（应用数学专业论文）粘结的功能梯度压电条的界面共线双裂纹的反平面问题.pdf

宁夏大学硕十学位论文巾文摘要 摘要 由于压电材料具有良好的机电耦合特性，使得其在实际工程中被广泛应用然而，众所周知由于 压电材料的内在脆性，限制了它的进一步使用将功能梯度的概念扩展到压电材料中，将大大提高其 使用价值本文研究了粘结的功能梯度压电材料界面裂纹的反平面断裂问题使用积分变换和对偶 积分方程方法得到了裂纹尖端的应力和电位移强度因子 本文首先简要介绍了功能梯度材料的发展及其研究概况。其次研究了粘结的功能梯度压电材 料界面共线双裂纹的静态和动态反平面断裂问题在电渗透型边界条件下，将所考虑的问题转化为 对偶积分方程，利用c 叩s o n 方法进一步化为第二类f r e d h o l m 积分方程，最后运用g a u s s - l a r r u g e a l 数值 积分方法进行数值求解，得到了裂纹尖端的应力和电位移强度因子 关键词：功能梯度压电条；界面裂纹；对偶积分方程；数值求解：强度因子 一i 一 宁夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t i nv i e mo ft h er e m a k a b l ee l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i n gc h a r a c t e r s ，p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ( p m s ) h a v e b e e nu s e di nd i v e r s ea r e a ss u c ha si ne l e c t r i c m e c h a n i c a la n de l e c t r i cd e v i c e s h o w e v e r , i ti sw e l lk n o w n t h a tt h ef u r t h e ra p p l i c a t i o n so ft h ep m sa l er e s t r i c t e db yt h ei n t r i n s i cb r i t t l e n e s s i no r d e rt og e tt h eb e t - t e rp e r f o r m a n c e ，t h ec o n c e p to ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ( f g m s ) h a sb e e ne x t e n d e di n t ot h ep m s i n t h i st h e s i s ，t h ea n t i p l a n ei n t e r f a c ec r a c kp r o b l e mo ft h eb o n d e df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cs t r i p a r ci n v e s t i g a t e db yu s i n gi n t e g r a lt r a n s f o r m a t i o na n dd u a li n t e g r a le q u a t i o n sm e t h o d s ，s t r e s si n t e n s i t yf a e t o r s ，e l e c t r i cd i s p l a c e m e n ti n t e n s i t ya tc r a c kt i p sa r eo b t a i n e d f i r s t l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h ef u n e t i o n a h yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a la n ds o m eo fi t sr e c e n tr e - s e a r c h e sa r ei n t r o d u c e di nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s s e c o n d l y ，t h em a i np a r to ft h i st h e s i sf o c u so nt h es t a - t i ea n dd y n a m i ca n t i p l a n ei n t e r f a c et w oc r a c k sp r o b l e m so ft h eb o n d e df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c s t r i p t h ec o n s i d e r e dp r o b l e mi sr e d