（概率论与数理统计专业论文）广义误差分布下ar（p）与ma（q）模型的参数估计.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 时间序列分析有着非常广泛的应用领域，它作为数理统计学的一个分支，主要是利 用观测信息估计总体的性质。那么，确定一个合适的模型来表示所观测的平稳时闯序列 就有着重要的意义。本文考虑误差项e 服从广义误差分布的自回归模型和滑动平均模型 的参数估计问题。主要内容如下： 第一章，主要介绍时间序列的研究背景及平稳时间序列在参数估计上已有的研究成 果。 第二章，给出了e g e d ( r ) 的自回归模型和滑动平均模型的参数估计方法。在自回 归模型中g e d ( r ) ，g e d 分布的参数，已知的情况下，基于似然函数的形式，当r 】 时，采用l o g - c o n c a v e 型密度函数的自适应拒绝抽样方法估计自回归系数：当r 1 时， 用l o g c o n v e x 型密度函数的自适应拒绝抽样方法。参数，未知时，我们给定参数的范围， 用拒绝抽样方法寻找自回归系数合理的估计值。在滑动平均模型中，由于似然函数形式 更加复杂，文中在参数的允许域内尽量精确地搜索参数的合理估计值。本文介绍的另 种估计方法是自回归逼近方法。 第三章，构造数据用实例模拟参数的估计，用图例和表格列举估计结果，更直观地 显示估计效果。 结论部分，对本文的工作做以总结，对估计方法的可行性及其优劣进行了讨论，另 外，提出需要改进和深入探讨的研究方向。 关键词：从( p ) ；m ( q ) ；g e d 分布；拒绝抽样；参数估计 墨堡茎坌重匹型! ! 堕! 塑9 竖型堕茎壑堡盐 p a r a m e t e r se s t i m a t i o no f a r ( p ) a n dm n ( q ) m o d e l s f r o mg e n e r a le r r o rd i s t r i b u t i o n a b s t r a c t t i m es e r i a la n a l y s i st h e o r y ，a sab r a n c ho fm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ，h a sb e e na p p l i e d w i d e l yi nm a n yf i e l d s t h em a i nw o r ki se s t i m a t i n gt h eo v e r a l lp r o p e r t yt h r o u g ho b s e r v i n g i n f o r m a t i o n s oi ti so fg r e a ti m p o r t a n c et oc h o o s eap r o p e rm o d e lt oe x p r e s st h et i m es e r i e s i nt h ep a p e r ，w ec o n s i d e rp a r a m e t e r s je s t i m a t i o ni nt h es i t u a t i o nt h a t8 t - g e d ( r ) i n a n dm a ( q ) m o d e l s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eg i v eab r i e fa c c o u n to f t h et i m es e r i e sb a c k g r o u n da n di n t r o d u c e s p e c i a l t yo ns t a t i o n a r yt i m es e r i e si n t h ep a r a m e t e re s t i m a d o m i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ep a r a m e t e r s e s t i m a t i o ni na r ( p ) a n dm a ( q ) m o d e l su n d e r t h ec o n d i t i o nt h a t t g e d ( r ) i na r ( p ) m o d e l ，t h ep a r a m e t e rf r o mg e d i sk n o w n i fr 1 ， l o g - c o n c a v ea d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n gm e t h o di su s e dt oe s t i m a t ep a r a m e t e r s ；i f ，l ， l o g - c o n v e xa d a p t i v er e j e e t i o ns a m p l i n gm e t h o di sa d a p t e d