（概率论与数理统计专业论文）风险理论中若干问题研究.pdf

摘要 本文主要研究利率具有一阶自回归结构的两个离散时间风险模型、常利 率双复合p o i s s o n 风险模型和常利率下带干扰双复合p o i s s o n 风险模型的破产问 题，分以下三个部分： 第一章，c a i ( 2 0 0 2 ) 在利率具有一阶自回归结构的假定下，获得两个离散 时间风险模型破产概率的积分方程。本章中，基于c a i ( 2 0 0 2 ) 中的具有一阶自 回归结构的随机利率风险模型，我们借助于惩罚函数将破产概率、破产前的 盈余分布、破产时刻的拉普拉斯变换等众多的破产量作统一处理，并获得得 到惩罚函数的递推公式，从而推广了c a i ( 2 0 0 2 ) 的结果。另外，本章还对用于 描述破产严重性的破产持续时间的概率性质进行了研究，给出了相应的递推 方程。 第二章中，基于f a n g 和l u o ( 2 0 0 6 ) 中的双复合p o i s s o n 风险模型，我们建立 常利力下双复合p o i s s o n 风险模型，并获得其有限时生存概率的偏微分积分方 程和无限时生存概率的积分微分方程。而当索赔和保费都服从指数分布时， 得到无限时生存概率的微分方程，从而推广了f a n g 和l u o ( 2 0 0 6 ) 的结果。 第三章中，在第二章的基础上，我们考虑常利力下带干扰的双复 合p o i s s o n 风险模型，通过两种不同方法获得了无限时生存概率的积分微 分方程和有限时生存概率的偏微分积分方程，而当索赔和保费都服从指数分 布时，给出无限时生存概率的微分方程。 关键词利率，利力，惩罚函数，破产持续时，双复合p o i s s o n 风险过程，布朗运 动，生存概率，积分微分方程 a b s t r a c t t h i s p a p e r m a i n l y d i s c u s s e sr u i n p r o b l e m s i n t h e t w o d i s c r e t e t i m er i s k m o d e l s u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tr a t e so fi n t e r e s th a v ea l la u t o r e g r c s s i v es e u c t a r eo fo r d e r 1 t h ec o m p o u n dd o u b l ep o i s s o nr i s km o d e lu n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c ea n dt h e p e r t u r b e dc o m p o u n dd o u b l ep o i s s o nr i s km o d e lu n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ，w h i c h a r ed i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s i nc h a p t e rl ，c a i ( 2 0 0 2 ) o b t a i n si n t e g r oe q u a t i o n so fr u i np r o b a b i l i t i e sf o rt h e t w od i s c r e t et i m er i s km o d e l su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h er a t e so f i n t e r e s th a v ea l l a u t o r c g r c s s i v es t r u c t u r eo fo r d e r1 i nt h i sc h a p t e r , f o rt h em o d e lo fc a i ( 2 0 0 2 ) w e o b t a i nt h er c c u r s i v ef o r m u l a so f p e n a l t yf u n c t i o nw h i c hg i v e 柏u n i f i e dt r e a t m e n tf o r a l lk i n d so fr u i nq u a n t i t i e ss u c ha sr u i np r o b a b i l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no fs u r p l u si r a - m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h el a p l a c et r a n s f o r