（概率论与数理统计专业论文）随机变量序列的强极限性质.pdf

文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 互相独立且同分布 随机变量x 的数学期望 随机变量x 的方差 随机变量x 与y 的协方差 随机变量序列 x n ) 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 x 礼) 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 x 礼) 依分布收敛于随机变量x 测度序列 ) 弱收敛于测度p u 与v 等价，即己厂与v 有相同的有限维分布 集合a m 示性函数 实数集 d 维实数集 整数集 非负整数集 正整数集 l i m s u p a n b 礼 。 n o 。 l i r a a n b n = 0 n + o 。 l i m _ a n ：l n _ o 。 表示不大于a 的整数 仅表示一个正常数，其值在上下文中可以不同 表示一个标准w i e n e r 过程 l o g n = l o g ( n v e 1 l o g l o g n = l o g l o g ( nve 8 1 x i 眦 雌姒一m mm州rzn一刊一g删岫一 洲 1 、 p ： = 沪 m m 残 k c ， h 叻 i 匕 0 w 致谢 我要感谢所有关心和帮助过我的人，没有他们我就无法顺利完成这 篇论文 我尤其要感谢林正炎教授多年来给予我的悉心指导! 林老师是我的 指导老师，他是概率统计界里一位受人尊敬的学者，他知识渊博，思维 敏锐，见解独到，总是让我获益良多可以说我所取得的每一点点成果 都是因为受他的启发和直接指导林老师事务繁忙，但每当我遇到问题 时，他总会抽出时间耐心，细致地帮我讲解，排忧解难而本文无论是 选题还是各章节具体的理论证明，都离不开林老师的细心指点和热诚帮 助林老师也是博士生讨论班的指导老师，他认真对待每一次的报告， 及时指出我们的问题，提出建议，并以其对概率极限理论领域前沿研究 方向的敏锐洞察力，极大地启发和开阔了我们的思路林老师严谨治学 的学风，精益求精的精神和谦虚谨慎的作风，更是深深地影响着我。 我还要感谢张立新教授，苏中根教授，张奕副教授，陈上珠副教授， 阎慈琳副教授，王秀云副教授，闻继威副教授和张彩伢老师，他们都是我 本科和研究生阶段的授课老师，是他们把我引入”概率理论”的殿堂， 传授我概率理论的基础知识不仅如此，诸位老师在学习和生活上，也 给予了我不少的帮助和无微不至的关怀对于老师们的恩情，我将永远 铭记在心 此外，我还要感谢一起参加博士生讨论班的王文胜老师，邱瑾老师， 程宗毛老师，h w a n gk y o s h i n 博士，黄炜博士，蒋烨博士，张荣茂博士， 李云霞博士，蔡光辉博士和王建峰博士等人和他们一起学习，生活的 欢乐时光，令我难以忘怀借此机会我还要感谢资料室和机房的老师们 对我提供的帮助和便利 最后，我精特别的惑激之情献给我的父母，感谢他们的养育之恩以及 他们多年来对我的关心和鼓励，是他们给予我的无私的爱支持着我完成 了学业 谨以此文献给所有关心和帮助过我的人! 序言 概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其它分支和数理统计的 重要基础前苏联著名的概率学家k o l m o g o r o v 曾说过：”概奎论的价值只有通过 极限定理才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论中的基本概念的真正含 义”经典的极限理论是概率论发展史上的重要成果，而对强收敛性的研究是近代 概率极限理论研究中的热门方向之一，本文的主要内容也就是对此进行深入研究 对独立同分布的随机变量序列( x ，矗；n 芝1 ) ，h s u 和r o b b i n s ( 1 9 4 7 ) 首先提出 完全收敛性的概念，他们和e r d s s ( 1 9 4 9 ，1 9 5 0 ) 得到： p “i e n ) 0 n = 1 k = 1 成立，当且仅当e x = 0 ，e x 2 o 。到了二十世纪六十年代，k a t z ( 1 9 6 3 ) 及b a u m 和k a t z ( 1 9 6 5 ) 推广7 他们的结果，得到如下结论；设蜀：，五。， 为i id 随机变 量序列，记岛= 玛令p e n l 9 ) 0 成立的充要条件为e x l l 7 o o ，且当r 兰l 时e x = 0 后来d a v i s ( 1 9 6 8 ) 证明了 e x l = 0 且e x 2 0 曼警p 1 5 , d 兰。何丽) o o , n = l 1 。 其后，有许多学者研究了h s u - r o b b i n s 及b a u m k a t z 结果的各种形式的推广，例如 h e y d e ( 1 9 7 5 ) ，c h e n ( 1 9 7 8 ) ，l i ，w a n g 和r a o ( 1 9 9 2 ) 更进一步地，s p a t a r u ( 1 9 9 9 ) 和 g u t 和s p h t a r u ( 2 0 0 0 a ) 讨论了当e - 0 时的部分和的精确渐近性但这类结果对 p = 2 不成立g u t 和s p s t a r u ( 2 0 0 0 b ) 用、厢面哥石i 面代替7 2 1 加，得到了重对数律的 精确渐近性结果，z h a n g ( 2 0 0 1 a ) 用强逼近的办法给出了部分和岛和部分和的最大 值 “( = m a x t 0 使得e l x l 2 + 6 1 有 o 。 一 a 。【! 精 e 却- 1 ) 三n r - 2 p ( 螈如、 ( 8 l o g 卅。