w h e nt h ep a r a m e t e rf r o mg e d i s u n k n o w n , w eh a v et od e c i d ei t sr a n g e a l s ou s et h es 啪em e t h o dt o g i v ear e a s o n a b l e e s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r s i nm a ( q ) m o d d s ，t h el i k e l i h o o df u n c t i o ni sm o r ec o m p l i c a t e d t h a tw ej u s ts e a r c hab e t t e re s t i m a t ev a l u ei nac e r t a i nr a n g e a n o t h e rm e t h o di n t r o d u c e di s a u t o r e g r e s s i o na p p r o x i m a t i o nm e t h o d c h a p t e r3 ，p a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e di ne x a m p l e s ，u s i n gi l l u s t r a t i o n sa n dt a b l e st ol i s tt h e e s t i m a t e dr e s u l t s ，m o r ei n t u i t i v e l ys h o w st h ee s t i m a t e de f f e c t c o n c l u s i o no f t h i sw o r ki sd o n et oc o n c l u d et h ee s t i n l a t i o nm e t h o d , m o r e o v e rw ed i s c u s s t h ef e a s i b i l i t ya n dw h a tw eh a v et oi m p r o v ea n de x p l o r e di nd e e pr e s e a r c h k e yw o r d s ：a r q ) ；m a ( q ) ；g e d ；r e j e e t i o ns a m p l i n g ；p a r a m e t e re s t i m a t e 一1 1 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 _ t - 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 茎整翌三之! ! 塑主兰焦丝塞 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阕。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：弛 导师魏 玺兰塾 导师签名：刁、妒彳 j ! l 年月丝且 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 时阄序列分析不仅可以从数量上揭示某现象的发展变化规律或从动态的角度刻 划某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界之目 的，而且运用时序模型还可以预测和控制现象的未来行动，修正或重新设计系统以达到 利用和改造客观的目的【n 。从统计意义上讲，所谓时间序列就是将某一个指标在不同时 间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。这种数列由于受到各种偶然因 素的影响，往往表现出某种随机性，彼此之间存在着统计上的依赖关系。为了从实际的 时间数据序列中提取有用的信息，或者说，从随机数据序列中分析出相对稳定的统计型 规律，必须掌握时间序列的相关知识。在时间序列分析中，平稳时间序列是一类重要的 特殊的随机序列，已有比较丰富的理论知识，它们为此类序列的统计分析方法提供了比 较充分的理论基础。所以，现在的时间序列分析，其主要内容是关于平稳时间序列的统 计分析【啦】。本文的研究对象是平稳时序分析中应用非常广泛的自回归模型和滑动平均模 型。这两个模型参数估计，已经有了非常经典的估计方法，但是在实际的观测应用中， 模型中的随机干扰不一定是白噪声，本文即是考虑当随机干扰服从广义误差分布，即 e g e d 时，模型参数的极大似然估计问题，解决该问题的核心思想是推导基于观测值 的似然函数，根据似然函数的形式，采用自适应拒绝抽样方法。 1 1 时间序列的研究背景和简要介绍 按时间次序排列的随机变量序列 x l ，x 2 ，x 。， 称为时间序列。从经济到工程技术，从天文到地理和气象，几乎在各种领域中都会遇到 时间序列，这是统计学中的一个重要的分支。 