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哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 用新的加速迭代格式求解奇异问题 摘要 在实际应用中出现的很多方程均为奇异非线性方程，如鞍点，分歧点， 折点等【l 2 ，3 4 1 。研究奇异问题的数值解法具有重要的实际意义。近年来许多 迭代格式的收敛性的研究都是针对非奇异问题而言的，因此研究迭代法求解 奇异问题在理论上也是一种补充。d e c k e r ，k e l l e y ，h b k e l l e r 等人研究了 用牛顿法，c h o r d 法和拟牛顿法等求解奇异非线性方程，证明了其收敛定理 并得到了相应的渐近收敛速率。本文主要研究在几乎不增加计算量的前提下， 利用空间几何性质构造多步迭代格式来求解奇异非线性方程，从而得到更好 的渐近收敛速率。 本文研究了奇异非线性问题的几种数值解法，研究内容如下： 首先，对原有方法进行改进，构造了新的求解奇异问题的加速迭代格式， 证明收敛性定理，给出收敛速度估计。 其次，本文对彤上的一类非线性奇异算子方程，给出了行列修正拟牛顿 法，其迭代序列收敛于，此方法保持稀疏性同时保持对称性，并且给出此 方法收敛的充分条件及其收敛速度估计。 最后，外推法在级数计算、圆周率计算、差分及有限元等方面有着广泛 的应用，在h i l b e r t 空间中，将外推技巧和k i n g w e m e r 方法相结合，构造了新 的迭代格式，应用到求解奇异问题当中，在几乎不增加计算量的情况下，提 高了原有方法的渐近收敛速度。 关键词奇异问题；加速迭代格式；拟牛顿法；外推法；收敛性 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 n e wa c c e l e r a t i o ni t e r a t i v em e t h o d sf o rs i n g u l a r p r o b l e m s a b s t r a c t m a n ye q u a t i o n sa r i s i n g i n p r a c t i c a la p p l i c a t i o n a r es i n g u l a rn o n l i n e a r e q u a t i o n s ，s u c ha s s a d d l ep o i n t s ，b i f u r c a t i o np o i n t sa n df o l dp o i n t se r e s o s t u d y i n gt h en u m e r i c a lm e t h o do fs o l v es i n g u l a rp r o b l e m sh a sv e r yi m p o r t a n t p r a c t i c a lm e a n i n g m o s ti t e r a t i v em e t h o d sa r ew e l ls t u d i e df o rn o n - s i n g u l a r p r o b l e m s ，s ot h er e s e a r c hf o rs o l v i n gs i n g u l a rp r o b l e m s i sac o m p l e m e n t a r yt ot h e n o n l i n e a rt h e o r y d e c k e r , k e l l e y ，h b k e l l e rh a v es t u d i e dn e w t o nm e t h o d ， c h o r dm e t h o da n d q u a s i n e w t o n m e t h o df o r s o l v i n gs i n g u l a r n o n l i n e a r e q u a t i o n s ，t h ec o n v e r g e n c et h e o r e m i s p r o v e d a n dt h ea s y m p t o t i cr a t eo f c o n v e r g e n c ei so b t a i n e d w i t h o u ta d d i t i o n a lc a l c u l a t i o n s ，m u l t i s t e p i t e r a t i v e m e t h o d sa r ec o n s t r u c t e df o rs o l v i n gs i n g u l a rn o n l i n e a rp r o b l e m sb ys p a c e g e o m e t r yp r o p e r t i e si n t h i sp a p e r ，t h