（应用数学专业论文）非局部初边值条件的抛物型偏微分方程.pdf

摘要 本文主要研究对象是非局部边界和初值条件下的抛物型偏微分方程， 这类问题有着广泛的来源和重要的研究意义前言中将简单介绍从热弹性 力学得到的抛物型方程的非局部边界和初值问题，并且重点介绍一下反应 扩散方程的有关背景和研究课题 本文第二章基于比较原理，利用上下解方法，结合两种非局部条件讨论 一种迭代方法的收敛速度问题，我们运用拟线性化方法，区别于c vp a o 1 5 1 的迭代序列的构造方法，我们这里引入新的迭代序列的构造方法，得到 迭代序列是二阶收敛的经过进一步讨论，我们发现只要限制边界条件 厶l k ( x ，f ) 曲( z ) i d y 1 ，仍然可以得到比较好的结论。这意味着k ( z ，y ) 是可 以交号的，因为我们可以通过西( z ) 呆控制它从而发展了对非局部问题的 研究 p 第三章主要对非局部初值条件为离散形式：“( z ，0 ) = j ( 。，。) u ( 。，x ) 妒( o ) 的问题进行讨论，得到解的存在唯一性定理和构造的上下解序列的二 阶收敛性我们同样可以证明在更宽松假设的边界条件下，仍然可以得到 相应的结论，最后我们对初值是离散形式的非线性问题解的大时间性态做 了相应的论证 前两章我们都运用了上下解序列和比较原理作为我们的工具来证明一 些偏微分的解的存在性但是，对于形式比较复杂的非线性偏微分方程，我 们很难找到相应的上下解序列，或者很难建立合适的比较原理。我们寻求 更好的办法和工具，本文第四章就运用了抽象的半群方法和不动点定理等 理论研究非线性偏微分方程 关镶词非局部问题，比较原理，上下解序列，二阶收敛，拟线性亿方 法，半群方法，解的大时间性态，不动点定理 a b s tr a c t 0 n eo ft h i st h e s i sd e n o t e sm a i n l yt ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lb o u n d a r ya n dn o n l o c a li n i t i a lc o n d i t i o n s t h e yh a v eb r o a dp r a c t i c a lb a c k g r o u d sa n da p p l i c a t i o n si n p r e f a c ew ew i l li n t r o d u c et h el i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lb o u n d a r y a n di n i t i a lp r o b l e m sa r i s i n gf r o mt h e n n o e l a s t i c i t ya n dd e m o l o g i cr e a l t i m es t a t e e q u a t i o nf r o mm a l t h n s i a n i s m a n dt h er e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l o c a l b o u n d a r ya n dn o n l o c a li n i t i a lc o n d i t i o n sa r ee m p h a s i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，a c c o r d i n gt oc o m p a r i s o np r i n c i p l e ，a p p l y i n gu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n w es h a l lc o n s t r u c tam o n o t o n es e q u e n c e sc o n v e r g i n gt ot h e u n i q u es o l u t i o nw i t ht h ei n t e r v a lo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sw i t hb o t hn o n l o c a l c o n d i t i o n s ，a n dd i t i e r e n