（理论物理专业论文）几何相位门与量子算法研究.pdf

福建师范大学理学硕士学位论文 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名)塑罂 学号一 唧7 1 专业 望笙望里所呈交的论文( 论文题 目：几何相位门和量子算法研究) 是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。本 人了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交的学位论文并允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的 全部或部分内容：学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位敝储签名翅兰f 塑酶撕签名歪盟 签名日期 福建师范大学理学硕士学位论文 摘要 量子计算和量子信息是量子理论分别与计算科学和信息科学相结合产生的新兴交叉 学科。它是以量子态作为载体，通过对量子态的制备和操纵来实现量子计算和量子信息处 理过程。量子算法不仅是量子计算信息科学中最具挑战性的研究领域，而且也是引发量子 计算科学大量研究的最初动因，g r o v e r 搜索算法和s h o r 算法的发现，以及其在根本上超越 了经典算法，让人们对量子计算发展充满了期待。量子信息学中的量子隐形传态，量子密 钥分配等在经典物理学中看来不可思议的理论，更是激发了人们对这门新兴学科的兴趣。 囚禁离子技术是实现量子计算和量子信息处理的一种重要的技术，因此，基于囚禁离子技 术的量子计算和信息处理的研究有着重要的理论和实验意义。本文的主要工作有： 1 、几何相位门的物理实现。量子逻辑门是实现量子计算和量子信息处理的基本元件， 因此具有一定容错性质的几何相位门的研究具有一定意义。在本文中，我们利用囚禁离子 技术来实现几何相位门，在该方案中，经典激光场与离子的能级跃迁频率共振，使得门操 作时间比较短，这样能一定程度上避免退相干的影响。此外，这个方案还不需要进行几何 单比特操作来实现相位门，而几何单比特操作在实验上比一般的单比特操作麻烦。 2 、量子随机行走的物理实现。量子随机行走是经典随机行走的在量子体系上的一个 自然推广，人们希望能够基于量子随机行走构造出新的量子算法，目前已经发现一种基于 量子随机行走的搜索算法，能达到与g r o c e r 搜索算法同样的计算速度。在本文实现方案中， 我们讨论了用囚禁离子来实现直线型的离散量子随机行走。该方案只需一束驻波激光和 万2 脉冲来操纵离子态，在实验上较为简单。 3 、量子博弈的物理实现。量子博弈论是博弈理论和量子理论相结合的一门学科，研 究表明经典博弈论中无法解决的问题在量子博弈论中可以得到解决。在本文中，我们讨论 了如何利用囚禁离子技术来实现量子囚徒困境的方案，该方案比较简单和直接，并且离子 振荡模处于虚激发状态，使得系统对振荡模的热效应不敏感。 关键词：囚禁离子、几何相位门、量子随机行走、量子博弈论。 福建师范大学理学硕士学位论文 - _ - _ - _ _ l _ _ _ _ _ _ _ - i _ - _ - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - - l l i i - _ l _ - _ - _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ i _ _ - - l - _ - _ _ - - _ - - _ 一 a b s t r a c t q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o ni sa ni n t e r e s t i n gn e ws u b j e c t ，w h i c hi s a c o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n dc o m p u t a t i o no ri n f o r m a t i o ns c i e n c e i tm a k e sq u a n t u m s t a t ei n f o r m a t i o nc a r r i e r ,a n dm a n a g e sq u a n t u mi n f o r m a t i o nb ys t a t ep r e p a r a t i o na n d m a n i p u l a t i o n q u a n t u ma l g o r i t h mi s n o to n l yt h em o s td i f f i c u l t c h a l l e n g eo nq u a n t u m c o m p u t a t i o n ，b u ta l s ot h er e a s o nf o rl o t so fr e s e a r c ho nq u a n t u mc o m p u