（应用数学专业论文）汽车后视镜的理论建模与应用技术研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 中文摘要 汽车后视镜是汽车上一个非常重要的部件，如果后视镜有盲区和图像变 形势必给安全行车带来隐患。研究出种大视野低失真的后视镜对减少交通 事故带来的损失有重要意义，而且现在汽车越来越普及，后视镜市场也有巨大 潜力，在这种情况下出现了许多新型后视镜的设计，最具代表性的是渐变曲率 后视镜，但这些新型后视镜都缺乏数学模型支持和可靠的理论分析，缺乏能够 量化的评估方法。本文将通过分析某薪型后视镜的特点，提出一种数学建模方 法，建立该新型后视镜的数学模型，并通过该模型对这类后视镜进行理论分析 和数值仿真，从而对这类后视镜的性能进行量化评估。 本文主要由理论研究和应用仿真两部分组成。第一部分是理论研究：在最 小二乘法基础上引入了一种改进的算法移动最小二乘法，并介绍了反求工 程的应用方法。将移动最小二乘法应用于汽车后视镜拟合问题中，并与传统的 最小二乘法的结果进行对照，展示该方法的优越性。第二部分是应用仿真：利 用移动最d , - 乘法建立的数学模型，设计了相应的仿真算法，直观展现后视镜 的视野范围。本文的具体研究内容如下： 第一章介绍了研究背景，指出本文研究要解决的关键技术问题及研究内容。 第二章介绍曲面拟合的传统方法最小二乘法的理论，在此基础上，采用 了一种改进的曲面拟合方法移动最小二乘法。并对移动最小二乘法的权函 数的选取、a 矩阵的可逆性、影响域半径的确定以及插值函数的性质等关键性问 题都进行了详细的分析。 第三章介绍了反求工程的基本理论，研究了基于特征的反求工程，并指出了 其优势。提出了把反求技术应用于求汽车后视镜参数问题的思想方法。 第四章是将数学建模和仿真技术应用于后视镜问题中。曹先利用反求技术 得到后视镜上大量点的坐标。然后分别利用最小二乘法和改进的算法移动 最小二乘法对汽车后视镜进行曲面拟合，建立后视镜的数学模型。进而将仿真 技术应用于后视镜中，设计相应的仿真算法，对前面建立的数学模型进行数值 仿真分析，仿真结果直观展现后视镜的视野范围，为下一步工作打下基础。 最后总揽全文，得出结论。 关键宇：汽车后视镜，移动最d , - 乘法，曲面拟合，反求，仿真 武汉理工火学硕士学位论文 a b s t r a c t r e a r v i e wm i r r o ri saq u i t ei m p o r t a n tp a r to fa na u t o m o b i l e i ft h e r ea r eb l i n d d o m a i n sa n dd i s t o r t e di m a g eo nt h er e a r v i e wm i r r o ro fa l la u t o m o b i l et h a tm a y i n c r e a s et h ep r o b a b i l i t yo fd a n g e rt od r i v e r i ti sv e r ys i g n i f i c a n tt od e s i g nak i n do f r e a r v i e wm i r r o rw i t hw i d ee y e s h o ta n dl i t t l ed i s t o r t i o n 。n o w a d a y sa u t o m o b i l ei sm o r e a n dm o r ep o p u l a r , a n dt h em a r k e to fr e a r v i e wm i r r o ri sq u i t el a r g e s op e o p l eh a v e d e s i g n e dal o to fn e wr e a r v i e wm i r r o r s ，o fw h i c ht h em o s tt y p i c a lt y p ei sg r a d u a l c h a n g ec u r v a t u r er e a r v i e wm i r r o r h o w e v e r , t h e s en e wt y p e sa r es h o r to ft h es u p p o r t o fm a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dd e p e n d a b l et h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt h i sp a p e rw ew i l l p r e s e n tan e wm e t h o da n de s t a b l i s ham a t h e m a t i c a lm o d e lo fn e wr e a r v i e wm i r r o rb y a n a l y z i n gi t sc h a r a c t e r i s t i c m o r e o v e