（概率论与数理统计专业论文）随机结构中的极限定理.pdf

摘要 本文主要分为三个部分，我们分别研究在金融保险风险模型，再保险模型，和随机 图模型中的一些极限定理 在金融保险行业中，两随机变量x 和y 的乘积z = x y 的尾分布行为研究一直是一 项基础课题，并得到了大量的应用然而迄今为止，几乎所有的结果都是建立在随机变 量x 和y 间相互独立的假设前提下的，事实证明这个假设是是非常不现实的本文在假 设两随机变量间服从一定的相依结构下，考察了它们乘积的尾分布与独立情形下乘积 尾分布的渐近关系，我们感兴趣的是如何抓住随机变量间的相依结构对其乘积尾分布行 为的冲击因子特别地，对相依结构服从广义f g m 分布时，我们得到随机变量x 和y 乘 积z 的尾概率的明确的渐近公式，与独立情形相比较，我们的结果包含了一个透明的因 子来表示x 和y 间相依结构对其乘积的冲击更进一步，我们深入研究了在此相依结构 下保险模型中的破产概率问题 另外，我们考察了在大额再保险模型l c r 和e c o m o r 中，再保险额厶( t ) 和局( t ) 的 尾分布行为在f 和t 固定的条件下，我们得到了厶( t ) 和局( t ) 的尾概率准确的渐近估计我 们的结果显示，当单个索赔额分布f 为指数分布时，上述尾概率均与g a m m a 分布尾概率 与某因子的乘积渐近等价而当f 具有自卷积尾平衡分布时，上述尾概率均与f 的尾分 布和某因子的乘积渐近等价其中，被乘上的因子都是完全透明的 最后，我们考察了在随机图结构中的某些极限定理如，各种单边区间树的最大间 隔的极限性质，以及b u c k l e y o s t h u s 无标度图的度数序列中的极限性质，另外，我们还考 察了它的最大度数满足的极限定理 关键词：保险，再保险，随机图，相依结构，乘积，广义f g m 分布，大额再保险模型，单边 区间树，b u c k l e y - o s t h u s 无标度图 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o i l s i s t so ft h r e ep a r t s w ee s t a b l i s hs o m el i m i tl a w sf o rt h ei n s u r a n c e ， r e i n s u r a n c e ，a n dr a n d o mg r a p h sm o d e l s ，r e s p e c t i v e l y i ni n s u r a n c ea n d 丘n a n c e ，t h ep r o d u c tz = x yo ft w or a n d o mv a r i a b l e sxa n dyi so n e o fb a s i ce l e m e n t si ns t o c h a s t i cm o d e l l i n g t h e r ew e r em a i l yw o r l 【sa b o u tt h et a i lb e h a v i o ro f t h ep r o d u c tu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h er a n d o mv a r i a b l e s 觚ei n d e p e n d e n t h o ，e v e r ，t h i s a s s u m p t i o ni sf 撕t o ou n r e a l i s t i cf o rm o s ta p p l i e dp r o b l e m s t h e r e f o r e ，i ti sm o r ei n t e r 器t i n g 孤dp r a c t i c a l lt os t u d yt h ec a s et h a txa n dya r ed e p e n d e n t w ba s s u m et h a txa n dyf 0 1 l o w ag e n e r a l i z e df g md i s t r i b u t i o n w | ea r ei n t e r e s t e di nt h eq u e s t i o n 蜘rt oc a p t u r et h ei m p a c t o ft h ed e p e n d e n c eo fxa n dyi nt h i sm o d e lo nt h et a i lb e h a v i o ro ft h e i rp r o d u c tz w e s h a hd e r i v ea ne x p l i c i ta s 珊p t o t i cf