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山东大学硕士学位论文 多维反射倒向随机微分方程和比较定理 肖华 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文研究的是多维反射倒向随机微分方程( 简记为b s d e ) 解的存在唯性，比较 定理及其应用 众所周知，b s d e 是一个新兴的研究方向，它的出现为研究金融数学，随机最优控 制及偏微分方程等问题提供了有利的工具如下的非线性b s d e d y ( t ) = f ( t ，y ( o ，z ( t ) ) d t z ( t ) d b , ，玢= f 是由p a r d o u x 和p e n g 于1 9 9 0 年在 1 1 中首先介绍的，后来p e n g 于1 9 9 2 年在【2 】中 证明了一维b s d e 的比较定理，周海滨于1 9 9 9 年在【3 1 中证明了一类多维b s d e 的比 较定理，证明方法是构造了一个特殊的函数，这个函数是b u c k d a h n 和p e n g 于1 9 9 9 年 在【4 】中首次介绍的周海滨还将多维b s d e 比较定理应用于证明多维拟单调连续系数 b s d e 解的存在性e l ，k a r o u ie ta l 在f 5 】中研究了带一个障碍的一维反射b s d e ，给 出了一维情况下解的存在唯一性定理和比较定理，同时还在m a r k o v 框架下研究了一维 反射b s d e 与非线性抛物型偏微分方程的联系 我们现在很自然的提出，如何建立多维反射b s d e 的框架，建立之后，多维反射 b s d e 的解是否存在唯一，解的比较定理是否成立，是否也可以将多维反射b s d e 的比 较定理应用于证明多维拟单调连续系数反射b s d e 解的存在性? 本文共分四章 第一章：引言，叙述前人所作的工作以及问题的由来 第二章：受e 1 k a r o u ie ta l 【5 】5 中一维反射b s d e 模型的启发，我们提出了如下的多 维反射b s d e 模型： 首先假定 ( h 2 i ) f l 2 ( h 2 2 ) i ：n 【o ，卅xr “r “4 r n ，( 可，z ) 戤舻“，”，y ，z ) 瞬 ( h 2 3 ) l f ( t ，y ，：) 一f ( t ，! ，一) l c ( 1 y 一矿i + l z 一。，c 0 ，! ，矿p ，z ，z ，r “4 给出一个n 维的障碍 s ( t ) ，0 t 研酣满足 ( h 2 4 ) f s ( t ) ，0 t r ) r “是一个连续的循序可测的r “中的过程，并且满足 e ( s u pi s + ( 0 1 2 ) + o o ，s ( t ) f 山东大学硕士学位论文 这里s + ( t ) 是一个碾，向量，它的第j 个分量是5 ，( t ) 称( ， ，s ) 为一组标准参数，如果它满足假定( h 2 i ) - ( h 2 4 ) 称 ( y ( ) ，z ( t ) ，k ( ) ) ，0 墨 ts 丁) 是n 维反射b s d e 的一组解，如果它满足， ( h 2 5 ) z ( t ) i 巴。d ，y ( t ) s ：，k ( t ) l ： ( h 2 6 ) y ( t ) = f + f _ f ( s ，r c s ) ，z ( 3 ) ) d s + k ( t ) 一k c t ) 一e z ( s ) d b ， ( h 2 7 ) y ( t ) 芝s ( t ) ，i e 巧( t ) 2 岛( t ) ，j = 1 ，2 ，n ( h 2 8 ) k ( t ) 舯，0 t z 髟( ) 的第j 个分量记为( t ) ，它是连续的增过程，满足 k j ( 0 ) = o f ( 匕( t ) 一s j ( t ) ) d k 3 ( t ) = o ，j - l ，2 ，n 这里y ( t ) 是一个r “向量，它的第j 个分量是巧( t ) 多维模型同一维模型的区别主要体现在( h 2 7 ) 和( h 2 8 ) 上，意味着仅当巧碰到障 碍曷时。