r , w ew i l le v a l u a t et h eq u a l i t yo ft h i sr e a r v i e w m i r r o rb yt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e p a p e rc o n s i s t so ft w op a n s ：i nt h ef i r s tp a r tw es t u d yt h et h e o r yo fr e a r v i e w m i r r o r 0 ut h eb a s i so fl e a s ts q u a r e s ，w ep r e s e n ta ni m p r o v e da l g o r i t h m m o v i n gl e a s ts q u a r e s m o r e o v e r , w ei n t r o d u c et h ea p p l i e dm e t h o do fr e v e r s e e n g i n e e r w ew i l la p p l ym o v i n gl e a s ts q u a r e st or e a r v i e wm i r r o r c o m p a r e dw i t ht h e m e t h o do fl e a s ts q u a r e s ，m o v i n gl e a s ts q u a r e si sm o r ep r e d o m i n a n t i nt h es e c o n d p a n ，w et a l ka b o u tt h ea p p l i c a t i o no fr e a r v i e wm i r r o r a n dw ee s t a b l i s ht h em o d e lo f r e a r v i e wm i r r o rb ym o v i n gl e a s ts q u a r e sa n dd e s i g nc o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m w e a p p l ys i m u l a t i o nt e c h n i q u et om a t h e m a t i c a lm o d e l ，w h i c hc a nd i s p l a yi n t u i t i o n a l l y f i e l do fv i s i o no fr e a r v i e wm i r r o r t h em a i nr e s e a r c hw o r ki sl i s t e da sf o l l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eg i v er e s e a r c hb a c k g r o u n d t h e nw ep o i n to u tt h ek e y p r o b l e ma n dr e s e a r c hc o n t e n tt h a tm a yb es o l v e di no u rr e s e a r c hw o r k i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ep r e s e n tt h et r a d i t i o n a lw a yo fs u r f a c ef i t t i n g l e a s t s q u a r e s w ep r e s e n tak i n do fa m e n d a t o r ya l g o r i t h m - - m o v i n gl e a s ts q u a r e s b a s e do nl e a s ts q u a r e s m o r e o v e r , w ea n a l y z ee x p l i c i t l ys e l e c t i o no fw e i g h t e d f u n c t i o n ，r e v e r s i b i l i t yo fam a t r i x ，c o n f i r mo fr a d i u so fi n f l u e n c i n gd o m a i na n d c h a r a c t e r i s t i co fi n t e r p o l a t i n gf u n c t i o na n ds oo n i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep r e s e n tt h eb a s i st h e o r yo fr e v e r s ee n g i n e e ra n dd i s c u s s i i 武汉理 ：大学硕士学位论文 