（应用数学专业论文）角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质.pdf

摘要 本文研究了角域内业纯函数的值分布，包括角域内关于小函数的第二基本定 理和亚纯函数的迭代级b o r e i 方向；还着重讨论了单位圆内高阶线性微分方程的 复振荡性质拿文共分叫章 第一章，首先叙述了业纯函数值分布理论和微分方程复振荡的研究概况，然 后介绍了亚纯函数值分伟理论中的相关记号与预备知识 第二章，研究了将角域内的n e v a n l i n n a 第二基本定理中的常数替换成小函 数，得到了角域内关于q 个小函数的第二基本定理同时关于三个小函数的情形， 运用不同的方法给出了最，( ，_ ，厂) 另外一种估计形式 第三章，研究了无穷级亚纯函数的迭代级b o r e l 方向问题，证明了从原点出 发的射线a r gz = p 是函数f ( z ) 的p 次迭代级为仃的b o r e l 方向的一个充分必要 条件另外，由这个结果还证明了角域内存在迭代级b o r e l 方向的一个充分条件 第四章，讨论了单位圆内一类高阶线性微分方程的复振荡性质，得到了解的 超级和超零点收敛指数的估计推广了已有的结果 关键词：亚纯函数：值分布：小函数；b o r e l 方向；微分方程 a b s t r a c t i nt h i sp a p e cw ei n v e s t i g a t e dt h ev a l u ed i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni n a n g u l a rd o m a i n i t i n c l u d e sn e v a n l i n n as e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e mc o n c e m i n g s m a l lf u n c ：t i o n si na n g u l a rd o m a i na n di t e r a t e do r d e rb o r e ld i r e c t i o no fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s a n dw ed i s c u s s e dt h eo s c i l l a t i o np r o p e r t i e s o fh i g h e ro r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h eu n i td i s k i ti n c l u d e sf o l l o w i n gf o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y ，w er e l a t e dt h er e s e a r c hs i t u a t i o no nt h ev a l u ed i s t r i b u t i o no f m e r o m o r p h i cf u n c t i o na n dt h ec o m p l e xo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dw e i n t r o d u c e dt h en o t a t i o n sa n dk n o w l e d g eo f v a l u ed i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n i nc h a p t e r2 ，w er e s e a r c h e dt h ep r o b l e m st h a tc o n c e r n i n gs m a l lf u n c t i o n si n p l a c eo ft h ec o n s t a n ti nn e v a n l i n n as e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e mi na n g u l a rd o m a i n ， a n dt h e no b t a i n e dt h en e v a n l i n n as e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e mc o