（概率论与数理统计专业论文）相伴次序统计量的极限定理.pdf

摘要 统计学中，对相伴次序统计量的研究来源于选择问题，人们本来 应该依据某个变量的次序来选择个体但有时由于该变量的不可获得 性，选择实际上是根据另一个与该变量相关的变量的次序来进行的 相伴次序统计量的相关渐近性质的研究因而有着重要的理论和实际意 义y a n 莉建立了相伴次序统计量的线性组合的渐近性质，并由此 得到了很弱条件下醐函数的基于相伴变量的一类估计量的均方相合 性r a o 和z h a o 国建立了经验累积分位回归函数的强相合性及相应 过程序列在d 0 ，1 空间中s k o r o k h o d ，1 拓扑下的弱收敛定理我们在 第二章中将r a o 和z h a o 2 】的结果推广到加权情形，得到了相应的渐 近结果在第三章中，我们运用随机加权的方法来估计相伴次序统计 性 关键词：相伴次序统计量，分位回归函数 性，弱收敛，随机加权 间，强相合 a b s t r a c t i ns t a t i s t i c s i n d u c e do r d e rs t a t i s t i c sa r i s en a t u r a l l yi nt h ec o n t e x to f s e l e c t i o nw h e r ei n d i v i d u a l so u g h tt ob es e l e c t e db yt h e i rr a n k si nr e s p e c to f y ，b u ta r ea c t u a l l ys e l e c t e db yt h e i rr a n k si nar e l a t e dv a r i a t ex d u et o u n a v a i l a b i l i t yo fy a tt h et i m eo fs e l e c t i o n h e n c e ，t h es t u d yo ft h er e l e v a n t a s y m p o t i cp r o p e r t i e so fi n d u c e do r d e rs t a t i s t i c sa r ev e r yi m p o r t a n ti nb o t h t h et h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n s y a n g 1 e s t a b l i s h e dt h ea s y m p o t i cn o r m a l i t yo ft h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fi n d u c e do r d e rs t a t i s t i c sa n dt h e np r o v e d s o m ee s t i m a t o r sb a s e do nt h er e l a t e dv a r i a t eo fr e g r e s s i o nf u n c t i o nt ob e m e a n - s q u a r e l yc o n s i s t e n t r a oa n dz h a o 2 e s t a b l i s h e dt h es t r o n ge o n s i s - t e n c yo ft h ee m p i r i c a lc u m u l a t i v eq u a n t i l er e g r e s s i o nf u n c t i o n sa n d a l s ot h e w e a kc o n v e r g e n c eo ft h ep r o c e s s e ss e q u e n c ei nd o ，1 u n d e rt h es k o r o k h o d t o p o l o g y i nc h a p t e r 2 ，w ee x t e n dt h er e s u l t so fr a oa n dz h a o 2 】t ot h e w e i g h t e dc a s ea n dg i v et h ec o r r e s p o n d i n ga s y m p o t i c r e s u l t s i nc h a p t e r 3 ， w ea p p l yt h er a n d o mw e i g h t i n gm e t h o dt oa p p r o x i m a t et