eb e t t e ra s y m p t o t i cc o n v e r g e n c er a t e sa r e o b t a i n e d s e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sf o rs i n g u l a rn o n l i n e a re q u a t i o n sa r es t u d i e di n t h i sp a p e r ，t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t ，t h eo r i g i n a lm e t h o di si m p r o v e d ，n e wa c c e l e r a t i o ni t e r a t i v es c h e m ei s c o n s t r u c t e d ，i t sc o n v e r g e n c et h e o r e mi sp r o v e da n dt h ee s t i m a t i o no ft h e c o n v e r g e n c er a t ei sg i v e n s e c o n d ，f o rac l a s so fn o n l i n e a rs i n g u l a re q u a t i o n si nr 一，ar o w 。c o l u m n u p d a t eq u a s i - n w e t o nm e t h o di sg i v e n t h ei t e r a t i v es e q u e n c ec o n v e r g e s t ox ，t h e m e t h o dk e e p ss p a r s i t ya n ds y m m e t r y t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fc o n v e r g e n c e a r eg i v e na n dt h ec o n v e r g e n c es p e e di se s t i m a t e d t h i r d ，t h ee x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u ei sa p p l i e dw i d e l yi n s e r i e sc a l c u l a t i o n ， c i r c u m f e r e n c er a t ec a l c u l a t i o n ，d i f f e r e n c ea n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s t h e e x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u ea n dk i n g - w e r n e rm e t h o da r ec o m b i n e dt o c o n s t r u c ta i l 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 n e wi t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n gs i n g u l a rp r o b l e m si nh i l b e r ts p a c e w i t h o u t a d d i t i o n a l c a l c u l a t i o n ，t h ea s y m p t o t i c l i n e a rc o n v e r g e n c er a t ei s i m p r o v e d g r e a t l y k e y w o r d ss i n g u l a rp r o b l e m s ，a c c e l e r a t i o n i t r a t i v es c h e m e s ，q u a s i n e w t o n m e t h o d ，t h ee x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u e ，c o n v e r g e n c e i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文用新的加速迭代格式求解奇异问 题，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作 所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人己发表或撰写过的 研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。 