（应用数学专业论文）流体力学若干方程解的适定性.pdf

中文摘要 本文主要研究流体力学中的n a v i e r - s t o k e s 方程组和p o r o u sm e d i u m 方程， 共分五章 第一章，我们介绍n a v i e r - s t o k e s 方程组和p o r o u sm e d i u m 方程的起源及其 相应的物理背景，总结了本文下面四章所得的主要结果 第二章，我们考察粘性与密度相关的等熵多方气体自由边界问题为了便 于研究，我们泄变双x , t ) - - i t 垆壶z z 高蚺南z 1z z 志d y d z ， 对作变换后得到的方程进行研究得到解密度函数的大时间性 第三章，我们考察粘性与密度相关的热传导气体固定边界问题的正则性 我们运用佗= 1 时的嵌入定理w 1 ，- q 己和一些经典的不等式，得到一些精 细的估计，从而把解敏正则性由写t 提高到好4 ，进两给出了问题的经典解 第四章，我们同样讨论粘性与密度相关的热传导气体，但是与第三章不同 的是，我们讨论自由边爨问题。首先通过拉格规雹变换把皂白边界问题转化 为固定边界问题，之后证明的关键是解在边界处的估计在此证明中我们运 用p o i n c a r e 不等式和嵌入定理，从而解决了边界估计这个难点，使解的正则 性得以由h 1 提高到日4 ，也给出了自由边界问题经典解的存在性 第五章，我们讨论多孔介质方程即p o r o u sm e d i u m 方程的一般情形a ) 和b ( u ) 之间不需要任何关系的柯西问题解的存在唯一性我们首先采用局 部逼近的方法给出局部解的存在性然后再延拓得出全局结果，在该证明过 程中关键的一步是辅助函数的选取最后采用h o l m g r e n 方法来给出唯一性的 第i 页 证明，在该证明中同样要选取辅助函数 关键词：等熵；粘性与密度相关；自由边界；固定边界；热传导气体 第i i 页 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sr e l a t e dt on a v i e r s t o k e se q u a t i o n sa n dp o r o u sm e d i u me q u a t i o n ， w h i c hc o m ef r o mf l u i dd y n a m i c s t h ed o c u m e n tc o n t a i n sf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eo r i g i na n dt h ec o r r e s p o n d i n gb a c k g r o u n do fn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sa n dp o r o u sm e d i u me q u a t i o n ，s u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so ft h en e x t f o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h ef r e eb o u n d a r yp r o b l e mf o rt h ei s e n t r o p i cp o l y t r o p i cg a sw h e nt h ev i s c o s i t yd e p e n d so nt h ed e n s i t y w ei n t r o d u c et h et r a n s f o r m a t i o n 叫( z ，t ) = u ( z ，t ) 一r 1 o $ 丽1 由+ r 1 再z 1 o $ 丽1 d 可如，s t u d yt h er e s u l te q u 跏 t i o no ft r a n s f o r m a t i o n ，a n dg e tt h el o n gt i m eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h er e g u l a r i t yo fv i s c o u sc o m p r e s s i b l er e a lh e a tc o n d u c - t i v eg a sw i t hd e n s i t y - d e p e n