（应用数学专业论文）广义burgers方程的随机超敏感现象的数值研究.pdf

广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 摘要 超敏感现象和随机超敏感现象是一类非线性方程所特有的非常重要的性 质，研究它们具有非常重要的理论意义和实际意义。在确定性的边界扰动条 件下，b u r g e r s 方程和二维的广义b u r g e r s 方程展现出超敏感现象；在随机边界 扰动的条件下，b u r g e r s 方程和二维的广义b u r g e r s 方程展现出随机超敏感现象。 文中针对不同的边界条件，研究了b u r g e r s 方程的超敏感现象和随机超敏感现 象，并重点研究t b u r g e r s 方程在服从均匀分别的随机边界扰动下的随机超敏 感现象；同样针对不同的边界条件，研究了二维的广义b u r g e r s 方程的超敏感 现象和随机超敏感现象，并重点研究了二维的广义b u r g e r s 方程在服从均匀分 布和正态分布的随机边界扰动下的随机超敏感现象。针对b u r g e r s 方程和二维 的广义b u r g e r s 方程的超敏感现象，采用谱配置法直接积分方法求解方程，研 究方程解稳定状态过渡层的位置，并把部分数值结果与已有的渐进分析结果 和解析解的结果进行了比较；针对随机超敏感现象，为了求解含有随机项的广 义b u r g e r s 方程，采用广义多项式混沌表示该方程的解，使之转化为不含随机项 的方程组，进而采用切比雪夫( c h e b y s h e v ) 谱配置法进行求解；又因该问题没有 解析解，故采用传统的蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 数值模拟来对比验证所得结果。 关键词：随机超敏感性；随机边界扰动；广义多项式混沌；蒙特卡罗( m o n t e c a r l o ) 模拟；切比雪夫( c h e b y s h e v ) 谱配置法 n u m e r i c a ls t u d yo fs t o c h a s t i cs u p e r s e n s i t i v i y o fg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n a b s t r a c t s u p e r s e n s i t i 讥t 、，a n ds t o c h a s t i cs u p e r s e n s i t i v i t ya r ei m p o r t a n tp h e n o m e n o n o fac l a s so fn o n l i n e a re q u a t i o n sw i t he s s e n t i a lt h e o r e t i ca n dp r a c t i c a lm e a n i n g s s u b j e c tt od e t e r m i n i s t i cb o u n d a r yi n p u t s ，b u r g e r se q u a t i o na n d 2 dg e n e r a l i z e d b u r g e r se q u a t i o ne x h i b i ts u p e r s e n s i t i v i t yw h i l eu n d e rr a n d o mb o u n d a r yi n p u t s t h e ye x h i b i ts t o c h a s t i cs u p e r s e n s i t i v i t yl i k et h a tu n d e rd e t e r m i n i s t i cb o u n d a r y i n p u t s a c c o r d i n gt od i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，s u p e r s e n s i t i v i t ya n d s t o c h a s - t i cs u p e r s e n s i t i v i t yo fb u r g e r se q u a t i o na r es t u d i e de s p e c i a l l ys u b j e c t t ou n i f o r m r a n d o mb o u n d a r yi n p u t s a l s o ，2 dg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n ss u p e r s e n s i t i v - i t ya n ds t o c h a s t i cs u p e r s e n s i t i v i t y a l es t u d i e da n d w ef o c u so nt h a ts u b