（应用数学专业论文）缺项算子矩阵的补和无穷维hamilton算子的谱.pdf

h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a o c t o b e r , 2 0 1 0 一_ 一- 原刨性声明 本人声i j 爿：所- ，交的学f 彳论文足本人以导师i 1 勺 旨导p 送行的叫究f j 作及j 钗得的 | j f 究战 聚。除本之已经往n 月弓l 州的内容外，论文中不包禽j 毒他人已经发表或撰写过的研究成粱出 不包含为获得凼墓直盔堂及其他教育帆 的学仲戏i 正le 而使 j 过的材料。与我一同 l 作的尉 志对本研究所傲的任何贡献均己在论文中作了明确的说明j 1 农示谢意。 学位论文作者签名：翌簦i 訇 日 期：删叫2 ：堕 黼教师签名7 泌芝侈纠 指导教师签名：! ! 竺兰! = 生 日 期： 丝：望：! ! 在学期问研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有芰保研、使学化论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留了 ：n 7 玎笑l = j ：“j 、囊盯j 送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者存学期间即f r 7 的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或1 刃。删12 0 ，缅? | ! ：1 袋吉尺学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内荔：古大学方川j 冀稿或公开发表。 学位论文作者签名：豳一 挣! ? ? ! ：，i ! 签名： 仍栅 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 第一章绪论1 1 1 线性算子谱理论的发展1 1 1 1自伴线性算子的谱1 1 1 2 非自伴线性箅子的谱2 1 1 3 线性箅子的几类谱的定义3 1 2 算子矩阵j 7 1 2 1算子矩阵的补问题8 1 2 2 无穷维h a m i l t o n 算子的谱1 0 1 3 本文的主要结果1 2 第二章 2x2 阶上三角型缺项算子矩阵的谱扰动1 3 2 1 2x2 阶上三角型缺项算子矩阵两类点谱的扰动1 3 2 22 2 阶上三角型缺项算子矩阵四类点谱的扰动2 0 2 32 2 阶上三角型缺项算子矩阵两类剩余谱的扰动3 2 第三章2x2 阶上三角型缺项算子矩阵的可能谱3 7 3 1 2x2 阶上三角型缺项算子矩阵的四类点谱的可能谱3 7 3 22 2 阶上三角型缺项算子矩阵的左( 右) w e y l 谱和w e y l 谱的可能谱5 0 第四章3 阶上三角型缺项算子矩阵的谱扰动5 6 4 1引言5 6 4 23 阶上三角型缺项算子矩阵的亏谱和近似点谱的扰动5 6 4 33 阶上三角型缺项算子矩阵的m o o r e - p e n r o s e 谱的扰动6 1 2 2 上阶三角型缺项算子矩阵的补算子6 8 2x2 阶上三角型缺项算子矩阵的补算子6 8 无穷维h a m i l t o n 算子的谱7 6 无穷维h a m i l t o n 算子的谱的性质7 6 上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱补7 9 6 3 特殊类型的上三角型无穷维h a m i l t o n 算子的谱8 1 总结与展望9 0 参考文献9 2 主要符号表1 0 2 攻读博士期间的研究成果1 0 3 缺项算子矩阵的补和无穷维h a m i l t o n 算子的谱 摘要 线性算子的点谱和剩余谱之间有一定关系，将点谱和剩余谱进行细分，能 使我们更详细、更透彻地了解线性箅子谱的性质，所以点谱被分为两类，本 文记作( ) 和嘞( ) 但是在研究缺项算子矩阵谱补问题的过程中，发现有 必要将剩余谱及这两类点谱进一步细分，我们将剩余谱分为两类，记作听- ( ) 和2 ( ) ，同时将( ) 分为两类，记作- ( ) 和嘞( ) ，将( ) 分为两类，记作 唧3 ( ) 和啊( ) ，这时点谱被分为四类本学位论文主要考虑了有界缺项算子的 各类点谱和两类剩余谱等一些类型谱的谱补问题和无穷维h a m i l t o n 算子的四 类点谱和两类剩余谱等谱的性质以及上三角型无穷维h a m i l t o n 缺项算子的谱 补问题 主要结果如下： 首先，研究了2 2 阶上三角型缺项算子矩阵的谱补问题设冗和j | | c 是 h i l b e r t 空间，b ( u ，| | | c ) 表示从咒到彪的所有有界线性算子组成的集合，简记 b ( u ，冗) 为召( 冗) 设a 召( 咒) ，b 召( 庀) 为给定，定义2 2 阶上三角型缺项算 子矩阵m c = ia 。