d e n tv i s c o s i t yf o rd i r i c h l e tb o u n d a r yp r o b l e m u s i n gt h e e m b e d d i n gt h e o r e mw 1 ，1q l a n ds o m ec l a s s i ci n e q u a l i t i e s w eo b t a i ns o m ed e l i c a t e i n e q u a l i t i e sw h i c ha r ec r u c i a lt ol i f tt h er e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n sf r o mh 1t oh 4 ，a n d t h e ng i v et h ec l a s s i cs o l u t i o n i nc h a p t e r4 ，w ea l s os t u d yt h ev i s c o u s ，c o m p r e s s i b l e ，h e a t c o n d u c t i v e ，r e a lg a sw i t h d e n s i t y - d e p e n d e n tv i s c o s i t y , t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ec h a p t e r3i st h ef r e eb o u n d a r y f i r s to fa l l ，w en e e dc h a n g et h ef r e eb o u n d a r yi n t ot h ef i xb o u n d a r yb yv i r t u eo ft h e l a g r a n g i a nt r a n s f o r m a t i o n a n dt h e nt h ek e yo fp r o o fi st h eb o u n d a r ye s t i m a t e s ，w e u s et h ep o i n c a r e si n e q u a l i t ya n de m b e d d i n gt h e o r e mt os o l v ei t f u r t h e r m o r e ，w et r y 第i i i 页 t ol i f tt h er e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n sf r o mh 1t oh 4 ，a n da l s og i v et h ee x i s t e n c eo ft h e c l a s s i cs o l u t i o nt ot h ep r o b l e m i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rt h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o n w ep r o v et h ee x i s t e n c e a n du n i q u es o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e mi nam o r eg e n e r a lc a s e s ，i e w ed on o tn e e da n y r e l a t i o n sb e t w e e na ( u ) a n db ( ”) f i r s t l y , w eu s et h el o c a la p p r o x i m a t i o nt og e tt h e l o c a ls o l u t i o n t h e nw eg e tt h eg l o b a ls o l u t i o nb yu s i n gt h ee x t e n d e dm e t h o d s t h ek e y p o i n to ft h ep r o o fi sc h o o s i n gt h ea u x i l i a r yf u n c t i o n l a s t l y ，w ep r o v et h eu n i q u e n e s s b yt h eh o l m g