（数学专业论文）若干组合序列的恒等式及其渐近性.pdf

i d e n t i t i e sa n da s y m p t o t i ca b o u t s o m ec o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s z h a oy a n x i n s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rw u y u n g a o w a s c h o o lo fm a t h e m a t i c ss c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a m a y , 2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所- ! 交的学位论文是本人在导师的指导卜进行的研究：i ：作及取得的研究成果。 除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证二传而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文巾作了明确的说明并表示谢意。 学何论文作者签名：盔芝热。妻聋 指导教师签名： 日 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使h 学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将学 位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印f l ：和磁盘，允许编入 有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。为保护学院 和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属丁二内蒙古大学。作者今后使用涉及在学期间 主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于发表论文，版权单位 必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：意圣整蟊 指导教师签名： 若干组合序列的恒等式及其渐近性 摘要 本文利用发生函数理论和r i o r d a n 阵方法建立了一系列新的组合恒 等式，并且利用渐近计数方法讨论了特殊组合和式的渐近性主要内容概括 如下： 第二章：本章利用r i o r d a n 阵方法和发生函数方法讨论了广义g e n o c c h i 数g 铲的一些性质，并且建立了一些与广义g e n o c c h i 数有关的组合 恒等式其次利用d a r b o u x 方法和l a p l a c e 方法得到了某些包含g 乎的 和式的渐近值 第三章：本章首先引进了特殊数p ( r ，佗，k ) 的概念，然后利用r i o r d a n 阵方法和发生函数方法研究了组合数p ( r ，n ，k ) 的一些性质，并且得到了 有关p ( r ，n ，k ) 的一系列新的组合恒等式最后利用奇异性分析方法、d a r - b o u x 方法和l a p l a c e 方法讨论了某些包含p ( r ，7 1 , ，k ) 和式的渐近性 关键词：组合恒等式；特殊组合序列；r i o r d a n 阵；发生函数；广义g e n o c - c h i 数；广义s t i r l i n g 数；广义l a h 数；广义h a r m o n i c 数；d a r b o u x 方法； 奇异性分析；l a p l a c e 方法 i d e n t i t i e sa n da s y m p t o t i ca b o u t s o m ec o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e ru s i n gt h em e t h o d so fg e n e r a t i n gf u n c t i o n sa n dr i o r d a na r r a y sg i v e ss o m en e wc o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s a n dd i s c u s s e st h e a s y m p t o t i ca b o u ts o m es p e c i a lc o m b i n a t o r i a ls u m sb ym e a n so fa s y m p - t o t i ce