本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：王弁处日期：勘听年争尸8 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 用新的加速迭代格式求解奇异问题系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位 期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有， 本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于 保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允 许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密，口在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名：王会久日期：么哆年牟月矿日 导师签名： 日期：加。7 年中月吕日 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究的目的和意义 随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善，在相当长的时间内， 线性问题得到了很快发展，而非线性问题发展较慢，而在很多实际问题，如物 理现象中的孤波和孤子，生物科学中的捕食和反捕食等都可归结为在b a n a c h 空 间中求解非线性方程【5 6 】 f ( x ) = o 解的研究问题。所以非线性问题是现代数学的主要研究课题之一。这不仅是由 于科学技术发展的需要，而且也是由于计算机技术的高度发展为解决这类问题 提供了可能。非线性问题的研究在科学中不仅重要而且带有根本性。由于其具 有广泛的实际背景和重要的理论价值，一直是数学分析学者乃至数学大家，如 k a n t o r o v i c h 和s m a l e 等人所感兴趣并参与研究的热门课题之一。在非奇异情况 下，以牛顿法为代表的迭代方法是求解非奇异非线性方程的重要手段之一；所 以一直是非线性问题求解的重要领域。求解方程f ( x ) = 0 的牛顿迭代及其变形 的研究，以o s t r o w s l d ，k a n t o r o v i c h ，s m a l e 和王兴华为代表的学者在收敛性、 收敛速度和加速迭代格式方面取得了丰富的成果口8 9 10 1 。主要结果有以下几个方 面： 一、如何构造计算量少而收敛速度比较快的迭代格式。许多人在这方面做 了大量的工作，产生了一系列变形算法；如，k i n g - w e r n e r 方法1 2 1 、双曲迭代 和h a l l e y 迭代法【1 3 1 等，并且由此衍生了计算效率指数和计算复杂性的研究。 二、为避免求逆运算，由此产生了一系列迭代技术。如，拟牛顿类方法、 c h e b y s h e v 法和c h o r d 法等【1 钔。 三、一般来说，牛顿类迭代为局部收敛，所以对初始值而选取要求苛刻，如 何构造大范围收敛的迭代格式成为牛顿法研究的一个热门课题。如，单纯形方法 和连续同伦法等。 四、代替牛顿法的区域性假设而用一点信息，由此产生的点估计假设条件 在近年来研究十分盛行。 五、近年来，给出各种迭代格式的最佳误差估计也是人们十分感兴趣的课 题。对许多方法已经得到了最佳误差估计，并且衍生出了许多研究的技巧和方 法。 六、为减少内存和并行计算，人们尝试将大问题分为几个小问题计算，此 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 方向研究例子如分裂牛顿法。 以上都是针对非奇异情况，但在许多实际应用中，f ( x ) 在解点x 处的导算 子是奇异的，即if f x ll 不存在。于是奇异问题引起了人们的广泛关注。另一 l 、 ，j 方面，许多数值方法都是针对非奇异问题，讨论其收敛性、收敛速度、收敛格 式的形态等，对于奇异问题讨论其节点附近的性态，对非线性问题的研究在理 论上也是一种完善。为此引起人们的广泛兴趣，并且在近年取得了许多优秀成 果。 本文主要是在前人所做工作基础之上，构造一些新的迭代格式，在不增加 计算量的前提下，使收敛速度有所提高。 1 2 国内外研究现状分析 1 2 1 国内外奇异问题的研究现状 1 9 6 6 年，l b r a i l 首次提出在一元实函数情况下，牛顿法在奇异点处的收 敛性质，并发现l n e w t o n 法很有效而且能改成平方收敛【i6 】。 1 9 7 0 年，对于一个一般空间ec a v a n a g h 假设f ( x ) 在解点，处的某一个去心 邻域非奇异推广了r a i l 的结果。 