（概率论与数理统计专业论文）一类双险种风险模型的讨论.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 一类双险种风险模型的讨论 摘要 经典风险模型及其推广模型为描述单一险种的风险经营过程提供了多种 数学模型，但随着保险公司业务规模的扩大，经营单一险种对于保险公司来 说已不能满足市场经营的实际需要 为此，作者考虑了理赔到达过程是双险种的风险模型，在这个模型中， 理赔过程到达为p o i s s o n 过程与e r l a n g ( 2 ) 过程，利用条件期望及全概率公式 等概率知识，分别考虑了两过程相互独立、带有干扰项w i e n e r 过程的不带利 率与常利率情况下的破产概率，及其对应的拉普拉斯变换所满足的积分微分 方程，并讨论了一类两索赔过程相互依存的风险模型j 得到几个联合破产概 率及有关上界等结果 根据内容本文共分为以下三章： 第章，主要介绍了风险理论的发展过程及现状，回顾了研究经典风险 模型的重要著作及其研究方向和成果，详细地介绍了古典风险模型的基本定 义、主要结论，以及它在几个方面的推广，包括广义的复合过程的内容及主 要结果；带扰动的复合过程等内容 第二章，在本章中，回顾了e r l a n g ( 2 ) 过程的相关知识和双险种风险模型 的发展过程研究成果，介绍了e r l a n g ( 2 ) 的基本概念与研究成果，包括一般 的e r l a n g ( 2 ) 过程的结论；带扰动的e r l a n g ( 2 ) 的风险模型的讨论；以及带利 率的e r l a n g ( 2 ) 模型的研究现状另外还回顾了一类与e r l a n g ( 2 ) 过程相关的 双险种的风险模型的研究结果为第三章内容做了充分的准备工作 第三章，本章内容是在第二章的基础上对索赔过程分别为p o i s s o n 过程 与e r l a n g ( 2 ) 过程的双险种模型进行了讨论和研究，并分情况讨论了在常利 率下、带干扰的、及两类索赔相依条件下等几种模型下的破产概率的一系列 结果 曲阜师范大学硕士学位论文 首先讨论了带扰动的索赔过程为p o i s s o n 与e r l a n g ( 2 ) 的双险种风险模型 的破产生存问题，得到生存概率及其拉普拉斯变换所满足的积分微分方程： 设生存概率r ( u ) 关于u 四阶连续可导，则有； d 2 r ( 4 ) ( u ) + 2 c d l 掣 ( u ) 一【2 d ( a + 卢) 一c 2 】爿7 ( t ) 一2 c ( a + p ) r 7 ( t ) + ( 入+ 卢) 2 r ( t 正) + 2 a d r 幸f 1 ( u ) + 2 a c r 幸毋( t ) 一2 a ( a + p ) 爿木f 1 ( t ) + a 2 r 幸p 2 ( t ) 一卢z r 幸f 2 ) + d 入尉( t ) ) = 0 设咖( u ) 关于u 四阶连续可导，则钆( u ) 满足下面方程： d 2 妒孑( t 1 ) + 2 c d 妒? ( 让) 一 2 d ( a + 卢) 一c 2 】妒：( u ) 一2 c ( a + 卢) 妒：( u ) + ( a + 卢) 2 c d ( u ) + 2 a d 妒：奉日( 牡) + 2 a c 妒：幸毋( u ) 一2 a ( a + 卢) 以幸日( u ) + a 2 钆幸f 砣( t ) 一卢2 咖宰足( t ) + d 入( o ) ( u ) + c a f ( u ) + b a l l ( u ) = 0 接着研究了常利率下的上述模型的破产问题，得到生存概率及其拉普拉 斯变换所满足的积分微分方程： d 2 r r ( t i ) + 2 ( c + t 1 6 ) d 硝( t ) 一 2 d ( a + 卢) 一c 2 磁( t ) 一2 ( c + “j ) ( a + 卢) 磁( u ) + ( a + 卢) 2 j b ( u ) + 2 a d 瑶木f l ( t ) + 2 a ( c + 轧) 磁幸最( t ) 一2 a ( a 善卢) 焉幸f l ( t ) + 入2 r 6 宰f 心( u ) 。 一卢2 凰宰f 2 ( t ) + d a r “u ) f l ( u ) = 0 关于硒( u ) 的拉普拉斯变换，我们有： 姗，= 篙高揣器絮揣 在本章的最后部分讨论了一类相依的双险种的风险模型，推出几个联合 破产概率的表达式及它们的上界： 对任意的t 暑 0 ，u z 0 有： 帅) = 半【f 列z ) d z + 小融叫+ 玎( 州叫纠妃 一一 些皇堕整盔堂塑主堂垡迨塞 一 - _ _ - _ _ - - - - _ _ _ _ - - _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ - _ _ _ - - 。