礼) 一7 1 其中， a 几= o ( v 佤l o g n ) 第四节中，我们考虑了r = 1 时的c h u n g 型对数律的精 确渐近性，我们采用不同于z h a n g ( 2 0 0 3 b ) 里的截尾方法，通过更精细的计算，在 e x 2 ( 1 0 9 l o gi x l ) 6 十1 1 ，这里表示取整符号同时我们记区问，( 七) = 砷n + 1 ) ， s 0 且满足 d ( s ) = i n f t = b + 1 ( t ) 二) ， “( p ) = , e x ， i x i 兰d ( t n 。) ) ， 旧 ( 品( 口) = 岛删川瑚) 地。) ) ( n 娴) ，= 1 h a h n ，k u e l b s 和w e i n e r ( 1 9 8 7 ) 证得对每个卢 1 ，叩 0 ，存在着常数序列矗使得 l i m 亟：o i v 且有 1 i p 坐垫婴垫趔：c 叫 n + 0 0 y n 其中c 0 为某常数如果记 d 7 ( s ) = i n f t 6 + l ： ( t ) 掣) ， 巧：( p ) = n e x i i l x i d ( 如。) ) ， 【r 】 ( r ) 叉( 卢) = & 一x ，( 。j ) i , q x ( 。j i 嘶几。) ) n m ) ) ， j = 1 其中。为任意正数则我们证明了对每个卢 1 ，叩 0 ，存在着常数序列岛使得 l i m 亟：0 兰生旦= r l - - 0 0 仡 且有。 瓣p 觜= s 同时，我们也对条件删失和做了类似的讨论 在第三章中，我们讨论了非经典的c h u n g 型重对数律k l e s o v 和r o s a l s k y ( 2 0 0 1 ， 2 0 0 2 ) 首先讨论了非经典的重对数律，他们证明了对任意的正常数m ，存在一正常 数序列p ( 礼) ，n 1 ) 使得 i m s u p 器锄- i m i n r 器乩 且有 l i 几i n s 。u p 而i s 丽i = l n - s 等价于e x = 0 和e x 2 = 1 很自然地，对任意的正常数m ，我们想到重新定义一 正常数序列 d ( n ) ，礼1 ) 使得 i m i n f 器= 面1 ，卿器乩 类似地，我们建立了非经典的c h u n g 型重对数律： ，。1 m i a x 几i & l 丌 1 i n m 一+ i o 。n 旆2 丽m s 。 等价干e x ：0 和e x 2 ：1 v 本文中，有些结论所需的条件已达到充分必要的程度，如第一章中的第二节和 第三节中关于i i d 随机变量的对数律的概率收敛，l 2 收敛，a 8 收敛和矩收敛的 精确渐近性的结果，还有譬如第三章中非经典c h u n g 型重对数律的结果可以说我 们的条件不能减弱的但是，在第一章中的第四节和第五节里的结果却需要高于2 阶的有限阶矩存在，没有达到最佳结果，有待以后作进一步研究 本文收录了作者五年来所撰写的部分论文，发表和投稿的详细情况可参见文中 的附表最后，限于作者水平有限，文中难免会有不当或谬误之处，敬请诸位不吝 批评和指正 v i p r e f a c e p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi so n eo ft h ei u l p o r t a n tb r a n c h e sa n da l s o i sa l le s s e n t i a l t h e o r i t i c a l f o u n d a t i o no fs c i e n c eo fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s t h ef a m o u sp r o b a b i l i t y s c h o l a rk o l m o g o r o vf r o mp r e v i o u ss o v i e tu n i o ns a i d ：”o n l yp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yc a n r e v e a lt h ee p i s t e m o l o g i c a lv a l u eo fp r o b a b i l i t y w i t h o u ti t ，y o uc o u l d n tu n d e r s t a n dt h e r e a lm e a n i n go ft h ef u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n si np r o b a b i l i t y c l a s s i c a ll i m i tt h e o r yi sa s i g n i f i c a n ta c h i e v e m e n ti nt h ep r o g r e s so fp r o b a b i l i t y s t r o n gc o n v e r g e n c eh a sb e c o m et h e m o s ti m p o r t a n ta n dp o p u l a rd i r e c t i o ni nt h ec u r r e n ts t u d yo fp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r y s o m es i g n i f i c a n tr e s u l t sh a v eb e e nr e a c h e dt h r o u g hd e e pr e s e a r c hi nt h i sd i s s e r t a t i o n l e t x ，；n 1 ) b eas e q u e n c eo fi i d r a n d o mv a r i a b l e s h s ua n dr o b b i n s ( 1 9 4 7 ) w e r et h ef i r s to d et og i v et h ed e f i n i t i o no fc o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，t h e nt h e ya n de r d 6 s ( 1 9 4 9 ，1 9 5 0 ) e s t a b l i s h e d d 。