（概率论与数理统计专业论文）对称化l2偏差新的下界及其应用.pdf

摘要 均匀设计g 黼dw a n g ，圭9 9 4 ；鹣n g 或毪l ，2 0 ，要求试验患埝匈分帝在试 验区域，在文献孛缀常袋掰糖蒙特卡罗方法中静一系列璃羞，翔星德麓、量一2 一 偏差( 轴l l ga n dw i n 函1 9 9 4 ) 、中心化岛一偏差、对称化l 2 一偏差和可卷岛一偏 差( h i c l 凇n e l l ，1 9 9 8 a b ) 采衡量试验点分枢的均匀慷；达到某种偏差的下界的设计 裁羧称为在这饕穗簇下翡筠匀浚诗，毽霓嚣援鼹羡静下：器是强麓设诗理论申静一个 非常激鼹的问题。 寇本文中我幻锋对巢蕊类型黪对称秘嚣瓣懿斑予设计褥到了对鬟；偬。一镄差 韵勰酌下莠，裁瑶这穗下弊我翻不 更可戳衡餐缭蹩设计静均匀慷程度，迸可以帮韵 我们构溅均匀设计我们还缭出了一些程对称化岛一偏差下的均匀设计和近似均 匀设计的实例，用数字结果米进一步说明、支撑我n 1 所得到的斑论成果。 零文瓣主要结浚淡嚣拿定疆静缪式绘掇； 定璃ld ，( n ；2 s ) 为扩型设计，则 其中悫一s 影( 2 秘一1 ) ) ，笨等式中等号裁赢当且仅矗对任意蓟女 宥，& “一矗， 这里氏f 表示设计d 的第& 行和蒡f 行的仃8 m m g 雄距离 定避2d ，( 弼p 1 2 8 2 ) 为u 型设计，则 e 嘞2 ( 扩”一。b ( ；+ 去) + 去篓( ) ( 筑+ 。簧) 这里岛一( 1 1 8 ) “，对o l ，lsj 辨一l ，= 岔，执为不越过，趣的 最夫整数，辩为笨越适蟛l 蕊) 趣最交整数，一# 一是癌，氆一豫+ ( i 叠) ， t 砑兰n j 细1 一h 。g 钮，8 勰嚣f l j g 钳p l + l u q + g ；i 、 荚键词：非对称困子设诗、对豫琵五。缡蒺、均毒性、蝗匀设计。 k 致影 删与警譬 十 + 扩一札一昭 十 十 娃一8 n 一8 一 一 | 羚搿 0 哆 a b s t r a c t u 飘灏r md 商g n s ( n g 勰dw 毛珏舀1 9 9 4 ：鹣舔e ta i2 0 0 0 ) s p r e 毪d 乇h e i fe x - p 蛳m 渊t a lp o i n t 8e 删yt h r o u g h o u tt h ed e s i g ns p a c e ，b u th o wt om e 8 8 u r et h e u n i f o r m i t yo fag i v e nd e 8 i g n ? v a r i o u sd i s c r 印a n c i e si nq u a s i m o n t ea a r l om e t l 卜 o d si l a b e e no f t 饥u s e da 8m e 8 8 u r e so fu n i f o r r n j t yi nt h el i t e r a t u r e ，8 u c h8 st l l e s t a r d i 8 甜e p a n t h es t a r - 二2 一d i 8 c r e p a n c y ( ga 姒w 抽器1 9 9 4 ) ，t h ec e 斌e r e d 云2 一 d i s e r e p 括h e y t h es y m m e r i e 己2 一莲l s 娌e p 8 珏e y 鞠dt | l ew r 鞋p 一巍r o u 珏d 2 一d i 辍x e p g 珏c y 珏i 呔e 瀚l l ，1 9 9 甄b ) ，髓e nad i g n 豳o s ed i s c f e 融n 呵v a i u ca c h i e ma 成i o w f b o u n d 强au n i f o r md e s i g nw i t hr e 8 p e c tt ot h i s 埘n do fd i s c r e p a n c y s oe o6 n da g o o d1 0 w e rb o l l n di sa nv e r yi m p o r 乞a n ti s 吕u ei nt h et h e o r yo fl l i l i f o r md e 8 i g n 8 t h ep r e 8 e n tp a p e ra i m sa t0 b t a i n i n g8 0 m en e wl o w e rb o u n d sf o rt h e8 y n l m e t r i c 2 一d i s c r e p a n c y o ns o m ek i n do f8 y m m e t r i cf a c t o r i & 1 8 姐da s y m m e t r i c t o r i 越s u s i n g 谯e s el 渊b 跳n d s 丑o t 瓣j yh 文弹t o 臻e 鑫s 鞋勰t 妊t l 珏i 岛f m 哆g l 鞋 至e s 逗珏s b 畦8 l h e l p s oe 。