（概率论与数理统计专业论文）集值和模糊集值ito积分及它们的鞅性.pdf

摘要 摘要 本文利用 9 】提供的集值i 惦积分的定义，首先研究了集值i 协积分的鞅 性，成功去掉了 9 中定理31 0 中的条件( c ) ，使得定理适应的范围更广泛接 着研究了集值i t 6 积分的最大值不等式性，连续性并证明了集值随机微分方 程强解的存在唯一性定理最后把集值i t 6 积分的结论推广到模糊集值i t 6 积 分中，同时给出模糊集值随机微分方程强解的存在唯一性定理本文所涉及的 空间是在r d 上，而非以往的空间琏 运用选择的方法，在无条件( c ) 的情况下证明了集值i 积分是一个集值 鞅在集值随机微分方程强解的存在唯一性定理的证明过程中用到了一个重 要的方法一迭代法此外条件期望在本文鞅性的证明中是必不可少的 关键词：集值随机过程集值i 惦积分模糊集值随机过程模糊集值i t 6 积分 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h a ts e t v a l u e di 惦i n t e g r a lf o ras e t v a l u e ds t o c h a s t i c p r o c e s si sas e t - v a i u e dm a r t i n g a l ea n dh a sm a x i m a li n e q u a l i t y a n dw ew o u l dl i k et o m e n t i o nt h a ts a m ec o c l u s i o n sw e r eg i v e nu d e rs t r o n gc o n d i t i o n ( c ) i n 【9 卜i nt h i s p a p e rw es u c c e s st od r o pt h ec o n d i t i o n ( c ) w en e x tp r e s e n ta 以e x i s t e n c et h e o r e mo f s 0 1 u t i o no fs e t v a l u e ds t o c h 嬲t i cd i 他r e n t i a le q u a t i o n f i n “l yw ee x t e n ds o m ea b o v e r e s u l t st ot h ef u z z ys e t - v 出u e dc a s e t bp r o v em a r t i g a l ep r o p e r t yo fs e t v 以u e ds t o c h 柏t i cp r o c e s 自w i t h o u tc o n d i - t o n ( c ) ，w ee m p l o yt h ei m p o r t a tt e c h n i q u e s e l e c t i o nm e t h o d i na d d i t i o n ，u s i n g i t e r a t i v em e t h o d ，w ep r o v ea ne x i s t e n c et h e o r e mo fs e t v 出u e ds t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a l e q u a t i o n s w ea 1 8 0w o u l d l i k et op o i n to u tt h a tc o n d i t i o n a le ) c p e c t x 第l 章绪论 第1 章绪论 在这一章中，首先了解一下与本论文相关的集值随机积分的研究背景和 现有成果，集值随机变量和集值随机过程，模糊集值随机变量和模糊集值随机 过程的概念，性质及定理在此基础上，阐述本论文研究的问题及本论文的结 构 1 1 集值随机积分的研究背景和现有成果 集值随机过程是近二三十年来兴起的随机过程新分支它既描述了客观 事物发展的随机性，又描述了事物发展过程的不确定性最早研究集值随机 