j e c tt o u n i f o r ma n dg a u s s i a nr a n d o mb o u n d a r yi n p u t s c h e b y s h e vs p e c t r a lc o l l o c a t i o n i se m p l o y e dt od i r e c t l yi n t e g r a t ee q u a t i o n st os t u d ys u p e r s e n s i t i v i t ya n dp a r to f r e s u l t sa x ec o m p a r e dw i t ha s y m p t o t i ca n a l y s i sa n da n a l y t i c a lr e s u l t s g e n e r a l i z e d p o l y n o m i a lc h a o se x p a n s i o ni su s e dt or e p r e s e n tt h er a n d o mp r o c e s s e st ot r a n s - f o r mt h ee q u a t i o ni n t oas e to fe q u a t i o n sc o n t a i n i n gn or a n d o m v a r i a b l e t h a tc a n b es o l v e db yc h e b y s h e vs p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d s a sn oa n a l y t i c a lr e s u l t s a r ea v a i l a b l e ，t r a d i t i o n a lm o n t ec a r l os i m u l a t i o n sa l ea d o p t e d t ov a l i d a t e t h e s o l u t i o n so b t a i n e df r o mg e n e r a l i z e dp o l y n o m i a lc h a o sm e t h o d s k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cs u p e r s e n s i t i v i t y ；r a n d o mb o u n d a r yi n p u t s ；g e n _ e r a l i z e dp o l y n o m i a lc h a o s ；m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ；c h e b y s h e vs p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d s 表格衣怕 1 1 对应于不同分布的广义多项式混沌( 0 有限整数) 一 5 2 1 谱点( n ) 加细对z 的影响；g = o 1 ，占= 1 0 1 0 2 2 稳定时过渡层位置表示渐进估计值，z 表示准确值知表示 我们积分所求的值 2 3 蒙特- 锣( m o n t ec a r l o ) 数值模拟结果和勒让德( l e g e n d r e ) 混沌结 果比较 1 3 1 3 1 7 3 1 在鲈= - 0 5 处，利用不同阶的勒让德( l e g e n d r e ) 混沌展式求 解乏和昵 2 5 3 2 蒙特卡( m o n t ec a r l o ) 模拟和勒让德( l e g e n d r e ) 混沌结果方法比 较7 2 6 插图 1 1当g = o 1 时，j = o 1 和艿= o 时，方程( 1 2 ) 处于稳定状态时的解 2 2 1 当= 0 1 ，j = - 0 1 和艿= 0 时方程( 1 2 ) 的解 1 1 2 2 稳定时过渡层的位置= 0 1 ，5 = - 0 1 ，0 ，0 1 线代表6 = 一0 1 ；+ 线 代表5 = 0 ：一0 线代表6 = o 1 1 2 2 3 利用勒让德( l e g e n d r e ) 混沌求得的当万一u ( o ，- 0 1 ) 且e = o 1 时， 方程f 2 1 2 ) 的随机解1 6 2 4 利用勒让德( l e g e n d r e ) 混沌求得的当6 一u ( o ，o 1 ) 且e = o 1 时，方 程( 2 1 2 ) 的随机解1 6 3 1 稳定时过渡层的位置p = l ，= 0 1 和6 ( 可) 兰0 1 3 2 稳定时过渡层的位置p = l ，8 = o 1 和6 ( 可) 兰- 0 1 3 3 稳定时过渡层的均值位置当p = 1 和e = 0 1 。 3 4 在口= 1 和g = o 1 利用四阶勒让德( l e g e n d r e ) 混沌求解得到的稳 定时过渡层的均值位置 3 5 沿y 轴稳定时过渡层的均值位置。