r e v e r s ee n g i n e e r i n gb a s e do nc h a r a c t e r i s t i ca n dp o i n to u ti t sm e r i t m o r e o v e lw e p r e s e n ta ni d e o l o g yw a yt h a tw i l la p p l yr e v e r s et e c h n o l o g yt os e e kt h ep a r a m e t e ro f r e a r v i e wm i r r o r i nt h ef o u r t hc h a p t e ，w ea p p l ym a t h e m a t i c a lm o d e la n ds i m u l a t i o nt e c h n i q u et o r e a r v i e wm i r r o r f i r s t l y , w eg e tal o to fc o o r d i n a t e so fp o i n t so fr e a r v i e wm i r r o l s e c o n d l y w ea p p l ys u r f a c ef i t t i n go nr e a r v i e wm i r r o rb yl e a s ts q u a r e sa n dm o v i n g l e a s ts q u a w sa n de s t a b l i s hc o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l s f i n a l l y , w ea p p l y s i m u l a t i o n t e c h n i q u et o r e a r v i e wm i r r o ra n dd e s i g n c o r r e s p o n d i n gs i m u l a t i o n a l g o r i t h ma n dm a k eo u tn u m e r i c a la n a l y s i st oe s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c a lm o d e l t h e s i m u l a t i o nr e s u l ts h o w sd i s t i n c t l yf i e l do fv i s i o no fr e a r v i e wm i r r o l a tl a s t ，t h er e s e a r c hw o r ki nt h ep a p e ri ss u m m a r i z e d k e yw o r d s ：a u t o m o b i l er e a r v i e wm i r r o r m o v i n gl e a s ts q u a r e s ，s u r f a c ef i t t i n g ， r e v e r s et e c h n o l o g y , s i m u l m i o n j h 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 课题概述 1 ：1 1 课题的提出 第1 章绪论 汽车后视镜是整辆汽车上一个非常不起眼的零部件，然而它却有着不可低 估的重要作用，它像人的两只眼睛，一直注视着汽车两侧后方道路上的各种情 况。由于变道、拐弯、倒车时的视野盲区会造成撞车、撞人等。目前，国内外 汽车外置后视镜，均不同程度存在着以下几个问题：1 、视野不足，有盲区( 俗 称死角) ；2 、夜间行车时，后车灯光照在前车后视镜上产生反射，致使前车司 机眼花、眩目，影响安全操作；3 、为扩大视野，采用球面镜，但图像严重扭曲， 致使驾驶员无法判断侧后方的真实情况；4 、为消除盲区采用组合镜，即多面镜 子，其结构复杂，并对汽车的外部造型产生不好的影响，且镜子图像分割、断 裂，驾驶员不可能在瞬间同时观察数面镜子，也不可能将其连成- - n 完整、真 实的画面。因此，极易造成误判或汽车在高速行驶中追尾。 根据美国公路交通管理局( n h t s a ) 资料反映：因后视镜视野不理想，存 在盲区的原因而造成的交通事故，美国普通公路上的占3 0 ，高速公路上的占 7 0 。因此，攻克汽车外置后视镜的盲区，早已成为众多国内外专家研究、攻 l 轻的目标，只是长期以来一直没有得到理想的解决。 1 1 2 课题的研究意义 研究出一种大视野低失真的后视镜将能大大降低交通事故的发生率，对减 少交通事故带来的损失有重要意义，而且现在汽车越来越普及，后视镜市场也 有巨大潜力，在这种情况下出现了许多新型后视镜的设计，最具代表性的是渐 变曲率后视镜，但这些新型的后视镜一直没有数学模型支持和缺乏可靠的理论 分析，造成这些新型后视镜缺乏能够量化的评估方法。