o r m u l af o rt h et a i lp r o b a b i l i t yo fz i i lc o m p a r i s o nt ot h e a s ”n p t o t i cf o r m u l af o rt h ei n d e p e n d e n tc a s e ，o u r sc o n t a i n sa ne x t r af 如t o rr e p r e s e n t i i 培t h e i m p a c to ft h ed e p e n d e n c eo fxa n dy w - es h a l la l s oi r l 、，e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et a i lp r o b a b i l i t i e so fl f ( t ) a n d 局( ) ，w h i c ha r er e i n s u r a n c e 锄o u n t si n1 a r g ec l a i m sr e i n s u r a n c em o d e l sl c r a n de c o m o r ， r e s p e c t i v e l y w | ew i l le s t a b l i s hp r e c i s ea s y m p t o t i ce s t i m a t e sf o rt h et a i lp r o b a b i l i t i 髑o fl z ( t ) a ，n d 局( t ) ，w i t hza n d f i ) c e d o u rr e ；u i t ss h o wt h a t ，w h e nf ，t h et h ed i s t r i b u t i o no fc l 撕m s i z e ，i sa ne x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，t h e s et a i lp r o b a b i l i t i e sa r eb o t ha s y m p t o t i ct oam u l t i p l e o ft h et a j lo fag a m m ac i i s t r i b u t i o nw i t hs u i t a b l ep a r a m e t e r s ，w h i l ew h e nfh a sac o i l v o l u t i o n e q u i v a l e n tt a i l ，t h e ya r eb o t ha s y m p t o t i ct oam u l t i p l eo ft h et a i lo ff t h ep r e f a c t o r si n v o l v e d a r ec o m p l e t e l ye x p l i c i ta n dt r a n s p a r e n t a tl a s t ，w ew i l lo b t a i ns o m e1 i m i tt h e o r e m si nr a n d o mg r a p l l j ；，f o re x 锄p l e ，t h em a x i m d g a pi nd i v i s i o no fo n e - s i d e di n t e r v mt r e e s ，t h ed e g r e es e q u e n c e so fb u c k k y - o s t h u ss c a k f r e e r a n d o m 口a p h s ，a n ds oo n 。 k e y w o r d s ：i n s u r a n c e ，r e i n s u r a n c e ，r a n d o m 口a p h s ，p r o d u c t ，g e n e r a l i z e df g md i s t r i b u t i o n ， l a r g ed a i l i l sr e i n s u r a n c e ，o n 争s i d e di n t e r v a lt r e e ，b u d d e y - o s t h 璐s c a b f r e eg r a p h i i i 记号 f ( z ) m f ( ，y ) f 宰g 三( z ) r d 讲n h l f i 1 a r ( z ) b e t 口( z ，可) x 十 p y ( q ) 噩：n ( x + ，y + ) 口 ， 0v6 口( z ) = d ( 6 ( z ) ) 口( z ) = d ( 6 ( z ) ) 口( z ) s 厶( z ) 口( z ) ： o 满足1 i m z - + o o 二( 扔) l ( z ) = 1 实数集( 一o 。