（应用数学专业论文）生态数学模型的若干研究.pdf

摘要 本文主要讨论了几类生态系统的稳定陛及正周期解存在性问题。近年柬， 对于生态数学模型解的问题的研究引起了人们广泛的关注，也取得了一些好的 结果。本文主要是在这些结果的基础上将已有的结论作了进一步的推广，利用 了零维茨定理、s c h a u d r 不动占定理、锥上不动点定理等得到一些新的理论。 本文共分三个部分。第一章利用分析技巧和霍维茨定理研究了捕食与被捕 食种群的循环h a s s a l l 数学模型几何图形表达和平衡点的渐近稳定性问题。第 二章论证了无穷时滞l o t k a - v o l t e r r a 型系统的正周期解的存在性。最后一章通 过锥上不动点定理讨论了泛函微分方程周期边值问题正解的存在性问题。 关键词：生态数学模型；无穷时滞；周期解；稳定性 a b s t r a c t t h ep a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h es t a b l h t y ，p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na n dt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no fe c o l o g i c a lm o d e lw i t ht h e a p p l i c a t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n r e c e n t l y ，t h es t u d i e so fe c o l o g i c a lm o d e lh a v ea t t r a c t e dg r e a tc o n c e r na n d m a n yg o o dr e s u l t sh a v e b e e na c q u i r e d t h i sp a p e rh a sf u r t h e re x t e n d e dt h e s e c o n c l u s i o n so nt h ef o u n d a t i o n so ft h e ma n do b t a m e ds o m en c wr e s u l t sw i t ht h e m e t h o do fh u l w i z et h e o r e m ，s c h a u d e rf i x p o i n tt h e o r e ma n dt a p e r e df i x p o i n t t h e o r e m t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h ef i r s tc h a p t e rd i s c u s s e st h es h o w n e s so f g e o m e t r i cf i g u r ea n de q u i l i b r i u m 8a s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo fm a t h e m a t i c a lm o d e lo f p r e d a t o r - p r e y t h es e c o n dc h a p t e rd i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o nt oi n f i n i t ed e l a yl o t k a - v o l t e r r em o d e l t h el a s tc h a p t e rt a l k sa b o u tt h e p o s i t i v es o l u t i o n se x i s t e n c eo fp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ff u n e t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 。 k e y w o r d s ： e c o l o g i c a lm a t h e m a t i c a lm o d e l ，i n f i n i t e d e l a y , p e r i o d i cs o l u t i o n ， s t a b i l i t y 。 