用一个最小的推动力玛将巧向上推动，使之在障碍s j 上面运动运用【5 】 中相同的技术，我们证明了多维反射b s d e 解的存在唯一性，即 定理2 1 当( ，f ，s ) 分别满足假定( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) 时，多维反射b s d e ( ，f ，s ) 存 在着一组解( k z ，k ) 满足( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) 定理2 2 当( ， ，s ) 分别满足假定( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) 时，至多有一组循序可测的解 ( y z ，k ) 满足( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) 第三章：为了说明多维反射b s d e 的比较定理，我们将两个r “中向量的比较定义 为： n 1 2 铮o ；，j = 1 ，2 ，n n 1 ，a 2 r “ 受e 1 k a r o u ie ta t 【5 中一维反射b s d e 比较定理的启发，我们首先作出如下类似 的假定： ( h 3 1 ) p 醒 ( h 3 2 ) ( 玑z ) 融r n “，1 ( ，口，z ) 瑶，f ：qx 0 ，t 】xr ”x 舻州 础 ( h 3 3 ) f g ( t ，y ，z ) 一g ( t ，矿，) f e ( i 扩一y i + k 一一1 ) ( h 3 4 ) s ( t ) ，0s tst ) e r 是连续的循序可测过程，并且e ( s u 。p ri s ”( t ) 1 2 ) 0 ，y ，矿戤，z ，一r n 。4 a n dw eg i v eo n en - d i m e n s i o n a lo b s t a c l e s ( t ) ，0stst ) 舻s a t i s f y i n g ( h 2 4 ) ( s ( ) ，0 t t ) r “i sa c o n t i n u o u sp r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l er 4 v a l u e d p r o c e s ss a t i s f y i n ge ( s u pi s + ( ) 1 2 ) + ，s ( t ) f h e r es + 0 ) i sar nv e c t o r ，t h ej t he l e m e n ti s ( s ，( t ) ) ( ，f ，s ) i sc a l l e do n eg r o u po fs t a n d a r dp a r a m e t e rf o rn - d i m e n s i o n a lr e f l e c t e db s d e ， i fi ts a t i s f i e s ( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) a n dt h e nw ec a l l ( y ( t ) ，z ( t ) ，( t ) ) ，0st r t ob et h es o l u t i o nf o rn - d i m e n s i o n a l r e f l e c t e db s d ei fi ts a t i s t i e s h 2 5 ) z ( t ) 峨岫y ( t ) 镶a n d k ( t ) 瑶 一 h 2 6 ) y ( t ) = f + r ( s ，y ( s ) ，z ( 4 ) d s + k ( t ) 一k ( t ) 一fz ( s ) d b 。 h 2 7 ) y c t ) 2s ( ) ，i e 巧( t ) 芝5 i ( t ) ，j = 1 ，2 ，n h 2 8 ) k ( t ) r “，0st zt h ej t he l e m e n to f k ( t ) ，玛( t ) i sc o n t i n u o u sa n d i n c r e a s ep r o c e s ss a t i s f y i n g 玛( o ) = 0a n d 片( y j ( t ) 一昌( t ) ) d k j c t ) = 0 j = 1 ，2 ，n t h e o r e m2 1 w e 躺l l m e ( e ，s ) s a t i s f i e s ( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) ，t h e nt h e r ee x i s t