（应用数学专业论文）经验似然方法的若干应用.pdf

兰州大学博士学位论文 摘要 经验似然是o w e n ( 1 9 8 8 ，1 9 9 0 ) 提出的一种构造未知参数的置信区间的非参数统计 推断方法该方法较一些经典的统计方法优越，例如，在很多情形下较正态逼近方法精确， 尤其是当数据来自非正态总体或方差估计不稳定时；此外，与b o o t s t r a p 相比，经验似然 方法也有很多优点，如所构造的置信域的形状由数据自行决定、域保持性、变换不变性以 及b a r t l e t t 纠偏性等正因为拥有这些优点，经验似然方法自提出后即引起了很多统计学 家的兴趣，他们将这一方法应用到统计的诸多领域本论文聚焦于构建i n t e r m e d i a t e 分位 数，条件v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ) 以及缺失数据( m i s s i n gd a t a ) 场合下r o c 曲线 的经验似然置信区间 首先，i n t e r m e d i a t e 分位数在极值统计中扮演着十分重要的角色，特别是应用于分析 金融和保险领域中的低频高损( 1 0 w - f r e q u e n c y - h i g h - s e v e r i t y ) 型损失因此，对i n t e r m e d i a t e 分位数建立行之有效的统计推断方法在理论和实际应用中都具有重要的意义为构造分 位数的置信区间，c h e n h a l l ( 1 9 9 3 ) 提出了所谓的光滑经验似然方法( s m o o t h e de m p i r - i c a ll i k e l i h o o dm e t h o d ) 我们进一步将该方法引入到i n t e r m e d i a t e 分位数的统计推断中， 即在极值条件下，我们得到了相应的非参数w i l k s 定理 其次，市场风险是金融风险管理领域里最为常见的风险之一为评估和控制金融市 场中某一财务状况的巨额损失，风险价值( v a l u e - a t r i s k ，简称v a r ) 是一个简单而有用 的度量，也是目前金融机构和风险监管部门广泛采用的一个标准工具简单地讲，v a r 定 义为在正常的市场环境下，一定的置信度水平，某个金融资产或投资组合由于市场波动 而在未来的某个给定时刻发生的最大损失条件v a r 是基于v a r 的另一个重要的风险度 量工具，它是在掌握一定的市场信息的情况下，综合考虑了如波动性( v o l a t i l i t y ) ，相关性 等因素的基础上，给出市场风险的评估大家知道，在刻画金融市场波动性的时间序列模 型中，a r c h g a r c h 模型是目前金融实务界和学术界应用最为广泛的模型我们重点 研究了a r c h g a r c h 模型中条件v a r 的估计问题：同时也考察了异方差非参数回归模 型，这一模型因能有效地捕获金融数据的局部变异性( 1 0 c a lv a r i a b i l i t y ) 而备受关注，结合 局部线性估计和经验似然的思想我们构建了异方差非参数回归模型下条件v a r 的区间估 计 5 兰州大学博士学位论文 最后，为评估一个区分病例组( d i s e a s e dp a t i e n t s ) 和对照组( n o n - d i s e a s e do n e s ) 的医 学检验的精度，r o c 曲线是一个重要的工具当数据完全时，文献中关于r o c 曲线的统 计推断已有大量的探讨然而，在医学诊断研究中常常会遇到数据缺失的情形，建立缺失 数据场合r o c 曲线的统计推断方法具有重要的应用价值我们重点考察了当数据缺失机 制为完全随机缺失时r o c 曲线的估计问题，建立了基于h o td e c k 插值法的i m p u t a t i o n 经 验似然方法 关键词：a r c h g a r c h 模型，经验似然，i n t e r m e d i a t e 分位数，条件v a r ，r o c 曲线，缺失 数据，异方差非参数回归 6 兰州大学博士学位论文 a b s t r a c t e m p i r i c a ll i k e l i h o o d ( e l ) ，i n t r o d u c e db yo w e n ( 1 9 8 8 ，1 9 9 0 ) ，i sap o w e r f u ln o n - p a r a m e t r i ct e c h n i q u ef o rc o n s t r u c t i n gc o n f i d e n c ei n t e r v a l so fu n k n o w np a r a m e t e r s e l m e t h o dh a sm a n ya d v a n t a g e so