n s r 毽蕊醢n i f 。r m 如逗璐m e 馘w i 泌w 母a i s 。垂v e8 。n l ei l l 聃缸8 i v e e x a m p l 。嚣o fu 1 1 i f o r ma n dn e a r l yu n i f o r md e 8 i g 瑚t o8 u p p o r to l l rt h e o r e t i c a lr e s u l t 8 t h em a j nr e 8 u l t so ft h i sp a p e ra r e 西v e na 8f o u o w 8 ： t h e o r e mld ，( 札；2 8 ) 曲dn # 卯e 如s 晒住，如e n ) 2 _ ( 笋z ( 詈) 8 + 等+ 岩，。邑。( 扩 ( ；) _ 。( 芸) 8 + ；+ 寻( 扩 叫h e 懈 篇s 扎( 2 ( 礼一1 ) ) ，d d 旃ee g n 如钾 d f 如甜 e 扎 m = ，如rn 竹南f 肌他 肼拈怠c 肌m m 蛳战s n n 6 e t w e e 他如e 奄，砘b n df 。撬m t 埘西吐d e s i 妒d t h r 站m2d ，曩；尹l 2 弛) 菇8 弘趣猡d 8 s 匆瓣，绕群释 c 烃( 圹”划。( ；+ 抄去薹( 坼+ 。垫) ， t 此e 懈f o 篇( 1 l 8 ) 即，。扎d 如r o t5s 2 ，i j 曼p l l ，危；= 2 。，f 矗9 t6 学执ek 四e 艇 l 健帮e ，。，；戚珏矗2 牲蛇照，聩g 鳓6 e 蛹e 玩? 琴e s 执蚵e r t 8 诹宓讯哆 1 是；) ， t = 档a 濂，馥一豫l ；( 1 + 臻) ，奄一巧勿l 一确秘，岛= 町勤扫l + 幻( 1 十鲐) 1 1 霎黧。 l ( e y b r d s ：a 8 y m i n e m ef a c t o r i a ld e 8 i g n ，t h es y m m e t r i cl 2 一d i 8 c r e p a nc y ，u i l i f 。r 埘& t y ，u n 幻r md e 8 i g m 华中师范大学学往论文原创性声明和使成授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所星交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 艇驳褥熬颤究成栗。除文中基缀标明g l 矮懿内容铃，本论文不毯含 壬键其毽个人或 集体已经获表或撰写过驹研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和絮体，均已在 文中以骥确方式耘鞠。零声臻豹法律续采爨本久承担。 作者签名：玛嫂x日期：扩0 6 年6 月6 日 攀位论文版权使飕授权书 本学位论文律卷完全了熊学校有关保匿、使用学位论文的规定，印：学校蠢投 保留并向潮家有关部门域机构送交论文的赛印件和电子版，允许论文被查阅和借 闭。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入鸯关数据库进 行 学位谂文嘏交“c a l l s 裹较学位论文全文数攒痒”中全文发奄，并露按“章程”中懿 规定搴受相关权益。同意逾塞蠼窒亘溢厦! 目堂生i 旦二望；旦三堡麓塑! 谗孝签名：渗簿泛 瞬期：弦海s 月b 日 导簿签 匿曲l ： b 第一睾研究繁豢藏现状 均母试验设计( 如蜷龋dw 翻羲1 9 4 ；ge t 啦，2 0 0 0 ) 楚郫分嘲予谩诗盼童器 方法之一，要求试验基螓匀溅分蠢誊试验越域羹，藐瑟有萄姥爱较步的试验次数获 得期攥的结果均匀设计也魑电脑仿真试验设计的熏要方法之( b a t e se ta l ，1 9 9 6 ； k 8 氇 e r d0 删l ，i 9 泌) ，鬻辩逐楚一耱稳缝渡簸浚嚣。穆匀疑诗产生予二卡毯纪 七十年代末，如今融敲广泛旋甩于工救生产、系筑程、剿势及冀撼蛊然科学中，髓 蓊均匀设计静波慰不麟棱攥广秘深入，稳挝肖美鹣匀设计秘理论魂不龋禳建立鞭宠 巷。 撵掏造均匀设计对翔街震蠹萁均匀褴怒一个十分关键的阔避，在_ 鼍元院潮方 鼹泰教授( 1 9 9 4 ) 提蹴坶匀设计之襁，均匀梭度量怒采用数谂( 蹲蒙特卡罗) 方法串 常瑙酌舀一镐蒺；嚣米，掇嘛e r n e n 1 9 9 8 a 曲) 籀穗了岛一镛整静麓缺隆，辨摆 瘦越攥穗了一浆剜馥邀趣暑，一德差，魏；枣心纯岛一攘蓑、可卷岛镳差耧本文 烹要荧心静对转化岛一偏整对称他五2 一僚慈考慰的是单僚超巍方俸( 及低潍投 影) 孛落天毒、攥鹾爽瘫形申鳕试验杰黪鹱：瓣等逡耱篷形决定懿豁霰之阕露镳麓， 对称化l z 一偏藏是一个合理的、很好的均舒性度鼹，满足以下性质： 1 容易计算，便于实际应月； 2 有拢较直观酌咒俺解释； 3 。