（应用数学专业论文）逆散射问题探测法的数值实现.pdf

摘要 逆散射问题是一类重要的反问题，其基本的任务是由散射波场的测量信息来探求散射 体的物理性质，例如散射体的结构参数或者散射体的形状数学上该类问题表示为椭圆型方 程的系数( 边界) 反问题探澜法是逆散射问题中的一种重要的求解方法，它是由日本数学 家m i k e h a t a 等人于1 9 9 8 年提出的其主要思想是由散射波测量数据( 如散射波的远场形 式) 构造一个带有散射体外面参数点的指示函数，当参数点靠近散射体的边界时，指示函数 爆破，由此重建散射体的边界其中核心的一步是由散射波的远场形式构造定义于包含散 射体的个已知区域n 的边界上的d i r i c h l e t 一幻一n e u m a n n ( d t o n ) 映射，这是一个 典型的不适定问题本文的主要目的是对具有s o u n d s o ，t 边界的散射体研究探测法的数 值实现，主要的任务是考虑标志函数的构造，进而利用模拟数据检验探测法的实现效果， 并探讨了可能存在的问题和解决的办法为了更清楚地检验探测方法的数值结果，我们直 接从n 边界上的d t o n 映射来研究探测方法我们的工作包含了如下三个方面首先 简单叙述了非连通区域上h e l m h o l t z 方程边值问题，即在散射体已知的假定下，在环形区 域n d 内用密度函数的方法求解正问题的解以得到反演输入数据在探测法中重要的一 步是r u n g e 逼近函数的构造和数值实现，它在鲫上的限制就是d t 。一映射，而这种 定义于边界上的d t o n 映射就是罴要的指示函数的输入数据因此我们的第二个工作 是讨论了勘邶e 逼近函数的构造问题，它本质上是解第一类的积分算子方程，这也是不适 定的最后，我们讨论了所提出反演方法的数值实现，检验了探测方法的实现效果 关键词t 逆散射。探测法，指示函数，r u n g e 逼近，数值实现 a b s t r a c t i n v e r s es c a t t e r i n g sb e l o n gt ot h ec a t r o r yo f i n v e r s ep r o b l e m s ，w h i c ha r i s ei nm a n ya p p l i c a t i o n a l e a 8s u c h 鹅n o n d e s t r u c t i v et t ，m e d i c a li m a g i n ga n dg e o p h y s i c s t h et a s k so ft h e s ep r o b l e m sa r e t o i d e n t i f y t h e p h y s i c s p r o p e r t y o f s c a t t e r e r s f r o m m e a s u r e m e n to f s c a t t e r e d w a , v e f i e l d m a t h e m a t - i c a l l y , t h e ya r ed e s c r i b e db yc o e f f i c i e n t ( b o u n d a r y ) i n v e r s i o n so fe l l i p t i ce q u a t i o n s p r o b em e t h o d i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n v e r s i o ns c h e m e sd e v e l o p e dr e c e n t l yf o ri n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m s i t sm a i ni d e ai st oc o n s t r u c ta ni n d i c a t o rf u n o t i o nw i t hp a r a m e t e rp o i n to l l t s i d es c a t t e r e rf r o m i n f o r m a t i o na b o u ts c a t t e r e d 甍啊聘s u c h 勰f a r - f i e l dp a t t e r n w h e nt h ep a r a m e t e rp o i n ta p p r o a c h e s t ot h eb o u n d s 时o fs c a t t e r e r , t h ei n d i c a t o rf u n c t i o nb l o w su p t h u st h eb o u n d a r y 主sr e c o n s t r u c t e d f r o mt h ej n d i c a t o rb e h a v i