v e rs o m ec l a s s i cs t a t i s t i c a li n f e r e n c em e t h o d s ，f o re x a m - p l e ，e lm e t h o di sm o r ea c c u r a t et h a nt h en o r m a la p p r o x i m a t i o nm e t h o di nm a n yc a s e s e s p e c i a l l yw h e nt h eu n d e r l y i n gd i s t r i b u t i o ni sn o n - n o r m a la n dt h ev a r i a n c ee s t i m a t ei s u n s t a b l e ；c o m p a r ew i t hb o o t s t r a p ，e lm e t h o da l s oh a si t so w ns u p e r i o r i t i e ss u c ha s e lr e g i o n sa r es h a p e d a u t o m a t i c a l l y b yt h es a m p l e ，r a n g ep r e s e r v i n g ，t r a n s f o r m a t i o n r e s p e c t i n ga n db a r t l e t tc o r r e c t a b l e b e c a u s eo ft h e s ea d v a n t a g e s ，e lm e t h o da t t r a c t s m a n ys t a t i s t i c i a n s a t t e n t i o n s ，a n dt h e y v ea p p l i e di t t om a n yd i f f e r e n tf i e l d so fs t a t i s - t i c s i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nd e v e l o p i n ge m p i r i c a ll i k e l i h o o d - b a s e dc o n f i d e n c ei n t e r v a l s f o rt h ei n t e r m e d i a t eq u a n t i l e s ，c o n d i t i o n a lv a l u e - a t r i s ki na r c h g a r c hm o d e l sa n d h e t e r o s c e d a s t i cr e g r e s s i o nm o d e l s ，a n dt h er o cc u r v ew i t hm i s s i n gd a t a f i r s t l y , i n t e r m e d i a t eq u a n t i l e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t a t i s t i c so fe x t r e m e s w i t hp a r t i c u l a ra p p l i c a t i o n si na n a l y z i n gt h el o w - f r e q u e n c y - h i g h - s e v e r i t yl o s s e si nf i n a n c e a n di n s u r a n c e t h e r e f o r e ，d e v e l o p i n ge f f i c i e n ti n f e r e n c em e t h o d o l o g i e sf o ri n t e r m e d i a t e q u a n t i l e si sm e a n i n g f u li nb o t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o n s c h e n h a l l ( 1 9 9 3 ) p r o p o s e dt h e s o - c a l l e ds m o o t h e de m p i r i c a ll i k e l i h o o dm e t h o dt oc o n s t r u c tc o n f i d e n c ei n t e r v a l sf o rt h e q u a n t i l e s w ef u r t h e ra p p l yt h ee lm e