，。o ) 函数日的定义域 集合珀勺势，即f 中元素的个数 事件a 的示性函数 g a m m a 函数，即r ( z ) = t 一1 扣e q m b e t a 函数，即b e t n ( z ，y ) = 詹俨一1 ( 1 一t ) y 一1 d t x + = m a x x ，o ) 随机变量y 的a 阶矩，即p y ( q ) = 吖a 第 大的次序随机变量 ( x ，y ) 的独立下复制，即x + 和y + 相互独立且分别与x 和y 同分布 实数n 和6 中取小者 实数。和6 中取大者 l i ms u p z 。g ( z ) 6 ( z ) o 。 l i m 善+ o 。口( z ) 6 ( z ) = o l i ms u p 工- + o 。o ( z ) 6 ( z ) 1 弱等价，即0 0 并假定 o o ，使得 对o t t o 有 z 加 o o ， 则称f ( 或随机变量x ) 是轻尾的 对重尾分布族的研究已经有很多年的历史由于其在应用概率领域，特别是在分支 ( b r a n c h i n g ) 过程( 见c h i s 妨a k o v ( 1 9 6 4 ) ，c h o v e r 等( 1 9 7 3 b ) ) ，排队论( 见b o r o v k 0 、，( 1 9 7 6 ) 或 5 中国科学技术大学博士学位论文 p a k 图( 1 9 7 5 ) ) ，及风险理论( k a l l a u s h n i k o v ( 1 9 9 6 ) ，( 1 9 9 7 ) ) 等领域中的广泛应用，现在人们对 重尾分布族的研究也越来越热下面我们先简单介绍一些重要的重尾子族，有关的细节， 读者可参考e l b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) 1 c 族：对任意固定的y ( 或等价地可= 1 ) ，有 熙帮= 1 ； 2 d 族：对任意的o 耖 1 ( 或等价地秒= 1 2 ) ，有 驶p 帮 o ，有 l i m 掣：2 ，吨； 蕾- o o f ( z ) 9 5 髓一a ，一p ) 族，其中1 口p l ，有 耖气- 蚴f 锗- 啤p 鬻纩 以上各分布族在应用概率领域都有着非常重要的地位，对它们本身性质的研究也一 直是一项重要课题限于我们论文的主要考察对象，我们在此不一一论述，只罗列出一 些在今后证明中需要用到的结论 定理1 1 对任意的1 1 ，z n n z n 一1 ，n = 2 ，3 于是，我 们定义函数 口( 。) = n 1 9 o ， 他) = 志铽p n z p ) 2 ( 2 仃2 ) ) ； p a r e t o ：对q 0 ，一 0 ， b u r r ：对q 0 ，c 0 ，丁 0 ， f ( z ) = ( 志) a ； b e n k t a i l d e r - 锣p ei ：对口 0 ，p 0 ， f ( z ) = ( 1 + 2 ( q ) l n z ) e x p ( 一( 1 n z ) 2 一( q + 1 ) i n z ； b e n k t a n d e r t y p ei i ：对0 f 0 ，0 p o 。0 0 ， m ) = 晶( 1 n 妒。1 z 吨_ 1 第一章几类重要的分布族 截断q 一稳定分布( n u n c a t e dq s t a b l e ) ：对某q 一稳定的随机变量x ，其中1 0 ，均有 ，霉( 1 一f p ) ) _ o o ，z 一 上面命题解释了次指数叫法的由来与其相对应，如果存在某e o 使上面极限存在 有限，则我们称f 为超指数分布，我们在第四章会在适当处对超指数分布做一简单介绍 命题1 3 若分布f s ，则对任意 o ，存在某个常数g o 使得不等式 两( z ) g ( 1 + e ) n f ( z ) 对所有礼= 1 ，2 和z o 成立 历年来很多学者都在致力于用次指数所特有的性质解决各种随机结构中的极限理 论问题我们在接下来的两章中就是在次指数的分布的假定下解决一些金融保险模型中 的相依随机结构问题，而第四章的分布假设也包含了次指数情形为了行文通顺，我们 在主要证明中再对次指数其他重要性质进行论述 中国科学技术大学博士学位论文 在次指数分布族的子族中，7 已族尤为重要，我们称一个分布函数f 有正则变化尾，即f 冗一口，q 0 ，若对任意掣 o ， j i m 掣：耖 z o o f ( z ) 9 特别地，如果f ，则称f 有慢变尾或称f ( 。) 