1 9 7 8 年，g w r e d d i e n 指出c a v a n a g h 的条件是苛刻的并且实际应用的价值 很低，要保证f f x 1 奇异情况下收敛的条件更为严格【i7 】，于是他放宽了这个条 件【1 8 1 ，提供了牛顿法的可行性，然后g r i e w a n k 和o s b o r n e 给出了文献 1 8 的几何 解释【1 9 2 0 1 。 1 9 8 0 年，d e c k e r 和k e l l e y ：牦 r e d d i e n 的结果推广到了零空间为有限维的情况。 19 81 年，g r i e w a n k 和o s b o r n e 在此基础上做了一些推广，使它的收敛速率得 一 到提高【2 1 1 。 1 9 8 3 年，d e c k e r 和s u r e s h 在n e w t o n 法的基础上作了一些修改，得到了相应 的收敛性( 2 2 】，d e c k e r ，k e l l e y ) 3 乏k e l l e r 等人进一步研究了在零空间的维数为有限 维情况下的n e w t o n 方法的收敛性及误差估计【2 3 1 。 1 9 8 5 年，d e c k e r 又和k e l l e y 得到了b r o y d e n 法的收敛性【2 4 1 。为得到更好的收 敛效果，d e c k e r 和k e l l e y 改善- f n e w t o n 法，加速了零空间的收敛速度，使它达到 和非奇异情况一样的平方收敛【2 5 1 。 ， 1 9 8 8 年，为得到一般性的结果，潘状元等人又在零空间为有限维情况下讨 论了它的收敛性并且得到相应的误差估计 2 6 , 2 7 】。 1 9 9 0 年，杨忠华用外推的方法得到新迭代格式【2 引，它的计算量与c h o r d 法相 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 比基本相同，但收敛速度却比c h o r d 法快得多，它是次线性收敛。而后潘状元又 在杨忠华论文的基础上做了改进，得到了相当好的收敛效果。 1 9 9 7 年，龚清礼把p e n r o s e 和m o o r e 提出的广义逆矩阵加以推广【2 9 】，给出了奇 异方程解的求法。 2 0 0 6 年，刘静、韩丹夫从带一个参数的三阶迭代族( 其中包括h a l l e y 迭代， c h e b y s h e v 迭代和超h a l l e y 迭代) 出发，推出避免二阶导数计算的带两个参数的 迭代族。在n e w t o n - k a n t o r o v i c h 型的假设条件下，通过用一个递推关系证明了此 迭代族的三阶收敛性，并给出了非线性算子方程解的存在唯一性定理。 2 0 0 8 年，吴国桢等人在l i p s c h i t z 条件下，建立了求解奇异非线性方程组的解 n e w t o n 法的判别条件，同时也给出了n e w t o n 法收敛球的半径估计。 1 2 2 国内外对奇异问题的分析 r a i l ，r e d d i e n ，d e c k e r ，k e l l y 等人对奇异问题做了较为系统而又有创建性 的工作。关于奇异问题的收敛性质，大致可以这样来描述：b a n a c h 空间e 可写 成e = n ox ，其中，x 分别是f i 工+ 1 的零空间和值域空间。设 矗 是迭代序 列，那么当迭代序列收敛时，我们定义 尺= 舰怜( 毛+ 1 - - x * ) | i | | 昂( 吒o ) 8 为该迭代法的渐近收敛速率，它在一定程度上反映了方法的好坏。对奇异问题 收敛性的证明往往存在着两方面的困难：( 1 ) 如何确定f ( x ) 的可逆区域；( 2 ) 如 何保证迭代法继续下去，即对于上述区域中的任意初值，如何使得初值以后的 相继迭代点仍在这个区域中。以往的工作大多是围绕这两方面展开的。g r i e w a n k 对( 1 ) 作了探讨，他指出，在掣中总存在一个星形区域 a = 工l 矿x a ，t h e n2 x + ( 1 2 ) x a ，v 允( 0 ，1 ) v x a ，使得f ( 工) 可逆，并给出了f ( 工) 逆的表达式。接着d w d e c k e r ，h b k e l l e r 和c t k e l l e y 把它概括成一个在b a n a c h 空间的同样结果，且给出了星形 区域的比较具体的、更为一般的形式。从而基本上解决了f ( x ) 的可逆问题。以 上的方法应用到求解奇异问题时几乎均是平方收敛，本文将寻找一种新方法， 在不增加计算量时却能使收敛速度有所提高。并且利用空间几何性质1 3o 3 1 1 ，对 此方法进行多步迭代来求解奇异问题。 1 3 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师的国家自然科学基金项目。主 哈尔滨理工人学理学硕：卜学位论文 要针对如何用加速迭代格式求解奇异问题，并给出改进格式的收敛速度。 