t h o di nc h e n h a l l ( 1 9 9 3 ) t oc o n s t r u c tc o n f i d e n c e i n t e r v a l sf o ra ni n t e r m e d i a t eq u a n t i l eb yd e r i v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gw i l l st h e o r e mu n d e r s o m ee x t r e m ec o n d i t i o n s e c o n d l y , m a r k e tr i s ki sc o m m o ns e e ni nf i n a n c e i no r d e rt oa s s e s sa n dc o n t r o l t h eh u g el o s so faf i n a n c i a lp o s i t i o ni nf i n a n c i a lm a r k e t ，v a r ，i e ，v a l u e - a t r i s ki sa s i m p l ea n du s e f u lm e a s u r ea n dh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di nb o t hf i n a n c i a li n s t i t u t e sa n d r i s k ss u p e r v i s i o nd e p a r t m e n t s s i m p l ys p e a k i n g ，v a ri sd e f i n e da sat h r e s h o l dv a l u e s u c ht h a tt h ep r o b a b i l i t yt h a tt h em a r k - t o - m a r k e tl o s so nt h ep o r t f o l i oo v e rt h eg i v e n t i m eh o r i z o ne x c e e d st h i sv a l u e ( a s s u m i n gn o r m a lm a r k e t s ) i st h eg i v e np r o b a b i l i t yl e v e l w h e ns o m ev o l a t i l i t ym o d e li se m p l o y e d ，c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s ki so fi m p o r t a n c e a s 7 兰州大学博士学位论文 a r c h g a r c hm o d e l sa r ew i d e l yu s e di nm o d e l i n gv o l a t i l i t i e s ，w ep r o p o s ee lm e t h - o d st oo b t a i na ni n t e r v a le s t i m a t i o nf o rt h ec o n d i t i o n a lv a l u e - a t r i s kw i t ht h ev o l a t i l i t y m o d e lb e i n ga l la r c h g a r c hm o d e l ；w ea l s oi n v e s t i g a t et h eh e t e r o s c e d a s t i cr e g r e s s i o n m o d e l ，w h i c hr e c e i v e dm a n ya t t e n t i o n sa si tc o u l de f f i c i e n t l yc a p t u r et h el o c a lv a r i a b i l i t y i nf i n a n c i a ld a t a t o g e t h e rw i t hl o c a ll i n e a rt e c h n i q u e ，w ed e v e l o pe m p i r i c a ll i k e l i h o o d c o n f i d e n c ei n t e r v a l sf o rt h ec o n d i t i o n a lv a ru n d e rt h i sm o d e l l a s t l y , t h er e c e i v e ro p e r a t i n gc h a r a c t e r i s t i c ( r o