（概率论与数理统计专业论文）经济增长的随机模型及其动态分析.pdf

摘要 本文运用随机分析方法研究了随机环境中经济增长的若干问题。 本文分为两部分，第一部分主要讨论几个随机经济增长模型，第二部 分主要讨论经济增长的随机动态优化问题。 第二章讨论了随机环境中的索罗模型。对于齐次生产函数，随机 索罗模型如果有唯一解，那么它的唯一解不仅具有马尔可夫性质，而 且还是一个扩散过程，并且推导了解的稳态分布的形式。 第三章建立了经济增长的随机a k 模型，讨论了它的解得存在唯 一性与马尔可夫性，以及均衡解的渐近稳定性，得到了资本劳动比 率的平稳概率密度函数。 第四章将不确定性因素引进新经济增长理论中的罗罗模型之中， 推出随机模型，讨论了其解的性质，并进行了数值模拟。 第五章讨论了随机拉姆塞问题，得到了不确定性下的最优储蓄方 针函数，以及毕斯姆特最优增长，最后建立了制度内生的随机经济增 长模型，并且进行了动态分析，得到了最优资本存量的显示路径与稳 态分布密度。 关键词：经济增长随机模型动态分析 a b s t r a c t t h i sp a p e rr e s e a r c h se c o n o m i cg r o w t hp r o b l e m si nr a n d o me n v i r o n m e n tb yt h e s t o c h a s t i ca n a l y s i sm e t h o d t h ep a p e rc o n s i s t so ft w op a r t sm a i r d y , t h ef i r s tp a r t d i s c u s s e ss t o c h a s t i cm o d e l so fe c o n o m i cg r o w t h ，t h es e c o n dp a r ta n a l y z e ss t o c h a s t i c d y n a m i co p t i m a lp r o b l e m s c h a p t e r2r e s e a r c hs o l o wm o d e li ne c o n o m yw h i c hh a v er a n d o md i s t u r b a n c e f o rt h eh o m o g e n e o u sp r o d u c t i o nf u n c t i o n , i ft h es t o c h a s t i cs o l o wm o d e le x i s t s u n i q u es o l u t i o n , t h e nt h es o l u t i o nh a v em a r k o vp r o p e r t i e s ，a n di t i sd i f f u s i o n p r o c e s s e s ，a n dt h es e c t i o no b t a i n st h es t a b l ed i s t r i b u t i o no f t h es o l u t i o n c h a p t e r3e s t a b l i s h e ss t o c h a s t i ce c o n o m i cg r o w t ha km o d e l ，a n da n a l y z e st h e u n i q u ee x i s t e n c ea sw e l la st h em a r k o vp r o p e r t yo ft h em o d e ls o l u t i o n , a n da n a l y z e s t h ea s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo ft h em o d e le q u i l i b r i u ms o l u t i o n ，a n da l s oo b t a i n st h e p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o