（概率论与数理统计专业论文）多响应近似线性回归模型下的三种最优稳健设计.pdf

摘要 试验设计是以概率论和数理统计为理论基础，经济地，科学地安排试验的一项技术。在 工业生产和工穰设计中有广泛的应用稳健设计是试验设计研究的一个重要分支和热点 近年来，随着试验设计理论研究的不断深入，设计的稳健性越来越受到试验人员的重视经 典最优设诗理论假定响应曲覆为囊，但实琢揍况跑较复杂，喷应曲面可& 存在德蓑，试验臻 察值之间也可能存在相依性因此经典理论得到的设计就存在定的风险性为降低设计 风险，本文研究一一般情形下多响应近似线性回归模型下的最优稳健设计问题首先，给出了 该模型下的d d m ，q o p t 和p o p t 稳缁t 设许准则，然后祠用广义最小二乘法和变分法求 得了与一巴述三个准则相应的设计密度函数，并证明了所求得的设计在线性变换群下具有不 交蛙最后，以一穆双响应二元曲蘸模型在单位正方形上的d o p t ，q o p t ，p o p t 稳筵设 计为例，具体给出了上述最优稳健设计的密度表达式，并利用计算机抽取了试验点 关键淘：稳健设计，最优设计，多桷应，近似线性回i 嚣，交分法 第1 页 a b s t r a c t e x p e r i m e n t a ld e s i g ni sat e c h n i q u ef o r , a r r a n g i n ge x p e r i m e n t se c o n o m i c a l l ya n ds c i e n t i f i c a l l y b a s e do f ft h et h e o r i e so fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ，w h i c hh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni ni n d u s t r yp r o d u c i n ga n dt h ee n g i n e e r i n gd e s i g n r o b u s td e s i g ni s a ni m p o r t a n tb r a n c ha n dah o tt o p i co ft h e e x p e r i m e n t a ld e s i g n r e c e n t l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo fe x p e r i m e n t a ld e s i g n ，r o - b u s t n e s so fad e s i g nh a sb e i n gi n c r e a s i n g l yc o n c e r n e da b o u tb yt h ee x p e r i m e n t a ld e s i g n e r s i n o p t i m u md e s i g nt h e o r y , m a n yr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o no fe x a c t l y c o r r e c t r e s p o n s ea n dh o m o s c e d a s t i c i t y b u tt h i sa s s u m p t i o ni sn o ta l w a y sc o r r e c t i nm o s ts i t u a t i o n s ，a n u n k n o w nb i a so rc o n t a m i n a t i o nm a ye x i s tb e t w e e nt h ea s s u m e dr e s p o n s ea n dt h et r u er e s p o n s e ， s oi t sm o r ed a n g e r o u st op u tt h ed e s i g no b t a i n e df r o mt h ei d e a lm o d e li n t op r a c t i c e t or e d u c et h e r i s k ，w ec o n s i d e rt h ec o n s t r u c t i o no fd e s i g n sf o rm u l t i p l ea p p r o x i m a t e l yr e g r e s s i o nm o d e l ，r o b 6 s t a g a i n s tu n s p e c i f i e dc o n t a m i n a t i o no ft h er e s p o n s ef u n c t i o n 。