c ) c u r v ei s a ni m p o r t a n tt o o lt o a s s e s st h ea c c u r a c yo fam e d i c a ld i a g o n s t i ct e s ti nd i s c r i m i n a t i n gd i s e a s e dp a t i e n t sf r o m n o n - d i s e a s e do n e s t h e r eh a sb e e na ne x t e n s i v es t u d yo ne s t i m a t i o no ft h er o cc u r v e i nc a s eo fc o m p l e t ed a t a h o w e v e r ，m i s s i n gd a t ac a no c c u ri nm e d i c a ld i a g n o s t i cs t u d i e s ， d e v e l o p i n gt h en o v e lm e t h o d o l o g i e sf o rt h er o c c u r v eu n d e rt h i ss e t u pi sv a l u a b l ei nr e a l a p p l i c a t i o n s w ef o c u so nt h ec a s eo fc o m p l e t e l ym i s s i n ga tr a n d o mh e r e ，a n db yu s i n g t h eh o td e c ki m p u t a t i o n ，w ep r o p o s ei m p u t a t i o n - b a s e de m p i r i c a ll i k e l i h o o dm e t h o df o r t h er o cc u r v ew i t hm i s s i n gd a t a k e y w o r d s ：a r c h g a r c hm o d e l s ，c o n d i t i o n a lv a l u e - a t m s k ，e m p i r i c a ll i k e l i h o o d ， h e t e r o s c e d a s t i cn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n ，i n t e r m e d i a t eq u a n t i l e s ，r o cc u r v e ，m i s s i n g d a t a 8 兰州大学博士学位论文 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均己明确注明出 处除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科 研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 日期：i ! l 里! 篁兰舌 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学本人完 全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机 构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编 本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者签名：缉 导师签名：益擎翌! 垒一 日期：趔 4 第一章绪论帚一早殖比 1 1 文献综述 经验似然的思想最早可追溯到t h o m a s g r u n k e m e i e r ( 1 9 7 5 ) ，此文中作者利用经验 似然的思想建立了在随机删失数据情形下生存概率的区间估计o w e n ( 1 9 8 8 ，1 9 9 0 ) 系统 地研究了经验似然，在独立同分布的完全样本情形下提出了经验似然方法以对未知参数 进行非参数统计推断较之其它一些经典的统计方法，这一方法拥有很多突出的优点，例 如，在很多情形下比正态逼近方法精确，尤其是当数据来自非正态总体或方差估计不稳定 时；此外，它有类似于b o o t s t r a p 的抽样特性，但是相比之下也有其自身的优越性，如，所 构造的置信域的形状由数据自行决定，域保持性，变换不变性以及b a r t l e t t 纠偏性经验 似然方法的另一优点是不需要构造轴统计量，自然也就无需估计其方差，而方差的估计一 般是一个比较困难的问题正因为有这些优点，经验似然方法备受统计学家的青睐，并且 将它应用到统计的诸多领域 