a n a l y s i sa n dt h e ng e tt h ee x i s t i n g c o n d i t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o na c c o r d i n gt od e f m i n g a t m o s p h e r i cd y n a m i c se q u a t i o n t h e n ，w eu s en u m e r i c a lc o n t i n u a lm e t h o dt og e tt h ep e r i o d i cn u m e r i c a ls o l u t i o n t h e r ei sd e e pp h y s i c a lb a c k g o u n di nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e m i 1 i n e a r e l i i p t i ce q u a t i o n t h ep r o b l e m sa r ew i d e l ya p p l i e di ns p r i n g i n e s s m e c h a n i c s ， e l e c t r o m a g n e t i s m ，f i l u i dm e c h a n i c s i fw ec a l lg e tt h ea c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o n , t h i sh a si m p o r t a n tv a l u ei nt h e o r ya n dn u m b e rw ec a l lr i s et h en u m e r i c a lc o n t i n u a l m e t h o dt om a k eo v e r a l ls o f t e na l g o r i t h m so nt h eb a s eo f e x p a n d i n gs o f t e nd o m a i ni n o r d e rt og e tt h ep e r i o d i cn u m e r i c a ls o l u t i o n k e yw o r d s ：p e r i o d i cs o i n t i o n , f i x e dp o i n tm e t h o d ，h o m e o m o r p h i s m ，t h en u m e r i c a l c o n t i n u a lm e t h o d ，d u 衔n ge q u a t i o n , l i n a r de q u a t i o n ，e l l i p t i ce q u a t i o n 2 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 第一章绪论 1 1 问题背景和国内外研究进展 非线性微分方程在许多领域都有着十分广泛的应用，在自然现象和科学技术的理论研 究中存在着大量的非线性微分方程。这方面的研究工作始终处于国际数学界的主流研究方 向之上! 以物理、力学、大气、海洋、生态等众多科学领域中许多复杂问题为背景的动力 系统，是当代数学的一个重要组成部分，它是连接数学理论与实际应用的一座桥梁。这方 面的工作一直非常活跃，研究和应用的领域日渐扩大。 二阶非线性微分方程解的存在唯一性一直是研究的热点问题。人们致力于用不同的方 法，多个角度来尝试放松其求解的约束条件。证明解的存在唯一性是一个方面，在解存在 的前提下，人们又开始尝试求解其数值解。这里最常用的有有限差分方法，有限元法；而 常微分方程初值问题的数值解法则包括e u l e r 法，线性多步法，预估一一校正算法， r t m g e k u t t a 法等；解非线性方程组的数值解有不动点迭代法，n e w t o n 法，割线法和拟 n e w t o n 法等，但用n e w t o n 迭代法求解有一个很明显的缺点就是往往要求初始向量非常靠 近解，而数值延拓法正式扩大收敛域的尝试，即建立全局收敛算法。 