sa g r o u po fs o l u t i o n ( 互k ) f o rn - d i m e n s i o n a lr e f l e c t e db s d es a t i s f y i n g ( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) t h e o r e m2 2 w ea s s u m e ( ，f ，s ) s a t i s f i e s ( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) ，t h e nt h e r ee x i s t sa t m o s tag r o u po fs o l u t i o n ( kz ，k ) f o rn - d i m e n s i o n a lr e f l e c t e db s d es a t i s f y i n g ( i - 1 2 5 ) 一 ( h 2 8 ) i nc h a p t e r3 ，w eg e t t h e o r e m3 1 l e t ( ，1 ， 1 ，s 1 ) a n d ( 1 2 , p ，铲) b et w os t a n d a r dp a r a m e t e r so ft h e n - d i m e n s i o n a lr e f l e c t e db s d es a t i s f y i n g ( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) ，a n ds u p p o s ei na d d i t i o nt h e f o l l o w i n g 【i ) f 1 p ( i i ) 片( ，y l , z 1 ) 厅( t ，y 2 , z 2 ) ，谚= 谚，弓= 弓，计开，z j ( i i i ) s 1 ( t ) s 2 ( t ) l e t ( y 1 ，z l , k 1 ) a n d ( y 2 ，矛，k 2 ) b e t h es o l u t i o nr e s p e c t i v et o ( ，1 ，f 1 ，s 1 ) a n d ( ，2 ，f 2 ， 铲) ，t h e ny 1 ( ) s 妒( t ) w en o t i c et h a tt h ec o n d i t i o n ( i i ) o ft h e o r e m3 1 ，i e t h eq u a s i - m o n o t o n o u s l yi n - v f ：c t ，u ，l ，1 ，z ) 厶( t ，y 2z ) ，1 ，y 2 舻，谚= 谚，计开，z j a n d t h e n w eh a v e t h e o r e m4 1 a s s u m efs a t i s f i e s ( h 4 1 ) - ( h 4 4 ) a n df l 2 ，s ( t ) s 2 ，t h e nt h en - d i m e n s i o n a lr e f l e c t e db s d ee x i s t sa t r i p l eo fs o l u t i o n ( y z ，k ) s a t i s f y i n g ( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) k e yw o r d s ：b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o m p a r i s o nt h e o r e m ，l o c a l t i m e v i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盔经e t 期：! ：羔：论文作者签名：笪红期：! ! ：2 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库迸行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 一：埤一名肆一 第一章引言 非线性倒向随机微分方程( 简记为b s d e ) 的基本框架是由p a r d o u x 和p e n g 于 1 9 9 0 年在【1 