n u m e r a t i o nm e t h o d s t h ec o n t e n t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r2 ：t h i sc h a p t e ru s i n gt h em e t h o d so fr i o r d a na r r a y s a n dg e n e r a t i n gf u n c t i o n sd i s c u s s e ss o m ec h a r a c t e ra b o u tt h eg e n e r a l - i z e dg e n o c c h in u m b e r sg ，a n dg i v e ss d m ec o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s c o n t a i n i n gt h eg e n e r a l i z e dg e n o c c h in u m b e r s t h e nw eo b t a i na s y m p - t o t i cv a l u eo fs o m es u m sc o n t a i n i n gg 警b ym e a n so fd a r b o u x sm e t h o d a n dl a p l a c e sm e t h o d c h a p t e r3 ：i nf i r s t t h i sc h a p t e ri n t r o d u c e st h ec o n c e p t i o no fs p e - c i a lc o m b i n a t o r i a ln u m b e r sp ( r ，n ，七) ，t h e nu s i n gt h em e t h o d so fr i o r d a na r r a y sa n dg e n e r a t i n gf u n c t i o n sd i s c u s s e ss o m ec h a r a c t e ra b o u t c o m b i n a t o r i a ln u m b e r sp ( r ，佗，忌) ，a n do b t a i n ss o m ec o m b i n a t o r i a li d e n - t i t i e sa b o u tp ( r ，佗，惫) a tl e n g t h ，w ed i s c u s st h ea s y m p t o t i co fs o m e s u m s c o n t a i n i n gp ( r ，佗，k ) b ym e a n s o fs i n g u l a r i t ya n a l y s i sm e t h o da n dd a r - b o u x sm e t h o da n dl a p l a c e sm e t h o d k e y w o r d s ：c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ；s p e c i a lc o m b i n a t o r i a ls e - q u e n c e s ；r i o r d a na r r a y s ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n ；g e n e r a l i z e dg e n o c c h i n u m b e r s ；g e n e r a l i z e ds t i r l i n gn u m b e r s ；g e n e r a l i z e dl a hn u m b e r s ；g e n - e r a l i z e dh a r m o n i cn u m b e r s ；d a r b o u x sm e t h o d ；s i n g u l a r i t ya n a l y s i s ； l a p l a c e sm e t h o d 中文摘要 英文摘要 目录 第一章引言 1 1 选题及国内外研究现状 1 1 1 组合恒等式的研究 1 1 2 有关r i o r d a n 阵的研究 1 1 3 有关渐近计数方法的研究 1 2 本文的主要研究内容 1 3 预备知识 1 3 1 发生函数。 