mo fr u i nt i m ea n de r e ，w h i c he x t e n dt h e r e s u l t so f c a i ( 2 0 0 2 ) f u r t h e r m o r e ，w ec o n s i d e rt h ep r o b a b i l i t yp r o p e r t i e so f t h ed u r a - f i o no f r u i n , w h i c ha r eu s e dt od e s c r i b et h es e v e r i t yo f r u i na n dg i v et h ec o r r e s p o n d i n g r e c a r s i v ee q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，b a s i n g0 1 1t h ed o u b l ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lo f t h ef a n g a n d l u o ( 2 0 0 6 ) ，w ee s t a b l i s h t h e d o u b l e c o m p o u n d p o i s s o n r i s k m o d e l u n d e r c o n s t a n t i n t e r e s tf o r c ea n do b t a i nt h ep a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no f f i n i t et i m es u r v i v a l p r o b a b i l i t ya n dt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fi n f i n i t et i m es u r v i v a lp r o b a b i l i t y a n dw h e nt h ep r e m i u m sa n dc l a i ms i z e sa r ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d , s o m ed i f f e r e n - t i a le q u a t i o n sa r ed e r i v e df o ri n f i n i t et i m es u r v i v a lp r o b a b i l i t y t h e s er e s u i t se x t e n d t h o s eo f f a n ga n dl u o ( 2 0 0 6 ) i n c h a p t e r 3 ，b a s i n g o n c h a p t e r 2 ，w e c o n s i d e r t h e p e r t u r b e d c o m p o u n d p o i s s o n r i s km o d e lu n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ，a n do b t a i ni n t e g r o m i f f e r e m i a le q u a t i o no f i n f i n i t et i m es u r v i v a lp r o b a b i l i t yb yt w od i f f e r e n tw a y sa n d p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r c n t i a l e q u a t i o no f f i n i t et i m es u r v i v a lp r o b a b i l i t y w h e nt h ep r e m i u m sa n dc l a i ms i z e sa r c e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d ，w eg i v es o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o ri n f i n i t et i m es u r v i v a l p r o b a b i l i t y k e y w o r d s r a t eo fi n t e r e s t ，i n t e r e s tf o r c e ，p e n a l t yf u n c t i o n ，d u r a t i o no f r u i n ，d o u b l ec o m p o u n dp o i s s o nr i s kp r o c e s s ，b r o w nm o t i o n , s u r v i v a lp r o b a b i l i t y , a b s t n t e t i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名 日期： 刖西 在人类社会发展历史上，人们无时无刻不在和不同的风险、不确定 性现象以及它们所带来的后果进行长时间的斗争。