】中奠定的，非常巧合的是著名经济学家d u f f l e 和e p s t e i n 也独立地从经济 学的背景出发于1 9 9 2 在【6 】提出了这一方程的一个特别典型的情况e 1 k a r o u i ，p e n g 和 q u e n e z 于1 9 9 7 年在1 7 】给出了b s d e 一些重要的性质，比如比较定理以及在最优控制 和金融数学方面的一些应用通过使用b s d e 的一些结果，h a m a d e n e 和l e p e l t i e r 于 1 9 9 5 年在 8 】中通过i s a a c s 条件得到了零和微分博弈问题鞍点策略的存在性和随机最优 控制问题最优策略的存在性 e i - k a r o u ie ta l 于1 9 9 7 年在【5 】中研究了带一个障碍的一维反射b s d e ，要求该方 程的解保持在一个给定的连续的随机过程之上，这个过程称之为障碍为了达到这个目 的，他们引进了一个增过程向上推动方程的解，同时要求这个推动力要是最小的他们 得到了解的存在唯一性，给出了这类一维反射b s d e 的比较定理在m a r k o v 框架下， 他们也研究了反射b s d e 和非线性抛物型偏微分方程的联系后来c v i t a n i c 和k a r a t z a s 于1 9 9 6 年在【9 】将其推广到两个障碍的反射b s d e ，这两个障碍是两个给定的连续的随 机过程，称之为上下障碍在此之后，h a m a d e n e 和l e p e l t i e r 于2 0 0 0 年在【l o l 中将障 碍推广到过程s ( 下障碍) 和u ( 上障碍) 仅仅是右连续和左上半连续的，并得到了混和 博弈问题的一个鞍点策略 前人所研究的反射b s d e 及相关性质都是一维情况的，尚没有人提出多维反射b s d e 的概念在一维的基础上，我们将在第二章中首次提出多维反射b s d e 的概念，并研究 了该方程解的存在唯一性在这里，障碍是一个多维的向量，要求方程的解的每一个分 量必须保持在给定障碍的相应的分量之上为了达到这个目标，我们引进了一个多维的 过程，这个过程的每一个分量都是连续的增过程，通过这个增过程推动方程解的每一个 分量保持在障碍相应的分量之上，同时要求这个推动力是最小的通过使用不动点原理 和一个合适的估计。我们得到了一类多维反射b s d e 解的存在唯性 在确定和随机微分方程理论中，比较定理是一个非常有用的工具，在许多随机微分方 程问题的解决过程中。比较定理起到了非常重要的作用一维b s d e 的比较定理是p e n g 首先于1 9 9 2 年在【2 l 中获得的，后来e 1 k a r o u i ，p e n g 和q u e n e z 于1 9 9 7 年在【7 1 中又简 化了p e n g 在【2 】2 中的证明通过定义所谓的拟单调增条件，g e 调和m a a t h e y 于1 9 9 4 年在1 1 1 1 中证明了一类多维随机微分方程的比较定理周海滨于1 9 9 9 年在1 3 】中给出了 一类多维b s d e 的比较定理，证明方法是构造了个特殊的函数，这个函数是b u c k d a h n 和p e n g 于1 9 9 9 年在【4 1 首次介绍的考察前人的研究，我们发现尚没有人研究多维反 1 山东大学硕士学位论文 射b s d e 的比较定理我们将在第三章中证明一类多维反射b s d e 的比较定理，其主要 的证明工具是使用随机分析中非常重要的局部时方法，而该方法不同于周海滨在【3 】中 构造函数的方法，并且证明过程相对简单在第三章最后，我们给出了一个反例展示了 拟单调增条件对比较定理的关键性影响 l e p e l t i e r 和s a nm a r t i n 于1 9 9 7 年在【1 2 】使用比较定理作为主要工具证明了当一维 b s d e 的生成元系数是连续的同时线性增长的情况下，方程解的存在性周海滨于1 9 9 9 年在f 3 】中应用多维b s d e 的比较定理研究了多维拟单调连续系数b s d e 解的存在性 受此启发，作为多维反射b s d e 比较定理的直接应用，我们在第四章使用它作为工具推 广了一类多维反射b s d e 解的存在性在这里，方程的生成元系数是连续的，同时满足 线性增长，要求解的每一个分量保持在给定障碍的相应分量之上，并且其推动力最小 2 第二章 多维反射b s d e 解的存在唯一性定理 在这一章，我们给出多维反射b s d e 