1 4 本文主要研究内容 总结前人所做的工作，我们看到，对奇异非线性方程的研究已经取得了很 多具有代表性的成果，但是为了更好的解决奇异问题我们将从以下几个方面入 手： l 、n e w t o n 法是求解奇异非线性问题的重要方法，并在这方面取得了许多 成果。本文将构造一类加速迭代格式用来求解奇异问题，并将证明此方法的收 敛性。 2 、f l 抒b r o y d e i l 方法成功地减少了牛顿法在求解非线性方程时的计算量， 所以一直以来深受人们的关注。因此，本文将构造一类新的迭代格式，即行列 修正拟牛顿法用来求解奇异问题，并将证明此方法保持稀疏性同时保持对称性。 再不增加计算量的前提下将使其收敛速度有所提高。 3 、外推技巧简便易行，在级数计算、圆周率计算、差分及有限元等方面有 着广泛的应用。因此，本文将构造一类新的迭代格式将k i n g - w e m e r 方法推广到 求解高阶奇异问题，并将证明其收敛定理及得到了相应的渐近收敛速率。 最后，指出在求解奇异非线性方程的过程中最棘手的问题便是计算量很大， 因此我们应该在以后的工作中寻求更简单的方法。 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 第2 章用加速迭代格式求解奇异问题 2 1 引言 设f 为b a n a c h 空间b 到b 的光滑非线性算子，为方程f ( 工) = o 的解。即 f ( x ) - - o 如果f f x 。1 可逆，则牛顿迭代序列 吒= 毛一f ( ) q f ( 毛) ，疗0 ( 2 1 ) 当初始点而充分接近工+ 时，此序列为平方收敛3 3 1 。如果f ( x + ) 不可逆，我们 称x 为奇异点，此时( 2 1 ) 不平方收敛于，。但是，如果而的选择不仅靠近， 而且在一个特殊的区域里，那么此序列为线性收敛f 3 4 1 。 2 2 预备知识 假设，( 工) 是奇异算子，为f ( x ) 零空间，x 为f ( 工) 值域，用昂表 示尺”到n 上的投影，用只表示r ”到x 上的投影且f ( x ) 有一维零空问满足： r “= x o n ，昂= j 一最 ( 2 2 ) 假设唬且满足= 目f ( 工。) ( 晚，昂) 是上的可逆算子。 记 形( p ，p ，7 7 ) = x i o h p ，i i 最孑| | p 0 目舅i i ，| | ( 昂一蜀) 王忙印0 晶j 吣 ( 2 - 3 ) 其中舅= x x 定理2 1 假设式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 成立，且万，歹，万为充分小的数，则对于充分 小的p ，否，毋，如果而形( p ，痧，毋) 且吒( 厄歹，彳) 时，牛顿迭代线性收敛于x ， 且满足【3 5 3 6 1 煅谢= 圭 当f ( 工+ 1 奇异时，牛顿迭代序列线性收敛于x ，我们是否能将此序列进行 适当的修正使其超限性收敛于x 呢? 这个问题引起了很多学者的注意，如果这 一猜想能成立的话，将需要比定理2 1 更多的限制条件。定理2 2 便解决了这个 问题【3 刀。 在陈述定理2 2 之前，我们先定义 哈尔滨理丁大学理学硕十学位论文 w ( p ，p ) = 纠o o 、 而w ( p ，口) ，则对于以0 ，以，z n ，毛+ i 如下定义 = - f ( ) 1 ，( ) 乙= 以- f 。( ) - 1 ，( 以) ( 2 5 ) 毛+ 。= 磊- 2 f ( 乙) 。1 f ( z n ) 则存在墨 0 ，当刀1 时有下式成立 i i 耍1 l - - - g i 艮。1 1 2 在式( 2 4 ) 的假设下，加速迭代格式( 2 5 ) 是超线性收敛的【3 舶。此时需要n 的 维数为一或二。在这篇论文里，只需要定理2 1 的假设，给出一种加速迭代格式 使其仍为超线性收敛。 现在，给出一些定义：当x e e 时，d i ( x ) 为n 上的算子 d l ( 石) = 目，。( 石) ( 殳，目) 如果式( 2 2 ) 成立且对于充分小的p ，秒，r ，当x ( p ，口，r ) 时d l ( 石) 可逆。令 v ( x ) - - d , ( 石) 。1f 。( x ) ( 曼) 3 定义后= 艇旷s ( u 加p 。神h _ 2 陟( 工) i i 在假设下，当七= o 等价于昂f 。( x ) 2 o 。下面给 出这一章的主要结果。 定理2 3 设定理2 1 的假设成立，当歹，歹，彳充分小时，且口( o ，1 ) ，c r ， x o ( 岛，o o ，r i o ) 则对于以0 ，以，瓯，+ i 如下定义 = - f 。( 毛) 1f ( 吒) 皖= f 。( y n ) 。1 ，( 咒) 一 ( 2 6 ) 吒+ 。= 此一( 2 一c i l 8 1 1 口) 瓯 则 吒 收敛于，j t 4 存在k 0 ，当屯( 矽，歹，万) 时 i i 元+ 。0 k0 最| l l + 口 如果k = 0 ，当c 充分大时口专1 。 当口 4 帕一1 时，式( 2 6 ) 的收敛速度将会更快。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 定理2 4 设c r 且口( o ，2 ) ，k = o r 定理2 1 的假设成立。