n c e r n i n gqs m a l l f u n c t i o n si na n g u l a rd o m a i n w ea l s od i s c u s s e dt h ec a s eo ft h r e es m a l lf u n c t i o n s ，a n d e s t a b l i s h e da n o t h e rf o r mt oe s t i m a t es 弼8 q ，n i nd i f f e r e n tw a y i nc h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h ei t e r a t e do r d e rb o r e ld i r e c t i o no ft h em e r o m o r p h i c f u n c t i o n sw i t hi n f i n i t eo r d e r , a n dp r o v e das u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fa r a d i a l a r gz = 0b e i n gab o r e ld i r e c t i o n w i t hp - i t e r a t e do r d e r 盯o ff ( z ) i n a d d i t i o n ，f r o mt h er e s u l t ，w ec a l lo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t i n go n ei t e r a t e d o r d e rb o r e ld i r e c t i o ni na n g u l a rd o m a i n i nc h a p t e r4 ，w es t u d i e dt h ec o m p l e xo s c i l l a t i o np r o p e r t i e so fh i g h e ro r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nu n i td i s k ，a n do b t a i n e dt h ee s t i m a t i o n so fh y p e ro r d e ra n dh y - p e rc o n v e r g e n c ee x p o n e n to f z e r o so fs o l u t i o n s t h e r e f o r e ，w ei m p r o v e ds o m er e s u l t s o b t a i n e db yt h ef o r m e ra u t h o r s k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；v a l u ed i s t r i b u t i o n ；s m a l lf u n c t i o n s ；b o r e l d i r e c t i o n ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年 月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 第一章引言与预备知识 1 1 引言 1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a ( 见 1 ) 建立了亚纯函数的值分布理论的两个基 本定理，从而开始了值分布理论的近代研究值分布理论是复分析的一个重要分 支，它是运用复分析的基本理论和方法，研究函数口一值点的分布问题( 见 2 ) 随着人们对亚纯函数认识的深入，又提出了角域上的n e v a l i n n a 特征，t s u j i 特 征，a h l f o r s - s h i m i z u 特征等相关概念( 见 3 ，4 ) ，这些新工具的引入，使得对 亚纯函数的研究更加深入： 作为值分布研究理论基础的n e v a n l i n n a 第二基本定理，许多学者进行了广 泛的研究例如，庄圻泰( 见 5 ) 研究了把n e v a n l i n n a 第二基本定理中的常数替 换为增长性较慢的函数，特别地在整函数的情况，问题获得彻底解决；n s t e i n m - e t z 、g