保险方法也就随之孕 育而生了，最终人类发明了保险这一转移风险的有效手段。保险风险理 论产生于保险公司对承担项目的可行性研究，它的发展已经有了近百年 的历史，主要研究来自于保险商业的各种随机模型。在二十世纪，h a r a l d c r a m e r 和f i l i pl u n d b e r g 建立了风险理论研究与一般的随机过程之间的关系， 把风险理论的研究提高到了一个新的高度。众所周知，h a r a l dc r a m 盯和f i u p l u n d b e r g 建立的经典的风险理论模型为后人的研究奠定了坚实的基础。风 险理论是作为经营者或决策者对风险进行定量分析与预测的一般理论， 现在已经被广泛应用与投资与保险等行业，它主要研究的对象是风险过 程，对风险过程的研究是多方面的，其中对生存概率的研究形成了生存 理论。生存理论是研究风险经营者经营状况的理论和方法，主要用于风险 经营过程的稳定性分析，预测经营者在有限时间内和最终生存的可能性大 小，对经营决策起指导作用。在进行风险决策前，对将来要进行的风险经 营过程进行稳定性分析，有着极其重要的现实意义和理论意义。特别是在 保险和投资行业，其现实意义更为显著。通过对生存概率的预测和分析， 可以帮助投资者是否决定对一个项目进行投资；通过对某一险种的稳定性 分析，可以决定是否开发这种险种，同时对这种保险的保费厘定起到指导 作用，可以通过调节保费来减小经营的风险。关于风险模型中破产概率的 研究，可以根据不同的风险模型，再结合保险公司遇到的种种问题，通过 对生存概率和模型的修正，附加各种条件，使得出的模型更加符合保险公 司的实际运作。所以，生存概率的研究一直成为数学工作者研究的热点问 题。关于与生存概率对应的破产概率的研究和发展现状的综合性文献主要 有g e r b e r ( 1 9 7 9 ) ，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 。c r 黜* l d b e r g 经典风险模型是破产理论研 究的中心，例如：b e e k m a n ( 1 9 6 9 ) 给出了著名的b e e k m a n 卷积公式，这是作为 破产概率估计的基础；f e l l e r ( 1 9 7 1 ) 证明了生存概率( s u r v i v a l p r o b a b i l i t y ) 满足的 亏损更新方程( d e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o n ) 。本文主要对相依利率下离散时间风 险模型和常利率下双复合泊松风险模型的的破产问题进行了研究。 令 第1 章相依利率风险模型的破产问题 1 1 引言 为一随机过程，其中 ，礼= l ，2 ， 和 碥，礼= l ，2 ，) 为两独立同分布序 列，且u o = 缸0 等价地 = 巩一1 + 一k ，n = 1 ，2 ，( 1 1 2 ) f r o = 仳0 k ) 为第t , 时间段内索赔的总额，即从第n 一1 h i j 刻到第n 时刻； 为 第n 个时间段内所收的保费总量。在现代风险理论中，常考虑利息对盈余过 程的影响，y a n g ( 1 9 9 8 ) 借助鞅方法研究过带利息的风险模型，并获得了破产 概率的指数型上界。 c a i ( 2 0 0 2 ) 研究了以下在利息及其支付时间影响下的两个风险模型的破产 概率问题，给出了破产概率的积分方程。 以及 k = ( 巩。一1 + 蜀) ( 1 + 厶) 一1 乞( 1 1 1 - 3 ) 碥= 玩一1 ( 1 + 厶) + 一碥( 1 1 4 ) 其中 厶，他= 1 ，2 ，) 具有1 阶自回归结构，i l p i , 。满足 厶= q 厶一1 + ，”= 1 ，2 ，( 1 1 5 ) 其中0 a 1 ，i o = o o 都为常数，且 ，n = 1 ，2 ，) 是一独立同 2 21 上 = n 圪 一 。 +u = 分布随机变量序列，另 k ，礼= l ，2 ， ，n = l ，2 ，) 以及 ，仃= 1 ，2 ，) 是相互独立的，且各自有相同的分布分别为g ( ) = p r y 1 计， f ( z ) = 尸“x l z ) ，日( t ，) = p r 1 1 6 时，兀( 1 + 五) = 1 。 n i g t 为风险模型( 1 1 6 ) 和( l 1 ，7 ) 第一次达到零的时刻，即 ? 