本文将通过分析某新型 后视镜的特点，提出一种数学建模方法以及建立该新型后视镜的数学模型，并 通过该模型对这类后视镜进行理论分析和数值仿真，从而对这类后视镜的性能 进行量化评估。 1 2 相关研究现状 武汉理上大学硕士学位论文 半个多世纪以来1 1 】，安装在汽车两侧的后视镜都是平面镜或球状凸面镜。 平面镜的优点是图像无变形，失真小但视野小、盲区大。球状凸面镜有一定曲 率时能略为增加一些视野。但当视野范围要求增长时，必须减少曲率半径，此 时会引起景象的严重变形。故必须对球面镜的曲率半径加以限制。长期以来， 减少或消除后视盲区，扩大后视野宽度的努力与控制成像变形的矛盾始终没有 得到解决。当后视镜设计的侧重点放在增大视野范围时，镜中成像就会严重变 形。因此只能牺牲后视镜的视野范围而使成像不致严重变形。因而并没有解决 既扩大视野又防止景象变形的矛盾。近年来为了解决扩大视野，消除盲区，人 们想了各种办法。例如：许多轿车在原有镜面上加贴一块小凸面镜。视驾驶者 需要，此小凸面镜可以消除贴近车身部位的盲区或扩大视野宽度。在一些大型 火车或客车上，还选用不同曲率的两块反射镜组装在一个镜架内，或在一侧安 装多面不同角度的后视镜。这些措施虽然改善了一侧只有一个后视镜的缺陷， 增大了视野范围，但其缺点是明显的。首先，不同曲率的镜面反射不同的景物， 图像不连贯，驾驶员不能依据断开的图像判断障碍的距离；其次，在行驶中的 很短时间间隔内不能同时看两面或多面镜子。因此仍不能有效地解决问题。从 企图扩大视野范围的球状凸面镜的设计思想而言，也是不甚合理的。因为需要 扩大成像的部位是在镜面的外侧和下侧。显然后视镜的外侧和下侧应有定曲 率，而镜面的上侧和内侧则要求有较小的曲率或不需要曲率，且外侧和下侧的 曲率也不应相同。但等曲率的球面镜不能满足这些要求。 1 3 本文的主要内容 针对现有变曲率后视镜缺乏数学模型支持和可靠的理论分析这个问题，提 出数学建模方法，并就某一模型的后视镜给出理论分析和数值仿真。具体内容 如下： ( 1 ) 分析后视镜镜面特点，用盐面拟合的方法建立其数学模型； ( 2 ) 根据其数学模型，设计仿真算法，直观展现后视镜的视野范围。 1 4 本文研究方法及预期成果 1 研究方法 武汉理t 大学硕士学位论文 从分析后视镜曲面特性出发，选用适合该曲面特性的拟合方法，对曲面进 行拟合，得到具有一定精度的曲面的方程。根据光反射原理建立后视镜反射和 成像的数学模型，设计相应的仿真算法，对前面建立的数学模型进行数值仿真 分析。 2 技术路线 1 q - 数学建模和曲面拟合技术应用到后视镜理论分析中，并用仿真技术直观 展示效果其成效。 3 预期成果 对某一车型的后视镜建立数学模型，给出理论分析，并利用仿真技术设计 仿真模型。 4 主要创瓤 ( 1 ) 提出研究后视镜问题的数学建模的新方法； ( 2 ) 利用反求技术来确定后视镜的技术参数； ( 3 ) 利用仿真技术进行数值仿真。 1 5 本文的组织结构 本文结构安扫5 如下： 第一章是绪论部分。 第二章介绍曲面拟合的传统方法最小二乘法的理论，在此基础上，引 入了一种改进的曲面拟合方法移动最小二乘法【2 】【3 1 。并对移动最小二乘法的 权函数的选取、a 矩阵的可逆性、影响域半径的确定以及插值函数的性质等关 键性问题都进行了详细的分析。 第三章介绍了反求技术的基本理论，研究了基于特征的反求工程，提出了 把反求技术应用于求汽车后视镜参数问题的思想方法。 第四章是将数学建模和仿真技术应用于后视镜问题中。首先通过反求技术 得到后视镜上大量点的坐标。然后分别用最小二乘法和改进的算法移动最 小二乘法对汽车后视镜进行曲面拟合，建立后视镜的数学模型。进而将仿真技 术应用于后视镜中，设计相应的仿真算法，对前面建立的数学模型进行数值仿 真分析，仿真结果直观展现后视镜的视野范围，为下一步工作打下了基础。 第五章是对全文的总结，并对进一步的工作做出了一些展望。 3 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章曲面拟合的最, j 、- - 乘法 曲亟拟合技术是一种应用广泛的技术，通常，经过测量或者采集可以得到 组离散数据点0 ，y i , z ；) ，i = l 2 ，m ，这里t ，y ；，2 ，为坐标值。由于这些数据 点并非完全精确，而且函数z = ( x ，y ) 的表达式预先无法知道，需要在给定的 函数类，上根据这些离散数据做出逼近曲面。因为离散数据有误差，并不要求 逼近曲面经过数据点，而只是要求逼近曲面触，y j 的误差的某个指标达到最小。 最小二乘法就是通过使误差的平方和最小，得到一个线性方程组，求解线性方 程组就可以得到拟合曲面。 2 1 最, j 、- - 乘法 u 豫t l x l ，工。及y ，一f ( x 。) o 。1 ，1 ) ，在一类曲线中中求一条曲线妒o ) 使之与删在节点工l j 一，的误差q l y 。一r p ( x i ) i ( i 一1 ，n ) 总体上最小。这里， 一类曲线m 可指全体直线、全体抛物线、全体不超过n 次的多项式、全体指数 函数a e “、全体正弦函数a s i n ( b x + c ) 等。又，上述毫8 1 ，露) “总体上最小” 一般指向量e = ，巳) 的范数| | e i | 最小。