w ed e r i v et h r e ec r i t e r i at o o b t a i n t h er o b u s to p t i m a ld e s i g n su n d e rt h eg i v e nm o d e la n dt h e na t t a i nc o r r e s p o n d i n gd e s i g nd e n s i t y f u n c t i o n sb yt h eg e n e r a l i z e dl e a s tm e t h o da n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d f i n a l l y ，w et a k eak i n d o fd u a l r e s p o n s em o d e l sw i t ht w or e g r e s s o r sa sa ne x a m p l et oi l l u s t r a t eh o wt og e tt h ed e t a i l e d e x p r e s s i o no ft h ed e n s i t yf u n c t i o n sa n dd e s i g np o i n t sw i t hu s i n g t h em e t h o do f r a n d o ms i m u l a t i o n k e yw o r d s ： r o b u s td e s i g n s ，o p t i m u md e s i g n s ，m u l t i r e s p o n s e ，a p p r o x i m a t e l yl i n e a rr e g r e s - s i o n v a r i a t i o n a lm e t h o d 插图目录 3 1 鞍点瞵藕吲桐美隅稼 3 - 2 = 0 0 5 1 r , d o p t 稳熊设计密度图象 3 3 ”= 0 1 f f d 一删稳健发汁密度图象 3 - 4 口= o 0 5 n q q o p t 稳健汝计密度图象 3 5 v = o 1 i f j q o p t 稳健设计密度蚓豫 3 - 6 一0 0 5 1 对p o p t 设计密发图象 3 - 7 口= 0 。1 嘲_ p o p t 设科密度蹦苏 3 - 8u 一0 0 5 州d o p t 试验点分布图 3 - 9 = 0 1 1 砖d o p t 试验点分稚圉 3 - 1 0 口= o 0 5 b , i q o p t 试验点分柱蹦 3 - 1 lu = 0 1f b q o p t 试验点分布圈 3 - 1 2 口；o 0 5 昏t p 一卿试验点分布涮一 3 1 3 ；o 1 蚪尹一螂试验点分布图 第r v 页 兹m m筘孔斟斟巧笛签笱豁舱 表格目录 d o p t 稳健设诤讲鳟结鼹 q 一。_ 讲稳健设计汁薜结粜 p o p t 稳健设计计礴黠袋 ”= 0 0 5 时d 一螂试瓣点( n ：2 0 ) 口= 0 1 时d o p t 试骏点( n = 2 0 ) = 0 0 5 时q 一嘟试验点( n - 2 0 ) 口= o 1 j _ 0 一o p t 试验a ( n = 2 0 ) 口= 0 0 5 f 付p o p t 试瓣点( n = 2 0 ) u = 0 1 时p o p t 试验点( n = 2 0 ) 箝v 页 甜；乌笳衢孙拍笛 。：弘粥粥”辩柚 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文豹复印律，允许论文被查阅和倦阅； 采用影印、缩印或其他复制手段傈存论文。 x9 3 1 8 6 1 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分痰容，可以 ( 保密昀论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 目麓： 刎他 翟竹s 玷 翮签名蕴学导师签名趁：堡乡 第一章模型与简介 疆著试验设计理论砑究的不断深入，漫计的稳健性越来越受到试验人员的重视近 半个世纪以来研究人员在这方面做了大量工作，特别是在单响应模型稳健设计问题研究方 面取褥了许多成果单响应模型稳健设计闷题擞早由b o x & d r a p e r 于1 9 5 9 年在文献【l 堵 出 并加以研究，主要讨论了有限维偏差函数空间代上的稳健试验设计问题通过分析由偏差和 波动方差分别造成的误差之闯的堋对霞要矬，他蜘阐明了避行设计时过于依赖假定翡回归 函数形式可能导致的目惩：并指出即使囊实模溅与馁定模型之间有很小豹偏离，也会健在以 波动方羡最小为摄优准则下得到的设计的优良性丧失在此基础上，k i e f e r ( 1 