如果用 而，为，h ( 1 2 ) 分别表示随机变量五，五，j ，的观测值，就称( 1 2 ) 是时间序列( i 1 ) 的n + x l 测样本， 这里是观测样本的个数。如果用 毛，x 2 ，“ ( l3 ) 表示置，五，五，的依次观测值，就称( 1 3 ) 是( 1 1 ) 的一次实现或一条轨道【3 】。 在实际问题中所能得到的数据只是时间序列的有限观测样本( 1 2 ) 。时间序列分析的 主要任务就是根据观测数据的特点为数据建立尽可能合理的统计模型，然后利用模型的 统计特性去解释数据的统计规律，以期达到控制和预报的目的。 1 2 平稳时间序列模型 对于独立时间序列 置 ，( 置，五，k ) 和j ，肿，独立，从而不会含有关于j ，肿，的信 息而平稳时间序列的历史五，五，置中往往含有关于j ，舯，的信息，这就使得利用历 史样本，而，预测将来x ，成为可能。 给定，个实数q ，呸，a p ，口，0 ，我们称 z 一 口l 置j 切2 置一2 + a p x t p = o ， f z ( 1 4 ) 为，阶齐次系数线性差分方程，简称齐次差分方程。其中4 ( ：) = 1 一兰巳称为( 1 4 ) 的 产1 特征多项式。 定义1 1 r o ) 模型) 如果 是白噪声聊( o ，盯2 ) ， 4 ( z ) 的零点都在单位圆外： 4 ( z ) = 卜艺q z o ，1 2 4 s 1 j - 1 就称p 阶差分方程 x t = 艺n i x ，j + s t 。t z 1 实数口。，口2 ，巳使得多项式 ( 1 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 是一个p 阶自回归模型，简称为a r ) 模型。满足a r ( p ) 模型的平稳时间序列 五 称为 a r ( p ) 序列。称口= ( q ，吧，) 。是a r ( p ) 模型的自回归系数，称条件( 1 5 ) 是稳定性条件 或最小相位条件【2 t 6 】。 如果平稳序列 互 的自协方差函数满足0 和以= o ，七 g ，就称这个平稳序列是 g 步相关的。实际问题中人们总是用白噪声的有限线性组合来描绘g 步相关的平稳序列， 这样的线性模型被称为滑动平均模型。 定义1 2 设 ) 是删( o ，盯2 ) ，如果实数6 i ，6 2 ，( o ) 使得 b ( z ) ：1 + b j z j 0 ， i z l - - t 矗“) + ( 1 一f ) h ( y o o s f 1 如果厅( 力逐段可导，尽管 ) 可能为直线段，或五( y ) 可能不是连续的，我们都可假设 而( 力是关于y 单调递减的。 设耽舅 以 0 。类似的如果肌= ，我们取以满足( 儿) 0 。接下 来，连接而) 在点乃，此处的切线，来定义一个函数m 其中 fh ( y o + 一m ) 厅瓴) 垃2 饥+ ，) + o y * 。) ，+ i ) 【而( 儿) + ( y 一儿) ( 以) 耽y s 毛 z , j y - 弘i= 1 ，k 一1 ( 2 。8 ) 毛s y s y r 大连理工大学硕士学位论文 + 盟掌萨j = i , - - , k - i ， z 为y ，与y ，。点处曲线切线交点的横坐标。设= 儿，毛= y r 。由于密度函数 g a y ) * e ) 【p ( 瞳) ) 由七段指数部分组成，从密度函数g + 抽取随机数彳的工作可由逆抽样 和拒绝抽样结合完成。 具体步骤如下： 1 初始化，选择咒 儿，计算咖。) ，h ( y 。) ，h ( y 1 ) ，h ) ，瞳) 和g a y ) 。 2 由密度函数g + ( ) ，) 产生独立的随机变量x ，从u ( o ，1 ) 抽取u 。如果 c 厂e x p 仍) 一以伍) ，则令r = z ，返回y ；否则执行下面的操作。 3 令_ j = 七十1 ，1 中数据加入z ，更新为y 1 ，y i ，x ，h ( y ) ，h ( y k ) ，舣) ， 而“) ，h 也) ，向c 砷，重新计算t 和g + ，返回2 。 二1 0 9 c o n v e x 函数的自适应拒绝抽样方法叭n 1 5 】 令厂) 在支撵h ，y 。】上为对数凸密度函数，其中y 。= 越或者儿= m 或者两者同时 成立。设础) = i o g ) ) ，v z ，z ：涉。，y 。】 d ( f 气+ o - t ) 乞) s ，d ( 毛) + ( 1 一f ) d ( z ：) ，0 s t l 我们假设y l = ，y r = o o ，且有如f 的假设 ( a ) d 。) 是分段连续的，d 分段凸。 ( b ) 存在气和z 。，使得 当y z r 时d ) s 吒) ：当y z 。时如) 如) 。 我们定义函数矿( y ) ，当毛= z z ，气= 孙时，矿( y ) 由连接( z ，d ( z ，) ) ，b 朋，d b 产，) j 的 直线段组成，且保证在每个小区间b ，z ，。) 上d ( y ) 是凸函数。( ，= 1 ，k - 1 ) 广义误差分布下a r ( p 屿m a ( q 麒型的参数估计 僻j 磐伊坐纽二坐“y ，l 哪 y 引z s 乩加。 矿) ：j 生! 止蝴伊生匕d 亟也：，y s ：，+ 。川，加。 