r e nm e t h o d s ，w h e r ec h o o s i n gt h ea u x i l i a r yf u n c t i o ni sa l s oi m p o r t a n t k e yw o r d s ：i s e n t r o p i c ，t h ev i s c o s i t yd e p e n d so nt h ed e n s i t y ，f r e eb o u n d a r y , d i r i c h - l e tb o u n d a r y h e a tc o n d u c t i v eg a s ， 第i v 页 q q t q r t q 2 r ，t u ，a u u z ，如u u r ，岛u 乱 ，哦u ，7 z ，t o e d n u v u c ( q ) ( q ) c 七( q ) ( _ ) 【乱】口，n g 口( q ) 伊，口( q ) c a ，a 2 ( q t ) 卵( q ) 妒( q ) 本文所用的符号 表不_ 瓦o u 表不- 五o u 表示挲 表示赛 | a i = 口，+ + a n ，。口u = 。呈u = 焘 u a , f l = 茁耖s ，u 茁，p q 钭，。 口 1 【u i 心】a 胁= s u p d 只0 ，p e q t u ( o ) 一孔( p ) ( d ( o ，尸) ) q o 。，0 0 ，且为常数) 且密度函数在真空边界有跳跃时，在2 0 0 2 年，m o k a d a ，s m a t u s u - n e c a s o v a 和t m a k i n o 在文献 2 8 中首次运用能量积分和半离散的方法，得到了密度 的上、下界，从而给出了1 d 方程组整体弱解的存在唯一性，但是此时要求0 ( 0 ，丢) ，由 1 6 于此限制就不能解释天体物理中的硬球碰撞模型( p = 妄) 为了弥补这个缺憾，t y a n g ， j 1 z a y a o 和c j z h uf 2 9 1 利用一套新技术将其结果推广到了0 ( 0 ，妄) ，从而有力的 解释了硬球碰撞模型随后s j i a n g ，z p x i n 和p z h a n g 【3 0 】把上面的结果进一步推 广到了0 ( 0 ，1 ) 特别地，0 = 1 对应于浅水波模型，x q i n 和z y a o 3 4 】在初始数 据满足p 0 w 1 , o 。，u o o 。时，把结果推广到了0 ( 0 ，1 1 从而有了0 o 的所有 结果非等熵流光滑解的全局存在性可参见文献 1 8 ，3 2 ，3 3 ，3 4 】当密度函数连续到真 空时，d y f a n g ，t z h a n g ，s w v o n g ，t y a n g ，c j z h u 在 3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 】中证明了 等熵流全局弱解的存在性更精确地说，d y f a n g 和t z h a n g 【3 6 】把 3 8 】中的结果 0 ( 0 ，丢) u ( 言，号) ， 3 7 】的结果p ( 0 ，言) 和 3 5 】的结果p ( 0 ，音) 推广到了0 ( 0 ，1 ) 了oo 1 近来，h l l i ，j l i 和z p x i nf 3 9 1 研究了0 妄时的初边值问题，从而发现了在有限 时间内真空消失解的爆破这个有趣的现象更多的结果可参考 4 0 ，4 l ，4 2 】对于高维 情形解的存在性的研究可查看【4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 】，【5 4 卜 5 8 】等文献 本章在前人工作 2 9 ，5 9 ， 6 0 - 6 3 】的基础上，进一步给出了等熵多方可压流问题解 的大时间性，结果如下： 定理1 0 1在研，凰，风和风的假设条件下，对任意的t 0 及a 0 ，有 当- y = 0 且0 口t t0 a m i n 【 y - l , p ，乌，1 ) 时，有 p ( x ，t ) c ( 1 + t ) 2 0 ； 当。 