o r t b ek e yt op r o b em e t h o di st oc o n s t r u c tad i r i c h l e t - t o - n e u m a n n ( d - t o - n ) m a pd e f t n e do nt h eb o u n d a r yo fak n o w nd o m a i nnw h i c hc o n t a i n st h es c a t t e r ，a n dt h e n g t u d yt h ei n d i c a t o rb e h a v i o rc o n s t r u c e df r o md t o - nm a p t h ep u r p 0 6 eo ft h i st h e s i si st os t u d y t h en u m e r i c a lr e a l i z a t i o no fp r o b em e t h o df o ras c a t t e r e rw i t hs o u n d - s o f tb o u n d a r y , a n dt e s tt h e r e a l i z a t i o np e r f o r m a n c eo fp r o b em e t h o df r o mt h es i m u l a t i o nd a t s o m en u m e r i c a lp h o e n o m e n a a 8w e l la 8t h ep o s s i b l es o l v i n gm e t h o d sa x ec o n s i d e r e d i no r d e rt os i m p l i f yt h et e s tp r o c e d u r e ，w e c o n s i d e rt h en u m e r i c a lr e a l i z a t i o nf r o md t o - nm a pd i r e c t l y t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h ep a p e r f i r s to fa 1 1 b yb r i f e l yi n t r o d u c i n gt h ep o t e n t i a lm e t h o df o rs o l v i n gh e l m h o l t ze q u a t i o ni nan o n - c o u n e c e dd o m a i n ，t h es i m u l a t i o no fd - t o - nm a pi sg e n e r a t e df o ro u ri n v e r s ep r o b l e m s i n c et h e c o n s t r u c t i o nm a dn u m e r i c a lp e r f o r m a n c eo fr u n g ea p p r o x i m a t i o ni 8a ni m p o r t a n ts t e pi np r o b e m e t h o d t h es e c o n dw o r ki nt h j 8t h e s i sj 8t od i s c u s st h ec o n s t r u c t i o no fr u n g ea p p r o x i m a t i o nb y a no p t i i z a t i o nt e c h n i q u ef o ra ni n t e g r a le q u a t i o no ff i r s tl c i n d f i n a l l y , t h en u m e r i c a lr e a l i z a t i o n o fp r o b em e t h o di sc o n s i d e r e db a s e do nt h er u n g ea p p r o x i m a t i o ns c h e m ep r o p o s e di nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：i n v e r s es c a t t e r i n g , p r o b em e t h o d ，i n d i c a t o rf u n c t i o n ，r u n g ea p p r o x i m a t i o n ，n u m e r i c 8 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同意对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 = 、关于学位论文使用授权的说明 签名：盘廷日期 堕：! ：些 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复翩手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：盘毽导师签 第一章引言 1 1 逆散射问题的背景 数学物理反问题研究的内容非常广泛，涉及到地球物理、生命科学、材料科学、信号处 理等众多的科学技术领域当我们把具体的物理现象用微分方程定解问题来描述时，反问 题一般是重建微分方程中未知的系数、区域形状或一些边界及初始条件求解反问题是较 困难的，因为很多反问题都是不适定的并且通常是非线性的这意味着当我们利用的原始 数据是有扰动的测量数据时，在经典意义下问题的解可能不存在解即使存在也可能不唯 一，而且解可能不连续依赖于输入数据，即原始数据小的观测误差会导致近似解与真解的 严重偏离所以，要用特殊的方法求解反问题，如对原问题进行优化处理或正则化处理 逆散射问题是一类重要的反问题，它利用介质外部的测量信息探测介质的性质，而这 些性质通常是不能直接测量的向介质发射入射波，在介质作用下会产生散射波逆散射问 题是由散射波包含的信息来获得介质的一些性质，如位置、形状、内部结构等散射体一般 分为可穿透的和不可穿透的两种对不可穿透的物体，散射完全由物体的边界决定，与物 体的内部性质无关，这时逆散射问题通常是确定散射体的形状或边界条件；对可穿透的物 体，散射与物体的边界和内部结构都有关，这时逆散射问题通常是确定两种不同介质之问 的折射率根据入射波的频率，散射问题又可分为高频散射和波数在共振区域内的散射 本文考虑在j p ( m = 2 ，3 ) 中给定入射平面声波或电磁波u i ( x ，d ) = e 妇d 的逆散射问题， 波数在共振区域内，d 为入射方向入射波作用在不可穿透的物体d 上，产生散射波 u 。( 妃d ) ，散射波在无穷远处的状态即其远场形式u 。( ，d ) ，圣，d s i n - 1 ( r m 中的单位球面) 是 可测量得到的信息逆散射问题的主要任务是由散射波的远场形式重建散射体的形状。 对给定的入射波，在不可穿透的散射体d 外，总场u ( z ，d ) = u i ( x ，d ) + t ，( 。，d ) 满足 h e l m h o l t z 方程的定解问题 f 霉a u + 巍k 2 u = 0 一 i a r m d ， o i l8 d ， ( 1 1 ) r = l z l o 。 b 是边界算子，它对应在a d 上的边界条 s o u n d s o f tb o u n d a r y ：u = 0 s o u n d - h a r d 咖：，嘉= 。 o na d ， o na d 东南大学硕士论文 2 i m p e d a m b o u n d a 驯窑+ i 0 - “- 0 mo d 其中一是a d 上外单位法向量，常数a 0 是边界阻尼系数由【1 】知正散射问题( 由入射波 确定散射波) 存在唯一解由h o l m h o l t z 方程的基本解 吣川： 鍪剐o ：耋 l 石i 习一“ 的渐近展开( 1 2 ) 可以得到“。( z ，d ) 与t ”洚，d ) 有下面的渐近关系： 嘶，d ) 2 弄铡+ o ( 高) ) ，蚓- + 。 ( 1 2 ) 上述问题有着明确的物理背景若入射波是平面调和声波，假设散射体d 在密度p 声 速c 的均匀各向同性介质中，则波的传播现象可由速度位势u = u ( x ，t ) ，z j p d 确定， 且在线性化理论中满足波动方程( 【2 】) ： 霎罢：c 2 u 万2 。o “ 对频率) 0 ，扛，t ) = 鸵“( ) e 一“) 的时间调和声波，其振幅“满足h e l m h o l t z 方程： “+ 胪u = 0 ，i n 妒西 波数女 0 ，2 = u 2 舻，前面的边界条件对应于下面的物理解释： u o o = 0 声波的压力在o d 上为0 ， 乱u l 阳= 0 甘速度的法向部分在o d 上为0 ， ( 乱t + t 一) i a d = 0 营法向速度与附加压力在边界上成正比， 若入射波是电磁波，作用在一无限长的均匀分布的圆柱导体上，此时电荷分布在导体 柱的表面上若电磁波是时间调和的，则散射可由时间调和m a x w e l l 方程描述： v 官一七膏= 0 ，v 詹+ 血亩= 0 ，茁舻西( 1 3 ) 假设入射场t m ( t r a n s v e r s er r l a # n e t i c ) 极化，即电场振动平行于圆柱体的轴线，引入标量场 u ，使应= ( o ，0 ，“) ，记霄= ( 皿，吼，也) 由m a x w e l l 方程( 1 3 ) 知， i 品u = i k 也， 一鑫u = k 风， ( 1 4 ) i 嘉一鸯巩+ i k u = 0 东南大学硕士论文 3 则u 满足h e l m h o l