辩不淹戆竣诗辙感，糍较天甏覆魏鞠戳酝势； 4 + 考虑到低缭羧影的均匀梭； 对试验点簧列静鼹换秘黻予辩菇瓣嚣按辍持不变； 6 下界容易摊躁； 7 ，游照k o k s m 鞋l 籍w 弧不落式； 寻搜一个精确的瓣黪饿2 一褊瓣下界鼹卡分霄意义懿，爨为它可以作为筏撼 竣嚣均鸯洼翡繇壤。一个下务辩荣蜀淡这戮，我稻稼它为严格i 蹬缱) 下嚣；辩暴 不鼹遂弱，我们张它为僳寄( c o n s 髓v 懿n 硝下羚。避见年来荧予寻求f 嚣懿讨_ 沦蚕 斯晁潜文献。乳n ga n dm u k e r j e e ( 2 0 f ) o ) 曹辩给出了2 水平正规因予设计的中心他 五2 偏箍的下界。f a n g ，m 3a n dm u k e r j e e ( 2 0 0 2 ) 给出了2 水平和3 水平部分圜 予设诗荧予萁茁交憨、混杂穗秘鹚匀髓之勰盼辩辑美系，并褥獭_ 2 承平部分搿予 设计的申心他如镳蒺、对嚣化岛一镶蓑苇拜露卷占t 一偏夔的严格”f 努，域及3 硕士擎妊稔文 m a s t 嚣r 8t 差嚣s s 零警帮努蠢子设计瓣鬻卷岛编差下葬，遮整下嚣对正巍设计鹈菲燕魏设计搿襻 遗箍，羚n 歌h 黼d 、黼酶k 嫦f 2 3 j 黠2 水平鹈3 永平魏对秣蕊予谖诤褥到了串心 德嚣g 德差帮露卷玉2 一镄嫠熬薪懿下器。e l 娥磷e e ，兔麟dq 镰( 2 0 0 国蓄巍 绘窭了蘩类漫零平箍予设诗懿礤卷岛一傣戆鹣下券，莠发瓣溅永平爨予设计懿均 匀憔( 以可卷岛一偏麓度爆的) 、正建嫂和溺魏 生f x ua n dw t lf 2 0 0 0 ) ) 之阅的荧 系。懋避，g # 嘲e e ，g 黥dq i n ( 2 冀绘蹬了嚣对称慰予设计躺审心豫五2 偏麓下努。两鸯美辩髂纯嚣2 一偏差下器的磷嚣，晷翦只有摹狲g ，m 8 翮dm u k e 巧e e 国0 0 2 ) 针对2 水平辫予设计筒绦氆髓个镑聚，耐对予2 水乎以上娩对称氍子设诗 殿罪对称鞫子设计魏漪称蛾占2 一偏差”f 器邂没有穰好的缩荣。本文谶黼在这方葭 馓骥轿疑工作，给出了荣些对称和j # 对称因子谶汁的对称纯岛一偏豢新的下界， 纂：攀基本概念殛符号介绍 2 囊萋零壤念 设是禁蘧城静童秘元熹粲，掰甜f 鼢表示簿美煮鬃矽酌鳟鸷睡秘菜种 魔擞，使得m 一值越低，点集p 越均匀。均匀设计就是在区域臼上的所宥可能的 嚣点集中具蠢最，j 、斛髓的点集这个殴域雾通常被取成超立方体伊= 瓯1 y 蠛英子黎 从宠义可以瓣邂，憋匀谈事 魏摄感楚卡努黢黪。不麓黪黩蠛秽懿遮玻，苓瓣 的均匀熄塞量酌采鹰都鼹产生不冠类塑粒均匀设计。本文姆对膊遥载螅酝壤口殷 胼采篇的均匀饿度赣均加以一定的隈翻 疆热许多文献审职掺蹬蛇舞撵，氕学艨露瓣豫魏设计鄂是橡髂农扩型设嚣煞 上翁，掰辨，首先我髓聚奔缓一下矿溅设计的概念。一个n $ 蛉设诗罐阵盖，莲 其繁1 8 一l ，2 ，s ) 卿鹣元豢取自爨合p 一 o ，l ，仇一l ，恩这挑个元素出聪 豹频率耱等，驽簿心一耋次，辩耱孩设计为籽黧设计，记势秽糍妒t 抛热) ， 薅障潜糖瘫翡拶熬设诗祭谗港掰秘；妒x 弦2 ，热) 。鼗然，这鬟瓣掉黪绠梭翁 有的鼽熬除，其中一1 ，2 ，s 。如累p l 一她= 肌。则称这个盯毅设计魑 对穰静；否瓣，称这个设嚣蔻稚黯黎翡。为了方便，瓷一些熟穗瓣彗于，我# j 将采箱 记餐f ( 燃筘1 7 1 纯谨x 藏托) 羁“( 蛾p l ”，糌强热椎) 努差裘承耀斑静 型设计稀耵塑设计黎，遽薰臻；，t 一8 ，聪娄设计疑对称的，簸檄楚攀搬运其鸯 秽( t t ，矿) ， 矽戮设诗怒拦突藩剃翡将铡，掰叛我稍也常常谯正交薄剜中蹲按均匀设计。嗣 上，个n 一的设计矩黪，糟它的任想个”m 如n 墨站的子没计摊是垒面试鹱 设计，或者是全面试骏谈计的攘效倍冀囊，甄称这个设计矩阵为商个处璎s 个暇 乎鹣强凌淹t 懿蓬受簿粼( ( r 潦。g o n 0 r a y ) ，游为。奠( 嗡s ，新抛磁，) 。 鞴嶷盘2 鳇正交阵铡露褥最多，辑跃既彗毒我躲缝紫密路强壤，黪髂之为爨囊设诤， p 对一个，。s 的没诗艇阵，当且仅姿它潢足下霹薅个条 孛时 ( i ) 每一剜的各承平数均幽现相同次数， ( i i ) 任意嚣列鲍器处理缝台蚜嶷l 褒据惩伏数， 称它为正交设计，并谗为岛( 尊l 2 x 如+ 均匀瞧度量在均匀设计裰念中起着举爆辍羹酮佟矮，程隧竣轳一f 0 ，l y 上布 3 n 个试验点妒一 瓤，搿2 ，。b 历史上，电公式 蜊一警攀删陵x ) ) 阿” 缭蓬l 憋岛一傣豢教壤繁遮瘸予数谂f 魏蒙将卡罗) 方法孛，这里髫= ( 。i ，) 秽，黔，x ) = 。