过程的是一批法国学者，从二十世纪7 0 年代初陆续发表文章对集值鞅进行讨 论我国学者张文修，汪振鹏教授等对集值随机过程都已作丁大量的工作，并 取得了可喜的成果然而关于集值随机积分的理论，国内外的研究尚少本文 将在此方面作一些探讨首先我们有必要来了解集值随机积分的研究背景和 现有成果 众所周知，经典随机微分方程广泛应用于最优控制问题 3 0 】，数理金融 1 3 等领域但由于系统的复杂性，经典的微分方程x i t ) = ，( t ，z ( t ) ) 常常要用微分 包含x ( t ) f ( t ，z ( t ) ) 代替，其中f 是集值函数这类情况常常出现在经济， 社会，生物科学宏观系统( 【1 8 】，【1 9 】) ，以及在控制问题的研究中，另一方面，从 数学角度来说，自然要把取值于实值或向量空间的经典随机分析理论扩展到 一些抽象的空闷上，尤其是超空间( 集值随机分析) 和上半连续函数的空间( 模 糊集值随机分析) 上的随机分析理论更值得研究随着集值随机变量和超空可 糊集值随机分析) 上的随机分析理论更值得研究随着集值随机变量和超空可 北京工业大学理学硕士学位论文 上拓扑理论的发展( 5 ， 6 2 0 】， 27 】) ，建立集值随机分析的构架已成为可能这 ? 。) ) 。芦。”灿 m ， 掣阱洲们池 。一m ， 其中f ： o ，。) x r 4 _ 工1 ( k 。( 础) ) 和g ：【o ，o o ) r 4 - 工2 ( k 。( r 8 ) ) ，护( k 。( ) ) 表示k 。( 础) 值的a 适应可测集值过程 f ( t ) ，a ：t 乏o ) 满足对任意的t2o ， e 嚼l l f ( 5 ) 慢d 3 1 o o 的全体， t ：o 是d 维布朗运动且 d = o 凸e ( 记 相关的是集值随机过程关于t 的l e b e s g u e s t i e u e s 积分岳f 眩。) 出，另一部分更 在这个领域已经取得了许多可喜的成果1 9 9 4 年a h m e d 1 引进了在( 1 1 1 ) 第1 章绪论 和p r a t o 3 得出随机微分包含的v i a b i l i t y 定理，m o t y l 2 9 讨论了随机微分包 含的稳定性问题 然而，对于集值随机过程的i 惦积分，它的性质以及集值i t 6 过程的研究目 前涉及甚少1 9 9 9 年，k i m 【1 4 】利用了k i s i e l e w i c z 1 6 】给出的集值i 协积分的定 义，讨论了它的性质然而这个定义是不合理的2 0 0 3 年，j u n g 和k i m 9 在 基础空间为一维欧式空间r 的情况下给出了一个新的集值i 惦积分的定义他 们还在很强条件( c ) 下，证明了集值i t 6 积分的鞅性及最大值不等式，这是很 重要的性质本文利用 9 】提供的集值i t 6 积分的定义，首先研究了在空间r d 上在无条件( c ) 9 的情况下，证明了集值i t 6 积分是集值鞅且有最大值不等 式；在此基础上研究集值随机微分方程强解的存在唯一性定理其次借助集 值i t 6 积分的理论研究了模糊集值i t 6 积分的鞅性和最大值不等式性及模糊集 值随机微分方程强解的存在唯一性定理。 1 2 集值随机变量和集值随机过程 本文中，我们约定( n ，p ) 是完备的无原子概率空间，r 表示全体实数 集，n 表示全体自然数集r d 为d 维欧氏空间，由欧式距离导出的范数记 成i ，r d 上的b o r e l 集的全体记为嚣( 呼) k ( r d ) 表示倒上的非空闭子集的 全体，k 。( 癣) 表示耐上的非空闭凸子集的全体，k k ( 耐) 表示积上的非空 紧子集的全体，k k 。( r d ) 表示耐上的非空紧凸子集的全体 在k ( r 。) 上定义运算如下：对于任意的a ，b k ( 耐) ，a r ， ( 1 ) 加：法； a + b = o + 6 ：。 ，6 b ) ， ( 2 ) 数乘：a a = o ：n a ) 北京工业大学理学硕士学位论文 下面给出h a u 8 d o r 往距离的定义： 对任意。