i 爿z j + 一 z j + i 吖 耶y - y r 【d r ) 7 另外，我们令函数g + ( 力。ce x p ( d + ( 力) ，具体拒绝抽样算法的步骤如下“0 1 2 1 ： ( 2 9 ) 1 初始化，选择毛 1 ) f i g 3 id e n s 时f u n c t i o n ( r 1 ) ( 3 1 ) 图3 2 密度函数( ，1 ) f i g 3 2 d e n s i t yf u n c t i o n ( r 1 ) 我们假设a r 系统当前的响应置仅与前两个时刻j 0 。和x f - 2 有关，而与之前时刻的 观测值无相互依存关系。干扰项仍然服从参数是r 的广义误差分布。则模型描述为 x t = a # f _ + a i 一2 + 8 其中相互独立，一g e d ( r ) 为了估计s , - g e d ( r ) 的n 2 ) 模型的参数q ，我们需要把 厂q ，) o c e x p f j l kt - 兰p + l l ( 墨一蠢z 一，) ，a | ，1 ( 3 2 ) 二 变形为( 3 1 ) 的形式，再用m a t l a b 编程实现。 鹏蛔隹差，l 华l r ) 即 f 厂( q ) e x p 一 【r - 川 其中口( ，) = 互i x , 6 ( r ) = 五2 。x , - 1 。设参数，= 3 ，参数真值口i = 1 2 9 4 3 ，o f 2 = 一0 5 5 0 9 6 ，x o = 0 ，观测值个数= 5 0 ，则产生5 0 个观测样本分别为 五= 毛； x 2 = a l x l + 6 2 ： 爿k = q 月- 4 9 + 哆丘8 + 毛o ； 其中( f = 1 ，2 ，5 0 ) 是从参数为3 的广义误差分布中抽取的随机数“8 2 们。 大连理工大学硕士学位论文 图3 3 r ( 2 ) 模型中参数q 的抽样( ，= 3 ) f i g ，3 3s a m p l i n go f p 盯a m e t e rq i na r ( 2 ) m o d e l ( ，= 3 ) 由此，我们可以抽取参数q 的估计值，即幺= 1 4 6 7 。 下面，我们用近似的方法估计参数口：，整理似然函数，得 厂( 呸) 。唧f 一吾兰i ( z 幺置一。一五一：) 五f r l f i 矿i 则口( f ) = ( 五一幺墨。) 墨一：，6 ( r ) = 见- 2 一( 五一d q x , 一。) ，抽取参数口：的估计值，即 龟= - 0 7 2 3 8 。 图3 4 a r ( 2 ) 模型中参数的抽样( r = 3 ) f i g 3 4s a m p l i n g o f p a r a m e t e r 口2 i n a r ( 2 ) m o d e l ( r = 3 ) 当r l 时，我们用l o g 。c o n v e x 函数的自适应拒绝抽样方法同样可得到参数的估计 值。同样考虑a r ( 2 ) 模型，模拟效果如下： 图3 5 参数的抽样( ，= 0 8 ) f i g 3 3s a m p l i n go f p a r a m e t e r o 1 ( ，。0 8 ) 图3 6 参数口2 的抽样( ，= o 8 ) f i g 3 3s a m p u n go f p a r a m e t e r a l ( r2 o 8 ) 另外，我们取不同的广义误差分布的参数值和a r ( 2 ) 模型的参数真值，列表更直观 地分析估计方法的模拟效果。 大连理工大学硕士学位论文 表3 1a l l ( 2 ) 模型中参数估计值与参数真值比较 t a b 3 1 c o m p a r i s o n o f p a r a m e t e r sr e a lv a l u ea n de s t i m a t e d v a l u e i na r ( 2 ) m o d e l 自回归模型 g e l ) 分布参数 参数口真值参数啦估计值 参数口，真值 参数口，估计值 1 51 2 1 0 1 3 4 2 - 0 2 3 5 4 0 4 0 8 5 2 01 0 0 01 3 0 5 0 5 0 6 8 2 1 2 ，0 0 7 80 8 3 0 5 9 0 3 20 2 4 1 8 2 5 0 9 5 4 61 1 3 30 4 3 5 20 3 1 0 3 2 51 6 5i 4 5 8 5 - 0 3 0 一0 1 3 4 a r ( 2 ) 3 01 7 0 0 1 5 8 3 0 3 2 4 0 2 8 6 8 3 o1 2 9 4 3 1 4 6 7 - 0 5 5 0 9 6 0 7 2 3 8 3 51 5 01 7 4 0 6o 5 0 0 2 0 3 50 5 00 5 6 9 5 30 5 00 5 4 3 0 1 4 01 2 31 1 0 0 60 1 4 70 2 0 7 0 2 4 01 2 9 4 31 1 2 50 5 5 0 9 60 7 6 7 6 0 51 2 9 0 01 ，4 6 0o 5 5 0 0加7 6 6 l 0 81 2 9 4 31 1 4 90 5 5 0 9 60 3 2 其中用到的基本m a t l a b 知识总结如下 1 9 , 1 9 1 ： 1 r a n d ：均匀分布随机数和数组 m 耐函数产生随机数的数组，它的元素均匀分布在区间f o ，1 ) 上。