t z 方程： 钍+ 七2 t 二= 0 ， i nr 2 西 这里的d 指圆柱体的横截面若导体柱是良导体( p e c ) ，则“满足边界条件 u ( z ) = 0 ，z o d ， 若导体柱表面涂了某种表面阻抗为a 的材料，则“满足边界条件 娑+ i a u ：0 ，$ o d ， u p 上述问题对应于由散射体外面测量得到的电磁场的性质确定散射体的边界( 【3 】，【4 1 ) ，在工程 领域有广泛的应用 l ，2 逆散射问题已有的反演方法 由r e | l e c h 引理( f 2 】) 知散射渡与其远场形式是一一对应的，这意味着远场形式是散射波 的特征量若假设d 包含在球b ( o ，r 2 ) 内( 常数r o ) ，且给定 o ，0 不是+ 舻在 b ( o ，r ) 内的d i r i c h l e t 特征值，则由( 【1 ，c h a p t e r 3 ) 知。对蚓 兄2 的散射波矿( 毛d ) 可唯一 地由u o o ( ，d ) 确定但是由t * 确定矿本质上是解第一类积分方程，这是一个不适定的问 题( f 5 ) 而由u ”重建救自| 体这个问题也有了很多研究，具体的反演方法可分为两大类：一 类是近似法，如区域导数法、密度函数法另一类反演方法的思想是构造一个指示函数，当 其中的参数点靠近散射体边界时指示函数爆破，由此重建散射体的形状基于这种思想的 方法有线性抽样法( 【6 】) 、点源法( 吲) 和探测法( 【8 】，f 9 j ) 上述这些方法中有的方法需要所 有入射方向对应的远场形式，但在实际计算中我们只能获得有限个入射方向对应的远场形 式因此在应用中更为重要的一类问题是由有限个入射方向对应的远场形式重建散射体 下面我们简单总结一下这些方法，由此可以清楚地看出探测法的优点 ( 1 ) 区域导数法 肋c r 于1 9 8 1 年提出区域导数法( 2 1 ) ，是考虑星形散射体d ，o d = 。，= r ( 2 ) 圣，壬 s 1 1 ，其中r ：s 1 - + r 是遍界到原点的距离函数把边界到远场形式的映射算子记为f ： c 晕( s 1 ) _ 驴( s 1 ) 。则逆散射问题是解算子方程 f p ) = t 。( 1 5 ) 来确定如可以证明f 是f r e c h e t 可导的，其导数有表达式： f ( r ) 口= 口。 东南大学硕士论文 t ，o 。是下述方程辐射解的远场形式 f 口+ 2 口= 0 l ”= 一v 嚣 i 丑2 、易 o i la d 4 ( 1 6 ) f 协) ：l 2 ( s 1 ) l 2 ( s 1 ) 的紧性意昧着反同题的不适定性用n e w t o n 方法线性化( 1 5 ) 得 f ( h ) + f ( h ) 铷= “， r n + l = r a + g n ，r i = 0 ，1 ， 这种方法涉及到微分和有限维子空间的逼近 ( 2 ) 密度函数法 k i t s c h 和k r e s s 于1 9 8 7 年提出了一释密度函数法( 【5 1 ) ，把一个非线性不适定问题分 解成线性不适定问题和非线性优化问题两部分，即：首先选择d 中封闭曲线r ，由( 1 2 ) 得 u ( 耋) = ，r71 p ( 掣) e 一曲量9 d s ( 挈) ，s 1 ， 其中1 = e 精4 娟_ j i i 。定义算子f ：工2 ( r ) _ l 2 ( s 1 ) f l p ( 士) ：= 7 妒( 掣) e 一始。9 d s ( 掣) ，主s 1 ， j l 求算子方程 f 妒= “( 1 7 ) 的解对其正则化 a + f + f = f “( 1 8 ) 求正则化解，a 为正则化参数其次，构造 u 5 ( z ) s = 厶b ) 垂( 琊冲b ) o d 是满足边界条件f ( z ) + ( 刮b = 0 的点的集合若o d 是星形的且有参数化表示 o d = 扛( a ) = r ( 口) a = r ( o ) c c o s e ，s i n p ) ) ，构造泛函 a ( r ，) 2 上( 鼽+ o ) ( r c e ) ，钟i d ( o ) 1 2 d o 求其在某个集合上的最小元t o ( 8 ) ，则对应的o d a 为所术这种方法不需要太多的入射方 向，但要知道散射体的大体位置和大小，由于是解一个非线性最优化问题，所以求出的o d 不具有唯一性，且仅有d i s t ( o d ，o d ) 0 和z d ，假设d 是8 0 w e d s o f t 的，存在( d ) 使得 ( 日) ( z ，) 一( 一圣( ，z ) ) i i c ( o d ) 曼 ( 1 1 1 ) 说明在o d 上两个散射波很靠近。