f r a n k 与g w e i g e n b o r n 、张庆彩等又将小函数取整函数的情形推广到亚 纯函数的情形，得到了更一般的结果( 见 6 ，7 ，8 ) 本文在第二章中研究角域内关 于小函数的n e v a n l i n n a 第二基本定理 幅角分布是亚纯函数值分布的一个重要研究领域，而奇异方向是幅角分布的 重要研究对象继g j u l i a 应用正规族理论证明了j u l i a 方向的存在性后，幅角 分布成为值分布的研究热点之一1 9 2 8 年，g v a l i r o n ( 见 9 ) 在n e v a n l i n n a 理 论的基础上，应用b o u t r o u x c a r t a n 定理证明了有穷正级亚纯函数的b o r e l 方 向的存在性，使得幅角分布理论获得了重大发展后来曹廷彬又定义并讨论了无 穷级亚纯函数的迭代级b o r e l 方向( 见 1 0 ) 本文在第三章中研究角域内亚纯函 数的迭代级b o r e l 方向 将值分布理论应用到复域上微分方程的研究中，便形成了微分方程复振荡理 论这一边缘领域微分方程复振荡理论主要应用复分析的理论和方法，研究复域 微分方程的振荡性质，其主要研究工具是值分布理论、位势理论、渐进方法等 在1 9 8 2 年前后，s b a n k 和i l a i n e ( 见 1 1 ，1 2 ，1 3 ) 对二阶齐次线性微分方程进 行了研究，得到了几个非常有意义的结果自此之后，微分方程的复振荡理论研 究就开始成为人们研究的热门课题高仕安和陈宗煊( 见 1 4 ) 解决了这一领域的 1 江西师范大学硕士学位论文 几个重要问题，得到了一系列深入且颇有意义的结果 近年来人们又开始了单位圆内线性微分方程的复振荡的研究j h e i t t o k a n - g a s ( 见 1 5 ) 研究了单位圆内一阶、二阶以及高阶微分方程解的增长级；陈宗煊 在文 1 6 中得到了单位圆内高阶线性微分方程解为无穷级的一个充分条件；李叶 舟在文 1 7 中又研究了二阶线性微分方程解的增长性；曹廷彬和仪洪勋在文r t 8 中对单位圆内的二阶线性微分方程进行了研究，获得解的超级和超零点收敛指数 的估计本文在第四章中研究单位圆内高阶线性微分方程解的一些性质，推广了 前人的一些结果 1 2 预备知识及相关定义 1 2 1 复平面内的n e v a ni in n a 特征 首先，我们介绍复平面内的n e v a n l i n n a 值分布理论的标准记号( 见 1 ，2 ，3 ， 4 ) 设( z ) 为定义在开平面上的亚纯函数，a 为任一有穷复数用n ( r ，力表示 z l _ r _ l f ( z ) 极点的个数，重级极点按其重数计算；n ( r ，f = a ) a z f ( z ) - a 的零点个数，重级零点按其重数计算，否则记为万( r ，= 口) ；n ( o ，f = 口) 则表示 ( z ) 一a 在原点的零点重级数相关记号定义如下： 嘶，力= 去卜g + 胁 肌( 厂= 口) 2 互1 ，i ： l o g * 眵彳；丢了彳臼，口o o ； ( ，力= r 亟攀州o ，f ) l o g ，； ( r ，= 口) = r 兰垒型三善王亏旦蚴十以( 0 ，= 口) l 。g ，口o o ， 历( 厂，厂) 有时也记为m ( ，f = o o ) 或m ( r ，o o ) ，表示l 厂( z ) l 的正对数在h = ，上的平均值； m ( l 厂= 口) 也记为研( ，7 a 或m ( _ ，表示驴高习的正对数在l z l = r 上的平均值 ，一f ，l z 口i 。 ( r 。n 有时记为i v ( 厂。f ：硝或( 7 。o o ) ，表示f ( z 1 极点的密指量：f ，f = 口) 有时 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 记为( ，了l ) 或n ( r ，口) ，表示厂( z ) 的a 值点的密指量 ，口 定义1 1 【2 1 设以z ) 为在开平面上的亚纯函数，定义 r 力= m ( 门+ n ( r , v o ： 为厂( z ) 在复平面内的n e v a n l i n n a 特征函数 1 2 2 角域内的n e v a n l i n n a 特征 我们再介绍角域内的n e v a n l i h n a 特征r ( 见 1 9 ，2 0 ) 设o a f f 2 万，定 义角域为 n ( a ，) = z k _ a r g z o 设八z ) 是角域q ( 历内的一个亚纯函数，4 - l 时，定义 d 一仅 锄( p = 詈r ( 专一；) i 。