t a t i o n , t h ed i s c o v e r so f g r o v e ra l g o r i t h ma n ds h o ra l g o r i t h mf o r c ep e o p l ed e v o t i n gi n t ot h i ss u b j e c t t h ei n c o n c e i v a b l e c h a r a c t e r so fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dq u a n t u mc r y p t o g r a p h yi n s p i r em a n yp e o p l e s i n c et h e t r a p p e di o n s i st h e v e r yi m p o r t a n tp h y s i c a ls y s t e m sb yw h i c ht h et h e o r i e so fq u a n t u m i n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o nc a l lb ed e m o n s t r a t e da n dt e s t e d ，t h es y s t e mp l a yv e r y i m p o r t a n tr o l e si ns t u d y i n gq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n t h em a i nc o n t e n t s a r ea sf o l l o w s ： 1 r e a l i z a t i o no fg e o m e t r i cp h a s eg a t e s q u a n t u ml o g i cg a t e si st h eb a s i ce l e m e n t so f q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，a n dt h er e s e a r c ho ng e o m e t r i cp h a s eg a t e s w h i c ha v o i d ss o m em i s t a k e sh a ss o m es i g n i f i c a n c e w ep r o p o s ea na l t e r n a t i v es c h e m ef o rt h e i m p l e m e n t a t i o no fg e o m e t r i cp h a s eg a t ew i t ht r a p p e di o n s i nt h ep r e s e n tp r o t o c o l ，t h el a s e r b e a mi st u n e dt oi o n i ct r a n s i t i o nf r e q u e n c y , t h eg a t es p e e di sm u c hf a s t e ra n dt h es y s t e mi sr o b u s t a g a i n s td e c o h e r e n c e m o r e o v e r , w ec a nr e a l i z et h eg e o m e t r i cp h a s eg a t ew i t h o u ti m p l e m e n t i n g a n yp u r eg e o m e t r i cq u b i to p e r a i o n 2 r e a l i z a t i o no fq u a n t u mr a n d o mw a l k q u a n t u mr a n d o mw a l ki st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h e r a n d o mw a l ki nq u a n t u ms y s t e m ，a n di tw a sh o p e da sab a s i ct oc o n s t r u c tan e wq u a n t u m a l g o r i t h m i nr e s e n ty e a r s ，an e wq u a n t u mr a n d o mw a l ks e a r c ha l g o r i t h mh a sb e e nf o u n d ，w h i c h n e a r l yh a st h es a n l cs p e e da st h eg r o v e rs e a r c ha l g o r i t h m w ep r o p o s eas c h e m et oi m p