根据正散射对边界数据的连续依赖性，它们的远场形式 也应该很靠近，即 l i ( f 9 1 ) ( z ，) 一垂”( ，：) i i l ：( s - ) 既 ( 1 1 2 ) 则虻是( 1 1 0 ) 的近似解由h 的有界性和( 1 1 1 ) 得 | | 旷( z ，) l l u ( 5 - ) c l l ( h g ：) ( z ，) l l c ( a o ) + o o ， z _ o d 由此重建o d ，这f o - x 法不依赖于边界条件的类型，但不能确定散射体的边界类型，而且需 要所有的入射方向 东南大学硕士论文 6 ( 4 ) 点源法 点源法( p o l l ：h a s t ，2 0 0 0 ) 是把点源西( ，z ) 的位置z 放在d 的外面，由“。( ，d ) 构造点源 圣( z ，z ) 的散射波西。( 毛z ) 作为指示函数，当= _ + 凹时，i 妒( 薯z ) l - o 。它由反演输入数据 “o 。( 童，d ) ：，d s m 一1 ) ，通过求第一类积分方程的最小模解来构造垂。( ，z ) 的近似假设已 知区域g ，d c g ，任给z j 0 ，考虑积分方程 r ( h 9 ) ( 名，善) ：= e i k x d 9 ( z ，d ) d s ( d ) = 圣( z ，z ) ，嚣o g ( 1 1 3 ) | s “ 求解g ( z ，- ) l 2 ( s m “) ，即把点源分解成入射平面波的迭加由于( 1 1 3 ) 是一不适定方程， 所以求给定偏差 0 的最小模解乳( z ，) 设船( 毛f ) ，跏0 问是对应于( a g 。，= ) ，( a 瓯，z ) 及 偏差，q 的最小模解，给定入射平面波对应的远场形式的扰动数据u ( ，d ) i i “尹( 。，d ) 一“”( ，d ) l l l , ( s , - 一t 1 正 则g 外的散射波u ( z ) 可由“尹( 童，d ) 和船( d ) 近似： ( - 婷) ( z ) = 去石一船i 硝) 肾( 一童，d ) d 啦) ，( 1 1 4 ) f u 5 ( z ) 一( a t 俨) ( z ) l c e + 1 1 乳( z ，) f l l t ( s m 一) ( 1 1 5 ) l m 其中他= 4 佩柏= 1 4 ，r ，且存在参数选择e = e ( d ) 。当6 0 时( 1 1 5 ) 的右端也趋 于零定义d r , = 幻胛，d ( u ，d ) 0 ，当p 很小时，o d p 与原边界有相似的性质， 定义算子t ( q 婷) ( 郴) = 击正一厶一。厶( 毛d ) g d z , t j ) u 。0 ( 一d 舭喇) 州a ( 1 1 6 ) z ，z 妒珥当 f l u 尹一“。怯( 卵一) x l t ( s m 一1 ) 曼6 ， ( 1 1 7 ) 满足时。存在与p 有关的常数o ，b ，使 圣。扫，z ) 一( q “尹) 扣，2 ) is 口e + 6 | i 难( z ，) i i l 。q + ： l i 厶( z ，d ) l l l 。| j 乳( ，) i l l t j h h 可以选择e ，”，p ，当d _ + 0 时，6 ( 6 ) _ o ，口( d ) _ + o ，p ( 5 ) _ 0 ， n e + 酬l 乳如，) l l 驴q 十 i 厶( z ，回l l l 。i i o a 2 ，。) i l l 。6 _ 0 东南大学硕士论文 7 说明若由入射平面波的迭加生成点源的近似，点源的散射波的近似可由入射波对应的 散射波迭加获得，即由u * ( 圣，d ) 得到( $ ，d ) 的近似，再由矿( z ，回的迭加得到妒( z ，z ) 的近 似又因为存在常数c ，d ，使 南州郴) 南 则可以选择民f ( d ) ，”( j ) 和p ( 6 ) ，由反演输入数据“尹计算垂。( z ，z ) 的近似( 口蝣。) ( z ，z ) 若 ( 0 u 尹) ( 蜀z ) 的值足够大，就认为。靠近0 1 ) 这种方法对凸的区域d 有稳定性及唯一性， 但在数值实现时它是用固定大小的锥靠近o d ，因此对某些非凸性很强的散射体就不能重 建其凹的部分，而且点源法也要事先知道边界条件的类型 下面我们介绍一下将要重点研究的探测法的基本思想 探测法是近几年发展起来的一种重要的反演方法，由i k e h a t a 于1 9 9 8 年提出的因为 它是由曲线针c 的端点c ( o 靠近a d ，构造与c ( t ) 有关的指示函数j ( t ，c ) ，所以探测法在 理论上对非凸性较强的区域也是可行的，而且它在构造反演方法的同时给出了唯一性，还 可以根据指示函数的性态确定边界条件的类型探测法的数值实现是一个重要的问题，在 ( f l o 】，【1 1 i 【12 】，【1 3 】) 中第一次给出了，7 舻e 如n c eb o u n d a r y 条件下的数值实现，但其中还有很多 值得研究的问题，如r u n g e 逼近的高精度数值实现，对其它类型边界条件的探测法的实现 及对重建效果的改善等 1 3 本文工作 本人在前人的研究基础上，对s o u n d s o f tb o u n d a r y 条件下探测法的数值实现进行了 研究该问题可以描述为由下面的h e t m h o l t z 方程边值问题 f “+ k 2 ；0 t i = g 【“= ， h a n 、d o na d o i la q ( 1 1 8 ) 通过求解正问题，模拟产生d 一o n 映射，再构造指示函数i ( t ，c ) ，进而重建散射体的边 界o d 其中的困难点和重点集中在d t o 一映射的模拟和r u n g e 逼近的实现上 f 1 1 中给出了i m p e d a n c eb o u n d a r y 条件下d t o 一映射的模拟。