（应用数学专业论文）一类三阶非线性微分方程非极端解的存在性.pdf

摘要 本文是在研究一类三阶非线性微分方程的特殊正值解的基础上，结合同类三阶 四阶非线性微分方程一般正值解存在性，对三阶非线性微分方程 ( p ( t ) l u ”( t ) l ”1u ，( ) ) 7 + 口( ) i ( t ) 尸_ 1 ( t ) = 0 进行了非极端解存在性的研究其中口 0 ，卢 0 ，p ( t ) 和口( t ) 是定义在区问f n ，。) 上的正的连续函数并给出方程在满足n 卢和a = 卢的条件下，( i ) 型解的充分条 件和n 0 ，卢 0 ，p ( t ) a n dq ( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so na l li n f i n i t e i n t e r v a li o ，0 0 ) s a t i s f y i n gp ( t ) 0a n dq ( t ) 0 ，( t n ) u n d e rt h ea s - s t u n p t i o n so t 口a n do t = 卢，s u f f i c i e n ti n t e g r a lc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d f o rt h ee x i s t e n c eo ft y p e ( i ) s o l u t i o n sa n du n d e rt h ea s s u m p t i o n so 0 f o rt h ef u n c t i o n p ( t ) w ea s s u m em o r e o v e rt h a t f 丽杀1 拈 ( 1 2 ) 厶0 ( ) ) n 一 ”一 b y8s o l u t i o no f ( 1 1 ) w em e a ns tr e a l - v a l u e df u n c t i o nu ( t ) s u c ht h a tu ( ) c p 陋，) a n dp i n ”( 0 1 a - 1 ( t ) e 【6 i ) a n dt ( t ) s a t i s f i e s ( 1 1 ) a te v e r yp o i n t o f 【b ，o o ) ，w h e r eb 口a n dbm a yd e p e n do n 札( t ) s u c has o l u t i o nu ( t ) o f ( 1 1 ) i sc a l l e dn o n o s o c i l l a t o r yi fu ( 句i se v e n t u a l l yp o s i t i v eo re v e n t u a l l yn e g a t i v e a s o l u t i o n ( t ) o f ( 1 1 ) i sc a l l e do s c i l l a t o r yi f i th a sa ni n f i n i t es e q u e n c eo fz e r o s c l u s t e r i n ga tt = o 。e q u a t i o n ( 1 1 ) i t s e l fi sc a l l e do s c i l l a t o r yi fa l ls o l u t i o n sa r e o s c i l l a t o r y af u n c t i o nn ( t ) i sc a l l e d8p o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) o ni t , o 。) i fu ( t ) i s as o l u t i o no f ( 1 1 ) o ni t ，o o ) a n d ( t ) 0f o ra l lt t af u n c t i o nu ( t ) i sc a l l e d ag l o b a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) i fu ( t ) i sap o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) o nt h e e n t i r ei n t e r v a l 【a ，) i na d d i t i o n ，af u n c t i o n “( ) i 8c a l l e d8e v e n t u a l l yp o s i t i v e s o l u t i o no f ( 1 1 ) 让u ( t ) i sap o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) o ns o m ei n f i n i t es u b i n t e r v a l i t , o 。) o f 【o ，c o ) t h em a i no b j e c t i v ei st oi n v e s t i g a t et h en o n o s o i l l a t o r ya n dn o n - e x t r e m e b e h a v i o ro fs o l u t i o no f ( 1 1 ) u n d e rt h ec o n d i t i o n ( 1 2 ) h o w e v e ri th a sb e e n s t u d i e di nf a i rd e t a i lf u rt h es e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p ( t ) l ( t ) i 。一1 ( t ) ) + 口( t ) l u ( t ) f 4 1 t ( t ) = 0 ( 1 3 ) a n dt h ef o u r t h - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n p ( 力i u ”( 0 1 。