礼 p ( 1 x k l 叫 0 n = 1= l i fa n do n l yi fe x = 0 ，e x 2 。i nt h e6 0 so ft h e2 0 t hc e n t u r y ，k a t z ( 1 9 6 3 ) a n db a u m a n dk a t z ( 1 9 6 5 ) e x t e n d e dt h e i rr e s u l t s ：l e t1 p 2 ，r p ，t h e n i fa n do n l yi f e i x i l 0 ， 妻警p l n = 1 。 n 甄i e 厮) 惫= 1 i fa n do n l yi fe x i = 0a n de x 2 e溉 n 脚 rl p 2一 p 吖 n 嘣 v i i s p a t a r u ( 2 0 0 0 a ) d i s c u s e dt h ep r e c i s ea s y m p t o t i c so ft h el a wo ft h el o g a r i t h m ，t h e yp r o v e d t h a t ：s u p p o s et h a te x = 0a n de x 2 = 仃2 1 2 ，p a 1a n de i x i p + i x ll o g ( 1 + i x i ) ) 0 ，w e h a v e n p a - 2 - a e m a x 蚓一c n 。) + 1 ， n r - 2 p ( m n 仃 w h e r e ，o n = o ( 4 元l o gn ) ，m n = m ，a ，xi s k l i nt h es e c t i o n4 ，w ec o n s i d e r e dt h ep r e c i s e 尤气孔 a s y m p t o t i c sf o rt h ec a s eo fr = lf o rt h el a wo fl o g a r i t h m w eu s e dt h ed i f f e r e n tt r u n c a t i o n m e t h o df r o mz h a n g ( 2 0 0 3 ) a n db ym o r ef i n ec o m p u t a t i o n s ，t h e nw eo b t a i n e dt h ep r e c i s e a s y m p t o t i c so fl a wo fl o g a r i t h mu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a te x 2 ( 1 0 9l o gj z l ) 6 + 1 一1 m o r e o v e r l 2c o n v e r g e n c ea n da s c o n v e r g e n c ea r ea l s od i s c u s s e d i nt h e s e c t i o n5 ，u n d e rt h es i m i l a rm o m e n tc o n d i t i o n s ，w ee s t a b l i s h e dt h ep r e c i s ea s y m p t o t i c so f m o m e n tc o n v e r g e n c ef o rl a wo fl o g a r i t h m i nt h es e c t i o n6 ，w ec o n s i d e r e dt h en e g a t i v e l y a s s o c i a t e ds e q u e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sa n de s t a b l i s h e dt h ep r e c i s ea s y m p t o t i c sf o rt h i s t y p eo fs e q u e n c e s ，a n dt h er e s u l t sw ep r o v e da r em o r ea p p l i c a b l ec o m p a r e dw i t ht h o s ei n g u ta n ds p 西t a r u ( 2 0 0 0 a ) i nc h a p t e r t w o jw ed i s c u s s e dt h es e l f - n o r m a l i z e dl i m i tt h e o r e m sf o ri i d r a n d o m v a r i a b l e s p u t 品= l 玛，曙= 坠1 霹，礼1 i ti s w e l l k n o w nt h a tm o m e n t c o n d i t i o n so ro t h e rr e l a t e dc o n d i t i o n sa r en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tf o rm a n yc l a s s i c a ll i m i t 脚 托 娜 旨v l v i i i t h e o r e m s f o re x a m p l e ，t h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sh o l d si fa n do n l yi ft h em e a n o fxi sf i n i t e ；t h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mh o l d si fa n do n l yi fe x 2 州xi 