（概率论与数理统计专业论文）带破产回收的最优风险控制和分红策略.pdf

ab s t r a c t i n t h is p a p e r w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f h o w t o m a xi m i z e t h e e x p e c t a t i o n o f t h e t o t a l v a l u e o f d i s c o u n t e d d i v i d e n d s a n d t h e t e r m i n a l v a l u e 尸w h i c h r e p r e s e n t s t h e c o m p a n y li q u i d a t i o n v a l u e a t t h e t i m e o f b a n k r u p t c y f o r a n i n s u r a n c e c o m p a n y w h o s e s u r p l u s i s g o v e r n e d 访a b r o w n i a n m o t i o n w i t h c o n s t a n t d r i ft a n d d i ff u s i o n c o e f fi c i e n t . t h e c o m p a n y c a n c h a n g e i t s r is k e x p o s u r e s i m u l t a n e o u s l y场 m e a n s o f p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n ce t h a t c a n b e a d j u s t e d a t a n y m o m e n t . t h e o b j e c t i v e i s t o fi n d t h e p o li c y c o m p o s e d o f r e i n s u r a n c e a n d d iv i d e n d r a t e s w h i c h ma x i m i z e t h e v a l u e me n t i o n e d a b o v e . ke y wo r d s : p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n ce, t e r m i n a l v a l u e , t h e d i f f u s i o n m o d e l , v a l u e f u n c t i o n , h j b e q u a t i o n , t h e v e r i fi c a t i o n t h e o r e m ams 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s i fi c a t i o n s : 9 1 b 3 0 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本:学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 汪 孟 海 x 0 0 7 年6月 所 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密*1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于 1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) _、-一i 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已 在文中以明 确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 王 孟 像 2 0 闪 年 乡月二 7 日 chapter 1 i n t r o d u c t i o n r e c e n t l y , d if f u s i o n m o d e ls f o r i n s u r a n c e c o m p a n i e s t h a t c o n t r o l t h e i r r i s k e x p o- s u r e a n d d i v i d e n d s d i s t r i b u t i o n h a v e a t t r a c t e d g r e a t i n t e r e s t . t h e o p t i m a l d i v i- d e n d p r o b l e m c a n b e t r a c e d b a c k t o d e f i n e t t i ( 1 9 5 7 ) , w h o p r o p o s e s a p r o b l e m o f m a x im i z i n g t h e e x p e c t a t i o n o f t h e d i s c o u n t e d d i v i d e n d s i n d is c r e t e t i m e s e t - t i n g s . b o r c h ( 1 9 7 4 , 1 9 9 0 ) d e v e l o p s d e f i n e t t i s i d e a a n d m a k e s i t a c c e s s i b l e t o e c o n o m i s t s . b u h l m a n n ( 1 9 7 0 ) a n d g e r b e r ( 1 9 7 9 ) d i s c u s s e d t h e o p t i m a l d i v i d e n d s - p a y m e n t s t r a t e g i e s o f t h e c l a s s i c a l r i s k m o d e l i n c o n t i n u o u s t i m e s e t t i n g s j e a n b l a n c- p i c q u e a n d s h i r y a e v ( 1 9 9 5 ) a n d a s m u s s e n a n d t a k s a r ( 1 9 9 7 ) c o n s i d e r t h e o p t i m a l d i v i d e n d p r o b l e m w it h a b o u n d e d d i v i d e n d r a t e . h o j g a a r d a n d t a l e s a r ( 1 9 9 9 ) s t u d y t h e p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e p o li c i e s a n d d i v i d e n d s p a y - o u t f o r a d i ff u s i o n m o d e l . t h e d i f f u s i o n mo