：io 本文描述了集合 na t ( m e ) ， c 召( 咒，爿) 其中t p a ，p b ，p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，r l ，r 2 刻画了m c 的四类点谱唧1 ( ) 、唧2 ( ) 、 唧3 ( ) 、( ) 及左( 右) w e y l 谱、w e y l 谱的可能谱集 然后，考虑3x3 阶上三角型缺项算子矩阵的谱补问题分别给出3x3 阶 上三角型缺项算子矩阵的亏谱、近似点谱和m o o r e - p e n r o s e 谱的扰动结果 其次，考虑了杜鸿科教授在1 9 9 4 年提出的“问题3 ”在比较m c 的谱扰 动na ( m c ) 和可能谱ua ( m c ) 的基础上，得到满足“问题3 ”的所 c e b q c ，h ) g 8 ( 咒，h ) 有线性算子c 组成集合的描述，为公开问题的彻底解决开阔了思路，奠定了 一定的基础 最后，研究了无穷维h a m i l t o n 算子的谱及上三角型无穷维h a m i l t o n 缺项 的谱补问题无穷维h a m i l t o n 算子是一类特殊的非自伴算子矩阵，对其 有着重要的理论价值和应用价值无穷维h a m i l t o n 算子的谱理论是深入 无穷维h a m i l t o n 系统的重要途经，因此研究了无穷维h a m i l t o n 算子的各 谱和两类剩余谱的性质，进一步了解了无穷维h a m i l t o n 算子的谱的分布 上三角型无穷维h a m i l t o n 算子作为算子矩阵，也有谱补问题，但由于 构特点，对各分块箅子有一定限制，所以其谱补问题的研究有一定的难 度利用已有的2 2 阶上三角型缺项算子的谱补的结果，给出对角定义的上 三角型无穷维h a m i l t o n 缺项算子的四类点谱和两类剩余谱等谱的谱补范围， 并得到上三角型无穷维h a m i l t o n 缺项箅子的唧- ( ) 和c r r 。( ) 的扰动另外，还 考虑了特殊类型的无穷维h a m i l t o n 算子谱的结构 关键词：缺项算子矩阵，无穷维h a m i l t o n 算子，补问题，谱扰动，可能 谱，点谱，剩余谱，近似点谱，亏谱，m o o r e - p e n r o s e 谱，左( 右) w e y l 谱，w e y l 谱 分类号：( 中图) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b c o m p l e t i o np r o b l e m so fo p e r a ，i o r m a t r i c e sa n ds p e c t r a lo fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a to r s a b s t r a c t t h e r eh a v es o m ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h ep o i n ts p e c t r u ma n dt h er e s i d u a ls p e c t r u m o fl i n e a ro p e r a t o r ，b yd i v i d i n gt h ep o i n ts p e c t r u ma n dt h er e s i d u a ls p e c t r u mi n t om o r e c l a s s e s ，m o r ea n db e t t e rp r o p e r t i e so fs p e c t r a lo fl i n e a ro p e r a t o rc a nb eo b t a i n e d s ot h e p o i n ts p e c t r u mw a sd i v i d e di n t ot w oc l a s s e s ，i nt h i sp a p e r ，d e n o t eb y ( ) a n d ( ) b u t ，i nt h ec o u s eo fs t u d y i n gt h es p e c t r a lc o m p l e t i o np r o b l e m so fo p e r a t o rm a t r i c e s ，w e f i n dt h a tt h er e s i d