垒t ( 乱，i o ) = i n f n ： 0 1( 1 1 8 ) 在破产理论中，除了破产概率还有其它一些重要的破产量，譬如，破产 时刻的拉普拉斯变换e ( e 一叮) ，破产前的盈余吩一；破产时的财政赤子量f u l ； 导致破产的索赔量吩一+ i 踢1 | 等等。研究这些破产量的统一方法就是考虑惩 罚函数( 参看g e i b c ra n ds h i u ( 1 9 9 7 ) ，c a ia n dd i c k s o n ( 2 0 0 2 ) 以及c a i ( 2 0 0 4 ) ) 圣箩( “，i o ) = e l q ( u r - ，l u ：, - 1 ) e 一口t i ( t 。o ) i u o = “，如：i o ，j ：1 ，2 ( 1 1 9 ) 其r a g ( = ，) ，z o ，y o ，为垂占( 钍，i o ) 0 = l ，2 ) 存在的非负函数；卢 o ，z ( c ) 是集合g 上的示性函数：垂( 钍，i o ) 表示初始资本为u ，初始利率为幻的 风险模型( 1 1 6 ) 的惩罚函数；量( 让，i o ) 表示初始资本为t ，初始利率为i o 的风险 模型( 1 1 7 ) 的惩罚函数。 如不发生混淆的话以圣口( “，i o ) 表示圣垆( u ，i o ) ，j = 1 ，2 。郇( 乱，i o ) o 。的 充分条件为g 是有界函数，当9 为适当的函数时，圣口( ，i o ) 将产生为不同的 破产量，例如： ( a ) 当g = 1 且卢= 0 ，则( t ，i o ) = p f t 0 ，则圣口( u ，如) = 纠e f f r i ( t 0 时，e - f i t = e - f f r i ( t o 。) + e - f r x ( t = 。1 ； ( c ) 当9 0 l ，z 2 ) = i ( x 2 z ) 且卢= 0 ，则垂口( t ，如) = e i u r f z 为破产时 财政赤字量的分布函数； ( d ) 当9 ( z l ，x 2 ) = i ( x l + x 2 z ) 且p = 0 ，则圣口( u ，i 0 ) = p u r 一十u t f 。) 为破产前盈 余超过z 的概率。 在本章中，在利息过程 厶，站= 1 ，2 ， 具有1 阶自回归结构的假定下，我 们利用惩罚函数对模型( 1 1 6 ) 和模型( 1 1 7 ) 的上述常见的破产量进行统一研 究，从而推广c a i ( 2 0 0 2 ) o p 的结果。 另外，破产持续时间是反映破产严重性的破产量。小概率破产事件和套 剥是公司诸多事件中的一份子，公司用足够的钱维持负盈余寄希望在不久的 将来再次出现套利。若在不久的将来能再次出现正盈余，这可被看为一项投 资，现在的问题是；套利能不能很快恢复? 这样投资有没有价值? 相应地， 在本章中，研究了破产持续时间的概率性质。 为此，定义 r ( 钍，i o ) = i n f 几：几 t ( 札，i o ) ，u 。 o ) ( 1 1 1 0 ) r ( 让，i o ) 为风险过程在破产后首次恢复到0 的时刻，因此，破产时间持续 量于( 让，i o ) 为： t ( u , i o ) = 7 硒i ，t 。曲 t t ( ( u 仳, ，i t o 。) ) ： o 。o ； ( 1 1 1 1 ) 记 妒g ，i o ) = ap 于，t o ) = 惫 ，j = 1 ，2 ( 1 1 1 2 ) 其中舻( 硒) ，j = 1 ，2 分别表示模型( 1 1 6 ) 和( 1 1 。7 ) 的破产持续时间为奄的概 率。 本章的安排如下：本章第二节中，获得惩罚函数的递推公式；第三节 第1 章相依利率风硷模型的破产阅题 中，求得破产持续时间发生概率的递推公式；第四节中，举例阐述积分方程 的应用，包括破产财政赤字量和破产前盈余量的分布，以及从惩罚函数得到 一些常见的破产量。 1 2 惩罚函数的积分方程 在一节，首先获得模型( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 的惩罚函数的递推公式。 根据( 1 1 9 ) ，对于j = 1 ，2 ，有 圣箩( t ，i o ) = e q ( u t 一，p u t i ) e 一# t i ( t o o ) 1 砜= u ，o = t o 】 o o = e l q ( u t 一，i u t i ) e 一# t i ( t = n ) 】 = e 眵( _ 1 i u , ，1 ) e 一肋j ( n ( 阢o ，巩 o ) ) 】 f ；= i = i o o = a 咖锻( 钍，i o ) ( 1 2 1 ) 下面首先求得模型( 1 1 6 ) 的惩罚函数西口( “，t o ) 的积分递推方程。 定理1 2 1 垂譬( 札，i o ) 满足方程： 蝽( n = 档池+ e 一4 z ”o 。o “托1 + ”螃( 蟊菇) 报国) d f ( x ) d h ( 蚍 ( 1 2 2 ) 其中，i o = h ：a t o + 叫，面= + z ) ( 1 + h ) 一y ， 鹾i ( 硒) = e 一9 o ”z ”酬。