h ed i s t r i b u t i o no f t h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fi n d u c e do r d e rs t a t i s t i c sa n dp r o v et h ec o n s i s t e n c y o ft h er a n d o mw e i g h t i n ge s t i m a t o r n o t et h a ta sab y p r o d u c t ，w eu s ead i f - f e r e n tm e t h o df r o mt h eo n ei ny a n g 1 】t og e tt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo f t h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fi n d u c e do r d e rs t a t i s t i c s k e y w o r d s a n dp h r a s e s ：i n d u c e do r d e rs t a t i s t i c s ，t h eq u a n t i l er e g r e s s i o nf u n c - t i o n ，f u n c t i o ns p a c e sd a n dc ，s t r o n gc o n s i s t e n c y , w e a kc o n v e r g e n c e ，r a n - d o r aw e i g h t i n g 致谓f 在此文即将完成之际，我想对所有给予我帮助和关心的人表示感 谢! 首先我要特别地感谢我的导师赵林城教授，感谢他三年多来对我 学习和生活的指导和关心赵老师不但是一位杰出的学者，而且还是 一位非常好的导师从基础课的学习到参考文献的阅读，从论文的选 题到论证的具体细节，从研究问题的思路到论文的修改，我的每一点 成绩的获得无一不饱含着赵老师大量的心血是他的鼓励和支持才使 我能够体会到学习的快乐三年的硕士生生活即将结束，回想起一些 向赵老师学习的机会没有把握，不禁扼腕叹息好在朝闻道尚可，在今 后的日子里希冀得到赵老师更多的指导和帮助! 在这里，我深深的祝 愿赵老师心想事成，天天快乐! 其次要感谢吴耀华教授长期以来对我学习的悉心指导和帮助 另外我要感谢统计与金融系缪柏其教授，苏淳教授，韦来生教授， 孔繁超教授，方兆本教授，胡太忠教授，张曙光教授等老师对我学习的 指导和帮助 我还要感谢黄开平老师，王德珍老师，夏红卫老师，臧红老师等 对我的支持和帮助 感谢崔文泉副教授，吴成庆博士，张洪博士，方易新硕士，徐瑞峰 硕士，龚隽硕士等对我的支持和帮助 感谢数学系和统计金融系的同窗对我的支持和帮助 最后我要深深地感谢我亲爱的父母和家人，是他们无私的奉献与 付出才使我得以完成学业，希望在今后的日子里，我能够带给他们更 多的欢乐! 第一章前言 假定x 和y 是一个总体中每个个体的两个数字特征在随机抽 取的一个大小为n 的样本中，按x 变量值排序，考虑与x 变量的第 i 个次序统计量( 记作西：。) 相伴的y 变量值我们称之为第i 个相伴 次序统计量，记作蚝：。1 以下是相伴次序统计量自然出现的几种场合： ( 1 ) x 变量的观察值自然成序，比如，x i ：。( t = 1 ，2 ，n ) 是在一次寿命 测量试验中n 个被测物品的寿命值，碌：。】( ；z 如，。) 是某相关变量值 ( 2 ) 删失数据情形，比如，墨：。0 = l ，2 ，n ) 是n 位学生入学考试成 绩，玩：。1 “= k + 1 ，k + 2 ，n ) 是成功入学者入学后考试成绩， ( 3 ) x 变量的次序值比y 变量的次序值更易获得，比如，k 0 = 1 ，2 ，n ) 是n 棵被选取的树的体积，而这些树的高度变量x 能够通过目测排 序 相伴次序统计量在统计中的具体应用可见文献如d a v i d 3 】和b h a t - t a c h a r y a 4 下面是其中的一些例子： ( a ) 选择问题 考虑以下选择程序，从n 个个体中抽取k ( k n ) 个较大x 值的个 体，很自然的一个问题是被选个体的伴随y 值的观察期望，我们实际 是在问m 溉1 ( 对y = n k + 1 ，n ) 的性状通常一个感兴趣的问题 是蚝：。1 的选择偏差 = 砣1 互n + ，警 其中p y 是】，的均值，口多是y 的方差，及它与 巩嗡1 ；荟n + 。