经过二十来年的发展，完全样本下经验似然的研究已经比较成熟，取得了丰硕的成 果例如，应用经验似然到：均值的光滑函数( d i c i c c i oe ta 1 ，1 9 9 1 ) ，分位数的估计( c h e n & h a u ，1 9 9 3 ；z h o u j i n g ，2 0 0 3 ) ，厚尾分布的均值( p e n g ，2 0 0 4 ) ，抽样调查问题( c h e n q i n ，1 9 9 3 ；z h o n g r a o ，2 0 0 0 ；w u r a o ，2 0 0 6 ) ，分布函数的比较( m e k e a g u e z h a o ，2 0 0 5 ) ，极值统计中尾指标的估计( p e n g q i ，2 0 0 6 ) ，c o p u l a ( c h e ne ta 1 ，2 0 0 8 ) ， r o c 曲线( c l a e s k e n se ta 1 ，2 0 0 3 ；g o n ge ta 1 ，2 0 1 0 ) ，线形回归模型( o w e n ，1 9 9 1 ；c h e n ， 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ) ，广义线形模型( k o l a c z y k ，1 9 9 4 ；c h e n c u i ，2 0 0 3 ) ，一般的估计方程( q i n l a w l e s s ，1 9 9 4 ) ，分位数回归和m - 泛函( z h a n g ，1 9 9 7 a ，b ；w h a n g ，2 0 0 6 ) ，部分线形回归 模型( w a n g j i n g ，1 9 9 9 ；s h i l a u ，2 0 0 0 ) ，非参数回归模型( c h e n & q i n ，2 0 0 0 ；f a n z h a n g ，2 0 0 4 ；q i n t s a o ，2 0 0 5 ) ，经济模型( k i t a m u r a ，2 0 0 1 ；b r a v o ，2 0 0 4 ) ，自回归 模型( c h u a n g c h a n ，2 0 0 2 ) ，假设检验问题( e i n m a h l m c k e a g u e ，2 0 0 3 ) ，可加风险模 型( z h a o h s u ，2 0 0 5 ) ，半参数模型( b e r t a i l ，2 0 0 6 ) ，g a r c h 模型( c h a n l i n g ，2 0 0 6 ) ， 单指标模型( x u e z h u ，2 0 0 6 ) ，部分线性单指标模型( z h u x u e ，2 0 0 6 ) ，等等o w e n ( 2 0 0 1 ) 对经验似然作了详细地论述，王启华( 2 0 0 4 ) 以及c h e n v a nk e i l e g o m ( 2 0 0 9 b ) 对经验似然作了综述性介绍，其中后者侧重于经验似然在回归模型中的应用，感兴趣的读 1 兰州大学博士学位论文 者可参阅 众所周知，在生存分析，市场调查和医学研究等领域常常会遇到一些数据不完全的 情况，如随机删失的数据、测量有误差的数据以及缺失数据近年来，国内外很多学者致 力于这一场合下经验似然方法的研究，文献包括：q i n j i n g ( 2 0 0 1 a ，b ) ，w a n g j i n g ( 2 0 0 1 ) ，w a n g 1 o ( 2 0 0 2 a ，b ) ，p a n z h o u ( 2 0 0 2 ) ，c u i c h e n ( 2 0 0 3 ) ，l i w a n g ( 2 0 0 3 ) ，q i n t s a o ( 2 0 0 3 ) ，z h e n g l i ( 2 0 0 5 ) ，s h e n h e ( 2 0 0 6 ) ，q i n z h a o ( 2 0 0 7 ) ， l i a n g q i n ( 2 0 0 8 ) ，l i a n g z h o u ( 2 0 0 8 ) ，r e n ( 2 0 0 8 ) ，l i a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 9 ) ，w a n g c h e n ( 2 0 0 9 ) ，q i n ，z h a n g l e u n g ( 2 0 0 9 ) 等等 也正因为经验似然方法在各个领域的广泛应用使得经验似然的理论更加丰富，产生了 如，调整( a d j u s t e d ) 经验似然、b o o t s t r a p 经验似然、b a y e s i a n 经验似然、加权( w e i g h t e d ) 经验似然以及块( b l o c k ) 经验似然等修正的方法近期，经验似然的研究进展主要有以下 方面：1 ) 当感兴趣的参数由非线性的约束条件引入时，j