删) + 咖问i ) d v ( 们打( 。) 擅( 脚) 证明：由( 1 1 5 ) 式和( 1 1 6 ) 式，有 巩= ( + 墨) ( 1 + ) 一m = ( + x 1 ) ( 1 + a 如+ m ) 一m 令k = y ，x 1 = z 和= 加，i g h = o a o + w ，豇= ( 乱+ z ) ( 1 + h ) 一y 容易得到 蠼；( i o ) = e b ( 砺，i r - r x l ) e e 1 ( u o2o ，巩 o ) 】 = e l q ( “，i u ：1 ) e e i ( u 0 ，巩 ( 钍+ 茁) ( 1 + 口如+ 叫) = ( u + z ) ( 1 + ) 时， 尸 矾o l m = y ，x 1 = 。，眦= 埘 = 0 这说明，对于n 2 时 n l e 囟( 一1 ，i u i ) e 一所，( n ( 矾o ，巩 o ) ) i m = 可，x 1 = z ，i v ：= 如】= 0 l = i 假设 露，1 1 , = 1 ，2 ， ， 磊，n = 1 ，2 ，) 以及 藏，n = 1 ，2 ，) 与 ，礼= l ，2 ，) ， ，= 1 ，2 ，- 和 ，礼= l ，2 ， 对应独立同分 布的。令m = 叫，根据( 1 1 5 ) 式，知 k = 口”i o + o l m 一1 w ，1 + + 口1 w r m 一1 + w m = o t t o - - 1 ( a i o + ) + o g r e - - 2 + + q 1 w 矗一l + 仰，m = o l m 一1 h + o l m 一2 + + o t l w m l + w m( 1 2 3 ) 与乙一1 = o t t o - - 1 + 扩一2 丽+ + q 1 茚二一2 + - 矿r m l 有相同的分布，其中 云，绍= 1 ，2 ，) 和 厶，n = 1 ，2 ， 有相似的结构，即 云= a i 一1 + 矾，n = 1 ，2 ， 但有不同的初始利率为元= 磊= d i o + 加 一6 一 ( 1 。2 4 ) 努1 晕丰丑依列率j 趸硷梗犁的破产衄题 记 nnn 玩= 面( 1 + 五) + ( ( 2 k o + 五) 一瓯) ( 1 + 五) ) ，0 2 5 ) k = lk = lt = k + l 其中 巩，n = 1 ，2 ，) 与 巩，札= 1 ，2 ，) 类似的结构，但有一不同的初 始资本为豇= + z ) ( 1 + h ) 一可= + z ) ( 1 - i - o a o + 叫) 一y 和不同的利 率 厶，n = 1 ，2 ，) 因此，当0 s 秽s + ) ( 1 + 愚) 肘，有 p 巩o l y l = y ，x i = 。，w 1 = 叫) = 1 这隐含着，当0 y + 。) ( 1 + h ) 时，有 n - - i e g ( u n 一1 ，f u , j ) e 一鼽j ( n ( 阢o ，巩 0 ； ( c ) g ( x i ，2 9 2 ) = i ( x 2 z ) 且卢= 0 ； ( 由f f g ( x l ，2 ；2 ) = i ( x i + z 2 z ) 且卢= 0 ； 则圣譬( t ，o ) 垂乎( 札，i o ) 证明：根据( 1 2 2 ) 式和( 1 2 8 ) 式，容易求得譬( 钍，o ) 毋( u ，i o ) 注：c a i ( 2 0 0 2 ) 己给出了( a ) 。而且说明了付款方式对破产量是有影响的，直 观上，可看出此推论的结果是正确的，既然模型( 1 1 6 ) 比模型( 1 1 7 ) 所收保费 的时间要早。 1 3 破产持续时间 为了意识到破产的严重性，我们研究破产持续时间的概率性质。 一8 一 助 + (1 。 k一 。胁 +k+ 0 。脚 珏 = 篓! 兰翌 筌型耋墨氅篓型墼堡：塑璧 首先我们考虑模型( 1 1 5 ) 。 定理1 3 1 鳄( 札，i o ) 满足方程： 其中 妒( 札，o ) 垒p 磊，如= 惫) = 删( o ) q ( i o ) ， ( 1 3 1 ) m = l q i l ) ( 训：f 0 。f 。( 1 一g ( ( u + z ) ( 1 + h ) ) ) 担( $ ) 扭( 埘) j 0j 0 q 锄= o ”o 。z 扣删1 州螋水d g ( 可) d f 舾( 加) 耐譬( u ，= o ”z 。g ( ( “+ 州1 + + ) d f ( z ) d 日( 埘) 磁1 7 ( u 渤) = 0 ”0 ”z 扣托m 1 十砷碰( 豇，i 0 ) d g ( 们d f ( 郴日( 伽) 皤臻( ) = z 。( 0 。仁) ( 1 圳+ 叫2 _ l ( 玩菇) d g ( 们凹( z ) 删( 伽) 趟2 ( 让) = z 0 。z 。o 扣。抽唾型，。( 面，油船( 们d f ( 。) 扰 其中危= c d o + 叫，豇= ( 仳+ 茁) ( 1 + ) 一”；q 1 ( “) 为在时刻枷良产的概 率，碰2 ) 为当破产时刻为，破产持续时间为m 的概率。 