p m i n 卜2 ，罟，等) 时，有 1 p ( z ，) c ( i - i - t ) 7 一口 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 1 2 可压的热传导气体 可压的热传导气体也是我们需要研究的重要对象，下面给出其欧拉坐标系下的数学 表达式： la j d + d i v ( p u ) = 0 ， i 0 , ( p u ) + d i v ( p u 固u ) + v p = d i v s + p f , ( 1 5 ) l ia ( p e ) + d i v ( p e u + p u ) + d i v q = d i v ( s u ) + p f u ， 这里p ，u ，p f ip ，入与模型( 1 1 ) 中所表达的物理意义一致，上面这三个方程分别体现了 质量、动量、能量守恒，与此同时后两个方程也体现了第四方面的的影响其中 s = 2 # v u + a d i v u i 表示粘性张量，q = 一k ( p ，0 ) r e ，表示能量流，这里k 是热传导系数，p 代表流体的温度 1 e = 去i u l 2 + e 1 为流体的总能量，且去i u l 2 表动能，e 表比内能此外e 和p ，q 满足如下的关系： e ( p ，9 ) = r ( p ) + q ( 口) ( 1 6 ) 对于该模型【6 4 】， 6 5 】， 6 6 】更详尽的描述了函数e ，p ，k 通常同时依赖于u 和口，特 别地，内能e 。( 6 y r + 1 ，p o 5 ) ，热传导系数k 伊，( o 5 口o 8 ) 类似的能量定律 在很多理化书中例 6 7 】都有描述综合这些因素的影响，状态函数需要满足一定的增长 性，所以我们需要做如下假设： a p ( 1 + p ) 1 + p = p ( p ，p ) a l p ( i + p ) 1 + r ，( 1 7 ) 前言 5 b p ( i + 口) 1 + e = e ( p ，0 ) b i p ( i 十p ) 1 + ，( 1 8 ) c p ( 1 + p ) 口k = k ( p ，0 ) c i p ( 1 + 9 ) 口，( 1 9 ) 其中q 2 + 2 7 ，r 【0 ，1 】 由于可压的粘性热传导流体在工程中的广泛应用，该n a v i e r s t o k e s 模型理论和数 值计算的研究已经有6 0 多年的历史了数值计算研究的鲁棒性和精确性，特别是出现 强的击波或者复杂的边界条件时问题的解的存在性、唯一性和稳定性等仍然是一个很 有挑战性的研究领域目前的研究主要是对整个包括内能系统的弱解( 粗略的说即分 布意义下的解) 存在性的理论研究该问题在p l l i o n s 的专著 3 】及t e m a m 【6 8 】中 提到时仍为一个广泛公开的问题对该模型我们同样对粘性是否依赖于密度来给出相 应的已有结果当粘性系数为常数时，从1 9 8 0 年开始，k a w a s h i m a ，m a t s u m u r a ，h o f f ， k o b a y a s h i ，n i s h i d a 和z l o t n i k 分别在【6 9 】，【2 2 - 2 4 1 ，【7 0 ，【7 i ， 7 2 】，【7 3 】和【7 4 】中给 出了可压的等熵及非等熵的n a v i e r - s t o k e s 方程解的存在性、稳定性、大时间性及收敛 率；后来w a n g 7 5 ，7 6 】考察了日1 弱解的存在性及间断解的存在性，并给出了自由边 界的发展q i n 7 7 卜 7 9 】讨论了整体解的存在性、正则性和指数衰减另外，y s h i b a t a 和k t a n a k a 8 0 】讨论了带外力的可压n a v i e r s t o k e s 方程稳定解的存在性等当粘性 系数依赖于密度时，虽然研究起来复杂，但是由于其重要物理意义，许多学者对其作了 大量研究对一维粘性与密度相关的等熵或者热传导流，全局解的存在性、唯一性、正 则性已有了相当多的成果k a z h i k h o v - s h e l u k h i n 8 1 】首次证明了具有光滑初值的理想 气体解的全局存在性o k a d a 和k a w a s h i m a 【8 2 ，z h e n g 和s h e n 【8 3 】研究了在初始值 足够小的时候柯西问题光滑解的存在性及大时间性特别地，d a f e r m o s 8 4 ，d a f e r m o s 和h s i a o 8 5 】及j i a n g 8 6 】研究了一类硬质材料的情形之后j i a n g s t - s s ， 1 8 】( 也 可参考 8 9 ，【9 0 】) 研究了对该模型的条件作改进后其初边值问题光滑解的存在唯一性、 渐进性及当粘性不会急速衰减到零时，光滑解的全局存在性e d u a r df e i r e i s l 9 1 】验证 了在压强p 满足最优的增长条件时全局弱解的存在性，这里的“最优”为适当的先验 估计d u c o m e t 和z l o t n i k 【9 2 】验证了当压强p ( u ，p ) = p ou ) + 尸1 ( u ) 口时，让，u ，0 分别 在l q ，l 2 ，l q ，口 2 ，o 。) 