的定义，并证明了解的存在唯一性和解对参数 的连续依赖性 令 b l ，0 tst 是定义在概率空间，只户) 上的d 维标准b r o w n i a n 运动， 五，o t t 是( b t 的自然信息流，五包含了，上的所有零测集 在证明多维反射b s d e 解的存在唯性定理以前，我们先定义e u c l i d 范数：如果 管”，则川= ( ：l 费) ；如果：孙“，则= ( ：l 名l 互2 ，一1 _ 两个舻中向量的比较定义为； 口1 口2 甘弓霹，j = l ，2 ，n n 1 ，a 2 舯 下面引进一些记号： 昧= 矧：q 即是矗可测的哥料过翟s t e ( i 1 2 ) + o o ) 瑶= 西i ：f 0 ，卅q - - - 4 即是可料过程s t i 庐1 2 = e 詹2 d t + ) s ：= ”l ：【0 ，叫xq j p 是可料过程s t e ( s u pf v , 1 2 ) 0 ，! ，3 ，r “，z ，r ”。4 给出一个n 维的障碍p ( t ) ，0 s t s ? ) p 满足 ( h 2 4 ) s ( t ) ，0st t ) r 4 是一个连续的循序可测的舻中的过程，并且 e ( s u pi s + ( ) j 2 ) + o 。，s ( t ) f o t t 这里s + ( t ) 是一个r n 向量，它的第j 个分量是s ，( t ) 称( ，f ，s ) 为一组标准参数，如果它满足假定( h 2 1 ) - ( h 2 4 ) 称 ( y ( t ) ，z ( o ，( t ) ) ，0s t s q 是n 维反射b s d e 的一组解，如果它满足： f ( h 2 5 ) i ( h 2 6 ) ( h 2 7 ) i ( h 2 8 ) i z ( t ) 卿景。d ，y ( t ) s 三，k ( ? ) l ： y ( o = f + j _ f ( 8 ，y ( 8 ) ，z ( s ) ) 幽+ k ( 刃一k ( o j _ z ( s ) d b 。 y ( t ) s ( t ) ，i e k ( t ) s j ( t ) ，j = l ，2 ，n k ( t ) 础，05t z ( t ) 的第j 个分量记为玛( t ) ，它是连续的增过程，满足 k a o ) = o ，f 【巧( t ) 一s a 0 ) d k a o = o ，j = 1 ，2 ，1 3 山东大学硕士学位论文 由( h 2 7 ) 知道，方程的解的每一个分量k ( t ) 必须保持在给定障碍的相应的分量 ( ) 之上为了达到这个目标，我们引进了一个多维的过程k ( t ) ，这个过程的每一个 分量巧( t ) 都是连续的增过程，通过( h 2 8 ) 可知，这个增过程推动方程解的每一个分量 保持在障碍相应的分量之上，同时这个推动力是最小的 我们知道当n = 1 时，上述的“y ( ) ，z ( 0 ，( t ) ) ，0s tst ) 就是e 1 - k a r o u ie ta l 于1 9 9 7 年在【5 】5 中所研究的带一个障碍的一维反射b s d e 的一组解，可见我们所提出的 多维慨念是在一维情况下的推广，是包含了一维这种特殊情况的 为了证明多维反射b s d e 解的存在唯性，我们先讨论，l = l ，不依赖于y ，z 的简 单情况 引理2 i 假定( ，f ，s ) 满足 ( h 2 1 ) l 2 ( h 2 2 ) e j 1 7 ( t ) 1 2 d t 1 的多维情况，可以通过 ， y o ) = e + ，( s ，可( s ) ，z ( s ) ) 如+ k ( t ) 一蜀o ) 一z o ) d b ，tj t 定义映射雪：0 _ + e 给定( 掣，z ) 0 ，( 以一) 0 ，记 ( z ) = 圣( ，：) ，( y ，z ) = 圣( 矿，) ， k ( t ) = k y ( t ) 一o ，( s ，9 ( s ) ，。( s ) ) d s + f o z ( s ) d 玩， r t ，t k ( t ) = 瑶一y ，( t ) 一，0 ，矿( s ) ，2 ，( s ) ) d s + z ( s ) d 玩 j nj 0 ( 萝，- ) = ( y 一| ，：一7 ) ，( - ，动= ( y y ，z z 7 ) 则 一c f _ j ( s ) = ( 厶( s ，y ，z ) 一厶( s ，y ，2 ，) ) d s 一乏( s ) d b , + d g a s ) 一d 巧( s ) 对任意的p 0 ，对e 口。