（应用数学专业论文）有界平面区域上的加倍测度的存在性.pdf

摘要 本文主要研究有界平面区域上的加倍测度的存在性全文包括三个部分t 在第部分，我们构造了【0 ，1 】2 上的一类开域，并证明了在这类开域上不存在 非平凡的加倍测度在第二部分，我们构造了个闭若当域n ，使得l e b e s g u e 测度在其上的限制不是加倍测度在第三部分，我们给出了开域上存在非平 凡的加倍测度的个充分条件 关键词加倍测度；胖c a n t o r 集il e b e s g u e 测度；若当域 a b s t r a c t w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fd o u b l i n gm p n 8 1 t r e so nb o u n d e dp l m u t rd o m a i n s i t c o n t a i n st h r e ep a r t s h p a z to n e w ec o n s t r u c tb k i n do fo p e nd o m a i n si nf 0 ，1 】2a n dp r o v et h a tt h e y d on o tc a r r ybn o n t r i v i a ld o u b l i n gm 捌四u r e i np a r tt w o ，w ec o n s t r u c t c l o s e d j o r d a nd o m a i nf ls u c ht h a tt h er e s t r i c t i o no fl e b e s g 仙em e a 日u t ei sn o td o u b l i n go n n i np a r tt h r e e w eg i v ebs u t 五c i a n tc o n d i t i o ns u c ht h a t8 丑o p e nd o m a i nc a m e e 6 n o a t r i v i a ld o u b l i n gm e a s u r e k e yw o r d s ：d o u b l i n gm e a s u r e ：f a tc a n t o rs e t ；l e b e e g u em e a s u r e ；j o r d a n d o m a i n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名。夏么晶 签名日期伽产，月工日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即t 按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、绪印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下。学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名。j 免么晶 签名日期伽俨f 月7 日 导师签名。乒z 在 签名日期阳吵年b 月，日 ， 第一章引言 第一章引言 测度是分形几何研究的核心部分，它是分形这一数学分支中最主要的工 具及研究对象之一 测度是将集合数值化的一种简单而又直观的方法自从1 8 9 5 年b o r e l 1 】将 测度作为描述集合大小的一个工具介绍给人们。人们就尝试着在不同的集合 与空间上构造各式各样的测度，尤其在度量空间上，人们利用度量性质定义了 许多测度以c a r a t h e o d o r y 2 1 构造为基础建立的h a u s d o r f f 测度f 3 】对任何集都 有定义，特别对不规则的分形集的研究具有重要的作用 测度常常被看作是某种。质量分布。