d u f f - r a g 型和l i 6 n a r d 型方程解的存在性问题因涉及领域广泛而备受人们关注，此类方 程在大气科学中有着非常广泛的应用。但是人们在研究实际问题时往往采取近似方法求解， 这在一定程度上就产生了偏差，所以先求证这类方程解的存在性以及了解解存在的条件就 显得至关重要。 研究这类方程的问题通常有动力系统方法，代数方法，非线性分析方法等，而非线性 分析方法又包括变分与临界点理论”，拓扑度同伦方法”，上下解与单调迭代方法【3 】，不 动点方法，微分同胚方法等。 变分理论通常是将原问题的解转化为求泛函的临界点问题。不动点方法通常是通过构 造一个先验界，然后得到存在性结论，但这不能得到唯一性结果。拓扑度方法虽然可以减 弱解存在的充分条件，但它的使用也不能得到唯一性且证明过程相当复杂。在具体使用这 5 ! ! 墼j ! 塑堂垡坌互堡望堕塑嬖旦塑堡要塞 一方法时，一般都要对方程的解进行先验估计，在许多情况下，解的先验估计是问题的困 难所在。上下解方法是建立在锥和半序的概念上的。微分同胚方法虽然涉及较多菲线性分 析的知识，但可以得到解的唯一性结果，且证明过程相当简洁。 d u r i n g 型方程 “”) + g r a d g ( u ) = p ( r ) ( 1 ) 源自非线性摄动保守系统，由牛顿类运动方程推得，这类方程质点受保守内力和周期外力 作用。这类方程为标准的d u f f i n g 型方程，其周期解的存在性和唯一性一直是研究的热点， 特别近二十年来该研究领域涌现出各种非线性方法卜”。但对于带阻尼项的工作还不多见， 当然这类方程“”( r ) + g v f ( “0 ) ) + v g ( “0 ) ) = p q )( 2 ) 也可以纳入l i 6 n a r d 型方程的研究范畴，但研究方法就会有所不同【9 _ 1 ”。我们可以运用 d u f f i n g 型方程解的存在唯一性来研究带有阻尼项的方程周期解的存在唯一性。 l a z a r s a n c h e z ( 4 ，1 9 6 9 ) 在条件( l o ) 下，利用b r o u w e r 不动点定理求得方程( 1 ) 的2 疗周期解的存在性。 ( 三。) 存在整数 0 ，实数脚和m 使得n 2 鳓脚+ 1 ( + i ) 2 和 。( 鬻脚州l 对所有的口吲鹿氩 k a l l r l a r l 和l o c k e r ( j 1 2 ，1 9 7 7 ) ，m a w h i n ( 13 ，1 9 7 4 ) 在条件( l 。) 下给出了( 1 ) 周期解 存在唯一性的简单证明。 l a z e r ( 8 ，1 9 7 2 ) 基于两个基本的抽象代数引理和f o u r i e r 级数的基本性质，在条件( l ) 下证明了( 1 ) 至多存在一解。 ( l ) 存在两个常对称的m 矩阵爿和b ，使得对所有的口月一，有爿s ( 霎罢孕) 曰， f 7 并且假如 如乃和卢1 2 茎以分别是矩阵4 和b 的特征值，存在整数 以，七= l ，2 ，胛，使得以2 以- 2 女 ( 帆+ i ) 2 。 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 b r o w n 和l i n ( 5 ，1 9 8 0 ) 利用整体反函数定理在( l ) 条件下证明了( 1 ) 式唯一的2 石周 期解的存在性。整体反函数定理的应用可以转化为寻找菜些周期边界问题解的界，b r o w n 和l i n 的方法不仅适用于周期边界条件也适于d i r i c h l e t 和n e u m a n n 边界条件。 沈祖和( 1 4 】，1 9 8 9 ) 采用同胚方法，考虑在保守内力和周期外力作用下机械系统的牛顿运 动方程“”( f ) + g r a d g ( u ) = p ( r ) ，取得了存在唯一性结果。沈祖和与m ，a w o l f e ( 7 ，1 9 9 0 ) 将甜”( r ) + g r a d g ( u ) = p ( f ) 与初值问题联系起来，根据此初值问题给出了存在唯一的2 z 周期解的充分条件，推广了b r o w n 和l i n 的结果。 吴广荣等( 1 5 ，1 9 9 9 ) j n 用同胚延拓方法研究微分方程边值问题解的存在唯一性，并把结 果应用于有限维情况，考虑非线性守恒系统在扰动下( n e w t o n 类运动方程) 周期解的存在 与唯一性问题。 