9 7 3 ) ， h u b e r ( 1 9 7 5 ) ，m a r c u s s a c k s ( 1 9 7 8 ) ，p e s o t c h i n s k y ( 1 9 8 2 ) ，l ia n dn o t z ( 1 9 8 2 ) ，l i ( 1 9 8 4 ) ， w i e n s ( 1 9 9 0 ，t 9 9 2 ) 等人分剐在偏差函数空间丸= h ：l h ( ) i ( ) ，爿) 与“= 危： ，& 池( z ) 1 2 d z 曼r 1 2 ，& m ( 霉) ( 。) d 嚣= o ，j 一1 ，p 鞭种假设下，镑黠( z ) 始不嗣形式 及日为已i 知的情况进行了讨论c h a n g n o t z1 9 9 6 年的文章【1 0 】对先翦的工作做出了缀好的 总结y u e & h i c k e r n c l l ( 1 9 9 9 ) 及y u e ( 2 0 0 2 ) 对偏差函数空间爿提出r 更为合理的假设，即分 别假设h 为再生核h i l b e r t 空间与隧机豳数空闻研究结果表明褶应假设下褥到的稳建设计 具有缀好的性质对于多响应模型稳健设计的讨论不多，y u e ( 2 0 0 2 ) 研究了当偏差翔量涵数 空闻“为随机函数空间的情况，在均方误差准则下利用广义最小二乘估计得到了最优设计 本文讨论多响成近似线性回归模型下的最优稳健设计问题文中对模型作如下假设： ( i ) 每个响应都是近似线性地依赖予自变量，即 珥( ) = e 盼l 。】+ 句，j = 1 e b l z 】一z ，( z ) 岛十厶( z ) r 其中霉是取良某个q 一维设计区域爿的设计点，z 歹( 茹) 是2 的砖一维向景涵数，岛是线性豳 归参数，矗 ) 是拟合偏差函数 ( i i ) r 一个随机误差均僮都为0 ，且线性福关，即 e = 0 ，c o v s 】= ，。， 其中= ( l ，如) t ，e ，。，是误差向量的协方差矩阵，程本文中霞设为正定的 本义中为讨论方便，将上述模型简写成向量形式： 其中 掣( 霉) = e y l x l + ， e v l x 】一z r ( z ) p + ，( 茁) ，( 1 1 ) 一( 0 ，吕。r ) 管( 茹) = ( 剪l ( 茁) ，- 一，蛰( ) ) ? ，z ( 聋) = d i a g ( z l ( 嚣) ，= ，( 茹) ) ， 0 = ( 日 ，- - ，醪) t ， ，( 茹) 一( ( 霉) ，t 一， ( 霉) ) r 第1 页 第一章模型与简介 ( i i i ) 偏差向量，属于如下函数类， 焉= ff x f ( 妒。弛) d z 姘，上狮) 。m ) d x = 0 ) ( 1 - 2 ) 第二章在偏差函数属于向量函数类( 1 2 ) 的假设下，讨论模型( 1 一1 ) 的最优设计准则，分 别给出了d o p t ，q o p t ，p o p t 准则，并证明了在这三个准则下得到的最优稳健设计在 特定的线性变换群下具有不变性第三帝具体研究了一种双响应二元曲面模型在单位正方 形上的d o p t ，q o p t ，p o p t 稳健设计假设其中一个响应包含两个主效应和交互效应， 另一个只包含主效应即 ( ( 卸麓，) t 代) 2 ( z ) = ( 1x 】z 2x l x 2 ) p = ( 口h ，口7 ) 。r # ( ) = ( 1z 1x 2 ) ，( 1 3 ) 一 ，口 p a l 口2 、j 2 x 22l 舻。口2 口； 求得了设计的密度函数并利用随机模拟得到了试验点 第2 页 第二章最优准则 设计阵x 在线性模型的统计推断中起着重要的作用，几乎所有统计推断的结果都与x 的 取值有密切的关系试验者在试验前如何选择自变量的取值( 即设计试验点) ，从而使设计 阵x 在统计推断中表现出某种优良性质就是所谓的最优设计问题研究最优设计首先 要解决的就是最优设计准则问题在过去的研究过程中，根据试验设计侧重点的不同，人 们提出了各种各样的最优设计准则，如经典的单响应模型d o p t ，g o p t ，a o p t ，e o p t ，l o p t ，了1 一o p t 准则等，每种准则下得到的最优设计都具有特定的优良性，从而满足 人们对试验目的的不同要求关于多响应模型的最优设计准则讨论不多，大部分是从单 响应模型推广得到，本章讨论多响应近似线性回归模型稳健设计的最优准则，主要简介 了d o p t ，0 一o p t ，p o p t ：j ；三个准则及针对模型( 1 一1 ) 的相关性质 下面先简介一些文中要用到的记号与引理 2 。