，人们希望在度量空问上找到一些比 较均匀的测度而加倍测度就是度量空间上一个比较理想的测度因此，近年 来加倍测度成为许多学者讨论和研究的新方向，在这个领域，也已经获得了一 些很好的结论 1 9 8 9 年，p t u k i a 4 j 证明了对于欧氏空间中的闭球b ，b 上任一加倍测度 不可能在b 中某个h a t t s d o r l f 维数为0 的集合上满测随后，k a u f i n a n 和w u j a n g m e i n 于1 9 9 5 年指出，舯的一个球上的加倍测度不可能在个h a u s d o r i f 维数为0 的集上具有满测度然而，存在一个正长度的紧子集ecr 1 ，使得e 、 上有纯原子的加倍测度此外，存在紧集ecr 1 ，使得e 上任何加倍测度都 是纯原子的w uj a n g m e i 6 于1 9 9 8 年又指出，对紧的加倍度量空间，v 口 0 ， 存在非平凡的加倍测度“使得p 在个h a u s d o r t f 维数至多为n 的集上具有 满测度 加倍测度的定义对于任何一个度量空间都是有意义的我们很自然地要 同哪些度量空间上存在非平凡的加倍测度呢? 关于加倍测度的存在性，v o l b e r g 和k o n y a g i n 7 1 于1 9 8 8 年指出，每个加倍 的紧度量空间( x ，d ) 上存在非平凡的加倍测度随后，l u u k k a i n e n 和s a k s n 扭1 8 】 又证明了每个完备的加倍度量空间上存在非平凡的加倍测度特别地，的 每个闭子集上存在非平凡的加倍测度 l u u k k a i n e n 和s a k s m a n 在 8 】中还提出这样一个问题：如果x 是一个不 完备的局部紧的加倍度量空间，那么x 上是否存在非平凡的加倍测度呢? 之 后，s a k s m a n 在【9 】中指出对这个问题的回答是否定的作为反例，他证明了 1 湖北大学硕士学位论文 存在有界若当开域qcr “( n22 ) ，关于欧氏度量，其上不存在非平凡的加倍 测度，并且进一步证明了个更一般的结论对每个没有孤立点的非空度量空 间x ，都存在一个稠密开子集qcx ，使得q 上不存在非平凡的加倍测度 在本文中，我们将加倍测度与分形几何紧密地结合起来分形几何的概念 是由b m a n d e i b r o t 1 0 】 1 1 1 于1 9 7 5 年首先提出的他的开创性著作1 1 2 】【1 3 】大 自然的分形几何学以散文的笔法描述了一种新的几何学自上世纪八十年 代后期以来，它已经迅速发展成为一门新兴的数学分支分形几何以“极不规 则4 的几何图形为研究对象，而大量不同类型的极不规则的几何对象常常出 现在自然科学的不同领域，因此，这一学科有着极强的应用价值尤其在近些 年，分形几何与计算机紧密结合，在数学，物理，化学，生物，工程，经济等 领域都获得了巨大成功 c a n t o r 集【1 4 】是一种人们最了解，同时也是最容易构造的分形，然而它却 显示出许多最典型的分形特征它是从单位区间出发通过一系列不断地去 掉部分子区间的过程构造出来的去掉中间三分之一的c a n t o r 集就是我们熟 知的三分c a n t o r 集b u c k l e y , h a n n 和m a c m a n u s 在【1 5 】中按测度将c a n t o r 集分为了两类t c 和f c ( t h i na n df a tc a n t o rs e t s ) ，并且进一步将f c 分为了 m f c ，f f c 和v f c ( m i n i m a l l yf a t ，f a i r l yf a ta n dv e r yf a t ) 三类在此基础之上， 他们还对直线上的拟对称厚c a n t o r 集的判定给出了一个简单明了的的刻划 s a k s m a n 在【9 】中构造了个有界若当开域ncr ( n 2 ) ，其上不存在非 平凡的加倍测度在这篇文章中，我们通过直线上的一类胖c a n t o r 集，构造 了【0 ，1 】2 上的一类开域，使得在这类开域上不存在非平凡的加倍测度另外， 由于每个加倍的紧度量空间( x ，回上存在非平凡的加倍测度，从而r 2 上的每 个有界闭域上存在非平凡的加倍测度在这篇文章中，我们还构造了一个r 2 上的有界若当闭域n ，使得l e b e s g u e 测度在这个有界若当闭域上的限制不是 加倍测度进一步，我们给出了欧氏空间中的域n 上存在非平凡的加倍测度 的一个充分条件 2 第二章预备知识及本文主要结果 第二章预备知识及本文主要结果 设( x ，d ) 是一个度量空间，我们用日( q r ) = 伯x ld ( z ，y ) 0 ，k b 表 示与日中心相同半径为打的球本文中我们用b ( x ) 表示度量空间x 上的 b o r e l 集族 2 1 加倍测度 在欧氏空间中，测度满足加倍条件通常是用一些比较。