的稳定性，有了上面的紧性，进一步得到了全局解的存在性此 外，在 9 l 】的基础上，e d u a r df e i r e i s l 9 3 】按照 9 4 】中的思想对方程重整化研究了当粘 性依赖于温度时全局弱解的存在性之后他 9 5 ，9 6 ，9 7 】又研究了简单的天体模型中带 反应辐射的气体弱解的存在性近些年来，o k a d a 2 8 】研究了带真空的等熵流的解的全 局存在性， 3 3 ，3 0 ，2 9 ，9 8 ，9 9 ，1 0 0 】也对此模型作了相应的研究另外，l i l i x i n 3 9 】考 虑了带真空时弱熵解的爆破现象进一步，m e l l e t v a s s e u r 【1 0 1 】和j i u - x i n 【1 0 2 】研究了 前言 6 柯西问题全局强解的存在性更多相关的成果见 1 8 ，3 2 ，3 4 】对于高维情形的研究，最 早是在1 9 3 0 年，l e r a y 2 】给出n = 2 ，3 时不可压的n a v i e r s t o k e s 流弱解的全局存在 性及在n = 2 时解的全局正则性和唯一性之后p l l i o n s 【3 】在l e r a y 的基础上研究 了能量方程耦合质量和动量守恒方程的简单可压流弱解的全局存在性d a n c h i n 1 0 3 j 在2 0 0 1 年给出临界空间里n 3 时强解的存在唯一性更多与之相关的高维模型、浅 水波模型、n a v i e r - s t o k e s p o s s i o n 耦合模型的结果可以参照f 1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 ，1 0 7 由上面的研究结果，我们知道前面学者大多数致力于日1 弱解( 或h s l d e r 光滑解) 的 研究，只有极少数学者研究该模型全局解的高阶正则性q i n 在 7 7 ，7 8 ，1 0 8 】中尝试研 究了当粘性系数为常数时热传导气体解的正则性近来，q i n h u a n g - y a o 1 0 9 】给出了 等熵流全局解的日4 正则性本文给出粘性依赖于密度的热传导气体模型解的日4 正则 性然而由于压力p ，内能e 和热传导系数七的强非线性性，对我们的研究带来很大的 麻烦此外温度函数9 和边界的估计更增加了问题的难度本文在 3 3 ，3 4 】解的存在性 结果上，运用嵌入定理 1 1 0 ，1 1 1 】等技术给出固定边界和自由边界问题解的日4 高阶正 则性，从而得到经典解 该部分分别在后面的第三章和第四章详细讨论首先给出热传导流固定边界问题解 的正则性结果 定理1 0 2如果e ，p ，口和k 关于0 “ + o 。及0 e 0 ，有 l i 钍( ) i i 刍t + l i - ( t ) l l 钐a 。+ i i 钍t ) i i 备。+ | l 仳此 ) i i 备- + i i v ( t ) l l 各+ i i v ( t ) l l 静。，。 + i i v t ( ) i | 刍。+ l i v 托( t ) 1 1 2 + l l e ( t ) l l 备t + l l e ( t ) l l 毳, 。+ i l e , ( t ) l l # z + l l e 此( t ) 1 1 2 ， ( 1 1 0 ) + ( i l u l l 备t + i l u l l s , s 。+ | i 仇l i 备t + i i u 托i i 备。+ i l u 埘1 1 2 + i i v l l 备s + i i v l l 衫t ，。 ，0 、 + i i v t i i 备a + l i v t t i i 备- + i l e l l ；, s + i l e l l 备, ，。+ l l e t l l ；, 3 + i l e 托i i 刍t ) ( r ) d v c ( t ) 推论1 o 1 在定理1 o 2 的假设条件及一些相容条件下，问题( 3 5 a ) - ( 3 5 c ) 具有 经典解( 乱( t ) ，u ( t ) ，p ( t ) ) ，满足如下的估计： i i 仳( t ) l l c , 1 。+ i i v ( t ) l l c , i l 。