no ft h ec a p i t a l l a b o rr a t e c h a p t e r4 i n t r o d u c e su n c e r t a i nf a c t o r si n t ot h er o m e rm o d e l ，a n de s t a b l i s h e st h e s t o c h a s t i cr o m c rm o d e l ，d i s c u s s e st h ed y n a m i cp r o p e r t i e so ft h es t o c h a s t i cm o d e l ， a n dc a r r i e so nn u m e r i c a la n a l y s i s c h a p t e r5f i r s td i s c u s s e sr a n d o mb i s m u tp r o b l e m ，o b t a i n so p t i m a ld e p o s i t p o l i c i e su n d e ru n c e r t a i n , a n db i s m u to p t i m a lg r o w t h s e c o n d ，t h i sc h a p t e re s t a b l i s h e s t h es t o c h a s t i cm o d e lo fe c o n o m i cg r o w t hw i t he n d o g e n o u si n s t i t u t i o n , a n da n a l y z e s t h ed y n a m i cp r o p e r t i e so ft h em o d e l ，o b t a i n st h eo p t i m u mc a p i t a lw a yo fs t o r a g e q u a n t i t ya sw e la st h ed e n s i t yo fs t a b l ed i s t r i b u t i o n k e yw o r d s ：e c o n o m i cg r o w t h ；s t o c h a s t i cm o d e l ；d y n a m i ca n a l y s i s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在在论文中作了明确的说 明 作者签名：日期：坦2 年丝月互日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文 名：屿一名锋吼华幽三日 硕士学位论文 第l 章绪论 第1 章绪论 研究经济增长，是为了找出驱动经济增长的动力，掌握经济增长的规律，从 而制定有助于经济增长的政策，不断提高人民群众的生活水平。经济增长问题的 研究是当今宏观经济学研究的中心，正吸引着越来越多的学者的注意力。 1 1 现代经济增长理论的简要回顾 在经济增长理论中，出现的第一个数学模型是哈罗德多马模型( h a r r o d ， 1 9 3 9 ：d o m a r ，1 9 4 6 ) 。该模型的显著特点是用通常的短期分析工具来研究长期 问题，这无法反映经济运行的实际情况，在经济增长理论中影响甚微。 1 9 5 6 年，索罗( s o l o w ，1 9 5 6 ) 和斯旺( s w a n ，1 9 5 6 ) 发展了经济增长的模 型，这就是著名的新古典增长模型，也称为索罗斯旺模型，它奠定了现代经济 增长理论的基础。索罗斯望模型建立在一个加总的、规模报酬不变的生产函数 基础上，该生产函数使用劳动和资本( 其边际回报递减) 来生产一种综合产品。 假设储蓄是产出的一个固定比例，而技术也是按照一个外生的速度改进。设y 代 表总产出，三代表生产过程中所使用的工人数目，k 为资本存量，并假设生产函 数是科布道格拉斯函数。因此， y = a k 8 卫一，0 口 1 ， 其中，a 代表技术水平。每个工人的产出y = y l 可以由下式来表达， y = a k 8 ，( 1 1 ) 其中，k 代表资本劳动比率。 