好。的开集。如 球，方体等来定义的在本文中。我们借助于球来定义加倍测度 定义2 1 1 设( x ，d ) 是一个度量空间，x 上的b o r e l 测度p 称为是加倍 f 的1 6 】，如果存在常数g 1 ，使得v z x 和r 0 有 p ( b ( z ，2 r ) ) sc 缸扛，r ) ) 成立 若p 饵( z ，r ) ) = 0 或者p 旧( z ，r ) ) = o o 对所有的z x 和r 0 成立，显 然p 也是加倍测度，在这种情况下，称测度p 是平凡的 若存在z x 和r 0 使得0 0 ，有女缳渊a 我们 用q s ( ) 表示定义在r 上的所有 一拟对称映射族 拟对称映射与加倍空间，加倍测度之间有着紧密的联系实际上，实直线 4 第二章预备知识及本文主要结果 r 上的拟对称映射和加倍测度之问存在着一一对应一方面。如果，：r - + r 是一个拟对称映射，则测度竹( 目= l ，( 功i 是一个加倍测度，这里i i 表示 l e b e s g u e 测度另一方面。如果p 是r 上的一个加倍测度，定义，( z ) = 譬如， 则，是一个拟对称映射 通过拟对称映射，我们定义了一类特殊的集 定义2 3 2 1 1 6 1 集bcr 称为是拟对称厚的，如果对任意拟对称映射 ，：r - + r ，都有l ，( e ) i 0 借助于拟对称厚集。我们得到下面这个判断实直线取的子集上是否存在 非平凡的加倍测度的一个充要条件 命题2 3 3 集acr 上存在非平凡的加倍测度当且仅当存在拟对称映射 ，：r _ + r ，使得l ，( r ) l = 0 即实直线皿的子集上存在非平凡的加倍测度当 且仅当它的余集不是拟对称厚的 2 4c u l t o r 集的构造与分类 首先毳们来看看c a n t o r 集的构造 给定个序列( 如) e ( 0 ，勃，我们作个c a n t o r 集f = n f j c 【o ，l 】这里 j - - 0 f o = 【o l 】，马由个等长的闭区同组成，将毋的每个闭区何均中间去掉 一个长为b + - l 卅的开区问，我们得到个由妒+ 1 个等长的闭区问梅成的集青 这个集即为乃+ 1 - 当= 时，由上面的构造就得到通常的三分c a n t o r 集 我们记( ) = s e q ( f ) 按照c a n t o r 集的测度，我们将c a n t o r 集分为两大类tt c 和f c ( t h i na n d f a t c a n t o rs e t 8 ) 如果i k i = 0 ，则k t c ；否则k f c 现在我们考虑这样个同题，给定一个子集ecr ，满足l e i 0 ，什么时 候我们可以找到一个拟对称映射，将e 。杀死，也就是使得i ，( e ) i = o ? 进 一步，我们又将f 分为三类：m f c ，f f c 和v f c ( m i n l m a l l yf a t ，f a i r l yf a ta n d v e r yf a t ) 三类 k m f c ：如果i k l 0 ，但是对每个 1 ，存在，q s ( a ) ，使得l ，畔) i - o k f f c ：如果存在1 0 ，j f l ，满足d ( 玑a q ) s 且 z k b ( y ，d ( y ，a 0 ) ) 6 第三章平面的一类开域上不存在加倍测度 第三章平面的一类开域上不存在加倍测度 3 1研究背景及相关结论 在第二章中我们提到如果一个度量空间x 上存在加倍测度，那么这个度 量空间一定是加倍的但是，并不是每个加倍空间上都存在加倍测度s a k s m a n 在【9 】中证明了存在有界若当开域ncr n ( n 2 ) ，关于欧氏度量，其上不存在 非平凡的加倍测度在这里，我们也希望能够给出个加倍空间上不存在加倍 测度的例子 我们知道，平面r 2 是一个加倍空问，且r 2 的每个子集也仍然是加倍的镪卸 在这一章，我们通过直线上的“非常胖”的c a n t o r 集，构造平面上的一类开 域，这类开域作为r 2 的一个子集。