矿i ，缸) | + l 。矿l 妒) 孚， ( ，力= 等r l 。g 旷啦咧矽刊卯， 叫肛2 五卉一够s 协眦训， 其中和式是对厂( z ) 在扇形区域q ：l l z l ，- ，a a r g z _ f l 内的所有极点 屯= i b 。i e 泡求和，重级极点按其重数计算不同极点的计数函数，记为西( ，厂) 对于任意的a c ，记 ( 叫) 。( l 由 进一步记 ( 厂，厂) = ( ，厂) + ( ，- ，) 定义1 2 【1 9 】亚纯函数( z ) 在角域q ( 口，历内特征函数定义为 ( ，厂) 2 ( ，厂) + ( ，n 1 2 3a h l f o r s s h i m i z u 特征 a h l f o r s 和s h i m i z u 曾分别独立地引进球面特征函数，后面称为a h l f o r s 江西师范大学硕士学位论文 定义1 3 【4 1 设厂( z ) 是角域q ，历内钓亚纯函数，记 船a 伽砉鬈( 端卜， m 皿力= r 芈 t r ，q ，力称为亚纯函数厂( 为的a h l f o r s s h i m i z u 特征函数其中角域 n ( a ，) = z i 口 o ) ( o a l 苇 一 l n f t： 不同口一值点序列的收敛指数记为2 ( f 一口) 定义1 8 【1 8 】亚纯函数厂在单位圆a 卤的口一值点序列的超级收敛指数记为 五u一口)：蒜tlog+log+n(r,f-a)j ”r 1 0 9 亡 l 一厂 不同口一值点序列的超级收敛指数记为万：u 一口) 由于第四章需要用集合的密度函数，我们给出集合的上密度函数、下密度函 数以及上对数密度函数、下对数密度函数的定义 定义1 9 f 1 9 】集合e 的上密度函数劢和下密度函数地分别定义为： 一d e n s e ：面豆坐， ，争，- 幽二迪血兰； ，手m ， 江西师范大学硕士学位论文 其中e ( ，) = 五n 眈，】集合e 的上对数密度函数l o g d e n s e 和下对数密度函数 l o g d e n s e 分别定义为： 一logd e n s e = 厘l i m 罐笋，一l o g d e n s e =i i m k ( o ( 1 o g t 一) d tr 。- - - ) m l o g r 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 第二章角域内关于小函数的第二基本定理 2 1 引言与结果 在复平面内亚纯函数值分布的研究中，最重要的定理之一是n e v a n l i n n a 第二 基本定理，它的最基本形式是下述定理2 a 定理2 么【2 】设函数( z ) 于h 尺s ) 内亚纯若厂( o ) o ，1 ，o o ；厂( o ) 0 ，则对 于呼r 0 若厂( o ) 0 ，o o ；( o ) o ，则对于_ 0 ， r 有 扰( 厂，) + 7 竹( r ，口，) 2 丁( ，厂) 一“( r ) + 灭( ，厂) ， 其中 i ( ，) = ( 2 ( ，力一( 厂，厂) ) + o ，) ， 以及 附毗争嘶喜南+ q l o g + - 警- 扎剖高卜2 庄圻泰研究将n e v a n l i n n a 第二基本定理中的常数替换为增长性较慢的函 数，特别地在整函数的情况，问题已获彻底解决从而将n e v a n l i n n a 第二基本定 理推广到小函数的情形即： 7 江西师范大学硕士学位论文 定理2 c 【2 j 设函数厂( z ) 与仇( z ) ( v = 1 ，2 ，g ) 于开平面亚纯吼( z ) ( 1 ，= 1 ，2 ，g ) 互相手0 别且t ( r ，纯) = d r p ，厂) ) ( 1 ，= 1 ，2 ，g ) ，则有 其中 q - 1 - o ( 1 ) m 小喜脚，南+ 珊蝴a r ( r ，f ) = o l o g ( r t ( r ，力) ) ， 当f ( z ) 为无穷级时，可能须除去一列总幅长为有穷的，值例外区间 对于角域上的特征函数( r ，门，有如下第；基本定理 定理2 d 【1 9 】设函数厂( z ) 于角域q ，历内亚纯，a j q ，j = l ，2 ，g ，有 ( q - 2 ) s o p 寸，f 、) 芝2 e o p ( r ，n j 、) + r 邸，j f ) ， 其中 f tqf t ( ) 2 ( + 蔷( + d ( 1 ) 那么自然会问，若在角域内把第二基本定理中的常数替换为增长性较慢的函 数，结论是否成立昵? 