tw i t ho t h e rm e t h o d s ，w em a k ean e wi t e r a t i v es e r i e sw h o s e c o n v e r g e n c er a t ei sq u a d r a t i cl a t e rw ef o u n dw ec a nm a k es i m i l a rc o n c l u s i o n u n d e rw e a k e rb o u n d a r yc o n d i t i o n i nt h et h i r dc h a p t e ro ft h et h e s i s ，t h eo t h e rp r o b l e mw em a i n l ys t u d ya r e t h ep r o b l e mw h e nt h ei n t e g r a lp a r ti nt h ei n i t i a lc o n d i t i o ni sc h a n g e dt od i s c r e t e c o n d i t i o n ，t h a ti su ( x ，0 ) = j 0 。，嚣) u ( n ，z ) + 妒( ) w es h a l ls h o wt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s sa n dc o m p a r i s o np r i n c i p l ef o rt h en o n l o c a lp r o b l e m so ft h ek i n d o fs y s t e m s w ec a l lm a k et h es i m i l a rc o n c l u s i o nt ol a s tc h a p t e r ，a n dw ea l s os t u d ) , i t sl a r g et i m eb e h a v i o r w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yu p p e ra n dl o w e rs e q u e c e s ，b u tw h e nw cs t u d ys o m ec o m p l e xn o n l i n e a rd i f - f e r n t i a le q u a t i o n s ，i ti sh a r df o ru st oc o n s t r u c tp r o p e rs e q u c c e so rc o m p a r i s o n p r i n c i p l e w es h a l li n t r o d u c en e wm e t h o d s - - a b s t r a c ts e m i g r o u pa n ds o m ef i x e d p o i n tt h e o r e m s k e y w o r d sn o n l o c a lc o n d i t i o n ，c o m p a r i s o np r i n c i p l e ，u p p e ra n dl o w e r s e q u e c e s ，q u a d r a t i cc o n v e r g e n c e ，q u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o d ，s e m i g r o u pm e t h o d ， l a r g et i n mb e h a v i o ro fs o l u t i o n ，f i x e dp o i n tt h e o r e m s 原创性声明 本人声明。所鐾交曲论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加l ；c 撩霉簿熬瓣霸地方外， 的研究成瓤津潦攥麓嚣潍镳美他同 文中作了明确蔷蠢满黼潼意 论文中不包含其他人已发表或撰写过 志对本研究所傲的任何贡献均巴在论 蛳海蟹吣。