（应用数学专业论文）一类含有积分边界条件的线性奇摄动问题.pdf

摘要 线馁奇掇动问题是我们研究最早的奇摄动问题之一，迄今为止已有大 萋魄研究成果厦世，详见文狱剐一浏。文f l 】中班炎了食鸯积分选褰蒸侈 戆边僮闷莲的数继解，释： 2 旷+ 娟和) 矿一6 ( t ) f 一，( 芒) y ( 0 ，e ) = 珈， t 【o ，1 】 o e l ( 1 ，e ) = f 1 十露g ( ) 口( f 冲 但却没有研究其渐近解( 其中f ，g 充分光滑) 本文利用文【2 】的边界函数法对如下含毒积分边界条4 牛的边僮蛔题 ? 姆驴搏) t 鸭l 】， o l 吠i ，e ) = l 十五扫( ) 帮0 ) 十影2 啦，) j d ( 枣 进行讨论，构造其渐近解，给出解的存在唯性，并得到其渐近解的误差 估计 、蠛形 关键词奇异摄动；边界屡：小参数；边暴甄数；渐近分掇；稳定 a b s t r a c t l i n e a rs i n g u l 瓣p e r t u r b e dp r o b 王e m 8 猷eo n eo ft h e 。l d e s tp f o 铁e m 8i n t h es t u d y 。fp e r t u r b e dp r o b l e n l s m a l l yc o n c l u 8 i o f l sh a v eb e 戳1r e a c h e di nf l 】 f 4 1 t h ei n l m e r i c 融l u t i o no f l i n e a r8 i n g u l a rp e r t u r b 州p r o b l e m 8 w i t hi n 七e g r 8 1 c ) o _ 【l n d a r y i l d 托妇l s 诲苦讹d i e di ni t l o re x a m p l e ： | e 2 掣”+ e o o ) 掣，一6 0 ) 掣= ，( t ) ， o ，l 】， o 1 ； l9 ( 0 ，) ；蜘， 目( 1 ，e ) = 9 1 + 露( ) o ) 如+ b u tma s y m p t o t 沁龇l t i o n 酬ts t u d 蹦雠w h i c h ，g ( 站a r e n t i n u o 鼍l s m n c t i o n 8 1 i nt h 话a r t i d e ，w es t u d yt h ej z o n o w i n g1 m e a rs l l l g l l l a rp e r t u r b e dp r o b l e i n s w i t hi n e 射a lb o u n d a r yc o 啦d i t i o “s ： 矿十e n ( ) 可7 山( t ) 可= ) ， o ，1 ： o 1 ； 粥e ) 。洳， 疵0 一可l + 正沲( ) 跳) + e 以t ，f ) m l 串l u 8 i n gt h em e t h o d0 fb o u n d 8 r yf h n c t i o n 8 ，、c o n s t r u c t t l l ef o r m u l a8 8 y m p - t 文i e 溅u t 汹，a t h es 剐n et i m e ，t h e 繇i g t e n e eo ft h es 0 1 u 油n i 8p r o v e da i l d 妇e 群r o re v 越强蜒。鞋o t h e 辐y 糙p t o t 主cs o 珏t 耋o n | so b 赫n e d k e yw b r d 默 s i n g 强l a rp 锻t 嫩b 拄t 埝珥 b o 弧d 氇搿1 8 y e # s 辩旌lp 秘a m e t e r ； b o u n d a r yf u n c t i o n ：自b 呵m p t 【) t 奴。