1 记号与引理 在我们考虑的模型( 1 1 ) 下，记 b = b ( ) = z ( z ) 一1 z t ( 霉) d ( z ) ，b = b ( f ，f ) = z ( 茁) 一1 ，( ) d 专( z ) jxj x 利用最小二乘法，得到p 的最小二乘估计， 珏扩1 ( ) 六z 扣) e - 1 y 世( z ) 其偏差向量和协方差矩阵分别为 e o 一刎= b - 1 ( 洲，) 1 c o y o = ：b - 1 ( ) 均方误差阵为， m ( i ，) = e 【( 6 8 ) ( 台一o ) 7 1 = e 【( a s o + e 自一口) ( a e 务+ e o 一日) t l = e 【( a e a ) ( 台一e 6 ) 7 】+ ( e o o ) ( e o p ) 7 ：三b 一1 + b i b b t b 一1 竹 记 1 ”2 丽 ( 2 。1 ) 则 q 一2 m ( 叮，) = , 1 - 21 n b - 1 + b 一1 6 ( 叼，e ) 6 r ( ”，) b 一1 ) ( 2 - 2 ) 第3 页 第二罩最优准则 = v b 。1 十b b ( f ，) 矿( ，) b 。 ( 2 3 ) 困些参数”霹以看做跫当f j 矗时，试验者对偏差与方差的相对重要性的先验认识 本文下强考虑的三个准则函数翰，2 b ，昂满足如下性质： ( l 1 ) 如果m ( ，) m ( i ：，) ，即( a 彳( ，) 一m ( f 2 ，) ) 0 ( 半正定) t 则 ( a ) 对舅 昂，名) 有2 ( ，l ，f ) p ( ，2 ，) ； ( b ) 对昂有昂( ，) 昂( ，2 ，) ； ( l 2 ) 如果 l i r ac h l ( m ( f 。，) ) = o o 则( a ) 对p 殇，最) 有 l i mp ( ，。，0 = o o ， ( b ) 对绵有 l i r a 昂( ，。，) = 0 其o o c h l ( m ( f 。，) ) 是均方误差阵m ( ，。，f ) 的最大特征根 由( l 1 ) ，( l 2 ) 得至0 女一f 日l 理 引理2 1 ：仅当设计测度为绝对连续测度时，( a ) 对g 皇b ，皇 ，准则函数的上确界 s u p s , 舅( ，) 才有限：( b ) 对二辛，准则函数的下确羿i n f 民掣( ，f ) 0 诞明觅1 9 由下面的引理2 2 ，我们只需考虑只 当中那些满足l l 刘2 一( 厶f ( x ) v 一l f ( w ) d x ) 1 2 = q 的 函数 g l 理2 2 ：如果，只，且1 1 1 1 2 = 卿 吼那么9 亍c - 1 f 。，i i g l l 2 = 町，且 ( a ) 对堂 翰，岛) ，有髫( 9 ，f ) p ( ，) ； ( b ) 对昂，鸯昂( 玑) 昂( ，) 。 证明： 矧一m ( f 固一 1 。b 。+ 6 ( c 以，) b t ( c - 1 艇矿1 一肛1 何坝蹦毗沪1 = ( c 一1 ) b b ( f ，f ) 矿( ，) _ b 一1 0 再由( l 1 ) ，即得 由引理2 1t 我们只需考虑是连续测度的情况设m ( 霉) 为设计测度的密度函数，印 m ) = f ) 并记 a = 上z 知) q z r ) d g = 上z 缸) e - z r 婶) m 2 ( ) 妇，g = g b a b 第4 页 引理2 3 ：记 g = = i ( 竹l ( 露) j b a 一1 ) z ( 搿) 1 一1 【( m ( z ) ，一b a 。) z ( ) 】v d x j 爿 雕g 是半正定的限定g 为正定，令 r ( 七) = 即g 一2 ( m ( 茁) j 一曰a - 1 ) z ( ) 则 r ( z ) e 一1 r r ( z ) d z = 叩2 j ， j 卫 ， z ( 鬈) 。1 r 7 ( x ) d x = 0 ， j 石 7r ( z ) f ( x ) d w = ，? g - i 2 b ( f ，f ) j 爿 z ( 茁) 一1 r r ( 茁) 埏( z ) = 町g 1 2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 证明； ff ( m ( 茁) j b a 一1 ) z ( 2 ) 】_ ( m ( z ) j b a 以) z ( z ) 】r d x 一 z ( 霉) 1 z r ( ) m 2 ( 茁) 一b a 一1 z ( z ) 一1 z t ( x ) m ( ) 一z ( 聋) 一1 z r ( 霉) m ( ) a 一1 b + b a 一1 z ( x ) z 一1 z r ( 茹) m ( 鬈) a 一1 b d x 出z ( x ) e 一1 z r ( ) r n 2 ( z ) d 茗一b a 一1 z ( 聋) e 一1 z t ( 茹) m ( z ) d j x 0 x 一z ( ) 一1 z t ( z ) m ( 霉) 如a 一1 b + b a 一1f z ( 。) e - 1 z t ( ) 矗( z ) d w a j x 一1 b = c 一2 b a 一1 b + 丑a 一1 a a 一1 b ：= g 由一h 丽g 的表达式，显然g 是半诞定的又 r ( 2 ) 嚣- 1 r ( 茁) 妇 5 上两g 。