i n g ，y u a n z h o u ( 2 0 0 9 ) 提出 了所谓的刀切( j a c k k n i f e ) 经验似然方法，这一方法的突出优点是克服了由于冗余参数增 多而导致计算效率低的缺点；2 ) c h e n w o n g ( 2 0 0 9 ) 研究了弱相依过程中分位数的估 计问题，发展了光滑块经验似然方法；3 ) c h a ne ta 1 ( 2 0 0 9 ) 提出了基于特征函数的经验 似然方法，并应用于l 6 v y 过程的参数估计和检验问题；4 ) m o l a n e sl o p e z ，v a nk e i l e g o m & n v e r a v e r b e k e ( 2 0 0 9 ) 对约束条件中不光滑c r i t e r i a 函数建立了统一的处理方法；5 ) 高 维( h i g hd i m e n s i o n ) 数据中的统计推断问题是当前统计学的一个研究热点经验似然方 法己成功地应用到有限维情形，能否将其拓展到高维数据场合，n j o r t ，m c k e a g u e v a n k e i l e g o m ( 2 0 0 9 ) 和c h e n ，p e n g q i n ( 2 0 0 9 ) 都做出了有益的探索 1 2 经验似然 设置，r d 相互独立且具有共同的累积分布f ，那么f 的非参数似然函数定 义为 l ( f ) = ( f ( 五) 一f ( 五一) = p i ， i - - - - 1i = l 这里a = f ( k ) 一f ( k 一) 是f 在五的概率质量，i = 1 ，佗易知f 的经验分布函 数r = n 。墨。哦使得上式达到极大，这里疋( a ) = i ( x a ) ，即r 是f 的非参数极 2 兰州大学博士学位论文 大似然估计，类似于参数似然比我们定义非参数似然比t i ( f ) = l ( f ) l ( r ) 一般来说， 我们感兴趣的参数如均值、分位数等可以表示为总体分布的泛函，即p = t ( f ) ，这里0 是 感兴趣的参数，t ( ) 是某个统计泛函注意到这个事实，我们就可以利用冗( ) 对9 进行统 计推断为简单起见，我们以总体分布f 的均值肛为例来阐明经验似然的思想为了构 造p 的置信区间，o w e n ( 1 9 8 8 ) 定义了如下的经验似然函数 fn nt i 、 l ( p ) = s u p n 鼽：p i x i = p ，阢= 1 ，p i 0 ， l i = 1 i = 1i = 1 j 显然，在约束条件銎1p i = 1 下，p i = n - 1 使得似然函数n ：。p i 达到极大值n 一，由此得 到经验似然比统计量 冗( p ) ：s u pf f l 吼：壹p i x i ：p ，壹p i = 1 , p i _ 0 ，( 1 1 ) l i = l i = li = 1 j 可以看出( 1 1 ) 实际上是一个截面似然比函数，它要求在约束条件圣1 p i x i = p 下， 非参数似然比达到极大( 无约束条件时，非参数似然比的极大值是1 ) ，参数肛也就自然 而然地通过这个约束条件引入到极大似然比中，从而得到关于参数p 的非参数似然比通 过研究这一非参数似然比的渐近性质以对参数“进行区间估计或假设检验的方法称之为 经验似然方法 为了得到非参数似然比( 1 1 ) 的极大值，o w e n ( 1 9 8 8 ) 利用l a g r a n g e 乘子法，求得仇的 最优值 11 鼽2 元丽厕 其中l a g r a n g e 乘t 子a 是下面方程的解 丢喜褊一o 将( 1 2 ) 代入( 1 1 ) 可得 冗( p ) = i i 1 + a t ( 托一p ) ) ， i = 1 由此，对数经验似然比统计量即为 一2 1 0 9 n ( u ) = 2 1 0 9 1 + f ( 五一p ) 1 = 1 3 ( 1 2 ) 兰州大学博士学位论文 进一步，在一定的条件下，o w e n ( 1 9 8 8 ) 证明了经验似然的非参数w i l k s 定理，即 当佗_ 时 - 2 l 0 9 7 宅( p o ) 马x 乙) ( 1 3 ) 基于( 1 3 ) ，我们可以构造均值肛的一个水平为7 的渐近置信区间如下 = 肛i _ 2 l 0 9 7 已( # ) x ；，1 ) ， 这里) ( ：，7 满足p ( x 函x ：，7 ) = - , 下面我们简要介绍与本文相关的经验似然的两个应用，即经验似然在分位数和估计 方程中的应用 1 2 1分位数的光滑经验似然 c h e n h a l l ( 1 9 9 3 ) 将核光滑技术和经验似然方法结合起来，构建了分位数的经验 似然置信区间这一方法的优点是光滑技术使得置信区间的覆盖误差由d m 。