u c e dt oap a i ro fd u a li n t e g r a le q u a t i o nu n d e rt h ep e r m e a b l eb o u n d - a r yc o n d i t i o n s a n dt h e nb yu s i n gt h ec o p s o nm e t h o d ，c h a n g et h ed u a li n t e g r a le q u a t i o ni n t ot h es e c o n d f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n f i n a l l y , m a k eu s eo ft h eg a u s s l a r r u g e a ln u m e r i c a li n t e g r a t i o nt e c h n i q u e ，g e t t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa n de l e c t r i cd i s p l a c e m e n ti n t e n s i t ya tc r a c kt i p s k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cs t r i p ；i n t e r f a c ec r a c k ；d u a li n t e g r a le q u a t i o n ；n u m e r i c a l i n t e g r a t i o nt e c h n i q u e ；i n t e n s i t yf a c t o r s 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时 i - j ：声r 月廿日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时间：沙c 忤，月谢e l 时 间：榭年y 月泸 宁夏大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 1 1 功能梯度材料的发展概述 能源、信息、材料一直以来被称为社会发展的三大支柱，其中，材料的研究在近几十年内 得到了迅猛的发展，新型的高性能材料层出不穷随着科学技术的飞速发展，对材料的性能要求 越来越高，尤其是在一些超高温、超低温、超高压等极限环境下对材料的零件要求必须具备 特殊性能世界各国的科学家经过长期的探索与研究，对传统材料的革新上取得了一系列的成 功1 9 7 2 年b e v e r 和d u w e z 提出f g m 的可能性，而1 9 8 4 年前后，日本学者新野正之等【1 】i 首次提出了功能 梯度材料( f u n c t i o n a r yg r a d e dm a t e r i a l s ，简称f g m ) 的概念其设计思想是：为了避免陶瓷金属复合 部件在使用过程中陶瓷与金属在热膨胀系数、热传导系数、弹性模量及强度、韧性等物理性能和 力学性能上的巨大差异所造成的过高界面应力，会引起陶瓷层开裂及剥落现象，从而使陶瓷和金属 不直接相连，而是在其问形成一个在成分和性能上均呈现梯度连续变化的过渡区这样既解决了 不同材料界面巨大应力的问题，同时又能缓和材料在使用过程中因高温梯度落差所产生的热应力 问题因此功能梯度的概念就此诞生了 所谓功能梯度材料一般由两种或两种以上不同性能的材料，采用先进的材料复合技术，使各组 分材料的体积含量在空间位置上是连续变化的，因而其宏观材料特性表现出梯度( 逐渐变化) 的性 质除了有连续变化的梯度材料外，还有材料的梯度也可以按照分段不连续的方法变化，如多层功能 梯度材料，它可以被看成许多单层材料堆积而成的 2 】材料的内部不存在明显的界面，从而使材料的 性质和功能沿厚度方向都呈现出梯度变化的一种新型复合材料功能梯度材料在航空、航天、核 反应堆、生物医学、信息工程、微电机系统等方面有着广阔的应用前景其实自然界种许多天然 材料都呈现出功能梯度的特性比如，树和竹子沿其纤维方向呈梯度性质；贝壳沿其厚度方向呈梯度 性质；类似的性质还有骨头等 从本质上讲，功能梯度材料是非均匀材料，为了成功地制造与应用，需要在理论模型、设计 手段、成型过程等方面进行广泛的研究为此，各个国家都对f g m 的研究开展了一系列卓有成 效的研究计划和学术研讨会如1 9 8 7 年日本科技厅率先实施了”关于缓和热应力的f g m 的基础技 术研究及开发”的五年计划此计划1 9 9 1 年完成从1 9 8 9 年开始，上述计划的很多研究成果都以论 文、国际会议等形式公开1 9 9 0 年在日本仙台举行了第一届国际功能梯度材料的学术会议。