证明：令m = ! ，x 1 = z ，啊= m ，i g h = a i o + w ，豇= ( 让+ 茁) ( 1 + h ) 一y o 一 易得到 妒 1 ( u ，i o ) = p 于( u ，i o ) = 1 = p r ( 札，i o ) = t ( u ，i o ) + 1 ) = 尸 7 _ ( u ，i o ) = 忌+ 1it ( u ，i o ) = k p t ( u ，i o ) = 七 k = l o o k 一1 = p n 慨o ) ，巩 o ，u k + l o p t ( u ，i o ) = 日 k = l - = - 1 = a 趟1 7 ( u ，i 。) q ：1 ( u ，i o ) k = l ( 1 3 2 ) 式中的q ( 乱，i o ) 可按如下方式计算 q i l ( 钍，i o ) = p u o 0 ，巩 o = z 0 。z ”州m ，圳卿删叫) ( 1 3 2 ) o 。，o o = ( 1 一g ( ( 札+ z ) ( 1 + h ) ) ) d f ( x ) d h ( w ) ( 1 3 3 ) j oj o 其中h = o 如+ w 对m ，丑，肌取条件期望，得 q 1 1 ( “，i o ) k - 1 = e ( p n ( u i o ) ，v k 0 1 m = 弘x 1 = z ，叭= ) t = l = ? o 。z ”+ 2 1 + 哪q o - 。( 豇，i 0 ) d g ( 可) d f ( z ) d 日( 叫) ( 1 3 4 ) 一1 0 一 吣 一 巩 “n ：l ，【 p 而且 以及 m o ) 、u ，i o ) = p 巩 0 ，o ) = e ( p u 1 0 ，如o i m = y ，x l = z ，肌= 伽) ) f o o f o o 2 上j o g ( ( u + z ) ( 1 + ) + ) d g ( ! ，) 卯( z ) 阳( ) ( 1 蜘 k - - 1 越? ( t ，t o ) = p n ( 阢之o ) ，巩 o ，u k + l o ) l = l = z ”z ”z 扣。蛾水，i 0 ) 删雌胭( ) 当于( u ) = 2 ，可以完全类似地计算得 谚( 札，硒) = p 元= 2 ) o o = m k ( 1 ) f ) ( 1 ( 牡，i 。) k = l 其中，趟2 ( u ，如) 可按如下方式计算 皤d u ，i o ) = p 巩 o ，巩 o ，u 3 o ) ( 1 3 6 ) = e ( 尸 仉 一 2+巩 0 巩 0 一 巩 n ：i r l p 脚 i i = o ”o 。忌m ) + l m ( 。1 ) l 瓣g 卿胆( 叭7 ) 以及 碰2 ( 钍) = 类似地 u k 0 ，u k + i 一 2+巩 0 一 以 n ，l pe = 第1 章相依利率风险模型的破产问题 其中 卯( u ，如) ：0 。”( 1 g ( “( 1 + ) + z ) ) d g ( g ) d f ( 茁) 扭( 伽) j oj o q ：2 ) ( u ，如) = o ”o ”z “1 + 的+ 2q 艘。嫡，站) d g ( 们d f ( 石) d 日( 加) 础= z 。z 。g ( 1 圳删+ ) d f 删叫) m ( 2 ”) r 札，1 0 ) = o ”o 。0z q l + 耐押碰笔“豇d g ( 们d f ( z ) d 日( 埘) 碰2 ( u ) = z 。z 。枇) + 叫2 - l ( 撕0 ) d g ( ! ，) d f ( z ) 姬( 伽) 垛= o 。z ”广砷托趟兰。，m 跏g d f 卿) 其中危= a i o w w ，面= ( ”+ z ) ( 1 + h ) 一暑，；q 孑( u ) 在时刻枷发产的概率，磁黧( “) 表示在时刻七破产，破产持续时间为m 的概率。 证明：在这种情况下， 类似于定理1 3 1 的证明可得定理1 3 2 。 1 4 应用 这一节中，举例阐述在第二节中获得的积分方程的应用，以下假设m ； 劭 +1 。斟 圪 瓦 “ 。柑 + k + q 。随 壮 = 第1 章相依利率风险模型的破产问题 ! ，x 1 = z ，1 p n = w ，并记h = a 如+ w 。 例1 4 1 当g ( x l ，x 2 ) = i ( x m z ) 且卢= o 时，则锄( 乱，i o ) = p ( i u t f z ) 表示初始 资本为牡，初始利率为i o ，在破产前盈余超过z 的概率此时可得 鳐j ( u ，= 。f e ，伊1 - g “ 托m m + 1 妒司棚( 伽h ：妻： 以及 蠼；( u = 。f o ，铲【1 _ g m + 哪怕h d f z ) d 日( 毗：妻： 例1 4 2 当g ( x l ，x 2 ) = i ( x l + z 2 z ) 且口= o 时，则圣口 ，i o ) = p u t 一+ i u t l z ，t 。o ) 表示导致破产的索赔总量的分布。