a n a b 耀 s ； s t 越迂el 娃& n i f o k l 学位论文独创性声明 本人所警交的学位论文是我在导卿的指导下进行的研究工 作及取得的研究成粜。据我所知，除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的磷究做出重要贡献的个人稠集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：绦斌 同期：姗j 端 学位论文使用授权声明 本入完全了解华累辉范大学有关保留、使蹋学位论文的规 定，学校鸯权保鐾学位论文并囱国家主管部门戏其指定杌构 送交论文静电子版鞠纸艨敝。鸯权将学位论文爝于 摹赢蒯髫 的的少量复制并允许论文进入学棱图书馆被粪阌。有权将学 位论文酶内容编入禹+ 美数摅库避行检索。有权将学位论文懿标 题和攮要汇编燃舨。保密的学位论文在解密薏逡用本耀定。 馋考签名：绦汹 舀期：2 驰6 工1 冬 删魏 沈 目期：渤6 j _ 2 j 移 1 1 背景 第一节季l 言和主要结果 在微分方程研究的初始阶段，其碍的是求得方程的精确解；但楚后采 才知道，只有对板特殊的一些微分方程，才有可能用初等函数采表示其特 确解，一般只能求近似分析解因此，随麓社佘经济与科学技水的的日敛 发展，摄动方法作为最重要的一种求解非线性问题的近似方法，正受到国 内外学寿越来越普遍的重视 摄动方法是一种半数值半解析的近似方法，它依赖于一个无量纲的参 数，撼动方法的产生可以追溯到1 9 世纪末期天文学家l i n d 8 t e d t ( 1 8 8 2 ) ， b o h l i n ( 1 8 8 9 ) ，c y l d e n ( 1 8 9 3 ) 等人的工作，他们利用小参数e 的幂级数采 研究行星的运行问题，这些幂级数虽然是发散的，却正确的描述了客观现 象，引起人们很失的惊异1 8 9 2 年，庞加基诚明了这些发散级数是一种 渐近级数，即当e 充分小时，它的前几项之和可以充分接近原来问题的 解，从而为摄动方法建立了理论瑟础2 0 世纪2 0 年代，在量子力学的研 究中创廉了w k b 方法；4 0 年代在流体力学的研究中创立了p l k 方法，即 p o i n c a r e l i 曲t h i l 卜郭永怀方法；5 0 年代在非线性震动理论的研究中创立 了k b m 方法，亦称平均法；近年来，多重尺度法以及微分不等式理论与 对角化技巧得到了迅速得发展 ， 本文采用的边界函数法是俄罗斯伟大的教学家瓦西里耶娃创造的随 着该方法的出现，摄动艘论及其应用得到了很大的发展一 7 】谈方法从数 学的角度来满是解决奇摄动问题的一种比较有效的方法不仅有严格的理 论基础。焉韭逸用性较广 l 。2 主要结果 就方程的类型而言，对二阶线挫毒摄动问题阀题的研究已经枢当深 入，早在i 9 8 0 年，a h n a y f e h 就研究了二阶线性奇摄动方程的边佳问题+ 2 0 0 4 年，m c a h r 和g m a m i r a l i y e v 研究了如下方程的数值解( 见文) ： e 2 旷+ e o ( 幻# 7 一 暑，( o ，e ) = 拍， t 【o ，l 】， o e l g ( 1 e ) 一g l + g ( 鼬( t 冲， 丈利用史【2 】的边界函数法对如下含有积分边界务件的边值问题 e 2 掣”+ 8 ( 站一 ( 0 ，e ) = 蜘， 6 ( ) 爹= ，( 甥t 毫f o ，l l o l g ( 1 ，e ) 。p l + 上? 函( ) 弦( t ：) + 分心( t ，) l 爨 ( 术) 进行讨论，构造其渐近解，给出解的舞农唯一性，舞碍羞4 其澎近鼹的误差 估计 2 ，l【 缸，f；【 第二节辅动荸| 理 蓑= 或，最+ g “码k 恿，2l 。三，一三。，j _ 1 妨 墨i * o 时，g 。( 码) = o 。则贲以下结暴： 鉴5 ( o ) 一一；8 2 ( o ) 嬉，系数矩哮磊f 8 ) 娉特征镶为：a t = a 。一一掣，方 程( 2 1 。1 ) 酌豢簿矩阵为： 。磊糟枷：f ，+ 警镥强1 。