一1u ”( t ) ) ”+ 口( t ) i u ( 0 1 口一1 ( t ) = 0 ( 1 4 ) 1 h e r ef o rt h ee q u a t i o n ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) ，w ea s s u m et h ea 0 ，卢 0 ，a n dp ( t ) a n dq ( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so na ni n f i n i t ei n t e r v a lf d ，o 。) w eg i v eab r i e f s u m m a r yo fs o m ei m p o r t a n tr e s u l t sf o rt h es e c o n d - o r d e re q u a t i o n ( 1 3 ) u n d e rt h e c o n d i t i o n ( 1 2 j t h er e s u l t sb e l o wa r ef o u n di nt h ep a p e r so fe l b e r t l l ，m i r z o v l 2 t 目 i z y u m o v aa n dm i r z o v ，e l b e r ta n dk u s a n o 5 1 ， ( i ) e q u a t i o n ( 1 3 ) h a snn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nn ( t ) s a t i s f y i n g u ( t ) 一c( c 0 ) d s t 一 z 。( 高厅( 8 ) d s ) “叭o o ( 1 s ) ( 1 i ) e q u a t i o n ( 1 3 ) h a san o n o s e i l l a t o r y8 0 l u t i o nu ( t ) s a t i s l y i n g u ( t ) “c z 石石导声t ( c 。) n s t o o ， i f a n do n l yi f t ) z 顶岳) # d s d t ne q u a t i o n ( 1 4 ) h a san o n o s e i l l a t o r ys o l u t i o ni fa n do n l y i f f f 。q ( t ) ( r ( ) ( 南) i 0 a s ) o o ( i i ) l e to 1 风e q u a t i o n ( 1 4 ) h a snn o n o s e i l l a t o r ys o l u t i o ni fa n do n l y i f t q ( 洳t 0 ，( t ) 0 ，f o r 正f l a r g e t u ( ) 0 ，o ra l l l a r g e t ( 2 4 ) ( 2 , 5 ) s u p p o s et h a t ( 1 2 ) h o l d s ，a n dl e tu ( t ) b ea ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) i fu ，( t ) 0 ，u ，( t ) 0 ，f o ra l ll a r g et ，t h e nt h e r ei se x i s t 七1 0 ，s u c ht h a t “( t ) s h r 。一s 话石鲁石如 ，”以f f ”g e t o nt h eo t h e rh a n du ，( t ) 0f o ra l ll a r g et ，t h e nt h e r ee x i s t 膏l 0 ，s u c ht h a t t ，( ) k lf o ra l ll a r g et , t h e n “( ) 1 tf o r a l ll a r g et t h u sw eo b t a i nt h a t s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d sa n dl e tn ( t ) b ea ne v e n t u a l l yp 0 8 i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) ，i fu ( ) 5 s a t i s f i e d ( 2 4 ) a n d l i m 一 u ( t ) 瓜叫面哥1 1 幽上( 一s 丽幽 = k 0 k o 。 ( 2 6 ) t h e nn ( t ) c a nb er e g a r d e d a “m a x i m a l ”s o l u t i o nw h i c hs a t i s f i e d ( 2 6 ) ，a n d i 罂型：o k 0 ， s u c ht h a tu ( t ) 2kf o ra l ll a r g et t h u sas o l u t i o nu ( f ) o f ( 1 1 ) s a t i s f i e s 觊“( t ) 2 0 k 。o ( 28 ) c a nb er e g a r d e da 8a “m a x i m a l ”s o l u t i o nw h i c hs a t i s f i e s ( 28 ) i fu ( ) s a t i s f i e s 2 骧“( ) 2 0 ( 2 9 ) t h e nu ( ) c a nb er e g a r d e da sa “m i n i m a l ”s o l u t i o nw h i c hs a t i s f i e s ( 2 9 ) w ec a c o n c l u d e dt h a t ，i nt h es e to f a l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n so f ( 1 ，1 ) ， as o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s ( 1 2 ) a n d l i m t u ( t ) 小叫赤如 = k0 0 s u c ht h a t c u ( t ) 晚z 石t 丽- - s 幽 ，o r 以l ”9 e t d e f i n i t i o n2 2a ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n su ( t ) o fe q u a t i o n ( 1 1 ) i s e x t r e m ei fp o s i t i v es o l u t i o n st ( 订s a t i s f i e se i t h e r 熙u ( t ) 20 ”。