警 之间的关系在线性回归模型中，d f 枷】的期望与方差均分别与d 枷 的期望与方差呈线性关系于是d 肚州的期望与方差的精确值可由次 序统计量的前二次矩得到在双正态情形，b u r r o w s 5 ，6 】提高了估计的 精度 ( b ) 回归及相关系数的估计 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章前言 如果y 对非随机变量z 呈线性回归，满足 e ( ylz ) = a + z ，( 1 0 1 ) ， 一 则口可以被比例统计量b = 乌丑二兰旦型估计，其中 ：。= 垒1 z 。+ 1 。，瓢：。= 女叁lx i ：。， 一y k ：州= 亡= k1 + 1 矗州，矿酬= ；脚k 埽：。 如果x 是随机变量，( 1 0 1 ) 则应理解为 e ( v l x = z ) = d + 触，( 1 0 2 ) 则b = 弩芦掣对所有的z 1 ，x 2 ，z 。，有e ( b 1 。1 ，z 2 ，。) = 卢 成立所以 也是口的一个无偏估计显然这个结果并不要求x 或y 独立同 分布，甚至不要求独立 b a r t o n 和c a s l e y 【7 】表明双正态情形，当女选择为大约0 2 7 n 时， b 7 有7 5 8 0 的功效 同样的方法也被用来估计相关系数p ，可见t s u k i b a y a s h i 8 】和b a r - n e t t 9 ( c ) 删失双变量数据的估计 当双变量数据删失时，自然出现了相伴次序统计量三种不同方 式的删失应该被区分( w a t t e r s o n 1 0 ) ( i ) 某些托：。和相应h ：们的删失 ( i i ) 只是某些m 训的删失 ( i i i ) 只是某些五：。的删失 比如当五：。“= 1 ，2 ，n ) 是入学考试分数，而耽：。j ( i = k + 1 ，k + 2 ，n ) 是成功入学者的入学后分数时，( i i ) 删失发生但当用于一个 寿命试验，在n 一女个被测物品失效后停止，却可获得所有n 个物品的 相伴变量的数据时，( i i j ) 删失发生 双正态情形，w a t t e r s o n 1 0 获得了许多方差依赖于p 的无偏估计 对( i ) 情形，h a r r e l l 和8 e n 1 1 】采用了极大似然 ( d ) 双抽样 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第3 页 第一幸前言 假设当测量y 值成本较大时，我们想估计i z y ，而一个测量成本相 对较低的辅助变量x 存在，那么对x 测n 个值，然后测量k ( k n ) 个，：。1 ，j = 1 ，2 ，, u y 的一个简单估计量为它们的平均值f 胁1 ， y o r ( f i ，：州) 显然与，的选取有关 在正态情形，m o s t e l l e r 1 2 给出了使得渐近方差最小的秩 另外一种与此目的类似也用相伴次序统计量的方法是秩定抽样， 见m c i n t y r e 1 3 它在s t o k e s 1 4 中被用于方差估计中 相伴次序统计量因而有着重要的理论及应用意义，关于相伴次序 统计量的相依结构，相伴次序统计量及其秩的小样本性质，有限个相 伴次序统计量的渐近分布，相伴次序统计量的极值问题，相伴次序统 计量的和及积分回归函数，不少统计学家都做过深入的研究 本文主要涉及相伴次序统计量的和及积分回归函数的问题 第二章中我们研究积分回归函数的问题让f _ 1 为f 的右连续 逆，我们定义y 对x 的分位回归函数( q r ) ( u ) = m ( f 一1 ( “) ) ，0 “1 ( 1 03 ) 注意到当y = x 的特殊情形，( 1 0 3 ) 成为分位函数，它在统计推断中 有着非常重要的作用( p a r z e n 1 5 ) m a h a l a n o b i s 1 6 ，1 7 1 考虑了某些场合，比较总体间的分位回归函数 比比较总体间的实际回归函数更有意义比如x 是家庭的收入，y 是家庭的牛奶消费量，如果我们想比较两个群体中不同经济水平的个 人的牛奶消费模式，而家庭收入的分布在两个群体中可能非常不同， 甚至可能由于币值的差异而不可比较但是群体中家庭可以按收入排 序按收入次序对牛奶消费量的回归就可以比较了正因为这个原因， m a h a l a n o b i s 考虑了分位回归函数的离散形式 其中 k 是一固定值 较两个群体 ( r i ， ) ，i = 1 ，2 ，k ，( 1 0 4 ) 忍= ；辟坤m ( 1 0 s ) 兄值被称为m a h a l a n o b i s f r a c t i l eo r d i n a t e s ，能够用来比 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 