本章对此进行了讨论，我们把定理2 d 中的常数a je q ( 歹= l ，2 ，q ) 替换为增长性较慢的小函数纯( z ) ( v = 1 ，2 ，g ) ，得到如下结果 定理2 1 设函数厂( z ) 与纯( z ) o = 1 ，2 ，g ) 于角域q ( 口，历内亚纯，纯( z ) ( y = 1 ，2 ，g ) 互相判别且( 厂，纯) = d ( ，力) ( y = 1 ，2 ，g ) ，则有 ( q - 1 - o ( 1 ) ) ( ) 善( ，万+ g 虿印( ) + ( 吖) ， y 警i j1 r v 其中(，)：兰(，”+杰兰(，哗)，p为吼(z)(y：l，2，g)的t-)其中( 门2 萎勺( + 善l 嘉( ，旦歹等) ，p 为 吼。h _ - 1 ，2 ，g ) 的 j 罩i-y；，霉lj1 r ” 极大线性无关组中函数的个数0 g ) 且余项如( ，力满足下面的关系式 啪= d l 哨0 器磐磊蠢凳凳黼 当八z ) 为无穷级时，后一估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 r 二二： 对于三个小函数，我们证明了如下更简洁的结果： 定理2 2 设函数厂( z ) 与纯( z ) ( 1 ，= l ，2 ，3 ) 于角域q ( 口，历内亚纯，且 ( r ，纯) = 口 ( ，厂) ) ( y = 1 ，2 ，3 ) ，则有 ( 1 删) 妨爪喜乙( ，南+ ( ，) 余项满足下面的关系式 以价 d l ：g 。0 嚣娄磊耋舅凳穷时 当f ( o 为无穷级时，后一估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 2 2 引理 引理2 1 f 1 9 l 设函数厂( z ) 于角域q ( 口，历内亚纯，对于任意的口c ：有 ”) = ( ，击) + d ( 1 ) 定理证明中余项的估计需要用到下面的引理： 引理2 2 1 2 l j 设函数厂( z ) 于角域q ( 口，d 内亚纯，不蜕化为常数，则有 啪，纠。嚣豁鸳孺塞舅芜穷爵 当厂( z ) 为无穷级时，后一估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 2 3 定理的证明 2 3 1 定理2 1 的证明 假设办( z ) c = i ，2 ，p ) 为吼( z ) ( v = 1 ，2 ，g ) 中的一个极大线性无关组，且满足 以及 其中都是常数 r ，办) = d ( ，厂) )( j = l ，2 ，p ) j 口 饥( z ) = 力( z ) o = 1 2 一，g ) ， 9 江西师范大学硕士学位论文 记 令 f ( z ) = q 瓦而1 v = l丽，、，1 p v 、， 下面我们寻找( ，一，f ) 的上界与下界 ( i ) 寻找( 厂，) 的上界 记厶= w ( 旃，疙，砟) 为办( z ) u = 1 ，2 ，p ) 的w r o n s k i a n 行列式， 吣办枷性 欢 以 砟7 唬p 。i 砟川 w ) = 半w 分，呦 ( 2 1 ) 唔k + 等n 鲁 汜2 ， 显然上u ) 是线性算子，且三( 仇) = o ( v = l ，2 ，g ) 由( 2 1 ) 式可知 州z ) ；l 争型翊：l 争坐盟= 丛翌 ( 2 3 ) 、7 工( 厂( z ) ) 鲁厂( z ) 一仇( z ) 三( ( z ) ) 铬厂( z ) 一纯( z ) 从而有( ，d ( ，南) + 喜( ，与车茅) + l 。g g 由引理2 1 有 而1 ) ( ，南2 w ”+ d ( 1 ) = d 易r ，三) + c 0 ( ，三u ) ) + 0 ( 1 ) = d 易( 厂，) + d 易( ，l 竽- - 4 + c 易( 厂，三( 厂) ) + d ( 1 ) 于是有 ( 妒) d a 吖) + ( 竽) + ( m ( ” 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 ( i i ) 寻找( ，) 的下界 ( 2 4 ) ( 1 ) 首先找如( ，) 的卜界 令 g ( f ) = 嘲m 。i n ， 吼( t e 妇) 一( 据船) i ，1 伊) 一( 纪卢) b ， 再令髟表示 1 ， 上使 m a x 抛咖圳m 个咖怅等 成立的f 值集 当v 时，弓n e 2 7 事实上，若f 髟n e ( v c j ) ， 咖，m 制他缈喇他北船) l 舯等叫唧一 从而 盟 妒) l 南j h g _ 1 面2 q 南 故当f 岛时， 1 0 9 + l f ( 把衄) i l 。