本文在第二章中简单叙述了 s o u n d s o f tb o u n d a r y 条件下d 一如一映射模拟的基本方法 本文在第三章中考虑r u n g e 逼近的数值实现。其本质是解第一类的积分方程，这是一 个不适定问题由于r u n g e 逼近函数在a n 上的限制是d 一抽一映射，而d i r i c h l e t t o 东南大学硕士论文 8 e “m 。n n 映射是指示函数的输入数据，所以讨论如何高精度的数值求解这个不适定的积分 算子方程，进而获得r u n g e 逼近函数，对探测法的实现是很重要的本文利用集紧算子及 逐点收敛的性质，得出了r u n g e 逼近中最小模解g 与其数值解g 。的收敛性结果在证明的 过程中得到了一个正则化参数。与数值积分计算的剖分点数n 应该满足的关系式，尝试性 地讨论了。与n 之间的关系t 若a 较小，则n 必须取得非常大这意味着求g n 时解线性 方程组的工作量会很庞大在数值计算r u n g e 逼近时，把非凸区域边界o g 上的积分分成 凹型曲线o g l 和凸型曲线0 ( 7 2 两部分来计算由于积分计算中涉及到h e l m h d t z 方程基本 解圣( 一c ( t ) ) 的计算，当c ( t ) 距离o g l 很近时。根据蕾的性质，垂在o g 上的值很大，因 此在数值积分中分别采用不同的网格步长，在o g i 上网格射分得密一些，在o g 2 上划分得 稀一些这样不会增加太多的计算量，又能得到较好的数值效果 本文在s o u n d - s o f tb o u n d a r y 条件下数值实现探测法时，不同于以前i m p e d a n c eb o u n d a r y 条件下实现探测法的固定外边界n 大小的做法，而是通过选择q 的半径r ，把一个在每个 方向上都距离散射体d 较远的n 变为至少在某一个方向上距离d 较近即给定f 2 的半径 r 0 ，和非凸区域g 的锥形高度d 0 ，d 适当大小，使区域g 的凹性不太强在n 的n 个方向上以直线为针c ，用其靖点c ( o 进行探酒计算指示函数的实部甜( t ，c ) ，若所有方 向上的毗( t ，c ) 都不够大。就减小r ，重复上面的步骤直至对某个r ，在某个或某些方向 上的姐( t ，c ) 足够大，则认为这些方向上的c ( t ) 已经靠近散射体的边界o d 了，并以此r 确 定的n 为最终的外边界然后对选择出来的r 。在其它聍j ( ，c ) 还不够大的方向上，通过改 变d 的大小，使c ( t ) 继续探测这样做在构造r u n g e 逼近时区域g 的整体非凸性能减小， 有利于提高遥近耩度和指示函数的性态本文对同一个椭圆散射俸分别用原来固定n 的方 法和本文中选择。的方法来实现探测法，数值结果表明本文的方法能利用指示函数较好地 重建散射体的边界o d 在数值实验中，本文还对不同的散射体，包括非凸物体进行了探测 法的实现 本文的安排如下：第二章叙述探测法的主要结果；第三章讨论r u n g e 逼近的数值实现； 第四章讨论r u n g e 逼近在探测法中的应用。给出了s o u n d s o f tb o u n d a r y 条件下探测法的 数值实现 第二章探测法的主要结果 探测法在重建散射体的边界时，其核心的一步是由散射波的远场形式构造定义于包含 散射体d 的一个已知区域n 的边界上的d i r i c h l e t * t o - n e u m a n n 映射，即考虑非连通区域 f l 西上h e l m h o l t z 方程边值问题： f “+ 2 “：0 t = g i u = ， i n n d 0 1 1o d ， o n 施 ( 2 1 ) d ，ncj p ( m = 2 ，3 ) ，o d ，o f t 充分光滑。属于g 2 类，则o d ，0 n 可由二次连续可导的函数 参数化表示，波数k 0 给定，由( 2 1 ) 可以定义d i r i c h l e t - t o - n e u m a n n 映射： 山d ：f ( x ) - 乱 i 鼢 ( 2 2 ) v ( ) 是抛上的外单位法向量对应于d = 0 时，引入映射 a o ：，( z ) _ 乱 1 ( 2 3 ) 其中”( z ) e 日1 ( n ) 满足方程 伦芦划 兰 江t ， 由散射波的远场形式确定a n 上的d t d n 映射，本质上等价于对给定的，由“”确 定乱u 雠，这个过程可由下面的步骤实现首先对e r l d ，定义e ( ，v ) 日( j p 西) 满足t i a e + 2 e = 0 i n r ”协， e f ，口) = 一圣( g ，) o i lo d ， ( 2 5 ) l 筹一i k e = o c t ) r = 旧- 0 ( 3 引理2 1 ：对z ，y o f t ，e ( x ，9 ) ，5 南e ( z ，1 ) 和5 南f ( z ，) 可由 ”( i ，田( 所有的，d s ”。) 