为慢变函数由定义可知，f 冗一a ，口 o 等价于存在一个慢变函数l ( z ) ，使得 f ( z ) = z d l ( z ) 所以，我们可以很容易验证p 盯e t o 分布，b u r r 分布，l 9 9 9 锄m a 分布，以及截断q 一稳定 分布都属子冗族很显然，如果一个非负随机变量x 的分布函数f 冗一口，q o ，则 对p q 1 成立，则称f 有快变尾，记作f 冗一 虽然从定义的形式上看，快变分布族冗一是分布族冗一。当q 逼近于无穷时的极限分 布族，但是快变分布族并没有完全保持后者的重尾性事实上，冗一族包含的分布非常 广泛，既有重尾分布如l o g n o r m a l ，也有轻尾分布如指数分布，它是正则变化族7 已的一个 很好补充 从定义上看，冗一族可以近似看作是d 族的一个余集所以，在考察分布族s 时，我 们也通常会采取在冗一a 族和5n 冗一上分别考虑的方法而这两个子族也几乎包含了所 有重要的次指数分布，如在三大经典的次指数分布中，p a r e t o 分布属于冗族，而另外两大 次指数分布l 0 9 n o 册d 分布与重尾w b i b u l 分布就在sn 冗一中 1 0 第一章几类重要的分布族 对快变分布族性质的系统研究始于d eh a a n ( 1 9 7 0 ) ，最近关于此分布族的应用读者 可以参考g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 4 ) 以及b a r b e 和m c c o r m i c k ( 2 0 0 8 ) 等文献 一个显然的事实是，若f ( z ) 冗一，则对任何c o ，都有f ( z c ) 冗一另外，如果 两个分布函数f l ( z ) xf 2 ( z ) ，即存在o o ，存在d o ，使得不等式 器 o 我们称分布f c ( 7 ) ，y o ，若对所有z o 有f ( z ) 0 ，并且关系式 曼恐掣：e 7 ( 1 1 ) 霉。 f ( z ) ”7 对所有y 都成立我们通常也称分布f 具有指数尾( e x p o n e n t i a lt a i l ) ，由c l i n e ( 1 9 8 6 ) 等文 献可知，这样的分布具有表达式 f ( z ) = n ( z ) e x p o ，口( z ) _ q 值得注意的是( 1 1 ) 式的收敛对所有有限区间内的秒一致成 立显而易见，指数分布 歹( z ) = 1 一f ( z ) = e 一似，z o ，一y o ， 是此分布族的典型代表 中国科学技术大学博士学位论文 特别地，如果一个分布f 属于c ( ，y ) ，y o 族，并且极限 熙错地 z o of ( z ) 存在有限，其中f + 2 为f 的二重卷积，则我们称f 有自卷积平衡尾( c o n v o l u t i o n e q u i v a l e n t t a i l ) ，记作f 5 ( ，y ) ，y 0 自从在c h i s t y a l 【0 v ( 1 9 6 4 ) 和c h a v e r 等( 1 9 7 3 ) 中被引入，s ( 7 ) 族的性质一直被众多学 者研究并应用到各种领域关于此分布族的最新文献有p a k e s ( 2 0 0 4 ) ，t a n g ( 2 0 0 6 ) ，f 0 懿和 k o r s h u n o v ( 2 0 0 7 ) 以及、v a t a n a b e ( 2 0 0 8 ) 等s ( 7 ) 族通常被用来刻画保险中的单个索赔额 ( c l a i m - s i z e ) 的分布，例如在文献e m b r e c h t s 和v e r a w r b e k e ( 1 9 8 2 ) ，k l i p p e l b e r g ( 1 9 8 9 a ) ，t a n g 和t s i t s i 硒h v i l i ( 2 0 0 4 ) 中都有详细介绍作为一个众所周知的结果( 可参见r o g o z i n ( 2 0 0 0 ) ) ， 我们知道上式中的常数c 即为f 的矩母生成函数在，y 点处的值，即 c = ，n f ( 7 ) = z d f ( z ) 所以分布f s ( ，y ) 的前提条件是仇f ( 7 ) o 的指数分布属于c ( ，y ) 族但是不属于s ( ，y ) 族 s ( 7 ) ，7 o 族中的一个典型分布为广义反转高斯分布( g e n e r a l i z e di n v e r s eg a u s s i a n ) ， 即具有密度函数 m ，= 筹z 也印倦c ，2 ) 其中p 和p 均为正值参数更多的例子和评论读者可参见文献e i n b r e c h t s ( 1 9 8 3 ) 中定理和 c l i n e ( 1 9 8 6 ) 中的定理2 4 由定义不难看出，当7 = 0 时，c ( o ) 族和5 ( o ) 族即分别是我们前面提到的长尾c 族和 次指数s 族所以为了包含这类重要的分布族，我们处理c ( 1 ) 族和5 ( ，y ) 时大多数时候都 希望把1 = o 情况包含在内 但是我们要注意，与族定义不同，在c ( ，y ) 定义中式( 1 1 ) 对所有可都成立不能换成对 某个妙成立例如对几何分布f g 白) ，有 热锗= 南银 $ - o o f ( z ) 1 一p 7 但是其中的z = 1 不能换成对任意的f o ，因此，g ) 不属于c ) 族 第一章几类重要的分布族 另外，我们要清楚s ( ，y ) 族当7 o 时为轻尾，而当，y = o 时表示的却是重尾分布族，事 实上，如果一个随机变量x 的分布函数属于c ( 1 ) ，y o 族，则它的指数随机变量的分布 属于冗一a 族所以5 ( ，y ) 族是连接重尾分布与轻尾分布的一个桥梁，在金融保险模型中发 挥着重要的作用( 具体可参见第四章以及相关文献) 对分布族c ( 7 ) 和s ( 们，7 o ，我们很容易验证它们有以下基本性质： 1 若两个分布函数f l 和f 2 尾平衡，即存在常数c o 使得瓦( z ) 一c 万( z ) ，则f l 属 于c n ) ( 或s ( ，y ) ) 族等价于民属于( 1 ) ( 或s ( 1 ) ) 族 2 对随机变量x 和任意常数c o ，若x 的分布函数属于s ( ，y ) ，y o 族，则随机变 量c x 的分布函数属于s ( ，y c ) 族 3 对两个分布函数f 1 和尼，如果f l ( ，y 。) ，局c ( 7 2 ) ，其中o 1 1 能 。o ，则 有l i m z o o 尼( z ) f 1 ( z ) = 0 对快变族和s ( ，y ) 族的深入性质我们会在接下来几章中再进行讨论和应用 1 3 第二章相依随机变量乘积尾性状 本章节我们主要考察与随机变量乘积的尾行为相关的极限理论，在金融保险业模型 中，经常会遇到随机变量的乘积例如，一张原始价值为x 的有价证券，由于受到利率y 的 影响，一段时间之后，其实际价值增值为x y 鉴于现实金融保险模型的特点，我们致力 予在相依结构下考察两随机变量的乘积尾分布的渐近性质在本章中，我们首先在一般 的相依结构( c o p u l a ) 下得出一个相对粗略的渐近结果，然后对某些特殊的联合分布，如 广义f g m 分布，我们彻底解决此相依结构下的乘积尾概率极限理论问题所得出的结 果是下一章考察金融保险模型中总赔付额尾渐近行为问题的基础 贯穿全文，如果没有特别说明，我们规定所有的极限关系都是对实数。_ o o 而言并 且，我们假定任意随机变量都不退化到o 对两正函数a ( ) 和6 ( ) ，满足 z _ 嗽f 器絮p 智 f + ， 如果z + 。，则记n ( z ) = d ( 6 ( z ) ) ； 如果f + = 0 ，贝0 记o ( z ) = o ( ! ，( z ) ) ； 如果f + = l ，贝i j 记口( z ) 焉6 ( z ) ； 如果 + o ，则记口( z ) 6 ( z ) ，并称口( z ) 和6 ( z ) 弱等价； 如果z + = z 一= 1 ，则记o ( z ) 一6 ( z ) ，并称口( z ) 和6 ( z ) ( 强) 等价 另外，在一些偶尔场合，为了行文紧凑，尽管参数印可能为o ，我们依然用o ( z ) 一勺6 ( z ) 来 表示两函数间的等价关系，只是要注意的是，当勺= o 时，它表示口( z ) 6 ( z ) _ o ，即o ( z ) = o ( f i ) ) 2 1随机变量的乘积 设随机变量x 和y 为两个非负随机变量，分布分别是f 和g 令日是它们乘积 的分布函数 z = x y 1 5 ( 2 1 ) 中国科学技术大学博士学位论文 2 1 1 研究乘积尾性状的意义 非负随机变量的乘积( 2 1 ) 是随机结构中的一个基本元素，对此问题的研究兴趣始于 两个特殊的应用模型第一个例子是关于无穷变差回归( i n f i n i t ev a r i a n c er e g r e s s i o n ) ( 参见 c l i n e ( 1 9 8 6 ，1 9 8 9 ) ) 和无穷变差时间序列( 参见d 州s 和r 鹤n i c k ( 1 9 8 5 ，1 9 8 6 ) 等) 第二个例 子是关于无穷可分随机过程( i n f i i l i t e l yd i v i s i b l es t o c h a s t i cp r o c e s s e s ) 的样本路径理论( 参 见r o s i n s k i 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 3 ) ) 随机变量的乘积在金融保险业中也有着广泛的应用例如，e n l b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 中引入 了如下方程，用以刻画受到利率影响的资产总额： k = k 岛+ 岛， n 。 