7 2 ( m ( 嚣) j b a 。) z ( ) e 。b g 。7 2 ( m ( 露) j b a 一1 ) z ( z ) 】t 疽茹 = 叩g 一1 2 ， ( m ( ) j b a 一1 ) z ( 。) 一1 ( m ( 霉) j b a 一1 ) z ( 甜) l r d w y g 一1 2 j 卫 。 。 = r 1 2 g 一1 2 g g 一1 2 = 力2 j 上z ( z ) e - l r r ( 出) 妇 第5 页 第= 章最优准剩 另记 = f z ( z ) 一1h g l 2 ( m ( z ) j 一 f z ( 。) e - 1 z t ( z ) m ( 茁) d 。 = f b a a 一1 b f i g 一1 2 = 0 b a 一1 ) z ( z ) 7 d x r1 z ( z ) 一1 z 丁( x ) d x a 一1 b l q g 一1 2 j j f r ( 。) 麓1 ，知) 妇 = - g 。1 胆 上z ( 茹) e _ 1 ，( 搿) m 渖) d z b a 。上z ( z ) 一1 ，( z ) m ( 霉) 出】 = 叩g 一b ( f ，) 7z ( 。) 。，( 茹) 武渖) 一z ( x ) z 一1 加g 一1 2 ( m ( 茹) j b a 一1 ) z ( z ) 】r m ( x ) d x = 上狮) e - 1 z t ( 咖2 d z 一 上z ( z ) z - i z t ( 咖( z ) d x a - z b 矿班 一f g b a 一1 b ) n g 1 ，2 一 g 1 2 瑶( ， 卜矿( ，o b b ( f ，a 霹( ，f ) = b t ( f ，o b 。a b b ( f ，f ) 2 f 2 准则 本节介绍三个多响应模型稳健设计的最优准则并讨论相关性质 1d o p t 准则：经典的d 一嘟设计要求所选的设计使信惑矩阵的行列式达至4 最大，即等 价地当模型l 一1 中日= o 时要求m ( ，) 达到最大从而使得对给定的嚣信水平l 一口，参 数d 的置信椭球的体积达到最小类似地，d 一唰稳健设计要求所选的设计1 满足当 偏差函数，在邈数类舅，中变能时均方误差阵的行列式 j 吻( ， ) = i m ( f ，f ) = i 二嚣一1 十b 一1 b b 丁b 一1 j = ( i ) t b 。弦+ n b b t b “i ( 1 + n b t b 一1 b ) 妒i b i ：坠羔掣( 2 - 8 ) l b i 第6 页 2 2 躁大值达到最小即 紫岛 ，鳓2m = i “群岛( ，) ( 2 - 9 ) 2q o p t 准则：考虑模8 ( 1 。1 ) 的线性部分z 7 ( ) p 的加权预测方差阵 d ( z ；，f ) = e z j 1z r ( z ) 白一e - z t ( z ) 日】【一 z 丁( z ) 自一e - ；z t ( z ) 口】t = e 一 z r ( x ) e l b 一明睁一p 】t z ( 茁) 一 一一 z 7 ( 茹) m ( ，) z ( 2 ) 一 0 一础稳健设计耍求所选的设计。满足当偏羡函数，在函数类磊中焚化时 - 嚣q ( f ，) 一t r 上c f ( 霉；，) d = t r 【一：1 。t ( z ) m ( ，) z ( z ) e 一 】d 。 一f * r i m ( j ，) z ( m ) 一1 z ( 茹) 】d 嚣 = t r m ( 艇) 上陬z ) e - 1z t ( 酬叫 一t r 疑三茹一1 + b 一1 b b t b 一1 ) a 1 、n 。 ：l t r ( b 一1 a 1 + b t s 一1 a b 一1 b n = 三n t r ( b “a ) + 避( ，) ( 2 - l o ) 摄大倌迭蛩i 最小即 磐翰( ，翻。呼t 癸2 q ( i ，f ) ( 2 - 1 t ) 3p o p t 准则：导出经典d o p t 准则的基本愚想是：对绘定的置信水平，寻找设计点使 模型参数的置信随球的体积达到最小相反地，我们可以要求对下筒体积固定的椭球 r、 c = 9 ( 毋一8 ) r b f f ) ( h e ) n 8 2 | 嚣) 1 1 p ( 2 1 2 ) lj 通过适当地选择设计点来使其置信水平达到最大一这就是7 2 一o p t 准则的基本思想 当囊实模型为( 1 | ) 疑误差淘鲎服扶多元芷态分瘫辩，由多元正态分布的性质， t(o-o)tb(f)(o-o)。