s 净m a 本论文使用授权说明 本人完垒了解上斌大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 学校有权 保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后友遵守此规定) 签名 名坳怫t 队 第一章引言 偏微分方程的非局部问题来源于对力学、人口学、医学、以及燃烧理论 的研究，非局部问题就是探讨未知函数对方程本身、对初始条件或者对边 界条件的影响，这就分别产生三类不同的非局部问题：微分方程申含有积 分项、非局部初始问题、非局部边界问题，本文所妻探讨的是第二种和第三 种情况下的几神抛物型偏微分方程解的存在唯一条件及其性质。 1 1 偏微分方程的非局部问趣简介与研究现状 1 1 1 非局部问题的来源 首先我们先简单介绍一下非局部边界条件的来源，所谓偏微分方程的 非局部边值问题是坦问题的边界条件由未知函数在总个空间区域土的值来 确定如u 十q o 赛= k ( x ，) u 国，t ) d y ，它来源于诸如热弹性理论、病理学、 人口学等，下面介绍一个侧子，w a d a y 在【5 ，6 】研究热拟静态弹性时，对 如下阔题： t 嚣= c 塞+ 如b 淼，a 象= b 塞， 这描叙一根热弹性秆的拟静态弯曲方程。其中p ( z ，t ) 是温度，u ( z ，t ) 是横 迁移，常数a 是弯曲硬度，我们假设在杆端z = 一2 和z = l 固定且维持温 度岛即日( 一f ，t ) = 口( f ，t ) = 日ou ( - i ，t ) = 舞( 一f ，t ) = u ( f ，) = 爱( f ，t ) = 0 方 程可写成： e 塞一岛裳，等扎 其中q = 彘( p 一岛) + b 象是熵，m = a 器一b ( 日一o o ) 是弯矩，由于 q ( 一f ，t ) = a m ( 一f ，t ) ，q ( f ，t ) = b m ( 1 ，t ) ， 脚，归西a ( 可l - x m , 刊+ 鲁( 等) 椰) ， 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 2 。量，( 一若贼$ ，螃+ 赤t * 0 材) 洳= o ， ，一f “ 水刊) + 壶埘j 如。o ， ，一 舟“卜：誊乒水- 3 x ) n 池洳8 q ， 耀，驴一筹a 侧妇：壮， 。叫 f 基( a ( 尘) 鬈) ：联动警+ z ) 垂扛) ， 一l 。， l 毒陬。) 一魂， 一l 。 0 ，7 ( z ) 0 这一边界条件很容易转化成形如( 1 1 _ 1 ) 非局部边界条件。 本文研究的另一个重点是非局部初值问题，如在热传导核扩散理论中， 用描述可透性试管中少量气体的扩散( 溢出) 现象或传输中热的损耗。多来 源于化学工程等，例如用来描述可渗管道中小量气体等的渗透情况【1 3 1 ， 2 9 1 等初值条件一般指的是初始温度分布，溶质的初始浓度或者固体中杂质 的密度等 1 1 2 研究现状 对于( 1 1 2 ) ，w a d a y 同时证明了当 ， f t i ，( 蚓出 1 ，l g ( x ) d x o ) 递减的a f r i e d m a n 1 2 】将问题 从一维推广到高维的奇次方程情况： f 饥一耋茜( n 幻( 。) 老) + 。b i ( z ) 差+ 如) u = o ，n ( 。，。) ， 心，归上坼m 岫，慨 舰( o ，+ 毗( 1 1 5 ) 【u ( z ，0 ) = u o ( z ) ， n 在i ( 。，”) i d y p 0 时的比较原理，还指出当k 2 ( z ，y ) d y 1 1 q 1 ，乳( ，u ) 0 时问题的衰减性在1 9 9 6 年，y f y i n 2 2 建立了如下问 题： lu t 一9 ( z ，t ，t ，u z ，u 。：) = g ( z ，t ，u ) ，q ( 0 ，o 。) 一上蒯) 觑 触( o ，佃) ，( 1 1 7 ) 【u ( ，0 ) = u o ( z ) ， q 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 4 在( 。，y ) 0 ，女( 茹，y ) d y 0 的比较原理，并证明了当 出，细心舳z ，= 善面0 ( 。“c x , t ，考) + 喜吣，曲差刊州，u 时问题的解的存在唯一性，以及在( z ，g ) 妇 l 时对大时间段的解的性 态考虑边界流量受非局部的影响，1 9 9 5 年c v p a o 1 4 ，1 5 1 研究 f 啦一蓦n 蠢( 皿j ( 重，) a u ) + 至n 6 如，t ) 矗+ c ( x , t ) “= g ( 。，此n ( 。，o 。