从此 以后，每两年举行次这样的会议1 9 9 4 年的第三届功能梯度国际会议决，将其英文名称从最初 的f u n c t i o n a l l yg r a d i e n tm a t e r i a l s 改为现在的f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s 2 0 0 2 年l0 月由清华大学主 办了第七届f g m 国际会议 目前功能梯度材料的制备方法主要有以下几种【3 1 ：气相沉积法( c v d ，p v d ，p c v d ) 、自然烧合 成法、等离子喷涂法、薄膜积层法、粉末冶金法、离心铸造法等其中的自然烧合成法可以制 作f g m 大型机构件【4 】其余的方法只能制造一些梯度涂层由于功能梯度材料具有的特殊结构与 性能，目前从实际工程应用领域来看，功能梯度材料主要分为耐热功能梯度材料、生物功能梯度材 料、化学工程功能梯度材料、电子工程功能梯度材料其中耐热功能梯度材料主要应用于航天航 空，核能源等领域：生物功能梯度材料主要应用于生物医学上的牙齿，骨头以及关节的人工制造上 等 宁夏大学硕十学位论文 第一章引言 由于功能梯度材料在制备方面的限制，导致它在制造过程中难免会出现各种缺陷，使得材料 元件因缺陷的存在与传播失效，因而对整个材料所在的系统造成不可估量的损失因此对这种非 均匀性材料的断裂研究就显得十分必要了目前已有很多学者对其的断裂力学进行了广泛的研 究文【5 l 研究了功能梯度材料的断裂，结果发现使用功能梯度材料作为界面域，可以有效减少残余应 力和热应力的幅值，因而可以大大提高材料的粘合力文献【6 1 讨论了材料梯度函数具有非连续导 数时的反平面断裂问题，结果显示裂纹尖端应力场并没有受到导数不连续的影响d e l a l e 在文【7 1 中 讨论了无限大非均匀材料中裂纹平行于梯度方向时的平面断裂问题，发现裂纹尖端的应力依然具 有平方根奇异性我国学者也对功能梯度材料的静态与动态断裂问题方面作了大量研究；李永东 等【8 】运用奇异积分方程方法研究了功能梯度材料有限宽板的反平面问题文【9 】采用超奇异积分方 程方法研究了功能梯度材料的反平面裂纹问题；w 狐g 等【1 0 】研究了剪切模量不同分布类型对功能梯 度板条m 型应力强度因子的影响还有对功能梯度材料中多裂纹的研究如文献1 1 】等；对于功能梯 度材料中的动态裂纹问题研究也很多：如刘俊巧，李星1 1 2 1 研究了s h 波在正交各向异性功能梯度无 限长条中心裂缝处的散射，以及周耀亭，李星等【1 3 】研究了正交各向异性功能梯度材料中热裂纹问 题，李春雨等【1 4 j 运用对偶积分方程方法研究了正交各向异性功能梯度材料i 型裂纹尖端动态应力 场的问题，李琳等【1 5 l 运用s c h m i d t 方法研究了条状功能梯度材料中偏心裂纹对反平面简谐波的散射 问题，分析了功能梯度参数、裂纹位置以及入射波频率对应力强度因子的影响规律；文献f 1 6 1 研究 了夹在两个非均匀条问的功能梯度条界面运动裂纹的反平面问题文【17 1 同样讨论了无限长条功能 梯度材料自由边晃运动裂纹问题 1 2 功能梯度压电材料界面裂纹断裂研究概况 压电材料在机械变形时产生电场，在受电场作用时产生变形；正是由于压电材料这种内在的 机电耦合性质，在实际工程中如在声、光、生物以及智能结构的形状和振动领域都有着广泛的应 用：尤其在高能声纳发射器、机电执行器及压电电源等高新技术中发挥着重要作用f 1 8 】一f 1 9 1 因 而对压电材料所作的研究可谓硕果累累如文献【2 0 】一【3 4 】其中文【2 0 】等对压电材料中的周期裂纹 做了研究，得到一些有价值的结论由于压电材料自身的脆性导致其在制作和使用的过程中，不可 避免的会存在一些缺陷，缺陷的存在会使压电元件性能降低甚至失稳扩张将功能梯度材料的概念 扩展到压电材料中，称为功能梯度压电材料( f u n a i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s 。简称f g p m ) 由于这种材料的性质是沿某一方向是连续变化的从而有效避免了应力集中，很大程度上延长了元 件的使用寿命由于功能梯度压电材料是一种新型材料，众多学者已经对它的断裂研究引起了广 泛关注。在静态研究方面，文献 3 5 1 一 3 8 1 运用不同方法得到了功能梯度压电材料的一些反平面问 题的解其中文【3 5 1 研究了功能梯度压电带型材料中反平面静态裂纹问题结果表明，功能梯度压电 材料与均匀压电材料中的电弹性场的表达式形式相同对于动态断裂问题研究的有文献 3 9 1 一 4 2 1 其中文献【4 0 】研究了功能梯度压电带型材料中反平面运动裂纹问题，结果显示，动态裂纹尖端的应 力场同样具有平方根的奇异性；文献【4 3 】采用复变函数方法对于共圆弧的界面裂纹做了研究 单一材料在使用过程中很难满足工程中的多功能需要，因而在工程实际中往往将不同的材 料拼接起来使用，这样就能极大地提高元件的使用价值然而由于拼接的两种材料特性不匹配，因 而在界面附近会产生很高的层间应力因此对界面裂纹的断裂研究就显得十分必要了不论是界 面单裂纹还是多裂纹，或者是静态界面裂纹与动态界面裂纹都进行了许多研究文献f 4 4 1 一5 1 研 究的是界面单裂纹的情况文献阻】给出了两个半无限大压电材料之问界面裂纹的反平面问题 一2 一 宁夏大学硕七学位论文第一章引言 的解；文献【4 5 