瑶f掣1 ) n 、 n ， 其中瑶( a ) 表示非中心参数为a 自由度为p 的非中心卡方分布p o 讲稳健设计要求所 选的设计如满足当偏差函数，在函数类z ，中变化时 第7 页 第= 章最优准娥 昂( ，) = p ( 元f ) = p ( o c i ，) 一p ( 业等2 1 幽酗0 最小值达到最大即 m 焉i n 昂( ，3 ) 2m = a xm i n 昂( ，) ( 2 - 1 5 ) 定理2 1 ：定义 。矿一 ( z ) 一r 7 ( z ) p ；| l 卢8 = 1 ) 剐( 1 ) 第c 玩，且对v h 彤，蠢| i h l l 2 一q ；( i i ) m a x 穸翰( ，豹= m a x i l 口i i ：1 岛( 蚴，f ) ； ( i i i ) m x $ , 局( ，f ) 2m a x l l # t l = 1 扬( ，) ；( i v ) m i n ，昂( ，卜m i n i a l l 一1 昂( b ，) 证明：( i ) 3 i j v h 第，由盘9 的定义及引理2 3 q 6 ( 2 4 ) z t 、( 2 - 5 ) 式，知 醪( ) 一1 b ( z ) d z = p 7 r ( ) 一1 r 7 ( x ) f l d x = p r 蹿2 j p q 2 l l 芦1 2 一目2 0 xj x 上z ( 霉) 。b ( z ) d z = 上z 忙) - a v t ( z ) p d 。= f x z ( z ) z - l r t ( z ) d p 一。 所以h 焉，从雨形c 磊 ( i i ) 萍j v h 男，由引理2 ，3 中( 2 6 ) 式及c a u 幽y s c h w a r z 不等式，知 ”2 = ( f xy 7 ( 茁) e 一1 ，( z ) a m ) v 2 ( 上 ；( 茁) 一1 ，( z ) a 霉) v 2 7 ，r h p ( 茁) 如 = ，t ( 茁) _ 1 r t 知徊d 茁 = ( 上巾芦1 m ) 如) 2 卢 = ( 封g 。2 6 ( ，) ) ，芦 = ，? f l t g 一b ( 1 ，) 所以， 刁i p t g “2 b ( f ，) j( 2 。1 6 ) 对v ，焉，取p ，= g 一1 2 b ( f ，) i i g 一1 2 b ( ，f ) 0 ，则易证且 b ( ，) 2 上z ( 嚣) 。1 嘞( ) 蟛( 霉) 第8 页 2 2 = ：竺竺兰= 篇苏窑! = = = = 竺竺= = 兰练掣竺墨= = 烹= = = = 盘! = = 嚣 = 7z ( x ) e 一1 r 7 ( ) 芦，武( ) = 7 7 g 1 ，2 g 一1 ，2 b ( f ，) t l c 一1 ，2 b ( ， ) 9 = 和( ，) 州g - 1 ，2 b f f ，) = c b ( f ，f ) 由( 2 1 6 ) 褥 c = 雄删g 一1 2 b ( f ，) | i 卢；g 一1 2 b ( ，) 删g 一1 ，2 b ( f ，0 l = i ( c 一b ( f ，) ) t g 一b ( f ，) l l l l c - 1 2 b ( f ，刚2 = 1 所以 磋 毳曲，) 冀，) = b r ( h 口t ，) b b ( h p l ，) 一b t ( s ，0 b b ( s ，) = ( e 2 1 ) b t ( f ，) 嚣b ( f ，) 0 磋( h 曲，f ) 一霹( ， ) = 扩( h 丹，0 b 一1 a b 一1 b ( h 口，) 一6 f ( ，o b 一1 a b 1 b ( s ，) = ( c 2 1 ) b t ( f ，a b 。a b b ( f ，) 0 因此， 魏【2 - 8 ) 及( 2 1 0 ) 知。踢与分别是d ；，酲的单调增函数，l l h l t ； m 粕a x 望o ( s ，) _ 警而f ) 2 滁妫( b 0 m 靠a x - v 口( s ，) 2 嗲蜀( 九， ) 。黼函) - 又根据卡方分布的挞质及( 2 1 4 ) 知为，是碍载单谣藏函数，羁故 m 焉i n 昂 ) 2 嗲筛溉 ) 。m i ；n l 岛( b ，) _ 定瑗2 2 ：对任意给定的设计测度6 记g 廖一1 g 与g 嚣1 a b 一1 g 的最大特征根分别 为雠，心，相应的标准化特征向量记为岛，如刘警 矗l ( ) = r ? ( $ ) 芦l ， 2 ( 霉) = r r ( 盘) 芦2 ( 2 - 1 7 ) 辩， m ，a ，x z d ( f 固一翰) = 帮 ( 2 _ 1 8 ) 第9 页 0 9鼬却 承颐 艄糌 i f j | 曲o h 承酸 嗲爹 1 l | 1 9 曲，酲鹾 警警 萋三茎塞堡塞璧 证明：掰为 所以 弓曷( ，f ) 一扬( 。，) 一：( 打( b 一1 a ) ：唯) m ，i 。