（概率论与数理统计专业论文）不同存贷利率下保险盈余的最优投资问题.pdf

摘要 随着保险公司投资风险资产比例的不断提高，人们对保险盈余的最优投资策略问题 的研究也越来越多本文主要讨论在不同存贷利率下保险盈余的最优投资策略问题 本文假设保险人的投资选择是存款，贷款和股票交易，从贷款利率高于存款利率的 实际情况出发，运用随机分析理论，得到存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系下 的保险人的最优投资策略 本文共分三章第一章主要介绍了保险盈余投资的研究背景，以及本文的研究意义 和目的第二章介绍了本文中的模型的主要假设以及在下文中用到的两个引理为下文 的理论证明打下了基础第三章重点给出了存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系 的情况下，保险人的的最优投资策略，并对这些结果给出了严格的证明 关键词z 不同存贷款利率，最优投资策略，随机风险过程，随机分析理论 a b s t r a c t a sai i 塔u r e rc a ni n v e s tm o r eo ft h e i r 剐粥e t st or i s k 翻j s e t ，t h e r e 御ei n o r er 毯i e 踟c h e r s w h od 0r 铅e a r c ：ho ni 础m r e ri n 赋n l e d t t h 遗p a p e rd i s c l 塔dt h eo p t i 珈础i n 似瑚l e n t p o l i c i 锶f o ra ni n s i l l l e rf 如i n gd i 融n 七i i l t e r e s tr a 土e sf o r 醐肮n ga n db o r r o 丽n g t h ei n s u r e r 8c h o i c eo n 碱m e n tc a nb es a v i n g s ，1 0 a na n ds t o c kt r a 出n g a c c o r d i n g t ot h ef a c tt h a tt h ei n t e r e 8 tr a t eo nl o a ni 8h i g h e rt h a nt h eo n eo n 跗、，i n 9 8 ，w e 璐et h e t h e o r ) ro fs t o c h a s t i ca n 址y s i st oa u c q u i r et h eo p t i m a lp o l i c i e 8f b rt h ei n 8 u r e r t h i 8p 印e rh a st l l r e ec h 印t e r s t h e 丘r s tc h a p t e ri 】酏r o d u c et h eh i s t o 巧0 ft h ei 璐u r e r i n v 馏t m e n tt h e o 巧a n dt h em e 锄i n 肇a n dp u r p o s e 8o ft h i sp a p e r t h es e c o n dc h a p t e r i n t r o d u c et h ek e ya 踯u n l p t i o n 8 觚d 慨l e i n m 谢h i 6 ha r ev 明了u 凡lb e l o w c h a p t e r 廿l r e ed i s c l l s s e dt h eo p t i 叫p o l i c i e 8f b rt h ei n s u r e ru n d e rt h e 鼬出珏b r e n ts i t u a t i o n s n r t h e r m o r e ，w eh a y es t r i c t l yp r o v e dt h e s ec o n c l u s i o 璐a r er i g h t k e yw o r d s ：d i 行e r e i l t 缅艇i r 簋tr a t 鹄f b rs 砒ga n db o r r