u a ls p e c t r u ma n dt h ep o i n ts p e c t r u ma r en e c e s s a r yt ob ef u r t h e rc l a s s i f l e d ，w ed i v i d et h er e s i d u a ls p e c t r u mi n t ot w ok i n d sd e n o t eb y 听1 ( ) a n d 听2 ( ) ，d i v i d e 如 ( ) i n t ot w ok i n d sd e n o t eb y l ( ) a n d 唧2 ( ) a n dd i v i d e 嘞( ) i n t ot w ok i n d sd e n o t e b y 3 ( ) a n d 嗥( ) ，n o wt h ep o i n ts p e c t r u mi sd i v i d e di n t of o u rk i n d s t h i sd i s s e r t a - t i o nm a i n l yi n v e s t i g a t e sc o m p l e t i o np r o b l e m so fb o u n d e do p e r a t o rm a t r i c e s ，i n c l u d i n g s p e c t r a lc o m p l e t i o np r o b l e m so ff o u rk i n d so fp o i n ts p e c t r u m sa n dt w ok i n d so fr e s i d u a l s p e c t r u m sa n d 8 0o n ，t h es p e c t r aa n ds p e c t r a lc o m p l e t i o np r o b l e m so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l h a m i l t o n i a no p e r a t o r s t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ef o l l o w i n g s ： f i r s t l y , s p e c t r a lc o m p l e t i o np r o b l e m so f2 2u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i c e sa r e s t u d i d e d l e t7 - ia n d 咒b eh i l b e r ts p a c e s ，a n du ( n ，尼) d e n o t et h es e to fb o u n d e dl i n e a r o p e r a t o r sf r o m7 - t o 庀，w i t h 召( 咒，7 - 1 ) a b b r e v i a t e dt o 召( 咒) l e ta 召( 咒) ，b 召( 瓦) a r eg i v e n ，d e 劬e = i ：三j t h ef o l l o w i n gs e t s na t ( m e ) ， c e b ( 瓦，爿) w h e r et p a ，p b ，p l ，p 2 ，p 3 ，p 4 ，r 1 ，r 2 ，a r ec h a r a c t e r i z e d ，r e s p e c t i v e l y i na d d i t i o n ，t h e p o s s i b l es p e c t r u mo ff o u rk i n d so fp o i n ts p e c t r u mo p l ( ) 、a p 2 ( ) 、o p 3 ( ) 、啊( ) 、 t h el e f t ( r i g h t ) w e y ls p e c t r u ma n dt h ew e y ls p e c t r u mo fm ca r ed i s c u s s e d ，r e s p e c t i v e l y s e c o n d l y , s p e c t r a lc o m p l e t i o np r o b l e m so f3 3u p p e rt r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i c e s n l k e y w o r d s ：o p e r