霉( s ) 作i t s 公式得 一d 扩骘( s ) = 一卢e 鼬霉( s ) 凼一2 5 巧( 8 ) 够，( s ) 一沙i 乙1 2 d s = 一卢。霉( s ) d s + 2 e s e ( s ) ( 厶( 岛掣，z ) 一厶o ，z ，e ) ) d s + 2 沙e ( s ) 荔( 8 ) d 日+ 2 ，。一y j ( 曲( d 玛( s ) 一d 弼( s ) ) 一叫瓦1 2 d s 蝎 乃 心 肛 吲、j，i、 0 舢 ， ，j 础 他 o f 阿 = 础 归 斗 j 蚺 心 、： m 足 满 删 勰 斟厶 渤引，续乙+ 鞠一胜 0吩“弘驰驰隔 配研 =k 磊 忍况 = zk 圪 龊k 闻 z k 令 而 再 从 7 酬怎 + “鬻 胤满曲 l 朔 _“即是儿 銎 暖=|坍一， 吲卜川珊似和 山不大字坝士学位论文 从而 ， e e 毋1 7 , ( f ) 1 2 + e 沙( 8 1 e ( s ) 1 2 + i 乏( s ) 1 2 ) d s j t ，tt =2e f 。_ j ( s ) ( 厶( s mz ) 一厶( s ，矿，一) ) d s + 2 e e 舢e ( s ) ( d ( s ) 一d 蟛( $ ) ) j j = l + 2 由于 ，j a i = 2 e e 如_ j ( s ) ( ( s ，z ) 一厶( 毛矿，z ) ) d s j t s e ，r 扩。鲁i e ( s ) l s d s + e z r 扩。；l ，j ( 毛，。) 一厶( s ，矿，z ，) l 。出 和 ，t a 2 = 2 e 扩。- j ( s ) ( d 玛( s ) 一d 巧( s ) ) j t = 2 e 上。加 ( k ( s ) 一马( s ) ) 一( 巧( s ) 一曷( s ) ) ( d 巧( s ) 一d _ ( s ) ) = 一2 e ，t 沙( k ( s ) 一s ( s ) ) d 弼( s ) 一2 e ，r 沙( 巧( s ) 一曷( s ) ) d 巧( s ) 0 ， 故 e ( 瓤s 妒幅1 2 ) d s e 厂e 加扣m 沪肌妒缸 对上式j = 1 ，2 ，n 求和得 e ，丁扩( 鲁如驯2 嘻酗弘 e ，t 沙蓬n 吣舭m m j 2 d s ， 从而由e u c l i d 范数定义可得 e ，t 沙( 瓤汗坩1 2 ) 幽 s e z t 沙如幽沪，( s 珊幽 e t 纱等他( s ) | 2 + 1 - ( s 汗 6 山不大字硕士学位论文 由此令卢= s ( i + 俨) 得 e ，t e 鼬( j 矿1 2 + i z ( s ) 1 2 )s 互1 ercip(dst t s 炉伸( 驯。冲 e e 鼬( j 矿( s ) 1 2 + i z ( s ) 1 2 )s 百e s ) 1 2 + l = ( s ) 1 2 ) d s j 或 喊剐口期( 甄批， 其中i ic v , z ) l b = ( e j _ 扩。( i f ( s ) 1 2 + i z ( s ) 1 2 ) d s ) 5 ，从而圣是一个严格压缩映像由 不动点定理知它有唯一的不动点，在这里不妨就将其记为( kz ) ，又由 f tt t k ( 。) = y o 1 7 ( t ) 一邢，y ( s ) ，z ( s ) ) d s 0+ j c 0 z ( s ) d 玩， j ， 得到相应于不动点( y ，z ) 的增过程k ( t ) 综上可知( k 互) 满足性质( h 2 5 ) 一( h 2 8 ) ， 从而多维反射b s d e 存在解 口 引理2 2 ( f ，s ) 满足假定( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) ，互k ) 是多维反射b s d e ( ，f ，s ) 的解，则j 常数c 0 ，使 e 器州1 2 + 上i z c t ) 1 2 d t + l k ( t ) 1 2 ) c 酬2 + 上i f ( 邮，v ) 1 2 d s + 。s 鲫u pi s 俐2 】 o k r j o j oo s t 上 证明对l y c t ) 1 2 作i t s s 公式得 ，r，r i y ( t ) 1 2 - i - l z c s ) 1 2d s = 晦1 2 十2 y ( s ) f c s ，y ( s ) ，z ( s ) ) d s j tj t + 。