- _ _ _ _ 一 脚= 半z t b ( u - - z ；x 厩如+ 鲁f ( 酏旷聊胁， 撕) = 半厂列z 胁z g ( u - - z , y ) 瓦心川+ 玎( g 出砒妃 撕沪a z + 2 a 2 z o u j ( u - z ；x , y 忍桫鲁f ( 脚砒舢眦 拦恐e 舭( a ( u ；z ，可) + a t ( 让；z ，! ，”f 摹j 币i l j i 反孬葡1 又页尹芊瓦= r l 丽2 u - + tp nt “，”、“，oo r ”、一， u 1 + i r a e 肋( 妒( 珏) + 妒l ( 缸) ) 而z p 丙叠两砾酉c 西两硬瓦厍， 桌恐e 肌( b ( 警，可) + 口- ( u ，) ) r z 干p j 可i j i 甄孬瓦曩i 矿；忑= 琢而， ，熙e 黜( g ( “，可) + g ( 让，y ) ) 冬而z p 两而两讯萨c 西硒而， 。熙e 肌( j ( u 忍y ) + 以( 让；础) ) s 南丙1 五- i - 硒丽示虿丽蕊2 耳。 让 上tp ，、- n z ，o l 、 o ， o _ ，、。， v 关键词：p o i s s o n 过程；e r 岫( 2 ) 过程；w i e n e r 过程；相依；双险种；破产 概率；联合破产概率；拉普拉斯变换；积分微分方程 1 1 1 蓝阜师范大学硕士学位论文 a b s tr a c t t h ec l a s s i c a li n s u r a n c er i s km o d e la n di t se x p a n d e do n e so f f e rm a n ym a t h - e m a t i c a lm o d e l sf o rd e s c r i b i n gs i n g l ei n s u r a n c er i s km a n a g e m e n tp r o c e s s b u t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fb u s i n e s ss c a l eo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y , i ti su n f e a , - s i b l ef o ra c o m p a n yt ou n d e r t a k et h es i n g l er i s km a n a g e m e n tm o d e l i nt h i sp a p e r ，t h ea u t h o rp r e s e n tan e wm o d e li nw h i c ht h ec l a i mi st h e d o u b l er i s km a n a g e m e n tm o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n i nt h i sn e wm o d e l ，t h e c l a i ma c c e s sp r o c e s si st h ei n t e g r a t i o no ft h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sa n d t h ee r l a n g ( 2 ) p r o c e s s t h ec o n d i t i o n a le x p e c tt h e o r yi sa d o p t e dt od i s c u s st h e u l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y i nt h el a t t e ro ft h ep a p e r ，t h em o d e li sa l s oe x p a n d e dt ot h em o d e lw h i c h t h et w oc l a i ma c c e s sp r o c e s sa r ec o r r e l a t e d ，a n do b t a i nt h et r a n s f o r m a t i o no f t h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e rl ，w ec o n s i d e rt h ed e v e l o p m e n to ft h er i s kt h e o r ya n dm a i n r e s u l t ，t h ec o n c l u s i o no ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l i nc h a p t e r2 ，w ep r e s e n