显然是一个加倍空间我们将证明这类开 域上不存在非平凡的加倍测度 为了证明本文的主要结论，我们首先给出下面的三个引理 3 2 三个引理 引理3 2 1 设a 是度量空间x 的一个稠密子集，p 是a 上的个加倍测 度对s 8 伍) ，定义n s ) = _ 【l ( s n a ) ，则豇是x 上的一个加倍测度 证明：注意到a 不需是x 的一个b 0 r e l 子集，因此只需证明豇的定义是 合理的为此只需证明 s b ( x ) i s n a 召( 且) ) = 8 陋) 注意到b ( x ) 是包含x 中的全体开集的最小一一代数，因此，只需证明 s s ( x ) l sna 8 ( a ) ) 是一个口一代数且包含x 中的全体开集这是容易 的，在此我们省去冗长的证明 下面我们证明西是x 上的加倍测度 设z x ，r 0 因为a 在x 中稠密，所以可以选取点列z t a ，使得 d ( z k ，z ) 争且d k = d ( z k ，z ) j r 0 ( k - + o 。) 则 豇( 日( z ，2 r 一3 d k ) ) = p ( b ( z ，2 r 一3 d 女) n a ) 7 湖北大学硕士学位论文 su ( b ( x k ，2 r 一2 d k ) n a ) sc 砸( b ( $ ，r 一以) n a ) ( 7 ，( 曰扛，r ) n a ) = c n b ( = ，r ) ) ， 令k - + 0 0 得 豇( 刀忙，2 r ) ) sc n b ( x ，r ) ) 所以豇是x 上的加倍测度，即 上的每个加倍测度p 都可延拓成x 上 的加倍测度面 引理3 2 2 设s = 【o ，口】2 c r 2 ，风= 【0 ，6 l 【o ，o 】，其中b ( 0 ，) 设p 是集 s 上的加倍测度，e 1 是一个常数，使得对任一方体q 有u ( 2 q ) sc i ( q ) ， 则 锱 ( 1 + c - 2 ) 2 慨 证明：当b 【等，g ) 时，由于( 1 + c 一2 ) 2 一蛔， 之1 ，所以结论成立现在只 需证明当b ( 0 ，；) 时结论也成立为此。我们先证明如下递推关系。 而u ( r 2 b ) ( 1 + 。一2 ) 2 一l o s 。蠡，6 ( 。，：) 净笔筹s ( 1 + c 一2 ) 2 一崦= 1 ( 1 ) 不妨假设o = t 1 6 ，将j k 凰从上到下分成n 个边长为b 的正方形，记为 q ，i = 1 ，2 ，n 由p 的加倍性质。有 p ( q ) g 一2 p ( 4 q ) 因为u 冬l 蛔d 岛，上式对i 求和立即得到p ( j k r b ) c 一2 p ( 凰) ，即 p ( 岛) ( 1 + g 一2 ) 一1 卢( 恐6 ) ，所以 错 0 ，令( a ) = s e q ( f ) ，则 ( a ) f m f c 甘( 如) u 1 7 0 v l ( b ) f f f c 静3 0 r ；，其中 b ：1 一( 1 + g 一2 ) 3 一l o g 。等 对j o r i t 1 ，2 ，记s 苒l ( r = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是构成g n 巧+ l 的正方形 我们将证明 4 p ( 钒。) b 舢( 5 ；) ( 2 ) r = l 在证明( 3 ) 之前，我们先证明由( 3 ) 如何得到p ( k ) 0 由( 3 ) 有 p ( 耳矗+ 1 ) b j o + 1 p ( 玛。) 9 湖北大学硬士学位论文 通过归纳有p ( 局) 2 ( i 。