一s 脚) - 2 厂卿悯) d b ，r e i y ( t ) 1 2 + e i z ( s ) 1 2 d s = e 1 f 1 = + 2 f fy ( s ) 巾，y ( s ) ，邵) ) 如+ 2 厂) 扰( s ) 】 e 陋+ 2 厂i i m y ( 5 ) 邵) ) | d s + 2 厂即) 倒s ) 】 e 睁+ 2 ，r l y ( 8 ) | ( o 0 ) i 砌酬) ) 凼+ 2 厂即膨( s ) 】 7 山东大学硕士学位论文 e i f l 2 + t i ，( s ，。，。) 1 2 d s + c b z t l y ( s ) 1 2 d s + ；，r i z ( s ) 1 2 d s + 。厂脚， ， 其中q = 1 + 2 c + 2 c 2 由g r o n w a u 引理知j 大于0 常数g ，a 使得 e l y ( t ) 1 2sc 3 e c 3 e 从而 一 因为 l f l 2 + ，rl ，( s ，。，o ) 1 2d s + 2 ，ts ( s ) d ( s ) ( 2 1 ) 矧2 + 上l 坤，o 2 2 上) 掰( s ) j ( 2 1 2 + z r i f ( 郇 o ) + 2 r 洲酬 ，( 2 2 ) f z r z ( s ) 1 2 d s _ c 4 e 1 f 1 2 + z r i ，( bo o ) 2 d j + 2 z r s + ( s ) d i f ( s ) ( 2 3 ) 所以 e j k ( t ) 21 k ( t ) = k f f m ，即) ，邵) ) d s + o t z ( s ) 蛾 4 e 脚2 琳j 2 + i f e r r ( ( s ) ，邵) ) 衅+ j f o r z ( s ) 蚓2 4 e 1 1 2 + 蚓2 + t j ( r i f ( s ，y ( s ) ，z ( s ) ) 1 2d s + z rl z ( s ) 1 2d s 4 e 1 碥1 2 + 2 + t j ( t 3 ( i ，p ，。，。) 1 2 + e 2 j y ( s ) 1 2 + c 2 i z ( s ) n ) 出 + 小1 2 d s 】 a e 陋删+ 盯知s ，o ，o ) 1 2 d s 2 zf阳+(i+3c2t+12c t e 4 ( i 3 ct ) e z t | 2 如d 8 0 0 2 y ( 5 ) 1 2 如+z ( 5 ) 1 2 jj 由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 式可知，存在大于0 的常数晚使得 e i k ( t ) 1 2 叫矧2 + z r i f ( 啪 0 ) + 2 z t 州司岬) 】， ( 2 4 ) 8 l 1 山东大学硕士学位论文 而 2 e 厂r s + ( s ) d k ( 8 ) 2 e b s u p ss )k(tjo ) 】 + ( s ) l ( + ( s ) ) ) i l o s ，tj 2 es u p js+(s)12l+eik(t)121sjst ， ( 2 5 ) j z e “r 1 2 | 酬2 出) 5 。e ( ( 。强1 2 ) 小( 5 ) ) 。 z e ( 键s u 。夕p y ( t ) j 2 ) ( f | 2 d s ) ) 2 e ( 。s s u 。；p r i y ( d 1 2 ) ) 5 ( e z t f z ( s ) 1 2 幽) ) 5 1r i ；e ( s u pl y ( t ) 1 2 ) + 2 e 1 z ( s ) 1 2d s ， ( 2 6 ) n f f f 中j “ 义有 e ( s u pi y ( t ) 1 2 ) + e i z ( s ) 1 2d s o t t j o e 睁+ 2 卜| i m 州删舭s + 2 z r 洲郴( s ) + s u p2 y ( s ) z ( s ) d b 。i o s t rj tj e 垮1 2 + z t i f ( s ，。，。) 