tt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n ds o m er e s u l t so f t h i sm o d e l ，s u c ha st h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h ed i s c o u n t e dp e n a l t ys a t i s f i e s ac e r t a i nr e n e w a le q u a t i o na n do t h e rr e s u l t s w ea l s op r e s e n tt h ee r l a n g ( 2 ) p r o c e s sa n ds o m er e s u l t sa b o u tt h ed o u b l ei n s u r a n c er i s km o d e lt h a tw ew i l l b eu s e di nt h en e x tc h a p t e r i nc h a p t e r3 ，w es t u d yac l a s so fd o u b l er i s km o d e l b a s i co nt h ec o n - c l u s i o no ft h ee r l a n g ( 2 ) r i s km o d e la n dt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，w eu s et h e m e t h o do ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h e nw ec a ng e ts o m er e s u l t so ft h en e w r i s km o d e l w ea l s og i v et h ep r o v et h a tt h em o d e lw h i c hn e v e rt r a n s l a t e d n e x tw ec o n s i d e r e dt h er i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ，p e r t u r b e db y l 曲阜师范大学硕士学位论文 d i f f u s i o n i nt h el a s to ft h ep a p e r ，w ea l s oc o n s i d e rt h ed o u b l ei n s u r a n c er i s k m o d e lw i t ht w oc l a i ma c c e s sp r o c e s sa r en o ti n d e p e n d e n t ，g e ts o m eu n i t e dr u i n p r o b a b i l i t i e sa n du pb o u n d s k e yw o r d s ：p o i s s o np r o c e s s ；e r l a n g ( 2 ) p r o c e s s ；d o u b l er i s km o d e l ；r u i n p r o b a b i l i t y ；c o r r e l a t e d ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；l a p l a c et r a n s f o r m a t i o n n 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类双险种风险模型的讨论， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作 所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方 式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名；妄4 伟 日期：加8 ，修f 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 一类双险种风险模型的讨论系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期 间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学 所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学， 可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容 作者签名：麦1 伊 