l e m e n t t h eq u a n t u mr a n d o mw a l ko nal i n ei na ni o nt r a p ，w eo n l yu s eas t a n d w a v el a s e rp u l s ea n da p e r i o d i cf a s t 死j 2p u l s et oi m p l e m e n tt h eq u a n t u mw a l k ，t h ee x p e r i m e n tm a t t e ri sq u i t es i m p l e 3 r e a l i z a t i o no fq u a n t u mg a m e q u a n t u mg a m ei sa ni n t e r e s t i n gn e ws u b j e c t , w h i c hi sa c o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n dg a m et h e o r y i th a sb e e ns h o w nt h a ts o m ep r o b l e m w h i c hc a n n o tb er e s o l v e di nc l a s s i c a lg a m e ，c a nb cd o n ew e l li nq u a n t u mg a m e w ep r o p o s ea s c h e m et or e a l i z et h et w o - p l a y e rq u a n t u mp r i s o n e r sd i l e m m a 、析t l lh o tt r a p p e di o n s b a s e do n t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n t w oi o n sa n db i c h r o m a t i cr a d i a t i o n ，t h ev i b r a t i o n a lm o d ei n0 1 1 1 s c h e m e i so n l yv i r t u a l l ye x c i t e ds ot h a tt h es y s t e mi si n s e n s i t i v et ot h et h e r m a lf i e l d k e y w o r d s ：t r a p p e di o n s ，g e o m e t r i cp h a s eg a t e ，q u a n t u mr a n d o mw a l k ，q u a n t u mg a m e h 福建师范大学理学硕士学位论文 中文文摘 量子计算和量子信息因其许多不同于经典物理学的特性，引起人们广泛兴趣，是当前 研究热点之一。量予计算足量予理论与计算科学相结合产生的交叉学科，而量予信息是量 子理论与信息科学结合产生的交叉学科。由于量子理论在本质上与经典物理学的差异，使 得这量子信息科学具有许多经典物理学没有的特殊的现象，例如量子隐形传送，受控密集 编码，量子密钥分配等等。在9 0 年代中期提出的s h o r 快速因子分解算法和o r o v e r 搜索算 法，其本质上超越了经典的算法，促使人们一方面从理论角度研究量子算法，期待能发现 更多的量子算法以实现量子计算，另一方面从实验角度来研究量子计算机的构建。 构建量子计算机最大的困难是，量子系统受到环境影响而引起的消相干效应，消相干 效应使得多量子比特的制备和纠缠具有很大的挑战性。量子计算机的基本元件是量子逻辑 门，为了实现量子计算，就需要有能够尽可能减少消相干效应影响的量子逻辑门，几何相 位门因为其内在的容错性质，成为实现量子计算的可能。在本文中，我们进行了几何相位 门和量子算法的一些研究。本文的主要工作如下： 第一章，绪论。简要介绍了量子计算与量子信息的研究背景、量子计算机的基本元件 量子逻辑门，以及量子算法的一些基本概念。 第二章，几何量子计算。现在已经提出许多方案用来实现可容错的量子计算，每种方 案都可克服某些退相干效应的影响，其中一种很有吸引力的方案是利用几何相位来实现量 子门，而由这种逻辑门构成的量子计算被称为几何量子计算。当前的量子逻辑门主要由系 统的动力学演化来实现，而演化过程不免受到一些局域的涨落的影响。由于几何相位是一 个整体的相位，某些局域的无规涨落的影响可被忽略，因此具有内在的容错优点而受到广 泛的重视。在本章中，我们重要讨论了非常规的几何相位门，非常规几何相位具有常规几 何相位的所有优点，而且常规几何相位需要引入额外的操作来消除动力学相位，这样就可 能引起一些额外的错误，而非常规几何相位只需将量子比特在相空间移动一个闭合路径， 不需要额外的操作。这样是因为，在整个演化过程中，动力学相位与几何相位是成比例的， 总的相位，即非常规几何相位也就具有几何相位的所有性质。