o w i n g ，t h eo p t m 1 越p o h c i 鹪， r a n d o mr i s kp r o c 镫s ，t h et h e o r yo f8 t o c i h 8 s t i ca n a 嫡8 1 1 l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意 作者签名： 日 期： 学位论文授权使用声明 2 艿，e3 0 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 作者签名。 日期s 幽 2 姆5 、5 o 导师签名； 日期： 公一s 一 递堕墨 第一节 引言华东师范大学硕士论文1 第一节引言 1 1 背景介绍 保险公司的利润来源包括两方面：承保利润和投资利润从国际保险业经营趋势来 看，业务竞争日趋激烈，承保业务范围越来越宽，承保责任不断扩大，保险费率常常被 压至成本线以下，其直接后果必然带来保险公司承保业务盈利甚少，同时，投资收益占 保险利润的比例也相应的增大在0 6 年和0 7 年的大牛市里，保险投资给保险公司带去 了非常可观的收入从去年7 月开始，保监会允许有资格的保险公司直接投资a 股股票 的比例由原来的不超过上年末总资产的5 调到1 0 随着保险公司投资风险资产比例 的提高。人们对保险盈余的最优投资策略问题的研究也越来越多 较早研究这个问题的是b r 嘶m e j ( 1 9 9 5 ) 他考虑的模型是这样的t 假设风险资本模型 由经典的b l a c k - s h o r e 模型刻画，保险公司的风险过程是个带漂移的b r 鲫n 运动，如 何选择投资策略使保险公司的破产概率最小他得出的结果是s 在没有负债约束的条件 下，不管公司的余额为多少，最优的投资策略是在风险市场上投资定量的资金h i p p 和 p l 哪( 2 0 0 0 ) 考虑了另外的情形：风险市场模型不变，风险过程由复合泊松过程代替， 他同样求出了一个最优策略，并且给出了解的存在性上述模型都是假设利率为0 l i u 和m g ( 2 0 0 4 ) 在h i p p 和p l u m ( 2 0 0 0 ) 的模型中加入了非零的利率，但是得不到 封闭解在以后的研究中，人们通常用随机理论来研究保险盈余的最优投资策略问题 、f j 叽g 和z h a n g ( 2 0 0 5 ) 用个带跳的扩散过程来描述风险过程，讨论了存贷利率相同 的情况下的最优投资策略问题 1 2 本文研究的意义和目的 本文假设保险人的财富为一个随机风险过程锣| l 如，对于保险公司，这个风险过程 表示保险公司累积所得保险费减去累计财产赔偿量的余额市场上有一种风险资产( 如 股票) ，保险人投资就是用自己所有的财富( 包括贷款) 购买股票或是银行储蓄于是， 保险人的财富表现为一个随机过程，当财富低于某个法定水平n 时，即宣告破产由于 第一节引言华东师范大学硕士论文2 保险人存在着随机风险，破产总是有可能的任取一个大于口的值6 ，设保险人的初始 财富为z 缸 为二维的标准几何布朗运动，相关系数为p ， 假设保险人投资于风险资产的资金为，在亡时刻，投资于风险资产的资金为五， ，兰【 ) d ，d 为可控过程，即譬厅出 o o ，a 8 ，对任意t o ：可= 名) ， 对任意的口，6 ，满足n 6 ，令下，= m i n ，0 ，我们的目标是在达到水平口之前 使达到6 的概率最大，其中o 口 z 6 + o o 令 y ，( z ) = p ( 义二= 6 j = z ) 其中y ，( o ) = 0 ，( 6 ) = 1 ，y ，( z ) 表示在到达水平口之前到达6 的概率因此，如 果存在广d 使得 y ，( 功= s u p y ，( 。) ， ，d 存在，则广为最优投资策略如果不存在广d 使得 y ( z ) = 8 u py ，( z ) j d 则最优投资策略不存在 2 2 两个引理的证明 吩，= 锌篇， 第二节模型假设华东师范大学硕士论文5 脚，= 一， 则 由于 且 因此 k ) = 1 1 + y p ) = 1 + e c m ) + ( 。) 