】研究了渗透性和非渗透性电边界条件下，压电材料之间的界面运动裂纹反平面问 题文章【4 6 1 运用奇异积分方程方法讨论了在两种边界条件下均匀压电层与正交各向异性条界面 单裂纹的反平面问题，得到裂纹尖端的应力强度冈子与能量释放率均与材料和材料的几何参数有 关文【5 0 l 运用复变函数解析延拓原理研究了集中载荷作用下不同压电材料反平面应变状态的电渗 透型界面裂纹的耦合场；结果表明，在裂纹尖端处耦合场具有丢的奇异性文献5 1 】运用s c h m i d t 方法 研究了两半无限大的压电挂磁复合材料界面裂纹对s h 波的散射问题，得到了问题的数值解对于 拼接材料的界面多裂纹问题研究的文献也很多，如文【5 2 1 一【5 7 1 都研究的是界面多裂纹的情形其 中只有文f 5 5 l 中作者运用奇异积分方程方法讨论了两个不同的压电材料界面双裂纹反平面动态冲 击问题，给出了裂纹尖端的应力场，得到应力强度因子仍然具有平方根的奇异性文【5 2 】研究了两个 平行对称界面渗透型裂纹的反平面问题，得到了裂纹尖端扰动应力场的应力强度因子和电位移强 度因子的数值解，分析了裂纹半长和裂纹间距对强度因子的影响文f 5 8 1 分析了两个不同的功能梯 度压电压磁条界面共线双裂纹对s h 波的散射问题，同样分析了非均匀梯度参数，材料宽度以及裂纹 间距对应力强度的影响 1 3 本文的主要工作 本文将参考以上文献，讨论功能梯度压电复合材料粘结的界面裂纹的反平面问题以上文献大 都讨论的是两种材料拼接后的界面裂纹的静态或者动态问题，本文基于三维弹性理论和压电理论 讨论两种或两种以上不同材料拼接的静态和动态反平面问题 本文共分四章 第二章在裂纹面为渗透型电边界条件下，讨论含界面共线双裂纹的两不同功能梯度压电条拼 接两均匀压电材料半空间的三型裂纹问题运用f o u r i e r 变化。将混合边值问题转化为对偶积分方 程，进而利用c o p s o n 方法将对偶积分方程转化为第二类f r e d h o l m 积分方程，得到了问题的数值解，分 析了材料中的各个影响因素对应力强度因子的影响 第三章在裂纹面为渗透型电边界条件下，讨论了两不同功能梯度压电条界面共线双裂纹的反 平面剪切问题同样运用f o u r i e r 变化，将混合边值问题转化为对偶积分方程，进而利用c o p s o n 方法将 对偶积分方程转化为第二类f r e f l h o l m 积分方程，得到了问题的数值解 第四章同样在裂纹面为渗透型电边界条件的假设下，讨论了两不同功能梯度压电条拼接 一半无限大均匀压电材料的界面共线双裂纹对以任意角度入射的s h 波的散射问题同样运 用f o u r i e r 变化，将混合边值问题转化为对偶积分方程，进而利用c o p s o n 方法将对偶积分方程转化为 第二类f r e d h o l m 积分方程，得到了问题的数值解，讨论了材料中的各个因素对动应力强度因子的影 响 一3 一 宁夏人学硕：l ：学位论文 第二章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 面共线双裂纹的反f 面问题 第二章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 2 1 前言 面共线双裂纹的反平面问题 压电材料的力一电耦合效应早已为人们所熟知，它广泛应用于声，光，电子，医药以及智能结构的 形状和振动控制等领域；尤其是高能声纳发射器，机电执行器以及压电电源等高新技术中发挥着显 著的作用。但是由于压电材料的本质脆性，从而使得缺陷极易存在，导致这种材料的应用受到极大的 限制然而近年来，一种新型材料一功能梯度材料( 缩写为f g m ) 受到人们的广泛关注，一方面因为 其具有独特的物理性质，可用于抗腐蚀，抗辐射，耐高温，缓解热应力和残余应力，可以制成多种特 殊用途的器件；另一方面，因为其具有梯度参数，可以避免由两种不同材料参数产生突变带来的影 响因而人们将功能梯度的概念引入到压电材料中，用以提高压电材料的性能及其结构的可靠性这 类新材料被称为功能梯度压电材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，f g p m ) 5 8 在实际应用中，往往需要将不同的功能梯度压电材料和压电材料拼接起来提高元件的使用价 值，因而研究这类构件的断裂特性显得尤为必要而在拼接的界面极易出现裂纹，l i 等f 4 4 】考虑了渗 透性和非渗透性两种不同电边界条件下，压电材料之间i i i 型界面运动裂纹问题对于拼接材料的界 面裂纹的研究还有 1 6 ，4 6 ，4 8 】，这些文章大部分研究的是界面单裂纹情况对于研究界面多裂纹的 问题有l i u 等 4 9 】在电渗透型边界条件下研究了两个不同的半无限大压电介质界面的共线多裂纹 问题，给出了裂纹尖端奇异因子的解析解z h a n g 等 5 7 1 运用s c h m i d t 方法对两种不同的功能梯度压电 压磁条界面共线双裂纹的反平面问题进行了研究而对于两种不同的功能梯度压电条的界面含有 共线双裂纹再拼接到两个半无限大压电材料上的m 型问题还未见报道 