则当扁，o o ， 充分d , r x o w ( p o ，o o ，r o ) 时只，乞，瓯，+ 如下定义 鬟二搿- l 怒乏饕) 2 一豫c l l 瓯1 1 ) 瓯p 7 ，乙= 以一f ( 只) _ f ( 以) 吒+ 。= 乙一 一 口) 瓯 、 。 则 毛) 收敛于x ，且存在k 0 ，当( 歹，秒，万) 时 陬。i i - o 满足 0 最硎k8 昂j l l l l 只戈l i + 屈( x ) = 锻( 石) + 层( x ) 引理2 2 令x w ( p ，0 ，刁) c 矿( p ，痧，毋) 且y = 工- f ( x ) 叫，( x ) ， z = y - 2 f ( y ) 叫f ( y ) ，则y w ( p ，0 ，矿) 且满足 昂三= 去矿( 夕) + 昂q ( y ) 。昂f 。x ) ( 歹，最夕) + 屈( 工) = 圭y ( 夕) + 锻( z ) + 屈( 石) 最三= 一最夕+ 屈( x ) 式( 2 8 ) 的证明只需在引理2 1 的条件下即可，式( 2 9 ) 是引理 三= 2 佤v - ) 的结果，其中w = y - f ( y ) 叫f ( y ) 。 引理2 3 令石w ( p ，0 ，刁) c 形( p ，舀，毋) 且y = z 一声( x ) 。1f ( x ) ， 则y w ( p ，秒，虿) 且满足 7 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 2 1 和 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 f ( j ，) 卅，( j ，) = 寺昂夕+ 昂厦( 工) + 铭( x ) + 压( x ) = 昂舅+ 蝎屈( x ) + 昂屐( x ) + 锻( 工) + 屈( x ) 证明对于刀0 有下式成立 岛= 1 1 毛1 1 ，幺= i i s ：1 i s , 舅1 l ，仉= i i ( 目一昂) 最l | | i 目矗0 则见，幺以适当的速度减小以保证对于任意n 有仉万成立。由上面的假设可以 得到 岛= 届坩( 毛一。) 因为 y o = x o - f ( 而) 叫f ( 而) z o = y o - 2 f ( 儿) 。1f ( y o ) 所以，如果给定磊，五，则有 墨= 。+ c 1 1 8 0 l l 口8 0 z o c 五2 由引理2 3 得 0 磊= 4 叫0 r 磊i 广( 1 + 岛属( ) + 届( 而) ) 8 = 4 ”0 昂氟+ o o p o ( 而) + 属+ 。( 而) 因此 1 1 6 0 l l “磊= 2 - 2 - 2 ai i 目j i d 昂磊+ 岛最展+ 口( ) = 岛属+ 口( 而) + 晶屐+ 口( ) + 属+ 半( x o ) 令允= c 2 - 2 。2 。我们可以得到式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 的收敛结果 只i = 一足成+ 岛履+ 口( j c o ) + 层( x o ) = 岛屈( ) + 屈( x o ) 昂墨：x l l p j o l l 口昂磊+ 去矿( ) + 岛屈+ 。( 而) + 屐帕( ) ( 2 - 1 1 ) 由引理2 2 知y o w ( p o ，o o ，万) ，因此 ( 1 一岛) 0 r 或0 0 死0 ( 1 + 岛) l i 昂或0 由式( 2 8 ) j m ：l e o 0 满足 ( 丢一c j 岛) ( - + a o ) 一岛( 喜一c j o o ) l l p j o l l l i p s ol ( 丢+ o o o ) l i p j - o i i ( 丢+ 岛) ( t 一岛) 岛 一8 一 嗡刃；浜理工人学理学硕士学位论文 因此，当岛充分小时 ) h 徘后( 三嘲) 2 ( - 一o o ) 。1 露s 竽 为了更好的估计式( 2 - 1 1 ) 中的i 1 矿( ) + 属+ 。( x ) ，给出下式 0 吉矿c 蜘，+ 履+ ac x ，8 麦三孑 ：三：三三： c 2 - 2 ， 其中为正的常数。 因为 x oe w ( ：o ，o o ，吼) c 矽( p ，秒，7 7 ) ，o + e o ) p o - o 使得下式成立 当后20 ，口 0 ， i 恢墨0 c 3 ( 岛+ 岛) 虏 当p o ，o o 充分小时有 幺= 矧裔( 脯口 同理由式( 2 1 3 ) 敖ij c 5 0 使得 辟= 0 i0 8 昂i l + 1 1 只暑0 c 5 魂+ 口 令，( o ，1 ) ：如果后o ，口 1 ，适当的选取皖，岛有下式成立 刍( 岛+ a o ) p ；：哪 ，8 0 , c s p 5 + r 岛 从式( 2 一1 1 ) 和式( 2 一1 2 ) 可得， 9 哈尔滨理t 大学理学硕七学位论文 如果口 0 使得 d 。