“”线代表勒让德( l e g e n d r e ) 混 沌计算所得结果“x ”代表蒙特卡罗1 0 0 0 模拟结果 2 1 2 1 2 4 2 5 2 6 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： 年月日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 一象芬唧 签字日期： 帅产月可日 ， 电话： 邮编： 第1 章引言 超敏感现象是一类非线性方程所特有的现象，最早是被l o r e n t z 观察到 的。什么是超敏感现象呢? 对于此类方程，边界上微小的变动就会引起方程的 解产生巨大的变化，这就是超敏感现象，研究这样的问题非常具有实际意义。已 有的研究大都是集中于对确定性的边界扰动下进行渐进分析和数值研究，很少 有对边界变成随机扰动的条件下进行研究，边界扰动变成了随机扰动即边界扰 动是一个随机变量，原有的偏微分方程变成的随机微分方程，此时叫作随机超 敏感现象，求解这样的问题更为困难。因为在确定性的边界扰动下，这样的问 题一般都没有解析解，只能利用渐进分析和数值计算进行研究，而在随机扰动 的条件下，问题的求解将更加困难。随机边界扰动的假设，更加符合实际的现 实条件，因而研究此类问题更加具有实际的意义。 1 1 随机超敏慰性现象 本小节讨论什么是超敏感现象和随机超敏感现象，并给出超敏感现象的一 个具体实例。具有超敏感性的方程中有一类是这样的形式的方程 k a u + u l t + + t d i 口2 苎：，_ 1 n 1 ， 其中，a 是拉普拉斯算子，6 和是两个参数，是一个非线性函数，厂：r _ r 2 , u 是( - 1 ，i ) x r _ e 未知的实值函数。特别地，b u r g e r s 方程和二维广义b u r g e m 方 程是上述方程的特例。本文所要研究的就是b u r g e r s 方程和二维广义b u r g e m 方 程的超敏感性现象和随机超敏感性现象。 b m g e r s 方程 一锄芸2 + 饥+ 毗- 0 ，z - - 士，1 ) ，( 1 2 ) iu ( - 1 ) = 1 + 瓦 u ( 1 ) = 一1 、 7 和二维广义b u r g e m 方程 j g + 啦+ u 魄+ p 乱嘶5 o ，( 。，可) - - 1 ，1 ) - - 7 r ，7 r ) ， ( 1 3 ) i 训归一l = 1 + 正 u i 王：1 = 一1 、7 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 图1 1 ：当= o 1 时，6 = o 1 和6 = o 时，方程( 1 2 ) 处于稳定状态时的解 其中，占为边界上的一个有确定值的微小扰动，e 为粘性系数。方程( 1 3 ) 是方 程f 1 2 ) 在二维形式下的扩展形式。方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 的解都存在一个快速变 化的且宽度为0 0 ) 阶( 当s _ 0 时) 的过渡层，过渡层的位置随时间t 变化，它的 最终位置即当t _ o c 时解处于稳定状态时的位置对边界条件相当敏感。实际 上，即使是非常微小的边界扰动6 ，都会对过渡层的最终位置产生巨大的影响， 产生o ( 1 ) 阶的变化，这种现象就叫做超敏感现象。 下面给出一个具体的例子来解释超敏感性现象。以方程( 1 1 ) 为例，当e = 0 1 分别对6 = 0 和6 = 0 1 ，利用谱方法对方程直接进行数值求解，而6 = 0 意味 着没有边界扰动，6 = 0 1 代表了左边界上的一个扰动。定义u ( z ) = o 的解z 为过 渡层的位置。图( 1 1 ) 中，展示的是方程的解在稳定状态时的性状，实线代表的 是受到边界扰动的解，虚线代表的是未受到边界扰动的解。从图中可以明显看 到每个解都有一个快速变化的过渡层，当方程左边界受到6 = o 1 的扰动，方程 最终的过渡层的位置从z = o 向右偏移到了名= o 7 2 3 2 2 5 2 5 的位置，这可以很清 楚的展示了微小的边界扰动导致了最终解的巨大变化，这就是超敏感现象。 对方程( 1 2 ) 而言，边界扰动6 是一个确定值时，可以有两种情况： 1 6 是一个常数，且o 6 0 ( 1 ) ； 2 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 2 石是一个常数， z o - 6 d ( 1 ) 同样方程( 1 3 ) ，边界扰动6 = 巧( 可) ，, - p a 有三种情况： 1 6 是一个常数，且0 j d ( 1 ) ； 2 6 是一个常数，且0 - 6 0 ( 1 ) ； 3 6 = 6 ( ) 是y 的函数，但不恒为常数。 这几种情况都是我们所要研究的，方对于程( 1 2 ) 和方程( 1 3 ) 的第1 种情况， 已经有大量的渐进分析结果和数值研究结果，m g a r b e ya n dh a k a p e r 2 $ 1 j 用 渐进分析和数值计算的方法对在确定的边界扰动条件下的一维的b u r g e r s 方程 和二维的广义方程的超敏感现象进行了研究；而且本文特别重点研究的是方 程( 1 2 ) 的第2 种和方程( 1 3 ) 的第2 ，3 种情况。 