d e l w i t h e x c e s s - o f - l o s s r e i n s u r a n c e a n d d i v - i d e n d s p a y - o u t i s c o n s i d e r e d 勿 a s m u s s e n , h 灼 g a a r d a n d t a k s a r ( 2 0 0 0 ) . t a k s a r a n d h u n d e rup ( 2 0 0 6 ) t a k e t h e i n fl u e n c e o f b a n kr u p t c y v a lu e i n t o a c c o u n t w h e n i n v e s t i g a t i n g d i f f u s i o n m o d e l s w it h p r o p o r t i o n a l r e i n s u r a n c e . t h e y i n c o r p o r a t e t h e m o d e l b y a s s i g n i n g a v a l u e 尸t o t h e b a n k r u p t c y o f t h e c o m p a n y , a n d m a k e a d e t a i l e d s t u d y o f h o w t o m a x im i z e t h e t o t a l d i s c o u n t e d v a l u e o f d i v i d e n d s a n d t h e l i q u i d a t i o n v a l u e p o f t h e c o m p a n y . wh e n t h e v a lu e o f 尸i s n e g a t i v e , t h e c o m p a n y i s f in e d f o r g o i n g i n t o b a n k r u p t c y a n d w h e n p i s p o s i t i v e , w e i n t e r p r e t i t 二t h e v a l u e t h a t h a s a c c rue d fr o m t h e s al e o f n o n - l i q u i d a s s e t s . i n s p i r e d 衍t a k s a r a n d h u n d e ru p ( 2 0 0 6 ) , i n t h i s p a p e r , w e i n t e n d t o m a x im i z e t h e s u m o f u l t i m a d i s c o u n t e d v a l u e o f d i v i d e n d s a n d t h e b a n k r u p t c y r e t u r n尸i n t h e fr a m e w o r k o f d i ff u s i o n a p p r o x i m a t i o n o f t h e c l a s s i c r i s k m o d e l w i t h p r o p o r t i o n al r e i n s u r a n c e . we i n t r o d u c e t h e mo d e l i n s e c t i o n 2 . t h e p o li c y u s e d t o c o n t r o l t h e p r o c e s s is t h e p r o p o r t i o n o f r e i n s u r a n c e a t a n d t h e d i v i d e n d r a t e h . i n s e c t i o n 3 w e gi v e t h e c o r r e s p o n d i n g h j b e q u a t i o n a n d c o n s t ruc t a s o l u t i o n w h i c h i s t h e o p t i m a l v a l u e f u n c t i o n t o此 玩s e c t i o n 4 t h e v e r i fi c a t i o n t h e o r e m s h o w s t h a t t h e o p t i m al s t r a t e g y i s r e a s o n a b l e . 玩t h e l a s t p a r t o f t h is p a p e r , w e c a l c u l a t e s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e s a n d d r a w s o m e p l o t s t o e l a b o r a t e t h e o p t i m a l r e t u r n f u n c t i o n i n d i f f e r e n t c o n d i t i o n s chapter 2 th e m o de l t h e r i s k p r o c e s s o r t h e s u r p l u s p r o c e s s o f a n i n s u r a n c e c o m p a n y w it h o u t r e i n s u r - a n c e a n d d i v i d e n d p a y m e n t s c a n b e m o d e l e d勿 t h e c l a s s i c a l c r a m e r - l u n d b e r g mo d 月 从 r (t ) = x + p t 一 ex : , ( 2 . 1 ) 浦 = 1 w h e r e x i s t h e i n i t i a l c a p i t a l o f a n c o m p any , p0 i s t h e p r e m i u m r a t e , f n ( t ) i s a p o i s s o n p r o c e s s w i t h i n t e n s i t y ,0 o a n d x ; 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( 2 .2 ) ， 二 二 1 t h i s p r o c e s s b e a p p r o xi m a t e d妙 a b r o w n i a n m o t i o n w i t h t h e d r i f t a p a n d d i f f u s i o n a v w h e r e f t =p 一刀 m a n d尹=刀 尹 wi t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e a s s u m e ,o =1 . t h e r e f o r e ， t h e c o n t r o ll e d r e s e r v e p r o c e s s r ( t ) w i t h i n i t i a l v a l u e x i s g i v e n勿 d r ( t ) =1 t a( t ) d t 十v a( t ) d w t ,( 2 . 