日期：谚，匕 铱酃竿晌蒯彤肜 第一章绪论弟一早三萏化 风险理论是保险数学的一个重要研究内容，而破产理论则是风险理论的 核心部分破产理论的研究起源于瑞典数学家f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年的 论文a p p r o x i m e r a df r a m s t a l l n i n ga ys a n n o l i k h e t s f u n k t i o n e n ，在这篇 论文中，提出了一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程虽然他的工作并不 符合现代数学的标准，但他已经开创了数学的一个重要分支，在随后的时间 里，以c r a m e r h 为首的瑞典学派将其严格化，使该理论立足于坚实的数学 基础之上与此同时，c r a m e r 发展了严格的随机过程理论，学术界已公认： l u n d b e r g 与c r a m e r 创立了经典破产论实践证明；破产论的研究既有其实 际的应用背景，也有其概率论上的研究发展需要 在现实生活中，对我们大多数人来说，有些影响某个事件的诸要素间的 关系是不确定的，而且仅能运用概率的术语来刻画，在这一随机的范围内， 风险是关键的概念风险论发展至今已有很长的历史，并且有一个狭义的精 确的定义，即：风险论是用以设计，管理与规范一个风险企业的诸相关思想 的综合而一个具有风险的企业是以这样的事实为其特征的：即在其正常运 作的会计核算周期内，开销也许会超出收入尽管大多数对风险论作出贡献 的人把保险公司视为风险企业的主要例子，但稍作修整此理论也可以用于其 他类型的操作 由于经典风险模型具有很好的性质，所以被深入而广泛地讨论和研究， g e r b e r 和s h i u 对经典风险模型做了详尽的研究在g e r b e r ( 1 9 7 9 ) ；g e r b e r ，。 s h i u ( 1 9 9 8 ) 中研究了破产时、破产前瞬时盈余、破产时的赤字的联合分布，并 证明了罚金折线函数满足一瑕疵更新方程d u f r e s n e ，g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 对破产 概率进行了详尽的研究，得出了破产概率满足的更新方程然而其完美的性质 正是现实情况所难以具备的，为此有许多人对经典模型进行改进，考虑加入常 利率、随机利率、干扰等，由此得出一系列新的模型并进行了研究，如d i c k s o n ， d r i c k i c ( 2 0 0 4 ) ；l e d ，m i n k o v a ( 2 0 0 4 ) ；g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 3 ) ；g e r b e r ，s h i u ( 2 0 0 3 a ， 2 0 0 3 b ) ；c a i ，y a n g ( 2 0 0 5 ) ；g e r b e r ，l a n d r y ( 1 9 9 8 ) ；l i n ，w i ! l m o t ( 1 9 9 9 ) 等 对带常利率的经典风险模型有比较系统的研究其中有s u n d t ，t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 解决了破产概率满足的积分微分方程y a n g ，z h a n g ( 2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) 已经研究 第一章绪论 了破产前瞬时盈余、破产时赤字，以及破产前盈余和破产时赤字联合分布的 表达式及其满足的方程 c a i ，d i c k s o n ( 2 0 0 2 ) 研究了罚金折现期望函数，得 到了它满足的积分微分方程 对带干扰的经典风险模型的研究的主要成果有：d u f r e s u e ，g e r b e r ( 2 0 0 2 ) 解决了生存概率满足的积分微分方程，及生存概率满足的卷积公式c h i u ， y i n ( 2 0 0 3 ) 研究了破产前盈余、破产时赤字，以及破产前盈余破产时和破产时 赤字的三者联合分布的表达式，并证明罚金折现函数满足一积分微分方程， 及卷积公式 对于一般到达过程的有关破产概率的研究不是很多，毛泽春( 2 0 0 5 ) 首 先引进了一类索赔称为复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的风险模型，并研究了 破产概率公式及其满足的更新方程戚懿( 1 9 9 9 ) 考虑了对经典模型进行了推 广，即考虑把复合p o i s s o n 过程推广到广义复合p o i s s o n 过程，并与经典模 型建立联系，直接推出了广义复合p o i s o n 过程模型下的破产概率公式及其 