前面介绍了超敏感现象，下面要介绍随机超敏感现象。b u r g e r s 方程 j 一三札+ u t + u u x = 0 ， z ( 一l ，1 ) ， ( 1 4 ) l “i z ；一1 = 1 + 正u i z ：l = - 1 ，6 = 万( u ) ，u q 、7 和二维广义b u r g e r s 方程 二e a u + u t + 妣+ 札嘶。0 ，( 删) ( 一1 ，1 ) ( 一丌，7 r ) ，( 1 5 ) l 毡1 2 ：一l = l + 正 u l 王：l = - 1 ，5 = 艿( u ，影) ， 甜之q 、7 其中，是拉普拉斯算子，q 是指某个概率空间，j 是服从某种分布的随机变量。 对于随机的边界扰动j ，方程( 1 4 ) 和( 1 5 ) 的解所存在的过渡层的均值位置同 样也会展现出类似于方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 在确定性边界扰动情况下的超敏感现 象，称为随机超敏感现象。 虽然对确定性边界扰动的超敏感现象和b u r g e r s 方程有了大量的研究，然 而对于随机的超敏感现象却很少有人研究( 3 】， 4 】， 5 】， 6 ， 7 】，( 8 】， 9 】，【1 0 】) ，而恰恰这 种问题更具有实际的意义，随机的边界扰动假设更加符合实际的边界扰动条 件。d x i u 1 1 利用广义多项式混沌研究了一维b u r g e r s 方程在随机边界扰动情况 下随机超敏感现象。然而对于二维广义b u r g e r s 方程在随机边界扰动下的情况 目前为止，没有人研究。本文所要重点研究的是方程( 1 4 ) 的边界扰动艿( u ) 和方 程( 1 5 ) 的边界扰动6 ( u ，秒) 满足：6 ( 0 ，) 是一个随机变量，且d ( 1 ) ，有连续 的概率密度函数1 ( 5 1 。 3 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 1 2广义多项式混沌和蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法 本文重点研究的是随机边界扰动条件下的随机超敏感现象，所要求解的方 程是随机微分方程。对于此类问题已经有很多方法，我们简单介绍以下两类方 法，一种是非统计类的方法：广义多项式混沌( 见 1 1 】j 【1 2 】，( 1 3 3 ，【1 4 】) ，另一种是属 于统计类的方法：蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法( 见 1 5 】) 。由于文中的方程很多情 况下没有解析解，所以分别利用广义多项式混沌和蒙特卡罗方法对比研究数值 结果，以保证结果的准确性和正确性。 1 2 1 广义多项式混沌 广义多项式混沌是g e k a r n i a d k i s 和d o n g b i n x i u 等人最近在不确定量化领 域发展的一种新方法。广义多项式混沌也n l w i e n e r - a s k e y 多项式混沌，是最初 的n o b e r t w i e n e r 数学理论的扩展和延伸。最初的w i e n e r 多项式噪声是采用埃尔 米特( h e r m i t e ) t 交多项式族来表示服从正态随机分布的随机变量和随机过程， 广义多项式混沌包含了w i e n e r 多项式混沌，不仅可以表示正态分布的随机变量， 还可以表示其他分布的随机变量，并且对应于不同的分布，采用相应的正交多 项式族来表示随机变量和随机过程。对应于不同分布的随机变量，选择合适的 正交多项式族，常常可以到达指数收敛的目的。 对于一个二阶的随机过程x ( u ) ，我们利用广义多项式混沌将它展为： x ( u ) = a o 而 o o + ：岛。，l ( q 。( u ) ) 翻= l + q 而如( q 。( u ) ，g ：( u ) ) i 1 = li 2 = i l i 2 + 白l i 2 t 。如( 白。( u ) ，g 。( u ) ，6 。( u ) ) 乱= 1 i 2 = 1i 3 = i + ( 1 6 ) 其中，( = ( 矗) 是礼维的随机变量，厶( 6 。，缸) 是与分布相对应的n 阶 的广义多项式。上式可以简记为 x ( u ) = 弓呜( ) j = o 4 ( 1 7 ) 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 厶( 6 ”6 。) 和呜( e ) ，弓和q b ，“之间存在着一一的对应关系。每一种类型的多 项式族都是正交多项式，都可以独立的构成一个完备的基底。