我们提出一个基于离子阱来 实现非常规几何相位门的方案，在这个方案中，经典激光场与离子的能级跃迁频率共振， 使得门操作时间比较短，这样能一定程度上避免退相干的影响。此外，这个方案还不需要 进行几何单比特操作来实现相位门，而几何单比特操作在实验上比一般的单比特操作麻 烦。 i l i 祸建师范大学理学硕士学位论文 _ i 一i 一一 i _ 第三章，量子随机行走。量子随机行走是经典随机行走的在量子体系上的一个自然推 广，最早由a h a r o n o ve ta l 等人提出。由于经典随机行走在经典计算上的算法应用，人们希 望能通过量子随机行走构造新的一种量子算法。目前；人们已经发现一种基于量子随机行 走的搜索算法，与d o v e r 搜索算法类似，它也是一个调用o r a c l e 的搜索算法，并且能达到与 d o v e r 搜索算法同样的计算速度。在本章中，我们简单介绍了如何将经典随机行走过渡到 量子随机行走的两种简单形式离散时间和连续时间量子随机行走，并且讨论如何用囚 禁离子来实现直线型的离散量子随机行走。量子随机行走与经典随机行走的区别在于量子 干涉效应，因此保持系统的相干性至关重要，如果系统受到消相干的影响，量子随机行走 将过渡到经典随机行走。在我们的方案巾，消棚千主要来源于离子的自发辐射和州2 脉冲 激光对离子的加热效应。选择合适的离子可以使相互作用时间远小于自发辐射时间，避免 自发辐射的影响，对于州2 脉冲激光我们可以选择适当的频率，尽量减小对离子的影响。 第四章，量子博弈。博弈论是应用数学中具有重要意义和应用价值的分支，在经济学、 社会科学、以及进化生物学中有着广泛的应用。博弈理论和量子信息理论相结合的时候， 就形成一个新兴的交叉学科量子博弈论。研究表明经典博弈论中无法解决的闯题在量 子博弈论中可以得到解决。在本文中，我们讨论了如何利用囚禁离子技术来实现量子囚徒 困境的方案，该方案比较简单和直接，并且离子振荡模处于虚激发状态，使得系统对振荡 模的热效应不敏感。 目前，量子计算和量子信息是研究热点课题之一。但是很多困难阻碍了这门学科的发 展，如消相干效应就是量子计算机实现过程中的最大阻碍。并且在量子算法方面，除了最 初提出的s h o r 快速因子分解算法和g r o v e r 搜索算法，并没有什么新的算法提出。我们希 望不久的将来，能够看到基于量子随机行走构造出一个新的量子算法。 i v 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题背景 量子计算是2 0 世纪两大科学成就量子力学和计算科学结合的产物。量子力学 诞生于2 0 世纪初，当时的物理学遇到了一系列的危机，包括黑体辐射，原子线状光谱等 问题。起初这些问题是通过经典物理学中的附加假设来解释，但是都不能令人满意，经过 四分之一世纪的探索，最终在2 0 世纪2 0 年代中期创立了量子力学这一现代理论，而量子 力学出现就成为近代科学不可缺少的一部分，也是现代物理学的基础。当代计算机的理 论基础是t u r i n g 等人在三十年代提出的关于可计算函数和不可计算函数之区分的一些纯数 学问题。其核心是通过t u r i n g 机理论，即t u r i n g 机可以模拟任何计算过程。第_ 台计算机 产生之后，到晶体管的发明，计算机硬件能力开始以惊人的速率成长。m o o r e 把这种成长 概括成m o o r e 定律，即计算机的能力以固定能力成长，大约是每两年增长一倍。然而电子 器件越来越小时，量子效应的产生干扰了其功能，m o o r e 定律也最终将失效。f e y n m a n 针 对m o o r e 定律失效的问题，第一次提出了基于量子力学基本原理来构造新的计算机。但是 真正引起人们对量子计算机广泛兴趣的是9 0 年代中期s h o r 快速因子分解算法【l 】和g r o v e r 搜索算法 2 1 的发现，这两类算法展示了量子计算机从根本上超越经典计算机的能力。 s h o r 快速因子分解算法和g r o v e r 搜索算法的提出，促使人们希望能找到更多的量子算 法来实现量子计算。量子随机行走算法( q u a n t u mr a n d o mw a l k ) 是近年来人们所关注的另一 种算法，由于经典随机行走在很多计算问题中都有应用，人们希望能利用量子随机行走1 3 , 4 】 构造出一种新的算法应用到量子计算机上。目前，人们已经发现一种基于量子随机行走的 搜索算法【5 l ，与g - r o v e r 搜索算法类似，它也是一个调用o r a c l e 的搜索算法，并且能达到与 g r o v e r 搜索算法同样的计算速度。 除了将量子力学与计算科学结合形成量子计算学科，与经典信息论结合形成量子信息 处理学科之外，量子力学还可以应用其他很多方面，如与经典博弈论结合形成新兴的交叉 学科量子博弈论【6 1 l 。应用量子力学可以解决一些经典博弈论中无法解决的问题，比如 博弈论中的著名例子量子囚徒困境，可以通过选择量子策略使得囚徒逃脱困境。 量子力学作为物理学中的基础理论，它有着很多不同于经典物理学的特性，比如纠缠、 量子态的迭加等等。正是由于这些奇异特性，使得将量子力学应用到各个学科会产生与经 典科学完全不同的现象。