+ i l e ( t ) l l c , 1 2 c ( t ) ( 1 i i ) 其次我们给出热传导流自由边界问题解的正则性 定理1 0 3设e ，p ，盯和k 关于0 u + o o ，0 p + o o 是c 1 光滑的，且满 足假设条件( 4 1 0 ) - ( 4 1 2 ) 及( u o ( x ) ，伽( z ) ，e o ( z ) ) 日1 ，我们得到( 4 5 ) - ( 4 8 ) 的唯一全 局解( u ( t ) ，u ( t ) ，p ( t ) ) ，使得 前言 7 0 c 一1 ( t ) u ( x ，t ) c ( t ) ，0 c 一1 ( t ) o ( x ，t ) sc ( t ) ，( z ，t ) 【0 ，1 】【o ，卅， i i u ) i i 备。+ i m t ) 1 1 2 + ( i l u l i 备。+ i l u t i l 2 + l i u i l 备- + i l e l l ；, t ) ( r ) d r c ( t ) ( 1 1 2 ) ，0 、 7 下面的结果是解的日2 正则性 定理1 0 4设e ，p ，盯和k 关于0 u + 。，0 p + 。是俨光滑的，且满 足假设条件( 4 1 0 ) 一( 4 1 2 ) 及( 仳o ( z ) ，v o ( x ) ，( z ) ) h 2 ，可得到( 4 5 ) 一( 4 8 ) 的唯一全局 解( u ( 亡) ，u ( t ) ，口( ) ) h 2 ，且有 i i 珏 ) i l 备：+ i l u ( t ) l l , 。+ i l 饥q ) i l 备- + i l u ) i i 备。+ i m t ) l l b t ，。+ l m ( t ) 1 1 2 - i - i i o ( t ) l l 备z ，c， + l l o ( t ) l l 毳, 。，。+ l l e , ( t ) 1 1 2 + ( i l u l l 备。+ l l u l l 钐- 。+ i l u , l l ；, z + i i v l l 备。+ l i v l l 乱, z ，。 ，0 、 + l l v t i l 备，+ i t e l l s , s + i l e l l ，。+ i l e , l l , - ) ( r ) d r c ( t ) ( 1 1 3 ) 最后我们给出解的日4 正则性 定理1 o 5设e ，p ，仃和忌关于0 u + o 。，0s9 0 表示介质的密度，a ( s ) 是一个严格递增函数而函数l s ( u ) 的一阶导数 表示对流现象 实际上模型( 1 1 6 ) 来源于许多物理应用例如，它在热力学中的应用，可参考文献 f 1 1 5 ，1 1 6 ，流体力学中的应用，可参考文献【1 1 7 在多孔介质的扩散或渗透模型中，t 表示密度、浸透或者集中，而在热的传播模型中，乱表示温度，函数p 表示介质的密度 s k a m i n 和p r o s e n a uf 1 1 5 ，1 1 6 1 首次在非齐次的血浆运动时热的传递模型中引入了 密度函数p ( z ) 对齐次介质的运动即当p 为常数时，模型( 1 1 6 ) 就成了一个带对流的 经典的渗流方程( 见e g ， 1 1 8 ，1 1 9 ，1 2 0 ) 很多学者对模型( 1 1 6 ) 解的存在唯一性都有 研究首先对不带对流的( 1 1 6 ) 模型的弱解的研究可追溯到1 9 8 0 年，s k a m i n 和p r o s e n a u 【1 1 5 ，1 1 6 1 最先研究了一类一维的不带对流的柯西问题解的存在唯一性近来， g r e y e s 和j l v 五z q u e z 【1 2 1 】研究了l 古解的适定性而齐次带对流模型的研究在 更早的1 9 5 0 年，o l e i n i k 等人 1 2 2 】首次引入了当a ( 仳) 2 l o 。( q t ) 时该柯西问题弱解 的定义及其存在唯一性接下来，e h o l m g r e n 1 2 3 】做出了一系列杰出的工作，他们给 出了当i x l _ o 。