牮 6 ( o ) 确i 一警匍j 搬6 ( o ) 一；8 2 ( o ) 对， 2 l o ，英基辫矩哮凳： 8 是”。了赢赫刚k 8 一a 2 e 椭) 五+ 渺一e 栅) 磊( o ) 】 一 !f 。e 。强一a 。e a ， e 扎一e t 铷 1 。了磊夏萄丽【6 ( 0 ) ( e a ，m 一。一。如) ( a 。+ 。( 。) ) e b 伯一( a 。十。( o ) ) e a ，n 方程( 2 1 1 ) 的解为： t 卫( ) ；e 岛( 。) ”n i ( o ) 十，8e 凫( o ) ( 一s ) n e ，( s ) d s ( 2 1 2 ) 引理2 令 其中丁b t e ，则( + ) 中的第二个条件可化为 3 暑，( 1 ，e ) = ) ( ，t ) + g ( t ) 珏管( ：，f ) 渖 ；l 理3 令譬8 ，) ：口( t 。) + 珏爹( 葡) + 秭( t )n = 生 。 则( + ) 中的第二个奈件可化为： 辩) 一时z 1 瓣) + 胡出 = 时z 1 必) 踯园+ 疆湘 ) + 以酬出 十小掣+ 知咖知蝴斑 4 z z 瞄 玑玑z 第三节定理及其证明 3 1 新近解的存在性 婚，扣轨+ 肛渤e ) + 掣辫( 3 _ 1 2 ) 方程渔i 1 ) 对应的遁亿解舜：j ( f ) 一o ，雪( t ) = 一然 f国：，。，垒。；。，秽一d三，：+，；。， 刘方程纽( 3 1 i ) 可写成e z 7 = f t ) 瓢， 5 姆 十 以 一 弘乏“v l l l i 组 呵 “ 程f 【) ，b ( t ) o ，则 r e 足( t ) o g = l ，2 ) ，则边器层在= o 处。 对耘值l i 蒜题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 构造如下形式鞠渐近解： 葵辛 z ( t ，f ) 一2 ( f ) 十茁( ) ( 3 2 1 ) 端意糍意； 强。固 一 l 0，( n 一 为了求出( 3 ，2 2 ) 中右端f 幂次的系数量( t ，) 和l b ( 码，) ，i l ，2 ，我们 首先将( 3 ，2 。1 ) 代八方程纽( 3 。1 1 j ，令等式瞬边网为变量和冈为变量码的矮 相等，即彳警两纽方程： 知 巨飘球 仲， 溉z 固 倭 ( 3 2 4 ) 其次将( 3 ，2 2 ) 中的量( o ，) 的展劳式代入( 3 2 3 ) 的两边，然后比较蹲迭 荚于f 的同次摹的系数，彤可求得函敷季( t ，) ，l 1 2 ，应满足的方程缎 砖于o 的系数可锵： 猕) 姐 端) 。一器， 舛于* l ，2 ，透过在方程组( 3 2 3 ) 申池较e 2 酶系数可得： 氧( ) 一季；一，。) ，乳。) 一! 垒丝杰学生，= l ，2 ， 北可纯，求解( 3 2 1 ) 式右边正霁 j 部分孟f ，e ) 对渐进展开的系 数筑( ) ，= l ，2 ，并不需要定解奈件。 2 _ 将( 3 2 2 ) 中的n z ( 确，e ) 的粳开式代入( 3 2 4 ) 的两边，然后比较两边 荧于e 酌同次幂的系数，即可求得函数硒，l = i ，2 ，应满足的方程鲺： 筹趣( o ) 跆m ) ( 3 2 5 ) 7 1 0一 酝 嚣 | | 瘩 = o 时，n o ，( 伯) = o ，由引理l 知，穷程( 3 2 5 ) 的解为 疆 茹( 强) ：e 砖弹鑫；。) + 厂e 磊 。j 汹一一 l l ：歹墨幽( 3 - 2 t 8 ) j 0 基解矩i 攀麓i 理l 奈停l 般设 = ( o ，) 一孙+ e 觑+ e 2 2 2 + 其中动，g l ，钝，为待定常数，则当 = 1 ，2 ，时，有 醐= p ? 卜= ( 纛) ) 为了确定( 3 2 ，7 ) 的系数珀，以。茂位刹建g l 理2 知： ( 3 2 7 ) 椰一锄+ 知( f ) 雄) + 掣l 出 ( 1 ，e ) = # l + g ( ) g ( 站+ 耸型l 出 ，0 o = 材- + 7 0 ) 雪( 亡，e ) + 9 ( f ) n 口( ；，e ) j 0 e + z 1 强) + 2 雄) 蹦十聍( 却凌 将( 3 2 2 ) 中的牙( ，e ) 和n 。