彬，a 是r d 的一个非空子集，那么。和a 的距离定义如下： 4 ( 。，a ) 2 器忙一g | | 定义1 2 1k ( r d ) 上两个集合a ，b 的h s d o 距离为： d 日( a ，b ) = m a x s u p d ( o ，b ) ，s u p d ( 6 ，a ) ) n a6 上 值得注意的是：当闭集a ，b 是无界时，它们的h “s d o r f f 距离可能取无限值， 但k ( r d ) 中所有有界集所成的族关于上述h “s d o 行距离是完备可分的距离空 间，并且k ( r d ) 和k 。( 耐) 是它的闭子集对于b k ( 彬) ，定义旧恢= 妇( o ) ，b ) = 8 u 酬。扎 o 廿 对于a ，b ，e k ( r 8 ) ，等式 d 日( a + g b + g ) = 妇( a ，b )( 1 2 1 ) 成立 1 6 】 下面给出集值随机变量的定义 定义1 2 2f ：n _ k ( 础) 是一集值映射，如果对于任意的u n ， f ( u ) k ( 础) ，且对于耐上的任意一个开集0 ，若有f 一1 ( o ) a ，则称f 是 集值随机变量或随机集其中f - 1 ( d ) = u n ：f ( u ) n 0 0 ) ，0 为空集 菪f 1 和f 2 是两个集值随机变量，且有毋( u ) = 见( u ) n 矗，即p ( f 1 岛) = o ， 则称毋和f 2 相等 对于集值随机变量的等价定义和更多结果参见( 1 2 2 7 ) 第l 章绪论 设m ( q ；k ( 掣) ) 表示定义在n 上取值为剩的非空闭子集的集值随机变 量的全体 对于集值随机变量f m ( n ；k ( r 4 ) ) ，定义： 昂= ，。l 9 ( n ，一4 ，p ；r 8 ) ：，( u ) f ( u ) o e ) 其中护( n ，a 肛；耐) 表示取值为刑的随机变量，的全体，使得吲i ，= 陋( m ； o ，存在n 的一个有限a 可测分 割 a i ，a 2 如) 以及 ，丘，n r ，使得怕一1 a p e ) i = 1 显然磊1 1 是妒( n ，p ；r d ) 的闭子集且关于a 是可分解的根据定理1 2 5 ， 对任意的rc 三( q ，_ ，芦；掣) ，存在f m ( n ；k ( r 4 ) ) 使得磊r = 霹如果r 是 可分解的，则有磊【1 = c 峨这里的闭包是在”忆意义下取 定义1 2 7 设f 是一集值随机变量，有 e f 】= ，咖：，醛 j n 则称e p 】为f 的a u m a n n 积分 4 集值随机变量f ：q _ k ( 耐) 称为是可积的，如果砖是非空的；集 值随机变量f 是驴一可积有界的，如果矗归( u ) 哝咖 。邯，为此我们记 。+ = c 2 ( u p 。印) ，这 里c f a 表示ac 刚的闭包 第1 章绪论 由前面所述的水平截集性质，我们自然会考虑到在怎样的条件下一族普 通集 m 。：o o ，1 ) 可以构造一个模糊集”，使得对任意a 【o ，1 ，有”。= m j 下面定理便回答丁这一问题 定理1 3 3 ( 见 2 7 ) 缸：n 0 ，1 1 ) 是一族非空集合，满足： ( 1 ) m o = 裂； ( 2 ) a 卢辛岣c 峨； ( 3 ) 厶= m o ) 是紧 集的全体 如果f ( 褒8 ) 中的模糊集满足口 a 。+ ( 1 一 ) 功m i n 扣( 。) ，。( 掣) ) ，其中。，9 耐， 【o ，1 】，则称模糊集”是凸的，我们记f ( 彬) 中凸模糊集的全体为f 。( 剃) 相似地，我们可以定义f 把( 耐) 北京工业大学理学硕士学位论文 在上述意义下，模糊集”是凸的，当且仅当任意的o ( o ，1 1 ，”。是彬的 凸子集 在取( 刚) 上定义如下运算：给定模糊集u ，u 取( r 4 ) ， 受， ( 1 ) 力口法：( u + 口) ( z ) = s u p a ( o ，1 ，z u 。+ u 。) ， ( 2 ) 娄殳勇龟； ( a u ) ( z ) = s u p a ( o ，1 ，。) 、 。) 