时间序列中的a r c h 模型也经常表现为随机变量乘积的形式我们在下一章中用如下方 程来描述保险公司的资产积累： 晶= 砉卜j 塞。巧) 这些都离不开对非负随机变量乘积尾行为性质的研究 在讨论中，我们假定随机变量x ( 或其分布f ) 是在模型中起主要作用的因素，而y ( 或其分布g ) 为起次要作用的因素从应用的角度考虑，人们自然希望利率y 不要过多地 影响本金x 的性质，亦即x y 的尾分布性状不要与x 有太大的差别，例如不要改变x 所属 的分布族等，这是因为任何保险公司都希望保持理赔政策的稳定性，不希望它受到利率 波动的影响，所以关于乘积的分布的族性问题受到普遍的关注也就是我们要考察的问 题是：随机变量y 的分布g 满足什么条件时，乘积z = x y 的分布剜6 果持与x 的分布f 相 同的族性 2 1 2 独立乘积的一些结果 目前绝大多数研究成果都是基于随机变量x 和y 独立的情况下得到的这是由于对 乘积尾概率公式 万( z ) = f ( 砒，) d g z o ， ( 2 2 ) 第二章相依随机变量乘积尾性状 的应用是处理这些问题的起始点我们在第一章就介绍过，在金融保险业中一般都会用 次指数分布或者快变分布来作为本金或者单个索赔额的分布，所以在假设x 的分布属于 次指数或者快变函数的前提下，考察独立乘积分布函数日的族性问题是一项热门课题， 并在近几十年来得到了很大发展 鉴于下列命题在后面的证明中被频繁引用，我们用定理的形式列出它们，其证明读 者可以参考相应的文献 早在1 9 6 5 年b r e i m a n 就证明了下述定理，故被称为b r e i m a n 定理： 定理2 1 俾r e i m o 叫两独立随机变量x 和y 分布函数分别为f 和g 若f 冗一口，os q o 使得e y a 托 z ) 一e y a f ( z ) ( 2 3 ) 定理的证明可参加b r e i m a n ( 1 9 6 5 ) ，c l i n e 和s a m o r o 血i t s k y ( 1 9 9 4 ) ，或者k 0 n s t a n t i n i d e s 和m i k o s c h ( 2 0 0 5 ) 最近，d e n i s o v 和z w a u r t ( 2 0 0 7 ) 通过对慢变函数进行细致分类对b r e i m a n 定理做了进一步的改进 定理2 2 陋m 6 他c 胁和g d 胁e 以9 8 刃，两独立随机变量x 和y 分布分别为f 和g 若f 冗一q ，o q 之o o ，且虿( z ) = d ( f ( z ) ) 或者g 7 宅一q ，则有日7 已一a c l i n e 和s 锄o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 把考察的范围拓展到整个次指数分布族s ： 定理2 3 f ，c e 和s 口m o m 咖i f s 切口9 鲋两独立随机变量x 和y 分布分别为f 和g 若f s ，且存在函数o ( ) ：【0 ，o 。) 一【0 ，。) 使得下列关系式同时成立? 仃j 口( 。) _ o o ， 俐n ( z ) 肛一0 ， 例召( o ( z ) ) = d ( z ) ) ， “jf ( z n 0 ) ) 一f ) ，则有日s 另外，i h g ( 2 0 0 6 b ) 指出如果函数l f 有正的下m a t u s z e w s k a 指数( 绝大多数有用的 分布函数都满足这个性质) ，那么上述定理中的条件( 4 ) 可以去掉对于f 属于快变族与长 尾族的情形，t a n g 和t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 4 ) 与苏淳和陈煜( 2 0 0 6 ) 分别给出了类似结果如下： 17 中国科学技术大学博士学位论文 定理2 4 f ，死叼和乃伽l t 棚俾口咏若f 冗一o o ，且存在函数o ( ) ：【o ，。