第一章前言 s e t h u r a m a n 1 8 提出了在群体中比较r 的渐近检验( a s y m p t o t i c t e s t s ) 累积分位回归函数 ，u m ( u ) = fh ( s ) d s ，0 u l j 0 和 ( u ) 之间的关系在某种程度上相当于一个随机变量的累积分布函数 和概率密度函数之间的关系，许多关于回归函数的问题能够等价地以 积分回归函数m ( u ) 的形式来考虑，而另一些则直接是以m ( “) 的形式 提出作为后者的一个例子同样假定x 是一个家庭的收入，y 是它 对某一种商品的消费额，那么；黼则是收入最少的l o o u 的家庭对 该商品的消费量在全体家庭消费总量中的比例对大多数商品而言， m ( 。) 是$ 的一个增函数，因而m ( u ) m ( 1 ) 是连接( 0 ，0 ) 和( 1 ，1 ) 的一 个凸函数在4 5 。线以下和m ( u ) m ( 1 ) 线以上的面积对必需品而言极 小，而对奢侈品而言极大函数m ( “) 因而是反映商品消费模式的一个 重要信息量，在决定税收政策时非常有用 在考虑累积分位回归函数的推断时，自然的估计是 【n 曲 ( u ) = n _ 1 m 训， i = 1 或者 蟓( u ) = n - 1 珞：卟 i l f ( x in ) u ) r a o 和z h a o 2 】考虑累积分位回归函数( c u m u l a t i v eq r ) m ( “) 和它 的经验形式 ( u ) = n 。环：。”0 “1 = l 以及当y 是正随机变量时，考虑累积分位回归函数的标准形式 二( u ) = # - 1 m ( ) 其中p = m ( 1 ) = e y ，和它的经验形式 b u l 工。( “) = 簖1 y ( i ：。 其中 t = l = k 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 第一章前言 可以看出，当y = x 时，l ( “) 即是通常的l o r e n z 曲线，与l o r e n z 曲线不同的是q r 函数可能并不在( 0 ，0 ) 和( 1 ，1 ) 线的下面大量的文 献研究过通常的l o r e n z 曲线，比如g a s t w i r t h 1 9 ，2 0 ，k a k w a n i 和p o d - d e r 2 1 ，2 2 ，b i s h o p ，c h a k r a b o r t i 和t h i s t l e 2 3 它们中的大多数都是关于 固定数目个l o r e n zo r d i n a t e s 的渐近分布 g o l d i e 2 4 通过建立经验l o r e n z 曲线和它的逆的弱收敛定理而发 现了一种新的研究方法 r 和z h a o 2 5 j 证明了经验l o r e n z 曲线的s t r a s s e n 重对数律 r a o 和z h a o 2 】建立了d o ，1 】空间中在s k o r o k h o dj l 拓扑下过程 序列 而( 慨一m ) 和狐( 厶一l )( 1 0 6 ) 的弱收敛定理弱收敛结果可以用来建立形如 、而n l n 2 i z li 哦一娥) ( u ) l c h i ( 1 删 的检验统计量的渐近分布其中麒：( u ) 和缓( “) 是分别从两个总体 中抽取的样本大小分别为n l 和n 2 的样本 我们在第二章中考虑加权累积分位回归函数 s ( ) = t ，( t ) m ( f 一1 ( t ) ) 出= j ( t ) 九( t ) d t ，0s u l 的经验形式 i n 川 ( u ) = n 叫j ( i n ) y t ：川，0s “s 1 ， 扛= 1 其中j ( ) 是某一光滑函数，与r a o 和z h a o 2 】相类似地，建立了& 的 强相合性及过程序列、，丽( 岛一s ) 在d 0 ，1 】空间的s k o r o k h o d 以拓扑 下的弱收敛，m 0 ，1 】空间表示【0 ，1 】区间上所有右连续左极限存在的函 数所组成的函数空间证明d 0 ，1 】中的弱收敛定理时，紧性往往不易 验证，而我们借助s k o r o k h o d 表示定理和r a o 和z h a o 2 中的已知结果 巧妙地规避了这一问题 正如b a t t a c h a r y a 4 中所说，样本t 分位数矗，收敛到f - 1 ( t ) 的 性质表明，对0 f p ) ，( 2 1 1 ) 易知，- 1 右连续 我们定义y 对x 的分位回归函数为 九( u ) = m ( f _ 1 ( “) ) ，0 u 1 ( 2 1 2 ) 假定( x i ，k ) 0 = 1 ，2 ，n ) 是( x ，y ) 的一个独立同分布的样本 x 变量的第t 个次序统计量记作x n ，与之相伴的y 变量值，称之为 第i 个相伴次序统计量，记作：。