a t o rm a t r i c e s ，i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o no p e r a t o r s ，c o m - p l e t i o np r o b l e m ，p e r t u r b a t i o no fs p e c t r u m ，t h ep o s s i b l es p e c t r u m ，t h ep o i n ts p e c t r u m ，t h er e s i d u a ls p e c t r u m ，t h ea p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u m ，t h ed e f e c ts p e c t r u m t h em o o r e - p e n r o s es p e c t r u m ，l e f t ( r i g h t ) w e y ls p e c t r u m ，t h ew e y ls p e c t r u m s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：( c l ) 0 1 7 5 3 ，( 2 0 0 0 m r ) 4 7 b 1 v 第一章绪论 本章作为全文的绪论，首先综述了线性算子谱理论的历史背景及发展概况，给出线 性算子的几种类型的谱的定义然后介绍了算子矩阵的补问题及无穷维h a m i l t o n 算子 的谱理论的研究意义和研究现状最后，给出本文的主要结果 1 1线性算子谱理论的发展 上世纪初，d h i l b e r t 等人开创了“希尔伯特空间”的研究，研究无限维线性空间上 的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析半个多世纪来，泛 函分析从其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和研究手段，形成了自己的 许多重要分支，例如算子理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等算子 理论是泛函分析中最重要的研究领域之一，自从2 0 世纪初i f r e d h o l m 、d h i l b e r t 、 f r i e s z 、s b a n a c h 等人建立算子理论以来，算子理论已得到迅速的发展并渗透到数学 的各个分支，起着重要的作用，形成了一批经久不衰的研究课题 线性算子理论中的线性算子谱理论足线性算子理论的灵魂，无论从纯数学还足从应 用数学的角度都起着十分重要的作用如，线性算子的谱理论是解决数学物理方程和其 它一些数学问题的重要手段之一，通过线性算子谱的研究能了解算子本身的结构，从而 可以刻画相应方程解的结构；再如，通过对矩阵特征值的研究，可以刻画矩阵的不变子 空间，写出它的标准形，并能了解其相应的齐次或非齐次方程解的结构目前，线性算子 谱理论的研究内容已涉及到基础数学与应用数学的许多分支，诸如矩阵理论、控制论、 微( 积) 分方程、量子物理、优化理论等在线性算子的谱理论中，自伴线性算子的谱理 论和与之相对的非自伴线性算子的谱理论是两部分主要的内容 1 1 1自伴线性算子的谱 2 0 世纪初，i f r e d h o l m 、d h i l b e r t 和f r i e s z 等人开始对积分方程进行了研究， 得到一些简单积分方程的一般理论，这些结论可以看成是无穷维空间上线性算子谱理论 的起源如对于积分方程 抛) 一a 6 训帕) 匆= 比) ( 1 1 - 1 ) ) 的积分运 对积分方程的研究同时促进了对微分方程的研究1 9 0 9 1 9 1 0 年间，h w e y l 研究了 h i l b e r t 空间中的无界自伴算子，把经典的s t u r m - l i o u v i l l e 问题从有限区间推广到无穷区 间上，进一步发展了奇异的二阶微分方程的理论在1 9 2 7 - 1 9 2 9 年问，j v o nn e u m a n n 为 适应量子力学的需要，引入h i l b e r t 空间及h i l b e r t 空间中的闭线性算子等抽象概念，利 用c a y l e y 变换将自伴算子的特征值问题的可解性转化为酉算子特征值问题的可解性， 建立了无界自伴算子的谱分解理论，为无界自伴算子谱理论的研究做出杰出的贡献随 后，f r i e s z 、j v o nn e u m a n n 和m h s t o n e 等人进一步发展了希尔伯特空间上自共 轭算子的谱理论，并得到了酉算子和正常算子的谱分解定理，谱理论变得更加完善并进 