】幽如 o 号r 一 e c f g o ) + c ( j ) j 幽咖 1 一椭出如 y ( z ) 磁( z ) 即当g ( s ) 取最大值时y ( z ) 取最大值，对任意s ( 口，功证毕 引理2 。令 出，：兰坐正萼霉亟 第二节模型假设华东师范大学硕士论文6 则当z ( o ，州时，夕( 名) 递减 证明：对9 ( z ) 求导，得 当z ( o ，川时，夕( z ) 的导数 o ，故9 ( 名) 递减 第三节主要结论 第三节主要结论 华东师范大学硕士论文7 假设口 z 6 ，我们的目标是使保险人在到达水平口之前到达6 的概率最大，下 面讨论最优投资策略问题 本文的主要结论是。 定理：假设n z r + 6 时， i 魂，s s 1 ， ，+ ( 8 ) = 8 ，8 l 冬s 8 0 一( p + 乎) + 、一学) 2 + ( 1 一矿) ( 旷一r 2 ) ( 譬) 2 s 02 = 二。一 弘十r 一囟+ q 学】+ p 一譬) 2 + ( 1 一矿) 她2 一( r + 6 ) z 】( 譬) 2 s 12 _ _ r _ = 一 正上+ r + 6 沈：一旦! + p 一，- 魂= 一嘴+ p r o 2 当p = r + 6 时， ( a ) 如果p 0 ，贝9 ( b ) 如果j d 0 。则 ，。( 8 ) = s 一譬， 一譬 s o 卯 鲫 s s 乳 孙 ，、【 = 、l ， s ，i 、 事 ， 鲤口 岛 碰口 岛 瓠 第三节主要结论 华东师范大学硕士论文8 其中 施= 一半+ 3 当r p r + 6 时， ( a ) 当( 譬) 2 p + 6 ) 2 一矿o 且p 1 p 砌时， ( b ) 当 或者 且 或 如果s o s l ，则 如果s l s o ，则 其中 施= 一 ，+ ( s ) = 厂( s ) = ( 知 ( 知 羔 + 石) 2 一矿 晚 p 见 勾， 僦z ( 施，钩) ， 魂， ，( s ) = p + 7 8 弘一r + s s o ， 印 s s l ， 8 s l s 8 l ， s l 3 s 0 ， s s o 勾 岛 锪 ，i_l-lj(1lil【 第三节主要结论华东师范大学硕士论文9 m2 见2 p 弘a o p 恤o 七o p p + 6 ) 2 p ( r + 6 ) 2 4 当p = r 时， ( a ) 如果( 鲁) 2 扣+ 6 ) 2 一矿o 且船p m ，则 ( b ) 当 或者 且 或 时。 如果p 0 ，则 如果pso ，则 广c s ，= ：譬三三二茎： ( 和r + ( 知h ，( s ) = 6 ) 2 一矿 o 占) 2 一矿o p 以 p 伪 ，( s ) ： s 魂l ， s2 s l ， s s 1 s s l ， s s 1 丝o b 一 魂 第三节主要结论 华东师范大学硕士论文1 0 其中 一 学一 矽口一仃、6 ( 2 r + 艿) 【( 譬) 2 p + 6 ) 2 一矿】 船2 7 f 啊r 一 p r 盯+ 盯、6 ( 2 r + 6 ) f ( 譬) 2 ( r + j ) 2 一p 2 】 纵2 7 f 啊f 一 证明；当保险人在达到水平口之前达到6 的概率最大时， s u p y ( z ) = o( 6 ) | ?j 其中y ( 口) = 0 ，y ( 6 ) = 1 上式等价于 8 u p 加+ 以一，一6 j ( 五一z ) ) 五+ ( r + 6 j ( 五一。) ) 叫k ( z ) ， ( 7 ) + ( 盯2 詹+ 2 缈p + 萨) ( z ) ) = o 口 $ 6 设，( z ) 为最优投资策略，把广( z ) 带入上式得 p + 阻一九( z ) 】，( z ) + j l ( z ) z ，k ( 。) + 三( 矿2 ，2 ( z ) + 2 舻卢，。扛) + 俨) ( z ) = o ， 其中 九( z ) = r + 万j ( 厂( z ) 一z ) 由于一l o ， 故 告叫g ( 删， 其中 g 垆山竺专筹器糍掣 公式( 8 ) 从。