1 2 d s + c i z r i y ( s ) 1 2 如+ ；z t 忙( s ) 1 2 d s + 2 o r s + ( s ) d k ( s ) + 2 e ( z r i y ( s ) | 2 i z ( s ) 1 2 d s ) 5 ， ( 2 7 ) 从而 e 键s u 回pi y ( t ) 1 2 ) s 岛巾2 + 知3 1 0 o ) j 2 d s + 2 r s + ( s ) d k ( s ) ( 2 8 ) (i2 ) sc k ejj f l 2 + i ，( s ，o ，o ) j 2 + + ( s ) ) 1 () o s t s r lj oj o j 由( 2 2 ) 一( 2 8 ) 可知存在大于0 的常数，不妨就记为c ，使得 ，t e ( s u pi y ( t ) 1 2 + i z ( t ) 1 2d t + i k ( t ) 1 2 ) 0 ( t t j 0 c e 时+ f i ，( 5 0 ，o ) 1 2 幽+ 器矿( t ) 1 2 9 s0 由引理2 2 可知 e i a k ( t ) 一k ( t ) 1 2 = e i ( k ( t ) 一( t ) ) 一( k ( t ) 一k ( t ) ) 1 2 se i k ( t ) + k ( ? ) 1 2 s2 e c i k ( t ) 1 2 + i k ( ? ) 1 2 ) 2 c m t ， 1 0 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 山不大学坝士掌位论文 从而 e 2a s ( s ) d ( a k ( s ) ) ek s u 纠pa s ( t ) i ) ( a k ( t ) 一a k ( t ) ) 】 ) l ( i ) 一 ) l - ，tlo t 0 ，使谬 v a r ，i ，( a ，t ，玑，z 1 ) 一f ( o ，屯让，2 毋i c ( 盼一耽l + 随一勿i ) ( h 2 1 0 ) 函数oh ( ，( ) ，f ( 口) ，s ( ) 是连续的，i e 对v 口嘞，在瑶中， a f ( t ，y ”( t ) ，z 咖( t ) ) - - - 40 ，g 啼0 ，a s 啼0 则有 ，r e ( s u pi a y ( 0 1 2 + j a z o ) e + i a k ( t ) 1 2 ) _ 0 u s i s tj 0 证明运用同引理2 3 中的方法及假定( h 2 9 ) ，对i a y ( s ) 1 2 作i t 5 s 公式得 ，j e i a y ( t ) 1 2 + e i z ( s ) 1 2 d s j t t = e i 引2 + 2 e a y ( s ) a f ( s ，y ”( 砖，岔陬( 5 j ) 西 d t ，t + 2 e a y ( s ) ( f ( o l ，s ，y 。( ，z 劝一尹( d ，s ，y 。( ，z 劬( ) d s d t 口一 + 2 e f(y(8)一as(ds ) ) d ( ( 砖十蝤上s ( s ) 趣酣( s ) )t ， ，r，r 5e f | 篮1 2 + d ( 1 ，( 毛l ，彻( ，z 。斧据弗伤zl 甜鼍副2 幽 t ，t + ；小酬2 d s + 2 厂蜊磁蚓蝴】 ( 2 嘞 1 2 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= ：= ：= = ：= = = = = = ：= = ：= = ： 采用与引理2 2 相同的方法及假定( h 2 1 0 ) 可得到 e ( s u pl y ( ) 1 2 + i z ( t ) 1 2 + i l x k ( t ) i o 垮2 劈2 譬，故 a = 一e ，r 1 吵孵譬( 3 ) d 霹( s ) 一e ，t 1 ( 沙呼1 2 ( 弩( s ) 一哥( 枷叫( s ) s0 厶( s ) 一e f t t l _ 呼l ：；。i 瓦( s ) 1 2 d s = 片( s ，y 1 ，z 1 ) 一鬈( 毛妒，矛) = g o , ，矸，f ，瑶，雹，刃，露) 一学( s ，坪，弩，埒，研，霉，z ：) = ”( s ，矸，口，碟，墨，刁，乏) 一# ( s ，埒+ f ，圩，埒+ 露，研，刁，兹) 】 + 陋( s ，砰+ 耳，弩，埒+ 露，研，刁，兹) 一片( s ，砰，呼，埒，刃，召，蜀) 】 = 5 + 6 ， 幽 0i v譬， e 炉 炳孵酌 山东大学硬士学位论文 l ：t 坪+ _ i + ，( f j ) ，由条件( i i ) 得 5 0 根据假设条件( h 3 3 ) 可得 故 6 c =c e ，t 畛垮，2 寸( s ) 乃d s - 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