满足的更新方程d i c k s o n ，h i p p ( 1 9 9 8 ) 和l i u ，y a n g ，h u ( 2 0 0 6 ) 分别讨论了 一类相依的双险种风险模型的破产问题，得到几个联合破产概率的表达式， 吴荣，杜永宏( 2 0 0 2 ) 讨论了一类常利率的更新模型受这些结果的启发，本 文讨论了一类双险种的风险模型，得到了最终破产概率、生存概率、联合破 产概率所满足的方程，并求出对应的拉普拉斯变换满足的方程 2 第二章预备知识 2 1l u n d b e r g - c r a m e r 经典风险模型的相关结果 设保险公司在t 时的盈余由下式给出 u ( t ) = u + c t s ( 亡) ，芒 0 ，( 2 1 1 ) 其中u 称为公司的初始资本，c 为单位时间内所收取的保费， s ( t ) ，t o ) 为随机过程，称为索赔过程，是一复合p o i s s o n 过程，s ( t ) 表示到时刻t 公 司所赔付的总额，即 ( t ) s ( t ) = f x i ， ( 2 1 2 ) i = l 其中 ( 亡) ，t 0 ) 是强度参数为a 的p o i s s o n 过程，称之为索赔记数过程； n ( t ) 表示到时刻t 发生的索赔次数五是第i 次索赔额，五，t = l ，2 ，之 间独立同分布，且与 ( 亡) ；t o 相互独立。 记分布函数为取 ) = p ( x 1 z ) ， o ) ，相应的密度函数为厶( 茹) = 畋p ) ，k 阶矩为纵= e x f l ，则p l = 科x l 】- - - - f ( 1 一歹k ( z ) ) 出，记t 为风 险模型( 2 1 1 ) 的破产时刻，即 t - - - - i n f ( t ：u ( t ) o ) ，若集合为空集，则t - - - o o 破产概率为： 皿( u ) - - p ( t o ( 2 1 3 ) ( 2 ) 调节系数r 是下面调节方程： a m x ( r ) 一l 】- - - 1 c ( 2 1 4 ) 3 第二章预备知识 的正根，其中坂( r ) 为x 1 的矩母函数 ( 3 ) 破产概率满足更新方程 皿c u ，= - a c ，。一霍( u - - x ) ( 1 取 ，匆+ 会z c 1 一取c z ，如，c u 罢：1 5 ， ( 4 ) 初始分布为0 时的破产概率与五的具体分布无关，即 皿( o ) 2 南 ( 2 1 6 ) ( 5 ) l u n d b e r g - c r a m 6 r 近似：存在正常数c ，使得皿( u ) 一c e 一砌，u _ o o ，其中 强赤 ( 2 1 7 ) ( 6 ) l u n d b e r g 不等式：由 皿( u ) = e e - j r v 二( t ) i t 一 o o i 得 皿( u ) e - 砌， ( u o ) ( 7 ) 特别的，当个体索赔额服从参数为卢的指数分布时，有简捷的显示表达 吣) = 而1e x p ( 一篇) ( 幽) ( 8 ) 调节系数r 的上下界为 。 1 0 9 ( 1 + 6 ) 0 ，设w ( x ，影) 为一非负函数，对于6 0 ，t 0 ，定 义 西( u ) = e w ( u ( t 一) ，l u c t ) i ) e 一打i ( t z ，2 1 1 2 f0 ， 秒s 。； 州玑甸= t1 一器z q 工1 3 5 第二章预备知识 则这样的过程为广义的复合p o i s s o n 过程，研究晦主要内容仍为破产概率， 可利用经典破产论的结果直接推导 2 带扩散扰动的复合p o i s s o n 过程 设盈余过程由下式给出 t 纱( t ) = 钍+ c t s ( t ) + 6 w 0 ) ，t 芝0 ， 其中u ，c ，艿和与上面所述，扰动项 w ( 亡) ，t o ) 是一b r o w n i a n 运动此外， 假设 ( 亡) ，t o ) 和( s ( t ) ，t o ) 相互独立此时 妒( u ) = 讥( u ) + 饥( u ) 其中讥( u ) 表示因随机扰动引起的破产概率，则讥( u ) 表示因索赔引起的破 产 现舻设为方程 坂( r ) + i d r 2 - - i + 姜r 的唯一正根 则可得 蜘) 妒斋 e - r * u 妒( u ) 耳鬲南而万司 - 1 ，具 有分布f 2 ( y ) 和密度丘( y ) ，令弘l = e x l ，坳= e m ，d = 譬 2 预备知识 为便于讨论，我们先做如下定义； 定义3 1 1 破产时刻为 t = i n f t 0 ：v c t ) o ) ，若集合为空集，则t = o o ( 3 j 2 ) 定义3 1 2 模型初始金为u 的最终破产概率为 妒( 缸) = p ( t 一 形盯 +k 汹 一 瓦 ： 一面+让 = u 第三章一类双险种风险模型的讨论 其中讥( u ) 为由干扰引起的破产概率，即 讥( 钍) = p ( t