3 ) w h e r e 二 ( t ) i s s t a n d a r d b r o w n i a n m o t i o n . a n a d m is s i b le c o n t r o l p o li c y 二 is a t w o d im e n s i o n a l s t o c h a s t i c p r o c e s s ( a( t ) , 1, ( t ) ) w h e r e 0 a , ( t ) 1 c o r r e s p o n d s t o t h e r i s k e x p o s u r e a n d 0 4 m i s t h e 2 . t h e mo d e l d i v i d e n d r a t e a t t i m e t . d e n o t e 场 ii t h e s e t o f a ll a d m i s s i b l e p o li c i e s . t h u s , u n d e r t h e p o li c y a e ii , t h e d y n a m i c s o f t h e c o n t r o ll e d p r o ce s s r a r e f o r m u l a t e d b y d r - ( t ) = r rt ( t ) =x ( p a , ( t ) 一 l ( t ) ) d t + v a , ( t ) d w t ( 2 .4 ) w h e r e x c o r r e s p o n d s t o t h e s t r i c t l y p o s i t iv e i n i t i a l c a p i t a l o f t h e r i s k p r o c e s s . t h e b a n k r u p t c y o r t h e r u i n t i m e is d e f i n e d a s t h e f i r s t h i t t i n g t i m e o f 0 衍 t h e 山k p r o c e s s =i n f t : r r ( t ) 0 a n d 衍t , e t r a l v ,r , . , w h e n pi j,i e o ,m 2 a a 2 f ( x ) + ( p a 一 l ) ax ) 一 f ( 0 ) =p 二 0( 3 .2 ) w h e r e a a n d l 二 t h e i n i t i a l v a l u e o f a ( t ) a n d l ( t ) r e s p e c t i v e l y , t h e n f ( 二 ) - 0 . l e t 。 ， =i n f u : f ( u ) =1 , b y c o n c a v i t y o f f ( x ) w e h a v e , d(x)一 0,， x ul. t h e r e f o r e f o r a n y x 0 . l e t a ( 劝b e t h e m a xi m i z e r o f t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 3 .5 ) a n d 9 b e a s u b s e t o f ( - o o , u l ) s u c h t h a t 0 a ( x ) - 0 , t h e s o l u t i o n 勿s c r a t c h i n g , i t i s t o t h i sc a n b e 五( 劝 =( 3 .7 ) w h e r e - y =券 a n d + “ “ ( c l x + 尸 1 ) 1p ) c o n s t a n t . th e刃 口 a 义 u u 理e r扭 g i v e nb y _ ， _ 、p了 _.1 1 , 叭 少= 二丁丁-，下 拼 十 一 厂 ，). q - t i一7 1 c l ( 3 . s ) w h e r e u o 二令 卜协 一 x ii p t一 -0 一 壹 声. w h e n u o u 1 , 了 仕 ) s a t i s fi e s 委 a 2f (x ) + (; 一 、 )， ，(? ) 一 cf (二 ) + m 一 0 . ( 3 . 1 1 ) t h e s o l u t i o n o f ( 3 . 1 1 ) is mx )=m十 。 e d a x + c g e d a x( 3 . 1 2 ) w h e r e 心a n d d 4 a r e t h e p o s i t iv e a n d n e g a t i v e 幸 i n n o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a r q 2 8 2 +( w 一 川， 一c =0 . 1人-口山 s i n c e f (二 ) : 答 (1 一: + e - p - m， _ 一 十叹 y- c答 )e- : m ax p ,答 ， a n d s o w e o b t a i n c 4 =0 . t h e r e f o r e w e c o n j e c t u r e t h e f o ll o w i n g s o l u t i o n : 认 飞 e r e c 1 , c2, c 3 , c s , u u , u i a r e an d (c , 二 十 尸 弄 ) ， ， 0 二 n 0 ; c2 沪， 十c 3 沙x ; u 0 x 、 u n k no wn c o n s t a n t s . ( 3 . 1 3 ) 口!亡，.1. 一一 、.邵. 公 了.飞 考j a (x ) 一 丁 (o(二 + -cl p )+ u “ x 、 ; 【l ;劣)u p . ( 3 . 1 4 ) t o o b t a i n t w i c e c o n t i n u o u s d i ff e r e n t i a b i l i t y , w e n e e d t h e f u n c t i o n a n d i t s fi r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s t o b e c o n t i n u o u s a t u o a n d u l . t h u s t h e f o ll o w i n g m u s t b e s a t i s fi e d . f i r s t 勿 t h e s mo o t h n e s s a t v v w e g e t _01 2 ( 1 一， 、 、 _j _ _ ._二 . _ “ 仁一厂二 ) 一 c 2 e 0 一 + 白 e 一 ci 7 ( 01 2 (1 - y ) )， 一 ， - 井 c 2 d i 沪助+c 3 d 2 e d 2 - . 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