冯艳青，沈祖和( 1 6 ，2 0 0 4 ) 给出了在更为宽松的条件运用同胚理论证明( 1 ) 式解 的存在唯一性，这对d u f f m g 型方程的研究又提供了更为简便的工具。 但是他们对阻尼项存在的情形下考虑甚少，李维国和沈祖和( 1 8 ，1 9 9 7 ) 给出d u f f m g 方 程周期边值问题x ”( f ) + a ( f ) + g ( t ，x ) = p ( f ) ，( c 为常系数矩阵) x ( o ) 一x ( 2 z ) = x ( o ) 一x ( 2 r e ) = 0 唯一解存在的构造性证明，从初值问题和矩阵特征值入 手，提供了一种可数值求解周期解的方法。当然，存在唯一性证明一般是使用纯粹理论性 证明，这类证明理论深刻，通常涉及较多的非线性分析工具( 见【5 ，1 4 ) ，而构造性证明的 优点是可形成算法求得数值解，但技巧性较强，此类工作不多见。 吴广荣( 1 7 ，1 9 9 7 ) 运用变分方法证明了方程“”( f ) + a u ( 力+ v g o ) ) = p ( t ) 存在 解，这里a 也为常系数矩阵。 徐庆( 1 9 ，1 9 9 0 ) 和李维国( 2 0 ，1 9 9 6 ) 运用同伦算法求解l i 6 n a r d 型方程的周期数 值解时，方程为：“”( f ) + c u 。( 力+ v g ( f ) ) = 厂( r ) ( c 为常对称矩阵) ，其阻尼项过于简 单，研究并没有太大的进展。 我们将在前人的基础上，进一步深入研究，力求有所突破，创新。 7 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 1 2 文章内容与结构 本文将分六个章节。第一章介绍二阶非线性微分方程的问题背景，国内外研究成果及 文章的组织结构。第二章考虑非共振条件下带阻尼项的d u r i n g 型方程的边值问题，运用 同胚延拓和不动点方法证明其周期解的存在性。第三章把带阻尼项的d u r i n g 型方程纳入 l i 6 n a r d 型方程范围内，在b a n a c h 空间内运用l e r a y s c h a u d e r 度理论证明其周期解的存在 性。第四章运用同伦算法，在前人方法的基础上，尝试证明并求解带阻尼项的d u r i n g 型 方程边值问题的唯一周期数值解。第五章运用类似第四章的方法，用数值延拓法求取二阶 半线性椭圆型边值问题差分方程的数值解。第六章运用压缩映射原理来证明带阻尼项的 d u f f m g 型方程边值问题周期解的存在唯一性，针对具体的大气动力学方程来说明其实际应 用价值。第七章是对前面讨论的问题进行总结，说明我们工作的意义，创新之处及今后需 要进一步完成的工作。最后为致谢内容。 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 第二章带阻尼项的n 维d u f f i n g 型方程 周期解的存在性 2 1 引言 二阶非线性微分方程，特别是l i n a r d 型及d u f f m g 型方程解的存在性问题，因其涉及 领域广泛而备受人们关注。此类方程在大气科学中也有着非常广泛的应用【2 1 】，但是入们在 研究实际问题时往往得到的是特殊类型的方程，通常用近似方法求解。而对于一般方程解 的存在性问题以及解存在的条件研究甚少。本章将考虑带有阻尼项的d u n g 型方程的边 值问题： j “( ) + f ( 甜( ) ) + v g ( “( 。) ) = ，p )( 1 ) l u ( o ) = u ( 2 r c ) ，“( o ) = “( 2 r e ) 其中“r ”，f c ( r ”，r ) ，g c 2 ( r ”，r ) ，f c ( r ，月“) ，f ( t + 2 c ) = f ( t ) 。 当没有f ( u ) 时，( 1 ) 为标准的d u f f m g 型方程，可解释为在保守内力和周期外力作用 下的机械系统的牛顿运动方程，其周期解的存在唯一性一直是研究的热点 4 - s ；我们称( 1 ) 为带有阻尼项的d u f f m g 型方程，这类方程也可以纳入l i 6 n a r d 型方程的研究【9 _ “1 。