2 ) 下降 到0 ( 佗- 1 ) ，而b a r t l e t t 纠偏使得误差进一步下降到o ( n q ) ，这是直接应用经验似然方法 所无法比拟的另外，采用光滑方法一般会使经验似然中的优化问题变得易于操作下面 我们简单回顾一下光滑经验似然方法 设x 1 ，是独立同分布的随机变量序列，具有分布函数f 假设f 的g 分位数0 = f 一( g ) 唯一地被定义设k 为7 阶核函数，也就是说，对某个r 2 和常数k 0 ，k 满足 x i k ( z ) 如= 令g ( z ) = l 垒k ( y ) d y ，注意到 k ( o ，= 萎l l 阢g ( 等) ，i = l 、， 其中 是窗宽( b a n d w i d t h ) ，p i on ：1 p i = 1 ，则0 的经验似然比定义为 冗= s u p i f inpi：砉纠，壹pigti( 学) 钆删一，n 冗( p ) ：鼽= 1 ，( 竿) = 蚴 o ，江1 i n - - - - 1 = 1i = 1 、 7 j 1 上 一 r 0 1 r = i | = 0 0 0 1 0 k 兰州大学博士学位论文 由l a g r a n g e 乘子法可得， 11 a 2 一n 1 - t - a w i ( o ) 其中毗( 毋) = g ( 学) 一q ，a 由如下方程决定 ；1 喜w i ( o ) 两= 。 故，对数经验似然比定义为 f ( p ) = - 2 1 。g 冗( p ) = 2 l o g 1 + a w t ( 口) 一 i = 1 当满足一定的正则化条件时，c h e n h a l l ( 1 9 9 3 ) 证明了t ( o o ) 3x ，其中o o 是p 的真值， 据此可构造出先的渐近置信区间 1 2 2估计方程的经验似然 q i n l a w l e s s ( 1 9 9 4 ) 研究了经验似然在一般估计方程中的应用，提出了p r o f i l e 经验 似然方法具体地说，设置，k r d 我们感兴趣的参数0 ecr d 由下面的方程 决定 9 ( z ，o ) d f ( x ) = 0 ， ， 其中函数g ( x ，0 ) 胛类似于o w e n ( 1 9 8 8 ，1 9 9 0 ) ，可以定义0 的经验似然比为 冗c 口，= s u p 至in p i i = l ：壹i = l 见= 1 ，喜鼽9 c 五，p ，= 。，鼽二。，t = 1 ，礼) t = 1 j 应用类似于上面的过程可得0 的对数经验似然比统计量是 z ( o ) = 21 0 9 1 + a t g ( x i ，p ) ) ， 其中入是下面方程的解 熹喜端a t g ( x i o n 鲁1 + ，p ) “ 设e 使v a r ( g ( x ，e o ) ) 有限且秩m 0 ，q i n l a w l e s s ( 1 9 9 4 ) 证明了，如 e g ( x ，0 0 ) 】= o 且9 满足一定的光滑条件时，t ( o o ) 与) ( 象，佗_ o o 5 兰州大学博士学位论文 1 3 本文结构安排 本论文主要研究下面几个方面的问题： 第二章我们首先简单介绍一些与本文相关的一元极值理论，包括极值型分布、最大 吸引场、极值指标以及i n t e r m e d i a t e 分位数次序统计量然后，利用c h e n h a l l ( 1 9 9 3 ) 中的光滑经验似然方法建立了i n t e r m e d i a t e 分位数的区间估计，在底分布( u n d e r l y i n gd i s - t r i b u t i o n ) 满足极值条件时，得到了非参数w i l k s 定理数值模拟结果表明该方法有较精 确的覆盖率 第三章主要考虑条件v a r 的统计推断问题c h a n l i n g ( 2 0 0 6 ) 将经验似然方 法引入到g a r c h 模型的参数推断问题中，我们集中研究了a r c h g a r c h 模型中的条 件v a r 的估计问题；其次，我们也研究了金融上另一个应用广泛的模型一异方差非参数 回归模型结合局部线性估计技术和经验似然方法，我们构建了该模型下条件v a r 的渐 近置信区间最后，通过数值模拟来展现本章方法的有限样本性质 第四章介绍了r o c 曲线的背景，主要研究了当数据缺失时，r o c 曲线的统计推断 问题我们构造了i m p u t a t i o n 经验似然置信区间，通过数值模拟展现这一方法的有限样本 性质并以一个例子对结果进行解释 第五章结束语 6 第二章i n t e r m e d i a t e 分位数的经验似然区间估计 极值理论( e x t r e m ev a l u et h e o r y ) 起源于水利学研究，是专门研究一些不常发生，然 而一旦发生就会产生重大影响的极端事件或小概率事件的统计学分支，其核心是对这些极 值事件进行建模和统计分析正因为研究对象的特殊性，极值理论特别有吸引力，被广泛 地应用于水文、气象、降雨量、地震、环境工程等传统领域近年来，极值理论在网上拍卖、 