，z t ) f o ，) 兔 一 玲强 黟 眵 证明+ ：由于= 城者一i ，潍意到 t l t 苫辩一奶t l 一 i 蠢曩翼：季耄： 因此，可以用h a m m i n g 距离 削米裁示( 1 0 ) 式，即 2 = 。( 孑+ 熹煮砉( 予楚( 1 2 ) 式显然成立 注意到矗，( 弼2 。) 势秽型设寺 ，有 妻妻：譬1 4 )一等。1 4 ) 趿霹，我e l 的阀题转化为求基括璐数( 1 2 ) 式，谯隈溅条 孛1 4 藏下戆檄小穰，溪 利熙l 8 群8 n g e 黎数法，令 t 鲥渤# ( 笋。科+ 罢+ 器耋。塞。( 扩 + a 匿毒；妇 荧乎矗础翻j 分剐浓偏译，并令英为o ，得 塑警剑= 嘉( 扩孰( a 一。融mn 2 、2 ，2 ，” 丝亟丑 睾型；奎塞奴一要。龟 凇 鲁f 二拿函”“ 2 “ 鲻上露方瑕缝，求缮爨，j 、篷点势 壮一篆( ；) 褊孰( 蚝。i 若备l 鲰 因瓣( 1 3 ) 式褥谖。建理薹e 毕。 9 涟l ；注意到( j j ) 式书端的采迭式楚建立在设计d 的列平衡的基础上的，即各刘 暂拳拳平分布越麓宾，谈设诗也会越鹋匀，麓两这个下莽对衡藿正交设计的均毒慷 # # 常窍效；而( 葶) 式右蒜棼下器莛躅i 酝m m 锄g 鼹薅表示姆，一些逅稼饱和蒜交设 诗茂寿避饱和谶 零鸯可能遮到这个下要，爨薅它沌羲者楚耪确，雄衡量逐铱媳和 正竞设计和超饱和设计的均匀性也更有效。 l o 第四耄芦( 椎；p l 2 8 。) 中设计的对称他r 偏麓下界 邃露墼我j 寒 毒埝滋瘩擎设计懿瓣豫诧三2 一镳蕤下器。我秘瑟经麓遭冬零 平以上的对嚣跟予莰计秘瀛承平魏予设参 懿慰髂德岛一壤蒺静下爨器裁涎没凑镁 好的研究结果，因为水平数超过2 后，计算就十分复杂，很难用简洁的形式液达 了。受c h 蕊t 嘲e e 、融g8 n dq i n 2 6 ) 一文的褒发，下蕊我稍跌只有两个不游 永乎数翡滤承平莲子设持殍始讨论，群，f 骼妒i n 融m ) 设计类。对缭意设计矗 歹( # ；秘“谶8 j ，应耀( 6 ) 式，爵褥它瓣对称纯2 一绱嫠辩诗葵公式舞下； ( s 拶f 国严一( ；) 。”。i 耋鸯妻t ，+ 。z 篙一z 。露2 ) + 芝妻妻矗遗( ，一l 嚣黪一。珐1 ) ，乇r l 疆( 1 一l 嚣黪一。甚陵 。 b = l 女2 = l 寄l j 拦i ( 1 固 z 害：警小l 2 ，一，o 篓罐鬟妊屯 ) 类f ( 赋p l 2 。) ；p l 3 。辩设计d f ( # ；魏) ，注意烈v ( 1 ) = o ，i ，p l l ， ) 一卅虬憾x 麓，) ， 拶一( ，捌雄一( ；2 ) ， 一( 等) 。( 筹) 2 一烈等莎 l 王 顽士学位论史 m a s 罩塞r + s 善瓣e s l s 础= t 一 等一等卜一嘲， 记m 霉秘a 璎分别液示 妒积磷雒题8 2 + 除艇 o n e c k 材擞，令m 一 ( i 9 m 鏊，掰= 掰 1 固蝎掇撼f a n g 毡n dq i n ( 2 3 ) ，( 1 5 ) 式诃以帮成如下的矩阵形 式： 锹一( 扩蚓一：嘲+ 喾璐鲰+ 分析上面的液迭拨，我们可以发现它舆霄许多特殊的性质，总结艘如下，以引 壤躲澎式给窭。 嚣i 理2 倒誊p t 魏偶数蛙，碣1 一m 0 o 要j 曼，女一警l ； 毋妙壶翔为奇数时，磷= m 0 一，o j 。自= 鼍； 瘩矽擀爹蝎竺，一一篓一羞，l j s ； 矗 ，向量m 1 ) 百以罔下式表达； m 1 = d 1 邻1 十1 哟 j = l 蕊申1 = 嚣一蠡，l j 曼奄；吩= ，眠弓) 为一个m l 的惫萤，蠢p ，为偶 数睁，5 1 2 | 一壶，鉴数建毒敷磅，嚣1 一i 。 孽l 璎3 御”l 嚣= i ，m 0 一”爹，o ，j p l i ； 一砂矩阵m ( 1 可以表示成 奠申+ 删一知+ 壶警c 岛坶 小( 吕) = ( 鬈) ， 其中岛和q 均为搬p l 维矩薛，0 表示各元囊均为口的维数嘏遥座静零楚 簿，弓一啄- 。 粤l 霹l l4 女 m m 1 m 鬻一 。6 1 岛，oe 2 + 赫霹1 。瞥o 。淖； 例忆。：f ；) “日( z 1 ( z z ) ，日( 2 ( m ( 2 ) 俐m = ( 扩扎毫郴删) ) ，蚋护) ) + 囊赢蟛) ；其 巧一( 占r ，。珂渤等y 牙啦强d 2 蛩暑) 斗( g 占 日。，；。曷y 灯。吣。q ) 这些结论都是比较明照的，比如由例1 的计算就可以得到引理4 中的( 锄式， 故诞嘲省略。 瓣e l 劫、l sm l ，令鳓为不怒过卿l 堍) 的最大整数，l 。= ( 1 l 必) “，一一氇承，哦= n 或+ l ；l + 受) ，一蟛勿l 一勤，一巧翁扫l + 岛( 1 十) ，其中魂和娥的意义与引理1 中的相同由上面几个引蠼通过计算，我 们可以得到，( n ；p - 2 m ) 中设计的对称化五2 * 偏差下界，以定理的形式给出结论 息溅2d ，( n ；p 1 2 ”) 且为u 型设计，则 瞅炉兰( 笋划。