经典计算机由于其局限性，无法模拟或解决量子现象中的很多问 题，而量子计算机是基于量子力学基本原理而构成的，在解决量子系统问题时有其自身的 优越性。 福建师范大学理学硕士学位论文 1 2 量子逻辑门 量子逻辑门是构造量子计算机的基本元件，量子信息处理过程也可以通过量子逻辑门 组合而成的网络来操作。目前对量子计算机如何构造的研究方面也主要集中于如何来构造 量子逻辑门。 b a r e n c o 等人证明，任何幺正的量子操作都可以由单比特旋转门和两比特受控非门构 成。单比特旋转门可以描述如下： l o ) 业c o s 导i o ) + 招一咿s i n 导1 1 ) ( 1 2 1 ) 1 1 ) 骂s i n - 2 i o ) 一i ： e o s - 2 1 1 ) 这里p 和缈是旋转角。当矽= 要，伊= 要时，单比特门实际上就是h a d a m a r d 门( 通常用h 表示) ，l l p i o ) j 一去( 1 0 ) + | 1 ) ) 一上 ( i - 2 2 ) 、， 1 1 ) 山去( 1 0 ) 一1 1 ) ) 常见的两l ：t 特逻辑门有受控相位门( c p f ) 和受控非门( c n o t ) ，如下所述： c p f 门可表示为 粥瑚o)io)10)；然o)11)_-一10)11)；1)101 ) 1 1i ) 1 1 ) ， ( 粕) 1) _ o ) ；1) _ 一 ， ” 当且仅当两粒子均处于1 1 ) 时，系统的相位将改变1 8 0 度。 c n o t 门可表示为 粥哼i o ) i o ) ；i t o ) 1 ) 1 ) 专1 0 ) 1 1 ) 1 ) 1 0 - 1 1 ) 1 1 ) ；1 ) 1 1 - 1 0 1 0 ) ，； ( 1 - 2 - 4 ) 1)i) ， 一7 当且仅当第一个粒子处于1 1 ) 时，第二个粒子的态将翻转。 两比特逻辑门的作用是可将原本处于分离态的两粒子纠缠起来，例如 h h = 去( h h + 盹i - ) b ) ( 1 - 2 5 ) 这- m i + - - ) = 去( i o ) 1 1 ) ) 。 由于c p f 门和c n o t 门都是厄密的，我们也可以利用这两个逻辑门来进行解纠缠， 如将四个b e l l 基的测量转化为直接态测量，即 u c 加r i f ，五) = l + ) 1 1 ) 口；u c 帕r i y 二) = i 一) 月1 1 ) 8 。0 - 2 6 ) 构造量子计算机面临的主要问题是消相干，因此如果构造能够尽量减少消相干影响的 量子逻辑门就显得格外重要。几何相位门呻叫伽就是一种能够避免一些消相干影响的量子逻 2 第1 章绪论 辑门。一般的量子逻辑门都是通过动力学演化来实现的，而演化过程不免受到一些局域的 涨落的影响。由于几何相位门中的相位是一个几何的、整体的相位，某些局域的无规涨落 的影响可被忽略，因此具有内在的容错优点。 1 3 量子算法 1 3 1 量子并行计算 与经典计算机相比，量子计算机的优势主要体现在量子并行计算【1 1 】上。量子并行性 使量子计算机可以同时计算函数f ( x ) 在许多不同的z 处的值，同时量子并 行性也是许多量子算法的一个基本特征。现在简要介绍一下量子并行计算的基本原理。 设f ( x ) ： o ，1 _ o ，l 是具有一比特定义域和值域的函数。在量子计算机上，计算该函 数的简便方法是，考虑初态为l x ，y ) 的双量子比特的量子计算机。通过适当的逻辑门序列可 以把这个状态变换为 x ，y e 厂( x ) ) ，这里。表示模2 加，第一个寄存器称为数据寄存器，第 二个称为目标寄存器，映射l 毛y ) 一l 工，y f p f ( x ) ) 是一个酉操作u i 作用。若y = 0 ，则第二 个量子比特的终了状态就是f ( x ) 的值。把u ，加到计算基以外的一个输入，数据寄存器中 是叠加态( 1 0 + 1 1 ) ) 2 ，这可由h a d a m a r d 门作用到l0 上得到。于是应用u i z ，。，i 。， ：态 i o + 厂( o ) ) + i l + 厂( 1 ) ) 疆一。 ( 1 3 一i ) 在这个状态中，不同的项同时包含厂( 1 ) 和f ( o ) ，看起来似乎对x 的两个值计算了厂( x ) 。 与经典的并行计算不同，在这里，利用量子计算机处于不同状态的叠加态的能力，单个f ( x ) 线路用来同时计算多个x 的函数值。 利用h a d a m a r d i - 变换，这个过程可以推广到任意数目的量子比特上的函数。该变换 就是力个h a d a m a r d f - 同时作用到以个量子比特上。假设所有量子比特的初态为1 0 ) ，则经过 h a d a m a r d l - 作用后得到 专l 工) ( 1 - 3 - 2 ) y 二 j 其中求和是对z 的所有可能取值，并用日锄表示这个作用。可见h a d a m a r d f 变换产生了所 有计算基态的平衡叠加，仅用刀个门就产生了2 ”个状态的叠加。可以通过下列方法进行玎比 特输a x 和单比特输出函数f ( x ) 的量子并行计算。