。) i ss l o w i n g v a r y i n ga sz _ o o o nt h eo t h e rh a n d ，l i m i tt h e o r e m sf o rs e l f - n o r m a l i z e ds u m s 品k p u tat o t a l l yn e wc o u n t e n a n c eu p o nt h ec l a s s i c a ll i m i tt h e o r e m s i nc o n t r a s t t ot h e w e l l k n o w nh a r t m a n w i n t n e rl a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h ma n di t sc o n v e r s eb ys t r a s s e n ( 1 9 6 6 ) jg r i f f i na n dk u e l b s ( 1 9 8 9 ) o b t a i n e da s e l f - n o r m a l i z e dl a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m f o ra l ld i s t r i b u t i o n si nt h ed o m a i no fa t t r a c t i o no fan o r m a lo rs t a b l el a w s h a o ( 1 9 9 7 ) s h o w e dt h a tn om o m e n tc o n d i t i o n sa r en e e d e df o ras e l f - n o r m a l i z e dl a r g ed e v i a t i o nr e s u l t p ( & z 而) ，w h i l eg i n 4 ，g s t z ea n dm a s o n ( 1 9 9 7 ) p r o v e d t h a tt h et a i l so f 晶a r e u n i f o r m l ys u b - g a u s s i a nw h e nt h es e q u e n c ei ss t o c h a s t i c a l l yb o u n d e d s h a oe ta 1 ( 2 0 0 3 ) e s t a b l i s h e dac r a m & t y p er e s u l tf o rs e l f - n o r m m i z e ds u m so n l yu n d e raf i n i t e ( 2 + 5 ) t h m o m e n t c h i s t y a k o va n dg s t z e ( 2 0 0 4 ) o b t a i n e dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o r 岛c o n v e r g et oar a n d o mv a r i a b l e t h o s er e s u l t ss h o wt h a ts e l f - n o r m a l i z e dl i m i t t h e o r e m sa r ev a l i dw i t h o u ta n ym o m e n tc o n d i t i o no ru n d e rl i t t l em o m e n tc o n d i t i o na n d t h er e s u l t sa r em u c hm o r en e a t e r m o r ei m p o r t a n t l y , s e l f - n o r m a l i z a t i o ni sm o r en a t u r e f r o mt h es t a t i s t i c a lp o i n to fv i e wb e c a u s et h ep a r a m e t e r si n v o l v e di nm a n yc a l s s i c a ll i m i t t h e o r e m sa r eu s u a l l yu n k n o w n ，o n eh a st ou s es o m es t a t i s t i c s t oe s t i m a t et h e mf i r s t a t y p i c a lc a s ei st h es t u d e n tt - s t a t i s t i c 蜀t h ec l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t u d e n t t s t a t i s t i c a n dt h es e l f - n o r m a l i z e ds u m & c a nb es e e nb e l o w a n d = 丧( t ) = 礼一l n 一 丧 ( ) 2 t ( ) 1 2 n + t 2 1 i ns e c t i o n2 2 ，i fe x 2 ，r e m p a l ae ta 1 ( 2 0 0 2 ) p r o v e dt h a t f 坠盥1 赤马e 脚， n ! n 。 w h e r e0 o ) ， a n dn k = 卢 ，卢 1 ，h e r e 。 s t a n d sf o rt h ei n t e g e rp a r to f 。