硝口最墨l | 0 时 吒= 4 吃+ & 岛2 - a ，f = m a x ( r , ，2 吨) 令k 为最小的实数且满足 岛“( x ) ( z l $ o o o $ z k + ，) 0 ( 2 - 1 5 ) 其中 弓) e 。假设唬n ，h 为上的可逆算子且定义为 h = p m f “1 ( x ) ( 鲇，训 在一些文章中k 定义为奇异算子的阶 4 0 l ，关于更高阶根的定理陈述如下： 令q ( x ) = 昂f “1 ( x ) ( ( 目舅) ，r ) ，如果x 缈( 声，g ，彳) ，则q ( x ) _ 存在， 结果是 引理2 4 4 u 若存在n ，使日作为上的算子可逆，当p ，秒，r 充分小时， 坛w ( p ，口，r ) 时f ( x ) 可逆。若令y = x - f ( 工) 。1f ( x ) ，则砂形( 夕，p ，r 1 ) ，且 有 ，( x ) = l 。( x ) 夕= p 孑2 + o p 局( x ) + 岛色( x ) + 屈( x ) i i p x 歹0 i l p i l l l l p x 舅i i + 屈( x ) 其中为某常数。 弓i 理2 5 4 2 1 设z = y - 2 f ( j ，) 。1 r ( y ) ，则有 肌2 = y ( 夕) 6 + 日色( 工) + 历( x ) p x 乏= 一p x 多+ 8 ，0 x 、 引理2 6 1 令岛= 1 1 量1 1 ，吃= l i p x 孟, l l l l p 磊l i ，r l = 0 ( m - p o ) 舅, l l i p 最0 ，对于 上述引理中的y ，有 f ( y ) 1r ( y ) = p 舅4 + 口p 层( x ) + p 历( x ) + 岛色( x ) + 孱( x ) ( 2 1 6 ) 2 4 主要结果 2 4 1 新的加速迭代格式 在一定条件下，前人已经证明了上述定理的收敛性并得到了误差估计 h 一工i i k l l x 一工r ( o 口 t ) 他们指出：c 和口的选取对收敛速度有很大影响，c 和口的最佳选取是人们正在 研究的问题。 本文构造了下列迭代格式： 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 以= - f ( 毛) 一f ( 矗) 乙= 以一f 。( 此) - 1 ，( 虬) 瓯= ，( z 。) - 1f ( 乙) 吒+ 。= 乞一2 0 瓯0 矽( 8 哦8 ) ) 瓯 兵中c p ( o , r ) jr + 为一连续函数，且满足下列条件：当厶气和s 很小时， n l i m 伊( f ) 2 0 2 ) 若q s _ t ：a 2 s ，则存在常数q ，c 2 ，使得q 伊( j ) 矽( ，) 乞缈( j ) 3 ) 序列满足吒矽( 乙) ，贝 j 有南收敛。 用展( x ) 表示阶为o ( 1 1 戈1 1 l 的项，并设 矿( x ) = i p x f ( 川x ，氐) 一f ( x ) ( 尹) 拈糟册m 俐2 ) 0 糟i 口伊灯 ( 2 1 7 ) 有 2 4 2 定理的证明 定理2 5 设k = 0 ，若存在n ，使得日作为上的算子可逆，设歹，瓦彳 为固定的充分小的正数，使得当z ( 声，瓦万) 使引理成立，则当p o ，o o ，r i o 充分 小时，x w ( p o ，o o ，r o ) ，由式( 2 一1 7 ) 产生的序列 吒 收敛于，形( 历瓦彳) ， 且有 k 。i i - - - k l l 贾a 2 伊( 俐1 ) k 为常数。 证明由引理2 6 知 1 1 6 0 1 = l l p 磊0 4 + 岛屈( 而) + 厦( x o ) 故存在常数q ，e 2 使 ( ( 1 - 0 0 ) 4 一q 岛一q 风) 岛8 0 ( ( 1 一岛) 4 + q o o + 乞岛) 岛 由伊( f ) 的假设条件可知存在瓦，乏使得 虿缈( 岛) 缈( 0 皖0 ) 砭缈( 岛) ( 2 - 1 8 ) 为了方便，我们仍记虿，乏为c i ，c 2 由引理2 6 和式( 2 1 9 ) 可得 哈尔滨理工大学理学硕二l 学位论文 p x 伊( 0 磊i i ) 磊= 皖厦( 而) + 屈( 而) 幺伊( 岛) 由于 j i i = j i d 一2 f ( ) 一f ( y o ) + o ( 1 l s o l l ) 8 0 = 毛+ 缈( 0 磊1 1 ) 磊 由引理2 5 ，引理2 6 ，式( 2 1 8 ) ，式( 2 2 0 ) 可知 p x & = ( 岛屐( 而) + 历( 而) ) q 岛 p 墨= ( p x o 4 + o o p 肛( 而) + 厦( 而) ) 伊( 1 1 磊0 ) 研p + v ( y o ) 6 + o p 2 ( 而) + 孱( 而) 由于w ( , o ，o o ，7 7 0 ) 故有 ( 1 一o o ) l l p 死i l i 死0 ( 1 + 皖) 0 肌觅0 由式( 2 1 6 ) i i p 歹ol l - ( i 2 + c o o o ) l l p 圳 又由x o w ( p o ，o o ，o o ) 知 i i p v o i - ( 1 2 + c 0 0 0 ) ( 1 一e o ) 。