1 _ 大量的文献研究过相伴次序统计 量的线性组合的收敛性质 y a n g 1 】考虑了形如& = n - 1 冬1 ，( i m + 1 ) ) 咖】的统计量，其中 j 是一有界光滑函数，而且在很弱的条件下建立了它的渐近正态性 b h a t t a c h a r y a 3 1 ，3 2 】建立了部分和过程碌：。1 一m ( 丑：n ) 的弱收敛结 果 记r 和f n ( 都定为左连续形式) 分别为( x ，y ) 和x 的经验分布 函数r a 0 和z h a o 2 考虑了累积分位回归函数 m ( u ) = z “m ( f - 1 ( 纠出= z ”九( 出，o u l ， ( 2 1 3 ) 和它们的经验形式 h u 】 ( ) = n 一1 碌：。】，0 u l ， ( 2 1 4 ) 他们建立了相应的收敛定理 本章中，我们研究统计量 【n u l 晶( u ) = n 一1 j ( i n ) y i ：。 ，0 u 1 ， ( 2 - 1 5 ) i = 1 8 2 0 0 2 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文第9 页 第二幸加权经验累积分位回归函数的弱收敛定理 5 2 2 一致强相合性 和加权累积分位回归函数 ，“r u s ( “) = j ( t ) m ( f 一1 ( t ) ) a t = j ( t ) h ( t ) d t ，0 u l ，( 2 1 6 ) ，0，n 、 其中j ( ) 是一光滑函数我们建立了在一致距离p 下的强相合性和 d o ，l j 空间中过程序列v 何( 晶一印在第三节的s k o r o k h o d 拓扑下的 弱收敛，其中d 0 ，1 表示【0 1 】区间上所有右连续且左极限存在的函数 组成的函数空间 2 2 一致强相合性 本节中，我们建立品在d 0 ，1 】的一致距离p 下的强相合性我 们所采用的方法的方法基本与r a oa n dz h a o 2 】中相同 我们需要下面的引理： 引理2 2 1 假定厶和，是定义在闭区间【a ，6 】上的实值非减函数，且 ，在 o ，明上连续，其中一o o 口 b s 。设t c 【n ，6 在【a ，6 中稠密 且包含口和b 若对所有的t t 有靠( t ) _ ( t ) ，则，n 在 a ，6 】上一 致收敛于， 证明非常简单，因而删去它也可以看作c h u n g 3 3 】，p 1 3 3 的一个 特例 定理2 2 1 假定x 有连续边缘分布函数f ，且j ( x ) 是 0 ，1 】区间 上的连续函数，则当n 叶o o 时，有p ( 岛，s ) 号0 证明：不失一般性，不妨假定y 0 ，j 0 记 g ( 。) 2 j ( 。：) 0j ( f ( 。) ) f 护( 剐) 2 _ 。j ( f ( 。) ) ”( 。) f ( 8 。) ，( 2 驯 ，o 。，z 删= 厶。) z 0 。崛+ ：) d p n 珐 ( 2 2 2 ) 岛( u ) = g 。( 巧1 ( ) ) ，s ( u ) = a ( f 。1 ( “) ) ，( 2 2 3 ) 我们有 s u pl 岛( u ) 一s ( “) l s u pi g 。( 巧1 ( u ) ) 一a ( f 9 1 ( ) ) i 翟0 2 耋57， 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 0 页 兰耋! 二竺窒竺竺! 兰望兰竺! ! ! ：皇兰竺丝些竺垒兰 ! 兰! 三苎i 塑全垂 + s u 。p g ( f i l ( u ) ) 一g ( f 一1 ( t ) ) i s ：9l 丘。o 。f t ，( e ，( z ) + ：) 一j ( f ( z ) ) 】9 d r ( 孔y ) f + s u 。pi 厶哪) z 0 。咿( 瑚蜗沪厶。，z 0 。咿肼m 川 ( i ) 由t h 。g l i v 8 n k 0 - c a n t e u i 定理，s u t p i f , , ( t ) 一f ( t ) l - 0 ，a s 叉由 强大数律， r o o 1 0 0n - 。j o y d p n ( z ，9 ) = 礼。1 叶e y u ，以概率1 的对充分大的m 有 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 1 页 第二章加权经验累积分位回归函数的弱收敛定理23d 0 ，1 】中的弱收敛 r ( t ) u 和 f z l ( u ) 类似地，对任一t f _ 1 ( u ) ，f ( t ) ，以概率 1 的对充分大的n ，有f 。