1 3 2 r i o r d a n 理论 第二章关于广义g e n o c c h i 数g 窘的一些结论 2 1 广义g e n o c c h i 数g 窘的性质及有关恒等式 2 2 包含广义g e n o c c h i 数g 譬和式的渐近性 第三章有关h a r m o n i c 数的若干结论 3 1 p ( r ，礼，k ) 的性质与相关恒等式 3 2 有关p ( r ，n ，k ) 和式的渐近性 结束语 参考文献 攻读硕士学位期间完成的论文 致谢 i 一 1 1 1 2 2 3 4 4 5 7 8 3 7 o q 忍 9 o 3 4 l 1 l 2 2 3 3 3 第一章引言 5 1 1选题及国内外研究现状 组合数学诞生于t 七世纪，它是一个古老而又新颖的数学分支，它的发展与其他一 些数学分支的发展相平衡，这些分支如统计学、代数、数论、概率沦等，它们和组合数 学密切相关，与组合数学相结合不断创造出新的理论和方法特别是电子计算机出现以 后，组合数学在数学理论及应用中更是发挥了其他科学无法替代的作用 。 1 1 1 组合恒等式的研究 在组合数学领域，组合恒等式是主要研究课题之一由于它在诸如概率统计计算、 理论物理问题求解、计算机算法的复杂性分析等许多学科有着广泛的应用，因此引起 了人们的极大兴趣早在1 9 6 8 年，j o h nr i o r d a n 就出版了专著f 1 1 ( c o m b i n a t o r i a l i d e n t i t i e s ) ) 在这部专著中，作者极其巧妙的运用了递推关系、发生函数、反演关系、 分拆多项式和算子理论，系统的阐述了组合恒等式中几个相关的理论，为以后的研究奠 定了基础1 9 7 2 年，h w g o u l d 其著作 2 】( c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ) ) 中共列举了 5 5 5 个有关二项式系数的恒等式，使人们有了一个较完全的可供查阅的公式表1 i - - i ：j i - ，还 有许多学者通过矩阵等式来研究组合恒等式，获得了很多结果总之，研究组合恒等式 的方法多种多样，结果也丰富多彩关于组合恒等式的发现与证明，徐利治先生在文献 【3 】中系统的总结了四个重要的方法，即：( 1 ) 利用超几何函数方法作为推到组合恒等 式的统一方法；( 2 ) 计算处理组合和；( 3 ) 哑运算方法；( 4 ) 嵌入反演技巧方法这些方 法各有千秋，但都不能解决所有的问题1 9 7 8 年，g o s p e r 在 4 1 中提出了一个非常好 的求解组合和的算法，后来w i l f 和z e i l b e r g e r 利用g o s p e r 算法相继给出证明恒等 式的一些算法( w z 方法) w z 方法实现了组合恒等式的机械化证明，具有十分重要 的意义然而，有些简单的用发生函数理论中”万金油”方法可轻而易举证明的恒等式， w z 方法却处理不了，这说明w z 方法还存在缺陷，还有包含s t i r l i n g 数和b e r n o u l l i 数 的诸多恒等式，w z 方法也显得无能为力，此时发生函数方法就显示出了其优越性发 生函数是解决离散问题的有效工具，它是联系离散数学和连续分析的桥梁1 9 9 0 年 w i l f 在其专著 5 】( g e n e r a t i n gf u n c t i o n o l o g y ) ) 中非常详尽的论述了发生函数的各种 用途，包括：为序列成员找出一个准确公式；寻找递推关系；求序列的平均值和其他统计 性质，根据序列的发生函数的性质找出关于这个序列的新信息；求序列的渐进公式；证 明单峰性、凸性等；证明恒等式等等特别的，w i l f 在书中列举出很多例子说明如何利 用发生函数证明组合恒等式l c o m t e t 在其著作6 1 ( a s v a n c e dc o m b i n a t o r i c s ) ) 中 的整数序列的简单公式的存在 证明发生函数方法是证明组合 恒等式的一个非常有效的工具，用它不但可以证明许多人们熟知的恒等式，还可以发 现新的恒等式 1 1 2 有关r i o r d a n 阵的研究 1 9 7 8 年r o g e r s 在文献f l l l 中首先提出了r e n e w a l 阵的概念1 9 9 1 年s h a p i r o 等在文献7 1 中进一步推广了r o g e r s 的r e n e w a l 阵，并引入了r i o r d a n 阵的概念( 主 要是纪念当时去世的美国著名的组合数学家j o h nr i o r d a n ) 他们的基本思想是定义 一类无穷下三角阵，而这些矩阵与p a s c a l 阵有相似的性质r i o r d a n 阵住研究组合恒 等式和组合和式时非常有用，利用r i o r d a n 阵我们可以得到许多组合和式的发，上函数， 从而可以得到这些和式的封闭形式或渐近值 r i o r d a n 阵方法在组合数学中有广泛的应用，1 9 9 4 年s p r u