时，密度常数p 满足一定的增长条件时问题的解的存在唯一性更多 唯一性的结果可参考文献f 1 2 4 ，1 2 5 ，1 2 6 ，1 2 7 特别地，z h a o 1 2 0 】利用h o l m g r e n 方法 证明了经典渗流方程有界解的唯一性更多学者 1 2 8 ， 1 2 9 】等对解传播、光滑性、正则 性、渐近性及大时间性等作了大量的研究后来在1 9 9 0 年时，d e i d u s 1 3 0 ，【1 3 1 】研究 了高维情形，证明了n = 2 时，如果密度在无穷远有急剧的衰减性，那么问题具有和前 面类似的存在唯一性结果，同时还说明了当n 3 时结果就不成立，换句话说即问题在 有界解集里解的唯一性不成立，但是在解满足一定的衰减性时唯一性则成立，此外还给 出了解的大时间性再后来r f e r r e i r a 等人 1 3 2 】采用k m h u i 1 3 3 ，b h g i l d i n g 前言 9 【1 3 4 ，s k a m i n ( 1 3 5 】等人的思想研究了当a ( u ) = ? a m ，b ( u ) = 一矿时关于解的存在 唯一性的一些结论l i u 和w a n g 1 3 6 】采用其思想研究了当p 是关于u 的函数时，问 题解的唯一性对渗流方程更多的数学理论研究可参考 t 3 7 本文我们给出一般情形即a ( u ) 和b ( u ) 之间不需要任何关系的柯西问题解的存在 唯一性下面先给出其主要结果 定理1 o 6 ( 存在性) 后面文中提到的假设条件( 5 3 ) 一( 5 6 ) 成立，那么柯西问题 ( 5 1 ) - ( 5 2 ) 至少存在一个解u c ( q ) nl ( q ) 定理1 o 7 ( 唯一性) 在定理1 0 6 的条件下，柯西问题( 5 1 ) 一( 5 2 ) 至多存在一个 有界弱解 本文的结构安排如下： 第二章，我们研究等熵多方流解大时间性首先给出p 在边界上的衰减估计，然后 给出p 在区域内部的一致上界估计，最后进一步给出了p 在整个区域上的大时间性第 三章，我们研究可压的热传导流固定边界问题解的正则性这章的关键是解正则性的提 高，由于方程中函数的非线性，问题复杂了许多，我们运用了n = 1 时的嵌入定理等技 术来达到所要的结果第四章，我们重点研究可压的热传导流自由边界问题解的正则性 本章与第二章不同之处在于把解提高到h 2 时，除了非线性问题外，还添加了边界估计 这个难度此时需要运用很强的技巧性才能使后面结果得以证明第五章，我们研究一 般情形即a ( u ) 和b ( u ) 之间不需要任何关系的柯西问题解的存在唯一性对于存在性 的证明采用局部逼近的方法，首先给出局部解的存在性，然后再延拓得出全局结果，在 该证明过程中关键的一步是辅助函数的选取其次我们采用h o l m g r e n 方法来给出唯一 性的证明，在该证明中同样要选取辅助函数 粘性与密度相关n a v i e r - s t o k e s 方程组解的大时间性 1 0 第二章等熵多方流解的大时间性 本章研究等熵多方流的问题，通过引进变换，我们给出问题的解密度函数p 的大时 间性 本章结构如下：在2 i 节给出所要研究的模型，在2 2 节给出转化问题及本章的主 要结果，在2 3 节给出结果即密度p 大时间性的详细证明在2 4 节，给出本章小结 2 1研究问题的模型 本章主要讨论1 d 的等熵多方流运动的情形，此时假设流动在一圆柱形管道内进 行，该管道的轴为= 毒1 轴，运动速度只有善方向的分量，且在垂直于f 轴的任意截面 上状态量均相同，即状态量只与7 及f 有关由此在欧拉坐标系下模型( 1 1 ) 就简化为 ， lp r + ( 刖) f = 0 ， ( 2 1 ) 【( 倒) 1 - + ( 肚2 + p ( p ) ) = ( p “) f ， o ( r ) f 0 初始值为 p ( f ，0 ) = p o ( ) ，( f ，0 ) = u o ( ) ，a = a ( o ) 毒b ( o ) = b ，( 2 2 ) 其中p ( f ，7 - ) 、“( f ，7 - ) 和p ( p ) = 4 p 7 ( 这种形式称多方气体) 分别表示密度、速度和压 力，p = 肛( p ) = b p 口为粘性系数不失一般性，我们可以假设a = b = 1 a ( r ) 和6 ( f ) 为自由边界且满足 a i ( 7 ) = = 乱( o ( 7 - ) ，7 ) ， 6 ，( 7 - ) = “( 6 ( 7 ) ，7 - )( 2 3 ) 和 ( 一p ( p ) + p ( p ) 让f ) ( ，r ) = 0 ，= 8 ( 7 ) ，6 ( 7 ) ( 2 4 ) 自由边界如图2 1 第1 0 页 粘性与密度相关的n a v i e r - s t o k e s 方程组解的大时间性 图2 1 ：自由边界 2 2问题的转化及主要结果 为了便于讨论该自由边值问题，我们引入拉格朗日变换( 可参考 2 9 】， 9 8 】等文献) z = p ( 名，r ) d z ，t = 7 那么自由边界= o p ) 和毒= b o ) 分别变为了z = 0 和z = p ( 孑， r ) d z = p o ( z ) d z 即流体的质量由于该模型是质量守恒的，所以不失一般性把质量规一化即 j 口 f b 令p o ( z ) d z = 1 因此，在拉格朗日坐标系下，自由边界o ( r ) 0 对自由边界模型作类似的变换，则( 2 1 ) 转化为 铭p t 州+ p 以2 u x - - - - 妒o , k 。 