到z 积分两次得 忡旧+ 饧z 霉唧 s 然后我们用公式( 1 0 ) 去寻找广( s ) 使g ( 广( s ) ，s ) 达到最大值可以分成两步；首先 在广( 8 ) 粤和广( s ) s 两种情况下分别求出最大值疗( s ) 和龙( s ) ，然后取广( s ) = m a x 片( s ) ，e ( s ) ) ，则广( s ) 为最优投资策略下面分四种情况讨论 1 肛 r + 6 的情况 ( i ) 若广( 8 ) s ，只需讨论g ( z ，s ) 使z s 令g ：( z ，s ) = o ，由( 1 0 ) 得两根 魂：一堕竺一 p r 勿：一堡竺+ p r 很明显，g ( z ) 在名( 一o o ，名l 】和阮，+ o o ) 两区间递减，在名( 魂，勿) 递增g ( z ，s ) 的形状如图1 所示 a 翰， 图1 ，-l，、_-i、 = 曲 中 其 日 尸瓠 ： 一一 、。l 矿矿 第三节主要结论华东师范大学硕士论文1 3 由于 且 可得 g ( 魂) s o 其中 一( p + 乎) + 、( p 一学) 2 + ( 1 一矿) ( 矿一r 2 ) ( 譬) 2 鼬2 再f 一 p 十r 鲫- 纛，置l i 仃2 舞+ 2 印盯勿+ 伊一叫 约= 一带一( 带一譬) 2 + c l 一矿，( 譬) 2 魂= 一带+ ( 带一譬) 2 + c l 一矿，( 譬) 2 第三节主要结论华东师范大学硕士论文1 4 且 则 即 因此 其中 因此 故 因此 s l2 忍 s ， 艿( s ) = m a x 魂，s )s ( 口，6 ) 片( s ) = 艿( s ) r j 铂，s 盔， 1 l s ，s 魂， 、 r i 魂，s 冬s l ， l s ，s 暑l ， 、 一曲+ 华】+ 知j 可再j 面i 丽 黜= 弘+ r + 6 p + ( p r 一6 ) 魂+ p + 6 ) 8 矿磕+ 2 p 8 0 t + 萨 p 七讳s 盯2 s 2 + 2 印口s + 伊 ，s s l ， s s 1 ( i i i ) 比较g ( 疗( s ) ，s ) 和g ( 疗( s ) ，s ) 得出最优投资策略广( s ) 由引理l 可得，s o s 1 如果s 3 = 降一 匈= 降+ 很明显，g ( 名) 在名( 一，绍】和，+ ) 上递减，在z ( 筋，孙) 上递增g ( z ，s ) 的 形状如图1 由于 g ( ) s ，只需研究g ( 名，s ) 使名 s 令g ；( 名，s ) = o ，由( 1 0 ) 和( 1 1 ) 得 p 6 名= 一l 口 8 s o ， 8 s 0 ， 很明显g ( z ) 在z ( 一o o ，一譬】递增，在名( 一譬，+ o o ) 上递减由于 因此 即 ，( s ) 8 ， 舯，= m a x - 譬，s ) 龙( s ) = 8 ( 口，6 ) 一譬，s 一警， 8 ， s 一譬 第三节主要结论华东师范大学硕士论文1 7 因此 故 且 且 咖= p + ( r + 回s ( 1 一矿) 俨 p + ( r + 6 ) s 矿2 。2 + 2 印仃s + 伊 s 8 0 p + ( r + 6 ) s 口2 罐+ 2 印盯孙+ 伊 ( b ) 如果p o ，则一譬 o ，因此o ，( 8 ) = 嘲= 3 r 0 s s o ， 8 一譬， 一譬 s 0 故 ， 即 印 粤 0 ， s 丝口 一 一 8 一 s 匝矿 一 碰矿 毛 ，iliil，、li【 第三节主要结论华东师范大学硕士论文1 8 施：一堕竺+ p r 很明显，g ( z ) 在名( 一o 。，勿】和，+ o 。) 上递减，在z ( 幻，施) 上递增g ( 2 ，s ) 的 形状如图l 。由于 g ( 勿) g ( 一o 。) = 0 = g ( + ) 8 令g 。( z ，s ) = o ，由( 1 0 ) 得两根 约= 喾等一 s s o ， ，s s o ， 第三节主要结论华东师范大学硕士论文1 9 ，p + ( r + 6 ) s 。 铀5 了i f f + ，十o 一正 很明显，g ( z ) 在z ( 一o o ，幻】和【名l o ，+ o o ) 递增，在z ( 翔，z l o ) 上递减g ( z ，s ) 的形 状如图2 由于 且 礴鼢l 。螺夕矿、 ； 。影? 