在拟合算法中一般取2 一范数 ：一廖= 厮 ( 2 1 ) 作为总体误差的定义，称为最4 , - 乘法。最小二乘拟合就是在一类曲线中中求 条曲线妒( z ) 使与被拟合曲线f i x ) 在节点，的误差平方和 善【，。一) 一妒( 珊最扎 2 1 1 法方程组 定义2 1 给定节点x 1 一，x 。，分别称函数，轴f ) j g 俐在节点上取值向量的内 积和2 范数 4 武汉理t 大学硕士学位论文 ( 厂，g ) 一f ( x ，) g o r ) ， ( ，) 为，g 关于节点_ ，的内积和f 关于 节点工l ，工。的范数。根据向量内积和2 - 范数的性质，对任意函数，g ，h 和数 ，有： ( 1 ) ( ，g + h ) = ( ，g ) + ( ， ) ； ( 2 ) ( ，g ) = z ( f ，占) ； ( 3 ) ( ，g ) = ( g ，) ； ( 4 ) l l f l i o 且l l f l i = 0 一，一。 定义2 2 称函数关于节点工l ，工。线性无关，如果它们的取值向量线性无 关， 即只有当k o , k 1 一，k 。全为零时， k o q o o 。) + l 妒l o 。) + k , 。q o ，0 1 ) 1 0 ，f1 1 , 2 ，一，n ( 2 - 2 ) 才全部成立。 线性无关函数，吼，的线性组合全体垂称为由，吼，张成的函 数空间，记为 中= s p a n c p o ，吼，) ； 妒( 工) = 4 0 妒o o ) + a i 吼( x ) + + a m 9 ) p o ，1 ，口。r 而q o o , ，妒。称为m 的基函数。 最小二乘拟合用数学语言表述为：已知数据t ，y 。一( x ，) ( f = 1 ，n ) 和函数 空_ f a j 中is p a n 妒o ，吼，) ，求一函数妒中，使 卜妒忙嘧卜妒0 ( 2 _ 3 ) 令妒( z ) 2 善4 ，妒，。冲 ) 。荟4 j 妒，o ) ，那么 以) 冉扣一羹咿俐2 ( 2 - 4 ) 问题等价于求口：，n ：，n ：r ，使 s ( 口赫口：卜0 铋s o 。，) ( 2 - 5 ) 武汉理工大学硕士学位论文 从抽象意义上说，是要在函数空间中中找与，最近的元素。从通俗意义上 讲，是个关于n 。，8 1 ) 一a 。的二次函数的最小化问题。 根据函数极值的必要条件，对口。，4 1 ，一a 。求偏导： 竺# o k 。0 , 1 ，m ， 柏t 得 一2 善【y ，一荟。，妒， t ) 概“) l o 即 磊善8 ，竹) 吼 ) 。善y ；铱。一) 用内积表示为线性方程组 荟( 妒，吼) n 。( ，吼) ， ( 七= 虬，神， ( 2 - 6 ) 其矩阵形式为 o ，妒。) ( ，) ( 妒o ，吼) ( 妒，仍) 。 ( ，妒。) ( ，吼) ( t p 。 妒m 驴肿 ( ，) ( ，吼) ： ( ，) ( 2 7 ) 式( 2 6 ) 或( 2 - 7 ) 称为法方程组或正规方程组。 定理2 11 3 1 如果函数 ) ，吼o ) ，0 ) 关于节点工l ，- ，_ 线性无关，则 法方程组( 2 6 ) 或式( 2 7 ) 的解存在唯一，且是式的唯一最优解。 证用吼 ，) 乘式( 2 - 2 ) 并求和得 k o ( ，吼) + 七1 ( 吼，吼) + + k ( ，铱) 一0 ，k o 工，m ( 2 - 8 ) 由于c o ( x ) ，仍0 ) ，q 9 ( x ) 关于节点z l 一，工线性无关，式( 2 - 8 ) 只有零解， 那么 踟m ；鼬 viiiiji八 武汉理工大学硕士学位论文 ( ，) ( 妒，) ( 伊。，妒。) ( q o l ，仍) ( 孵。，妒。) ( 9 ，妒。) ( ( ( 这样式( 2 7 ) 的解存在唯一。 进步证明式( 2 - 5 ) 。设口：，口：，口：是法方程组的解， 篆 ，钆) 4 j j ( ，) ，= o 1 ，埘， 即 + ，吼) - ( ，) ，k o , l ，m 或 ( ，一妒+ ，吼) = 0 , k ；0 ，1 ，m 根据内积性质，对任意g 中， ( ，一妒+ ，g ) t 0 对任意d 。，a l ，一a 。，根据内积性质 s ( 日。，d 。，。) = f f 厂一驴1 2 = ( ，一中，厂一妒) 矗( 厂一妒+ + 妒+ 一伊，一妒+ 妒一妒) = ( 厂一妒，一妒+ ) + 2 ( ，一妒+ ，妒一妒) + ( 妒一驴，伊+ 一妒) = s o ，n - 一，a ：) + 2 ( f c p , 垆一o o ) + l l 妒一妒8 2 由于妒+ 一甲中，第二项为0 ，而第三项非负，且仅当妒一妒时等于零，所 以n ；，n ：，。：是式( 2 - 5 ) 的唯一最优解。 相对于法方程具有线性方程组和非线性方程组两种形式，最1 , - 乘方法也 分为线性和非线性两种方法。 2 1 2 线性最, b - - 乘法 线性最小二乘法方法一般有三种变化形式，分别是法方程法m n e ( m e t h o do f n o r m a le q u a t i o n s ) 、奇异值分解法s v d ( s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ) 和特征向量 估计法e v e ( e i g e n v e c t o re s t i m a t i o n ) 。 