g n o l i 在 1 3 】中利用 r i o r d a n 阵方法研究了二项式系数、s t i r l i n g 数及一些游动问题1 9 9 5 年s p r u g n o l i l l 4 】 又利用r i o r d a n 阵方法研究了a p e l 和g o u l d 恒等式后来，m e r l i n i 等在文献【1 5 】 中研究了r i o r d a n 阵，给出了r i o r d a n 阵的一些新的性质和应用最近几年，有关r i - o r d a n 阵的研究成果更加丰富2 0 0 6 年，m e r l i n i 、s p r u g n o l i 、v e r r i 在【1 8 】中利用 r i o r d a n 阵方法研究了c a u c h y 数的许多性质有关r i o r d a n 阵的更多结果可以参考 文献 7 ，8 ，1 2 ，1 6 ，1 7 ，1 9 】 1 1 3 有关渐近计数方法的研究 组合计数是组合数学的基础，是组合数学的核心内容之一在研究组合计数问题 中，渐近计数方法因其独特性越来越受到人们的关注，这是因为在很多组合计数问题 中，要得到精确解是十分困难或者根本不可能的通常情况下，即使计数问题解的表示 式存在，也是十分复杂的，并且包含和式或递推式因此，我们常常需要了解某个计数问 题解a n 当n _ o o 时的渐近性状，也就是当n 一。o 时a 。的变化趋势例如，设7 r ( n ) 为不超过n 的素数的个数，要求出7 r ( 礼) 的精确表达式是不可能的，然而，当n _ o 。时， 7 1 ( 2 ) 一佗l o g 扎，这一结果深刻的反映了n _ 。o 时素数的分布规律在组合学中，我 们经常需要计算各种组合数的精确值，如计算n ! 的精确值由于计算机的出现，人们可 以计算更多n ! 的值但是，当n 1 7 0 时，计算机也无能为力了，我们只能依赖s t i r l i n g 渐近公式来了解当佗_ o 。时n ! 的变化趋势此时，s t i r l i n g 渐近公式就显示出了 优越性此外，组合数学中的各种和式的计算也大都需要用渐近值来表示例如，和式 a n = n - o ( 警) 没有封闭形式，但当礼_ o o 时，无限的接近( 警) 在其它学科中，也 有许多问题的解需要用渐近式表示如：在算法分析中，我们不仅要估计某类算法的运 算次数b ( n ) 的界，还要进一步研究当n _ 0 0 时b ( n ) 的增长速率并且要与其它算法 进行比较得到最优算法，此时使用渐近式是非常必要的又如：在概率统计中经常要计 算一些特殊分布的逆矩，众所周知的是计算出逆矩的精确值是相当困难的，但在一定 条件下，我们可以求出逆矩的渐近值现在越来越多的领域，如计算分子生物学、统计 2 内蒙古人学硕十学位论文 学、及图论等学科都广泛地应用渐近计数方法，并且解决了许多实际问题，在这罩我们 不再一一列举总而言之，该课题具有重要的理论意义和应用价值 目前在国际上渐近计数方法的研究人员很多，但国内相关研究人员比较少事实上， 渐近计数方法的研究有着悠久的历史，从上个世纪五十年代未到九十年代，b e n d e r 、 o d l y z k o 、f 1 a j o l e t 、w i l f 、d eb r u i j n 等著名学者为渐近计数的研究奠定了理论基 础( 见参考文献 2 1 2 9 】) 最常用的渐近计数方法为拉普拉斯方法、梅林变换方法、 莱斯方法、和式变换方法、泊松化与去泊松化方法、奇异性分析方法以及发生函数 方法等这些方法各有适用范围，在处理不同问题时显示出各自的优越性拉普拉斯方 法与梅林变换方法均为处理大参数实积分的有效方法，见参考文献f 2 1 、2 8 1 拉普拉 斯方法是解决大参数实积分渐近汁算的基本方法之一，山于组合汁数中相当一部分和 式可以转化成大参数实积分的汁算，因此拉普拉斯方法也是求和式渐近值的一种重要 方法莱斯方法则主要用来研究交错和式的渐近性，f l a j o l e t 和s e d g e w i c k 在f 27 1 中 利用莱斯方法深入研究了有限差分和的渐近性，在算法分析、数据结构等研究中经常 出现此类和式此外，当和式的一般项含有阶乘因子时，通常使用和式变换方法求渐近 值，见文献 2 5 、2 4 】泊松化与去泊松化方法和奇异性分析方法是比较新的方法，它们 都可用于处理二项式和问题f l a j o l e t 在文章f 2 4 1 中利用奇异性分析方法处理二项 式和问题j a c q u e t 和s z p a n k o w s k i 在f 2 9 1 中应用泊松化和去泊松化方法研究二项式 和的渐近性当组合序列的发生函数给定时，利用发生函数方法是最有效的发生函数 方法不仅有助于寻求计数问题解的显式，而且在渐近计数方面也是一个十分有用的 