一步被推广到无界自伴算子中，而且取得了丰富的成果由于各种非交换的关系研究需 要，4 0 年代以后对h i l b e r t 空间上各种非正常算子的研究也陆续开始，并取得了丰富的 成果，已成为现代线性算子谱论的重要方向 1 1 2非自伴线性算子的谱 自伴算子的谱的研究有统一的处理方法，已经形成了完美的理论，众所周知的求解 偏微分方程的分离变量法就以该理论为基础对某些偏微分方程实施分离变量，可得到 相应的自伴算子的特征值问题( 如s t u r m - l i o u v i l l e 问题) ，进一步要得到问题的解就涉及 到特征向量的完备性问题，若算子为自伴时这些问题都可以得到保证虽然数学物理中 的三大方程都可以用分离变量法求解，但对于一般的偏微分方程，传统的分离变量法并 不一定适用事实上，传统的分离变量法要求所解方程有一定对称性，并要求边界足可 分离的如某些含有交叉项的方程就不能用分离变量法求解这时自伴算子谱理论显得 无能为力，它们涉及到非自伴算子理论，所以对非自伴算子的谱理论的研究也吸引了许 第一章绪 论3 多学者 关于非自伴算子谱理论的研究虽然始于1 9 0 8 1 9 1 3 年间g d b i r k h o f f 的工作，见 【1 0 】、【1 1 但是，对非自伴算子谱理论的研究进行的非常缓慢，直到2 0 世纪中期，非自 伴算子谱理论才受到人们的关注并得到了发展1 9 6 9 年，i c g o h b e r g 和m g k r e i n 撰写 了关于非自伴算子的专著( i n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo fl i n e a rn o n s e l f a d j o i n to p e r a t o r ( 见【1 2 】) ，该书总结了h i l b e r t 空间非自伴算子理论这一领域中的大量结果，是第一本关 于非自伴算子理论的经典著作1 9 5 4 年，l i v s i cms 开创了非自伴算子的结构理论， 引进了特征函数等很多新概念从2 0 世纪6 0 年代至今天，非自伴算子的研究在不断扩 大并推动了其它领域的发展。 非自伴算子不像自伴算子那样有着统一的理论框架，人们一般对特殊的非自伴算子 的谱进行研究，如乒自伴算子，迁移算子，u 一标算子，无穷维h a m i l t o n 算子等， 如 1 弘1 7 】 1 1 3线性算子的几类谱的定义 爿 设c 表示复数集咒，咒为h i l b e r t 空间，召( 冗，1 c ) 表示从咒到瓦的所有有界线 性算子组成的集合特别的，当咒= 1 c 时，简记召( 冗，咒) 为嚣( 冗) 对于t 8 ( 咒，l c ) ，+ 我们用( 丁) ，n ( t ) 分别表示算子f 的零空间和值域空间t 4 表示t 的共轭算子 1 9 3 2 年，s t o n e 出版了一本关于h i l b e r t 空间线性算子理论的专著 1 9 1 。在书中，他， 定义了线性算子的三种谱，即点谱、剩余谱和连续谱 定义1 1 1设t ：v ( t ) 冗_ 咒是闭线性算子，称集合 p ( t ) = 入c ：( t a i ) _ 1 存在且冗( t a i ) = 咒) 为t 的预解集，p ( t ) 中的a 称为t 的正则点；称集合o ( t ) = c p ( t ) 为t 的谱 盯( t ) 可分为以下互不相交的三部分： 其中称集合 盯( 丁) = a p ( t ) ua r ( t ) ua t ( t ) ， a p ( t ) = 入c ：t 一入，不是一一的 ， a r ( t ) = 入c ：( t a ，) 一1 存在且瓦蕴面咒 ， 内蒙古大学博十学位论文 a r c ( t ) = a c ：( t a ，) 一1 存在且冗( t a i ) 咒，瓦疆啊= 冗) ， 为t 的点谱、剩余谱和连续谱 若t ：d ( t ) 咒一咒足闭线性算子，则 入a p ( t ) 令a a p ( t + ) uo - ，( t + ) ， a 乃( t ) 兮入a p ( t + ) 弄清点谱和剩余谱间的关系，点谱a p ( t ) 被分为两类，本文记做哂( t ) 和啊( t ) ， 其中 ( t ) = 入a p ( t ) ：n ( t a i ) = 咒) ， a p b ( t ) = a 唧( t ) ：n ( t a i ) 咒 则这时 a 仃如( t ) 兮a c r r ( t + ) ， a 盯p 6 ( t ) 兮a 仃p b ( t + ) 这时点谱被分为两类仃如( t ) 和口如( t ) 在研究算子剩余谱时，我们经常还要考虑1 e ( t a i ) 足否为闭，所以我们将剩余谱 ( t ) 