资本服从下面的公式： k = s y 一( n + 占) 七，0 刀+ 万，经济增长率为正( 并且随时间保持恒定) ，而且人均 收入水平也会无限制地上升。因此，与新古典增长模型相反，a k 模型的一个重 要含义是，储蓄率的增加会永久提高穷人的人均增长率水平。此外，与新古典增 长模型所预测的不同，经济增长率与其初始收入水平无关。因此，即使各国生产 技术一样，而且储蓄模式相同，a k 模型也不预测在各国之间出现趋同，这个预 测看上去与经验证据十分吻合。 在内生增长理论中，a k 模型十分受欢迎，并且已经在不同方向上被扩展。 比如，罗贝罗( r e b e l o ，1 9 9 1 ) 分别考虑了消费品、物质资本和人力资本，并研究 了a k 模型在这些扩展下的含义。他的分析证明，如果在不使用非再生投入条件 下，根据规模报酬不变的技术生产资本品“核心”，就可以得到内生的稳定状态增 长。换句话说，要获得正的增长率，只需要存在以规模报酬不变生产，并不需要 使用不可再生投入的资本品。 第二种内生增长的方法是在增长过程中引入溢出效应。外部效应的存在意味 着，比如，如果一个厂商将其投入加倍，其他厂商投入的生产力也会上升。引入 溢出效应会导致资本边际回报递减的假设放松。在大部分模型中，外部效应以对 所有企业均可使用的一般性技术知识的形式出现，而企业可用其进一步开发新生 产方法。 在最近的增长理论文献中，一种被特别强调的外部效应来源是人力资本积累 及其对整个经济中生产力的作用。卢卡斯( l u c a s ，1 9 8 8 ) 提供的一个最广为人知 的尝试是把力资本积累的溢出效应考虑在内。在他的模型中，如果其他工人有更 多的人力资本，那么某个工人不管其自身技能水平如何，都会更有生产力。 另一种估计外部效应在经济增长过程中所起作用的方法是由罗默( r o m e r ， 1 9 8 6 ) 所提出的。在他的分析框架中，外部效应来自于知识存量而非总人力资本 存量。知识是由个人生产的，但由于新生产出来的知识最多只能部分和暂时地保 密，所以产品及劳务生产不仅取决于个人的知识，也取决于总知识存量。企业与 个人总能够部分地获取生产知识的回报。因此，市场均衡导致知识积累方面的投 资不足。只要知识能和技术水平联系起来，罗默的分析框架就可以被看作内生地 决定技术进步率的尝试。在随后的工作中，罗默( 1 9 9 0 ) 也内生地解释了投资于 技术变化的决策。他使用了一个模型，其中区分了研究部门与经济中的其他部门。 硕士学位论文第1 章绪论 在那个分析框架中，企业不能获得知识生产中的所有好处，这就意味着，对于某 些特定类型的资本积累而言，其社会的回报率高于私人回报率。因此，有可能利 用某种税收或补贴计划来提高经济的增长率。 假设一个标准的柯布道格拉斯生产技术产品规模报酬不变。考虑一个有两 部门的经济系统。一个是物质生产部门，使用物质资本存量( k ) ，知识存量( 彳) 和劳动力( 三) 生产产品；另一个是知识生产部门，也使用同样的投入来增加知识 存量。假设比例为既的劳动力用在知识生产部f - j ，比例为l 一瓯部分用于生产 产品部门。 同样，比例为s 置的资本存量用于知识生产部l - j ，比例为1 - s f 的资 本存量用于产品生产部门，总的知识存量a 可同时用于两种生产活动。以y 表 示产量，则有 y = ( ( 1 一& ) k ) 。( 爿( 1 一) 工) 1 1 ，0 口 0 ，r ，0 0 ，( 1 6 - b ) 霞= s y ，0 g ( t ，国) 是形适应的。 定义1 2 2 设少= ( s ，t ) 是下面的函数类： 4 硕士学位论文 第1 章绪论 满足 f ( t ，o j ) ：【o ，) q _ r ” ( i ) o ，c o ) - f ( t ，c o ) 是b x 2 可测的，这里b 表示 o ，o o ) 上的波雷尔叮代数： ( 1 1 ) ( f ，o j ) 是z 。适应的； ( i i i ) e ff ( t , c o ) 2 州 定义1 2 3 设表示下面的函数类： f ( t ，国) ：【0 ，o o ) x q r ” 满足 ( i ) ( ，c o ) - + f ( t ，m ) 是b ，可测的，这里嚣表示【0 ，o o ) 上的波雷尔盯- 代数； ( i i ) 存在仃代数递增族h ；，o ，使得e 关于7 1 i 是鞅，并且z 是q - 适应 的： ( i i i ) p f ，功) 2 d s ，0 】= l 。 