工具，从发生函数出发通常比直接从和式出发更易得出解的渐近式特别是当发生函 数为解析函数时，由于解析函数的奇异点对它们的幂级数展开式系数的渐近行为影响 很大，所以针对发生函数的奇异点的特点可以得到计数问题解的渐近性w i l f 2 3 1 、 o d l y z k o 2 2 】、f l a j o l e t 和o d l y z k o 3 0 l 等得到了一系列研究成果总之，上述渐近计数 方法各有千秋，适用范围也不尽相同 总体说来，虽然渐近计数方法众多，但目前还远不够完善，尚有许多问题有待解决 由于组合计数问题的多样性和复杂性，针对不同问题，处理的方法也有所不同渐近式 的推导方法往往因问题而变，很难纳入几种模式之中，因此我们应该灵活应用渐近计 数方法，发挥好它的其它学科不可代替的作用 1 2 本文的主要研究内容 组合序列的研究是组合数学的主要课题之一，其中最常见的组合数有二项式系数、 b e r n o u l l i 数、s t i r l i n g 数、f i b o n a c c h i 数等它们曾被广泛研究，并且取得了极为丰富 的成果近年来，关于一些特殊组合数如g e n o c c h i 数、c a u c h y 数、l a h 数、h a r m o n i c 数和l e i b n i z i 数等的研究也越来越多本文主要研究两类特殊组合数广义g e n o c c h i 数 g 和h a r m o n i c 数有关的数p ( r ，扎，七) 第二章分两部分来讨论在第一节里，首先利用发生函数方法等给出了有关广义 g e n o c c h i 数g # 的一些性质然后利用r i o r d a n 阵方法和发生函数方法给出了一些包 3 第一章引言 含广义g e n o c c h i 数g ，广义s t i r l i n g 数和广义l a h 数等的组合和式的封闭形式第 二节，我们利用d a r b o u x 方法和l a p l a c e 渐近积分定理得到了某些包含广义g e n o c c h i 数g 和式的渐近值 第三章，我们主要研究一种较新的组合数p ( r ，佗，尼) 在第一节罩，为了更深刻的了 解，我们首先引进了p ( r ，n ，凫) 的定义然后利用发生函数方法证明了一些有关p ( r ，礼，k ) 的性质，其次利用r i o r d a n 阵和发生函数方法证明了一些关于p ( r ，n ，k ) 与广义s t i r l i n g 数、广义l a h 数、及g 等的组合恒等式第二节，我们利用d a r b o u x 方法、奇异性 分析等渐近计数方法讨沦了有关尸( r ，n ，k ) 和式的渐近性 1 3 预备知识 1 3 1 发生函数 在给出发生函数的定义之前，先介绍什么是形式幂级数形式幂级数的概念是多项 式的推广，所谓形式幂级数是指形如： c d + c l x + c 2 2 2 + 的表达式，其中 c n ) 铲被称为系数序列，说两个级数相等是指它们的系数数列相等关 于形式幂级数的概念可参考 6 】下面叙述发生函数的定义 定义1 3 1 设给定一实数或复数序列，( 本文中这些序列( 除特殊说明外) 常常山 具有组合意义的正整数组成) ，则把下列三个形式级数圣皿，和q 分别称为序列n 。的 普通发生函数，指数发生函数和更一般的关于的发生函数： 圣( t ) ：= n n 矿，霍( t ) ：= 。n 鬲t n ，q ( ) ：= a n i t n n = on = o n = o 一“ 其中是一个给定的参考序列并且满足0 由定义可知发生函数主要分为三种【6 】：设a n 是一序列， 令f ( x ) = e 墨oa n x n ，则称，( z ) 为序列a n 的普通幂级数发生函数，特别适应于做 出涉及组合数的序列的发生函数； 令，( z ) = 墨on 。等，n g s f ( x ) 为序列a n 的指数型发生函数特别适应于做出涉 及排列的序列的发生函数； 令，( z ) = 墨oa n 筹，则称，( z ) 为序列的d i r c h l e t 级数，在乘法数论中，d i r c h - l e t 级数是常用的发生函数 下面我们介绍一下系数提取方法【17 】： 我们用f 表示数域，令莎= f i t 】表示普通幂级数环，其中t f ，如果，( ) = 墨oa t 七 属于罗且r 是使得，r 0 的最小整数，则称r 为，( ) 的阶阶为r 的所有普通幂级数的 集合记为舅特别的，玩是可逆普通幂级数的集合，即对级数厂( ) ，存在厂一1 ( t ) 莎，使 4 内蒙占人学硕士学位论文 得f ( t ) f - 1 ( ) = 1 环莎是一个整环，因此它的商域也是很容易定义的，它的商域用c 表示，c 中的元素被称为形式l a u r e n t 级数最后我们引入线性函数的系数表示 护】 莎_ f ( n = 0 ，1 ，2 ，) ，它在单项式t 上的作用定义为： 旧七= 如，k 其中如詹是k r o n e c k e r 记号由定义我们有 o oo 。 