若是产生在指定 区间a , b 1 上的均匀分布的随机数，为了达到这个目的，首先将r a n d 的输出结果乘以 ( b a ) ，然后再加a 即可。 例如，为了产生一个在间隔f l o ，5 0 1 上均匀分布的5 5 随机数组，则m a t l a b 实现为 口= 1 0 ；b = 5 0 ； x = a + ( b - a ) + r a n d ( 5 、 2 r a n d n ：正态分布的随机数和数组 r a n d n 函数产生均值为零，方差为1 ，标准差为1 的正态分布的随机数，若要产生 一个具有特定平均值，方差为仃2 的随机分布，为了实现这个目标，首先将r a n d n 的输出 结果乘以标准偏差盯，然后再加上想得到的均值。 例如，产生一个平均值为0 6 ，方差为o 1 的5 5 随机数组，m a t l a b 实现为 x = 6 + s q r t ( o 1 ) + r a n d n ( 5 ) 3 ，( q 叻m a ) 分布【1 8 】 ，分布是基于两个参数的一族曲线，z 2 分布和指数分布均是固定了其中一个参数而 只有一个参数的y 分布的子类。 ，函数的定义 r ( d ) = r e - f “西 不完全，函数为 p ( 础) 2 丽1 p 尸出 y 分布与非完全，函数具有下列关系 r ( 水，6 ) = 删一耙( 引 当b = 1 时，两个函数是相同的。 当口很大时，分布近似于正态分布，而且，分布还有一个优点就是只有正实数才 有分布密度函数。 定义，分布的分布密度函数为 y = f ( x l 咖) 2 南e 其中r ( 口) = 肛 4 随机数发生函数 函数g a m r n d 0 功能：生成服从，分布的随机数 表3 2m a t l a b 中服从，分布的随机数的生成 t a b 3 2m d o mn u m b e rf r o m ，d i s t r i b u t i o ni nh a t l a b 语法 说明 且= g a m r n d ( a ，b 1 生成服从y 分布渗数为4 ，b ) 的随机数。 且= g a m r n d ( a ，b ，m 1 生成服从y 分布( 参数为a ，b ) 的随机数矩阵，矩 阵的形式由m 决定。 r = g a m r n d ( a ，b ，m ，) 生成肼x 栉形式的y 分布的随机数矩阵。 大连理工大学硕士学位论文 函数n o r m r n d 0 功能：生成服从正态分布的随机数。 表3 3m a t l a b 中服从正态分布随机数的生成 t a b 3 3r a n d o mn u m b e rf r o mn o r m a ld i s t d b u t i o ni nm a t l a b 语法说明 震= n o r m r n d ( m u ，s i g m a ) 生成服从均值为朋u ，方差为s ，g “的正态 分布随机数。 r = n o r m r m l ( m u ，s i g m a ，聊1 生成服从均值为膨u ，方差为田6 私的正态 分布随机数矩阵矩阵的形式由所决定。 r = n o r m r n d ( m u ，s i g m a ，研，力) 生成m ”形式的均值为肘u ，方差为田( 班组 的正态分布随机数矩阵。 函数u n i f r n d o 功能：生成服从连续均匀分布的随机数。 表3 4m a t l a b 中服从连续分布随机数的生成 t a b 3 4r a n d o m n u m b e rf r o mc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o ni nl d a t l a b 语法说明 r = 埘删( 4 ，b ) 生成服从连续均匀分布( 参数为a ，曰) 随机数。 r = 姗咖d ( 4 ，b ，m ) 生成服从连续均匀分布( 参数为4 ，b ) 的随机数 矩阵矩阵的形式由t n 决定。 r = u n i f r n d ( a , b ，m ，阼1 生成研胛形式的连续均匀分布的随机数矩阵。 3 2 误差项服从g e d 分布的m a ( 1 ) 模型的参数估计 模型插述为 五= 一层禾。其中q g e d ( r ) ( 3 3 ) 下面估计乞g e d ( r ) 的m a ( 1 ) 模型的参数属。 整理得 墨堡董坌塑! 垒墨g ! 堕! 竺鱼堕型盟垄垫笪生 啪，唧一1 磐脯i 由= 置+ 局一i 得毛+ l ，知，推导得 s l = x t + p l x h + ；b ? x | t + + p p x t ， i f f i p + l ，n 设观测值个数= 5 0 ，待估参数层【o ，1 】。 