各个广义多项式 项之间存在着如下的正交关系， 西碧j ) = ( 圣；) 妨( 1 8 ) 其中如是k r o n e c k e r 符号，( ，) 是关于变量e 的h i l b e r t 空间的内积符号， ， ( ，( ( ) ，夕( ( ) ) = ，( ) 夕( e ) w ( ) 武 ( 1 9 ) - ， 或者 i f ( 0 ，夕( ) ) = e ，( ) 夕( ) ( 二项分布 卡拉夫库克( k r a 毗c h o u k ) 混沌 o ，1 ，】- 负二项分布 梅克斯纳( m e i x n e r ) 混沌 o ，1 ，2 ) 超几何分布 哈恩( h a l l n ) 混沌 ( o ，l ，) 逼近任意一个随机变量，由于它们都构成一个完备的基底，但是并不是每一种 多项式族的逼近效果都是一致的，对于同一个分布采用不同的多项式混沌进行 逼近的效果相差很大，只有最优基底的效果是最好的，也就是表1 1 中的对应关 系。 利用广义多项式混沌可以来表示一个随机变量。假定随机变量可( “，) 有连续 的分布函数g ( y ) 和概率密度函数9 ( y ) 并且满足 ，可 a ( y ) = 夕( 可) 匆 ( 1 1 1 ) 5 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 让西( ) 表示一族广义多项式混沌，对应于的有分布函数f ( f ) 和概率密度函 数厂( ) 同样满足 f ( ) = 夕( ) ( 1 1 2 ) 夕采用如下的表示方式， 咖) = 擎m 喇舭= 锹 ( 1 1 3 ) 通常情况下，计算( ，) 都是在不同的内积空间里，所以经常是把y 和f 都映射到均 匀分布上： 可( u ) = g 一1 ( u ( u ) ) ，( u ) = f 一1 ( u ( u ) )( 1 1 4 ) 其中，让( u ) u ( o ，1 ) ，因此 ：蠕梨：去厂g - i ( n ) 吼( f 一，( u ) ) 砒(115)yk 2 丽2 雨上叩七【，舭【l 上式中的积分通常可以采用高斯求积公式进行计算。因而，若夕) 服从正 态分布，则取西七( ) 是埃尔米特( h e r m i t e ) 混沌：同理，若可( u ) 服从均匀分布， 则圣七( f ) 用勒让德( l e g e n d r e ) 混沌来表示。 利用广义多项式混沌来表示一个随机过程，需要采用多维的广义多项 式混沌，多维的广义多项式混沌圣( ) 是对应的一维展式的张量积，向量= ( 1 ，已，) 中每一个& 都与其他的相互独立。因此，为了表示一个随机过程，首 先需要把随机过程分解成独立的& 的函数的形式，又因为每一代都代表一个随 机空间，所以已的数量需要最小化。采用k a r h u n e n l o e v e 分解来解决这个问题。 对于一个给定的协方差函数为r h h ( x ，y ) 的随机过程危( x ；u ) ，其中x 和y 是空间 坐标，有限维的k l 展式如下： 左( x ；u ) = 无( x ) + 瓦也( x ) 矗( u ) ( 1 i 6 ) 讧l 万( z ) 是随机过程的均值，6 ) 是一组不相关的随机变量，如( x ) 和九是特征值问 题的解，进一步假定& ，i = 1 ，一，礼是相互独立的，那么广义多项式混沌是关 于= ( 1 ，矗) 的扎维展式。需要注意的是从k l 分解得到的已是互不相关的， 对于正态分布而言，它们一定是独立，然而对于其他类型的分布，却不一定是独 立的。文中涉及的问题，我们都假设k l 分解结果的是相互独立的。 6 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 1 2 2 蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法 蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法，或称计算机随机模拟方法，是以概率统计 理论为基础，以随机抽样为其主要手段，通过统计实验来达到计算某些参量的 目的。它的基本思想是为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的 问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过 对模型或过程的观察或抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解 的近似值。而解的精确度可用估计值标准误差来表示。 ：蒙特卡罗方法可以解决各种类型的问题，但总的来说，视其是否涉及随机 过程的形态和结果，可以把问题分为两类：第一类是确定性的数学问题：像计 算多重积分、求解积分方程、解某些偏微分方程边值问题和计算微分算子的特 征值等都属于这一类，这类问题的方法是，首先建立一个与求解有关的概率模 型，使所求的解就是我们所建立模型的概率分布或数学期望；然后对这个模型 进行随机抽样观察，即产生随机变量：随后用其算术平均值作为所求解的近似 估计值。第二类随机问题。例如中子在介质中的扩散等问题，随机服务系统中 的排队问题，解这类问题，常采用直接模拟的方法。 蒙特卡罗方法的收敛是在概率意义下是收敛，换句话说，对于蒙特卡罗方 法来讲，虽然不能断言其误差不超过某个值，但能指出其误差以接近1 的概率不 超过某个界限。