独创性声明 本人声明所呈交的学位论又是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得受韬戈荦或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：尺乏盛签字日期：) 册多年，月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 要鼯有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授捉燃可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 0 ，即x e b 。此时，分两种情况： ( 1 ) 若e b d c ，即d b d 口b ，也就是筇 1 ，此时m 不存在。事实七 彩 1 是不满足实际的。 ( 2 ) 若e b d c ，即卢d b d gb ，也就是a 夕 e b 。 所以双雎线是严格凸的。 又当x 趋向于e b 时，y 趋向于正无穷大；方程y = a x ( b x e ) x 可改为 y = 导( 1 + _ l ) 。所以当x 趋向于正无穷大时，y 趋向于a b 。如图所示： d麟一p 2 2 、分析图形 对直线x = d c ，把平面分成两块，由参考文献 1 知，右边孚 o ， a r t d t 完全类似的，曲线y _ a x ( e b x ) 把平面分成两块，上方冬 o 。以向右 出d f 和向左分别表示粤 o 和宰 o 和譬 o 。作霍维茨行列式 1 = qa z ：l 玎- a o l ， i 口3口2 l 妒匿 ( 4 ) 0 l 口：q l ， ， 口。码i 2 a a n - j ， o o o o 口 o q 口 吒 q 以 i | 屯 生态数学模型的若干研究 i f ( t ，x ) i 口l 工i ， i 妾：蕊一切+ 秒 证阴“1 ) 由方程组1 ：咧：方。 【云5 咧一咖 毗，= p 0 一l z l - o 解出 这里 z 2 + ( d a ) z a d = 0 ( 7 ) 口一d 否 z 2 丁 a = ( d 一口) 2 + 4 a d o 4 兰二兰熊垒兰鲨堕鱼塑登塑堡堑竺! ! ! ! ! 墼兰堡型塞堡坌塑 所以特征方程d ( z ) 的特征根无虚部，可以使用 3 中的定理 由( 5 ) 可得 口o = 1 ) 0 ，口1 2 d 一日 o 。 根据霍维茨定理，特征方程的所有根史部为负。又分析 i 冬：甜一b x y + e y li a y = c r y 一砂 由问题的实际意义立得卜_ b x y + e y l 7 7 h ，l c x y l r 圳，其中_ 、r 为适当小。因此， 我们可以使用引理2 知平衡点m 是渐近稳定的。 ( 2 ) 可类似证明。 循环性态数学模型的研究更具有其实际意义。同时，其微分方程还有很多 良好的性质，如时滞下的解的有界性问题；正平衡点的全局稳定性等值得研究。 另外，循环性态数学模型中三种群及多种群生物链也可从中得以推广 5 生态数学模型的若干研究 第二章无穷时滞l o t k a v o l t e r r a 型 系统的正周期解 2 1 引言 用b 表示所有连续有界函数妒：( 一o o ，0 】寸r ”组成的空间。对v b ，定 义l 妒i = s s u p o 妒( s ) i ，其中妒( s ) = ( 纯( 咄仍( 咄，( s ) ) ，i 妒( s ) i = 喜协( s ) l 。在本 月 文中，对帆= “，x 2 ，矗) e r “，我们定义ixl = k l 。 考虑下述无穷时滞周期泛函微分方程组 警= 删( 删瑚剐堋一肥碱f = 1 2 ( 1 ) 其中t e r ，x ( f ) = ( 毛( 0 ，x 2 ( t ) ，矗( f ) ) r ”，t ( j ) = x ( t + s ) m - - _ $ j s ( 。，o 。对于 i = 1 ，2 ，n ，啦c ( r ，劢，瓦， c ( r 丑 固，q 9 + 功5 q ( f ) ，晚o + c o ，妒) b a t ，妒) ， ，0 + t o ，妒) ；，( f ) ， 0 。 对方程组( i ) ，作如下假设： ( i - , ) 存在常数c i ，c 2 ，c 0 及连续的珊一周期函数 a “( f ) ，o - 2 o ) ( f = l ，2 ，力，使当伊= ( 妒1 ，妒2 。9 。) b 且0 伊。