i 氐) p ( 玛。) 令j + 0 0 得， p ( 耳) 2 ( 6 j ) p ( ) = j o + l 显然，“k j o ) 0 ，而且对b ( ；，1 ) 有6 2 e x p ( - - 2 ( 1 6 ) ) ，所以 b e x p ( 一2 ( 1 一幻) ) ：e x p ( 一2 6 4 ( 1 + c 一2 ) 3 1 铭，与争) 从而 丘b j e x p ( - 2 0 4 妻( 1 + c z ) 3 一嘞等) 唧( 一登功， ( 1 + c 一2 ) 扣嘞1 尹) 唧( 一碍) ， j = j o + 1j = j 0 + l= j o + l 其中正常数d 和只依赖于c 因此，如果序列( ) 满足对所有的j 0 ，都有萎a 0 ，w 0 现在只需证明 4 r 0 j = 0 ( 3 j 成立，即三p ( 霹；1 ) 6 j + l p ( 5 薹) 令即2 2 。鱼( i - ) 为正方形岛的边长，记g = u ( 鱼珥j u ( r l 二i = i r = l 蹄1 j ， l = ir = 1 其中皿( r = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是以如+ l 吩和；( 1 一奄+ 1 ) 哗为边的矩形，是以奄+ 1 句 为边的正方形固定r l ，2 ，3 ，4 ) ，记和珥大小相同。有一条公共边，包含于 锛。的闭矩形为群 由引理3 2 2 有 端( i + o - 2 ) 2 - 嘞谐= ( i + o - 2 ) 3 - 慨锴， 即 p ( 礴) ( 1 + c 一2 ) 3 - 1 0 9 t 带p ( 瓯1 ) 我们可选取中心属于【0 ，1 】2 的不交球b l ，晶。，使得 u 鼠c 面，u 耳cu 2 4 鼠， 这样 弘( s ，u 彤) s 弘( u 最) 弘( ) ， 第三章平面的一类开域上不存在加倍测度 从而 p ( 碍u 4 虢。) ：p ( u u 4 珥) ( 1 + d 一。) 3 一l o g 。号斧p ( u 4s 知。) ，p ( 碍u 虢1 ) = p ( u 珥) ( 1 + d - 2 ) ”2 1 芽p ( us 知1 ) ， r = lr = l r = l 这时我们得到 p ( 碍u5 ；- ) ( 1 一幻+ ) p ( u 观1 ) r = lr = l 所以ep ( 5 知1 ) 吩+ 1 p ( 岛) ，即得证 1 1 湖北大学硕士学位论文 第四章l e b e s g u e 测度的加倍性 4 1l e b e s g u e 测度 实变函数的中心内容是l e b 酋g u e 澍度与积分理论，它是经典的r i e m a n n 积分的一次深刻变革与发展它创立于2 0 世纪初期，为近代分析数学奠定了 基础1 9 0 2 年，l e b e s g u e 在。积分，长度与面积。的博士论文中所阐述的思 想成为古典分析过渡到近代分析的转折点 l e b e s g u e 测度是我们研究得较多从而也是比较熟悉的一种测度在实变 函数中我们已经得到了关于l e b e s g u e 测度的许多很好的结论，它是一种均匀 的质量分布，利用这种质量均匀分布的思想，我们在分形几何中也构造了一些 十分有用的测度因此，我们在研究加倍测度的时候，很自然地就会考虑一些 有关l e b e s g u e 测度这一特殊测度的加倍性质的问题 4 2l e b e s g u e 测度的加倍性 v o l b e r g 和k o n y a g i n 7 在1 9 8 8 年就指出，每个加倍的紧度量空间( x ，d ) 上 存在非平凡的加倍测度我们也知道舯是加倍的，从而欧氏空间的每个子集 都是加倍的这样对欧氏空间而言，每个有界若当闭域上都存在非平凡的加倍 测度很自然地，我们会问t 我们熟知的l e b e s g u e 测度是不是这些有界若当 闭域上的加倍测度呢? 我们很容易地就可以举出一些闭域的例子当然也包括舯上的有界若当 闭域，使得l e b e s g u e 测度在其上的限制是加倍测度我们接着就会考虑这样 一个问题，是否存在瞅上的有界若当闭域q ，使得l e b e s g u e 测度在其上的限 制不是加倍测度呢? 