l 1u + a o 赛= k ( x ，u ) u ( y ，t ) d y ， a n ( o ，+ o 。) 【“( z ，0 ) = 蛳( ) ， q 、 ( 1 1 ，8 ) 的解的性态，同样利用k ( z ，y ) 0 和上下解迭代给出一些保证上下解存在 的充分条件而最近他又给出当( z ，y ) 变号时解存在的一个充分条件 对于( 1 1 8 ) 中g = f ( x ，t ，u ，d u ) 的情况，1 9 9 9 年y d w a n g ，bn a i 的【2 3 】 给出如果问题满足i i t 0 g f - x n p ，则问题存在唯一解u c 2 + “1 + p 2 ( s x ) ；在 假设条件( z ，9 ) 0 ，厶( z ，y ) d y 0 ) e i g a l a k h o v ，a l s u b a c h e v s k i i 给出的边界条件为如下形式时 b u ( x ) = 7 ( z ) u ( z ) 十f 【u ( z ) 一“( ) 芦( z ，d y ) = 0 ， 给出了在一定条件与假设下，使用连续函数空问代替s o b o l e v 空间，利用证 明f e l l e r 半群存在，来证明这类非局部椭圆问题的可解性此外，非局部边 界问题的方程组方面的推广也已经有了很多研究结果，另外也有从奇摄动 角度来考虑非局部问题的摄动性质，这些我们在此不作详细介绍 本文讨论的另一类非局部问题是非局部初值问题自从a a k e r e f o v 1 3 和p n v a b i s h c h e v i c h 2 9 建立了一维线性方程的非局部初值问题( 即下问题 中n = ( - l ，f ) ，n = 1 ) u 一l u = c 扛，) u + f ( x ，) ， u ( z ，t ) = 妒( 茹) ， p “( 茁，0 ) + 凤( 。) 钍( z ，t k ) ：妒( 。) k = l q ( 0 ，丁】， a qx ( 0 ，明， n ；“( 0 ，丁】，= 1 ，2 ，p 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文5 ( 这里l2 ；善，( 。) 曩专+ 蓦b ( z ) 麓) 的解的存在唯一性后， 1 9 8 4 年 j c h a b r o w s k i 解决了在高维下的上述问题的解的存在唯一性。 kd e n g 在 1 9 9 3 年f 9 1 中得到了一类半线性方程的初值条件问题： im l u + 9 ，t ，u ) = 0 ，q ( 0 ，十。) ， u ( x ，t ) = 0 ， a q ( 0 ，o 。) ， iu ( z ，0 ) = 廿。h ( x ，t ) u ，t ) d t + ，( z ) ，q 的解的性质，并指出当g ( x ，t ，0 ) = 0 ，纨( z ，t ，“) 0 时，若舒o 。| ，i ( z ，t ) l d t t 则u ( t ) = m n z l u ( z ，t ) f 关于t 是指数衰减的而c v p a o 1 4 考虑了上述问题 在非局部边界条件为i t + n o 鬻= 矗k ( x ，g m ( ，t ) d y 的解的性质。 在调查透明管中少量气体的扩散现象中提出的一维的非局部初值条件 下的反应扩散方程，后由d e n g 。c h a b r o w s k i 将它推广到高维空间中问题 本文所研究的主要方程( 2 0 1 ) 就是起源于准静态热弹性力学问题的一类热 传导方程的动力学行为研究，是非局部初值和边值同时存在的问题 处理非局部初值问题的另一种方法是抽象的半群理论，例如： iu t + a i t = f ( t ，( t ) ) ，t ( o ，t o + n ) ii t ( t o ) + g ( h ，t p ，i t ( ) ) = 0 ，n 其中0st o t l 0 两种情况。q 是r “中妁 有器区藏，d t q ( 0 ，翻，f t 一勰x ( 0 ，习，逮个闻题起源予准静态热弹 性力学问题的一类熟传导方程的动力学行为研究，文【5 】，【6 1 提出了这类非 蘑部遗器下鲰嚣线性撬耱壁馕徽分方整，c v ，p a o ，f r i e d m a n ，a 筹对靠两部 边界条件作了 = l 较详细的研究另一方面，在调查透明管申少馕气体的扩 彀褒象中，f l 麓， 3 锈提窭了一雅辩菲蜀部劫蓬条讳下薛葳疰扩畿方程，露玉 d e n g ，c h a b r o w s k i 将它推广到简维空间中 ( 2 0 1 ) 是一个适嚣条锌秘劫毽条 争爨是嚣褥都溥凌跨芨篷扩簸方鼗， 我们需篑结合两种非局部的情况加以考虑c v p a o 程1 5 1 申对问题的解 舞存在按遵遘一秘上下瓣送我绛列已经褥裂论话，莠曩讨论了獒可能舍赛 多解的情况和解的渐近行为奉章我们将通过构造新的迭代序列得到解的 唯一毒囊蛙定理彝二玲牧敛定壤。 