武汉理工大学硕士学位论文 其中 设有n 个数据点 ，y j ，z 。) ，i = 1 ，n 可以得到方程组 a x b( 2 9 ) a x ?y ? 工；y ； x j y jy l z lz i x lx 1y lz 1 x 2 y 2y 2 2 2z 2 x 2x 2y 22 2 x ：y ：z ：x y y 。z 。z n x x 。y 。乙 x = 一( c l ，c 2 ，c 3 ，c 4 ，c 5 ，c 6 ，c 7 ，c b ，c 9 ) 7 b - c l o ( 1 1 。1 ) 7 1 当c 1 。一0 且a 为非奇异矩阵，即( a 7 爿) 。1 存在时，系数矩阵工可以通过方程 x = ( a 7 爿) 。a 7 b 求解得到，这种方法称为法方程法。 2 当c 。一0 且爿为奇异矩阵时，为了避免口7 一) 一，将矩阵一分解为a = u w v 7 其中为元素是非负值的对角矩阵，u 和矿都是正交矩阵( 列向量正交) ，即 = d i a g ( w ，) 1 ，u 7 u ；v 7 v f ，从而系数矩阵x 可以通过方程 工一v d i a g ( 1 w ，) b 求解得到，这种方法称为奇异值分解法。 3 当时c 。- 0 ，方程变为a x 一0 ，假设矩阵0 7 一) 。1 的特征值为6 ，( f = l ，9 ) ， 如果存在其中一个特征值0 ，0 ，贝t j ( a 7 a ) x a ，x - 0 ，所以对应特征值；，的特 征向量z 即为方程的解，这种方法称为特征向量估计法。在实际应用中，由于 特征值不会恰好为零，而是将对应其中绝对值最小的特征值的特征向量作为系 数矩阵工的解。 2 1 3 非线性最, j 、- - 乘法 非线性最小二乘方法对应的法方程为非线性方程组。非线性方程组的求解 通常采用两种迭代方法，即g a u s s - n e w t o n 法和l e v e n b e r g - m a r q u a r d t 法。 g a u s s n e w t o n 法是解非线性方程组的主要方法但该方法对初始近似要求比 武汉理工大学硕士学位论文 较苛刻，初值选取不好，迭代可能不收敛。 l e v e n b e r g - m a r q u a r d t 法对g a u s s n e w t o n 法作了改进引入了阻尼因子作为收 敛因子，扩大收敛区域，使迭代过程能够稳定进行。因而l e v e n b e r g m a r q u a r d t 法有时也称为阻尼最小二乘法。在实际应用中一般都采用l e v e n b e r g m a r q u a r d t 法来求解非线性最小二乘问题。 2 2 移动最小二乘法 传统的曲面拟合方法般使用最小二乘法，通过使误差的平方和最小，得 到一个线性方程维，求解线性方程组就可以得到拟合曲面。如果离散数据量比 较大、形状复杂，还需要进行分段( 分块) 拟合和平滑化，这在实际中往往带来 一定的困难。本文根据后视镜镜面特性设计一种具有针对性的拟合算法移 动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e s ) 。通过比较和测试，这种方法能克服 以上困难，并且还有许多其他优点。移动最小二乘法【4 j 与传统最小二乘法相比， 有三个比较大的改进： ( i ) 拟合函数的建立不同。这种方法建立拟合函数不是采用传统的多项式 或其它函数，而是由一个系数向量a ( x ) 和基函数p 7 伍) 构成，这里口“) 不是常 数，而是坐标的函数。 ( 2 ) 引入紧支( c o m p a c ts u p p o r t ) 概念，认为点x 处的值z 只受x 附近子域 内的节点影响( 这个子域称作点x 的影响区域) ，影响区域外的节点对x 的取值 没有影响。在影响区域上定义一个权函数w 似) ，如果权函数在整个区域取为常 数，就得到传统的最小二乘法。 ( 3 ) 能有效提高拟合结果的精度。 这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲面拟合过程中存在的困难。 可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权函数以改变拟合曲面的 光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。 2 2 1 移动最小二乘法的基本原理 在区域q 内，移动最小二乘近似函数可由下式定义： “ ) = p o g ) ，魄q( 2 1 0 ) 武汉理_ _ l 人学硕士学位论文 式中p 7 0 ) _ 【p 。o ) ，p 2 ) ，p 。0 ) 】是基函数，口( x ) 是包含系数 n ( z ) ，= l 2 ，m 的向量，这些系数是空间坐标的函数。 