g + f 万i ：石了二1 硐一l 。g 2 江西师范大学硕士学位论文 当，芒i ：j e ，时， 产l 。 、善q l 。g f i j 了i y 二1 硐一q l o g + 9 2 【q ，) 一l 。9 2 ( 2 5 ) l o g + 丙丽1 l o g + 斋，2 ， 从而也有( 2 。5 ) 式成立因此对于t 1 ，】，恒有( 2 5 ) 式成立同理可证，对于 t 【1 ，】，恒有下式成立， 因为 l o g + 咿，) 旧0 8 + 飚网1 _ 9 1 0 9 + 斋乩9 2 ( 2 6 ) ( 咿) = i c o , 歹1 一导) l o g + l f ( 矿) | + l o g 廿( ) i ) 孚 ( 2 7 ) 把( 2 5 ) 和( 2 6 ) 代入( 2 7 ) ，有 白( 妒) 叠( _ 去) 一等r 哆一；_ t 乏u ) ( 2 ql o g + “2 q ，) d ，t 一。( 专) 又因为 从而 因此， 1 ， 1 丽“+ 嘲毛；，丽丽 l 。g + 9 2 ( q ，) 。；m 。匕；，l o g + i 妒i ( 矗p ，。) 1 硐十。；h；i；。l。g+i；：ii：；i；j_：1羽 + l o g ( q 2 一q + 1 ) + l o g ( 2 q ) ( 妒) 薹钿( ，万1 - ) 一2 口嘲乏匈( ，百) 。咕) ( 2 8 ( i i ) 找s g ( r ，) 的- - f # 对于每个，令 厂( 口) 2 热，她( r p ， # v l ( i r e 旧) | ，1 ) ( 口臼卢) 再令q 表示陋，用上使得 1 2 南 句q趴 + 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 橱) 一簟a j ( r e 。9 ) l 百r c e ) 成立的9 值的集合 类似( i ) 的证明过程可以推导出：对于汐e a ，夕 恒有下式成立， 一l o g + ，( 比旧) l 至t 。g + 石i ；孑万歹二i 碉一q l o g + 7 。，一1 0 9 2 由( ，) 的定义可知， 渤妻( ，击h m 乏句粝( ，者- d ( 一( 2 9 ) 由( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式可得， ( 厂，) = 锄( 厂，f ) + p ，f ) 盖鬲i ) 2 9 乏句意坝争( 2 1 0 ) 比较( 2 4 ) 和( 2 1 0 ) 式，当r 充分大时有， 薹( ，万1 ) - 2 q z , 乏甸( l 瓦丢) ( ) + ( ，一，挚 又因为 + 啪似册叠以芋坝1 ) ( 2 ( ，i 丢) ( ，百苌) = ( ，吼一) + d ( 1 ) 芦妒寸，吼) + s 妒( 厂，) + d ( 1 ) = d j s ：妒( 厂，厂) ， ( 1 v l v z g i ( 2 1 2 ) 将( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，有 薹( ，兰( ) + ( ，竽) + ( “( 朋 + 叠啪，掣) + o 耻肼( 2 1 3 ) 从三( 厂) 的定义可知，三( 厂) 的极点仅出现在厂，办，么，以的极点处或以的零 点处，且在前一种情况下，三( 厂) 的极点重极不会超过厂，破川，疙刀，办，的极 1 3 江西师范大学硕士学位论文 点重极，从而有 ( ，三( 朋( ，厂) + 蚤p ( ，) + ( ，石1 ) c 易( 厂，f ) + p c a p ( r ，f ) + o s o p ( ，厂) ) ( 2 1 4 ) 由( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式可得 砉( ，击) ( ) + ( ，竽) + 叠( 芎譬) + 茎( ，；鬲1 ) + p 弧，小夕 s o g 例 又由( 2 2 ) 式可知 ( ，学) 盖p ( ，争+ 磊( _ 丢) + l 。咖+ 1 ) ， 其中 故 ( ，孚) ( l 孚) ：( ，4 ) + ( ，4 ) + d ( 1 ) ：。 ( ，) ( ，云( l 云2 ( ，4 ) + ( ，4 ) 加( 1 ) - d ( ， ( ，芋) 盏( ，等) + 。 ( ) - 对于( r ，掣) ( v ：1 ，2 ，g ) 用相同的方法进行估计；有 j 一蛾 因此 啪，掣，差啪，譬警+ 。 s o p ( 例 4l 一 ( q - l - o ( 1 ) ) s o a 吖) 砉1 ( 寿+ g c 以+ ( ，n p，一。 