下面我们举了一个例子，回答了这个问题 4 3 定理2 的证明 在本节中我们给出2 5 中定理2 的证明 为了证明定理2 ，我们首先作如下构造 1 2 第四章l e b e s g u e 测度的加倍性 构造2 ：设q = 【o ，1 】2 是单位正方形，在q 的顶边上取横坐标为去的点 r ，n 1 在顶边上以r 为中心取一个线段f n ，以k 为底做一个顶角为九腰 长为r n 的等腰三角形闭域。，使得。的顶点日。在口的上方 定理2 存在r 2 上的有界若当闭域0 ，使得l e b e s g u e 测度在其上的限制 不是加倍测度 定理2 的证明：在构造2 中适当地选取。的参数可使 ，溉2 0 ，熙r n 2 0 ， 且佃( 风，3 ) ) 是一个不交的圆盘列 设n = 0 uu “，可以验证q 是个有界若当闭域 现在因为 器麓勰s 筹= 譬呐n l 旧( 月k ，3 ) n o ) j - = 7 r r 嚣 丌 r 一 可见m 聊弘e 测度在n 上的限制不是0 上的加倍测度 1 3 湖北大学硕士学位论文 第五章域。上存在加倍测度的一个充分条件 5 1研究背景及相关结论 关于加倍测度的存在性，对于实直线r 上的集，我们有下面这个非常好 的结论它通过拟对称映射，给出了集acr 上存在非平凡的加倍测度的一 个充分必要条件 命题2 3 3 集acr 上存在非平凡的加倍测度，当且仅当存在拟对称映 射，：r _ r ，使得i ，( r 舢l = 0 即实直线r 的子集a 上存在非平凡的加倍测 度，当且仅当它的余集不是拟对称厚的 那么，对于域qcr n ( n 2 ) ，我们又得到了哪些结论呢? 我们知道，舻的每个闭域上都存在非平凡的加倍测度，那么对于开域 呢? s a k s m s n 在 9 】中证明了存在有界若当开域ncr “22 ) ，关于欧氏度 量，其上不存在非平凡的加倍测度在这篇文章中，我们通过直线上的一类脖 c a n t o r 集，构造了【o ，l j 2 上的一类开域，使得在这类开域上也不存在非平凡的 加倍测度 我们看到，开域上的这些结论并没有对开域给出一个合适的刻画，以确 保开域上存在非平凡的加倍测度因此，我们希望能象命题2 3 3 那样，给出 开域n 上存在加倍测度的一个充分必要条件但是很遗憾，在这篇文章中我 们只得到了定理3 ，它仅仅给出了开域q 上存在加倍测度的个充分条件，而 不是充分必要条件 为了证明定理3 ，我们需要下面的引理 5 2引理 定义5 2 1 集族n 称为是不交的，如果集族q 中的任意两个集不交 引理5 2 2 2 0 1 度量空间x 中每个直径一致有界的球族包含一个不交 的子族岔，使得 u bcu5 b b e ，且g 1 4 第五章域q 上存在加倍测度的一个充分条件 实际上，中的每个球b 和9 中一个半径至少为b 的一半的球相交 证明：设q 表示由，的所有满足下列性质的不交子族u 构成的偏序集， 若，中的球b 和，中的某个球相交，则它和一半径至少为b 的一半的球相 交 即q = 扣c ，：，不交且若，中的球b 和，中的某个球相交，则它和一 半径至少为b 的一半的球相交) 那么如果c c0 是一个全序子集，显然，o = u ，0 ，所以0 中有极大元 岔，由构造知9 是不交的( 注意到q 是非空的，因为当b ，的半径和最大 的半径接近时，由个球构成的球族c - ，= b ) q ) 如果存在球b 它和9 中的任何一个球都不相交，选球b o ，使得 玩的半径大于除它以外的和蛋中的球都不相交的任一球的半径的一半那么 如果b ，和球族= o u b o 中的某个球相交。由构造知。它和一半径至 少为b 的一半的球相交，贝4 矿o ，这与9 是n 的极大元矛盾 所以，g - - t - 球b = b ( x ，r ) ，和9 中的球b = b ，r ， 相交，且r 2 r 由图形知，b c5 b ，所以 ： u bcu5 b 器口，且f ， 5 3 1 定理3 的证明 在本节中我们给出2 5 中定理3 的证明 定理3 给出了域n 上存在加倍测度的一个充分条件 定理3 域n 上关于欧氏度量存在加倍测度，若。