蒙特卡罗方法收敛的速度与一般的数值方法相比是很慢的，其 主阶仅为d ( 1 2 ) ，因此，用蒙特卡罗方法不能解决精度要求很高的问题。问题 的维数的增加，使得问题的求解十分困难，传统的计算方法很难应对这个问题， 这就是”维数的灾难”；蒙特卡罗方法可以很好的用来对付维数的灾难，因为该 方法的计算复杂性不再依赖于维数，以前那些根本无法计算的问题现在也可以 进行计算。 本文需要使用蒙特卡罗方法来求解随机微分方程，对于部分微分方程边值 问题求解可以转化为差分方程，然后构造随机游动模型进行求解。本文中我们 使用如下的基本思想根据边界条件产生一系列的随机数，将随机数代入原方程， 这样原方程转化为微分方程，再利用已有的数值计算方法进行求解。求解随机 微分方程的基本步骤如下： 1 建立随机微分方程初值的概率模型f ( ；口) ，其中f 为函数形式，口为参 数向量； 7 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 2 按照概率模型f ( ；p ) 的特点，进行随机抽样产生一组伪随机数，臣p x o ； 3 将这些初值分别代入随机微分方程组，应用已有的求解微分方程的数 值方法进行计算求得一组解瓦。； 4 重复以上步骤m 次，计算解恐。的数学期望值，该期望值就是所要求的随 机微分方程的数值解。 蒙特卡罗方法的优点是特别适宜多维问题，计算时间仅与维数成比例，问题维 数的增加不会增加求解的难度。随着计算次数的增加，数值解将收敛于解析解， 但是弱点是收敛速度慢，且由于初值随机抽样的随机误差和求解微分方程的误 差，所以计算精度不高。 本文深入探讨了b u r g e r s 方程和二维广义b u r g e r s 方程的超敏感现象和随机 超敏感现象，重点研究二维广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象。第二章重点研 究b u r g e r s 方程的超敏感现象和随机超敏感现象。首先介绍b u r g e r s 方程在确定 性边界扰动条件下的超敏感现象，给出了方程的准确解，渐进分析结果和谱方 法直接积分的数值结果，然后分别利用广义多项式混沌和蒙特卡罗方法数值求 解b u r g e r s 方程，给出边界为服从正态分布的随机扰动的特例结果。第三章是重 点研究二维的广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象。二维的广义b u r g e r s 方程特 殊之处，是它没有准确的解析解，只有数值解；同样，二维的广义b u r g e r s 方程 的随机问题也没有解析解，只能进行数值研究。首先研究的是针对不同的确定 边界扰动下的超敏感现象，其次重点研究在随机边界扰动条件下的随机超敏感 现象，并给出在边界服从正态分布和均匀分布条件下的数值结果。 8 第2 章数值研究b u r g e r s 方程的随机超敏感现象 本章我们主要研究b u r g e r s 方程在确定性边界扰动条件下的超敏感现象 和在随机边界扰动条件下的随机超敏感现象。在2 1 节，研究 b u r g e r s 方程 的超敏感现象，介绍b u r g e r s 方程的准确解和渐进分析的结果，利用谱配置法 对b u r g e r s 方程进行求解，并将所得的结果与已有的渐进分析结果和准确解进行 了比较。在2 2 1 节，我们利用广义多项式混沌数值研究b u r g e r s 方程的随机超敏 感现象，特别地给出了边界扰动是正态分布条件下的数值结果。在2 2 3 节，利 用蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法对b u r g e r s 方程的随机超敏感现象进行数值模拟， 并跟广义多项式混沌的数值结果进行对比。 2 1 b u r g e r s 方程的超敏感现象 考虑b u r g e r s 方程 一g + u t + 毗2 o ，z ( 一1 ，1 ) ： ( 2 1 ) 【u ( 一1 ) = 1 + 瓦 乱( 1 ) = 一1 、7 其中6 是左端边界上的一个微小扰动，是粘性系数定义u ( z ) = o 的解z 为过渡 层的位置，z 随时间t 变化，记z 在时间t o 。解稳定时的位置为。 在本小节中，我们考虑下述的两种情况： 1 0 6 d ( 1 ) ，且6 是一个确定的值； 2 0 一6 d ( 1 ) ，且6 是一个确定的值。 解析解首先考虑第1 种情况。对于b u r g e r s 方程而言，由于其自身的重要性，有 大量的研究文献( 6 】， 7 】等) ，而且很多边值问题都有解析解，也有大量的数值研 究。对于方程( 2 1 ) 的问题，在稳定状态时，有如下形式的解析解： 心) = 一a t a n h 睦( z 一乏) 】 ( 2 2 ) 广义b u r ，g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 其中，缸是过渡层位置，满足 乱( ) _ 0 i a = 笔b 。 