t ”】厂( t ) = 妒 七= 厶【i t 七= 厶 k = o k = o 换言之，i t “ 厂( ) 讥- 疋1 ：3 1 厂( ) 中“的系数因此， t n 】可以表示“取系数”算子，它具有下 面一些基本性质： 旧( q ，( ) + 励( ) ) = q 旧厂( 亡) + 研卅g ( t ) ， t n t f ( t ) = t n - 1 i f ( t ) ， 明，) = ( 扎+ 1 ) 护+ 1 i f ( t ) ， 【n 脚) 夕( t ) = ( i v y f ( v ) ) 旷七) k = o 其中，( ) 、g ( t ) 是前面定义的普通形式幂级数，q 、p f 是任意常数，而第四个性质中 的未知元y 只是为了区分“取系数”算子作用在不同的普通幂级数上 系数方法在计算组合和式时是非常有效的，而r i o r d a n 阵是系数方法的一个重要 的应用，它常常可以有效的且非常简单的用来计算组合和式，相关研究成果参见 7 ，8 ，1 4 】 1 3 2r i o r d a n 理论 形式上，r i o r d a n 阵是一个形式幂级数对d = ( d ( t ) ，危( ) ) ，如果d ( ) ，h ( t ) 玩，则 称该r i o r d a n 阵是正常的事实上，r i o r d a n 阵d 是一个无穷下三角矩阵( 如，知) n ，挺， 它是由形式幂级数d ( t ) 和九( t ) 按如下规则定义的 d = ( 厶，七) n ，k e n = ( d ( 亡) ，危( t ) ) ， 其中d 中元素d n k 满足 厶，k = t n 】d ( t ) 危( t ) ) 知，v n n ( 1 3 1 ) 最常见的r i o r d a n 阵是p a s c a l 矩阵即为( 南，南) 如果d = ( d ( t ) ，九( ) ) 是一个r i o r d a n 阵，f ( t ) 是序y u ( ) 七n 的普通发生函数，则 有如下和规则 厶，七 = 明d ( t ) ，( t ( t ) ) = 明d ( 亡) 【，( 秒) l 可= t ( t ) 】 ( 1 3 2 ) 5 第一章引言 相对于普通的r i o r d a n 阵，我们还有指数型r i o r d a n 阵手旨数型r i o r d a n 阵同样 也是一个无穷下三角矩阵d = ( 如，七) 。，挺n 它是有两个指数型形式幂级数( f ( t ) ，h ( t ) 来 定义的，d = ( d n , 岛) 。，七n = ( d ( ) ， ( ) ) e ，d 中元素d n ，南满足 = 阶掣， ( 1 - 3 3 ) 如果d = ( d ( ) ， ( ) ) e 是一个指数型r i o r d a n 阵，厂( t ) 是序列( ) 挺的指数发 生函数，则有如下和规则 塾舡胁龇) = 融圳m 训) 】 ( 1 3 4 ) 6 来，又有许多新的学者致力于对g e n o c c h i 数及其推广的形式，包括广义g e n o c c h i 数 或g e n o c c h i 多项式等的研究如：2 0 0 9 年q f a n g 在 1 9 】中，给出了有关g e n o c c h i 数 与c a u c h y 数、s t i f l i n g 数等的恒等式g u o d o n gl i u 在 2 0 中给出了一些包含广义 g e n o c c h i 数g 窘) 的结论有关g e n o c c h i 数的研究请参见【1 9 ，2 0 ，9 ，4 i 本章继续探讨了广义g e n o c c h i 数g ，并且得到它的一些新性质及其与两类广 义s t i r l i n g 数和广义l a h 数等有关的组合恒等式进一步，我们还讨沦了某些包含广 义g e n o c c h i 数g 和式的渐近性 g e n o c c h i 数是由下列发生函数定义的 南1 = g n 等 - - - - - - - - - _ 一 e o +勺一竹! 。 对于任意实数( 或复数) z ，通过下面的发生函数给出广义g e n o c c h i 数g 乎的定义 ( 万2 ) x = n o 掣丽t n 且g 孑= l ，g 乎) = 0 ，礼1 为任意整数，上面的式子可以变换成如下形式： ( 南) z = 萎譬等 仁叭， 由此，我们可以得到 n c ( i 一) 1 = 2 - - 1 瓯，扎l ， ( 2 0 2 ) 这里g 。是g e n o c c h i 数且g o ：= 0 讨论之前，首先引进两类广义s t i r l i n g 数8 ( n ，后；r ) ，f 8 ( n ，后；7 ) | 和s ( n ，七；7 ) 以及广 义l a h 数l ( n ，七；r ) 的指数发生函划1 o 】如下： ( 1 + t ) 一r 旦呈i ! 