网络通讯、金融和保险精算等领域的应用也是研究的热点这里我们首先简要回顾与本 章密切相关的一元极值理论知识，关于极值理论更多的论述，感兴趣的读者可参考s t u a r t ( 2 0 0 1 ) 和d eh a a n & f e r r e i r a ( 2 0 0 6 ) 等著作这一章的目标是构建i n t e r m e d i a t e 分位数的 经验似然区间估计1 2 1 一元极值理论 一元极值理论聚焦于随机变量的最大值或最小值的统计特征本节介绍极值型分 布( e x t r e m et y p ed i s t r i b u t i o n ) 、最大吸引场( m a x i m u md o m a i no fa t t r a c t i o n ) 、极值指标 ( e x t r e m ev a l u ei n d e x ) 、极值条件和高分位数( h i g hq u a n t i l e ) 等相关知识 2 1 1 极值分布 设x 1 ，是独立同分布的随机变量序列，具有分布函数f ( 称为底分布) ，令螈 = m a x ( x l ，) 在实际应用中，k 通常表示为在一定时间内，某个研究对象的样本 观察值，如，海岸线每小时的高度、某城市每天的平均气温、股票市场中每天或每周的收 益率等，于是就表示研究对象在此时间段内的最大值大家知道，螈的分布在数学上 表示为 尸( 尬。z ) = f n ( z ) 显然，上式一般不能直接应用于刻画螈的分布特征，这是因为在实际应用中，我们 通常很难预先知道底分布f 的具体形式和对应的参数值因此，为获知最大值的统计行 为，我们转而研究的极限分布首先，我们考察f n ) 的特征，记口为f 的右端点， 1 本章内容取自l i ，z ，g o n g ，y a n dp e n g ，l ( 2 0 1 0 ) e m p i r i c a ll i k e l i h o o dm e t h o d sf o ri n t e r m e d i a t e q u a n t i l e s 7 兰州大学博士学位论文 即p + = s u p x ：f ( x ) 0 和b n r ，佗= 1 ，2 ，使得 恕pm n - b n a n z ) = 日( 巩z 咒 ( 2 1 ) n _ + o o 。 成立，其中日是非退化分布函数则h 必属于以下分布族之一： i 型分布： 日( z ) ：e x p 一e x p 一( 竺j ) ) ) ， 一0 0 0 通常i 、i i 、i i i 型分布族被分别称之为g u m b e l 、f r d c h e t 和w 西b u l l 分布族，我们统 称这三种分布为极值分布在风险管理中人们感兴趣的主要是g u m b e l 分布族，包括了正 态分布、g a m m a 分布和对数正态等分布，其尾部以指数形式e 吨衰减；f r 6 c h e t 分布，它 的尾部像幂分布z 吨一样衰减，因此也称作厚尾分布( h e a v yt a i l e dd i s t r i b u t i o n ) 族，常见 的t 分布、p a r e t o 分布属于这一族分布；w d b u u 分布族的上端点是有限的，包含了均匀 分布和b e t a 分布等金融上不常用的分布，但是w 西b u l l 分布族在生存分析、可靠性工程、 天气预测等领域有着广泛的应用 兰州大学博士学位论文 此外，i 、i i 、i i i 型分布族可以归结为如下的统一形式，称之为广义极值分布( g e n e r a l i z e d e 赋r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ，简记为g e v ) ， 晰圳加唧 - 1 + 7 ( 掣) r ) 1 + 7 ( 掣) 2 脚 这里b r 是位置参数，a 0 是尺度参数，y r 称为日的极值指标或尾指标( t a i li n d e x ) ， 其中7 0 对应于f r d c h e t 分布族，y o 和k r 使得( 螈一k ) 的分布收敛到某个非退化分布，那么该分布必属于上述三 种极值分布族之一反过来人们自然会问，对任意的底分布，是否都能找到这样一组a n 0 和b n r 满足条件昵，如若不然，底分布又需要满足什么样的条件才可以昵? 下面我们 探讨这样的条件，首先给出极值分布最大吸引场的概念。 定义2 1 设五，k 是独立同分布的随机变量序列，分布函数为f 如果存在一组常 数列a n 0 和k r 使得偿纠成立，则称分布函数f 属于日的最大吸引场( 简称为吸 引场) 记作f 口( 日) 下面的定理给出了f 属于h ：= 风的吸引场的充分条件，现在称之为v o nm i s e s 条 件( 详见d eh a a n f e r r e i r a ，2 0 0 6 ) 定理2 2 设f 是分布函数，支撑的右