o o ，u ( t ) = o i u ( o ) = 让) ( 3 1 6 ) 饥( 让) 为由索赔引起的破产概率，即 讥( 缸) = p ( t d t ，1 ( d r ) = o l u ( o ) = u ) + e 【冗( u + c d t + a w ( d t ) ) p ( l n d t ，l ( a t ) = o l t r ( o ) = 让) + e 【冗( u + c d t + a w ( d t ) 一x i ) p ( l n d t ，l ( d r ) = l l u ( o ) = 让) + e 【冗( u + c d t + a w ( d t ) 一x n ) p ( l n d t ，n l ( d t ) = l l u ( o ) = 铭) + d ( 出) ， ( 3 1 1 4 ) 其中 疵 出 d t ，l ( 出) = o ，厩( d 0 = o l u ( o ) = 让) + e r ( u + c d t + 仃w ( d t ) 一m ) p ( l 1 2 d t ，l ( d t ) = 0 ，n 2 ( d r ) = l l u ( o ) = 让) + e 【五( + c d t + 盯w ( d t ) 一x 1 ) 】p ( l 1 2 d t ，n l ( d t ) = 1 ，厩( d 亡) = o l u ( o ) = u ) + e 【冗( t + c d t + a w ( d t ) 一x l y 1 ) p c l l 2 d t ，n l ( d t ) = 1 ，n 2 ( d t ) = i l u ( o ) = 牡) + o ( d o 一 ( 3 1 1 9 ) 而巨 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 e r ( u + c d t + a w ( d t ) ) 】 = e 【蠢o ) + 膏 ) ( c 疵+ 仃彬( d t ) ) + 丢彭( 让) ( c d t + o w ( d t ) ) 2 】+ o ( d t ) = 兄( u ) + c d t r 7 ) + d d t r ( u ) + o ( d t ) ( 3 1 。2 0 ) e r ( u + c d t + 口w ( d t ) 一x 1 ) 】 = e t l ( u x 1 ) + 角( 牡一x 1 ) ( c d t + a w ( d t ) ) + 去彭( 廿一x 1 ) ( c d t + o w ( d t ) ) 2 】+ o ( d t ) 兰f 口袁( u z ) ( z ) 如+ 础厂“角( u z ) ( z ) d x + d d tf 口膏，( 让一z ) ( z ) 妇+ 。( 出) 3 0 j 0j 0 ( 3 1 2 1 ) 将( 3 1 1 5 ) ，( 3 1 2 0 ) ，( 3 1 2 1 ) 式代入( 3 1 1 9 ) 式得： 冗( u ) = ( 1 一a d t ) ( 1 一f l d t ) ( r ( u ) + c d t r ( u ) + d d t r ( u ) ) + ( 1 一a d t ) 3 d t e r ( u + c d t m + a w ( d t ) ) 】 + a d t fldt)(1- 厂u 氲( u - x ) f 1 ( z ) 出+ 础1 州角( u z ； 扛 厂t 帚( u z ) ( 。 上冗z ) 出+ 础。硝( t 一z ) - 扛) d x + d d t 上矽( u z ) ( 。 + a d t p d t e r ( u + c d t + a w ( d t ) 一x l m ) 】+ o ( d t ) ( 3 1 2 2 ) 整理，两边同除出，并令出- 0 得： 。 严一 ， d r ) + c 爿( 牡) 一( a + p ) 冗( u ) + a r ( t 一z ) ( z ) d z + p 兄( u y ) 厶 ) d 移= 0 j 0，0 ( 3 1 1 3 ) 引理3 1 2 兄( 让) ，r ( u ) 满足下列条件： 即) + 即) = 坠掣， d r ( o ) - 4 - c r ( o ) = 0 ， 1 3 口 ( 3 1 2 3 ) ( 3 1 2 4 ) 第三章一类双险种风险模型的讨论 ：d r ( o ) + c r ( o ) = 0 ( 3 1 2 5 ) 证明由引理( 3 1 ) 可知 令( 3 1 1 2 ) 式中的u _ 0 ，可得( 3 1 2 4 ) 令( 3 1 ，1 3 ) 式中的u 0 ，可得( 3 1 2 5 ) 下面证明( 3 1 2 3 ) 式： 对( 3 1 1 2 ) 式关于u 在区间1 0 ，v 】上积分： 即 。