在f k ( 彬) 上定义的以下距离可视为h a l l s d 别酲离的推广，对于任意 1 ，”2 f ( 彬) ， d 管( 1 ，口2 ) = s u pd 丑( 畦，记) ； ( o ，1 j ( 巩( 掣) ，曙) 是完备的距离空间，但它不是可分的 2 7 作为模糊集的推广，p u r i 和r a l e s c u ( 1 9 8 6 ) 【3 5 提出了模糊随机集的概念 定义1 3 5 称映射x ：n _ f ( r 8 ) 是模糊随机集( 或模糊集值随机变量) ， 如果对任意的a ( o ，l 】，孔：n 叶k ( r 。) 均是随机集，其中五( u ) = 缸则： x ( 。) ( 。) 兰n ) 是掣中的闭集 模糊随机集x 的凸包c n x ：q f 。( r d ) 定义为：对于任意的a ( o ，1 j ，随 机集c 。x 。：n _ + k 。( 利) ，其中c o 托) = c o z r d ：x ( u ) ( z ) a 是彬中的 闭凸集 定义1 3 6 模糊随机集x 是护一可积有界的，如果实值随机变量i l 凰+ ( u ) 慢 是可积的 口( q ，_ ，p ；f ( 掣) ) 表示f ( 础) 值的口一可积有界模糊随机集的全体， 护( q ，且，卢；f 。( 刑) ) 表示f c ( r d ) 值的p 一可积有界模糊随机集的全体口( q ，a p ； f 女。( 彬) ) 表示f 女。( 删) 值的扩一可积有界模糊随机集的全体 第1 章绪论 两个模糊随机集x ，y 护( n ，4 ，弘；f ( r d ) ) 是相等的，如果对任意的。 ( o ，1 有x 。( u ) = ，二( u ) o e 定义1 3 7 x ( t ) ：t o ) 称为是模糊集值随机过程，如果对任意的t o ， 任意的u n ，x ( t ，w ) f ( 掣) 且x ( t ) 是模糊随机集 模糊集值随机过程c x ( t ) ：t o 是三p 一可积有界的，如果对于任意的t o ，实值随机变量片l l 弱+ ( s ，u ) 慢d 5 是可积的 l 2 ( f ( r 8 ) ) 表示l 2 一可积有界模糊集值随机过程的全体相似的，可以定 义工2 ( f 。( r 8 ) ) ，l 2 ( f 女。( r 4 ) ) 1 4 本文研究的问题及论文结构 在这篇文章中，我们引入了一个关键性的定义：集值i 拍积分的定义以 此为基础，我们对集值随机积分的性质及集值随机微分方程的解的存在性做 了一些研究，并把这些研究结果推广到模糊集值随机积分的情形 本篇文章主要由三章组成其中第一章是绪论部分，属于准备工作，介绍 了与本论文相关的集值随机变量和模糊集值随机变量方面的知识，第二章和 第三章是本文的主要结果部分第二章主要是在空间掣上，利用 9 j 中关于 集值i 协积分的定义，在无条件( g ) 的情况下，证明了集值i 伯积分是集值鞅 且有最大值不等式，以及集值随机微分方程强解的存在唯一性定理；第三章研 究了模糊集值随机积分的鞅性和最大值不等式，及讨论了模糊集值随机微分 方程强解的存在唯一性问题具体内容如下； 首先，在空间础上，利用 9 引进的集值i t 6 积分的定义，定理2 2 l 证 明了集值i t 6 积分的可加性，在定理2 2 2 中，由集值随机变量条件期望的定 北京工业大学理学硕士学位论文 义和集值i 惦积分的定义，利用选择的方法，证明了集值i t 6 积分是集值鞅 该定理成功地去掉了【9 】中定理3 1 0 中的条件( c ) ，使得定理适应的范围更广 泛同时在无条件( c ) 的情况下得到了和 9 ( 定理3 1 3 ) 相同的结果，进而推 出了定理2 2 4 最大值不等式进一步地，我们给出集值随机微分方程强解地 定义，在此基础上利用迭代法讨论了集值随机微分方程强解的存在性问题 其次，利用集值i t 6 积分理论给出了模糊集值i t 6 积分的定义，在此基础 上，把集值i 积分的研究结果推广到模糊集值i t 6 积分的情形，定理3 2 1 证 明了模糊集值i 积分的可加性，定理3 2 2 利用模糊集值条件期望的定义和定 理2 2 2 ，证明了模糊集值随机积分是一个模糊集值鞅定理3 2 3 和定理3 2 4 讨论了模糊集值i t 6 积分的性质在定理3 ，2 5 中，利用定理3 2 3 和定理3 2 4 证明了模糊集值随机积分的最大值不等式最后给出了模糊集值随机微分方 程强解地定义，及模糊集值随机微分方程强解的存在性问题 第2 章集值i t 6 积分和它的鞅性 第2 章集值i 积分和它的鞅性 2 1 集值i t 6 积分 记妒( r 4 ) 表示取值为彬的a 适应的可测过程 ，( t ) ，4 t ：t o ) 满足对 任意的t o ，曰嘛i i ，( 圳l d 司 。