n 皇p p ( f ，) = 昂( h ，) = p ( x ；( 警) s 2 i b ( ) p ) 6 ( 帆) = 上z ( z ) e - a h o ( z ) 嵌( m ) = f z ( 。) e - r ( z ) p d ( z ) = g 口 酲( h 口，) = = ：q 2 p r g j ；一1 g 缪 d ；( ，堆，) 一”2 | 臼7 g ；嚣一1 a b 一1 g 卢 楚关于p 的二= 次型，由二次型极握理论锝 砰( h 卢，) 即2 c h l ( g b 一1 g ) = 即2 肛f 霹( 如，0 ) ”2 曲l ( g ；b 。a b _ 1 g ) ；r 1 2 垤 当且仅当p l ，卢2 分别为心，唯所对应的标准特征向量时，等号成立 取_ l l ( 。) = r t ( z ) p 1 ，h 2 ( z ) 警r t ( 霉) 岛则 鳓( = 帮帮= 与( 张) 翰( 九2 ，f ) 。i 睁( 嚣。a ) + 硅) t r ( b - 1 a ) + 6 9 ( h ，) = 与( 扛，) 对v h j 护成立即 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) m ，a x l 尹n ( h = 殇( 一帮 m 。a x 鳄q ( h , o2 嘞( 2 ，f ) 。i 江( 嚣。a ) + i 唯) - 辑由定理2 1 即得另外，由卡方分布的性质， 挪“弦( 碡( 警) 胡酬协) p ( ( 掣) s 2 i b 刚，) = 挪固 对v h 兹成立，即 母昂( h ，) = 昂( h ，f ) = p ( 警) s 2 i b ( 0 1 1 加) 再擐据定理2 1 帮得。一 下面证明在某种线性变换群下上述准则“f 的最优设计具有不变性，从而使我们只需 筻1 0 蓖 2 2 在所有在n 下不变的设计构成的三的子类三n 中寻找设汁即可 考虑爿l 的线性变换群 假设 n 。= 7 r ：z 一丌( z ) = q 。茁，i q 。i = 土1 ( h 1 ) v 7 r 1 1 。，7 r ，r = 爿 ( h 2 ) 对每个7 r i i 。，存在个正交矩阵p 。，使z ( ( z ) ) = p 。z ( z ) 记疋上绝对连续设计测度全体为三耐每个兰，磊及_ 7 r i i 。，定义矗和，。如下： 岛( z ) = r n ( ”( z ) ) ，。( z ) = ，( ”( 七) ) ， 其中m ( ) = 是设计测度的密度函数记三n 。为x 上n 。一不变测度全体，即 z n 。= 代三= ，v ；r 1 1 。) ， 类似地，定义 。= ，。多；l ，。= ，v 7 r n 。) 引理2 4 ：如果y ，w 是以某个实变量a 的线性函数为元素构成的矩阵，且i y 是正定的。那 么对任意的非零常数向量c 咖( a ) = c t v 7 w - 1 v c 是a 的凸函数 证明：记k = wv ，并用矩阵上面加一个表示该矩阵对a 的导数，则 咖 ) = c 7 f 矿7 w 一1 y + y 7 ( 一w 一1 咖w 一1 y + w 一1 矿) c ：2 c t l v r 7 w 一1 y c c t v t w 一1 彬w 一1 v c = 2 c 7 k t 矿c c t k 7 彬k c 州a ) = 2 c t k r 矿c 一，( 玄7 w k + k t w k ) c = 2 c t k l f 矿一w k ) c = 2 c t k 。w ( w 一1 矿一w 一1 咖v w 一1 ) 。 = 2 c t 玄r 窗c 0 所以( a ) 是a 的凸函数_ 定理2 f 3 ：( i ) 呼搿翰( ，f ) 2 留搿岛( ，f ) 警r a 靠i n 。昂( ，f ) - m 。a x m i n 绵( f ，0 第1 l 页 ：! ：! 三塞塞堡塞壁 ( i j ) 如果存在如，f 2 三n 。，分别使 并且存在，；，；岛。，使 那么 岛基卜m ，a 。x f s f d ( f ，f 1 ) 昂( 局2 ) 2 m 只i nf s 蓦p ( f ，乩 紫鳓( ，f t ) 。哮警翰( ，) 劣c g p ( f ，卜m = i n 鬻昂，f ) 证明：( i ) 对任意的，最l 。，7 f 。，有 6 ( 艇”) = 上孙) 一1 m ) 螈( 茁) ， 2 五z ( 。) “，”( z ) 曦( 茁 令t 一7 r ( 2 ) = q 。z = p i l ，z ( 丌( z ) ) 一1 ，( ”如) ) m ( 丌如) ) d 。 j x 。、 = p i l z ( t ) z 。1 f ( t ) m ( t ) d t j 爿 = 巧1 b ( s ， 曰( 靠) 。上z ( 啦。z 7 ( z ) 蛎( 嚣) 2 巧1 六z ( * ( 刃) ) “m ( 霉) ) m ( 丌( z ) ) 妇n 2 巧1 一1 z 丁渤m 往x z ( t ) z ) d t p = p ；1 b ( ) p 。 