沁 图2 g ( 勾) g ( 一o o ) = o = g ( 十o o ) g ( 魂o ) ， 其中g ( 糌，s ) = o ，因此 即 易得 ，( s ) s s 翌呸坐 r + 6 一p 劈( s ) = m 觚 为，s )s ( 口，6 ) ， 删= 兰 第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文2 0 故 且 ( a ) 当( 譬) 2 ( r + 6 ) 2 一矿o 且m p 砌时。矗匆 其中 ( b ) 当 或者 且 或 其中 因此 s 12 m 2 纯= p 上a o p 讳o + 口 p p + 6 ) 2 p ( 7 + 6 ) 2 疗( s ) = s ， g ( 肌) i s ) = 丽卷等帝 ( 鲁) 2 ( r + 艿) 2 一p 2 j d 2 p p l 一三 一p + 华) + 知j 歹而j 瓦i 再否丽 f g ( 定( s ) ，s ) 【 p + t + 6 p + 弘8 盯2 s 2 + 2 j 印口s + p 2 s s i ， 掣缘高警，s s 。，口2 露+ 2 印盯勾+ 俨 。工 第三节主要结论华东师范大学硕士论文2 1 因此 且 或者 且 或 则 ( i i i ) 比较g ( 片( s ) ，s ) 和g ( 疗( s ) ，8 ) ，得出最优投资策略广( s ) ( a ) 如果( 譬) 2 p + j ) 2 一矿o 且见p 您， ( b ) 如果 如果s o s 0 p + p s a 2 毋+ 2 p 8 0 s + 伊1 s s o ， 筹蔫杀，s 。，盯2 罐+ 2 p p 盯铂+ 2 u ( 等) 2 ( r + 驴一矿 仇 p 8 1 【约，s 8 1 ，( s ) = 翔， m n z ( 施，约) ， 施， s s o ， s 0 s s l ， s s l 第三节主要结论华东师范大学硕士论文2 2 因此 刚小小十z c 如果s 1 s o ，则 且 p + ( p r 一6 ) 为+ p + 6 ) 8 p 讹一r 磁 专霹窍，鼻( p 叫约棚 盯2 名+ 2 p p 盯约十2矿2 瑶+ 2 p p 盯翘+ 伊 p + ( 肛一r ) 施+ r s 础洳小，= 4 p = r 的情况 日c z ，s ，= 一6 2 2 + ，+ ( s ) 盯2 罐+ 2 矽盯魂+ 伊 8 s 1 ， s 1 s s o ， s s o p + ( p r 一6 ) 为+ p + 6 ) s 盯2 露+ 2 印口绚+ p 2 p + p s 萨毋+ 2 p 8 a 8 + 铲 p 十【p r j 施十r s ( i ) 若，( s ) s ，只需研究g ( 名，s ) 使名s 令g 。( z ，s ) = o ，由( 1 0 ) 和( 1 2 ) 得两根 p 8 z = 一生 口 s s l 8 s o ， ) ， s o s s 1 s s 1 8 l 片( s ) = 一譬，8 s ，s s ( 口，6 ) 一坦 盯， 一鲤 矿 ( 1 2 ) 匆 毋 彩 、-ii_j(1_-l 删 “i i 型 妻l 舻 咖啦 件 第三节主要结论华东师范大学硕士论文2 3 因此 嘟c s ? p + r s ( 1 一矿) 伊 p + r s 盯2 s 2 + 2 印盯s + 伊 ( i i ) 如果广( s ) s ，只需研究g ( 彳，s ) 使z s 令g 。( 名，s ) = 0 ，由( 1 0 ) 和( 1 2 ) 可得两根 一 学 铀- 学+ s 一譬， s 一譬 很明显，g ( z ) 在z ( 一o o ，忽1 】和【名1 2 ，+ o o ) 上递增，在名( z l l ，名1 2 ) 上递减g ( z ，s ) 的形状如图2 由于 且 g ( 魂1 ) g ( 一o 。) = o = g ( + o o ) g ( z 1 2 ) ， 其中g ( 芈) = o ，因此 即 s 翌( ：1 2 兰 6 龙( s ) = m a x 忽l ，s ) 劈( s ) s ( o ，6 ) 8 ，s 魂l ， 魂i ，s 魂1 ( a ) 如果( 譬) 2 ( r + 6 ) 2 一矿o 且册p 以时，s2 z 1 1 其中 伪= m = w o o 。 