满足下述条件 ( a ) 存在常数k 1 ，使得忱锄，垤 0 ，j 0 ，满足d ( 玑锄) 且 z k b ( y ，a ( u ，a n ) ) 定理3 的证明：为简单起见，我们不妨假设域q 是有界的 令 也= z 0 ld ( z ，a 0 ) se ， 记 = k b ( y ，d ( y ，0 e ) ) lz a n ，如，害k b ( y ，d ( y ，a 0 ) ) ) 由引理5 2 1 ，对，存在不交球k b l ，k 岛，使得 ub c u 5 b , ， b 矿 i = l 1 5 湖北大学硕士学位论文 从而存在常数岛，不依赖于e ，使得 锄cu 口c u 5 且皇u 咖马 b 学 = 1 = 1 由v o l b e r g - k o n y a g i n 定理用知t 每个加倍的紧度量空间上存在非平凡的加 倍测度 我们不妨假设p 是q 上的c 一加倍测度，注意到0 口c a 缸，则由p 的加 i = 1 倍性质。我们有 o o p ( 砌) ) p ( u 咖髓) 口b p ( u 鼠) 沙p ( 如) i = 1 i = i 因为n 如= 口，所以如可以任意小，从而弘( a q ) ) = 0 由引理3 2 1 知，弘 j = 1 是域q 上的d 一加倍测度 当域n 无界时，证明可参【8 】 5 4对定理3 中条件( a ) 魄讨论 在本节中我们来仔细分析一下定理3 中域n 满足的条件似) 首先我们来看看满足条件( ) 的域的例子 定义5 4 1 域n 称为是j o h n 域【嘲，如果存在常数d 1 ，使得n 中每对点 2 ，l ，可被n 中一条曲线，r 连接，并且v z ，r ，有 d i s t ( z ，a n ) a 一1 m i n lz z l ，ip 一。1 ) 我们不难看到，满足条件) 的域是大量存在的，如j o h n 域都满足条件 ( a ) ，从而j o h n 域上都存在非平凡的加倍测度同时，有些不是j o h n 域的有界 域也满足条件( a ) 为了能更透彻地理解条件( a ) ，我们再来看看不满足条件( a ) 的域q 的例 子 构造3 ：设q = ( 0 ，1 ) 2 是单位正方形，在q 的顶边上取横坐标为嘉的点 铷，n 2 i 在顶边上以为中心取一个线段z 。，以k 为底做一个顶角为2 腰 长为r 。的等腰三角形闭域。，使得趣的顶点。在q 的上方 在构造3 中适当地选取。的参数可使 桌恐5 0 ，拦恐2 m 1 6 第五章域q 上存在加倍测度的一个充分条件 设n = 口uu ，l ，可以验证n 是个有界若当开域 我们注意到 粼= 矗一+ ，n 一+ ，d ( ，弛) 咖如” 且v 矗n ，满足以，d ( 以，a q ) ，不难发现 d ( ，碗) 、d ( x n ，) d ( 以，a n ) d ( ，a n ) 医此，我们找不到常数k 1 满足条件( ) ，从而域n 不满足条件( a ) 下面我们借助构造1 ，再来看个不满足条件( j 4 ) 的域n 的例子 构造4 ：令q = b ( o ，3 ) 耳，这里耳是构造1 中的平面c a n t o r 集，选取 = 2 l i 南 采用和定理i 完全相同的证明方法，只需验证对所有的6 o ，都有a j f f i o ( 这一验证是容易的) ，我们不难知道域n 上不存在加倍测度，从而域n 也不 满足条件( a ) 5 5若干待解决的问题 在本文的写作过程中，我们遇到了很多问题，其中一些在本文中得到了 解决。但还有一些尚未得到答案在这一节中，我们把这些未解决的问题归纳 起来，以期进步地深入研究 问题l ： 在对构造4 中域n 的i - f 论中，我们通过验证域n 上不存在加倍测度。间 接地说明了域n 也不满足条件( a ) 但是怎样才能直接证明构造4 中域q 不 满足条件( a ) 呢? 问息2 ： 一方面，我们已经知道，定理3 给出了域n 上存在加倍测度的个充分条 件，即只要域n 满足条件( a ) ，那么它上面就存在加倍测度另一方面，我们 也证明了构造3 中的域n 不满足条件( a ) 但是构造3 中的域n 上是否存在 加倍测度呢? 