j 莠以i b ( g ) l 一| b ，显 醴( ，矗) = b t ( f ，& ) b 一1 ( 矗) 6 ( ，靠) = 矿( ，) b z ( ) b ( ，) ；砰( ，e ) 慰任意a 【o ，1 】，令矗= ( 1 一a ) + 矗，剡 6 ( ，颤) 2 厶z ( ) e “m ) 螈( ) 2 六z 扣) x - v ( 郴( ( 1 一状+ 摇) ( 霉) 篱1 2 毒 9 0 翰昂 霉蹬 莒i 意 嚣 = 恸 ，昂 譬黜 2 2 邓叫五狮) 。1 m ) 避上即芦1 鼬) 蠓( 嚣) = ( 1 一a ) 扛( ，) + a b ( f ，矗) = | ( 1 一a ) ，+ a p ；1 l b ( ，) 嚣( ) ：z ( 髫) 一，z r ( z ) c 螺( 茹) h = ( 1 一a ) z ( ) e 一1 z t z ) d 专( z ) + z ( z ) 一1 z r ( 露) d f 。( 霉) ，z j 爿 一( 1 一a ) b ) + a b ( 靠) = ( 1 一 ) b ( ) + a p ；1 b ( 0 p 。 由引理2 4 ， 碍( ，矗) = b t ( f ，) 【( 1 一 ) f 十 p i l r 【( 1 一 ) b ( 0 + a p ；1 丑媾) p 。1 。【( 1 一a ) i - t - ) , p ；1 】6 ( ，) 是a 的凸函数因此， 霹( ，矗) ( 1 一a ) 取，) + 酲( ，。) = 霹( ，) 又 1 b ( 瓢) l = 1 ( 1 一 ) 口( ) + b ( 矗) l l 居( ) 1 。1 l b ( 岛) p i 嚣( ) r 1 b ) r l 露( ) j 因此， 踟= 紫坠耀铲= 蹦固 踟点) - p ( x ；( 掣) 酬p ) p 0 ( 掣) 妇喇蜘) 尸( x ；( 警) 删i b 驯枷) = 昂( ，f ) ， 等号成立当鼠仪当= 厶，畦一靠所以 m a x z o ( f ，釉搿翰( 圳护n d，n 4 m 靠i n 。昂( ，矗) r a 确i n 。姊( ，) 等号成立当且仪当= 厶，即一矗因此 m 。i n m ，。a 。x l f 。( f ，f ) _ 紫磷翰脓) 筻1 3 蒉 第二章最优准弼 警赡昂( ，) 2 蛩r a 确i n 。邬( ，f ) ( i i ) e l i 已妇条 牛褥 5 攀岛( ，) m 确a x 。殇( ，) 嚣为( ，) = 殇) 。鬻弱( ，) m i n - 够p ( f ，f ) m ，。i n 。_ 够p ( f ，) 甓? 昂( ，岛) = 昂( ，；，) = m 粕i n 昂( ，岛) 所以 m a x 殇( ，钔。哩n 鬻岛( ，) 曾昂( 施) 2 警啤昂弧) _ 考虑上的线性变换群 f i b = 7 r ：叫竹( 茁) = q 。，l ( h i 茹士1 ) 假设： ( h 1 ) v t r f i b ，w z = z 。 ( h 2 ) 对每个”兀6 ，存在一个工e 交矩阵p 。，使z ( z ) ) ；p 。z ( z ) ( h 3 ) 对每个丌i i b ，p 。a p ；= a ，p ；b p 。一b 。 同上，记兰n 。为z 上h 6 - 不变测度全体，即 e n b = 置除= ，v t r b ) 类似地，定义 霸h 一 ，乒；i f 。一，v t r n b 定理2 4 ：( i ) m i n z m a x , ，r n 6 名( ，) 一m i n - n 。m 腻如。z q ( f ，) ( i i ) 如果存在岛e n 。，使 m 靠a 。x 局( ，3 ) _ r a i nm 诋a x 局( ，) ， 势显存在式。缎h ，使 品( 托3 ) = ，群局( ，6 ) 那么 m 焉a x - z o ( f ，岛) 5m g i n l 嚣鳓( ， ) - 试明：仿照定理2 3 即得1 第1 4 菱 第三章例子粥二翠拶u 丁 本章以一种双响应二元曲面模趔( 1 3 ) 在单位藏方形 = 卜翔i 卜歪1 ， 上的d o p t ，q o p t 和p o p t 稳健设计为例，具体阐述上一章中给出的最优准则下的稳建 设计的求解方法 首先，取为爿上的可交换对称交换群，刚条件( h 1 ) ，( 配) ，( h 3 ) 成立( 觅附录a ) 因此， 兰h 是石t 对称且关于z l ，x 2 可交换的绝对连续测度全体经计搏褥 a = 矿i 1 丽； b = f 砑1 孺 卜 c一 0 0 0 - - p a l g 2 00 0 矗盯；0 0 0 一矗胪1 盯2 0 00 矗口；0 00 一矗m 000 去口；0 00 p 盯l 口l 000 口 0 0 0 一击妒胁0 00 去盯 0 00 一矗p 盯l 玎2 o00 矗 磅 0 0 0 p 母1 0 2 0 0 一p 盯l 仃2 0 0 0 玎f 0 o c l 疃0 0 0 一c l p 盯l 如0 l 0 c 2 口；0 0 0 - -