i na d d i t i o n ，l e ti ( k ) = n k ，n k + 1 ) ，s 0s a t i s f y i n g d ( s ) = i n f t b + 1 ：h ( t ) ) ， 晶( 卢) = n e x z i x i d ( t n 。) ) ， r 】 ( 7 ( 卢) = 岛一砖硎础 d ( t n 。) ) ( n ，( 七) ) t h e nf o re v e r y 卢 1 ，叩 0 ，h a h n ，k u e l b sa n dw e i n e r ( 1 9 8 7 ) p r o v e dt h a tf o re v e r y p 1 ，? 7 0 ，t h e r ee x i s tas e q u e n c eo fn u m b e r s 岛s u c ht h a t a n d 1 i m s u p 礼 。 l i m 堕q n ln ：0l i m ： n _ o on ( 矗7 n ) ( 卢) 一如( 卢) h e r ec 0i sac o n s t a n t i fw er e d e f i n e = ca s d ( s ) = i n 印 6 + l ：( 1 0 9 了l o g s ) 。 矗( p ) = n e x z i x l d 7 ( 如。) ) ， 【r 】 ( 7 ) 文( 卢) = & 一x ( 。j ) z i x ( j ) l m n 。) ) 礼m ) ， j = 1 w h e r ea 0 t h e nw ep r o v e dt h a tf o re v e r y 卢 1 ，7 7 0 ，t h e r ee x i s t sas e q u e n c e 己s u c h t h a t a n d l i ms u p j n w , k o o l i m 红：0l i m 堡旦= n n 竺：丝些剑：。s x 2 v 2l o gl o gn 1 。 x m o r e o v e r ，t h es e l f - n o r m a l i z e dl a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h mf o rc e n s o r e ds u m si s a l s o d i s c u s s e d i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s s e dt h en o n c l a s s i c a lc h u n g t y p el a wo ft h ei t e r a t e dl o g - a r i t h m k l e s o va n dr o s a l s k y ( 2 0 0 1 ，2 0 0 2 ) o b t a i n e dt h en o n c l a s s i c a ll a wo ft h ei t e r a t e d l o g a r i t h mf i r s t l y t h e yp r o v e dt h a tf o ra n ym ，t h e r ee x i s ta s e q u e n c eo fp o s i t i v ec o n s t a n t s 6 ( 礼) ，n 1 ) s u c ht h a t n ms u p 蒜= b u t e x = 0a n de x 2 = 1 i se q u i v a l e n tt o i m i n f 蒜钆 i ms u p 揣_ s n a t u r a l l y ，f o ra n yp o s i t i v ec o n s t a n tm ，w ec a nr e d e f i n eas e q u e n co fp o s i t i v ec o n s t a n t s d ( n ) ，n 1 ) s u c ht h a t i 几m 噼i n 蒜= 砑1 ，i m s u p 器乩 b u t e x = 0a n de x 2 = 1 i sa l s oe q u i v a l e n tt o l i m i n f n + o 。 m a x 1 i 礼 o s t h o u g ht h ea u t h o rt r i e dt h eb e s tt om a k ee a c ho ft h er e s u l t sa sp e r f e c ta sp o s s i b l e a f e wr e s u l t sa r es t i l ln o tb e a u t i f u l ，f o re x a m p l e ，m o r et h a n2 一t hf i n i t em o m e n ta r er e q u i r e d f o rt h er e s u l t si nt h es e c t i o n1 4a n ds e c t i o n1 5 ，w et h i n kf u r t h e rr e s e a r c hs h o u l db e c a r r i e do n h o w e v e r ，i na n yc a s e ，w eo b t a i n e dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o r s o m er e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o n ，f o re x a m p l e ，t h er e s u l t si nt h es e c t i o n1 2a n ds e c t i o n1 3 i nc h a p t e ro n ea n dt h er e s u l t i nc h a p t e rt h r e e ，t h ec o n d i t i o n si nt h e s er e s u l t sc a nn o tb e w e a k e na n ym o r e t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do fs