定义1 2 4 ( 伊藤积分) 设，ep ( s ，r ) ，厂( 从s 到r ) 的伊藤积分定义为 r 厂o ，国) 啦( ) = 。l i r aj 知( t ，o o d a , ( 口o ) ( r ( p ) 上的极限) 其中， 丸 是满足下面条件的阶梯函数序列： ， e 【f ( 厂o ，o o 一疙( f ，缈”2 d f 卜o o - o o ) 定理1 2 5 设f ，g 矿( 0 ，t ) ，并l o s u 丁，那么 ( i ) 几乎处处有r 旭= f 月骂+ f 趟 ( i i ) 对于常数c ，几乎处处有r ( 矿+ g ) 蛆= c f 旭+ f g 蛆 定义1 2 6 设置是( q ，芦，p ) 上的一维布朗运动，( q ，厂，p ) 上的随机过程五称 为一维伊藤过程( 或随机积分) ，如果 薯= 而+ f 甜o ，c o ) a s + f v ，国) 蝇， ( 1 7 ) 其中，v ，使得p 【f v ( j ，c o ) 2 出 ，r o 】1 如果五是形式为( 1 7 ) 的伊藤过 硕士学位论文第1 章绪论 程，那么( 1 7 ) 式也可以改写为简短的微分形式 d x , = u d t + v 蛆 ( 1 8 ) 定理1 2 7 ( 一维伊藤公式) 设是由下式给出的伊藤过程 d x , = u d t + v d b , 。 设g ( t ，x ) 是 o ，) r 上的二阶连续可微函数，那么 只= g ( t ，) 也是一个伊藤过程，并且 dyt拿(，)at+拿(r，而池+丢磐o，)cdx,)ot o xd r 2 ( 1 9 ) z 其中( 电) 2 = c d x , ) ( d 薯) 根据下面的规则计算 d ，d t = d t d s , = d b , d t = 0 ，鹕d b , = d t ( 1 1 0 ) 定理1 2 8 ( 多维伊藤公式) 设 d x , = u d t + v d b , 是一个以- 维伊藤过程，g ( t ，x ) = ( g l ( f ，砷，岛( ，x ) ) 是 o ，o o ) r “到r 4 上的二阶连 续可微函数。那么 儿( f ，m ) = g ( t ，工( f ) ) 也是一个伊藤过程，并且其分量几由下式给出 毗寺 珊+ 军挚x ) d x , + 丢荨杀c t , x ) d x , d x , 其中 蛆哆= 瓯d f ，d t d 8 = d a t i t = 0 。 1 2 2 伊藤型随机微分方程的稳定性 设z ( ，) = ( 毛( ，) ，乞( f ) ，乙( f ) ) 7 ( f 0 ) 是一个m 维的维纳过程，定义在具有 6 硕士学位论文第l 章绪论 自然滤波 五) 脚的完备概率空间( q ，厂，p ) 上，且墨= 【o ，) 。 亏愿伊滕随机微分万_ j | 璺： j 出( ) = 厂( f ，x ( 7 ) ) 出+ g ( ，x ( ，) ) 出( f ) f o ( 1 1 1 ) 【x ( t o ) = x o 、 假设厂【r + r ”，r ”】，g r + r ”，r “”】都是波雷尔可测函数，f ，g 满足李 普西兹条件和线性增长条件，厂( f ，0 ) ；o ，g ( t ，0 ) - - 0 ( ，r o ) ：设 s ： x l l l x l l 0 ，3 8 = 艿( 毛，6 2 ，t o ) ，使得当0x ol l a 时， 7 硕士学位论文 第1 章绪论 p 0 x ( ，f o ，x o ) i i 0 ，使得当i l i i c r o 时，有 p j i m x ( r ，o ，而) = 0 1 一刁 f 则称( 1 1 1 ) 式的零解是随机渐近稳定的或是依概率渐近稳定的。 定理1 2 1 l 如果存在函数v ( t ，膏) 是正定的，使得l v ( t ，x ) 0 ( v ( t ，x ) r + x r h ) ，则( 1 1 1 ) 式的零解是随机稳定的。 