本文我们将研究两种不同的功能梯度压电条的界面含有共线双裂纹再拼接到两个半无限大压 电材料上的i i i 型问题在渗透型电边界条件，通过运用f o u r i e r 变换，使得裂纹问题被简化为一对偶积 分方程，再进一步转化成f r e d h o l m 积分方程后进行数值求解，得到了裂纹尖端的应力强度因子，电 位移强度因子的表达式，分析了材料几何因素和功能梯度非均匀参数对它们的影响 2 2 问题描述 考虑两个不同的功能梯度压电板条粘结到两个均匀的压电半空间之间如图2 1 所示，两个功 能梯度压电带的界面含有两条长为( a c ) 的共线裂纹平行于上下边界2 c 为两裂纹问的距离 为了描述方便，记功能梯度压电带的上下两部分分别为区域l 和区域2 ，而均匀压电材料上下区域 分别记为3 ，4 ，这里设：r o y 平面为各向同性面，与之垂直的方向( 即z 方向) 为压电介质的极化方 向当裂纹表面受反平面机械载荷和平面内电位移作用时，压电介质内仅有非零的反平面位移分量 t i ，( z ，y ) 与平面内电势( z ，可) 即： t z ( z ，y ) = = u ( z ，) = = 0 ， 牡2 = t 名( z ，暑，) ， 一4 一 ( 2 1 ) 宁夏人学硕1 ：学位论文 第二章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 面共线双裂纹的反i 卜血问题 忍= b ( z ，s ) ，玩= 马( z ，s ，) ，乜( z ，y ) = 0 、 ( 2 2 ) 和e 分别为位移和电场张量在线电弹性理论框架下，( 忽略体力与自由电荷) 功能梯度压电材 y p f g p m l 卜， f g p m 2 。 。 扣 p m 图2 1 ：两功能梯度压电材料拼接两均匀压电材料界面共线双裂纹的几何模型 料的本构方程为 嘲圹c 4 4 ( “y ，, 面o w k + e l 跚灿) 警锄= c 4 4 ( 州y ) 等+ e l 驰灿) 等， ( 2 3 ) 眈锄s ( 掣j , 瓦o w k - e n ( k ) ( ) 警，。u ( k ) - - - - e l s ( k ) ( y ) 警- - z 5 1 1 ( k ) ( 秒) 等，( 2 4 ) 其中( k = l ，2 ，3 ，4 ) ， r z i ，取( i = z ，s ) 为剪应力和电位移张量c 4 4 ( k ) 为弹性刚度系数，1 1 ( 七) 为介 电常数，e 1 5 ( 七) 为压电常量当( 血= l ，2 ) 假设这些材料系数沿y 方向按指数函数分布即 c 4 删( y ) = c 4 4 0 e 2 风，e l s ( k ) ( y ) = e l s e 2 胁，e 1 l ( 女) ( 耖) = e 1 1 0 e 2 胁， 这：里c 4 4 0 ，e 1 1 0 ，e 1 5 0 为y = o 平面处的压电材料常数，风为梯度参数 而当( 七= 3 ，4 ) 时这些材料常数为 c 4 4 ( ) ( 暑，) = c 4 4 0 e 士2 岛k ，e 1 5 ( j ) ) = e l s o e 士2 岛b ，l l ( 七) ( 暑，) = 1 1 0 e 士2 岛h ， 其中，当k = 3 时取正号_ g j = l ，当七= 4 时取负号且j = 2 ，而 l 和 2 是表示到有限边界的距 由静态平衡方程和电静态m a x w e l l 方程 亿i = 0 ，d i ，= 0 ，g = z ，y ) 将式( 2 3 ) ，式( 2 4 ) 代入式( 2 7 ) ，得到功能梯度压电材料的控制方程为 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 离 ( 2 7 ) v 2 蚶瓶等- o v 2 讥+ 2 e 警 o ， ( 2 8 ) 鲫口掣 v 2 = 俨如2 + a 2 o y 2 ，为二维l a p l a c e 算子，且有关系式饥( z ，耖) = 机( z ，s ，) 一舞w k ( x ，y ) ，七= 1 2 对于均匀压电材料的控制方程是 c “o v 2 加+ e l s o v 2 也= 0 ，e 1 5 0 v 2 t 以一6 1 l o v 2 a = 0 ，( 2 9 ) 一5 宁夏大学硕f ：学位论文 第二章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 面共线双裂纹的反、f 面问题 其中v 2 如前所定义，这里i = 3 ，4 表示区域3 ，4 中的量 2 3 电渗透型边界条件的提出 ( i ) 对称条件： w l ( x ，0 + ) = w 2 ( x ，0 一) ， ( 1 ) ( z ，0 + ) = ( 2 ) ( z ，0 一) ， 其中l z l 8 ，i z i 0 的部分即可 对于式( 2 8 ) ，( 2 9 ) 取关于z 的f o 嘶e r 余弦变换，再取其反演变换得到位移与电势如下： 毗沪昙z m 炒小垆 c o s ( 训幽， ( 2 1 7 ) ( 删) = 塑e l l o t t ，( 训) + 昙 7 1 、 2 w 2 ( x ，们2 7 r 【c 1 ( s ) e p 蚶+ d l ( s ) e p 2 】c o s ( s x ) d s ， ( 2 18 ) 【a 2 ( s ) e a l v + 岛( s ) e a 2 掣】c o s ( s z ) d s ， 一6 一 ( 2 1 9 ) 宁夏大学硕上学位论文 卣共线双裂纹的反、f 面问题 第= 章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 z ( z ，) = s e 。