( s ) c 时，对 v t , a i ，( f ) q ( f ) 一，o ，力锡，( f ) ，f a , , ( t ) d t 0 ，其中p ( ，0 1 ； ( 哎) b a t ，f o ) 把有界集映为有界集，且存在连续非负的m 一周期函数6 i ( ，) 对 v r r ，v 矿b ，包p ，力岛，o ) ，f6 i ，( t ) d t 0 ，i = 1 2 ，胛。 方程组( 1 ) 通常被称为具有无穷时滞的周期l o t k a - v o l t e r r a 型种群动力学系 统，它是较为一般的周期时变环境中”个种群相互作用的生态模型种群动力系 统，是多种群相互作用的生态数学模型，研究其正周期解的存在性，无论在数 学生态学理论中，还是在泛函微分方程理论，都有非常重要的意义。文【5 】在 6 第二章无穷时滞l o t k a v o l t e r r a 型系统的正周期解 6 ，( ，p ) = 6 ，( f ) 情况下研究了方程组( 1 ) 的正周期解存在问题，在文 5 】讨论中 要求，关于妒为局部l i s p c h i t z 的，且：( f ，p ) o x c s ：o ( s ) 0 。本文利用s c h a u d e r ：动点定理及一些新的分析技巧讨论方程组( 1 ) 的丁f 周期解存在性，得到了j 下 周期解存在的充分条件。在本文结果中，不必假发，关于妒为局部l i p s h l t z 的及 ，为非负的，因此本文结果在一定程度上推广并改进了文【1 】的结果。 2 2 一些引理 记q = u c ( 尼r ) ：l ，( f + ) ；u ( f ) ) ，设日，6 巴。考虑微分方程式： z ( f ) = - a ( t ) x ( t ) + 6 p ) ( 2 ) 工( r ) = a ( r ) x ( f ) 一b ( t ) x 2 ( f ) ( 3 ) 引理1 嘲若方程r a ( t ) d t 0 ，则( 2 ) 存在唯一的m - 周期解 引理2 设f a ( t ) d t 0 ，b ( t ) o ( v t e r ) ，f b ( t ) d t 0 ，则方程( 3 ) 存在唯一i e 的6 0 的周期解 圳= + e x p ( f a ( r ) d r ) b 凼 - l 证明：作变换y ( r ) = 丽1 ，则方程( 3 ) 化为 州rj y ( f ) = 一a ( t ) y ( t ) + 6 ( r ) ( 4 ) 于是由引理1 知，方程( 4 ) 存在唯一的- 正的周期解 如坩嚣裴翳率凼， 根据对“t ) 所设的条件，6 ( t ) 连续非负，不恒为0 ，故y ( r ) o ( v t 矗) ，从而方程 竺查垫堂竖型塑苎里! ! ( 3 ) 存在唯一的甜j 下的周期解 川十。高辫出i 引理3 ( s c h a u d r 不动点定理) 设x 为b a n a c h 空f b j ，d 为x 中的有界闭凸 集，t ：d d 为全连续的，则t 在d 中必有不动点。 2 3 主要结果 令丘= e x p ( f a ：，q ) d t ) ，m , = i n e e x p ( f a , ，( f ) d f ) ，f = 1 ，2 ， ，则由( 研) 知， 置e x p ( f a l ，( ，) 西) 1 假设 ( 凰) 肌缈2 嚣m 玑坞其中c 为( 皿) 中的e 。 定理1 若( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 满足，则方程组( 1 ) 存在正的- 周期解。 证明：记吃= “c ( 足r ”) ：“o + 口) ；“( f ) ) ，v “吃，定义“的范数为 i 0 = s u p ) i 则吃按此范数为一个b a n c h 空间。 令q = “吃：“( f ) = ( z f l o ) ，“2 ( r ) ，( f ) ) ，o o 对，r ( i = 1 ，2 ，舸) ， q ，器鲁蚋州咄- 川， 吣“，茎旷i - 孝- ：z - 4 a s , u , ) d s 卜等 舭 - k m , - l r “埘1 ， 故由( h 3 ) 知，0 1 ，f = l 2 ，仃。v t r ，当t 。s t + u 时， s嘶，s)iexp再(f蕊a2,(t)d焉r)耵m210 t 舻1 。2 e x p ( t ) d t 1 ，n 。 sq ( ，s ) 1 瓦，- 了，l = 1 ，n 。 ( n0 1 。 ) 一 叫 类似可得，v t 置当t j t + u 时，下式成立。 