( t ) u 和t 巧1 ( “) 因而f 一1 ( 让) sl i r a i n f n 一。f z l ( u ) sl i r a s u p 。_ 。j 育1 ( u ) sf 一1 ( u ) ， a s 且f 1 ( u ) - f _ 1 ( “) a s 再由g 的连续性知， g ( j i l ( u ) ) _ a ( f - 1 ( “) ) o _ s ( 2 25 ) 上述“的全体组成 0 ，1 的一稠密子集即存在【0 ，1 区间的一个可数 稠密子集t ，t 包含0 和1 且使( 2 2 5 ) 式对所有“t 成立由引理 2 2 1 和g 的连续性得， s u pl g ( 巧1 ( u ) ) 一g ( f _ 1 ( u ) ) l _ + 0 ，o s u 综合( i ) ( i i ) ( i i i ) ，得证 2 3d 0 ，1 】中的弱收敛 本节中，我们建立d 0 ，1 中佤( 品一s ) 在度量d 的s k o r o k h o d 拓扑下的弱收敛我们用记号” ”来表示弱收敛 记 【n u r u ( u ) = n 。1 ，m ( “) 2 上“( 姚 y 睁) = e ( ( y m ( x ) ) 2 i x = 。) ， ( ，”) = 上 v ( f - 1 ( ) ) 出 我们有下面r a o z h a o 2 中的结果： 引理2 3 1 设下述条件成立： 阻j e ( y 2 ) o 。 佃jf 是连续分布函数，且h 在开区间( 0 ，1 ) 上连续 r ah 在 0 ，1 】上有界 则 面( 螈一m ) 骘妒o c o ，1 ， 其中 r u 妒。( u ) = 。l ( u ) 一卢( u ) h ( “) + 0 “( 。) d z ( 。) 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第二章加权经验累积分位回归函数的弱收敛定理5 2 3d 0 ，1 中的弱收敛 n 1 是【0 ，1 上均值为零，协方差函数为j l ( u ，”) 的高斯过程，卢是与 n 1 独立的一个布朗桥 注记： 设( ) 和( ) 是两个独立的标准布朗运动可以记为伊( t ) = w ( t ) 一t w ( 1 ) ，0 t 1 ) 既然，h 2 ( t ) d t = e y 2 ，如k a r a t z a s 和 s h r e v e 3 4 中所示随机积分厝h ( t ) d w ( t ) ，0 u l 有定义，且为一连续 平方可记积鞅 因而疗 ( ) 妒( t ) = 君h ( t ) d w ( t ) 一( 1 ) 臂h ( t ) d t ，0 “s 1 相类似地， a 1 ( ) 也可定义为o t l ( u ) = 君v ( f - 1 ( t ) ) d 啊( t ) ，0 u 1 ，同样地，它 也为一连续平方可积鞅 在下文，带有u 记号的概念应理解为一致拓扑意义下，一致拓扑 由一致度量 p ( z ，y ) = s u pl z ( t ) 一( t ) | t 所产生相对应地，带有s 记号的概念应理解为d 的s k o r o k h o d 拓扑 意义下 由引理2 3 1 ， 元( 瞄。一m ) s - 收敛于妒o ，而妒o c ，由b i l l i n g s l e y 3 5 】 中1 4 节可知，该序列同样u 一收敛于妒o 下为本章中主要结果： 定理2 3 1 若条件似，一r q 成立且j 是有界变差的连续函数，则 而( 岛一s ) 磐妒c o ，1 ， 其中 妒( u ) 。j o j ( 。) 嘶。( 。) u 注意到 跏) ： 裂j ( 瓤圹f o n u l a jn-1蚓t ) ( u ) 2 j ( i 陬n 】= ( ) 8 ( 2 ：，( 警脚圹加蝴愀) ， ( 2 3 1 ) 我们需要下面的s k o r o k h o d 表示定理 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第二章加权经验累积分位回归函数的弱收敛定理23d o ，1 】中的弱收敛 引理2 3 2 ( s k o r o k h o d ；d u d l e y ；w i c h u r a ) 若 当n 斗o 。