制备n + l 量子比特的状态l o ) 锄i o ) 对前玎位应用h a d a m a r d 变换，并连接实现的量子线路。这就得 到 古；眺) ( 1 - 3 - 3 ) 在某种意义上，表面上似乎只进行了一次计算，量子并行性却使厂所有可能的值同 时被计算出来，提高了运算效率。 = 击鲥警 o m 3 q l 而) 在i ) 中所占的比例越来越大，在经过力= l 三万1 次迭代之后，最终( 经量子测量的 舭仰) - 黧，措，斟m 3 呦 啪) 警 u 一 协了而1 h ，( 1 - 3 - 7 a ) 伽击：l x ) ( 1 - 3 - 7 b ) 怍等m 庸) 。 ( 1 - 3 - 8 ) 4 第1 覃绪论 l _ - - i i m _ l l _ _ _ i l _ _ l _ _ _ l - _ - - - _ _ l l l _ - i - - - - 妙地理解g ，即d ( 口i 口) + 6 l ) ) = 口i 口) 一6 i ) 。类似的2 ) 舻一，l 也执行了l 口) 和 ) 定义的 平面的一次反射。两个反射的积是一个旋转，这说明对所有的，z ，状态g ”i ) 留在了i 口) 和 l ) 定义的平面上，同时还给出了转角，c o s e 2 = 一m 膨，使得 g i 缈) = s e 2 l a ) + s i n s 2 l p ) 。构成g 的两个反射把i ) 变为 g l ) ：c o s 萼m s i l l 等i ) ( 1 - 3 9 ) 于是转角实际上为矽，反复的用g 进行作用，得到 g i y ) ：c 。s ( 掣口) i 口) + s i i l ( 掣e ) l p ) ( 1 - 3 - l o ) 总之，g 是l 口) 和l ) 定义的二维空间中的一个旋转，每次应用g ，把空间旋转口弧度。反 复应用g r o v e r 迭代，把状态向量旋转得接近。这个时候，在计算基中的一个观测，就可 以用很高的概率产生与重叠的输出，即搜索问题的一个解。 g - r o v e r 算法是最能体现量子并行性的算法，这种算法以它在遍历搜寻问题 上的应用而著名但这并不代表它不能用来处理其它问题事实上g r o v e r 算法在解决经典算法 难以计算的问题方面的应用要比s h o r 算法广泛从原则上讲它可用于解决任何类似的求解困 难而验证容易的n p 问题。 1 3 3s h o r 算法 1 9 9 4 年，s h o r 提出一个量子算法【l 1 1 ，1 2 1 ，用这个基于量子傅立叶变换的量子算法可以 有效地进行大数质因子分解。该算法引出了出了计算机科学中的大数因子分解的核心问 题。s h o r 算法巨大地挑战了r s a 公共密钥系统。如：1 9 9 4 年，人们用了1 6 0 0 台计算机， 耗时8 个月，分解了长度为1 2 9 位的数按这个速度分解1 0 0 0 位的数，需要1 0 年而利 用s h o r 算法则只需要几分之一秒。 在s h o r 的关于了大数因子分解的量子并行算法中，寻找一个大数的质因子问题被转 化为寻找其余因子函数的周期。只要该周期被找到，并且为一个偶数，那么利用数论中的 剩余定理就能得到该大数的质因子。假设要分解的数为朋它的二进制位数为。设置两 个量子寄存器，第一个有2 个量子位，用来存放初始输入的工值，第二个用来存放函数 值厶g ) 。由于厶g ) 的值不可能大于 因此第二个寄存器最多也只有2 个量子位。首 先我们通过量子离散傅立叶变换操作使第一个寄存器处于等幅迭加态，第二个寄存器置为 零。即 1 2 2 工一l m ) = 寺l 口) l o ) ( 卜3 1 1 ) 4 i o 接着，利用量子态的迭加性质做量子并行计算得到 福建师范大学理学硕士学位论文 i 缈：) = 石i2 乙。- i 例工。m o d 力) ( i - 3 1 2 ) 然后，测量第二个寄存器，则第一个寄存器将塌缩至 ，1 2 2 l ，卜1 嗲南驴“) ( 1 - 3 - 1 3 ) 为了将周期转化位一个可以测量的量，我们需要再做一次量子离散傅立叶变换，于是上式 可以变为 ：去| 2 2 l , i 一2 2 l _ i 铲枷撇2 i 6 ) 怙司舞丢酽咖“舭壮i 6 下面我们分两种情况来讨论 a ：当，严格整除2 2 l 时，我们记a = 2 2 1 r ，此时i y 。) 可写为 ，2 2 l 一1a2 2 l l 阮) 2 i 习赢丢丢2 利2 “2 删2 “i b ) 丢c 6 1 6 ) 由上式可看出，当b 是2 2 l r 的整数倍时，系数c 。等于e i 2 s b 2 2 l r 啦： c 。都等于0 。因此，对，严格整除2 2 的情况，上式可以记作 ( 1 - 3 - 1 4 ) ( 1 - 3 - 1 5 ) 当b 为其他值时，系数 = e t 2 m r 咿l ，) ( 七为整数) ( 卜3 1 6 ) ，k = o 现在对i 姘) 进行测量，测量等概率地选择出一个态k 2 2 工r ) ，我们进行多次测量直到得到 七2 2 l 乃的最小的一个值，即女= 1 ，此时我们很容易能得到周期几 b ：当，不彪严格整除2 2 l 时，我们对l 。) 