对一维问题有 线性基p 7 ) 一【1 x 】 , , = 2 ( 2 - l l a ) 平方基p 7 ) 一【1 ，x ，z2 】 辨= 3 ( 2 - l l b ) 对二维问题有 线性基p 7 0 ) 一【1 工y 】m z3 ( 2 1 2 a ) 二次基p 7x ) = 【1 zy 工2 x yy2 】m 一6( 2 1 2 b ) 三次基p r ) ；【1 工y z 2 x yy2 石3 x 2 yx y 2 y 3 】n 一1 0 ( 2 - 1 2 c ) 定义加权离散上2 模为 ， ) = m o ) p 7 p o ) 一五_ 2i 【p 口o ) 一d ，】7 矽【p 口o ) 一五，】 ( 2 _ 1 3 ) 式中彬0 ) 是节点f 的权函数，对于在彬0 ) 的支持域内的所有石，有 彬( 石) 0 ，x i 表示节点j 的x 值，l 是域q 内权函数彬 ) 0 的节点数，而矩 阵p 和分别为 尸= p 7 “) p 7 ：) p ， ，) p 2 0 。) p 。 1 ) p ，o ：) p 2 2 ) p 。o ：) p 7 0 。) kj p 。 ) p ：亿) p 。o 。) i ( 2 - 1 4 ) 。p p 均 d 7t 瞄，：i 】 ( 2 - 1 6 ) 在这里应特别注意：在式子( 2 1 3 ) _ 手1 1 ( 2 1 6 ) 中的喀，i = 1 , 2 ，n 是名义节点值， 通常它不是未知试函数“6 0 ) 的节点值。 1 0 武汉理工人学硕士学位论文 由， ) 取得极小值的条件，可以得到瓦o j 两( x ) t 。，即 爿o 如 ) = b ( x ) a( 2 1 7 其中 爿o ) = p r w p - b ( x ) e 。m ) p o ；) p 7 0 i ) ( 2 - 1 8 ) b o ) = p 1 w = 【w 。o 咖0 ，) w ：o ) p 0 ：) w 0 印o 。) 】( 2 - 1 9 ) 只有在方程( 2 1 7 ) 0 的矩阵爿是非奇异时，才可定义移动最小二乘近似函 数。而要a 非奇异，必须使得p 的秩等于m 。因此定义移动最小二乘近似函数 的必须条件是，对于每个样点并q 至少有m 个权函数不为零( 即露m ) ，而 且在q 中的节点不能有特殊的分布，例如分布在条直线上。这里所说的样点 既可以是所考虑的节点，也可以是商斯积分点。 由式( 2 1 7 ) 解出a ( x ) 并代入式( 2 一i o 得 “o ) = l 王，o 弦一妒；o m ，“o ) ；“一一玩，石q ( 2 _ 2 0 ) 式中 v ) 一p 7 0 坶。( 工徊扛)( 2 - 2 1 ) 或 妒，o ) = p ，o ) 即- 1 0 ) 同旺) 】( 2 - 2 2 ) 根据上面移动最小二乘近似数的构造过程，可知它具有如下特点： ( 1 ) 若一个函数“0 ) 可以由基函数的线性组台来表示，则这个函数可以由 移动最小二乘近似数精确模拟。 “o ) 。艺a i o ) p 。( 工) ( 2 - 2 3 ) 若令系数q 0 ) = 口，则式( 2 2 3 ) 对应的j 的最小值为j = 0 ，因此 “6 ( 善) 。善口r p r ( x ) = h ) ( 2 - 2 4 ) 这表明包含于基函数组中的任何函数都可以通过移动最小二乘近似数精 武汉理上大学硕士学位论文 确地模拟。 ( 2 ) 系数是空间坐标的函数。 近似式中的系数是空问坐标的系数，而且通常得不到相对应的解析表达式。 因此在计算中，对每一个计算点，都需要首先计算该点处的系数值，才能得到 该计算点的近似值；对于某一位置近似函数的导数，计算就更加复杂。为了保 证每个计算点位置的系数求解矩阵4 可逆，必须满足nz 朋。 从前面的推导还可以看出，移动最d , - - 乘近似与有限元法中的近似有很多 相似之处，但二者存在差别，主要有以下四个： ( 1 ) 有限元法采用拉格朗日插值或其他插值方法，移动最小二乘法采用加 权的移动最小二乘近似系数。 ( 2 ) 有限元法中插值函数定义在单个网格内，丽移动最d , - - 乘中的插值函 数定义于全域，并且仅取决于节点空间的分布和所选取的权函数。 ( 3 ) 由于有限元法中插值函数定义于各个网格内，因此近似的连续性、光 滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理，而使用移 动最小二乘近似，插值函数定义于全域，具有更好的连续性、光滑性，不需要 后处理过程。 ( 4 ) 有限元法【1 7 】【2 l 】中插值函数一般为线性或= 次、三次插值函数，而移动 最小二乘中采用三次、四次、五次样条函数或指数函数，插值函数次数高，因 而具有较高的精度。 2 2 2 权函数 在移动最小二乘法中，权函数起着非常重要的作用。从函数逼近论的角度 来看，使用权函数的目的可以使近似解和精确解在某一划定区间上拟合得更好， 或者说，着重强调了二者在分区域的拟合关系。因此权函数的选取将直接影响 移动最d , - - 乘法的计算精度和计算复杂性。 1 权函数的选取原则 权函数m 0 ) 的选取应遵循以下三个原则： ( 1 ) 权函数具有紧支性。即：权函数在x ；的一个子域内不等于零，在这个 子域之外全为零，则这个子域称为权函数的支持域( 即x ，的影响区域) 。一般选 择圆形和矩形作为权函数的支持域，如图2 - 1 所示。