其亨( ) = 盖( ，等) + 叠杰( ，与警) 下面运用引理2 2 对余项( r ，厂) 进行估计显然对于正整数，有下式成立 ( 一了f c j ) ) ( r 号) + ( ，等) + + ( ，：知 对于上式右边的每一项运用引理2 2 进行估计，有 1 4 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 等，= k 哨嚣豁骜磊曩凳芜穷时 当厂( z ) 为无穷级时，后一估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 显然对于( ，譬警) 也有相同的估计 因此，余项如( r ，厂) 满足下面的关系式， 舭驴k 。嚣熬驾磊曩凳芜黼 当厂0 ) 为无穷级时，后估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 定理证毕 2 3 。2 定理2 2 的证明 令 g ( z ) =! 尘二亟! 兰2 丝! 塑二丝! 塑， ( 2 1 5 ) 厂( z ) 一仍( z ) 仍( z ) 一鲲( z ) 由足埋2 d 口j 得 ( 懈) 舛撕，g = o ) + c 撕，言+ c 以，寿十( 惴) ， 1 6 ) 一一 1 1 其中月易( ，g ) = 占0 ( ，呈) + 壹d 易( r ，j 受二) + d ( 1 ) ，( a 。：o ，口：1 , o 3 ；) g 户i g 一口r 由( 2 1 5 ) 式得 石印( ，g ：o ) + 否筇( 厂，马+ 百卵( ，旦_ ) 3 - - c 筇p ，了) + 否印( ，与 gg l 州 歹一吼仍一仍 + 撕，去肛，去) = 主弘，南+ 0 1o p ( r , 朋( 2 1 7 c a p ( r 21 7 ) + c 妒o ，l 一) + ，l 一) = c 印( ，_ - 二一) 厂) ) ) 仍一仍伤一仍 v = 1 ，一伉 再由( 2 1 5 ) 式有 ? 二：l ( 堕丑g 1 ) ， 一2 l 。一u ，一鸭一”一 因此 ( 力( ，f 一份) + ( ，f 0 3 ) 4 l 0 9 2 2 ( 厂寿+ 0 ( 吖) 江西师范大学硕士掌位论文 即 ( ，万+ ( ，尝等) + ( 吣) + 。 ( r ，棚， ( ，厂) ( ，g ) + o s o p ( r ，厂) ) ( 2 1 8 ) 由( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 式可知 j 一 _ 卜删 ) 善p ，寿+ ( ，g ) ， f i ，一田 其中( 吣) 于( ，争+ 杰( ，舌) 十d ( 1 ) ： 当厂( z ) 在q ( 口，所内亚纯，g ( 2 ) 也在q ( ) 内亚纯，由引理2 2 可知，余 项( ，g ) 满足下面的关系式， 龇萨k g 。嚣灌磊耋凳凳黼 当g ( z ) 为无穷级时，后一估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 又因为，由( 2 1 5 ) 式可得到， ( ，g ) 2 ( ，门十d 疆品p ，门) ， 再结合( 2 1 8 ) 式可知函数厂( z ) 与g ( 乏) 有相同的增长级故有 。，、。，、jd ( 1 ) ，兰铲口) 的级有穷时， p ，厂) - ( ，居卜1d l o g ( 葛i ；写荔晶羞凳芜穷时 当厂( z ) 为无穷级时，后估计式的成立可能要除去一个测度有穷的集合 这样，就证明了定理2 2 1 6 角域内亚纯函数的值分布与单位圆内微分方程的振荡性质 第三章亚纯函数的迭代级b o r ei 方向 3 1 引言与结果 我们首先给出亚纯函数的b o r e l 方向和迭代级b o r e l 方向的定义： 定义3 1 f 2 】设函数，( z ) 于开平面亚纯，厂( z ) 的级盯为有穷正数，一条从原点 出发的射线a r g z = 9 称为一厂( z ) 的b o r e l 方向，如果对任意给定的任意小的正数s 和每个复数a e ，至多除去两个可能的例外复数，有 面1 2 墨堂皇! 旦二坐兰! ! 