分为两类，记为1 ( t ) 和田2 ( t ) ，其中 听1 ( t ) = 入c r r ( t ) ：r ( t 一入，) 闭】， a r 2 ( t ) = a ( 丁) ：7 t ( t a ，) 不闭) 同时，我们将口如( t ) 和d 如( t ) 也进一步细分， ( t ) = a p , ( t ) ua p 2 ( t ) ， 嘞( t ) = a p 3 ( t ) u 嗥( t ) 其中 a p , ( t ) = a a p ( t ) ：t e ( t a ，) = 咒 ， a p 2 ( t ) = a 唧( t ) ：冗( t a i ) 咒，n ( t a i ) = 咒) ， 嘞( t ) = a ( t ) ：n ( t a i ) 7 t ，t e ( t 一入，) 闭) ， 第一章绪论 5 隰 内蒙古大学博士学位论文 2 0 1 0 点 设t 召( 咒) ，称集合 a m ( t ) = 入c ：t 一入，不是m o o r e - p e n r o s e 可逆算子， p e n r o s e 谱 注1 1 1 a a m ( t ) 充分必要条件是n ( t a i ) 不闭 注1 1 2设t 召( 咒，p c ) ，一般全空间既可以看成开集又可以看成闭集，在本文规 定n ( t ) 不闭则n ( t ) 瓦 对于t 召( 咒，瓦) ，我们用亿( t ) ，d ( t ) 分别表示( 丁) 和冗( 丁) 上的维数，即 n ( t ) = d i m ( t ) ，d ( t ) = d i r e r ( t ) 上 若n ( t ) 为闭，n ( t ) o o ，称t 为左( 上半) f r e d h o l m 算子；若r ( t ) 为闭，d ( t ) o o ，称 t 为右( 下半) f r e d h o l m 算子；若t 即是左( 上半) f r e d h o l m 算子又是右( 下半) f r e d h o l m 算子，则称t 为f r e d h o l m 算子若t 足半f r e d h o l m 算子，用i ( t ) 表示t 的指标，定 义为 i ( t ) ：= n ( t ) 一d ( 丁) 定义1 1 4 t 8 ( 咒) ，分别称集合 a _ f s ( t ) = 入c ：t 一入，不是左f r e d h o l m 算子) ， a r s ( t ) = 入c ：t 一入j 不是右f r e d h o l m 算子】， a s ( t ) = 入c ：t a ，不是f r e d h o l m 算子 ， 为t 的左仁半) f r e d h o l m 谱、右仃半) f r e d h o l m 谱和f r e d h o l m 谱 注1 1 3 有些文章中称左f r e d h o l m 谱、右f r e d h o l m 谱和f r e d h o l m 谱为左本质谱、 右苯表谱和苯质谴如t 2 3 1 设t 召( 咒) ，若t 足左f r e d h o l m 算子，且i ( t ) 0 ，则称t 足左w e y l 算子若 t 足右f r e d h o l m 算子，且i ( t ) 0 ，则称丁足右w e y l 算子如果丁既是左w e y l 算子 譬 又是右w e y l 算子，则称t 是w e y l 算子下面给出w e y l 谱的定义， 2 0 1 0 钲 第一章绪论 7 定义1 1 5 设t 召( 咒) ，称集合 吼埘( 丁) = a c ：t h i t , 是左w e y l 算子) ， 听伽( t ) = a c ：t h i t 是右w e y l 算子) ， ( t ) = a c ：t h i t 是w e y l 算子】- ， 分别为的t 的左w e y l 谱、右w e y l 谱和w e y l 谱 关于w e y l 谱的文章见【4 3 】，【5 0 】 谱的种类还有许多，如b r o w d e r 谱、t a y l o r 谱等，我们不再一一介绍 1 2算子矩阵 算子矩阵是以线性算子为元素的矩阵我们都知道，如果t 是h i l b e r t 空间咒上的 有界线性箅子且“可分为两个h i l b e r t 空间h l 和h 2 的直和，即 则t 可表示为2 2 阶算子矩阵 t = 臣卦 其中t , j 为从到7 i 的有界线性算子，t ，j = 1 ，2 特别地，若咒1 是t 的不变子空 间，则t 可以表示为如下2 2 上三角算子矩阵形式( 可参见 2 2 】【2 4 ) ： t = 。