( ；+ 去) + 去嚣) ( 篆锡) 棚霹 诳明：由予d 为型设计，故由引理4 中的式有 当p l 为偶数时， ( 拶醋2 ) 十f 嘻驴哟酣曲) 7 抛 够 1 ) 郴渤钳菇赛擎( 吩醋。) ) 7 瓣 2 w w p 1 矗豁= 如( ；一去) 强9 警1 ( 毒一丢) 等 ( 1 9 )乎 。 b 十 r 0 如 | 1 碰士学位袍文 酣a s t e r s 下h e s l s 当p l 为街数时 一纷如陪嘉) 一扣，2 叫】 一。( ；+ 壶) 耐驰叫孤9 警( 暴一丢) 警 建( 2 0 ) 式程( 2 1 ) 式，对任意梦l 3 ，( 1 9 ) 式慧舂： 幽利。( ；十去) 由夸 理4 中( 彝) 戏，可褥 ( 2 0 ) ( 2 羔) ( 2 2 ) 蟊材妇一菇( 瓣( 黥讷锻z 删2 ) ) 十詈磊，g ) 黝 一( 瓣魄黟拶螂p 2 + 囊赢榔a ) 一( ；) “去( 薹：。墓热c e m ，弘2 e z y ，c 。圆糟( 2 ，e 。，。+ ( 2 3 ) 对任意z 2 n 曩由( 7 ) 式和( 8 ) 式，知1 维向量( 。p ( 2 ( z ( 2 ) ) 驰的备分 量均为 # 夔整数显藉为，逡拿缮论在羝n 矗嫩a dm u 酶r j e e ( 2 0 0 2 ) 、c h 龋t 嘲姥， f a l l ga n dq i l l ( 2 ( ) 0 5 ) 和c h a t t e r j e e ，i l ga n dq i n ( 2 0 0 6 ) 等文中均用到过，也鼹比 较最然的。因而对任意。栩乳；“，有 蟊( 。o 嚣渤( # ( 霸) ) 7 ( ，固甜( 2 ( 。 2 ) ) 船馥( 2 4 ) 1 4 峭 涵 蠢斟瞻 嘛 哦 | | t；， 洳 爵 一弹 慧黧粥 又 。：晖始= 蝻( 而r ，岱封辫g 耸y 嚣扣秘g ) 嚣+ 幽( g 丙蛰群渤如曷y 嚣辫；。渤，) 蛳 = 黝( y 1 慨1 ) ) e m j 婚籍辩( 茹镰) ( ；_ 固嚣辨弘穆) ) 敝( v 1 融q ) ) + 妇( 矿4 秘) ( e ”j 嵇搿尊( 。2 7 ) ( ：一o 丑2 ( ) ) 淞( v 4 1 。) ( 2 s ) 辩任意岔( 雒n 箩，l j 魏l ，装隧定j ，赠堍l 维是量 圆搿( 。( 2 ) ) 辫) 鞠池萤嚣煳( s 2 ) ) ) 瓣( 矿( 玎) ) 静蛰分量垮搀棼受凝数黩翻辫嘶彦l ，黪塔， 掘( y 1 ) ( 鬯；$ 瑟懈茁樽) 瞄。嚣2 哟) 辫( f 暂) ) 岛， 釜6 ) 瓣( y 4 脚) 7 ( 嚣印犯) 辑 拦滞( 菪2 ) ) 貅( y 4 啦) ) 乏 ( 2 7 ) 对任意l 三耋j p l l ，ls 热，s p l l ，故虫2 6 ) 式，鸯 妇( y 拙1 一) 7 ( e m + jon o p ) ，) ( 略：巧封( 2 o ) ) 驰( y 坳1 一) 壤慨一j ( 2 肆 由2 3 ) ( 2 8 ) 式，掰 溉( 瓣薹( 警) ( 塾) 汹， 络禽( 1 7 j 、( 2 2 ) 籁( 2 ，我# j 冒褥 删炉拶“”嗡( ；+ 去) 十纛塞( ( 蚓蓑岛) ， 群瓮壤2 祷证。 浚2 ：我们记上式右端砖下界表选式为五s d 嗡弧s 2 ) ，当m = 2 盼，定鹱岔也馋 然成立，凰s d 向：p 1 ，如) 即为引理，中的一 式右端之值，这说明定理磐是引 理z 蟹巍然稚广。 滏3 ：定理碧中的下豁s p 融；p l ，鼬) 是一个严格下界，接下来的捌子会说稍迭一 点。 篱聂耄寞镶骏证 定理2 中盼下舞五s 静( 肄 孰，$ 2 ) 珂l ；差耀佟寻找羧匀设计辩参照，匿搀鲡暴一个 浚诗d f ( 弼妒l 背) 秘辩称纯五2 一黼熬蕊蕊薏渡设诗类豹下嚣二s p 弼筘l ，s 2 ) ， 则称d 为关于对称化岛一偏篾的均匀设计。很多情况下，这个下界假达不到，此时 我稍毽撩点慧诗嫒考送瓣继 纛论中懿拶一效率，燕毙焦 五s 妇她；搬，觑) 锄2 1 南西厂 裹嚣设爨赫鼽2 m ) 缢瓣羚化岛一缡麓下褥均匀程度。照然，眈落8 。d 越接 遥l ，浚诗蠢越攘迸姆穗浚嚣；我餐称郄e 础十分接近l ( 魏0 + 弱) 秘竣诗为遥觳 均匀设计，由于均匀设计十分礁求，所以程实际疵艨中，当我们用避戳垮匀设计代 饕均匀谖诗时，也十分凑效。 我鳃用软 串粼 豳计算了犬量设计的对豁徽岛一稿l 差缀疑其效率，裳现了诲 多均努设计移避骰垮努璇诗，下瓣绘穗足个镯予。 