三尘：仃 n m _ _ 一一u ，抽 1 0 9 厂 其中，z ( 厂，q ( 秒一占，秒+ 占) ，厂= 口) 为扇形 z o - 占 a r g z 秒十g ，0 i z i ，- ) 上厂的a 值点 的个数，按其重数计算 定义3 2 【1 0 】设厂( z ) 是一个超越亚纯函数，一条从原点出发的射线a 玛歹= 臼称为 厂( z ) 的p 次迭代级为盯的b o r e l 方向，如果对任意给定的任意小的正数s 和每个 复数a e ，至多除去两个可能的例外复数，有 ilmlogpn(r,q(o-s,o+s),f=a)：仃 l l m _ = 一一u r - m o l o g ， 其中n ( r ，q ( 臼一占，目+ o ，厂= 口) 为扇形 z 矽一占 a r g z 秒+ 0 i z | ， 上厂的口值点 的个数，按其重数计算 1 9 2 8 年，g v a l i r o n ( 见 9 ) 在n e v a n l i n n a 理论的基础上，应用关于多项 式的模的b o u t r o u x - c a r t a n 定理，证明了有穷正级亚纯函数的b o r e l 方向的存 在性即下述定理3 a 定理3 彳2 , 9 1 设函数厂( z ) 于开平面亚纯，厂( z ) 的级仃为有穷正数，则必存在一 条从原点出发的射线a r g z = 目( o 口 2 z ) 使得对于任意正数占和每个复数a c ， 都有 一l i r a 垫堡翌尘! 旦! 里二! ! 皇生! 三1 2 ：盯 一2 叮 ，m m g ， 至多除去两个可能的例外复数 1 7 江西师范大学硕士学位论文 后来，国内外许多学者对b o r e l 方向进行了深入的研究，并取得了丰硕的成 果如1 9 9 4 年，张学莲在文 2 2 中利用角域上的a h l f o r s s h i m i z u 特征函数，证 明了以某一条射线为有穷正级亚纯函数的b o r e l 方向的一个充分必要条件 定理3 b 1 2 2 】设厂( z ) 是一个盯( o 仃 0 和o r 0 和0 r s 以下 等式成立 丽垫墨! g ! 垒! 皇二翌：皇翌! ：! ： 7 。l o g ， 我们自然提出_ 个问题，对于一个无穷级亚纯函数，当它的p ( 0 p o o ) 次迭 代级为有限时，是否具有类似的结论呢? 本章对此进行了研究，并给出了肯定的 答案，所得的结果比定理3 c 更精细另外，由所证明的这个结果可以进一步得 到角域内至少存在一条迭代级b o r e l 方向的一个充分条件 定理3 1 设( z ) 是一个亚纯函数，满足盯。( 厂) = 仃，0 仃 c o ，0 p 0 和0 r 占以下等式成立 而堕! ! ：竺! 呈二翌：呈型：! ，m l o g r ( 3 1 ) 注：在定理3 c 中，给出了厂( z ) 的一条无穷级b o r e l 方向的一个充分必要 条件，而定理3 1 给出了厂( z ) 的一条p 次迭代级为仃的b o r e l 方向的一个充分必 要条件，显然，定理3 1 的结果比定理3 c 更精细 推论设厂( z ) 是二个超越整函数，满足( 厂) = 仃，o 仃 o 。，o p 0 和o 刁 占以下等式成立 f l l m 堕坐坚攀卫业i - - - 盯 ( 3 ，、z ) = 一 盯lj j ， o l o g r 运用定理3 1 的结论，我们可以得到角域内至少存在一条迭代级b o r e l 方向 的一个充分条件即 定理3 2 设厂( 力是一个亚纯函数，满足( ) = 盯，o c r o o ，0 p 0 ，有 l i ml o g p y ( r , q , , f ) r - - ) 。0 l o g r 则在q ( 口，历内至少存在一条从原点出发的射线a r g z = 秒是厂( z ) 的一条p 次迭代 级为9 的b o r e l 方向 3 2 定理的证明 定理的证明需要用到下面的引理： 引理3 1 【4 1 设，( z ) 是角域q = q ( 臼一r ，口+ 7 ) 及q ：( 伊一岛秒+ 占) ( o ，7 占) 中的亚 纯函数，q ( f = l ，2 ，3 ) 是三个不同的复数，则有 t ( r ，q ，厂) 0 和任意复数a e ，至多除去两个可能的例 外复数，有 一l i ml o g p n ( r , f 2 ( 0 ，- e , o + c ) , f = a ) ：仃 7 “l o g ， 假设结论不成立，则存在三个复数a i ( i = 1 ，2 ，3 ) 使得 一l o g p n ( r ，q ( 口一s ，9 十占) ，厂= 口f ) l i r a _ 二：一 口 o。log， 当o r 时，记n = n ( o - 7 7 ，o + r ) 和q 7 = ( 口一岛0 + 8 ) ，由引理3 1 有 1 9 江西师范大学硕士学位论文 从而 t p ，q ，厂) 3 耋( 2 一，q ，厂兰q ) + 9 ( ( 1 。g r ) 2 ) 而! 竺璺! ! 坐2 圭而 ，* l o g r ，* 这与己知矛盾这样，充分性得证 1 0 9 ，e n ( 2 r ，q 7 ，f