1 5 _ _ 。_ o 。o 加。( z ，y ) + 兰, f fe l l o 【c 2 ( s ) e a l p + d 2 ( s ) e 2 可】c o s ( s x ) d 8 ，( 2 2 0 ) t 口3 ( z ，耖) = 2f o 。a 3 ( s ) e 一8 fc 。s ( s z ) 如，( 2 2 1 ) 九( 训) = 塑 1 1 0 加( 3 ) ( 哪) + 兰7 1 j 厂o 。岛( s ) e 叫c o s ( 8 z ) d s ， 嘶= 昙z 撕矽恤) 如， 加( z ，可) = e e l l 5 1 。o 叫( 4 ) ( z ，耖) +巴1 1 0罢z 脚) e _ 酬d 8 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 其e p a i ( s ) ，鼠( s ) ，c k ( 8 ) ，d 七( s ) 是未知函数i = 1 ，2 ，3 ，4 ；k = l ，2 ，p 1 = 一p l 一 了蓓，仡= 一尻+ 、孑研，a l = 一危一、字弼，a 2 = 一仍+ 、石弼 又由本构方程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 得到应力和电位移的形式解为 m “训) = 昙e 2 m 掣 眦( p l a l ( s ) e p 蚶+ p 2 b , ( s ) e 抛掣) + e l s 0 0 1 c 1 ( s ) e p l 可+ p 2 d x ( s ) e w v ) 】c o s ( s x ) d s ， 1 ) ( 刚) = 一要e 2 m 耖 g l l o p l c x ( s ) 矽1 掣+ p ：d l ( s ) e w 掣 c o s ( s z ) d s ， ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 勺：( 2 ) 。，耖) = 昙e 2 庇vf o 。 p 队a 2 ( s ) e t y + a 2 上k ( s ) e a 2 掣1 + e x s o a l c 乞( s ) e a - 管+ 入z 。2 ( s ) e a z ，】) c 0 8 ( s z ) d s ， ( 哪) = 一掣z m m t ) e x v + a 2 d 2 e 协m 幽， m 3 ) ( 哪) = 一昙e 2 m t s 阻a 3 ( s ) e 叫v + e x s o b 3 ( s ) e 叫掣】c o s ( s x ) d s ， 。掣( 3 ) ( z ，可) = 2 丌e 2 b l h tz 距。b 3 ( s ) e 一3 掣c 。6 ( s z ) d 5 ， 勺：( 4 ) ( z ，) = 2 仃e - 2 a 2 mz s 阻a 4 ( s ) e s i t + e 1 5 0 鼠( s ) e 鲫】c o s ( s z ) d s ， 巩( 4 ) ( 删) = 昙e 一2 励bz 0 。8 e l l 0 8 4 ( s ) e s ve o s ( s z ) d s ， 一7 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 宁夏大学硕l 学位论文面共线双裂纹的反f 面问题 第二章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 其中z - - - - c a 4 。+ 惫 2 4 对偶积分方程的建立 应用边界条件( 2 1 0 ) 一( 2 1 5 ) ，经过f o u r i e r 余弦变换，从方程( 2 1 7 ) ( 2 3 2 ) 可以得到 # p l a l ( s ) 4 - p 2 b l ( s ) 】4 - e 1 5 0 p l a ( s ) + p 2 d 1 ( 8 ) 】 = p 【a 1 a 2 ( 8 ) 4 - a 2 8 2 ( s ) 14 - e l s o a 1 c 2 ( 8 ) 4 - , x 2 d 2 ( s ) ， p l c l ( s ) 4 - i 眈d l ( s ) = 入l c 毫( s ) + 入2 d 2 ( s ) ， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) # p l a l ( s ) e p l 1 - i - p 2 b l ( s ) e p 2 h 1 】+ e 1 5 0 l p l c l ( 8 ) e p l 1 + p 2 d 1 ( s ) e p ： 1 】 = 一# s a 3 ( s ) e 一8 l e l s o s b z ( s ) e 一曲l ，( 2 3 5 ) a 1 ( s ) e p t h l + b l ( s ) e p 2 h t = a a ( s ) e 一8 k ， p l c l ( s ) e p l 1 + p 2 d 1 ( 8 ) e p 2 h l = 一s b a ( s ) e j l ， c l ( 8 ) e p l 1 + d 18 ) e p 2 l = 玩( s ) e 一。k ， ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) p f 入1 a 2 ( s ) e a l 24 - a 2 8 2 ( s ) e 一 2 2 】4 - e 1 5 0 【a l c 乞( s ) e a l h 2 + a 2 d 2 ( s ) e a 2 h 2 】 = p , a 4 ( o e 一。 2 + e l s o s b 4 ( s ) e 一。h 2 ，( 2 3 9 ) a 2 ( s ) e a l h 24 - b ：o ) e a 2 2 = a 4 ( s ) e 一8 b ， 入1 c 2o ) e a l 24 - a 2 d 2 ( s ) e 一入2 b = s b 4 0 ) e 一8 2 ， c 2 ( s ) e a l 2 + d 2 ( s ) e - x 2 h 2 = b 4 ( s ) e 一。 2 为了求解以上方程，取裂纹上下表面的位移差和电势差为 ，( z ) = w l ( x ，0 + ) 一w 2 ( x ，0 ) ， g ( x ) = 1 ( z ，0 + ) 2 ( z ，0 ) 将方程( 2 1 7 ) 到方程( 2 2 0 ) 代人方程( 2 4 3 ) ，( 2 4 4 ) ，并经f o u r i e r 余弦变换，可以得到 l ( s ) = a l ( s ) 4 - b l ( s ) 一a 2 ( s ) 岛( 5 ) ， 一8 一 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 “) ( 2 4 5 ) 宁夏人学硕卜学位论文 第二章功能梯度压电带拼接两均匀乐电材料界 面共线双裂纹的反、f ，面问题 虿( s ) = e l s _ _ o _ o - ( s ) + c 1 ( 8 ) + d l ( s ) 一q ( s ) 一d 2 ( 5 ) = 0 ( 2 4 6 ) e 1 1 0 解方程( 2 3 3 ) 一( 2 4 2 ) ，( 2 4 5 ) ，( 2 4 6 ) 可以得到a k ( 8 ) ，b 岛( s ) ，c k ( 8 ) ，d k ( s ) 的解，并将结果代人 边界条件( 2 1 0 ) 和( 2 1 3 ) ，可以得到 a l ( s ) = q l ( s ) q c s ) 7 ( s ) ，a 2 ( s ) = q 2 ( s ) q a ( s ) q ( s ) 7 ( s ) ， ( 2 4 7 ) a 3 ( s ) = 【q l ( s ) e ( p l + s ) h - + e o n + 5 ) h i l q ( 8 ) 7 ( 8 ) ， a 4 ( s ) = 【q 2 ( s ) e ( 。一a - ) 九。+ e ( s - x 2 ) h 2 l q 3 ( s ) q ( s ) y ( s ) ， b l ( s ) = g ( s ) 7 ( s ) ，b 2 ( s ) = 口3 ( s ) g ( s ) 7 ( s ) ， b 3 ( 8 ) = 一；塑【g l ( s ) e ( p - + a ) h + e ( p ：+ 5 ) k q c s ) 7 ( s ) ， e l l o 玩( s ) = 一兰坐【q 2 ( s ) e ( s 一 - ) h z + e ( s - x 2 ) 。】q 3 ( s ) 口( s ) 7 ( s ) ， 七1 1 0 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) c 1 ( 8 ) = e x s _ _ o _ o q l ( s ) g ( s ) 7 ( s ) ，c 2 ( 8 ) = 一兰里q 2 ( s ) 口3 ( s ) g ( s ) 7 ( s ) ， ( 2 5 3 ) 巴1 1 0巴1 1 0 d l ( s ) = 一e l s oq ( s ) 7 ( s ) ，d 2 ( 3 ) = 一竺铅( s ) 口( s ) 7 ( s ) ， ( 2 5 4 ) 巴1 1 0芒：1 1 0 这里 q ( s ) = 一p ；2 而( s ) + 8 e 0 ，2 - p ) h , q 2 ( 5 ) = 妥i i ；邕e ( l a 2 ) _ 1 1 2 ，口3 ( s ) = j p i x i ( i s