咐- - 7 - 1 07 - 当t 是无界线性算子，一般不具有矩阵形式若t 具有矩阵形式，则称t 为无界算子 矩阵采用算子分块技巧，根据所研究的内容，对给定的算子进行适当的分块通过对 分块及分块问关系的研究可使算子的几何结构及内在关系变得更加清晰，由此可揭示所 研究算子的更多信息 算子矩阵在数学的许多领域都有应用，如偏微分方程理论，插值理论、系统理论等， 这些理论又在流体力学、量子力学等数学物理学中有着广泛的应用，而算子矩阵的谱理 论在这些应用中起着及其重要的作用【2 5 1 目前，关于有界算子矩阵的补问题和非自伴算 子矩阵( 主要指无穷维h a m i l t o n 箅子) 的谱问题的研究结果相当丰富，下面分别说明 na ( m c ) = a a p ( a ) u ( b ) u a c ：n ( b 一入，) d ( a a ，) ) c e b ( p c ，7 - ) 第一章绪论 9 和可能谱集 uc r ( m c ) = 盯( a ) u 盯( b ) c e s ( i c ，咒) 2 0 0 1 年，i ns u n gh w a n g 和w o oy o u n gl e e 研究了m c 的下方有界性，得到了m e 的近 似点谱和亏谱的扰动结果( 见 4 0 】) 2 0 0 2 年，d j o r d j e v i c 【4 1 】研究了m e 本质谱，w e y l 谱及b r o w d e r 谱曹小红博士在 4 2 】中刻画了m c 的上半f t - e d h o l m 谱和下半f r e d h o l m 谱的扰动结果李愿博士在 4 3 】给出了m c 左( 右) w e y l 谱的扰动的完全描述张海燕博 士对m c 的b r o w d e r 谱和d r a z i n 谱的扰动进行了研究，参见 4 6 ，4 7 】侯国林博士在【4 8 】 中描述了m c 的点谱、剩余谱和连续谱的扰动结果最近海国君博士【4 9 】给出了m c 的 m o o r e p e n r o s e 谱的扰动在文 6 2 】中，李绍宽教授描述了一般2 2 阶缺项算子矩阵的 可能谱关于缺项算子特别足2 2 阶上三角型缺项算子矩阵m e 的谱补问题的结论已 非常丰富，更多的文献可参见【5 0 - 5 9 】及它们的参考文献 除了研究2x2 阶缺项算子的谱补问题，对3 3 阶缺项算子的谱补问题也有研究 如，曹小红在【6 1 】中研究了3x3 阶上三角型缺项算子矩阵的本质谱的扰动海国君在 6 0 】 中描述了3 3 阶上三角型缺项算子矩阵的剩余谱和连续谱的可能谱集本文在第四章 中给出了3x3 阶上三角型缺项算子矩阵的亏谱、近似点谱及m o o r e - p e n r o s e 谱的扰动乳 结果 在文 3 9 】中，作者杜鸿科教授提出3 个问题，前两个在该文中已得到解决，但第3 沁 个问题到目前仍没有彻底解决 问题3 ：设m 和尼足的h i l b e r t 空间，a b ( u ) ，b 8 ( j i c ) 给定，则足否存在 算子c o b ( 瓦，7 - i ) 使得 ( m c o ) = n a ( m c )( 1 2 2 ) c e b ( 瓦，7 l f ) 成立? 除了“问题3 ”，许多学者也研究了一些类似的问题如，当a 召( 咒) ，b b ( 1 c ) 满足 怎样的条件时，对于任意c 召( 疋，咒) ，有 a ( m c ) = o ( a ) u 盯( b ) ，( 1 2 3 ) 成立? 再如， a 召( 咒) ，b 召( 瓦) 给定，怎样的c 召( 尼，7 - t ) 能使得等式( 1 2 3 ) 成立? 这些问题引起许多学者的兴趣，如文【5 1 ，5 4 ，5 7 ，5 9 】都对这些问题进行了研究在 文 5 4 】中，作者得到满足等式( 1 2 3 ) 的一类算子c 的集合，主要结论足：设a 召( 咒) ， 内蒙古大学博七学位论文 召( 形) 给定，则当 c c f 7 已( 以，b ) + ( 以，b ) + u a c a f ( l a a ) + u x c a ；( r s a ) 】 ，等式( 1 2 3 ) 成立这里j 4 ( 或咒口) 表示左( 或右) 乘积算子，即l a ( x ) = a x ( r b ( x ) = x b ) ，5 a ，b = l a r b ，c t 】表示闭包在第五章中，我们对“问题3 ”进行 了研究，描述了满足等式( 1 2 2 ) 的补算子c 所组成的集合，并证明了若d i m ( t 1 ) o o 或d i m ( ) c ) o 。