。s ， 田s 告卢聃一m 由于“将有界集映为有界集，故存在常数a 0 ，使v “q ，有i n ( t ，) i , 4 1 ， t = 1 1 2 ，h ，从而i q ( t ) i ，”。4 幽= 鲁兰等。又由( h t ) 知，存在常数如 。， 使v “n ，有i 五( t ，t t ) 1 - o ，岛j ( t ，曲关于t 为周期的且关于s ( 一o 。，o 】为绝对可积的。 令钆( r ) = q o ) 一窆兰k i 一nh ( r ) l i k v ( t ，s ) 陋， ，= l ，- l；l 生态数学模型的若干研究 吒( r ) = q 。) 一窆兰k + 窆h ( 叫k ( ) 陋，一，z ，佃 记v = ，障唧f ，州r ) 打) l 。= 唧f f 啪皿f ) ，z = 1 2 n 。 定理2 如果r q ；( ) 出 o ，f b , ( t ) d t2 乌，z = 1 ，2 ，n ，则系统( 1 3 ) 存在 币的甜一周期解。 证明：在定理1 的条件( h ) 中，取c 1 = c 2 一c 。= 1 ，即知定理1 的所 有条件满足，故结论成立。 注：关于系统( 1 3 ) 的正周期解的存在性，文【1 】在“( f ) ，( t ) ，锄( d ，( ，s ) 均 为非负的前提下，给出了若干结果。本文定理2 给出了新的不同的结果。 例1 、讨论具无穷分布时滞的2 周期两种群l o t k a - v o l t e r r a 型系统 其中硝心) = 4 ：( ，) = 刍s i n r ，吐。p ) = 吐：( ，) = 1 c 。s f ，( s ) 非负在( o 。，。】上可积 且屯o ) d s = 1 ( i ，= 1 ，2 ) 。 记 q ( f ) = i 1 一万1i s i i l f i ，q ：( f ) = 而1 一而1 l c 。s f i ，6 l ( f ) ；1 ， 啦。( r ) = i 1 一丙1f s i n ，i ，屹( f ) = 而1 一去i c 。s f i ，如( ，) z l 。 易见 f q ( t ) d t o ( f _ 1 ，2 ) ，毛= e x p ( r 8 吒( f ) 西) = 口；+ _ ，也= e x p ( r 。q ：( ，) 西) = p ；， m = 。感。e x p ( f q ，( r 矽f ) = 1 ，鸩= 。i n 。f 。e x p ( j a ：( 沙) = 1 ， 从而有胁舭砌 等= e 托l ，n ( f ) d t = 2 x k m 2 - 1 = e 弦l ， 故宗理2 的条件都有满早所以方程f1 4 1 存存诈t 周期锯 1j b 叫蛐 们 h 咖 j r 钆 岛。 小圯 屯 k ：d一：乏川 一： 卜 r k 二j r u l l ，v1哆 以 h 苫 o 一 ”一 掣掣 第三章泛函微分方程周期边值问题j 下解的存在件 第三章泛函微分方程周期边值问题 正解的存在性 3 1 引言 本文研究一阶压函微分方程周期边值问题( p b v p ) j x ( f ) + 厂( f 一j = o ，r ， ( 1 ) 【x ( o ) = z ( ) 的正解的存在性，其中i = 0 ， ，0 3 0 ，厂：i x c - - r 连续，且将有界集映为有 界集，c = c ( 一t ，o ，r ) ，t 耋0 ，c ，薯( e ) = x ( t + 0 ) ，t i ，一t e 0 。任意e c ，定义l | l i = s u pi 妒( 0 ) i r 目s o 近年来，泛函数微分方程周期边值问题受到人的广泛的关注，这方面已出现 了一些较好的结果( 参见文 1 1 1 4 】) 。其在生态数学模型中作用很大。最近，文 1 5 】 讨论了p b v p ( 1 ) 的正确的存在性，文【1 5 所给的基本假设是存在常数m 0 ，使得 m e ( o ) 一f ( t ，) 0 。这一假设对厂提出了非常高的要求。本文将对这一假设条 件进行改造，给出p b v p ( 1 ) 正解存在性的一个新的结果，讨论的方法是利用 锥上不动点定理。 3 2 准备工作 考虑一阶线性p b v p f 工( f ) + 缸o ) = 盯o ) ，t ， 【x ( o ) = x ( c o ) 其中m 为正的常数，盯c ( i ，r ) 。