f h ( 1 2 2 ) 式和( 1 2 8 ) 式，得 蠼；( 蚓= z 。z 。【g ( m ( 1 州枷) + ) - g ( ( ) ( 1 删) + ) 网棚( ”) 以及 端( u 山) = z 。o 。 g ( z + x + u h ) + ) _ g ( ( “刊( 1 删m 毗) d 日( 毗 倒1 4 3 当g ( x l ，x 2 ) = i ( x 2 o ，以及 n ( t ) ，t o 是相互 独立的： ( 6 ) 、z ( 沪芒 x ( o ，h ( t ) = 骂y ( t ) 都是复合p o i s s 过程； 记r = i n f ( t ：& 0 ) ，其中，约定i n f = o o ，即下表示模型( 2 1 1 ) 的 破产时刻；则其无限时破产概率定义为垂( u ) = p r r 。is b = 钍) = 1 6 一 第2 章常耐力卜双复合p o i s s o n 砜险过程的牟存概率 p r & 0 对某一t 08 0 = “) ；设皿( u ) 表示其无限时生存概率，因此 有( u ) = 1 圣( 钍) 。f a n g 并l l u o ( 2 0 0 6 ) 针对模型( 2 1 1 ) 获得了无限时破产概率 的积分微分方程和有限时的偏微分积分方程。 近年来。大量的文献讨论带利力的风险模型的破产问题，参a s m u s s e n ( 2 0 0 0 ) ，c a ia n dd i c k s o n ( 2 0 0 2 ) ，p a u l s c na n do j e s s i n g0 9 9 7 ) ，c a i ( 2 0 0 5 ) ，s u n d ta n d t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 等考虑常利力下复合p o i s s o n 风险模型的破产问题。本文考虑带 利力的双复合p o i s s o n 风险模型，即 托= ( t + te - 如d u s ) ，t 。，= t ，j 2 。( 2 1 3 ) 其中6 表示常利力且6 o 。 设t 表示风险模型( 2 1 3 ) 的破产时刻，t = i n f ( t ：五 0 ) 且约定i n f = o 。；c p ( u ) 表示初始资本为u 风险模型( 2 1 3 ) 的无限时破产概率，即妒( u ) = p r t o ox o = 乱 = 研 x t u + m t ) ，有妒m + h ( t ) 一y ) = 0 ，则 妒( 让) = ( 1 一o l t ) ( 1 一p t ) 妒m + 危0 ) 】+ a t ( 1 犀) 妒【札+ h ( t ) + x l d g ( x ) ，o 。 j 0 ，u + ( t ) + 席( 1 一。吐) 妒m + ( t ) 一y l d f ( y ) + d ( t ) j 0 等价地 第2 章常利力f 双复合p o i s s o n 风险过程的生有概率 ( n4 - 卢) t 妒阻+ ( t ) 】= 妒阻+ ( t ) 1 一妒( t 0 + a , t 1 ；f i 【u + h ( t ) + = ) d a c x o o ) ， j 0 + 犀z “+ m 妒 钍+ 危o ) 一y d f ( y ) + 。( 旬 ( 2 2 4 ) 因此在( 2 3 4 ) 式两边同时除以t ，并让t 一0 ，则有 ( a 4 - 狮) _ 妇( 掣) = 。z ”卿+ z ) d g ，u + 卢妒( 一y ) d f ( y ) j 0 等价地 ( 口删帅) 一嬲( 堂崔竽型) 砸 ，o o，u = a 妒+ x ) d a ( x ) + 卢妒( u y ) d f ( y ) j oj o 由此可得( 2 2 1 ) 。 因为妒( 让) 皿( u ) 和引理2 1 3 ，得讥( + o o ) = 1 ，很明显妒( 0 ) = 0 ； 在( 2 2 1 ) 式中，让缸l0 # t 最后一边界条件。 下面考虑保费和索赔都是指数这一特殊情形。 推论2 2 2 在定理2 2 1 的条件下，设g 的密度函数为：，( ) = a 1 e 以一，z 0 ，a 1 0 ，设f 的密度函数为：，( z ) = a 2 e 一1 ”，茁 0 ，a 2 0 。对于任何乱 0 ， n 妒( i t l 符合以下微分方程： ( p a l 一a a 2 一n 14 - 占a 2 一t 时a 1 a 2 ) 妒7 ( t 正) + 【2 5 一( a + 卢) 一u 5 ( a 1 一a 2 ) 】妒”( i t ) + u 5 妒”( i t ) = 0( 2 2 5 ) 銎：薹芏型盔：翌墨垒翌：暨墨墼鎏耋垫芝立堡兰 边界条件为 f 妒( + o o ) = 1 ， 妒( o ) = 0 ( 2 2 6 ) 【铲妒( x ) a 1 e - a z x d x = 0 证明： 当f 和g 都是指数分布时，( 2 2 1 ) 式可化为 ，o o n ( q - q