，e ) 代八上式两端然詹比较两边荧于e 同次幂 的系数 对于e o 的系数可得： 雪b ( 1 ) = 蓼t + z 1 i g ) 蛹( ) + n 。2 ( ；) 】击 ( 3 2 8 ) 在3 2 嘭式孛令i 一。壹接诗雾积分z 1 纛。2 ( ；) 出略去当e 一。跨摇 教趋于零的项( 见文f 4 】) ，即褥 鲫- + 詹如删加啦岽餐掣； 令 埘i = 2 ( l + 2 ) 陪l 一孔( 1 ) + 工 叭) 勘耻) d t j a ，a 2e 珈一口3 ( o ) 】2 予是由上式可算盘： 稳：圭磁3 。2 。g ) 耪娆戏八3 。2 。6 ) ，肤霸完全确定了f 零凝幂戆系数。 务停2 。假设：慨0 ； 在积分条件中根据丈【4 1 中的w 玑s o n 引理，将积分矗口( t ) n k ( ：) 出对e 进行渐进展开，然后比较，( = l ，2 ，) 的系数，即可祥列 ：墼；女：l ，2 ，； 2 一；2 i ，z ，“； 英唾，繇是鸯鸯，玛茹热；，= i ，2 ，惫一l ，葵蠡鲢喾数，坟为可褥躲分遴 馕问题( 3 l ，1 ) ，( 3 1 ，2 ) 的形式解。( ，e ) ，即为艨线， 生微分旁程的解。 问题2 双边界层 若对t 【o ，l 】宥“( ) o 则月e j l o ，咒e i 2 o ，于是由 文【2 】的v 8 8 i l e 弛定理可知：出现双边界基可设边馕问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的 辫为： g 。( ) = 于( t ，e ) + n 篮( ) + q ? ( n ) ，( 3 2 1 0 ) 瞄三黧蠹一( 3 2 蓁三麦，。一。，；+ ，。，； e 。t 。， d q 磐 魄 d q z 觑 穗帮 d n l 鑫嚣掌 = 6 ( e 0 ) h 封一n ( e 丁) n z 3 。2 ，1 3 ) 岔z， ( 3 2 1 4 ) 6 ( 1 + n ) 0 f a ( 1 + 7 - ) q ： 莫次祷( 3 ，2 + 1 1 ) 串戆戳，) ，珏。( 铀，) ，q 魄，) 酶展舜式分别代八( 3 2 1 2 ) ，簿2 1 3 ) 毋 ( 3 。2 1 4 ) 的鹋边，然后比较两边关于霹次器盼系数，即可拳_ 享摹函数 一l ， 萋母 4 德设厩 一1 从撼南一】8 逶过比较一，奄一l ，2 ，始零数，以致烬据丈【4 l 孛对积分的、灏i 毫基舞 帮撵： 氨一最( 1 ；+ 柰氅， 巍1 ) 冀事磁筵f 赣小予老酶癌数或常数缀威瓣常数。铁薅可榉积分逮券跨邈 ( 3 ，l 。1 ) ，3 + l + 2 ) 的形式鼹嚣) ，印为愿线性微分方彀畿磐。 溺题3 + 嶷8 ) o ，一 ，2 ) ，愿方程苑簿。 问题4 擞妁 o ：6 ) o 游，问题0 。l 。1 ) ，( 3 、1 2 ) 也舞在鼹枣遗器盛 酶辫，其籁蟋形式为髫 ，) 一案( ，) + 珏嚣孙) + q 。( 弧) ， 定理1 积分边槿翘趱p j 力侮+ j 掰释辩游玩： 骞8 t ) 试 o ，6 渤 o 对方戴边莽瑶，影式解力 篁( ，) = 曩( t ，) + 嚣聋( 钧) + q 茹( r 1 ) 番穗( ) o ，6 ( 幻 o 加( t ) 0 ，当满足上述奈件时，存在常数e 0 o ，d o 和c o ，使得当 o o ，6 ( t ) o 在鬣簿膨，j 汪。 ( 3 ) 麝0 一l 耋满足上述奈停鼯，荐霍常数的 e ，6 o 和e o ，使得婆 o e 蔓e o 砰，逡槿筒题洛1 1 ) ( 3 1 2 ) 存在唯一位于静致静6 邻碱宇薛辫 1 6 z 蛾) ，而曩满足幂等式 记 葵辛 疆蜞：令 z 0 ，e ) 一 ，e ) l c e + 1 。