2 1 阉趣解的迭代痒列的构造方法 为了保证所讨论的解的存程性，我们作如下光滑性和强制饿设： ，第，t ，n ) 关于。，t 逶续，还关手t 可锻，k ( x ，彩；了豫z ) 对于垂己酶变 量都是遵续的，b 是g ( 豆【0 ，+ 。) ) 并且有界的函数 在下嚣姆讨论审，畿镯穰莰： 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 0 ( h 1 ) 耳( z ，y ) 20 ，j ( x ，t ) 0 ( h 2 ) ，( z ，t ，u ) = f ( x ，t ，u ) 十g ( x ，t ，札) ，其中r ，g 。，g 。都存在且连 续在nxr 上r 。0 ，g 。0 ( h 3 ) 存在一个正的常数c ，使得r ( z ，t ，西) + g 。( ，t ，型) c 0 其 中西，型为方程如下定义的一对上下解 定义2 1 面，矗定义为问题偿0 j ，的一对上下解，如果订， e g 2 ，1 ( d t ) n e ( 珥) 满足； l 讯一l 石，( z ，t ，面) ，( ，t ) d t ， b 矗( z ，尊) 程白，t ) d 可+ ( z ，t ) ， ( z ，t ) f t ， ( 211 ) i 石( z ，o ) f o + 。j ( x ，t ) 面( z ，t ) d t + 妒( z ) ， ，) n ， 当俾j ，式中“”换成“”对鑫成立，则称霞为p 0 i j 的下解，并且 当砬s 石，称它们为一对有序的上下解 关于上下解的存在性，我们在这里给予简单说明： 令f ( x ，t ，u ) = ，( u ) 是一个递减函数，若p 充分大，使f ( p ) 0 ， 由h ( x ，) ，妒( 。) 的有界性，则p 充分大时，u = p 满足： l0 f ( p ) ， p 矗( z ，y ) p d y + h ( x ，t ) ， ( 2 12 ) lp 譬。j 忙，t ) p d t + 妒( z ) ， u = - p 满足； l 0 i ( - p ) ， - p 一厶( z ，y ) p u y + h ( z ，) ， ( 21 3 ) i p 一j 。j ( z ，t ) p d t + 妒( 。) ， 则p ，- p 是方程( 2 0 1 ) 的一组上下解那么对于不同的，( z ，t ，札) ，我们总可 以找到它的一组上下解这说明我们如上定义的上下解总是存在的。 我们根据下面定义的线性方程构造迭代序列 砜) ， u n ) ，= 西和矾= 面，其中石，茬如上定义 1 坠m l = f ( x ，t ，一1 ) + g ( z ，t ，鳊一1 ) j + 【r ( 。，。，一1 ) 十g ”( 。，。，一1 ) 】( 骘- 一鲳h ) ， f 2l4 1 ib 鹫。= 厶( 。，可) 笪。( 弘，t ) d y + ( z ，) ， 【丛。( z ，o ) = 廿。j ( 。，) 塑。( 文t ) d t + 妒( z ) ， 2 0 0 5 上海太学硕士学位论文 翱 l 落m 一勰。= f ( x ，碌一0 + g ( # ，该一1 ) i + 【r ( ，一1 ) + g u ( 。，。，砜一1 ) 】( 砜一砜一i ) ， ( 2 1 ，5 ) l 罄巍= 矗嚣茹，爷) 戳爹，) 如+ 矗。， 【 k ( 茹，0 ) = 口。j ( 曩) 砺。( # ，t ) d 十妒( 。) 我稠这棒穗遣送戎謦列，褥麓褥塞稳造疼翻港z - 酴浚敛速度，这是嚣 别予c v 。p a o 等人的迭代方法的好处柱讨论上述迭代序列的收敛速度之 饕，蓍惫萎证秘( 2 1 4 ) 一( 2 。1 5 ) 鞫爨舞舞务在蛙，为遣，番下嚣线经润爨： ( # ，t ) d t ， ( ，t ) f t ， f 2 1 6 ) ( o ，t ) n 目l 理2 , 1 设9 ( 。，t ) m l e 一 ，矗k ( x ，y ) d ysp l ，岔0 0 j ( x ，t ) d t 声7 ，( h 1 ) 满足。则( 2 1 。