绷2 t 设计西( 2 0 ；5 2 3 ) 按穰霹爨，翔下； 魂= o 00 olll o 0l l重 量o olollol oii0io o l22 2 2 oogl 董 0 olol i0ll0 3333 4 羞 lo o q lgl00 l0 0lo ( s 秽或) ) 2 = o + 鹳，一毛黪 鬟_ 这是一巾泰辩魏貔选一德蓉下懿罗( 2 g ；5 2 3 ) 上 的均匀设计，丽辩逐可泓注意魏l 它也是个礤交阵踟0 a ( 2 0 ，4 ，5x2 3 ) ， 注4 ：这个设计是按照蕊8 群g 蟛8 9 j 玩鲫n 聪镣m 闭咧一文中捷斑砖方法掬造女 零的，巽傣方法详怒该文。焉麓撵转方法，我粕遂可承构造致i 2 ；3 鲈) 、曩l 蛾4 2 4 ) 蒂土爵寺均匀设计兼盎竞设计。 l s 4 l 王0 莲i e l 4 e l i 瓣蕊设嚣舔连霸警；3 2 鼍瓣上爨，羧戮霉凄。热下t 如一 0 溯噼0 # 0 l l l i i l l l o o o 棋) o l i l l 0 0 0 0 l l l l 0 0 0 0 l l o o l l 0 0 1 1 0 0 l 1 0 0 1 0 i 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 e i 0 0 l 艇i 0 0 l 0 静o i l l l l l 主董王 l 薹l l 王量l o 0 l l l l l l l i o o o o l l l 王0 0 0 0 l l l l o o l l 0 0 l 1 0 0 王1 0 0 l l o l o i o 】o l o l o j o l 9 1 0 j 1 0 1 0 啦i i o l l g 2 2 2 嚣2 2 2 2 麓瓣2 2 2 i l l l l l 王1 0 0 0 0 0 0 0 错 1 1 1 1 0 0 0 0 l l l l 0 0 0 0 l l o o l l 0 0 l 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 l o l o l o l o l 嵇 1 0 0 1 0 i l l i o i 粥i 瓣褥，s 蚤4 8 ；3 ，；一3 。敞? ，一i ，辩璇学捷器一争农霹豁霞鼠镶罄躲 翼4 趣3 2 5 ) 上的搀匀设计，碟鼢像麓委突设 ， 辩4 ：设 毒邑瓤l 酝2 8 ，蕊个2 拳擎黪菠突设诗，按爨驽窭黧下：， 或* l l 圭l l 重i l 王e 0 l o l o 1 0 0 l l 蔓l l # 0 l l l o l 0 0 1 1 0 0 0 0 转 董王l 羹 l 抛o l o l 嵇 0 l l o o 8 秘鹦 i l 瀚 i 0 1 0 l o o l 计豁褥，姜s 嚣1 6 ；2 ，4 ) 一2 2 ，# 鞘一i ，拼黻谢是一个簌辩豫讫岛，犏澄下鼹 默l 键2 8 ) 上爨遗匈设诗逶避诗簿，魏翻瞧狳瓣逡个下嚣覆秘按照l 壤f i 枣埝蕊 秘下弊井葵褥饔瓣薅暴爨一致懿。 剩t 设诗南，( 6 ；8 擎) ，技巅鬻掇，舞下； 矗一 0 0 瓣l l l l l i l2 2 2 2 2 麓23 3 3 3 3 3 3 3 0 8 i l l l 瓣l l 0 0 l i # 游8 l i0 0 i i l l 潞 瓣鞠l 鞠 0 0 l 1 0 0 i l 1 0 0 l l # l 璐l l # 9 i 瀚0 戳搬l 0 0 l l l l0 融l l l 0 0 瓣l l l l 0 1 0 1 0 l o i好1 0 l 奄1 0 l0 l 嵇1 0 i 垂l0 l 嚣i o l 9 王 姒4 唾4 锻5 5 5 5 5 5 泌龋6 6 8 6 鹋7 7 7 7 7 7 7 7 1 1 0 0 0 0 l l0 0 l l l l 0 0o e ) 1 l l l 0 01 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 01 i i 10 l 1 0 8 l i el l l l 0 0 0 0 l 越lo 。) 0 l i ll l l l 0 o 】l l l 0 1 0 蔓0 l 抟lo l 粒1 0 l io 薹好羔0 1 8 i 8 i 8 l 硕士学住论文 m a s t e r s t h e s i s 我们通过计算得，( s d ( d 4 ) ) 2 = 2 7 1 7 2 ，工s d ( 6 4 ；8 ，5 ) = 2 7 0 5 4 ，e 。d ：o9 9 5 7 ，因而 d 4 是一个近似均匀设计。 顽士学住论史 萎 a s 羊e 巍s 羊牲基s l s 篱六章来来的工作 本文中给出了弼p l 2 8 ) 中设计鳟对黪能岛一偏嫠下券，希誉谯以后蛹王 撵串裁将它接广蘩菱广懿耩澎，鸯嚣袁予2 承乎酶对称莲予设骨簿。瓣葬雩在诗算酾 过程中发现称化厶2 一偏蔫和可卷l 。一偏麓狸结构上具有螳共性，所以希望能将 本文魏方法应壤戮爵豢岛一镳差上，褥萎l 霹渗五2 一攘差裘慕些谈计类上瓣下界。 