进行测量，此时得到的b 几率为 l 艺，l - ! e t 2 0 r “) f , 2 2 l ( 2 工歹万】。由于6 在o ，l ，2 ，3 ，2 孔- - i 中取某些值时，严格存 在l b r k 2 2 i r 2 ，此时我们可以由简单的数学计算得到测量得到满足条件旧，- 一k 2 2 l l r 2 的态f 6 ) 的几率不小于4 k 2 ，) 。根据数学定理“当历与j 7 互质，且满足l 叫刀一x l l ( 2 甩2 ) ， 则m n 是x 的连分数的一个渐近数，这个分数的值可以由x 的连分数展开有效地求出，对 于上述条件防一k 2 2 工i r 2 ，即i b r k r l 2 2 2 l ) ，如果k 与，互质，我们就可以利用 上述的数学定理方便地求出周期，ok 与，互质的概率大于1 l o g ，n ，因此我们能求得，的 概率大于4 协2l 0 9 2 ) 。因此我们最多用1 0 9 2 步便可以得到，的值。 由上述分析可以看出，只要我们能容易地进行量子离散傅立叶变换，则求得余因子函 数的周期很容易的事。已经证明量子离散傅立叶变换可以通过执行弛+ l 皿2 次h a d a m a r d 门变换和两比特受控旋转门操作来完成。 第2 章几何量子计算 第2 章几何量子计算 2 1 引言 已经证明普适的量子计算可由一个非平庸的二量子比特逻辑门及单量子比特逻辑门 实现，实现量子计算最大的困难在于外界干扰引起的退相干。现在已经提出许多方案用来 实现可容错的量子计算，每种方案都可克服某些退相干效应的影响，其中一种很有吸引力 的方案是利用几何相位来实现量子门，而由这种逻辑门构成的量子计算被称为几何量子计 算。当前的量子逻辑门主要由系统的动力学演化来实现，而演化过程不免受到一些局域的 涨落的影响。由于几何相位是一个整体的相位，某些局域的无规涨落的影响可被忽略，因 此具有内在的容错优点而受到广泛的重视。 2 2 几何相位的基本理论 在本节中，我们将简单介绍一下常规( c o n v e n t i o n a l ) 的几何相n 3 。1 耵b e r r y 相和 非常规( u n c o n v e n t i o n a l ) 的几何相n 嘲1 。 假设一个量子体系处于本征态上，其哈密顿量月( r ) 是参数r 的一个函数，在曰( r ) 作 用下，体系的波函数在参数空间r 沿闭合曲线c 缓慢演化 日( 发) i 刀( r ) ) = e ( 只) i 以( 足) ) 。 ( 2 - 2 - 1 ) 在绝热近似条件下，如果演化足够缓慢，初态处于i ，z ( r ) ) ，则体系将保持在日( r ) 的相 应的瞬时本征态上。 由s c h r 。d i n g e r 方程f 型掣= h ( r ( f ) ) i j i f ，( ，) ) 可得 l 缈( f ) ) = e x p 一f 仁( r o ) ) d r e x p ( 缈) h ( r ( f ) ) ) ，其中厂就是b e r r y 相， y = f ( n ( 踯。) ) 唔i n ( 即。) ) ) = l 嘎积( 玎( 删) ) l 杀l 以( 砸) ) ) 。( 2 - 2 - 2 ) 应用s t o k e s 定理，可以得到 y = f j 矗v ( 力( r ( ) ) f v 尺i 刀( r p ) ) ) ( 2 - 2 3 ) 由上可看出y 其实上就是沿参数空间的闭合曲线c 走一圈后所成的立体角，因此厂与在参 数空间的某些局域的涨落无关，这也正是利用几何相，来实现量子计算的优点所在，可以 避免某些退相干效应的影响。 如果l 刀( 只( ，) ) ) 一e x p o a ( r ) l n ( r ( o ) ) ， 7 福建师范大学理学硕士学位论文 则可以得到( n ( r ( t ) ) l v 尺l 刀( r ( ，) ) ) 一( 以( r ( f ) ) i v ri 刀( r ( f ) ) ) + 足。可以看出，b e r r y 几何相位 是由参数空间的环路积分给出，并且具有规范不变性。 下面将介绍另一种几何相位非常规的几何相位。这概念主要是应用于量子计算方 面，最早由z h u 等人n 蚰提出。非常规的几何相位可以由将量子比特在参数空间中移动一个 闭合曲线来得到，位移算符可以表示为 d ( a ) = e a t a * 卅口( 2 - 2 - 4 ) 其中口+ 和口分别是谐振子的产生和湮灭算符。已知位移算符满足下面条件 d ( f 1 ) d ( a ) = d ( a + f 1 ) e 7 赋肛( 2 - 2 5 ) 考虑将一条路径分成个部分q ，这样总的位移算符可以表示成 = d ( a a ) d ( a c t l ) ， ， i - 1 = d ( q ) e x p 【f i i n ( 口，瓴) 】 ( 2 - 2 6 ) t lj - 2 k = l 当任意一条路径y 可以在- - 4o o 的极限条件下得到，则有 d = d ( 1d a ) e 国，其中 = h n ( 1 。口d 口) 。 ( 2 2 7 ) 对于一条闭合路径，有d 删= d ( o ) e 旧= 矿，相位算符o 由相空间中路径的区域所决定。 假设口= 五+ 屯，则可以得到o = 0 而呶- - x 2 幽，相位。的绝对值等于相空间中路径所包含 区域的两倍。可以看出，非常规几何相位对于初态分布，相空间中路径的形状都不敏感。 事实上，非常规几何相位具有常规几何相位的所有优点，而且常规几何相位需要引入额外 的操作来消除动力学相位，这样就可能引起一些额外的错误，而非常规几何相位只需将量 子比特在相空间移动一个闭合路径，不需要额外的操作。这样是因为，在整个演化过程中， 动力学相位与几何相位是成比例的，总的相位，即非常规几何相位也就具有几何相位的所 有性质。 除了上面两种相位之外，z h e n g 2 1 】还提出第三种基于暗态绝热演化的相位。 2 3 利用囚禁离子实现常规几何相位门 几何相位的概念提出之后，在2 0 0 1 年，d u a n 等人【1 6 】在s c i e n c e 上发表了一篇文章， 将几何相位应用于量子计算，并讨论了几何相位门相对于一般的量子逻辑门具有容错性 质。考虑n 个离子囚禁在线性阱中2 2 2 3 1 ，每个离子都有有一个激发态i p ) 与三个基态i o ) ，1 1 ) 和i 口) 。如图( 1 1 ) 所示，将i o ) 和1 1 ) 态作为量子比特， 8 第2 章几何量子计算 耖+ 6j 。- - 一- - 一 魏f v - 6 i ，+ 艿1 0 1 i - 一- i - 一 q l ： f l f 图1 1 i o ) 和1 1 ) 态作为量子比特，i 口) 一l g ) 的跃迁由两束失谐量分别为y 一万和一( v 一万) 的激光驱动， 1 1 ) 专l e ) 也同样用两束失谐量分别为，+ 万和一( y + 万) 的激光驱动。 f i g u r e1 1t h e s t a t e 1 0 ) a n d1 1 ) i s c o n s i d e ra s t h c q u b i t , t h e t r a n s i t i o ni a ) 一 p ) i s d r i v e n b y a d e t u n c dl a s e r , r 酷p c c f i v e l yw i t hd e t u n i n g v - # a n d - ( v - 8 ) s i m i l a r l y , t h e t r a n s i t i o n l1 ) 一lp ) i s a b o d r i v e nb yt h el a s e rw i t hd c t u n i n gv + s a n d 一( y + 万) r e s p e c t i v e l y 1 口) 一 p ) 的跃迁由两束激光驱动，失谐量分别为y 一万- ( v - # ) ；同样的1 1 ) 专旧也同样 用两束经典光驱动，失谐量y + 万和一( y + 艿) 。假设万y ，l ，q “，则在l a m b - d i c k e 极 辊t ( r x n + 1 1 0 。) 1 1 。) i l 拼) jo 疗) - , 1 1 肼) 1o 。) 1 1 朋) 一1 1 刖) 1 1 。) 常规的几何相位门是利用在暗态空间下， ( 2 - 3 4 a ) ( 2 - 3 - 4 b ) ( 2 3 - 4 e ) ( 2 3 - 4 d ) 哈密顿量产生的动力学相位为零，总体相位 只剩下几何部分。由b e r r y 相构成的几何相位门，具有某些容错性质，对一些局域的无规 涨落的影响不敏感，但是要实现这样的几何相位门，演化必须是绝热的，因而演化缓慢， 门操作时间较长。 2 4 利用囚禁离子实现非常规几何相位门 除了上节所介绍的常规几何相位门，z h u 等人n 羽还提出另一种形式的几何相位门，即 非常规的几何相位门。实现非常规几何相位门不需要额外的操作来消除动力学相，这是相 对于常规几何相位门的一个优势。现有实现非常规几何相位门的方案有在腔q e d 中 1 7 , 1 9 - 2 0 , 2 4 - 2 5 1 ，离子阱中1 1 0 , 1 6 , 1 8 1 提出。在本节中，我们将介绍一个利用囚禁离子来实现几何相 位门的方案，考虑两个相同的两能级离子囚禁在势阱中，每个离子有一个激发态l p ) 和基态 l g ) ，用一束共振的驻波激光来驱动这两个离子，在旋波近似下，系统的哈密顿量可以写 为瞄】： h = h 0 4 - h 随 12nz 风= y 口口+ 去吒，= 荨 町s i n 刁( a + a t ) + 】p 一婶+ 日r ) ( 2 _ 4 1 ) j - l j - ! 其q h o - z ，= q 巳) ( 巳l l g ，) ( g 巾，乃+ = i 勺) ( g ，f 和q 一= f g ，) ( 勺l 。是离子两个能级之间的 跃迁频率，y 是质心模的振荡频率，q 和分别是激光场的拉比 i j i i 率和相位，7 为 l a m b d i c k e 参数。我们可以将哈密顿量的相互作用部分写为 h i 小：罢壹 町【s i n e ( a + a t ) c o s +