丢 2 = s ( n ，七；r ) 等； ( 2 。3 ) 7 第二章关于广义g e n o c c h i 数g 乎的一些结论 ( 1 叫一r 掣：p 如) i 荔； 掣= 跏川嘉； 胃! 一 n ! c 1 删7 矗( 鬲) 七= 三m 刖荔， 其中k 为非负整数，r 为非负实数，且广义l a h 数l ( n ，七；r ) 满足 l ( n ，七；r ) = ( 一) n 署( n 佗- 一r - 七1 ) 山定义( 2 0 3 - 2 0 6 ) ，我们可以得到相应的指数型r i o r d a n 阵，如下： ( s ( n ，七；r ) ) n ，南= ( 而1 ，詈l n ( 1 + t ) ) e ； ( i s h 时m 咄旷( 矿1 万，詈n 击) e ； ( s ( n ，后；r ) ) 竹，詹= ( e r t ，i 1 、。t1 ) ) e ； ( 2 0 4 ) ( 2 0 5 ) ( 2 0 6 ) ( 2 0 7 ) ( 2 0 8 ) ( 2 0 9 ) ( 埘) n , k e n 一- - ( ( 1 批一南) e ( 2 0 1 0 ) 2 1广义g e n o c c h i 数g 窘的性质及有关恒等式 下面利用发生函数讨论广义g e n o c c h i 数g 窘的性质 定理2 1 1 对任意非负整数n ，任意实数z ，有 g 牡上n + l i = o ( 扎斗州g 掣g 州西 证明由发生函数定义( 2 0 1 ) 可得 等等=兰萎骘：筹萎gn币tn2 t 急n n ! 急弘n ! 急v 。n ! = 吾薹( 喜( 孑) 譬屿 = 群壹i = om ) 晶 8 到定理2 1 1 再山关系式( 2 0 2 ) 可 推论2 1 1 对任意非负整数n ，有 g 黔希喜( 佗亨1 ) 南g 州g 州。 定理2 1 2 对任意非负整数佗，任意实数x ，有 g 瓣1 = 一2 z g 譬+ z g 擘+ 证明山发生函数定义( 2 0 1 ) 可得 等等(南)沪1(南)7n0 厶2 n + 1 几! 一正e 。+ 1 孑干1 一( 南) 茹+ 詈( 南) 蚪1 一萎可c ( x ) 面t n + 詈萎掣暑 比较上述等式中第一个和最后一个和式护i n ! 的系数，整理便可得到定理2 1 2 定理2 1 3 对任意非负整数n ，任意实数z ，有 g 窘= ( 一1 ) 竹i - - - - 0 ( ：) ( 2 z ) “一g ：。 证明由发生函数定义( 2 0 1 ) 可得 譬竽=(南、)霉n0 z ，9 住”i、o 一上1j - i 上 = ( 南) 霉e 耐 =(壹(：)譬矿湾n0i = 0 r 一 比较上述等式中第一个和最后一个和式俨扎! 的系数，整理便可得到定理2 1 - 3 下面我们再来讨论广义g e n o c c h i 数g 乎与其他组合数之间的关系 定理2 1 4 对任意非负整数佗，h 和非负实数7 ，有 耋( 凳) s c 七 r ，尝= 两2 h 缶h 善nc 一1 ，( ：) c ) 等硝 9 第二章关丁j 义g e n o c c h i 数g 乎的一些结论 证明山发生函数定义( 2 0 1 ) 和( 2 0 5 ) 可得 妻k = o ( 拇 r 苦 = 融。掣( 南) = 同爷( 一南) = t n 2 h 。一h 一( 南) i 比 = 等圭i = o 壹j = o ，i ( 北) 型2 j - - j ) 推论2 1 2 对任意非负整数n ，h ，有 妻k = 0 ( 姆警= 筹扣，( ：) 譬， 其q s ( k ，h ) = s ( k ， ；0 ) 是第二类s t m i n g 数 定理2 1 5 对任意非负整数n ，r ，有 g g = ( 一2 ) “es ( 佗，后；r ) ( 后) ，( 一寺) 詹 n k = 0 。 证明由( 2 0 9 ) 、( 1 3 4 ) 及指数发生函数 (咄(一j1)n丽tn=矸b，no 。 、。，“， 可得 壹跏川卜秒1k=o= 融t 南睁一1 l o l 、 z ， ij = 献南) = ( 一互1 ) “g ，( r ) 由此完成了定理2 1 5 的证明 定理2 1 6 对任意非负整数n ，任意实数z 和非负实数r ，有 妻咖 巾椭g 灶c m z 妻2 七( h 后k 。1 ) ( 一一n - k k = 0 k = 0 。1 ) 、，、， 1 0 内蒙古人学硕士学位论文 让明山r i o r d a n 阵( 2 0 7 ) 及性质( 1 3 4 ) 和发生函数( 2 0 1 ) ，有 礼- t ( ? ) s ( n ，七；r ) 等 k = o 。 = 融 ( 矗) 旧岬刊 一2 【扩】南高 ：静巾( 一圹( 卅：二 斗矿芸喜2 七( h 后k 一) ( 一一n - k 1 ) ， 整理即得 在定理2 1 6 中，我们取r = 0 ，贝, l j s ( n ，忌；0 ) 就是我们所熟悉的通常意义下的第一 类s t i r l i n g 数s ( n ，尼) ，这时我们有以下推沦 推论2 1 3 对任意非负整数佗任意实数z 有 证明 壹s ( 啪) 譬：妻s ( 啪0 ) 霉s ( 礼，忌) 等= s ( n ，后；o ) 等 k = o 。 k = o “ = 刚( 南) z 旧町刊 2 【n 1 高 刊去( ：) ( 一z ) n = = 一 2 n 即得 推论2 1 4 对于任意非负整数佗，z 为任意实数，则 s ( 佗，k ) 2 m ( 一z ) 七= g 妒 ( 2 1 1 ) 利用互反公式 o n = s ( n ，k ) b 知甘= s ( n ，忌) 即可得 n z一 = 和k g 七一n 2七佗s n 脚 第二章关丁j 义g e n o c c h i 数g 乎的一些结论 定理2 1 7 对于任意非负整数n ，任意实数z ，r 为非负实数，则 舢啪1 2 椭掣刊砉心七( z 叫计一n - k 。1 ) 七= o七= 0 、7、7 证明山r i o r d a n 阵( 2 0 8 ) 及性质( 1 3 4 ) 和发生函数( 2 0 1 ) 有 y = l n ( 1 一! i t s ( 1 _ 矿1 南 刊扣心kr ) ( 圹( 一n - k 。) ， 整理即得 推论2 1 5 对任意非负整数n ，z 为任意实数，则 静啪) 1 2 m g n ：喜c 舭奄( 欺+ 一n - k 。1 ) ， 七= 0k = 0 、， 、 7 其中i s ( 礼，惫) l = i s ( n ，七；o ) i 是第一类无符号s t i r l i n g 数 同样利用r i o r d a n 阵性质和发生函数定义，我们还可以得到如下有关g 窘的双重 和式的封闭形式 定理2 1 8 对任意非负整数n ，z 为任意实数，且r 1 0 ，r 2 0 均为实数，有下列 等式成立 壹妻2枉似nsc州；您)gj=n：壹(n+?怕)(您+佗n一-七kl=ok = l k = o _ ) 、 。 ， 证明由广义l a h 数l ( 佗，后；r ) 的指数发生函数定义( 2 0 6 ) ，可得 2 如) = - t n ( 坩两1 ( 雨- 2 t ) 则 砌，如1 ) ) 础= ( ( 1 刊九，一南) e 再由( 2 0 3 ) 及( 1 3 4 ) 得 2 七i ( n ，k ；r z ) s ( 七，l ；r 2 ) = 卧l 坩 ( 1 + 纩仡唑掣卜一熹 ：f t n ( ! 塑：竺堕型 1 2 、 一l 2 + 一 一d 望秒水 川 一 r 幻 七 一 n l 旧n脚瞄 内蒙占人学硕十学位论文 所以 孛n k = lm s 限如z 叽邻n2 ( 篱，詈- n 景) e 竹f 二 、， 一。凸 迸一步，就可以得到 2 l ( n ，七；r 1 ) s ( 啪您) g z = 吲等等 ( 南) yi n 雨1 - t 11 = l i ll ll 【n ! j( 1 一) 7 。 【、e 可+，l+ t j 刊砉( n + ? 托) ( 您+ 一n - k 。1 ) ， 证毕 推论2 1 6 对任意非负整数n ，z 为任意实数，r 0 为实数，则 壹妻2似nsc引g尸=死z壹(r：z)(h扎n-一后k1-0k = l k = 0 1 ) ，、 。 、 。 。 其中l ( n ，k ) = l ( n ，红0 ) 由定理2 1 8 证明可得下面推论 推论2 1 7 对任意非负整数佗，z 为任意实数，r 0 为实数，有 套。妻k2砌咖噼z(7：z)；=lf = 、 。 。i ) 1 2 七一。l ( n ，后) s ( 七，z ) g f = 礼2 ( ：) = 0k = l 、7 2 2 包含广义g e n o c c h i 数g 窘和式的渐近性 这一节，我们利用渐近计数方法给出了一些包含广义g e n o c c h i 数g # j 的有限或 无限和式的渐近值首先利用达布方法给出前面讨论过的一些和式的渐近性，下面介 绍达布方法 2 2 如果函数f ( z ) 在奇点z = w 的邻近可以写成f ( z ) = ( 1 一z w ) a g ( z ) 的形式，其 , v g ( z ) 在w 的邻近解析，_ k g ( w ) 0 ，o l 为负实数，则称w 是f ( z ) 的代数奇点 引理2 2 1 假设f ( z ) 在某个圆域h 0 内是解析的，在i z i = r 上仅有 代数奇点，设这些奇点中具有最高阶的奇点为哟，且函数f ( z ) 在z = 附近可以 写成f ( z ) = ( 1 一名哟) 缈( z ) 的形式，其中毋( z ) 在的邻近解析，r g j ( w j ) 0