1 , c o 所以当, c o ，o o ，r o 充分小时有 l i v ( y o ) - - - k l l 夕o l l 2 _ 2 k p ；3 由式( 2 2 1 ) 可得 l i p 钏c 3 虏缈( 岛) ( 1 + 岛岛+ c 6 p o + c 7 岛加( 岛) ) 0 n 墨0 c 4 虏缈( 岛) ( 1 一岛岛一c 6 岛一c 7 岛缈( 岛) ) 由式( 2 2 1 ) 知 q = i i p ：, h p 孟, l l - c , ( e o + 岛) 露缈( 风) 岛i i p i , l l + l l p x 葺i i c 9 虏伊( 岛) 其中c f 均为常数 由式( 2 2 2 ) 知 i i ( p 一岛) 墨9 ( 7 7 0 4 ) l i p j i d9 岛缈( 0 皖l i ) ( 1 + 巳岛+ c 6 p o + 岛岛缈( 风) ) 所以仇：i(p,-po)jll|opj。ii岛(三三凳主等兰三耄主渊 令1 1 n = ( g 见+ 龟成一c 7 风妒( 岛) ) 岛 有7 7 i = r o ( 1 + u 。) ( 卜u n ) 当，岛，充分小时，r t r o 。 若毛w ( 风，a o ，吼) 且 1 3 ( 2 - 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 哈尔滨理t 大学理学硕七学位论文 o n c 7 ( o n 一，+ 岛一) 蘸，缈( 成一) 幺一。 岛c 8 蘸。缈( 岛一。) 见一。 仉 r l i ( 1 + u 。) ( 1 - u 。) 则只w ( 岛，o o ，r o ) 与n = 1 的推导一样，可得 包+ 。c 7 ( 幺+ 岛) 霹缈( 岛) 见 , o n + 。c 8 屏缈( 见) 岛 r l + 。巩( 1 + u 。) ( 1 - u ) 由于级数南收敛，故级数眈收敛，又由脚缈( f ) _ o ，故当岛，风充分 小时， 岛也收敛，所以当岛，o o ，r o 充分小时，可使仉s 彳( v 拧= 1 ，2 ，) ， 而+ i w ( p o ，o o ，玩) ，见+ l w ( p o ，o o ，玩) 2 5 数值算例 例2 1 令f ：r 3 专r 且 f ，五+ x i x 2 + 1 f ( x l ，而，x 3 ) = i 彳一2 五+ i 【x i + 霉j f 满足定理1 1 的假设。，- - ( o ，0 ，o ) ，死= ( o ，0 ，1 ) 。 解令j i d = ( 毫们，毋，毫) = ( 1 ，5 ，1 ) 且成_ - i x f “) i + 陋i + i 毫”) i 其中 毛= ( 毫，鸢) ，毫一) 。 当如式( 2 6 ) 所定义，则有 表2 - 1 部分计算结果 t a b l e 2 一lp a r tc o m o u t e dr e s u l t s o f = 7 5口= 9口= l 刀 p hp n p n l0 2 8 2 5 d0 00 2 4 5 5 d0 0 0 2 2 3 7 d0 0 2 0 1 4 4 3 d 一0 10 7 3 9 7 d 0 2 0 4 6 3 0 d 0 2 30 7 9 5 8 d 0 40 9 6 0 4 d 0 50 2 0 0 4 d 一0 5 4 0 8 8 8 8 d 0 8o 31 4 9 d 1 00 3 7 4 7 d 1 2 50 1 0 7 9 d 1 40 1 1 9 9 d 2 00 1 3 2 1 d 2 5 1 4 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 当如式( 2 - 7 ) 所定义，则有 表2 - 2 部分计算结果 t a b l e2 2p a r tc o m o u t o dr e s u l t s o f = 1 5o f = 1 7o f = 1 9 行 见p 。成 l0 2 4 2 8 d olo 1 7 5 0 d 0 10 1 2 6 3 d 0 7 20 7 4 8 3 d 0 6 0 9 6 11 d 2 10 1 0 8 4 d 0 7 30 4 0 1 3 d 1 70 6 2 5 3 d 210 6 2 0 4 d 2 4 例予2 f ( 五y ) = ( 3 砂x 2 + + y y ：2 十y ，) 取初始值x o = 0 2 , y o = 0 3 , - h 己包= k i + i 乃i 用埘表示n e w t o n 法的数值结果，用肛- m 表示式( 2 1 7 ) 的数值结果，其中 q , ( t ) = t l i n t l ，此结果表明式( 2 一1 7 ) 的收敛效果最佳。 表2 - 3 部分计算结果 t a b l e2 3p a r tc o m o u t e dr e s u l t s q ( 一m )倪( m 一一m ) z 11 3 0