本章通 过标准的d u m n g 型方程解的存在唯一性定理来研究带有阻尼项的d u n g 型方程解的存在 性， 2 2 预备知识 由于论文的2 - 5 章是相互贯通的，此章的预备知识也为以后的章节作铺垫，后面内容 同样适用。 设x = ( “( r ) f 村： o ，2 万 斗r ”，u ( t ) = ( “，o ) ) n 。l “，l 2 o ，2 万 ) ，定义内积：对 9 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 v 函v ) = r 。 出= 喜弘肿m 则x 为胁胁r 鲺其范 数为= ( “，“) 。 记d = 向u e x ，叫在 o ，2 口 绝对连续，r o ，2 e r ，坼( o ) = m ( 2 9 ) ，圳( o ) = 叫( 2 z ) ) ， i = 1 , 2 ”。 线性算子上：d x 由l u = 一掰“定义，则l 为d 上的稠定自伴闭算子。因此，d 在 图范数j | 下是b 硎卯 空间，其中图范数f ：z + 胄定义为：j h = l t ”i i + i i l 甜v “e d 。 由5 铀。蹈v 嵌入定理，d 可以紧嵌入到q o ，2 万】，其中q 【o ，2 万】= 恤：r 斗r ”j “； 在 o , 2 n 有连续的一阶导数) 。 设g ) 为有连续的二阶偏导数，记( m f ) ( ) = - v o ( u ( t ) ) ，f 【0 ，2 z 则甜”+ v g ( u ) l un u ，算子连续可微。+ m u = f u f ( t ) 。 记驰) ：芒掣，则( 帅) v ) 舻一( 雩鬯业) v 舻咧) v ( f ) ， 饼，僚，皿珊； ( v u ，v d ， o ，2 万 ) ，且q ) 对v “r ”为对称阵，三+ n ) = 三一q ( u ) 。 设以 ) ( i = 1 , 2 ，咒) 是q ) 在“r ”的特征值，记五 ) 五( “) ) 。 如果存在整数t ，( k = 1 , 2 ，”) ，有 ； zn n i f f ，因此有一个p ( 0 ) d ( l ) 使得 ( l + ) p ( o ) = 0 设q ( s ) = ( 1 - s ) 0 + s v0 0 ，1 】) ，v 为篁中任意向量函数。 对v a ( 0 , 1 】，予： o ，a ) 寸d ( l ) ，使得( 三+ ) p ( j ) 】= j v = q ( s ) ， 则 雎+ p ( j ) ) p ( s ) = v ，p ( j ) = 雎+ ( j ) ) 】_ 1 v 1 2 堡墼斐垡：生丝坌查堡望堕塑垦旦塑堡里塞一 所以 i p ( s ) i 闰l l + 印( s ) ) r 1 ”i iv 由( 4 ) 和( 5 ) 式得fj p 0 ) | 1 叩占( j i p 0 ) 。 令y 是初值问题( 6 ) 最大解，根据定理假设y ( = 1 m y ( s ) ，据引理2 对 v 日( o ，1 ，p ) = l i m p ( s ) 是有限的， 所以i i p ( s ) i i 胄，s o ，1 ， 即有 l l ( 三+ ) 。m p ( j ) 蔓r ，这对v p ( j ) d u ) 均成立。 由s c h a u d e r 不动点定理证明至少存在一个解a 记b = 每d ) ，“i l l - r ) ，则r 哥三+ 】。吖把比映入& 。 而 如d ( 三) 斗丑是一个全连续算子，( 上+ ) ：j d ( 三) 是连续的，则1 1 是全连续 算子，即连续紧算子。据s c h a u d e r 不动点定理可知f 至少有一个不动点b r 使得 l u o + 阻o = m u o 成立。即方程( 9 ) 至少存在一个解。 证毕。 2 4 小结 本文运用同胚延拓理论和不动点方法证明了非共振条件下带阻尼项的d u f f i n g 型方程 边值问题周期解的存在性。在以后的研究中，我们将尝试将条件进一步放宽，但是将延拓 方法运用到证明带阻尼项的d u r i n g 型方程周期解的存在性确实是有新意的。 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 第三章非共振条件下l i6 n a r d 型方程周 期解的存在性 3 。