这一点我们还不知道 进一步地。 问题3 ： 构造3 中的域n 上是否存在加倍测度与域n 的参数靠，是否有关系 呢? 1 7 湖北大学硕士学位论文 更具体地说。是否当域。的参数靠，h 取某些特殊值。或者满足某些特 定条件时，域f t 上存在加倍测度；而当参数，r n 不满足这些条件时。域n 上就不存在加倍测度7 又或者域n 上是否存在加倍测度是确定的。不依赖于 参数? 1 8 参考文献 参考文献 【1 】1 b o r e le s u rq u e l q u e sp o i n t sd el at h e o r yd e sf o n c t i o n s a n n e c o l bn o r m s u p ( 3 ) 1 2 ( 1 8 9 8 ) 9 - 5 5 1 2 】c a r a t h e o d o r yc ，u b e rd a sl i n e , a r em 嘴啪p u n k t m e n g e n e i u ev e r a l l g e m e i n e r a u g d e sl a n g e n b e g r 趣n a c kg e s w i s s g o t t i n g e n ，1 9 1 4 ：4 0 4 - 4 2 6 【3 】f a l c o n e rk j ，f r a c t a lg e o m e t r y ： j o h nw i l e ya n d8 0 n si n c ，1 9 9 0 f 4 】t u k i ap h a u s d o r t fd i m e n s i o na n dq u a 豳y 卫i e t r i c a lm a p p 岫m a t h s c u d ， 1 9 8 9 ，6 5 ：1 5 2 - 1 6 0 【5 】k 帅缸幽ra n dw uj m t w op r o b l e 叫o nd o u b l j 丑gm 洲r e v m a t h n m 蛐e r i 锄a ，1 9 9 5 ，1 1 ：5 2 7 - 5 4 6 【qw u j m h a n s d o r 开d i m e n s i o na n dd o u b l i n g 珊舶羽l 嘲o nm e t r i cs p a c e s p r o c a i n 口m a t h s o c ，1 9 9 8 ，1 2 6 ：1 4 5 3 - 1 4 5 9 阴v o l b e r ga l a n dk o n y a g i ns v o n 删潮w i t ht h ed o u b l i n gc o n d i t i o n m a t h u s s r - i z v ，1 9 8 8 ，3 0 ：6 2 9 - 6 3 8 【8 】l u u i d 面n e nj a n ds a k s m a ne e v e r yc o m p l e t ed o u b l i n gm e t r i cs p a c e 蛐a d o u b l i n gm e a b u r e p r o c a m e l - m a t h s o c ，1 9 9 8 ，1 2 6 ：5 5 1 5 3 4 【9 】, s a k s l n a ne r e m a r k so nt h en o n e x i s t e n c eo fd o u b l i n gm e , & s u r e s a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 9 ，2 4 ：1 5 5 - 1 6 3 1 9 湖北大学硕士学位论文 【1 0 m a n d e l b r o tb b ko b j e c t sp r s c t a l s ：f o r m e ，h a a a r de td i m e n s i o n f l a m - n l a z