魄 6 u ( t ) t 赢每幽 ；o o d e f i n i t i o n2 3a np o s i t i v es o l u t i o n st ( t ) o fe q u a t i o n ( 1 1 ) i st y p e ( i ) s o l u t i o n si fp o s i t i v es o l u t i o n ss a t i s f i e sc o n d i t i o n ( 2 4 ) d e f i n i t i o n2 4a np o s i t i v es o l u t i o n st ( t ) o fe q u a t i o n ( 1 1 ) i st y p e ( i i ) s o l u t i o n si fp o s i t i v es o l u t i o n ss a t i s f i e sc o n d i t i o n ( 2 5 ) 7 c h a p t e r3e x i s t e n c eo fn o n e x t r e m ep o s i t i v es o l u t i o n t h ep u r p o s eo ft h i ss e c t i o nw eg i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h e e x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sa n dn o n - e x t r e m ep o s i t i v es o l u t i o n so f t h i r d o r d e rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e o r e m3 1s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d s au e c = e 8 $ a r ya n d5 砺c i e n tc o n d i t i o n o r ( 1 1 ) t oh a v ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu ( t ) w h i c hs a t i s f i e s ( 2 6 ) st h a t o q ( t ) ( 小叫赤a s ) 4 出 o o ( 3 ) p r o o f ( n e c e s s i t y ) l e tu ( t ) b ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f ( 1 1 ) s a t i s f y i n g ( 2 6 ) t h e nt h e r ei st as u c ht h a t ；r ( ) 南如纠雌。t 小- s ) 赤弧哪 i n t e g r a t i n g ( 1 1 ) f r o mt t ot ，w eh a v e 删帅) r l u 驯。r 如) ( 吣炉出 f 如) ( 孔小- r ) 赤打) 4 电哪 t h i sy i e l d s r 如) ( 小叫及耘出) 4 d s ( ；) 一锄川驯“u 牡 0b ea na r b i t r a r yn u m b e r t h e r e i s t 兰as u c h t h a t f f 。q ( c ) ( 小叫赤如) 4 疵 0 ，b ) 0 ，( t ) 0 ，烈圳( t ) i ”1 “”( t ) o t t w eh a v e 师) = ( 噼铲) v 。，哪 i n t e g r a t i n gt h er e s u l t i n gf r o m 口t or ，w eg e t 以r ) f ( 掣铲) v 。幽，哪 9 i n t e g r a t i n gt h er e s u l t i n gf r o mot ot , w eg e t ) z 2 j ( 7 ( 紫) 叫。姗，哪 f o rp ( s ) ( ( 5 ) ) oi sd e c r e a s i n go n a ，t 】，t h e n 心) 加( t ) ( ( t ) ) 口) l 肛f r 石赤d s d r ，t t ( 3 ，5 ) s o ， p ( t ) ) 。) = 一g ( ) ( u ( ) ) 4 s 刊( p ( 坝川啪中。( z 。z 7 丽1 姗) 4 ， 哪 w em u l t i p l yt h i si n e q u a l i t yb yf p 洲( t ) ) 。1 “扣，t h e n 揣端黼细( 肌赤幽出) 4 i n t e g r a t et h er e s u l t i n gf r o m 口t oo 。t h e nn o t i n gt h a td 口w eo b t a i n 删以训叩一g z 。们) ( j ( 2 2 7 丽1 蛐) 9 出 t h ep r o o fo ft h e o r e m3 2 i sc o m p l e t e 口 t h e o r e m3 , 3s u p p o s eq = 卢，( 1 1 ) h a sot y p e 御n o 伽e 科佗m es o l u t i o n u ( t ) ，t h e n f 非) ( r ( ) 赤矽“司出 0 ，u ”( t ) 0 ，p ( t ) l u ”( ) i ”1 ( t ) 0 ，t t ，eh a v e f u ( t ”4 c l ，c l = ( u ( 砷) 4 ， t c ( u ( t ) ) 4 ( u ( t ) ) ( 1 一垆，c = ( c 1 ) 一5 口， 2t 1 0 u s m gt h ei n e q u a l i t y ( 3 5 ) , w ec s , n 出) 4 删邶胪h 伽( z f ( 高) l a 出d r ) 肿“ = 似州u ) ) 口) 1 - 5 ( rr ( 南) l 。