o 曼1 孙，f ) 一 蕊( t ) + 纛 ( 孙+ q o 茹丁1 ) l = 0 p 球卜稚卜蹦“) ( 3 3 固 、 k m 小o i ”) 一；) 一孙) 将( 3 3 8 ) 代入( 3 1 1 ) 和( 3 ，l 。2 ) ，即得余项 豫e ) ，钍( ，f ) 的方程 巨纛懋辫时沪豢似s 期le 塞= 雄) 珏+ 强) 一礤洳+ 舔) + 舜) 一e 警； “。 ( 3 3 9 ) 可纯为 ( o ，) = 0 ( e n + 1 ) ，钍( 1 ，) = 0 ( + 1 ) ( 3 3 。l o ) 巨鬻募州； 随s m ， z +0 疆 一强 勖 蓼q 十 挈 娃 叛 驴 抖 | | 欠 篡舞骡鸶嚣”沪。警s 珂j ( “，u ，e ) = 6 ( t ) u d 0 ) j 7 十6 ( ) l ，十，( t ) 一i 二 函数群l ( 钍，口，) 和碣( u ， ，e ) 有两个重要桂质。 ( 1 ) 皿( o ，o ，t ，e ) = d ( e 1 + 1 ) ，i l ，2 ， ( 2 ) 衄( “， ，t ，) 对u ，口为d ( e ) 阶时是压缩系数为d ( e ) 阶的压缩算子。 令r ( o ，s ，) 为( 3 3 。1 1 ) 翦一方程雀连莽条停札溉) = 0 ( e + 1 ) ，乱( 1 ，e ) = o ( 十1 ) 之下的g r e e n 函数，可证这个g r e e n 函数务在且满足f 似，s ，e ) = 0 扩唑生) 代替( 3 3 1 1 ) 后一方程我们农积分方穰 婚一1 ) + z 1 t 。啉即) 嚣2 即 江3 i 3 ) 代替( 3 3 1 1 ) 前一方程我们有积分方程 ，t u ( ，e ) = o ( e 。v + 1 ) + 一1 域，口，s ，) 如。 ( 3 3 l 羔4 ) j 0 对( 3 3 13 ) ( 3 31 4 ) 用避次逼近法可证明对于充分小的e ，在曲线“= w o 的巢一个6 邻域中存在咚一解足满足估计铭( t ，) 一( + 1 ) ，( t ，f ) 一 p ( n + 1 ) ， 鼹以牾( ，) 一x e ) 5 0 ( n 1 ) 。定理证率 1 8 r e 怒r e n e e s l l l 醚，e 呔g m ，a | 珏l f 鑫l i y e v ，a 鑫靠娃ed j 融罄篮瑚e 是鲥妇矗es i 珏g h 脚辨 # 越r 务8 dp h f e 粥w 锺盎封。扛矗m 塘jb o n 妊d t ye o 珏d i 矗) j l ，a ；) p i i e dm 8 墟e 埘矗t 耙s8 舡d c n m p u t a 城m ，1 4 7 ( 2 0 0 4 ) 【2 la b v 酗i l y e 忱，v f b u l z o v ，a 8 y i n p t o t i c m e t h o d si n s i r i g u l 8 卜p e t u r b 8 t i o n t h e 。r y ，h 啦s c h o o l ，m 0 8 e 。w ，l 。9 。( 1 巍螂i 嬲) f 3 1a b v 轴i l y e v a ，v f b u l t 1 2 0 v ，a s y m p 如t i ce x p 8 n 8 i ) 娃。fe h es o l u t i 。n 蜘s i n g 越珏r - p 群t u r b e de q 髓髓融，醚遮hs 商o o l ，m 0 8 c 。w ，1 9 鳓，( i 1 1 技u s s a n ) 鞋je 霉e 砩8 0 n ，a 8 y m p t o t i c 嚣x p a n s i o n 8 ，踟疆酾d 妒a 抽eh 矗i v e r s i 锣_ p 鹏豁，l 7 l 翻a 。黯v a 8 i l e 懈，v ，b u t l z 。v ，s i 端u l 洲yp e r t u r b e de q u 龇i o 趟i nc r i t i e l ec 勰e ， 骶h n i 枞r e p o r tm r g t 8 r2 0 3