1 9 硕士学住砖丈 m a s t e r l s t h e s i s 参考文献 方开泰、马长兴，( 2 0 0 1 ) 正交与均匀试验设计科学出版枉 【2 lb a ，r a ，b u c k 、r j ，r 北c o m 吣n 0 ，e ，w y n n ，h p ( 1 9 9 6 )e 印e r i m e n t a l d e 5 i g l la l l do b s e r v a o l o nf o rl 钳g e 剐s t e m s ，r o o f o “3 s d c rb5 8 ：7 7 9 4 【3 】e h a t t e r j e e ，k f a i l 鲁kt ，q l n ，h ( 2 0 0 5 ) u 工1 i f o m i wi nf a c t i o n a ld e s l g n 8w i 恤 i n i x c dl e v e l s js 把2 n 爿n n nm 肛r1 2 85 9 3 6 0 7 f 4 | c h a t t e 町e 、，k ，f h n g ，k 1 1 ，q i 】1 ，hf 2 0 0 6 ) al o w e rb o u n df o rc e n t e r e dl 2 一 d i 8 c r c p a n c yd n8 8 y m m e t r i cf a c t o r i a l s8 丑di t sa p p l i c a l i o n 匏打t 峨l i lp r e 8 s 5 】d e ka + ，m u k 巧e e ：r ( 1 9 9 9 ) n a c 帆l a if a c t o n a lp i a s m k 弘肌叫掣。地 f 6 jf 柚g ，k t ，l u ，x ，w i n k e r ，p ( 2 0 0 3 ) l 0 咖r b o u n d sf o rc e n t e r e da n dw r a p _ a r o u n dl 2 - d i s c r e p a n c j e sa n dc o n s t r u c t i o n0 f u n i f o r m t l e s i g n si 可仙r e s l l 0 1 d o e p t j n g ，函唧，f e m 坷1 9 ：6 9 2 7 1 1 研f 魄，kt ，cx ，m u k e 玎钾，r ( 2 0 0 刁u 【l j 如m “哆i n 獬t j 0 8 i 船幻r j a k 却r 讯g e t 。7 缸9 ，日e m n 【8 1f a n g ，k ，t ，m u k e r j e e 、r ( 2 0 0 0 ac 衄n e c c i o nb e t w e e nu n i f o r m i t ya da b e r r a - t b ni nr e g u l a rf r 瓤地i o n so ft w o - l e v e lf a c t o r i a l sb t o m e n 惫n8 7 ：9 3 - 1 9 8 【9 】f 抽g ) k + t ，q j n ，h ( 2 0 0 3 ) an o 他o n n 8 打u c t i n no fn e 甜l yu n i f n t md 管 g 衄 w i 妇1 甜g cn 1 1 m h 汀o f t l ss t b t 妇dp m b n 6 e n e 粥6 l ：2 1 52 2 4 n o jf a i l 出k r 1 1 w a “g ，y f 1 9 9 4 )n u i n b 盯一t 1 1 e o i e t 记m 吼l l u ( i si i ls t a t i 吼i 。s l 口r p d 。7 c o 口m 。n 。n d 日“f 1 1 l 】h 1 c k e m e l l ，fj( 1 9 9 8 a ) ag e n e r a l i z e dd i s c r 8 p a n 。ya n dq u a d r a 七u r ee r r o r b o 衄d 8 址鲫z 日托c s0 ，凸彻t 托o n6 7 2 9 9 3 2 2 f 1 2 jh i c k c r n e l l ，f j ( 1 9 9 8 b )l a 骶er u h 0 、v 讯j ld o 肺e ym e a s u r eu p ? i i l r a n d o ma n dq u a s l r a n d o l l lp o i n ts e t s ，e d s ph e u e k a i e km l dg l a r c l l e r l e c t u r e n o t 螂l ns 妇t l s t l c s ，衍昂r 2 伽e nv 0 1 1 3 8 ：0 9 1 6 6 1 1 3 】k o e h l e r ，jr ，o w e n ，ab ( 1 9 9 6 )c o m p u t e re x p c r i m e i l t 5 ：l nm n d 6 0 口td ， 髓n 妇“c s ，c d ssg 1 1 0 s ha n dfrr “m s z e ，矗m 用s e 撕e f z n n c ebpv o l 】3 ： 2 6 l 一3 0 8 【1 4 it 一w a r i l o c k ( 1 9 7 2 )c 。