0 ，有 当，y = p 且0 p 且。 a m i n 7 - 1 , p ，为，1 ) 时，有 q p ( x ，t ) c ( 1 + t ) 2 8 ； 当。 0 时，由( 2 6 ) 和( 2 7 ) ，得到 两边开方可以得到 ( d ，t ) = 矿- 0 - 1 ( d ，) ，d = 0 ，1 ， p t ( d ，t ) = 一矿- 0 + 1 ( d ，) ，d = 0 ，l ， p t ( d ，t ) p 9 1 1 ( d ，t ) = 一1 ，d = 0 ，1 ， 去矿一7 ( d ，s ) 1 3 = d = 。，l ， p 口一1 ( d ，t ) = p o 一7 ( d ，o ) + ( ，y o ) t ， l p ( d ，t ) = j d 9 7 ( d ，o ) + ( 7 一o ) t o 一7 1 = = - _ l - _ - _ - - _ - - - - - - - _ _ _ _ - - _ - _ _ - - _ - _ _ _ 一 1 沙一1 ( d ，o ) + ( ，y p ) 胡7 0 由7 0 ，p o 一7 ( d ，0 ) 0 和t 0 ，就有 0 p ( d ，0 ) sp ( d ，t ) = ( i i ) 当- y = 0 时，可以推出 从而给出了结果( i i ) 1 沙一7 ( d ，0 ) + ( ，y 一护) t 】7 0 乱z ( d ，t ) = p - 1 ( d ，t ) ，d = 0 ，1 ， p t ( d ，t ) = - p 1 ( d ，t ) ，d = 0 ，1 ， p t ( d ，t ) p _ 1 ( d ，t ) = 一1 ，d = 0 ，1 ， l o g ( p ( d ，s ) ) 晤= 一t ，d = 0 ，1 ， p ( d ，t ) = _ p ( d ，o ) e 一。， 口 茎丝皇童鏖塑羞竺丝兰2 = 壁2 丝之堡丝笙。塑奎壁! 璺：些一一一一! 生 2 3 2 p 在区域内邵的衰减估计 为了便于后面证明，我们给出问题解的能量不等式 引理2 3 2在h 2 和h 3 的假设条件下，下面的不等式成立 丢z o zu 2 d x + 彳i 0 1 矿- z d x + 0 o 矿+ 1 镌揪 = 丢z 1 啦抖击z 1 出 接下来给出p 的一致上界估计 引理2 3 3假设满足引理2 3 1 的条件且3 假设成立，那么就有 p c ， ( 2 1 1 ) 这里c 是一个与t 无关的常数 证明 对式子 以一忍= 一9 ( u u o ) 一口以d s ， ( 2 1 2 ) 两边在【0 ，z 】积分，可以得到 z $ p ：d 可一0 2 端正d 可= 一8 o z ( u 一乱。) d 可一pz 霉z 。以d s d 可， p o 一矿( o ，t ) 一p 9 ( z ，o ) + p 8 ( o ，o ) = 一p z z ( 一“。) d y p 0 2 7 ( z ，t ) 二：+ p o 。7 ( 。，亡) d s 利用引理2 3 2 ，可以推出 p p ( z ，t ) + p o 。矿( z ，s ) d s c + 墨z 霉让2 咖 g ， 该引理证毕 ( 2 1 3 ) 口 鬟主箕篙研u 蝴d x 虿u 估o d x 荽赫假设ru d x ：卜u o d x ： 由于边界条件，我们知道= ，不失一股性司以假设2 2 0 为了便于研究大时间商趟，我们桌u 用 1 1 2 ，1 1 3 】中的变换来研究问题令 嘲问沪v 4 1 - 7z 丽1 咖+ 而1z 1z 盘丽1 蚋 粘性与密度相关的n a y i e r - s t o k e s 方程组解的大时间性 1 5 容易验证 1 叫t2 u t 一而叫 11 毗2 u 霉一雨石 从向硐( w ，p ) 丽足万程 ，p t + p 2 叫王+ 南= 0 i 毗+ 南叫+ ( 矿) 茁= ( 矿+ 雨1 0 ) 霉， 且满足边界条件 p r ( d ，t ) = ( j d l + 9 叫$ + 南瞅d ，) ， 对方程( 2 1 4 )