田爿7 ( 让) 如+ c z 田膏( u ) 咖一( a + z ) f o 管r ( u ) 砒+ p 可五( 钍) 砒 + 入厂口 厂ur ( u z ) ( z ) d x d u ：o ， j 0j 0 。( 爿( ) 一爿( 。) ) + c ( r ( u ) 一r ( 。) ) 一( a + 卢) z 可r ( o ) 五+ pz 口五( u ) 砒 + 入z 口【z 冗( u z ) ( z ) d z 】d 让= 。 ( 3 1 2 6 ) 同理对( 3 1 1 3 ) 式关于t 在区间【o ，t ，】上积分； 。z 口彭( u ) 砒+ ：z 口角( 让) 砒一( 入+ 卢) z v 五( u ) 砒+ 义z 静【z u k ( u - - x ) ( z ) 如1 五 十卢z 口【z r ( u 一矽) 厶( 可) d y i d u = 。， 即 。( 五，( 秽) 一五7 ( 。) ) + c ( 五( 口) 一五( 。) ) 一q + 卢) z 钞五( 让) 施+ a 蕾 乜五( 牡一z ) p ) d 叫 + z 口c f r ( u y ) 厶( 秒) d 引如= 0 。3 1 2 力 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 3 1 2 6 ) + ( 3 1 2 7 ) 得： d ( 爿( 移) 一剧( o ) ) + d ( 爿( 钉) 一r ( o ) ) + c ( r ( ) 一冗( 0 ) ) + c ( r ( v ) 一兄( o ) ) ，口，i 口，u a 【r ( u ) d u 一【r ( 珏一x ) f z ( x ) d x d u 】 叫伽让肛z 甜嘭缸讯二珊蛐】 ，移，口 产让 一声 r ( u ) d u 一【r ( u z ) ( z ) 出】酬= 0 ， 即 d ( 尉( 口) 一爿( o ) ) + d ( r ( 秽) 一尉( o ) ) + c ( r ( v ) + 兄( 秒) ) 一a r ( v z ) o 一只( z ) ) 如 d 0 f i f i 蕾 一a r ( t ，一z ) ( 1 一日( z ) ) 出一p r ( u 一秒) ( 1 一尼( 可) ) d y = 0 ( 3 1 2 8 ) 在( 3 1 2 8 ) 式中令t ，一。o ，得： 所以 爿( t ，) o0 ， 爿( ) _ 0 ， r ( v ) _ 1 ， r ( v ) _ 1 即) + 即) = 坠掣 ( 3 1 2 3 ) 口 定理3 1 1 设r ( u ) 关于缸四阶连续可导，则r ( u ) 满足下面方程： 1 5 第三章一类双险种风险模型的讨论 d 2 r ( 4 ( 让) + 2 c d r ( u ) 一【2 d ( a + p ) 一d r c u ) 一2 c ( a + 卢) 爿( ) + ( a + 卢) 2 冗( u ) + 2 a d r i 木只( 让) + 2 a c r 木f 1 0 ) 一2 a ( a + ) 尉奉只) + a 2 r 车f 砣( u ) 一卢2 冗 l 【局( u ) + d a r ( u ) f l ( u ) = 0 ， ( 3 1 2 9 ) 其中r 7 ( o ) 满足条件： 踯) + 卸) = 坠掣， d 础( o ) + c 爿( o ) ：0 ， ( 3 1 3 0 ) d r ( 0 ) + c r ( 0 ) = 0 证明由( 3 1 1 2 ) 式容易得出： 酗2 扩d 彤( 让) 一倒( 钍) + ( 久+ 声) r ( 珏) - a 上冗( u z ) d f l ( z ) 】( 3 工3 1 ) 1 一u 对( 3 1 3 1 ) 式关于缸求导，得： 膏(钍)=砉卜_d矽(u)一c础(u)-4-(a+卢)足(钍)一a上尼(uz)dfl(z)】(3132)1 ，u 再对( 3 1 3 2 ) 式关于t 求导，得： 膏7 ( 让) = - d r ( 4 ) ) 一倒( ) + ( 入+ 卢) 掣 ) 一a z u ( u z ) d 冬 ) 】 ( 3 1 3 3 ) 将( 3 1 3 1 ) ，( 3 1 3 2 ) ，( 3 1 3 3 ) 式代入( 3 1 1 2 ) 式，整理可得： d 2 r ( 4 ( 牡) + 2 c d r ( u ) 一【2 d ( a + 卢) 一c 2 】( 牡) 一2 c ( a + 卢) 爿( 让) + ( a + 卢) 2 r ( u ) + 2 a d r 木f 1 ( ) + 2 a c r 宰f 1 ( 让) 一2 a ( a + z ) r 宰f l ( ) + a 2 r 奉f 记( 让) 一卢2 兄木乃( u ) + d a r ( u ) f 1 ( u ) = 0 ( 3 1 2 9 ) 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 推论3 1 1 设量( 钍) 关于u 四阶连续可导，则皿( 让) 满足下面方程： 口 d 2 皿( 4 ( u ) + 2 扣皿 ( z 正) 一【2 d ( a + p ) 一c 2 】皿( 牡) 一2 c ( a + p ) 皿( 让) + ( a + 卢) 2 皿( u ) + 2 a d 皿事日( 让) + 2 a c $ 7 木只( 让) 一2 入( a + 卢) 皿：i c 日( 珏) + a 2 皿宰f 记( 让) 一卢2 垂宰易( u ) 一铲贯2 ( u ) + 2 入( 入+ 芦) f l ( u ) + 芦2 最( u ) 一d 入冗，( o ) ，l ( 让) 一( 入+ 卢) 2 = 0 ( 3 1 3 4 ) 定理3 1 2 设c d ( u ) 关于让四阶连续可导，则仇( 乞) 满足下面方程： d 2 蟛( t ) + 2 c d 妒：( u ) 一 2 d ( a + p ) 一c 2 】蛾( u ) 一2 c ( 入+ 声) 以( t 1 ) + ( 入+ p ) 2 讥( 让) + 2 a d 矽：木日( 珏) + 2 a 毗宰f l ( 也) 一2 a ( , x + 卢) 必i cf l ( 珏) + a 2 讥木f 砣( 缸) 一p 2 咖木局( + d a 仍( o ) ( t ) + c a ，0 ) + d a f l ( u ) = 0 ( 3 1 3 5 ) 证明同样考虑小的时间区间( 0 ，d t ， 钆( 乱) = p ( ? d t ，l ( d r ) = o l u ( o ) = 牡) + e 讥( t + c a t + a w ( d t ) ) l p ( l l d t ，。l ( d r ) = o l u ( o ) = u ) + e 讥 + c e l t + a w ( d t ) x 1 ) 】p ( l l d t ，1 ( d t ) = l l u ( o ) = u ) + e 【钆( u + c a t + ( r w ( d t ) 一x 1 ) 】p ( 三1 d t ，1 ( d t ) = l l u ( o ) = u ) + o ( d t ) ， ( 3 1 3 6 ) 其中 e 【咖( t + c d t + 盯w ( 疵) ) 】 = b i e r ( 缸) + 以( 缸) ( c 出+ 仃( 疵) ) + 三蝼( 让) ( c 如+ 盯w ( 出) ) 2 】+ 。( 磁) = 妒d ( u ) + c 如砂：( 铭) + d d t 够：( u ) + o ( d t ) ， ( 3 ：1 3 7 ) 1 7 第三章一类双险种风险模型的讨论 e d ( u + c d t + w ( d t ) 一x x ) 】 = e 瓯( u x t ) + 讥( u x 1 ) ( c d t + 仃彤( 出) ) + 丢访( 让一x 1 ) ( c 出+ 盯w ( d ) ) 2 】+ 。) f u 。 ，瓢，- = c d ( 札一z ) ) d z + c d t 妒：( 孔一x ) f l ( x ) d x + d d t 妒：( 让一z ) 0 ) d z + o ( d t ) 。 j 0j 0j 0 ( 3 1 3 8 ) 将( 3 1 3 7 ) ，( 3 1 3 8 ) 式代入( 3 1 3 6 ) 式得： 讥( u ) = ( 1 一a d t ) ( 1 一卢d t ) ( 妒d ( t ) + c d t 妒 d 心) + d d t 妒：( u ) ) + ( 1 一a d t ) 卢d t e 妒d ( u + c d t + o w ( d t ) ) 】 + a 出( 1 一卢出) ( zc d ( 牡一z ) ( z ) d z + c 如上讥 | _ z ) ( z ) d x + d d t 。铭心一写) o ，i u ，口 让 d - 2 d t d t e 矽d ( 牡+ c d t + 盯w ( d t ) 一x 1 ) 】 + d ( 出) ( 3 1 3 9 ) 整理，两边同除出，并令出- 0 ，得： d 锘( u ) + 毗( 牡) 一( a + 卢) 咖( u ) + 卢讥+ a c d ( u z ) ) 如= 0 ( 3 1 4 0 ) ，u 。 ，0 同理 讥( u ) = e 【讥( t + c d t + a w ( d t ) ) p ( l 1 2 d t ，n l ( d t ) = 0 ，n 2 ( d t ) = o l u ( o ) = t ) + e 【讥( t + c d t + t r w ( d t ) 一y 1 ) l p ( l 1 2 d t ，n 1 ( d t ) = 0 ，n 2 ( d t ) = l l u ( 0 ) = t ) + e f 祝( u + c d t + a w ( d t ) 一x 1 ) p ( 己1 2 t t t ，n l ( d t ) = 1 ，厩( d 亡) = o l u ( o ) = u ) + e 渺d ( 锰+ c 蹴+ a