o m ep a p e r sw h i c hw e r ew r i t t e nb ya u t h o ri nt h e p a s tf i v ey e a r s s o m eo ft h e s ep a p e r sh a v eb e e np u b l i s h e da n da c c e p t e d ，a n dt h er e s th a v e b e e ns u b m i t t e dt ov a r i o u sj o u r n a l sa b o u tp r o b a b i l i t yt h e o r y d e t a i l sa r ea t t a c h e di nt h e a p p e n d i x d u et ot h el i m i t e dk n o w l e d g e ，e r r o r sm a yi n c u ri nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s oy o u r c r i t i c i s mw o u l db eg r e a t l ya p p r e c i a t e d 三语 第一章 独立同分布随机变量序列的精确渐近性 第一节引言及引理 假设 x ，x n ；礼1 ) 为一独立同分布的随机变量序列，分布函数为f ，数学期望 为0 且存在正的有限方差盯2 ，记品= 嚣：1x 七，螈= m a x k 盯扔_ = 1 ，t , r - 2 p ( m r t 杉面) 盯“_ = 了，n r - 2 p ( 1 & i e v n l o g n ) 0 ，t t r - 2 p ( i 品i e “画) 孔= 1 e x = 0 且曰x 1 2 7 ( 1 0 9 l x l ) 1 ，a 一1 2 且令a r t ( ) 为的函数，使得 a r t ( ) l o g n - 7 _ ( n _ 。且“- 二1 ) ( 1 1 1 ) 同时假设 厶) 为非负常数序列且满足 ( 1 1 2 ) 0 哪g o n ” n n 胁 = r 2 那么下列叙述是等价的： e x = 0 ，e x 2 = 盯( 0 盯 u ； 、1 i e 2 一( r 一1 ) p 2 n 卜2 尸( 酬盯( e + o 几( e ) ) 厮) 、r 一1 ”一1 = 而与e x p - 2 丁凡) r ( 。+ 1 2 ) ，盯 。； n r - 2 厶p ( 螈e a v - n l o g n ) 凡； o 。 r b r - 2 厶p ( 1 品i e 盯厮) 万丁 n = 1 上下文中，我们约定r ( ) 表示g a m m a 函数 同时，张立新( 2 0 0 3 b ) 也考虑了c h u n g 型对数律的精确渐近性： 定理d 令r 1 , a 一1 且令。几( ) 为e 的函数，使得 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) a n ( e ) l o gn _ 7 _ ( n _ 且夕石- 二1 ) ( 1 1 8 ) 同时假设存在着某个0 a 1 ，使得 e x = 0 ，e x 2 = 口2 ( 0 盯 一1 有( 1 1 1 0 ) 成立，那么e x = 0 且v a r x 2 = 6 r 2 另一方面，c h o w ( 1 9 8 8 ) 首先讨论了i i d 随机变量的矩的完全收敛性 定理e 令 x ，x n ；n 1 ) 为i i d 随机变量序列且e x = 0 假设p 1 ，a 1 2 ， p & 1 ，耳i z l p + i x il o g ( 1 + l x l ) ) 0 ，有 妒卜2 咄e 鬻蚓一e n q ) + 一1 2 ，有 爨e 刊6 + 1 ，薹鼎e k 跞刊+ = 赢即删薹高 本章主要讨论对数律和c h u n g 型对数律的精确渐近性在第二节中，对& 和 螈我们得到了定理b 成立的充要条件，并且把b 的范围推广到一1 1 和r = l 讨论了对数律矩收敛 的精确渐近性成立的充要条件在第四节中，我们讨论了定理d 中r = l 情形下的 c h u n g 型对数律的精确渐近性这里，与定理d 中r 1 的证明过程相比，我们采 用了不同的截尾方法，因此使结论成立所需要的矩条件更弱同时在本节中我们也 讨论了l 2 收敛和几乎处处收敛的精确渐近性的充要条件在第五节中，我们讨论 了r = 1 情形下的c h u n g 型对数律的矩收敛的精确渐近性的充要条件 为了证明方便，我们先介绍几个有用的引理 引理1 1 假设 w ( t ) ；t 0 ) 为标准w i e n e r 过程，n 为一标准正态随机变量，则 剐峰s u 茎p 1 咿( s ) | 扣) - l - 曼( _ 1 ) 叩“2 肛1 ) 呸胚( 2 k + 1 净) = 4 ( 一1 ) 七p n ( 2 k + 1 ) z ) k = 0 = 2 ( 一1 ) 七p i n i ( 2 k + 1 ) z ) ( 1 1 1 1 ) 且 p ( 。 s u 。p w ( s ) 。) 2 p ( z ) “i 磊e 川2 胆( z 。) (1112)t0 0 ，使得对每个正数和h 1 有下面的不等式成立： p f s u f p 圳 t s u pi w ( s + t ) 一w ( s ) l v g ) 万c e 雨v 2 1 h0 s 一九0 t 0 ，有 kkn 尸( m 叫a x ie li p i 划( a q ) q y - q i = 1 i 。( 1 1 1 4 ) 成立，其中a 为一普适常数 证明参见s a k h a n e k o ( 1 9 8 0 ，1 9 8 4 ，1 9 8 5 ) 引理1 5 假设q 2 ，1 ，2 ，矗为独立的随机变量且七= 0 ，e s a l q 0 ，有 尸磷i 到k 划_ 2 e x p 一匾蠡而2 删矿9 耋科( 1 1 _ 1 5 ) 成立，其中a 为引理1 3 中的普适常数 证明可以由引理1 4 推得