i ) i q i l i ( i s 习) 而+ p 2 ( s ) ，( 2 5 5 ) 口( s ) = 而汀f 面1 面而， ( 2 5 6 ) 均是已知函数 其中 由裂纹面处受反平面剪切力，上下表面应力相等，得： ( 2 5 7 ) q ( 8 ) = 一三+ p ( s ) = p l ( 8 ) q l ( 8 ) _ 厂) t - p 2 ( 一s ) q ( s ) ，( 2 5 8 一9 一 c z 0 时，引入函数妒( 专) ，使 ，o 7 ( 8 ) = 妒( f ) 而( s 专) 必， ( 2 6 1 ) ，0 其中j o ( ) 为第一类0 阶b e s s e l 函数将式( 2 6 1 ) 代人式( 2 6 0 ) ，则第二个方程已经自动满足，要使 第一个方程也成立，则圣( 专) 必须由下面的第二类f r e d h o l m 积分方程控制即， 妒( 专) + 厂6 k ( ，7 ) 妒( 7 7 ) d r l = 一罢，0 z b ， (262dor c 4 4 0 ) 妒( 专) + 2 r ( ，7 ) 妒( 7 7 ) = 一；：旦，z ， ( 2 ) 其中的核函数k ( 毒，叩) 为 ，o o k ( 毒，7 ) = ，7 8 a ( 8 ) 一1 1 而( 册) 如( s f ) d s ， ( 2 6 3 ) ，0 为了便于数值求解，再次引入下面的无量纲变量【6 1 】 s = s b = 6q ，刀= br ，z = x b ，( 2 6 4 ) 北卜毛鬻川加一艺等 将式( 2 6 4 ) 和( 2 6 5 ) ，代人方程( 2 6 1 ) - ( 2 6 3 ) ，则各项分别标准化为 7 ( s ) = 一等z 1 何( q 川刚m 其中 邺) + z 1 胛，耻( r ) 扭= 俩， ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) , , o o 月( q ，r ) = 、孬f s 【a ( 纠6 ) 1 j o ( s r ) j o ( s f l ) d s , ( 2 6 8 ) ，u l o 宁夏大学硕：学位论文 第二章功能梯度压电带拼接两均匀压电材料界 面共线双裂纹的反 面问题 q ( 昙) = 一互1 + p ( 詈) = 堡丛重超重半， ( 2 6 9 ) 其中g l ( s ) ，q 2 ( s ) ，口3 ( s ) ，口( s ) 如前所定义 ( i i ) 对于求解z 1 协o ) _ 昙z 酬_ ( s ) c o s ( s 帕 = 。昙z 斗三州洲一f r o ) z 。瓶邺川s f l ) d f l c o s ( s x 脚 = 一丢匍z 。0s 吲1 邺) 函( 一+ q 耶q ) 州q ) 伽) 】c o s ( s x ) d s ( 2 7 2 ) ，u 一勺s f l ( s b ) 、，伍皿( q ) 如( s q ) d qc 0 8 ( s x ) d s = 言匍i 雪( 一1 ) j l ( - s ) c o s ( s x ) d s + ， j 0 宁夏大学硕：t ：学位论文面共线双裂纹的反r 面问题 第二苹功 j 琶铞度胜电帚僻瑗伪均匀电材料界 或( z ，o ) ：挈f o o8 0 z ( s ) 7 ( 8 ) c o s ( 3 z ) d s = 了2 e 1 5 0f o 。s 一三州洲卜器) 俪( q ) 郴q ) 瓢o s ( s x ) d s = 一舞咱0 0 。sx 否1 陬q ) 瓶坤q ) + q 州s q ) 州q ) 厕c o s ( s x ) d s ( 2 7 3 ) 一嚣匍z 。0 蹦即) 瓶邺) j o ( s q ) d f l c o s ( s x ) d s 一瓦e 1 5 0 勺掣- r d l 叫上 ( 一s ) c o s ( s x ) d s + ， 其中x 口， 0 的部分即可 ( 3 1 4 ) 对于式( 3 7 ) 两边取关于z 的f o u r i e r 余弦变换，进而再取其反演变换得到位移与电势的形式解 如下 叫l ( z ，y ) =玎e p l yq _ b i ( 妒掣 c o s ( 叫如( 3 1 5 ) 妒t ( z ，s ，) = m e l 5 _ _ _ _ 。l lt t ，( z ，! ，) + 罢z 。盼( s ) e p , y - i - 。- ( s ) e p 2 可1c o s ( s z ) d s ， ( 3 1 6 ) w 2 ( x ，y ) 2 厂o o 2 ；上 【a 2 ( s ) e a l 掣+ b 2 ( s ) e k u c o s ( s x ) d s ， ( 3 1 7 ) 也( z ，y ) = 五e 1 5 2 耽l r z ，y ) + 昙z 。0 【伤( 8 ) e a l 甜+ 0 2 ( s ) e 入2 管】c ( 船) d s ， ( 3 1 8 ) 其中a ( s ) ，鼠( s ) ，g ( 8 ) ，d t ( s ) 是未知函数i = 1 ，2p l = 一胁一 万干两，p 2 = 一俄+ 、石