确定( f 1 3 1 ) 令g n = g d ( x ，勋) = 圣( 茁，蜘) + 曰( z ，x o ) ，z o o f t 。有 i 1 碉o u ( z o ) = 厶帮粥d 5 一高加。，帮 江。， 东南大学硕士论文 1 0 ( 2 6 ) 是一个第二类的积分算子方程，可以解出器| 锄，而且由引理21 知g d 中的e ( z ，z o ) 及其导数可由“”( 童，d ) 确定，所以有 引理2 2 ：对，e 日( o n ) ，u 是( 2 1 ) 的解，则嚣i a n 可由( 2 ) 和u 。( 2 ，d ) 获得 ( 1 3 】) 这个结果意味着由t p 可以构造d t o n 映射下面给出探测法中一些基本概念 定义2 3 ：对任意连续曲线c = c ( t ) l o 1 ) ，若满足c ( o ) ，c ( 1 ) a n ，且c ( t ) n ， 0 1 ，则称c 是n 内的针 定义2 4 ，对任意n 中的针c ，称t ( c ，d ) = s u p o t l l c ( * ) n d ，0 8 t ) 为几 何影响参数( g i p ) 厌此定义知，若针c 接触到西，t ( c ，d ) 1 是第一次接触时间在n 西是连通的假 设下，可以得到个由g i p 重建a d 的算法： a d = c ( t ) p = t k d ) ，提针r t ( c ，d ) 0 都存在一个日1 ( q ) 中的序列 ) 。“2 一满足+ 驴v n = 0 ，使得s u p p ( v , k ) c r ，且 t h 西( 一c t ) ) ，i n 丑k ( q c ( ) 1 0 r s t ) ) 显然k 是依赖于c ( t ) 的，记v nj o f 2 = ( - ，c ( t ) ) ，其中厶( ，c ( t ) ) 日1 2 ( o n ) ，且 s u m ( 厶( ，c 0 ) ) ) cr 注解2 6t 作为h a h n b a n , a t m h 定理和崩e s z 表示定理对复变逼近论的应用，可以证 明复平面上的r u n g e 定理( 1 1 4 1 ) 东南大学硕士论文 对给定n 中针c 和0 t 1 ，定义指示函数 i ( t ，c ) = ，3 骢( ( 山d a o ) ，n ( ，4 0 ) ，厶( ，c ( t ) ) ) 其中( ，) 是a n 上的l 2 一内积探澍法的主要结果如下： 定理2 7 ：对n 中给定针c t ( a ) c ( t ( c ，d ) ) o d 当且仅当x ( t ，e ) 对所有的0 t t ( e ，d ) 存在，且 瓣( j ( t ，c ) ) i + o o ，f o r0 s t t ( c ，d ) 。黔) 一鸵( ，。】) 2 + 。 ( b ) 当o d 是s o u n d s 。，ti x m r u t a r y 条件时， t + 晒) 鸵( 邢，) ) 2 + 。 当o d 是s o u n d h a r db o u n d a r y 条件时， w n t 。m ，卅一g t ( j ( t ，c ) ) 2 一。，“l i r a g ( m ，。) ) 0 ，可以得到d t o n 映射的存在唯一性，但s o u n d s o f tb o u n d a r y 条件不具 有这个性质，所以我们假设一舻不是q d 内l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 边界条件下的特征 值，则可以得到( 2 1 ) 的解的唯性下面我们叙述一下利用位势方法正演产生d t o n 映射的大体方法 在s o u n d s o f tb o u n d a r y 条件下，对。n 西，在n 西应用g r e e n 公式( 【l 】，t h 3 1 ) 得； 心) = z 。【粼吣川叫们雩耕m 沪 z 。【粼吣刊们雩筹) ，z n 西 ( 2 1 0 ) 在( 2 1 0 ) 两边求法向导数，分别令z 趋向于弛和卸，由位势算子定义、双层位势导数算 子在边界上的连续性和单层位势导数算予在边界上的跳跃关系( 【1 】 c h a p t e r 2 ) ，有 ( 券i 舳一k 细2 # u ，- - k 望t 器i a 。) ( z ) 舳。( t s g t a a f ) ( z ) l a 。 ( 2 1 1 ) l ( 器i o d 一耳孙舞i + k 知器l o o ) ( z ) l s o = ( t o o g t 舳f ) ( x ) l o o 、 ( 2 1 1 ) 中以“l 帅，0 , , u l o o 是未知数，第一个方程定义在鲫上，第二个方程定义在a d 上， 其中是单层位势算子的导数，t 是双层位势算子的导数。它们的定义和性质见 1 】把 ( 2 1 1 】写成矩阵形式为； i 一( 到k r o 锄n ：冀：) ( 蠢2 ) = ( - ( t 帅- t o d g ) ( x ) o q ) 其中j 是2x2 的单位矩阵，则( 2 1 1 ) 可以写成算子方程( i a ) 妒= x 的形式，这是一个第 二类的f r e d h o t m 型方程，它的解的存在性由r i e s z 定理可得在( 2 1 1 ) 中( 以“) ( 删o n ， ( 弼d 易u ) ( 动i 跖有弱奇性，( 州。) i 瓣，( t o d 9 ) ( z ) a d 有强奇性其他积分( 碥乱u ) ( 蚓o d ， ( 玛d 乱u ) ( z ) 和( t a r 2 f ) ( x ) l a d ，( t o _ d 9 ) ( $ ) 都是正则的数值求解线性积分方程组( 2 1 1 ) 时，对奇性积分进行奇性分解处理，用n y s t r s r n 方法数值积分，对正则积分用梯形公式数 值积分就能达到很好的精度，可参见( 1 1 1 1 ，【1 5 】) 在【1 6 i 中给出了s o u n d s o f tb o u n d a r y 条 件下d t d 一映射模拟的理论分析和数值实验，正演产生了d t o n 映射并取得了令 人满意的数值模拟效果 第三章r u n g e 逼近的数值解法 探测法的实现中r u n g e 逼近是关键的一步，为了高精度地数值实现r u n g e 逼近，首先 讨论区域g ( c ，t ) 的构造为了简单起见，假设已知散射体_ d 的大体位置和大小，且a d 上 每一点都能由d 外适当的直线逼近( 实际上只需n d 是单连通的即可，而且针也不一定是 直线，但是本文中用的针是直线) 。这对所有的凸区域和大部分的非凸区域，如星形区域， 都是满足的这样我们就可以用直线作为针c 探测a d 上的点 3 1 区域c ( c ，t ) 的构造 区域g ( c ，t ) = n c o n e ( c , * ) ，取n 为j 乎中圆； n = ( ( ，掣) ：x 2 + 铲 r 2 ) c 舻 不失一般性，可以假设( o ，0 ) e d ，则r 充分大时，有d c n 对a g 同样要求具有一定的 光滑性，至少是二阶可导我们如下构造区域g ：考虑曲线 掣= 6 + 6 一+ c l $ 2 + d ，0 i 圳s x o n 要求这条抛物线在( 士y o ) 处与圆n 相连，且在连接点处有二阶光滑性，则参数8 ，b ，c 1 ，d 与。o ，珈要满足。 f 。g + 垢= r 。 茹掣未纂 ， l6 0 z g 十4 6 2 3 + 2 q 。o = 一嚣 p d 【3 0 a 瑶+ 1 2 k 3 十2 c 1 = 一嘉 若以d 为参变量，则口 5 ，c 1 可表示为： f 。= 氅+ 五括一蟊蠹 6 = 一警一丽3 + 研1 ( 3 2 ) 【c 2 嚣一“3 一嘲一习d 通过调整t 翔，y o ，d 可以改变g 的形状选择一个特殊的针印，使c d ( t ) 星硪而i ，( o t 乳g 删卜 东南大学硕士论文 图3 1 ：改变d 和旋转图3 2 ：改变锥形区域的宽窄 1 4 令0 0 = t g r l ( 努) ，它实际上表示了锥形区域的宽窄，d 表示其高度可以让d 不断变 小，令c ( t ) = d + 6 ，6 是一小量，当d 靠近a d 时，针的端点c ( t ) 也在不断靠近对某 些凹性较强的区域d ，可使 d o 交大，则锥形区域交窄，这样能使锥比较靠近d 的非凸部 分 设a g ( 伽，t ) 有极坐标表达式：a g ( c o ，t ) = r o ( o ) ( c o a o ，s i n o ) ，0 【0 ，2 】，r o ( o ) 满足t 础，= ：譬蒜篙川， 由o o ( c o ，t ) 的构造知f ( o ) 满足：j ( o ) s i n o = 口，( 口) 6 c o s 6 口+ b f ( o ) 4 c 0 8 4 0 + c 1 ，( 口) 2 s 2 0 + d 对 其他方向的针c ，可以通过旋转c o 得到，使c ( o ) = ( r c o s r c ，r s i n r c ) a n ，k 1 0 ，2 1 r 】，相应的 区域g k t ) 可由g ( c o ，t ) 旋转得来，即 c ( c ，t ) = r ( ) g ( 匈，t ) 其中r 忆) 为旋转矩阵t 冗( r c ) = ( ”s i n ( 亿r , 一- 5 ：- 。s i 。n ( k ( r e 一- - ) ) 则边界o g ( c ，t ) 为：o g ( c t ) = r 忆) 船(