o 七。 卢p + 占) 2 ( r + 6 ) 2 第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文2 4 故 且 ( b ) 如果 或者 且 或 其中 因此 s 12 层( s ) = 8 ， g ( 肿) ，s ) = 孬老器万 ( 知 ( 知r 片( 8 ) = + 6 ) 2 一矿 8 ，s s l ， 盈l ，s 8 1 一白+ 学) + 知i 万面i 而i 再雨面 嘲 2 r + 6 p + 弘s 萨乎+ 2 p 8 0 s + 萨 s 之s l ， 巍糍篇，s 钆盯2 名备+ 2 印矿魂1 + 伊。、。l ( i i i ) 比较g ( 疗( s ) ，s ) 和g ( 龙( s ) ，s ) ，得出最优投资策略，( s ) ( a ) 如果( 鲁) 2 p + 艿) 2 一矿o 且伪p m ，则 片( s ) = s 以 船 第三节主要结论华东师范大学硕士论文2 5 因此 且 或者 且 或 则 ( b ) 如果 八班伊蓦 f g ( 厂( s ) 曲t 如果p o ，则一譬so ，故 且 p + r s ( 1 一j d 2 ) 伊 p + r s 盯2 驴+ 2 f 猡盯s + p 2 ( 知+ ( 知+ 尼( s ) ，( s ) f g ( ，+ ( s ) ，s ) 【 6 ) 2 一矿 m 胁 s ，8 ：三s 1 ， 魂1 ，s s 1 一譬，s s 1 ， j 。：- 。1 ， 魂l ，s s 1 p + r s ( 1 一矿) p 2 s 一譬， 8 一譬， s s o ， 巍瓮器，s 独，仃2 名 l + 2 印盯z 1 1 + 俨。二叫 p、-、_， f【 第三节主要结论华东师范大学硕士论文2 6 如果p o ，则一譬8 l ，故 因此 且 木( s ) = s ，+ ( s ) = f g ( ，+ ( s ) ，s ) l s ，s s l ， 魂l ，s 8 1 p + 弘s 盯2 s 2 + 2 筇玎s + 伊 p 一6 名1 1 + ( r j ) s 仃2 z 1 + 2 印盯z 1 1 + 伊 s 3 l ， s s l ， 结束语华东师范大学硕士论文2 7 结束语 本文假设保险人的投资选择是存款，贷款和股票交易从贷款利率高于存款利率的 实际情况出发，运用随机分析理论，得到存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系下 的投资者的最优投资策略 本文只介绍了无约束的情况，我们可以假设投资者允许借款的最高上限是九( z ) ，假 设保险人不允许卖空，这一种情况与无约束情况的讨论方法类似，只是多了个约束条 件 ，( z ) 【o ，s + 九( s ) 】 本文没有讨论有约束的情况，有约束的情况和无约束的情况虽然解决问题的方法是一样 的，但有约束的情况比无约束的情况要复杂许多有待以后继续讨论 参考文献华东师范大学硕士论文2 8 参考文献 【1 1s b r o n m e ，o p t i m a li i l v 髑t n l e n tp o l i c i 骼f o ra 缸mw i t har 觚d o mr i s kp r o c e 鼹：更却o n e n - t i a lu t i l i 锣a n dm i n i m i z i n gt h ep r o b a b i h t yo fm i n ，m a t h e m a t 溉0 fo p e r a t i o n sr 鹪e 缸c h ， 2 0 ( 1 9 9 5 ) ，9 3 7 - 9 5 8 【2 】p e 衄n s ，s h a b e 珊缸，a s y p t o t i c 抛dn 岫e r i c a j 觚a l y s i 8o ft h eo p t i m a li n v 够t n l e n ts t r 罅 e 留f o r 柚i 璐皿e r ，i n s u r 趾：m a t h e m a t i c s e c o n o 血伪，4 0 ( 2 0 0 7 ) ，1 1 孓1 3 4 【3 1c i i i p p ，m p l 眦，i to p t 洫a l li n v e s t m e n t 五d ri 璐u r e r s ，i n 8 u r 姐c e ：m a t h 锄a t i e c 争 n o m i c s ，2 7 ( 2 0 0 0 ) ，2 1 5 _ 2 2 8 4 】i k a r a t z 硒，j p l e h o 幽8 e s h r e v e ，g l x u ，m a r t i i l 刚e 柚dd l 擒l 时眦t h o d sf o r u t i l i 锣m 锻i m j z a t i i ni n c o m p l e t em 缸k e t 8 ，s i a mj o 啪a l c 伽【t r o l 雠do p t i m 沱8 t i o n ， 2 9 ( 1 9 9 1 ) ，7 0 参7 3 0 【5 】d 。l ( r 锄l 研，w s c h a c l l e r m a j t h e 蜮能p t o t i ce l 勰t i c 埘o fu t i l 姆觚c t i o 璐8 n do p t i n l a l i i 瑚e s t n l e n ti ni n c o m p l e t em 砌戤8 ，山m 出0 fa p p l i e dp r o b a b i h 劬9 ( 1 9 9 1 ) ，9 0 垂9 5 0 6 】d t l e ，j b j o 嘲，o p t i m a li n v t m e n t 讯t hl 眦p y0 0 s t s ，j 0 眦a l0 fe c 0 m i cd y n 锄i & c o n t r o l ，2 9 ( 2 0 0 5 ) ，1 2 l l 一1 2 3 6 f 7 】r m e r 七o n ，o p t i m a lc o n s u m p t i o n 锄dp o r t f o h or u l e 8i na0 0 n t i n u o u s - t i m em o d e l ，j o l l r n a l o fe c 蛐i c a l lt h e o r e y 3 ( 1 9 7 1 ) ，3 得4 1 3 【8 】v c p e s t i i m ，w d s u d d e r t h ，c o n t i 肌o l l s - t i m er e d 蹰db l a c k ：h 佣七0c o n t r o lad i 觚i o n t oa9 0 a l ，m a t h e m a t i c 80 fo p e r a t i o n sr e s e a r c h ，l o ( 1 9 8 5 ) ，5 9 9 - 6 1 1 【9 1a s c 址e d ，o p t i m a li 删璐t m e n t s 五泄r 6 b l l s tu t i l i 锣f u n c t i o n a l si nc o m p l e t em a r l 【e tm o d e l s ， m a t h e m a t i 娼0 fo p e r a t i o 璐r 鹤e a r 出，3 0 ( 2 0 0 5 ) ，7 5 m 7 6 4 1 0 1h s c h m i d l i ，o n0 p t i m a l li n v 朗t n l e n t 柚d8 u b e 】( p o n e n t i a lc l a h 瑙，i 璐u r 趾c e ：m a t h e m a t i 馏 e c o n o l i c s ，3 6 ( 2 0 0 5 ) ，2 5 3 5 【1 1 】n w 妇g ，o p t i m 8 li i i 嘲t m e n t 五d r 蛆i 璐u r e rw i t he 印0 n e n t i a lu t i l i 锣p r e f e r e n c e ，i n s u r a n c e ： m a t h e m a t i c 8 e c o n o m i 璐，4 0 ( 2 0 0 7 ) ，7 7 氇4 参考文献 华东师