令 m p 巫二丝生，te l 、7 1 一e x p ( 一m o j ) 7 ( 2 ) ( 3 ) e x p ( - m 0 2 ) r f t l l _ 一 1 一e x p ( 一m o o ) 、1 一e x p ( 一m o o ) 引理1 p b v p ( 2 ) 有唯一解 z ( f ) = f ，( f s ) 盯( s ) a s + f ，( + f j ) 盯o ) a s ( 4 ) ( 5 ) 记j = 卜- ，国 ，e = c ( j ，r ) ，e ，定义0 x0 = 甓罗卜( r ) i 。对任一确定的常 数m o ，任取“e ，考虑周期边值问题 暖。卜八坼x 健7 由引理l 可知，p b v p ( 6 ) 有唯一解 吒o ) = f ，( t - s ) c r 。( j ) 出+ f r o ，非负函数g ( f ) c ( ，r ) 以及正常数j 8 1 1 中1 1 ( - , 0 o ) ) ，瓯( f ) = 胁( f ) 一f ( t ，坼) 。 在民中定义锥 k 5 = 扛晶：x ( ，) - 8 1 ix0 ( f ，) 。 引理2 若( 8 0 满足，则r ( ) c k 5 。 证：v “k 。9 1 j v tf ，有“，( 吕) = “o + 吕) 占4 “l i - 8 l 甜，i i ( - r 口o ) ，从而 “，c 5a 由( 4 ) ，( 17 ) 旋( b 1 ) j u ，刍f h q ， ( 爿“) ( ，) = f ，( t - s ) a , ( s ) a s + f r ( c a + ) 吒o ) d s = f ，( f j ) ( 巳( d + g ( s ) ) 西+ f t ( c o + 卜d ( 吒( j ) + g ( s ) ) 凼 一f ，o d ( g o ) a s r r ( 缈+ ，一力g ( 印c 西 2 t ! ! ! ：! ：l ；苫j 彦暑r 【吒( s ) + g ( s ) 】矗，一了二：焉；1 i 二x 7 石r g ( s ) d ， = 器f 啪胪胁 ( 1 e + x p 6 卜) e m x p ( - ) m j c o ) 旬g ( ，) 出一f 占( ，) 西 = 面8 1 1 + 丽e x p ( - m c o ) 胁) 出。 ( 1 。) 当f 肘，类似( 1 0 ) 前半段分析可得 ( 删( f ) 五而1 ，e c r ( s ) + g ( s ) 协一瓦e x p 面( - m ：而c a ) r g ( s ) 西 2 去r 啪肌胁冲 生态数学模型的若干研究 ( 踹f 啪) 一胁飚川 | | 死8 1 - e x p - m o o ) f c r y ( s ) 西+ f g ( s ) 幽 再由( e ) 可得( 死) ( ，) - 8 1 it u t d ，所以t u 心，故丁( ) c 引理3 设7 7 为任一正常数，q = x e 岛：i i xl i o ，f 。 0 ，f 。 0 ，_ 0 ，g o 0 ( s 与充分的小， r o 充分的大，r 如使得 f ( t ，) g ( o - e i j 圳，对于c 6 ，0 c l | 列，r ， f ( t ，) _ m ( 8 - 1 ) - e l l 妒l l ，对于8 矿1 1 2 r ，g ( 1 1 ) ( 1 2 ) 令q i = 缸g o ：0 x i _ ) ，则v 秘n a q l ，有u t g ，且o 0 坼0 - 1 i “0 = ， 由( 1 1 ) 可得：当t 肘 ( 4 “) ( f ) = f ，p s ) 吒( s ) 凼+ f r ( c o + t s ) 吒( s ) 】凼 f ，p j ) “吖一g ) 忆卜g ( j ) 凼+ r ， + ，_ j ) ( 肘一占) l m - g ( s ) 】西 sf ，p s ) ( m 一占) i 陋+ r ， + ，一s ) 【( 肘一f ) m j d , s 一s ) 眦，o s ) 凼+ f r ( c o + t s ) 矧 = ( 肘一刮肌) 幽= 百m - e 1 1 1 1 “0 ， 从而有l l t u l l = m a x l ( a u ) ( t ) f ，得矛盾， 故知 “一砌2 u o ，粥：v u e k 5 n 鼬2 ，v a _ o 。再由引理3 可知丁：n ( 酉q 1 ) j 全连续。所以根据引理4 ，t 在k 0 ( 西n q 。) 中必有不动点，即存在 磁n ( 酉q ；) ， 吏t u i = ，”。( f ) 8 1 1 。i i - a n o ，u l p b v p ( 1 ) 的正解。 ( i i ) 假设( b o 成立，证法与( i ) 完全类似，具体过n - 略去。 