1 问题的提出 本章仍旧考虑带阻尼项d u f f m g 型方程的周期解问题，不同的是，本章将带阻尼项的 d u f f m g 型方程纳入l i 6 n a r d 型方程范围内研究，考虑l i 4 n a r d 型方程 “”( 力+ ，( “( r ) ) + v g ( “( r ) ) = f ( t ) ( 1 ) 其中“r ”，f c 似”，r ) ，g c 2 ( ，r ) ，f c ( r ，r ”) ，f ( t + 2 万) = 厂( f ) 。当没有阻尼 项时，沈祖和 l 2 5 j 运用微分同胚方法证明了这类非共振条件下标准的d u f f m g 型方程周期 解的存在唯一性，后人经过不断求证企图弱化解的存在和唯一的条件 m , 1 6 1 。本章我们采用 类似文章 1 5 】中的办法，在b a n a c h 空间上运用l e r a y - s c h a u d e r 度理论证明( 1 ) 式周期解的 存在性。 3 2 存在性定理 如上章所述，我们定义图范数：z 寸尺为：1 | = 1 1 “i i + i i l “f l ，v “e d 。d 在图范 数 t 是b a n 融抵本幸在n 空间下考虑慨谢加鬻，设 五 ) ( 女= 1 , 2 ，嚣) 是q ( u ) 在“r ”的特征值，记 ( 甜) 五 ) 屯0 ) 。如果存 在整数n k ，( 七= 1 , 2 ，胛) ，有 ； a ( 甜) i i c - 0 f ( w ) 一( o ) 一f l l + i l r c w ) 一( o ) 一厂8 = l i f ( w ) - n ( o ) 一，| ( c + cj f q ( w ) | | + 1 ) 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 因为f ) 为有界连续函数，( o ) + 厂有界，则f ij “j i f 是有界的a 记 七= i i ；i i i 丽1 ，“! ! ! 掣。 假设f w , = 虬，i = 1 , 2 ，珂。 改1 2 1 ，“2 是满足方程的解。即有 l u l 一q ( w 1 ) = f ( w 1 ) 一n ( o ) 一f ， l u 2 - q ( w z ) u 2 = f ( w 2 ) 一( o ) 一f 。 上面两式相减得：l ( u 1 一u 2 ) 一q ( w 1 ) ( u l 一“2 ) = ( q ( w 1 ) - q ( w o ) u 2 + f ( w 1 ) 一f ( w 2 ) 。( 9 ) 可以发现，( 9 ) 式类似于( 8 ) 式，则有 i u ，- u 2 0 r w , - m l l ( ( q ( w t ) - q ( w 2 ) ) f u 2 + f ( w 一0 - f ( w 2 ) ( ( 丢( 1 ( q ( ) 一q ( w 2 ) ) 毪 + o f ( ) 一f ( ) 1 ) 令业塑堕掣 0 ，使得v ，乞“o ，2 万 ， i t , - t 2 l o ，r 丽d s 万= c 。，则称 w q 。 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 引理1 设g ：r ”斗胄有连续的二阶偏导数，且o ( u ) 的特征值满足 ； 五( ) o ，使得d 0 = 印月”1 1 1 - u ( o l l o ，使得i p ) 。10 s 芦， “d 0 。 4 3 主要结论 j “( ) + 7 ( ，( i “o ) - v g ( “o ) ) = ，( ) ( 5 ) 【“( o ) = 甜( 2 7 r ) ，甜( o ) = 甜( 2 万) 设g ：r ”斗r 有连续的二阶偏导数，且q ( u ) 的特征值满足 ； 五 ) ( 帆+ 1 ) 2 ，( i = 1 , 2 ，n ) ， 令 占( 俐 ) = ，：悫r a 啪i n 。m 。i ；n 。i & 一职，( + 1 ) 2 一五 ， 万满足f 8 ( s ) d s = + c o 。 ，： o ，2 z c x r ”x r ”4 r ”，= c o l ( h x ，h o ) ，= t 0 ，x i ，x n , y l 一- 儿) 连续可微， 满足融悟鹕b 帅i i ”乩机肚 其中耳1 ( s ) = 1 + ( | j + 1 ) d 一1 ( 5 ) 。则存在唯一的映射“： o ，1 斗r ”，使得口( “，z ) = 0 成立， 且满足( 7 ) 。 