6 ) 的 解是存在唯一的 证明撼造詹列如下： ， it k t l u 。= g 扣，t ) ， b u , 。一东蜀沁警k l 渤t ) d u + 蠡匀， 2 1 ，? ) iu n ( 茹，o ) = j 。j ( z ，) “。一，( z ，t ) d t + 妒( z ) ， 取下述线幢方程酶解为解序列酶苔璞让o ： ， l 翟魏一l u o = 窖曩，t ) ， b u o = h ( z ，t ) ( 2 ，1 8 ) l 蜘( 文0 ) = 妒( 茹) ， 设鬈= ( 茹l ，髫2 ，。) e 孬，r 篇s u p l z l l ，m = m a x m l ， 如) ，1 r a i n e 2 r + 驴一矿t ，厣 ，令蚤f 。，t ) = 膨( 1 + 铲一8 。t ) e * ，我稍可鞋礴舞 l 垂( 。，t 一l 4 , ( z ，t ) = a 重殛。，一了l + e 8 一e 。，) 扣一嘶g ( x ，曲 垂( z ，t ) m e t 如e m ( 茹，t ) ， l 垂( 筑0 ) 一m ( 1 十e 丑一# 8 1 ) m 急妒( 髫) 。 施删辫 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 2 可以推导出西 ，t ) ，一圣( z ，t ) 是( 2 1 8 ) 的一对上下解。由比较原理，线性 问题( 2 1 8 ) 的唯一解记为u o = “( z ，t ) ，显然，l “( z ，圳西( z ，) 丽e 一” 其中，一m = s u p ( 1 + e r e z ，) ，园此，“o 是按指数衰减的对于札l ，按 再 ( 2 17 ) 式由仳。迭代出来，在定理条件下，u l 也是衰减的。如此下去，令 u 。一l = u 。一u n l ，带入方程中得到 由于在边界上u 。厂n k ( x ，f ) “。一1 ( t ，y ) d ysp “k l ( t ，y ) s s 矿岫， u 。( ，0 ) t o n l ( 茹，0 ) ，并且u o = u 1 一u o ，“o ，“1 是衰减的，那么 u ，j 是收敛 的，f ) 的极限就是问题( 2 1 6 ) 的解从而得到解的存在唯一性。 - 若矗k ( x ，) d y = 1 ，j ”j ( z ，t ) d t = 1 ，问题( 2 1 6 ) 的解的唯一性被破 坏，在这里我们给出倚单说明显然当如k ( z y ) d y = 1 ，j 了“j ( z ，t ) d t = 1 ，“= c 满足问题( 2 1 6 ) ，即问题( 21 ，6 ) 有无穷多个解此解的唯一存在性保证了 我们构造的上下解序列的存在性，这也就是引理( 2 1 ) 的意义所在 2 2 问题的比较原理和解的存在唯一定理 引理2 2仳较原驯若存在一个正的常数c ，l k ( z ，y ) d y 1 ，j o 。j ( z 、) 出( 1 一c 2 ( 西) n c ( d t ) 而且满足 f u f d a + c w o ， b w 正1 9 ( x ，g ) u ( ，t ) d ， ( 22 1 ) iu ( 。，o ) 廿。t ，( z ，) “( z ，t ) d t ， 则在西上u 0 证明若u 有负值，则存在负极小值设这个负极小值在( z o ，t o ) 在n 内部的点达到，那么 il w ( x o ，t o ) 20 u ( t o ) 0 ( 22 2 ) ic w ( x o ，0 ) o ， m由 o 幻意 取口 山厶卜 一 = 一 班。扛吣 2 0 0 5 上海大学硬士学位论文1 3 第一个武子的发遗为负，显然这是矛盾的。若在边界上取到负值，设在 ( 勘，t o ) 各q 遮剃盎校审佳，那么我稍可敬褥载， w ( x o ，t o ) f 鬣。，譬) w 致t ) d t w ( x o ，t o ) 7k ( x ，# ) d y ， j nj n 于是矗t r ( z ，g ) 咖1 ，迭与假设条件是矛盾的若在t = 0 时取到负值，设 穗扫。，0 】遮爨受棱枣毽，筛么我韬写欲褥裂 ，十r 十r 十。 “( z 玑0 ) 7j ( 。，) u ( z ，t ) d t w ( x o ，o ) 7j ( o ，t ) d t ； l ，( 搿，t ) 班1 j 0j 0j 与假设条件矛盾综上，u ( z ，) 0 定瑾2 。l 鑫，茬是溺遥( 2 0 。1 ) 一砖毒疼的上下拇，墨 联2 ，t ，( h 3 ) 砖条传满 足，则捧在单调的上下辨序列( 戳 ， ) ，使得鳓一一面。