时，蜀( m 磐，6 且m 有一个m 早可测的子集地，尬是6 可分的伸m s 有一个在 中6 稠密的可数子集) ，满足p 0 ( m j ) = l ，则 存在一个概率空间( n + ，p + ) 和一列从n + 到m 的州尹4 + 可测的变 换隅，礼o ) ，它们在( m ，m 尹) 上导出的概率测度是rf 即与强 是等价过程) ，且满足6 ( 霹，弱)a a 等于一随机变量，而当n - o 。 时，有6 ( j 罐，x ；) 号0 参见s h o r a c k 和w e l l n e r ( 3 6 ，p 4 7 ) 中定理4 设妒。= 、瓦( 。一m ) ，a o 表示d 0 ，1 】中矿一b o r e l 可测集的全 体对一致距离的d 0 ，1 】用上面的引理，得 命题2 3 1 存在一概率空间( 甜，a 4 ，p + ) 和一列从甜到d 0 ，1 】的o a + 可测变换 蛲，n 叫，和蝣是等价过程，满足p ( 惦，媚) o s 等 于一随机变量，且当n _ + 。时，有 s u p1 1 l f i ：( u ) 一妒；( u ) i 譬0 0 s n 曼1 现在我们可以证明定理2 3 1 足呈2 3 l 明让明 由命题2 3 1 ， 狐，( 掣慨( 旷脚) ) - o 吣“v n ( m n ( 垆聊胂嘲。s 吲 卸( 掣m ( u ) _ o h 川加俐删，。“ l 而 s u p 警) ( “) 一o h q 加惦( 幻d ，( 力一j ( u ) 媚( u ) 一z “弼( d l ，( 驯 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 4 页 第二章加权经验累积分位回归函数的弱收敛定理 5 23d o ，1 】中的弱收敛 s u p i 妒r , ( o 一舭) 懈上坝。) l + c 28 u t p l j ( 。) i ) r r l + o ( 1 ) ( s u pi 妒；( t ) 1 + s u p l 妒；( t ) i i d j ( t ) i ) - 0 ，o - s ttj 0 其中c 1 ，c 2 是正常数 同样由命题2 3 1 州喇洳) 一z “矧删邢) ，o “1 ) 皇 r t ，( u ) 咖( “) 一上螂) 姒o “1 卜 由上即知 ( 何【j ( 掣) ( ( u ) 一m ( u ) ) 一z ”( 一m ) d j ，o u 1 ) r1，删 骘 m ) 似u ) 一：”州j o u 1 ) c o ，1 1 注意到 s u p1 4 - 磊 m ( 啪( 掣) - o m 叫加聊腓) 一加州删l 2 s u 。朋i 训俩u 。p 珈i 删蜒2 n 。胆s u p i s u 。p l 删训， 我们有 铜t ( 掣) 沁) 一o 掣嘛d j z “j ( t ) d m ( t ) 】 。u s l ) 骘m ) 怕( u ) 一z “咖圳u 1 ) c o ，1 】 ( 2 3 2 ) 因为j 是有界变差函数，而咖对每一路径连续，对每一路径，积分 ，咖( t ) d j ( t ) 是通常的r i e m a n n - s t i e t j e s 积分由( 2 3 1 ) ，( 2 3 - 2 ) 和分部 积分公式，即得 面( ( 。) 一s ( u ) ) ，0 u 1 ) 掣 妒( u ) = 口l ，( t ) 却。( t ) ，0 “1 ) c o ，1 1 ，证毕 第三章相伴次序统计量线性组合的随机加权方法 随机加权方法是用来估计随机变量的抽样分布的一种方法它的 再抽样方案是通过给每一个观察值分配一个随机权值随机加权可以 看作是一种光滑化的b o o t s t r a p ( 刍助) 方法相应的，b o o t s t r a p 方法 ( e f r o n 3 7 ) 也可看成为随机权值为标准化了的多项分布权值的随机加 权方法b i c k e l 和f r e e d m a n 2 7 ，t u 2 6 都曾考虑用b o o t s t r a p 方法来估 计次序统计量的线性组合( l 统计量) 的分布t u 2 8 考虑用随机加权 方法来估计l 统计量的分布本章中，我们将采用随机加权方法来估 计相伴次序统计量的线性组合( 相伴l 统计量) 的分布 设( 置，k ) ( 待1 ，2 ，n ) 为( x ，y ) 的独立同分布样本x 变量的 第i 个次序统计量记作置：。，与之相伴的y 变量值，称之为第i 个相伴次 序统计量，记作m 。 * r a n g 1 研究了形如岛= n - 1 是1j ( t + 1 ) ) 碌：。1 的统计量，其中l ，是有界光滑函数，并在很弱的条件下建立了它的渐 近正态性文中所用的是s t i g l e r 2 9 的v a r i a n c ec o m p a r i s o nm e t h o d ( 方差 比较方法) 记f ( x ，y ) 和r ( 。