证明：令( a 1 ) ( 幻= 一，0 ，抒( f ) ，“( ) ) ，v t 【o ，2 万】。 则( 5 ) 等价于三”+ n u + 血= - f ， 塑墼! ! 望壁堂坌查堡望堕囹星旦塑塑! 窒 有( 咖心) ：一粤砸) 】v ( 沪 导( ) 】v 协，。蹦 0 勘 ， 麟，咖 、。 由( 4 ) 式可得，( “) v 4 ”。鲁卤( 恻刚f v i i + t l v 。j i ) 6 西( 舢v ( 8 ) 因为三+ 1 ( “) + ， ) = ( ，。+ ，( “) 陋+ ( “) 一1 ) + ( “) ) ， 4 - p ：，+ ( “) 肛+ ( ) - 】，由( 6 ) 和( 8 ) 式可知，v h x f i p | | 2 i i ；( “) 陋+ ) 】q b a lx “| f ) | | j 上+ 。 ) 一1 b 4 ( 1 l u l l ) 8 。( ij u l l ) 。i l h lj = b l l h l i ， 目p i p t l b 1 ，故l + 尸可逆，且i ( + p ) 一1j | ( 1 6 ) ，又上+ ) 非奇异，所 以对特征值问题三“+ 。( + ， 。= ， 中r 0 ，所以三+ ) + ， ) 可逆且非 奇异，且有旺+ ( “) + ，。( ”) = 口+ 。 ) _ 1 ( ，。+ p ) ，( 9 ) 由( 6 ) 和( 9 ) 可知，i 昨+ 。 ) + ， ) 】- 1 f j 兰( 1 6 ) 。1 j ( 恻f ) ， 4 5 2 ( j ) = ( 1 一b ) d ( s ) ，则e 1 q ，且有 f i l + n ) + ， ) r 1 1 - 8 ：( 1 l “旷，( 1 0 ) 令， 0 ) ) = l u + “+ 血+ 厂( r ) ，胄“，f ) 胄n ， ) 连续可微， f ) = l + n ) + ， ) 且f 。( “) 非奇异，i l ， ) i i - 0 。( 1 6 ) s t e p 2 ：迭代校正。 2 4 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 旧( z ) w = 一h ( z 。) ( “) 7 w = 0 ，k = o ，l ，1 - ( 1 7 ) z “1 ：矿+ w 。 当k = 0 时，z o 为从式( 1 4 ) 得到的预测点，被作为n e w t o n 迭代的初始值。 迭代( 1 7 ) 从i = o 开始，直到收敛，即满足条件0 h ( 矿) i 卜占j | 日( z 。) 此时可取z “ 作为校正点，即y “= z “。 迭代过程中，可设定步长控制因子0 q o f 21 1 w 。则步长过长，将点折半，若小于氏。，则迭代无效，重新做上一 步的z 。预测。 若w 1 | 啦j | w 。j j ，则步长过短，将西加倍，4 4 + 。= m i n ( 2 4 ，点。) 。 若j | w 。i ( - l l w l l l - d 2 1 1 w 。则步长一般，令点+ 。= 点。 对于j a c o b i 矩阵日( 矿) ，令4 = h 0 。) ，可使用拟牛顿法求一= a t + f 4 。例 如引糊浇s k = z k + l _ z k , 比胡“) _ 酢勺棚蝴劬t 一也击从 而可大大减少计算量。 倒： 求方程“。( f ) + v g ( f ) ) + ( r ，甜( f ) ，“( f ) ) = 2 + s i n t ( 其中 v g ( u ) = 2 u + 0 5s i n u ，( ，“，“) = o 1 u + 0 1 u 。) 的周期解。 解：l u + 甜= 一“。一2 u 一0 5s i n u ，n 。( 甜) = 一2 0 5 c o s u ， 设q ) 的特征值为旯，有1 2 1 5 - 1 2 5 2 2 。j j n ) i f - 卜幽删 迸一步，对方程( 1 ) 的任一解，都存在善2 1 1 使得函4 d 。s ) 5 i i - a + 厂( ) 一 i i 。 若对一切d ，不等式( 5 ) 成立，则方程( 1 ) 的解还是唯一的。 引理3 设d ，厂，4 ( j ) 如引理2 所述，f 满足其条件，如果存在螈d ，使得 r 旦：+ 。 舨1 4 0 、 成立，则对任何h e ；( 一+ 厂) ( d ) ，方程( 1 ) 有唯一解。 2 9 ( 6 ) 塑望i ! 