o ) _ 【o ，) 使得定理2 3 中的条件( 1 ) 一( 3 ) 满足，则独立乘积分布日冗一 定理2 5 偌淳和陈煜俾d 口砂j 若f c ，且存在函数口( ) ：【o ，o o ) _ 【0 ，o o ) 使得定 理2 3 中的条件( 1 ) 一( 3 ) 满足，则独立乘积分布日c 注2 1 显然，如果g 是一个有界随机变量的分布函数，则上述定理中的条件自动满 足特别地，如果一个随机变量的x 分布属于冗一做c ，族，则对任意o z ) = 1 = d f ( s l ，s 2 ，s n ) ， ，s l s 2 5 n z = d c ( f 1 ( s i ) ，恳( s 2 ) ，晶( s n ) ) = c ( 毋( s 1 ) ，局( s 2 ) ，晶( s n ) ) d 只( 吼) ， ( 2 5 ) ， ，s l s 2 s n 2 ；一1 其中 c ( ，) 2 两高瓦c ( u 2 ，) 盎n 称为c o p u l ac 的密度( c o p u l ad e n s i t y ) 定义2 2 对随机向量( x l ，恐，) ，我们称( x f ，弼，弼) 为其独立下复制，如 果对每伸= 1 ，2 ，礼，舛与五独立同分布，且f ，遄，碥间相互独立 显然，与( x ；，霹，端) 联合分布对应的是独立c o p u l a n ( t l ，u 2 ，t 正n ) = u l t 2 让n 对任意非负随机变量y 的分布函数g ，我们记 矿= s u p y l g ( y ) o ，则关系 式虿( u z ) = d ( 耳( z ) ) 对所枷 o 成立的充要条件为存在一个函数口( ) ：【0 ，o o ) 一【0 ，。o ) 使 得下列三个条件同时成立? 2 2 第二章相依随机变量乘积尾性状 口j 口( z ) 一。o ， f ：砂n ( z ) 。+ o ，和 俐召( 口( z ) ) = o ( 百( z ) ) 证明引理的充分性是很显然的，我们只需要证明其必要性由条件我们知道对每 个自然数凡= 1 ，2 ，有 l i m 坠型乩 z 。o o 爿( z ) 所以存在一列增的正数列 z n ，竹= 1 ，2 ) ，满足递归不等式z 疗+ 1 ( n + 1 ) z n ，使得对任 意z ，犯= 1 ，2 ，都有不等式 壁邀 z ) 对所有u o 成立，则x y 的分布也属于冗一。o 族 推论2 2 设随机变量x 和y 相互独立，分布函数分别为f 和g 若f 冗一o 。，g 冗一，且f 和g 均有无穷右端点，则乘积x y 的分布也属于冗一o o 族 证明对任意t o ，因为g 冗一o o 和f ( 2 几) o ，我们有 稿撬一o p r ( x 】厂 z ) 二百( t z 2 ) f ( 2 让) ” 应用推论2 1 的结果，我们知道x y 的分布属于冗一o o 族 口 为记号方便，从现在开始，对任意实数口和6 ，我们记a b = m i n o ，b ) ，而口v6 = m a x 口，” 我们假设随机变量分布有快变尾，即属于冗一o o 族，下面我们给出本节的两个主要结 果 中国科学技术大学博士学位论文 定理2 8 设两非负随机变量x 和y 分布函数分别为f 和g ( x 。，y + ) 为( x ，y ) 的独立 下复制假设f 冗一，g 有无穷右端点，且_ ( 仳z ) = d ( 1 ) p r ( x y 。 z ) 对任意u o 成 立如果( x ，y ) 联合分布对应的c 印u z c lc 的密度c 满足 c ( t 上1 ，u 2 ) _ m 0 ， 当u 1 t 2 1 ( 2 7 ) 则乘积x y 的分布函数属于冗一o o 族，并且有 p r ( x y z ) 一m p r + y 。 z ) ( 2 8 ) 证明由( 2 5 ) 式我们有 p r ( x y z ) = 儿 霉c ( 帅) ，) ) 州班( ( 2 9 ) 对任意固定的足够小e o ，条件( 2 7 ) 意味着总存在着一个足够大的l o ，使得当s t l 时，有 m g c ( f ( s ) ，g ( t ) ) z ，( x z ，x z ，y z ) 。 p r ( x + y + z ) 鞘+ 蒜簧淼 仁 s 丙蕊可弓丽十丙两弓五两丽 l z j l j 因为召( t z ) = d ( 1 ) p r ( x y z ) 对所有t o 成立，所以( 2 1 1 ) 式中第一项当z - + o 。时趋 于o ；又由于f 冗一，而分布g 有无穷右端点确保虿( 2 l ) 不为o ，所以根据快交分布的定 义知( 2 1 1 ) 式中第二项当z _ + o o 时也趋于o 从而， 呈坐2 掣量掣半坚盟_ o p rf x y 事 z ) 一 所以，我们有 p r ( x y z ) = p r ( x y z ，x y l ) + d ( 1 ) p r ( x y z ) ( 2 1 2 ) 同理， p r ( x y z ) = p r ( x y 。 z ，x y + l ) + d ( 1 ) p r ( x + y + z ) ( 2 1 3 ) 2 4 第二章相依随机变量乘积尾性状 而另一方面， p r ( x y z ，x y l ) = 儿 鼬胁l c ( 砷) ，g ) f ( d s ) g ( 由( 2 1 0 ) 式和上式我们知对充分大的z ，下列两式同时成立 p r ( x y z ，x y l ) ( m + ) p r ( x y + z ，x y l ) p r ( x y z ，x 人y l ) ( m 一) p r ( x y z ，x + y l ) 于是，由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式可得 ( m e ) p r ( x y 。 