定理1 2 1 2 如果存在函数v ( t ，x ) 是正定的且具有无穷小上界，使得l v ( t ，砷 是负定的，则( 1 1 1 ) 式的零解是随机渐近稳定的。 如果存在一个非随机的常向量c 使对所有t 【o ，刀都有 f ( t ，c ) = 0 ，g ( t ，力= o ，r 【o ，t 】 而且以概率1 有x ( f ) = c ，我们便称c 是( 1 1 1 ) 式一个均衡解。特别地， 对于二维确定性齐次线性微分方程： 徽i 掣灿 ( 1 1 1 2 ) 【z ( o ) = 而 、 的均衡解( 耳，毛) 称为鞍点稳定的，如果存在初始点( 而( o ) ，五( 0 ) ) ，使得( 1 1 2 ) 式满足初始条件的解“( f ) ，而( ，) ) 都有舰( 一( f ) ，而( f ) ) = ( 五，五) 。 只存在唯一一条路径收敛到鞍点，该收敛路径在数学上称为鞍点处的局部 不稳定流形，而在经济学中，在理性预期的假设下，人们要找的正是这条收敛的 路径。 1 3 研究意义 现代经济增长理论讨论的都是确定性经济环境中的经济增长问题，经济运 行中被人们关注的主要经济变量都被假定为确定性的变量，这与实际经济处处充 8 硕士学位论文 第l 章绪论 满不确定性不相符，从而关于经济运行的不确定性的考虑，是我们观察经济现象 的必然要求。我们不能简单地通过增加先决变量来消除不确定性，只能通过揭示 不确定性现象的统计规律来尽可能贴近真实的经济现象。随机经济增长模型正是 对确定性模型在上述意义下的修正。 1 4 本文的主要工作概述 本文主要研究随机环境中的若干经济问题，运用随机分析工具，把不确定性 引进确定性的经济模型中，建立经济增长的随机模型并进行动态分析。 本文的结果或是新的结果，或者改进了已有的结果。因此，从某种意义上说， 本文具有创新性。 9 硕士学位论文 第2 章随机索罗模型 第2 章随机索罗模型 默顿等人用伊藤公式作为工具，把不确定性引进确定性的新古典经济增长模 型之中，使之与不确定性相结合，从而扩展了新古典经济增长的模型。 2 1 随机模型 考虑一个一次齐次生产函数f ( k ，l ) ，其中k 表示资本投入多少单位，工表 示劳动力投入的单位。由齐次性得到f ( k i l ，1 ) = f ( k l ) = f ( k ) ，这里k = k l 。 为了求得均衡起见，投资必须等于储蓄，亦即 霞= 警= s f ( k 枷，o 0 ，0 0 的随机微分方程 ( 2 4 ) 式有唯一的解，那么它的唯一解k ( t ) ，t 【0 ，o o ) 就是一个马尔可夫过程，它 在f = 0 的初始概率分布为，它的转移概率为p ( s ，k ，r ，b ) = p 【七( f ) b i k ( s ) = k 】。 该定理的证明参见阿罗德( 1 9 7 9 ) 。 此定理是一项很有用的结果，尤其是对于经济政策的考虑更是如此。 假定 对一个经济系统来说，每工人的资本积累( 即资本t 人) 的过程由马尔可夫过 程来描述，已知该经济系统在某时刻的每工人的资本积累是k ，经济政策的制订 者的兴趣在于知道在某个未来时n t ，每工人的资本积累将在区间 ( 岛，6 0 ，0 岛 0 r a ( o ) = 6 ( 0 ) = 0 。因此x o ) 描述了一个值域为区间【0 ，叫的扩散过 程，且x = 0 和z = 为自然吸收态，即，如果x ( t ) = 0 ，则对于f r 有x ( r ) = 0 ， 对于x ( t ) = o o 有同样的结果。 令p ( x ，t ；x o ) 是在x ( 0 ) = k 条件下，x 在时间f 的条件概率密度。因为x ( r ) 硕士学位论文 第2 章随机索罗模型 是一个扩散过程，所以兵转移概翠罾厦将满足栩尔冥哥洛天弗克- 晋兰兄“正向” 微分方程( 费勒，1 9 6 6 ) ： 三等 口( x ) p ( 蹦；五) 】一丢 6 ( x ) p ( 列；k ) 】= 至里笋盟 假设x 有不依赖于x o 的稳态分布，即 l i m p ( 五，；- c o ) = 万( 力 f 那么，船( 鲁) = 。且满足 吉万d 2 ( x ) 万( x ) 】一昙p ( 力万( j ) 】= 。 ( 2 9 ) 根据通常的方法，我们可以对( 2 9 ) 式进行两次积分，得到x ( x ) 的形式解为 万( 工) = 码( 工) + ，( x ) 其中 驰，暑志e 冲 2 r 筹叫 和 三去州2 f 筹出卜 选择常数碍和，使得 j c o 万( x ) 出= 1 尽管可以直接得到方程的形式解，但是要证明其存在性并确定这些常数却相 当困难。在形式上，如果随机过程工满足下述条件之一，则稳态分布总是存在的： ( a ) 工在某一自然边界上被吸收( 比如，密度为迪拉克函数的退化分布) ；( b ) 】c 在区间( 0 ，o o ) 内具有有限密度函数；( c ) x 具有( a ) 和( b ) 混合的离散概率。 称边界是不可达的，如果当占专0 时p r o b x ( t ) f ) _ 0p r o b x ( t ) 1 f ) 一0 。 可以证明边界是不可达的，当且仅当r 厶) 妙和r 厶o ) 妙发散且f ) 砂有 1 4 硕士学位论文 第2 章随机索罗模型 界。可以证明，对于( 2 8 ) 所描述的随机过程，其边界是不司达的。因此，我1 门司 以得到结论= 0 。对于非退化稳态，x q ( 2 9 ) 积分一次有 圭击【口( 力万( 力】一6 ( x ) 万( 曲= 三= o 非稳态分布的解可以记为 砸，= a - x ) e x p 2 ，f 面b ( y ) 吲 其中，选择朋使得f 万 ) d x = 1 。 假设七( ，) 为( 2 4 ) 式的解。那么后的平稳分布，用万( 七) 来表示就由下式给 出： 砌，2a - e x p 2 r 节叫 旺 = m k - 2 n 驴e x p i 【盯2 _ ：j ps f y ( ：y ) 妙) i 盯oy 当生产函数由科布道格拉斯函数厂( 七) = 妒( 0 口 1 ) 给定时，对这个特殊情况 来说，( 2 1 0 ) 式就成为： 撒胁矿咖2 唧 南一1 _ ) ) 旺 在( 2 1 0 ) 式和( 2 1 1 ) 式中，我们选择常数m ，使得j c 0 7 r ( y ) 妙= l a 对( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式进一步的分析可参看默顿( 1 9 7 3 ) 。下面我们来比较人均产出预期 的平稳值和定常态确定性的值。为此，我们需要作一简短的分析，并且需要一条 技术性的引理。 考虑( 2 4 ) 式，并假定该式有一个以万来表示的平稳分布。设g ( 七) 是一个 二次连续可导的函数；运用伊藤公式计算d g ( 七) ，此即 d g ( k ) = g ( 七) d 七+ 去g 。( 七) ( d 七) 2 = ( g k ) s f ( k ) - ( n - a 2 ) 七】+ ；昙矿( 七) 盯2 七2 ) d t - g ( k ) c r 2 七：d z 下面的引理是有用的。 硕士学位论文 第2 章随机索罗模型 设 那么 引理2 3 假定g ( k ) - 饮连续可导，( 2 4 ) 式有一个平稳分布y ，并且还假 证明因为 烛【g ，( 七) 盯2 k 2 丌( i i ) 】_ 熙【g ，( 七) 仃2 k 2 万( 七) 】= o e 【( g ( 七) ( 矿( 七) 一( t - 0 - 2 ) 七) + l g ( k ) a 2 k 2 ) 】= o ( 2 1 2 ) 对上式分部积分，由9 7 ( 曲所满足的条件，有 f g 。( j i 砂2 k 2 万( 础墉 - 【删以2 撒) 】卜j c o 丢( 积2 撒撇 ( 2 1 4 ) = f g ( 工) 熹( 矾2 础) ) 曲 n ( 2 4 ) 式有一个平稳分布7 ，把( 2 1 4 ) 式代入( 2 1 3 ) 式中，并且重新整理各项，有 e 【( g ( | j ) ( 矿( 七) 一( n - a 2 ) k ) + l g 。( 七) 盯2 七2 ) 】 = n 9 7 ( 七) 矿( 七) 一( n - a 2 ) 州七) 一i l 面d ( 仃2 七2 万( 尼) m = 0 因为万( 七) 满足( 2 9 ) 式，所以上式大括号中的项等于0 。 