垡堂堂坌杰堡望堕塑壁旦塑堑堑塞 证明要点：定义算子f = z + f ：d 斗e ，运用延拓方法证明映射f 满足条件( c ) 。 根据引理1 得到f 是全局同胚，即对任何h e ，方程( 1 ) 有唯一解。 5 2 2 关于数值延拓法2 9 1 对于一般的非线性方程组f ( y ) = o , y r ”而言，所谓数值延拓法是用一簇映射 日：d x 0 ，1 】 r “辛r ”来代替单个映射f ，使得h o ，o ) = f ( y ) 一f ( y 。) 日( y ，1 ) = f ( y ) 。 其中y d ，y o 是任给的初始向量a令 h ( y ，f ) = f ( y ) + 0 1 ) f ( y o ) ，y d ，f o ，1 】。如果对每一个r o ，1 1 ，方程 ，f ) = o 有解y = y ( ，) ，y ( f ) 连续，则y 表示r ”内的一条空间曲线，它的一个端点是初始值 yo = y ( o ) ，而另一个端点y ( 1 ) = y 就是f ( _ y ) = h ( y ，1 ) = 0 的解。 定义2 ：假设；f f - n h ( y ，r ) = o ，t “0 ，1 的一个连续解y ： 0 ，1 】i n t ( d ) ，存在 0 ，1 】上的一个划分o = 岛 0 = 1 和整数m 1 ，肌2 ，m 使得由以下( 7 ) ，( 8 ) 所定义的迭代序列钞肚) 保留在d 内，且! 鳃y = y ( 1 ) 。 ( 1 ) 就是，( y ) = o 的解) y “1 = y 一岛日( y “，f 。) 1 h ( y “，t ) l 扛1 ，2 ，一1( 7 ) y i 。；yo , y ”1 t 。= y “”j k = 0 , 1 ，m ，一1 y “。“= y ”一o m h “，1 ) 一1 h ( y “，1 ) ，k = 0 1 ， ( 8 ) 则称由( 7 ) ，( 8 ) 所定义的数值延拓法是可行的。 引理4 设f ：r 一寸r ”在r ”上是连续可微的，又假定对所有“r ”，f + ( ”) 是非奇 异的，还假定f 或者是范数强制的，或者对所有“五”，0 f 。( “) 一18 ，那么，对任意的 “。r ”，存在唯一的映射“：【0 , 1 _ 兄“，使得i - ! ( u ，f ) = 0 成立，其中 h ( u ，f ) = f u + ( t - 1 ) f u o ，并且 3 n 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 心卜? 。 。) ) 。则瑚 o ，1 ( 9 ) i 拼( o ) = 越” 引理4 中，类似前一章的做法， f o ) 一1 | | 中可用w ( 1 l ”l ) 代替，从而放松 了约束条件。 引理5 假定h ：d x 0 ，1 r “x r l 寸掣对第一个变量是f 可微，又设a 1 胃在 d x o ，1 上是连续的，另外，假设存在日( y ，t ) = 0 ，f o ，1 的一个连续解 y ： o ，1 】斗i n t ( d ) ，而且对所有， o ，1 ，0 1 h ( y ，f ) 是非奇异的，则数值延拓法可行。 5 3 主要结论 定理l 在d i r i c h l e r 边值问题中： 一( + 呦) + 厂( 矗弘“，罢) = k y ) l u ( x ，y ) = 9 ( 五_ y ( 2 ) 设，1f r e c h e t 可微，而算子一+ 厂0 ) ( 这里厂0 ) 表示厂在“的f r e c h e t 导算子，当然 是有界线性算子) ，对一切u d 可逆，对一切t d ，作函数爿：r + 一r + ， 彳。) 2 到【一+ 厂蚶1 其讣y 弘, s l 。p 扩“l 为b 口幽空间x 中的范数， 1 1 【一+ ， ) - 1 | 1 是算子范数- 如果存在e d ，使得e j 苦。+ 。成立，则用( 7 ) ，( 8 ) 所定义的数值延拓法求取其数值解是可行的。 证 明 ： 如前所定义n = ( - a + 厂) ) ：d 斗e ，则令 m u f u h “+ 厂( “) 一h = 0 ，下面证明方程满足引理4 和引理5 的条件。 显然，m ：d 哼e 连续可微，如引理2 所述，对所有的“r ”， 许敏非线性微分方程边值问题周期解研究 膨( “) = f ) = 十厂 ) 可逆且非奇异。而且j