由于权函数的紧支性，只 有这些包含在影响区域内的数据点对点的取值有影响。 武汉理工大学硕士学位论文 ( 2 ) 权函数m 0 ) 非负。并且随着d ，的增加单调递减，其中d ，= 忙一x i 刚：在某点的权函数应在自身取最大值，由近及远而逐渐衰减。如图2 2 所示。 ( 3 ) 权函数具有连续性。因为拟合函数会继承权函数的连续性：如果权函 数h ( z ) 是c7 阶连续的，则拟合函数也是c 阶连续的。 图2 - 1 影响域 图2 - 2具有紧支集的光滑权函数曲线 2 权函数的类型 通常采用的权函数有 ( 1 ) 有理式形式的权函数 、) 哺 呲 叫 赫眄辎 武汉理工大学硕士学位论文 州加陟 t 7 p 2 s ， 其中：d = 陋一_ = 0 5 ，k - 4 ，r 为影响半径。 w ， ) = 。x 小( 生) ：t 】- e x p 一( 三) ：t 】 羔一，0s d 。s ， 1 - e x p 一( 二) 2 】 ( 2 _ 2 6 ) 0，df， 其中c 为相对权系数，cz 三；t = 1 。 k 。，2 乍_ 軎) ，。誓；歹 c z 2 ， ；一4 ( d 1 ) z + 4 ( 生) ，o g d 。s ，2 jrr 4 _ 4 生 3 r o 吣，2 妒2 一= 4l d i ) 3 r 2 r f 2 - 2 8 ) f 2 - 2 9 ) 啡) ，1 - l o ( 亨) 5 ( 争4 6 审5 oa d ；墨r p 3 。) 1 0 d f 7 1 4 rv ld、，l0 t 一， 3一 r r 随，a 8 d + 武汉理工大学硕士学位论文 2 ，2 ，3 形函数及导数 l 王，o ) ；p 7 g m 。0 ) 口o )( 2 - 3 1 ) 称v 0 ) 为形函数，其微分形式为 其中 王，扛) 。【p 7 m 。 徊0 ) l ( 2 - 3 2 ) = _ p 7 0 ) ，a “0 归 ) + p 7 m “o ) ；b 0 ) + p 7 0 ) 4 - 1 0 归o ) ； a 。o ) 。= - a 。o m o ) ；a 。1 )( 2 - 3 3 ) 式( 2 - 3 2 ) 、( 2 3 3 ) 中，f 代表空间变量工或y ，( ) 代表i 0 ( ) 或( ) 。 0 优：y ； 上式中a 。的导数的计算可通过下面的计算过程得到： 由于a a = ，可得 同理可得 ! 丝：l 型省一+ 彳望。o 缸缸缸 o a - _ z ；- a - i 型 船az o a - _ z 一丝4 一 砂却 同样的方法可得到a 。的高阶导数 百0 2 a f - i ；_ a _ i 、- 0 缸2 a 。a - i + 2 罢x a a 孵- i ) 0 抄2 a ：- 塑一州等n z 詈，等， 武汉理j ：大学硕士学位论文 些：一- a - 1 f 塑爿* 1 + 塑丛+ 塑望) 打a y、缸a y打却d y缸7 根据式( 2 - 3 1 ) ，可以将形函数理解为相互独立的三个部分：即p ( x ) ，a 。1 ( x ) 和b 0 ) 。其中p “) 包含节点的位景信息，a 。缸) 是由所有节点的坐标各自进行 包括加权在内的简单运算后叠加得到的。由于采用了以距离为单一变量的权函 数，使得与某一节点有关的所有节点被限制在以这一节点为中心的影响域内， 故a 。( 石) 是由节点工的影响域( i n f l u c n td o m a i n ) 内所有节点的坐标形成的；b “) 中的每一列可看成是表示对应的节点与影响域内所有节点的分配关系。因此， 对于移动最小二乘法形函数，可以这样理解，即对于节点x ，先由其影响域内 的所有节点形成代表这一影响域整体的一( x ) 并求逆，再利用曰“) 将这一整体信 息分配到域内的各节点，这样就可得到插值点与这些基点问的插值函数值。 2 2 4 爿( x ) 的可逆性 在移动最小二乘法中，可以看到，在求解近似函数中的形函数及其导数时， 都要对a ( x ) 求逆。因此必须保证在求解系数时所用的矩阵a 可逆，其必要条件 是：在每个样点j q 都满足mz 胁) 。 由前面推导可知，p 是一个，l m 的实矩阵；是一个n h 的实矩阵；a ( x ) 是一个m 阶方阵。当爿0 ) 的秩为m ，a 伍) 非奇异。 如果一个样点z 的支持域内的插值基点数，l m ，但如果这些插值基点分布 在一条直线上( 如图2 3 a 所示) ，使得a 扛) 一0 ，则a 0 ) 也是不可逆的。另外， 如图2 3 b 所示，在插值点附近插值基点成一条直线，而其余的插值基点分布在 域的边缘，此时由于权函数的作用，一主要由那些成直线的插值基点构成， 导致陋0 _ 一0 ，即4 0 ) 也常表现出不可逆的性质。 一、 - 。 、 。口，_ 吨7 ( 口) 6 捕值基点 糯 ：f 点 图2 - 3a 0 ) 不可逆时的2 种插值基点排布 1 6 o， ，hi、l、 武汉理工夫学硕士学位论文 2 ，2 5 影响域 移动最小二乘法中权函数具有紧支集的特性，紧支集又称为一个节点的影 响域。二维问题中最常用的影响域的形状是圆形和矩形。影响域的大小必须选 择合适。在选择节点f 的影响域半径r 的大小时，一方面考虑到在每个样点处， 移动摄小二乘近似试函数的定义域内