，g ) ( 都定为右连续形式) 分别为( x ，l ，) 的联合分 布函数和( 置，y d ，i = 1 2 ，n 的经验分布函数 n f n ( z ，g ) = n 。1 j ，k g ) l = 1 对任意二元分布函数g ( x ，) ，我们定义g l ( x ) = ，a ( x ，d y ) 容易验 证r 1 ( 。) = r ( 。，d y ) = _ 1 n 佰1 ( 噩$ ) 所以& 的一个类似形 式是，j ：y j ( f 。l ( x ) ) d f n ，注意到它是f n 的一个泛函，记作t ( f a ) 因而元( 岛一s ) 的一个相似形式是v 佤口( r ) 一t ( f ) ) 让u ：( u 。，u 。，u 。) 为与( 掣”独立的一个随机加权向量， 设f 2 ( z , y ) ：叁l 叫，( 五。，k y ) 则我们可以用给定( 艰 h | = ( 咒，m ) ，i = 1 ，2 ，n 下，、，伍( t ( 蟛) 一t ( r ) ) 的条件分布来估计、，伍( t ( r ) 一 t ( f ) ) 的分布条件分布的实际计算可以通过重复地从u 的分布中抽 取权样来完成u 的分布可以为某一权值分布，比如，d i r i ( 1 ，1 ，1 ) 分布( r u b i n 3 8 d 1 5 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章相伴次序统计量线性组合的随机加权方法5 3 2 厢口( r ) 一t ( f ) ) 的渐近正态性 第二节中，我们利用g s t e a u x 导数方法来建立、，佰口( r ) 一t ( f ) ) 的渐近正态性g s t e a u x 导数相当于多元微积分中的方向导数虽然 我们需要更光滑的权函数，但我们只假定e ( i y l ) 有限，从而y 对x 的回归函数m ( x ) = e ( y i x = z ) 存在，而不再需要其为右连续的有界 变差函数( y a n g 1 ) 第三节中，我们将建立给定( z m “卞y e n ( t ( r ) 一t ( f n ) ) 的条 件分布的渐近正态性，从而证明了随机加权估计量的相合性我们的 结果对一类广义的随机权值成立( s h a o 和t h 3 0 ) ，而该类权值包括了 d i r i ( 1 ，l ，1 ) 权值和标准化了的多元分布权值这便说明估计方法 对e f r o n 和r u b i n 的b o o t s t r a p 都适用 3 2 元口( f n ) 一丁( f ) ) 的渐近正态性 本节中，我们将证明、，伍口( f n ) 一t ( f ) ) 的渐近正态性 假定g 1 ( z ，) ，g 2 ( x ，) 均为二元分布函数，注意到t 的g s t e a u x 导数 为 t ( g 2 ) ( g 1 一c 2 ) = 差t ( g 2 + ( g l g 2 ) ) j e = o = 1 。_ 可j (扛) + e ()一g21limj 。- g 2 1g l l( 。) ) ) d 【g 2 + ( g 1 一g 2 ) 】 = 。上。_ 。j ( ( 。) + 6 ( ( 。) 一 ( 。) ) ) 4 【g 2 + 5 ( g 1 一g 2 ) 】 一 y j ( g 2 1 ( x ) ) d g 2 + e ( g 1 一g 2 ) + y j ( c 2 1 ( x ) ) d g 2 + ( g 1 一g 2 ) 】 一| g j t g 2 l ( x ) ) d g 2 1 f 0 0r 0 0 = t ，( g 2 1 ( z ) ) ( g 1 1 ( z ) 一g 2 1 ( x ) ) d g 2 + y j ( g 2 1 ( x ) ) d ( g 1 一g 2 ) 定义r ( g 1 ，g 2 ) = t ( g 1 ) 一t ( g 2 ) 一 仁仁c g 2 i c 瑚( ( 班锄( 圳蚴一仁仁洲吲圳d f 6 慨1 i 。g ，2 ，) 2 0 0 2 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 7 页 第三章相伴次序统计量线性组合的随机加权方法5 3 2 历( r ( f n ) 一t ( f ) ) 的渐近正态性 对任意分布函数奶( z ) ，凰( z ) ，记 珈，= 絮镁。1 剐砒髁勰。) 我们有下面的命题 命题3 2 1 设权函数，( ) 是【0 ，1 】区间上有二阶导数的权函数，分布 函数列h 1 。0 ) ，f 如。扛) 满足当n - c 3 时，1 1 日l 。一日2 。| | o 。弩0 ， 则当n _ o 。时， | 矸名。h 2 f 譬+ 0 ， 证明：利用的一致