出d r ) 烈1 - “， t t 习器一罨糟譬糟等( fr ( 志胪如d r ) 鼬1 ，t t一( p ( t ) ( ( t ) 产) - ：( p ( t ) ( u “( t ) ) a ) 7l 厶厶、p ( s ) 7 。 南一锱韶等( z r ( 南) 1 打) 烈h ，脚而3 一弋页万面币汀l 上上。页万厂”。j 1 t h e n ， c 箫黼龄 0 t h ep r o o fo ft h e o r e m3 3 i s t h e o r e m3 4s u p p o s e ( 1 2 ) h o l d s an e c e s s a r ya n ds u f f l c i e n tc o n d i t i o n o r ( 1 1 ) t oh a v edn o n o s c i l l a t o r l ，s o l u t i o nt ( t ) w h i c hs a t i s l = i ( 2 8 ) 诂t h a t j ( 。( 高j ( ”口( r ) 办) 1 a d s 出 。 ( 3 ，) p r o o f ( n e c e s s i t y ) l e tu ( t ) b ean o n o s e i l l a t o r ys o l u t i o no f ( 1 1 ) s a t i s f y i n g ( 2 8 ) t h e nt h e r ei st ns u c ht h a tk 1 2 u ( t ) 2 kf o rt t t h e n ( 2 5 ) h o l d s w es u p p o s et h a tt ，( ) 0f o rt2t i n t e g r a t i n g ( 1 1 ) f r o mt t ora n d l e t t i n gr _ w eh a v e p ( t ) l u c t ) l a 一1 ( t ) 厂”g ( s ) ( u ( 3 ) ) 4 出， t2t 1 1 u ”( t ) ( p - 南t ) f f 。q ( s ) ( u ( s ) ) 4a s ) 1 7 。，t t f u r t h e r ，i n t e g r a t i n gt h er e s u l t i n gf r o mtt ora n dl e t t i n gr o o ，w eg e t “佃川z ”( 高。口( r 黼矿d r ) 1 肛氓t r b y ( 2 8 ) t 坠娶“( ) = ，0 o ot h e n 1 i m 。t ，( ) = 0t h u sw e o b t a i n 川蛇，。( 志，”如灿) ：出，旧 ( 3 s ) i n t e g r a t i n g ( 3 8 ) f r o mtt ofa n dl e t t i n gr _ o o w eh a v e u ( 。0 。z 。( 高。球燃炉) v 。懒哪 b yk “( t ) 2 k f o r t t t h e n f 。( 赤，”咖，出) “。删t 0b e a r b i t r a r yn u m b e r t h e r e i s t as u c h t h a t f z 。( 高j ( ”如，出) 1 加舳 z b yu s i n gt h es c h a u d e r - 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l a t o r ys o l u t i o n “( t ) s a t i s f y i n g ( 2 8 ) t h ep r o o fo ft h e o r e m3 5 i 8c o m p l e t e 口 1 4 r e f e r e n c e s e l b e r ta o s c 讹t i o na n d 肿，；0 3 c 甜k 牝o f e m 8 加rs o m en o n k n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p - o r d i n a r ya n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l l 矧g l l l - e n o t e sh am a t h 1 9 6 4 1 8 7 - 2 1 2 ，s p r i n g e r ( b e r l i n - h e i d e l b e r g - n e wy o r k ，1 9 8 2 ) 【2 1 m 妇0 vdd o s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fa3 鲈t e m 衫n o n l i n e a r 啦f ，e r e n t i a le q u a t i o n s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 7 3 ，9 ：4 4 7 - 4 4 9 m i r z o vd d a b i “t yo ft h es o l u t i o n so fas y s t e mo fn o n , n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n st oo s c i l l a t e 1 m a t hn o t e 1 9 7 4 ，1 6 ：9 3 2 - 9 3 5 i z y u m o v adv ，m i r z o vdd o s c i l l a t i o na n dp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a ls u s t e m s j ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 7 6 ，1 2 ：8 3 8 - 8 4 2 ， e l b e r ta ，k u s a n ot o s c i l l a t i o na n dn d n o