应用定理2 1 ，取g ( k ) = 七作为一个特例来计算人均产出预期的平稳值，即 e ( 厂( 七) ) 由( 2 1 2 ) 式有 e ( 1 【矿( 七) 一( 一盯2 ) j | 】+ 0 ) = 0 ( 2 1 5 ) 由( 2 1 5 ) 式得到 e ( 矿( 七”= ( 刀一盯2 ) e ( 七) 因此 1 6 q 船 ， 万 砌 确 礓 矿 胁 妒 后v 、 w 旷 g l 一2。尹。卜2 + 七 后 工 矿 盯 一 一 万 一 七 铲 矿 矿 以 向 d 他 彭 国f 耳 兰 至竖望型兰堕l 一 一一 蔓! 皇堕坐室翌堕型二! _ = 一 e ( 八七) ) = n - o e ( k ) ( 2 1 6 ) 将( 2 1 6 ) 中的结果与确定性情况，例如，厂( 七) = 舻，0 口 0 ， 贝0 对v t 【0 ，r 】和毛( f ) ，心( f ) 【0 ，) ，有 16 ( 白( r ) ) 一6 ( 如( f ) ) i + i 口( 毛( ，) ) 一口( 乞( f ) i = ( is a n - 8 + t r 2i + jc r l ) l k a ( t ) 一k 2 ( t ) i ( i s aj + i n + 8 - t r 2 i + l a l ) i l q ( t ) - k 2 ( t ) 峰m l 毛( ，) 一如( f ) i ( 3 7 一a ) 1 6 ( | j ( f ”1 2 + i 口( 后o ) ) 1 2 爿s a 一刀一万+ 仃21 2 i k ( t ) 1 2 + l t r k ( t ) 1 2 ( i s aj + i n + 8 一盯2i + i 仃1 2 ) i 七( ，) 1 2 m i 七( f ) 1 2 ，( 1 + i 七( ，) 1 2 ) ( 3 7 b ) 由于模型( 3 5 ) 不存在当前的“不确定性”，即k o 不取决于z ( r ) ，且 e 七( f 0 ) 】2 = e 】2 o ) 。由伊藤公式得 因此 蛐= 州1 - ；- 7 ) d k ( t ) + i 1 ( 一寺( 似，) ) 2 = 篱一击( 删灿= 丽d k ( t ) 一了0 2 i r d ，= i r r 苴i l 【l= 一o f 七( ，) 七( f ) 2 、v “v 一七( ，) 2 一 等训h 加卅譬a ， 所以f l j ( 3 9 - a ) 我们有 即 l i l 等刊+ 2 一研一 ( 3 9 一b ) 七( ，) = e x p ( s a + 了0 - 2 一行一印一盯z ( f ) ) 。 命题3 3 随机变量；k ( t ) k o 服从期望为( 叫一万一万+ 仃2 2 ) t ，方差为仃2 f 的对 数正态分布。 证明 由于z ( f ) 是维纳过程，即有e 【z ( r ) 】= o ，v a r ( z ( t ) ) = 盯2 f 。 对( 3 9 b ) 两边 分别取期望和方差可得 e 1 n ( k k o ) 】= ( s a 一刀一万+ 盯2 2 ) t v a r h a ( k k o ) = t l r 2 t 2 1 ( 3 1 0 一a ) ( 3 1 0 - b ) 硕士学位论文 第3 章经济增长的随机a k 模型 3 2 2 均衡解的渐近稳定性及稳态密度函数 命题3 4 当s 。+ 万一0 2 彳时，模型( 3 5 ) 的。均衡解是随机稳定的。 证明 当c - - - - 0 时，由( 3 5 - ”可知a ( c ) = b ( c ) = 0 ，且以概率1 有 七= c = 0 。从向0 是模型( 3 5 ) n 均衡解a 我们构造l i a p u n o v 函数如下： y ( 七( 嘞= f ( t ) u 2 ( n + a _ o z _ z 4 ) , a 2 d 材+ 1 ：i i ：? ! ! ：了| j ( f ) 2 ( 一+ 5 一t 4 卜一2 ) ，一2 + l = 一r r l 一一1 - l 2 ( 刀+ 艿一鲥) 一仃2 、7 。 当s o= 川一 一 l 、 2 ( 拧+ 艿一j 0 ) 彳) 一仃2 v 即v ( k ) 是正定函数。又 醐嘞堋功等署扣坼) ) 2 号铲 一一n 一8 + 0 。( s a 一刀一万+ 盯2 ) 七( ，) 0 2) + 扣2 ( 一竽删孚= 。 