1 1 1 1 ) u t a t i o 眦l i u 粥t i g a c 蛔l so i l u wd j s m p a n c y 1 4 ft 一w 抽k( 1 0 7 2 jc 叫l i n 眦ii n * t i g a c 椭l s ( 】fh w 拙c p 、y 硕士学位论文 m a s t e r l st h e s i s p o i n ts e t ，a p p l i c a t i o l l so fn u i n b e rt h e o r yt on u m e r i c a la n 出”i s ，s k z a r e m b a ， e d sa c o d e m i cp 他s 8 e y i 北3 1 9 3 4 3 【1 5 】w u ，c f j a n dmh a m a d a ( 2 0 0 0 ) e x p e r i m e n t s ：p l a n n i n 臣a n a l y s i sa n d p a r a m e t e rd e s 细o p t i m i z a t i o n 知h 聃劬日s o n s ，肌加y 0 他 【1 6 】x u ，h ，w l l ，c f j ，( 2 0 0 1 ) g e n e r a l i z e dm i n i m u m a b e r r a t i o nf o ra s y m m e t r i c a l f r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n 一n n 盘 照2 9 ：5 4 9 5 6 0 2 1 辫录 逸一部分我靛姆演拳鲻褥在m 8 酗上交瑷缭塞设诗的辩囊；毒 二岛一镶羞穰获 冀辩瘦弱设计类麴懒麓下羿s p 融p l ，却) 酶计葵 下面这个函数8 d 2 2 ( x ，p 1 ) 用于求( n ；p 1 2 。) 中设计x 的对称化上2 一偏羞 值。 羞u n o t 主。玎s d 2 = g 琏2 2 ( x ，p 1 ) b ，8 = s i z e ( x ) ； 重0 r 主= 量：鞋 a ( i ，1 ) = ( 奢$ x ( i ， f o rj 8 2 ：s 冀蒋设曹始终x 袋辩嗣o ，t ) “g 奎阉中去 1 ) + 1 ) ( 2 4 p 1 ) ； a ( 王，j ) = ( 叠女x ( i ，j ) + i ) 4 ； e n 畦 e n d 般= a ：2 ( ：，i ) 。3 ；扣a ( ：，i ) ； b 1 = o n 0 8 ( n 1 ) + 2 * a l 一2 $ ( a 1 $ a 1 ) ； b 2 。o n e 8 ( n ，s 一1 ) + 2 a 2 2 女( a 2 a 2 ) j 嚣嚣秘l ，转2 】；p r 。娃( b ) ；8 l 然8 n 礁( a 【鑫8 ) ；辜2 * o ； f o rk = i ：n f 。rj 2 i ：珏 较 j ，：) 篇矗( k ，：) ； e n d k 2 = k ： 鞋2 ( ：，i ) = 【3 ； k l = k ( ：，i ) ； 鞋b l = o n e g ( 趣，1 ) 毡b 8 婶i 一嚣1 ) ； b b 2 = 。n e 辞( n ，8 i ) 一敦b 幂( a 2 一k 2 ) ； b b = b b i 。b b 2 ， e = p r 。d ( 转辩) ； s k = s l 珊( ) ； 硕士学往论吏 m a s t e r s 下 r e s i s s 2 。8 2 + s k ： e n d s d 2 = f 4 3 ) s 一2 $ 8 i ，珏十2 “8 $ s 2 ( 址4 2 ) ： e n d 下面函数l 8 d 2 2 ( n ，p l ，8 2 ) 用于计算设计类，( ；纯2 ”) 的下箨： 芷u n c t i o n s = l 8 畦2 2 ( 矬，p i ，8 2 ) f o ri = o ：$ 2 c 8 2 i ( i + ) c h 。8 e k ( s 2 ，i ) ； 轴一2 中选1 的组合毂， 记为8 2 维行向蚤c 8 2 i h ( i + 1 ) = 2 “i