的全体 口( k ( 耐) ) 表示k ( r d ) 值的a 适应可测集值过程妒( ) ，a ：t o ) 满足对任意的t o ，f 惦i i f ( s ) i 屉d 司 o 。的全体相似地，我们可以定义 p ( k 。( 掣) ) ，口( k k ( 掣) ) 和口( k k 。( r d ) ) 在【1 4 1 中，k i m 利用了k i s i e l e w i c z 1 6 关于集值i t 6 积分的定义，讨论了 集值i t 6 积分的性质，但这个定义是不合理的在 9 】中j u n g 和k i m 在空间r 上给出了一个新的定义同时在条件( c ) 的情况下，证明了集值i t 6 积分的鞅 性和最大值不等式但是条件( c ) 是非常强的 条件( c ) ：集值随机过程 f ( t ) ，a ：t 兰o ) 三2 ( k 。( 豫) ) ，定义f ( t ) = ，0 ( t ) m ， 其中m = 一l ，1 和 如( t ) ：t o ) 2 ( r ) ，满足对所有的t o ，存在一个常 数c o ，使得片，0 ( s ) 抛s + c o o _ e 本文中，在空间r 4 上我们将利用k i m 在 9 】中关于集值i t o 积分的定义， 在无条件( c ) 的情况下，讨论集值i t 6 积分的鞅性和最大值不等式性，进而研 究了集值随机微分方程强解的存在唯一性问题为此，我们先给出必要的定义 与记号 集值随机过程 f ( t ) ，a ：t o ) 的口选择是可测过程 ，( t ) ，a ：t o ) 口( r d ) 满足对所有的t o ，几乎处处所有的u n ，( t ，) f ( t ，u ) 品( f ( t ) ) ) 北京工业大学理学硕士学位论文 表示集值随机过程 f ( t ) ，a ：t o ) 口选择的全体 昂( q 表示对任意固定 的t o ，集值随机变量f ( t ) 的选择9 工9 ( n ，a ，肛；则) 的全体 定义2 1 1 设 f ( t ) ，a ：t o ) 工2 ( k 。( 删) ) 是集值随机过程，对任意 的t 0 定义： r t = t ，( s ) d s ：( ，( t ) ) t 2 0 s j ( f ( t ) ) ) ) j 0 其中 u t ：t o ) 是彬值的布朗运动，满足t ) o = o o e 在 9 】中j u n g 和k i m 证明了对任意的集值随机过程t f ( t ) ，a ：t o ) 三2 ( k c ( r ) ) ，存在一个集值随机变量五( f ) 使得s t ( f ) = i 甜t ，其中磊r t 是n 的 可分解闭包此结论对于空间r d 也成立 定义2 1 2 随机集五( f ) 称为 f ( t ) ，a ：t 0 ) l 2 ( k 。( r d ) ) 关于r d 值 布朗运动 t ：t o ) 的随机积分或i 积分，表示为丑( f ) = 詹f ( s ) d w 。 在【9 中，在基础空间是r 的假设下证明了下面的表示定理，同样对于基 础空间为掣的情况下来说，此结论仍成立 引理2 1 3 ( 见 9 )假定 f ( t ) ，a ：t o ) 二2 ( k 。( r d ) ) ，则存在一 列 ( ，i ( t ) ) t o ：i n ) ( f ( t ) ) ) ，使得对每一个t o ，有 2 2 主要结果 f ( t ，u ) = c l ，2 ( t ，u ) ：n ) ，t 厶( f ) ( u ) 刊 ：，i ( 叫) 8 姚( “j ) ：n ) 。