两个未知数z 和a 可由左右边界条件确定： a t a a h a ( 1 + ) 】= l a t a j l h 唉( 1 一) 】= 1 消掉，得 ( 14 - 6 + a 2 ) t a n h ( a e ) = ( 2 + 6 ) a 可以用迭代法求解上述方程。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 渐进分析现在已经有大量的文献( 3 ， 4 ，【5 】) 关于b u r g e r s 方程的超敏感性和其 它的粘性守恒法则的渐进分析结果。现简单的介绍一下关于b u r g e r s 方程的超敏 感性的渐进分析的结果。如果很小，并且6 满足 6 = d ( e 川5 ) ，6 ，e _ 0( 2 6 ) 那么存在一个常数a ( 0 ，1 ) ，且不依赖于占和暑，过渡层的位置随着t 4 t = t e 一 ( 2 7 ) 稳定时，过渡层的最终位置 z a 。= 14 - e i n ( 6 2 )( 2 8 ) 方程( 2 8 ) 表明，即使是非常小的d 都会导致过渡层最终位置的巨大变化，这就 是所谓的超敏感现象。 谱配置法b u r g e r s 方程的第2 种情况是本文提出的，没有相应的解析解和渐进 分析结果。本文将利用切比雪夫( c h e b y s h e v ) 谱配置法( 见【1 6 】，f 1 7 】，【1 8 】) 对b u r g e r s 方 程进行直接积分求解，该方法对两种情况都适合求解。由于方程的解对边界扰 动非常敏感，所以采用高精度的切比雪夫( c h e b y s h e v ) 谱配置法对方程进行直 接积分求解；又因要观察解在稳定状态下的解的性质所以需要对方程长时间的 积分。采用半隐式( 即对二阶导数隐式处理，对非线性项t z 显式处理) 的 1 0 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 图2 1 ：当= o 1 ，6 = - 0 1 和j = o 时方程( 1 2 ) 的解 格式对方程进行积分，由于所关心的是长时间稳定后解的性质，故只对时间导 数u 。采用一步的欧拉公式 一“羔+ ! 等( 让u z ) n t = 。，n - - - - - 1 , 2 , ( 2 9 ) 然而，因为过渡层的位置对边界条件极其敏感，所以要想展示超敏感现象，需要 高精度的求解方程。非线性项讹b 采用其等价形式( u 2 ) 霉2 进行计算方程的解用 一系列的切比雪夫( c h e b y s h e v ) 多项式和来进行逼近： 一l 矿( z ) = 啦互( z ) ， z ( - 1 ，1 ) ，t l ( c o so ) = c o s ( i o ) ，口= 7 r ( 2 1 0 ) i = 0 给定解的一个初始估计值俨= u ( ，t o ) ，开始计算一系列的矿n ，利用迭代公式 一e 。2 n + u n 面_ u n - t + p ( u n 一1 ) 2 2 = 。，= 1 ，2 ( 2 1 1 ) 符号d 表示切比雪夫( c h e b y s h e v ) 微分矩阵，时间步长t 是常数，扩n 表示在t o + n a t 时刻的解。整个积分过程是非常耗时间的而且为了保证计算的稳定性，需 要满足a t n 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 图2 1 展示的是在= o 1 ，边界扰动分别是d = - 0 1 和j = o 时，方程( 1 2 ) 的 解在稳定状态时的过渡层的位置，从图上可以看出，当6 0 时，过渡层的位置沿x 轴正向平移，当6 0 ，并且关于y 的是周期的，周期是2 ，扰动p 是y 的函数，石= 6 ( ) 。 在二维的情况下，( 3 1 ) 没有解析形式的准确解，而且f 1 】的渐进估计结果只是针 对，c 是一固定常数的情况进行了分析。对( 3 1 ) 进行直接积分仍是有效的求解 方法。采用类似于( 2 1 1 ) 1 q 半隐式格式：对“拓作隐式处理，对乱鲫，“和u u g 作 显式处理 一e u 凳+ u n l - - r ? 2 n - 1 ：g u 孑+ ( 乱) n - 1 - fp ( u ) 竹一 扎：1 ，2 ( 3 2 ) 在x 方向采用谱离散，不同的是在y 方向采用有限差分离散，u 乱z 和让疋采用等 价( 铲) 。2 和( “2 ) f 2 的计算形式，扩展欧拉公式如下： 一e 珑u n + u n l _ f u 死一- i = e 巧2 v n - - i + 仇( 矿n 一1 ) 2 2 + p 岛( 矿n 一1 ) 2 2 ，n ：l ，2 ( 3 3 ) 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 其中是d z 切比雪夫( c h e b y s h e v ) 微分矩阵，d 岔是八阶中心差分矩阵。