t f 参考文献 参考文献 【1 】徐克学，生物数学【m 科学出版社，1 9 9 9 1 0 ，2 1 5 2 5 0 2 】陈兰荪，数学生态学模型与研究方法 m 北京，科学出版社，1 9 9 1 ，1 5 8 一l7 0 。 3 】尤秉礼，常微分方程补充教程 m 】北京，人民教育出版社，1 9 8 1 3 0 0 3 2 2 f 4 】杨泰山，相互干扰的捕食与被捕食者种群的h a s s a l l 模型定性分析f j 生物数 学学报，2 0 0 1 ，1 6 ( 2 ) ：1 7 5 1 7 8 【5 】滕志东，一类无穷时滞周期l o t k a v o l t e r r a 型系统的正周期解，数学物理学报， 2 l a ：( 2 0 0 1 ) ，9 4 0 1 6 】彭世国，朱思铭，无穷时滞泛函微分方程的正周期解，数学年刊， 2 5 a ：3 ( 2 0 0 4 ) ，2 8 5 - 2 9 2 【7 】o o p a l s a m yk g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nap e r i o d i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a ls y s t e m t o h o k um a t h l 1 9 8 5 ，3 7 ( 3 ) ：3 2 3 - 3 3 2 8 】t i n e oa a ni t e r a t i v ec h e m ef o rt h en - c o m p e t i n gs p e c i e sp r o b l e m jd i f f e r e n t i a l e g n a t i o n , 1 9 9 5 ，( 1 6 1 1 ) ：1 - 1 5 【9 9 a h m a ds , l a z e rac ，o nt h en o n a u t o n o m o u sn - c o m p e t i n gs p e c i e sp r o b l e m s ， a p p l a n a l ，1 9 9 5 ，5 7 ( 2 ) ：3 0 9 3 2 3 【1 0 】郑祖庥，泛函微分方程理论，安徽教育出版社，合肥，1 9 9 4 【1 1 】l e e l as ，o g u z t o r e l i m n p e n _ , i o d i e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m f o r d i f f e r e n t i a l ，e g u a t i o n s 谢t l ld e l a y a n dm o n o t o n ei t e r a t i m e e t h o d 阴， j , m a t h ，a n a l ，a p p l 1 2 2 ( 1 9 8 7 ) ，3 0 1 0 0 7 【1 2 h a d d o e kj r n k a s h a m am n p e r i a d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dm o n o t o n e i t e r a t i m e m e t h o d sf o rf i m c f i o n a ld i f f e r e n t i a l e g u a t i o n s 明，n o n l i n e a r a n a l ，2 2 ( 1 9 9 4 ) ，2 6 7 2 7 6 【1 3 j i a n gd a q i n g ，w e ij u n j i e ，m o n o t o n em e g h o df o rf i r s ta n ds e c o n d o r d e rp e r i o d i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dp e r i o d i cs o l u t i o n so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e g u a t i o n s j 】，n o n l i n e a ra n a l ，5 0 ( 2 0 0 2 ) ，8 8 5 8 9 8 1 4 】j i a n gd a q i n g ，n i e t oj j ，z u ow e n j