z ) sp r ( x y z ) s ( m + ) p r ( x 。y 。 z ) 令e o o ，式( 2 8 ) 成立另外，根据快变分布族的尾平衡下封闭性质知，乘积x y 的分布 也属于冗一族定理得证 口 我们不难验证定理中的条件( 2 7 ) 对大多数c o p u l a 都满足所以使定理成立的相依 结构是相当广泛的我们不妨通过几个例子来看： 例2 1 屁r ：l e 瓯m e f 幻佃e 仃s e m 例2 2 a 叼t o n c ( 让，口) = u u + 口让t ，( 1 一t 1 ) ( 1 一u ) ， 护( 一1 ，1 】， m = 驻m c ( u ，口) = 1 + 口 o ； _ 1 7 c ( t ，t ，) = ( u 一伊+ t ，一p 一1 ) 一1 归，口( o ，o 。) ， m = ! 啤，c ( u ，t ，) = 1 + p o ； u u l 例2 3 蜀他死后 c ( u ，钉) ：一吾l n ( - + 垒：= ! 竺。= 三掣) ，口t 。) ， m = u 牌。c ( 训) = 芒 o ；u t ，_ l l e f 2 5 中国科学技术大学博士学位论文 接下来，我们考虑更一般的多维情形设( x l ，恐，) 为n 维随机向量，具有连 续的边缘分布分别记作f l ，玛，晶我们设对每个t = 1 ，2 ，n ，r 均有无穷右端点， 即耳( z ) 0 对任何z o 成立，且r 冗一o o 我们用n 维c o p u l ac = c ( u 1 ，u 2 ，u n ) 来描述蜀，t = l ，2 ，n 之间的相依结构，并 对 【1 ，2 ，亿) 的每个非空子集，我们记研为随机变量序列( 咒，i j ) 联合分布对应的 c o p u l a ，而记c ，为其相应的密度 类似于二维情形，我们用( 嚣，弼，弼) 来表示随机向量( x 1 尥，) 的独立下 复制下面是我们对多维情形得出的主要结果： 定理2 9 设一列非负的随机变量x l ，尥，具有无穷右端点，分布函数分别 为f 1 ，局，晶其联合分布对应的c 叩u j a 为c ( u l ，t 2 ，u n ) 我们设毋冗一，i = l ，2 ，n ，且存在常数a 使得对 1 ，2 ，n 的每个非空子集j 均有c j a ，则 p r ( 垂磁 z ) 一mp r ( 垂x z ) ， c 2 1 4 ， 其中 m = 。l i m ，c ( t l ，u 2 ，u n ) 饕l t _ 1 。 。 证明由定理条件知，对任意小e o ，存在足够大的l o 使得当 各1 s i l 时有 m 一5 圳叫懈弛川 其中，c = l ，2 ，行卜- ，显然，若以屁，则研。：n 巩，蛋= 1 2 i 那么，由概率的可列可加 性，对充分大的z 我们有 p r 五 z ) 珊( ) = p r ( 刚， ( 2 1 6 ) 其中求和项是对 1 ，2 ，他】的所有非空子集进行的 记l j i 为j 中元素的个数，则o 南)t ， 一 第二章相依随机变量乘积尾性状 2 j 也。跚删c ，疆刚d s 。 胛r ( 碍 南) ( 2 1 7 ) l ， 一 由推论2 2 和归纳法我们知道对任意非空集j ，乘积兀则霹的分布函数都属于冗一，并且 注意到最，i = 1 ，2 ，咒均有无穷右端点所以， p r ( n 叫群 南) 一 p r ( n 列碍 南) i 面石rs 可历磊蒿而而丽 于是由( 2 1 7 ) 式知，对所有的j ( 1 ，2 ，礼) 有 p r ( b 如) = d ( 1 ) 叫群 z ) ( 2 1 8 ) 所以，我们现在只需要考虑j = 1 ，2 ，礼) 的情形，此时， p r ( 研，z ) = p ri 五 z ，五 厶 = 1 ，2 ，礼) 2 一厶饕冲 小饕。驴l “目( s 1 ) ，r ( s 。) 娶r ( d s i ) 由双边不等式( 2 1 5 ) 可得，对充分大的z ， c m 玲z 卜c 啡c 坤 z ) 注 再由( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式我们立即有 c m 一，p r ( 垂- 譬 z ) sp r ( 垂磁 z ) 焉c m + e ，p r ( 垂叉? z ) 令5 0 ，( 2 1 4 ) 式成立定理得证 口 注2 2 由于快变分布族在尾平衡下是封闭的，所以我们可以断定在定理的条件下， 随机变量噩，t = 1 ，2 ，n 的乘积的分布函数依然