表3 5 g e d ( r ) 的m a ( 1 ) 模型参数属的估计 t a b 3 3e s t i m a t i o no f p a r a m e t e r 层i nm a o ) m o d e lw h e ne t g e d ( r ) 滑动平均模型g e d 分布参数 参数屈真值参数矗估计值 1 50 7 8 50 7 2 8 1 2 0 0 6 2 0 70 6 3 0 0 脱4 ( 1 ) 2 50 4 4 l0 4 3 5 3 o 0 6 5 5 0 6 5 2 1 3 0 0 5 4 8 0 5 9 8 3 o0 9 0 0 0 9 0 0 4 00 4 6 50 4 7 2 m a t l a b 编程实现，参数估计的模拟图如下： 当参数真值为0 9 0 0 时 图3 7m a ( 1 ) 模型中参数屈的估计( 1 ) f 蟾3 7 e s t i m a t i o no f p a r a m e t e r 属i nm a ( 1 ) m o d e l ( 1 ) - 2 2 大连理工大学硕士学位论文 当参数真值为0 5 4 8 时 图3 8 l i a ( 1 ) 模型中参数届的估计( 2 ) f i g 3 8 e s t i m a t i o no f p a r a m e t e r 屈i nm a ( 1 ) m o d e lg ) 在m a ( q ) 模型中，由于随机干扰( f = p + 1 ，) 与待估参数之间关系更为复杂， 已经不仅仅是线性关系，q g e d ( r ) 的a j l ( p ) 模型参数估计方法不再适用，我们假定参 数范围已知，逐一搜索参数的最佳估计值。 大连理工大学硕士学位论文 结论 本文主要研究广义误差分布下a r ( p ) 模型和m a ( q ) 模型的参数估计问题。由于引入 广义误差分布，不能通过对似然函数求导直接得到参数的似然估计，文中基于似然函数 形式的复杂性，逐一估计未知参数，采用自适应拒绝抽样方法求a r ( p 蟆型的自回归系 数，抽取参数的估计值。在滑动平均模型中，由于观测值与干扰项之间的依存关系，推 导的似然函数更为复杂，本文在参数允许域内逐一搜索参数的合理估计值。另外，因为 低阶的滑动平均序列可以由高阶的自回归模型逼近，我们还给出了m a ( q ) 模型的自回归 逼近方法。在第三部分，实例模拟来评价算法的可行性。文中用m a t l a b 实现了拒绝抽 样算法，并且编程实现了对m a ( q ) 模型中参数估计值的逐一搜索。 对于该方法应用于模型的适用性，我们作如下的总结。 1 由于随机干扰服从广义误差分布，其密度函数形式比较复杂，则基于观测样本 置，置，。z 。的似然函数不能像a r ( p ) 模型那样求极大似然估计，文中选用的拒绝抽样 方法为t g e d ( r ) 的a 默p ) 模型提供了估计参数的途径。 2 对于g e d ( r ) 的m a ( q ) 模型，我们主要是应用m a t l a b 软件进行大规模逐一搜 索获得估计结果，并通过图例说明以上估计方法所得结果是较好的，说明此估计方法可 行。 3 在广义误差分布参数，已知时，用拒绝抽样方法可以在一定误差范围内给出参数 的合理估计，但是需要说明的是这个估计值未必是参数的极大似然估计。多次模拟可以 看出，随机干扰波动大小对估计结果有很大影响。另外，还有很多需要研究的方面，当 广义误差分布的参数未知时，目前我们只能延用上面的方法逐一搜索来获得估计结果。 4 对于g e d ( r ) 的m a ( q ) 模型，如何给出更便捷合理的估计算法还可以做深入 和全面的探讨。 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 王振龙时间序列分析中国统计出版社，2 0 0 0 2 安鸿志时间序列分析华东师范大学出版社，1 9 9 2 3 何书元应用时间序列分析北京大学出版社，2 0 0 3 9 4 陈毅恒时间序列与金融数据分析中国统计出版社，2 0 0 4 5 b r o c k w e l lp ja n dd a v i sr a t i m es e r i e s ：t h e o r ya n dm e t h o d s ( s e c o n de d i t i o n ) n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 1 ( 6 g e o r g ee p b o x , g w i l y m lj e n k i n s , g r e g o r c 1 h i n s c l t i m es e r i e sa n a l y s i s ：f o r e c a s t i n ga n d c o n t r 0 1 北京邮电出版社，2 0 0 5 【7 毛瑞华，李竹渝随机单位根过程四川大学学报，自然科学版 8 赵明华，杜海涛v a r 的理论研究与时政分析长城证券金融研究所2 0 0 2 7 9 韦国宇a r c h 族- v a r 方法在外汇投资的风险测量集团经济研究杂志2 0 0 5 1 0 茆诗松，王静龙濮晓龙等高等数理统计高等教育出版社，施酱林格出版社，1 9 9 8 1 1 6 i l k s ，w r a n dw i l d ，p a d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n g