，u e 嘲是 麓题( 2 0 。1 ) 的唯一辫 证明为了证明上述定理，首先我们定义如( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 所示的上下 簿彦刭垂；l 瑾2 。1 知遵如毙定义匏薅媳阉蘧螅解零是磐在鲍， 下饼首先讽暇笪l 蜘设协= 强1 一蛳，根据假设( h a ) ，( h 3 ) 和的 定义，剃 l 训# 一l w i r ( z ，u _ o ) + g 。( z ，t ，) 】( 堕1 一娥) ) ， b w 矗必扛，# ( 辩一靳) ( 帮，) 露， l 枷( 茁，0 ) 口。j ( 茹，t ) ( 笪1 一笪o ) ( z ，t ) m 出；l 理2 2 有婪0s 墅l 。阍瑾胃稚弼现。 下证些l 冬，设”= - 0 一墼l ，由( h 2 ) ，( h 3 ) ，则 ”一l w b 螂 t ( 嚣，0 ) f ( x ， 配) 十c ( x ，t ，甄o ) 一f 知，t ，! 如) 一g ( 。，t ，u _ o ) 一【咒t ，蜘) + g 。t ，孙( 鲍一笪o ) f r 和，t ，蛳) + g 0 ( 。，t ，弼) 】( 西。一蛳) 一【r ( 鬈，t ，驽o ) 十g 。( z ，t ，瓦o ) 】( 型l 一笪o ) 阮，笪0 ) 十瓯k ，弼粥一壁1 ) j j k ，口) ( 烈t 一砺) ( ”，t ) 句， f 。，p ，t ) 陂t 一砀) ( 茁，t ) d t ， 出；l 理2 2 ，因掰蠢墅1 。随嚣我们证明地强i ，同榉根据媛设( 珂2 ) ，( h 3 ) 和；l 理2 2 ，将勘一勘带入方程，得到 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 4 l ( 塑2 一u 1 ) 。一l ( 丛2 一u 1 ) = v ( z ，t ，笪1 ) + c ( z ，t ，丛1 ) 一f ( z i+ f r 和，t ，u 1 ) + g 。和，t ，砬1 ) j ( 墅2 一塾1 ) lf f u ( 。，t ，些o ) + g 。( z ，面o ) 】( 笪l 一! 幻) l 2f r ( 2 ，塑o ) + 6 k ( z ，f ，面1 ) ( 墅1 一u _ o ) 十 r ( z ，t ，丝1 ) + g 。( 茁，t ，面1 ) 】( 些2 一些1 ) i一峨( z ，t ，蛳) + 瓯( 8 t ，) i 一型0 ) l【r ( z ，t ，塑1 ) + g 。( z ，t 面1 ) ( 坠2 一u 1 ) ， i b ( 塑2 一些】)厶耳( z ，g ) ( 型2 一笪1 ) 细，t ) d y ， 【( 塑2 一些1 ) ( 。，o ) j 0 。j ( x ，t ) ( 丝2 一盟1 ) d t ， 因而鲍笪1 同样推导可得_ 2s 程l ，“碥酩一1 ， 对于面l u 1 ， ， i ( 茁1 一些1 ) t l ( 面l 一些1 ) = f ( z ，t ，i 玷) + g ( 。，t ，面o ) 一f ( i + 【凡( z ，塑o ) + g 。( z ，_ o ) 】( 面l 一砺) i一【r ( z ，些o ) + g 。( z ，面o ) 】( 丝l u _ o ) l r ( z ，_ u o ) + g 。( z ，t ，_ 0 ) 】( 面0 一蛳) + r ( g ，t ，照o ) + 6 乙( 。，t ，面o ) j ( 西l 一弼) i一【r ( 。，t ，u _ a ) + g 。( z ，t ，碲) ( 型1 一些o ) l r ( z ，z ，盥o ) + ( 毛( z ，硒) ( 面i 一型1 ) ， i b ( 西1 一笪1 )j nk ( z ，可) ( 面1 一u _ 1 ) ( 掣，) d 可， i( _ l 一_ u 1 ) ( ，o ) 譬”j ( x ，) ( 面l 一_ u 1 ) ( 。，) 出， ，t ，勘) 一g ( z ，t ，蜘) 嚣，t ，些o ) 一c ( x ，t ，u _ o ) 这表示面l u 1 ，用同样方法，我们可得面。，根据上面的推导有 矗s 些1 塑2 - - t 。s 奶西ls 石 因此( 觋) 和 笪。 是收敛的，当n 一。 ! 如笪1 u n 。“ 而且在西上塑s 西由，( 。，u ) ，k ( z ，y ) 的光滑性可知鱼面是问题( 2 01 ) 的最小解和最大解。如果问题还有另一解“，