因此，由随机微分方程稳定性理论( k u s h n e r ，1 9 6 7 ) 可知结论成立。 命题3 5 当s 。+ 万一譬) 彳时，模型( 3 5 ) 的几乎所有轨道渐近地趋于。， 七( r ) 的平稳概率密度为6 - 函数，即万( 七( f ) ) = 三妻曷三警 证明令0 = s a n - - 万。 当k ( t o ) ：矗：0 时， 由( 3 5 1 可知 硕士学位论文 第3 章经济增长的随机a k 模型 一盯七0 = ( 护+ 仃2 ) k o = 0 由于 帅l i m r n 可( - 0 - k ( t ) ) 2 = 盯2 ， 陋( _ o 七“) 2 l i m ( 0 + a r 2 ) k ( t ) ：口+ 盯2 忙0 ) 4 - - ) 0 七( r ) 因此k o 的扩散系数为g o - - 2 ，漂移指数屈= 1 。又 吒坠铲a r k ( t ) )= 学 。 i 七【r _ 岫 ( 2 盯2 因= 属+ l ，由2 秒 一口2 ，可知c 0 = 型号笋垒 k ：k o e x p ( s a 一刀一万川 二 人均产出 e y 】= a e k ( t ) 】 y = a k 由于a k 模型忽略了不确定性，其对变量的计算是有偏差的。从上面可以看 出人均产出和资本劳动比的计算都偏小，因此在用a k 模型进行分析时必须考虑 ：2 4 硕士学位论文 第3 章经济增长的随机a k 模型 这些情况。 3 5 小结 a k 模型无法解释意大利，西班牙、匈牙利、罗马尼亚等国家的人口自然增 长率远低于法国、美国等国家，这些国家的经济也远比法国、美国等国家落后。 也无法解释我国北京、上海等经济发展较快城市的人口增长率远低于其他地区， 但广东这个经济发达省份的人口增长率却高于全国平均增长率。将人口因素作 为随机的外生变量后，我们从模型( 3 5 ) 可以看出，对所有人的共同随机影响盯越 大，则资本劳动比率也越大，即仃能影响经济增长，这在一定程度上可以解释 人口增长率较低而经济不一定发达的现象。 硕士学位论文 第4 章随机罗默模型及其动态分析 第4 章随机罗默模型及其动态分析 以罗默为代表的新经济增长理论突破了传统的新古典增长理论的分析框架， 提出了内生的技术进步是经济增长的唯一源泉的观点，较好地说明了历史上各国 经济增长率趋于上升的事实，但忽略了经济系统中的不确定性因素。本章将随机 因素纳入罗默模型中，建立了随机增长模型，该模型是罗默模型的自然概括。 4 1 随机模型的建立 我们假定人口数量是动态随机变化且劳动力与人口数量成正比，又假设物质 资本与知识资本的折旧率都为常数万，这里0 万 i 。基于这些假设，我们以罗 默研发模型( 1 5 ) 作为基本模型，将劳动力的数量工看作是不确定的，是一个随机 变量，从而导出不确定条件下的研发模型。 4 1 1 描述人口数量动态的随机微分方程 我们可以从描述人口增长的简单分支过程推导出适于描述人口动态的随机 过程。假设每个人单位时间后代( 净死亡) 数的期望值为常数 ，且对各代所有 个人都是相同的。还假设在时间t 生存的第j 个人的后代( 净死亡) 数对均值的 偏离可以表示为两个独立部分的和：( a ) “系统”部分d 7 7 ( f ， ) ，这里h 表示“代际” 间的时间长度，盯为常数，它反映了在给定时间r 对所有人的共同随机影响，这 一部分在时间上假设是独立同分布的。( b ) “非系统”部分h 占( ，h ) ，它反映了在 时间，生存的第f 个人的特定随机影响。那么，描述人口数量的随机微分方程为 ( m e r t o n ，1 9 9 2 ) ： d l ( t ) = n l ( t ) d t + c r l ( t ) d z ( t )( 4 1 ) 其中d z ( r ) 表示维纳过程，并f l _ n l ( t ) 和盯2 三( f ) 2 分别是单位时间的瞬时均值和方差。 由( 1 5 - a ) 式知，n l ( t ) 与c r l ( t ) 关于三( ，) 有连续导数，根据随机微分方程理论可知人 口数量的随机过程是一个扩散过程。 硕士学位论文第4 章随机罗默模型及其动态分析 4 1 2 随机模型 我们定义 删= 等铂) ) 删= 等_ 9 2 ) ) 加) = 嚣 物质资本劳动比率 知识劳动