八阶差分 公式采用如下的形式： ( u z ) n = 5 2 5 9 ( + 1 一乱n - - 1 ) 一2 7 7 5 ( + 2 一一2 ) + 1 7 5 ( u n + 3 一似n 一3 ) - 3 ( u n + 4 一u n 一4 ) 】( 6 5 5 2 0 ) ，n = 1 ，2 ， ( 3 4 ) 其中，h 空间步长。d 形式如下： d y - - 纛 3 1 7 52 7 7 5 - - 5 2 5 9 一33 1 7 52 7 7 5 1 7 531 7 5 - - 2 7 7 5 3 5 2 5 9 0 - - 5 2 5 9 一3 2 7 7 5 1 7 5- - 3- - 1 7 5 - - 2 7 7 51 7 5 3 3 5 2 5 9 一2 7 7 5 1 7 5 - - 3 由于过渡层沿着y 方向几乎是平行于x 轴的一个平面，在算法( 3 2 ) 中y 实际上只 起到了参数的作用，所以没有必要采用谱离散，相反采用有限差分反而更容易 控制y 方向上“蛐和的误差。图( 3 1 ) 给出了方程在e = o 1 ，p = 1 和6 ( 可) 三o 1 的条件下的方程( 3 1 ) 解的在稳定状态时过渡层的图像。图( 3 2 ) 给出了方程 在e = 0 1 ，p = 1 和6 ( 掣) 三- 0 1 的条件下的方程( 3 1 ) 解的在稳定状态时过渡 层的图像。 3 2 二维广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象 当方程( 1 5 ) 中6 的变成了随机变量，也就是在随机边界扰动的条件下，方 程同样会展现出超敏感现象。在这种情况下，方程没有已知的解析形式的解；且 因为6 是随机变量，方程变成了随机微分方程，无法像对确定性的扰动那样直 接进行积分求解，因而我们采用蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) ：y 法和广义多项式混沌 进行求解。 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 1 5 1 0 5 ： o - 0 5 - 1 1 y - 1 1 x 图3 1 ：稳定时过渡层的位置p = 1 ，= o 1 和j ( ) 兰o 1 o 5 o j - 0 5 - 1 - 1 5 1 y 1 - 1 x 1 图3 2 ：稳定时过渡层的位置p = 1 ，g 寻o 1 和j ( 秒) 三- 0 1 2 1 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 3 2 1 广义多项式混沌 考虑二维广义b u r g e r s 方程 j e a u + u t + u u x + p u 魄= 0 ， ( z ，y ) ( 一1 ，1 ) ( 一7 r ，7 r ) ， l 训霉：一1 = 1 + 5 ， u i z ：l = 一1 ，6 = 6 ( u ，可) ， u q ( 3 5 ) 的边界扰动6 = 6 ( u ，可) ，广义多项式混沌展式的有限项和形式采用如下的形式： m 乱( z ，y ，t ；u ) = 讹( z ，玑亡) 圣i ( ( u ) ) ( 3 6 ) i = o 其中吖是展式的最高阶。代上式入( 3 5 ) 中，得到 叫姜掣丢m 掣蚴+ 萎掣 量i = o 釜j = o 引，掣或呜+ p 釜i - = 0 量j = o 姒z 幽d 丝笃掣晚奶 v 山 v f = 0 ( 3 7 ) 然后作伽辽金( g a l e r l c i ) 投影到基函数圣七上，利用利用基函数的正交关系 ( 圣t ，西j ) = ( 圣；) 如( 3 8 ) 其中西是克罗内3 乞( k r o n e c k e r ) 6 函数，( ，) 表示希尔伯特( h i l b e r t ) 空间上的内 积，得 一( 铲( z ，y b x 2 ，t ) a 2 札 。一。一 k ( x ，y ，t ) a 秒2) + 掣+ 南c 丢m m 讹( 删棚掣+ p 喜m 薹m 讹c z 幽。丝业，e 。 = 0 ，k 0 ，m 】( 3 9 ) 其中七= ( 西t 呜圣詹) 和( 峨) 都能根据广义多项式混沌的定义确定。方程组( 3 9 ) 就变成了( m + 1 ) 个不含随机变量的联立的非线性方程组，就可以采用已知的 数值解法进行求解，边界扰动条件也要展成相应的有限项多项式和的形式。 广义b u r g e r s 方程的随机超敏感现象的数值研究 3 2 2 均匀分布的随机边界扰动 假定一u ( o ，o 1 ) 是( o ，o 1 ) 上服从均匀分布的随机变量，是的随机变量 在q = p = 0 ，f b e ( o , o ) ( o ，o 1 ) 时的特例，跟p 型分布对应的正交多项式是勒让 德( l e g e n d r e ) 多项式。方程( 3 5 ) 服从如下的边界条件 i 6 ( y ，u ) = s i l l ( 7 r y ) f ， u ( - 1 ，y ) = l + s i n ( 万夕) ， ( 3 。1 0 ) i 让( 1 ，y ) = - 1 将= 享+ 盯卵带入( 3 1 0 ) 式，则边界条件展成如下的形式 十血( 7 r y ) 手) + s i n ( m y