，等式( 1 2 2 ) 对于任意的c u ( t c ，冗) 都成立当d i m ( t 1 ) = 且 d i m ( 1 c ) = 0 0 时，我们给出一个岛存在的例子同时也得到了使得等式( 1 2 3 ) 成立的 所有线性算子c 所组成的集合 1 2 2无穷维h a m i l t o n 算子的谱 h a m i l t o n 体系足由w r h a m i l t o n 本人从几何光学出发创建的理论模式随后他根 据光学和力学间的深刻联系，对经典力学进行了创造性的研究，将h a m i l t o n 体系应用到 力学中，得到了h a m i l t o n 力学，创建了一种与n e w t o n 系统和l a g r a n g e 系统的变分原 理等价的更充分、更明晰、更直接的变分提法h a m i l t o n 力学经典h a m i l t o n 力学 以其严谨，对称的数学框架成为经典力学史上的美妙理论，并最终成为弹性力学，量子 力学等许多学科的理论基础，见【7 1 7 3 ，9 5 】 下面给出无穷维h a m i l t o n 算子的定义 定义1 2 1 设咒为胁2 6 e r t 空间，h = lg a b a 1 ：d ( 日) h 冗_ 冗冗是 稠定闭线性算子，且a 为咒中的稠定闭线性算子，b ，c 均为自伴算子，若( j h ) + = 了日， 则称日为无穷维h a m i l t o n 算子 特别地，当c = 0 时，称日为上三角型无穷维h a m i l t o n 算子；当a = 0 时，称日 为斜对角无穷维h a m i l t o n 算予 上世纪9 0 年代，钟万勰教授利用他本人发现的结构力学与最优控制相模拟的理 论【9 4 1 ，通过引入对偶向量，将弹性力学和无穷维h a m i l t o n 算子相结合，利用无穷维 h a m i l t o n 算子特征函数的辛正交性，产生了新的f o u r i e r 级数展开法辛f o u r i e r 级数 展开，推广了传统的分离变量法，形成了弹性力学求解新体系【9 5 】关于无穷维h a m i l t o n 系统在弹性力学中的应用，可参见【9 6 ，9 7 】及其所引文献 在对无穷维h a m i l t o n 系统的研究中，对无穷维h a m i l t o n 算子的谱的研究有十分重 要的意义我们知道，分离变量法的理论基础之一是分离变量后所得到算子特征函数系 2 0 1 0 年 第一章绪论 1 1 的完备性那么，自然要问：无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系足否完备呢? 无穷维 h a m i l t o n 算子一般为非自伴算子矩阵，但足，无穷维h a m i l t o n 算子足一类性质比较好 的非自伴算子，它具有某种对称性，要回答无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系是否完 备，我们应该像自伴算子那样从谱分析的角度入手进行研究 另外，冯康院士和他的课题组对h a m i l t o n 类型方程的计算方法这一问题进行深入 系统的研究，得到一种新的计算方法辛几何算法【9 8 辛几何算法足h a m i l t o n 力 学的新的计算方法，它从理论上清楚地阐明了传统数值方法导致能量损耗的根本原因， 辛算法对应的差分格式严格足保持h a m i l t o n 系统的辛结构辛几何算法被誉为数值计算 领域的重大成果，得到国内外许多数学家的认可但是，数值解法其理论基础不能脱离 解析法，而且边界元分析需要用到解析解，因此无穷维h a m i l t o n 算子谱的研究能为辛几 何算法提供理论保障 1 2 2 1无穷维h a m i l t o n 线性算子的谱的研究概括 无穷维h a m i l t o n 算子，鉴于它的应用背景，国内外学者从不同的角度对其进行研究 并得到了非常丰富的结果国内，主要是以阿拉坦仓教授为负责人的无穷维h a m i l t o n 算 子及无穷维h a m i l t o n 系统的讨论班做出了较好的工作，他们对无穷维h a m i l t o n 算子的 谱进行了系统地研究，得到了一系列结论如，文【9 9 - 1 0 3 讨论了无穷维h a m i l t o n 算 子的谱；文【1 0 4 】考虑了只有纯虚谱的无穷维h a m i l t o n 算子；文【1 0 5 ，1 0 6 】研究了无穷 维h a m i l t o n 算子特征函数系的完备性问题；文【1 0 7 ，1 0 8 】刻画了无穷维h a m i l t o n 算子 的可逆性；基于无穷维h a m i l t o n 算子的力学背景，文【1 0 9 把无穷维h a m i l t o n 算子谱 理论的结果巧妙地应用到弹性力学的实际问题中更多的结果见f 1 1 0 - 1 1 3 在研究无穷 维h a m i l t o n 算子日的谱的过程中，主要的一个研究方法足充分利用日的结构特点， 用其子块的谱去研究日的各种谱的性质其次在国外， t y