e 第2 章集值i t 6 积分和它的鞅性 定理2 2 1 对任意 f 1 ( t ) ，a ：t o ) ， f 2 ( t ) ，a ：t o ) 三2 ( k 。( 掣) ) ，则 有 胁侧( s ) 砒。= 小托。+ 小地 证明令f = 毋+ f 2 ，由 h ( t ) ，且t ：t o ) ， o ：i n s 2 ( p ( t ) ) ) 和 ( 出 ) ) 电o ：j n ) ( f ( t ) ) ) ，使得对每一个t 2o ，几乎处处所有的n ，有 因此可得 毋o ，u ) = c ； ，i ( t ，u ) ：i n 马( t ，u ) = c f ( 矗0 ，u ) ：j n ) f ( t ，) = c f 爿( t ，u ) + 以( t ，u ) ： ，j n ) ( 1 ) 根据集值i t 6 积分的定义，有 a 2 d 露( f 1 + 托) ( 5 ) d 枷。 一 a 2 一。露f ( s ) 妇， = a 玑( 片，( 。) 如。：( ，( t ) ) 酆岛( f ( t ) ) ) = c f m 。露a ( s ) d 姚：m n ， 山：= 1 ，2 m ) 是n 的a t 可测分割且 = l ( 丸( t ) ) # o s 2 ( f ( t ) ) ，= l ，2 m )( 2 ) 所以对任意的劈，( s ) d ”。s 奄f ( 。) ，由( 1 ) 式和( 2 ) 式，存在n 的一个有限 可测分割( a l ，a 2 a 。) ，及整数 1 ，i 2 ；j l ，如如使得 静小文s 吣划一。 北京工业大学理学硕士学位论文 因此 s ( 毋+ 凡) ( 。) d w ，cc f ( 跷且( 。) d + 赣凡( 。) d 讪) 显然有 c j ( 嗉r ( 。) 曲。+ 码( 。) d 叫。) c 赣( n + 凡) ( 。) d 枷， 所以 铙( n + 凡) ( 。) d 。= c f ( 赣n ( 。) 缸。+ 强见( 。) d 。，) 根据定理1 2 ，4 ，有 铙( f l + f 2 ) ( 。) 幽。2 跷n ( 。) d + 片见( 。) d 一 所以 z 。( 目+ f 2 m ) 幽。= z 只( s ) 咖。十z 马( s ) 抛。 因此结论成立 利用选择的方法，在无条件( g ) 的情况下证明了下列定理 定理2 2 2 假如 f ( t ) ，a ：t o ) 三2 ( k 。( 贰4 ) ) ，则： 五泸) ，a ：t o ) 是 一个集值鞅 证明 由集值随机变量条件期望的定义和集值i 惦积分的定义，对t s 则有 洲( a ) = c 删姒 ： ( 删 ( 1 ) = c j e 【 i 一4 。 = 五西) ， 现在来证： c f e m l 4 s ： 磊r ) = c f e l a 。】： d e r f )( 2 ) 第2 章集值i t 6 积分和它的鞅性 显然左端包含右端，只需证明右端包含左端 任取肌d 徊m l 几】： 丽。) 则存在矗“) 积。，n n ，使得 怕。一e 矗”l 几川l 。_ o ( n - o 。) ， 对予任意的礼n ，也存在一l “ “d e n 使得 i l “一_ “忆。_ + o ( m _ 。) 由于 i i e 矗”1 4 。 一f _ | “1 “j _ 。川l 。e | 1 打一z “，”o = i l 厅一氕“，“l l l 。 o ， 有 1 1 乳一国 7 ：l “，”4 。 l ， sl b 。一e 【 i _ 。州l 。+ l i e 【筇1 4 。】一日 7 l ”，”f 4 。川l 。 _ 0m _ + o 。，m - + 。) ， 因此对任意的乳d 曰i i 一4 。 ： d e n ) ，即左端包含于右端，因而( 2 ) 式成 立 由可分解集的定义和彬值随机积分的鞅性，得 c f e i i a | ： d e r d = c f 忙 黑) c “詹 ( r ) d 叫a ： 也：= 1 ，2 m ) 是n 的a 可测分割 ( ( t ) ) t o ( f ( t ) ) ，女= 1 ，2 m ) 2 c h 量x m 片 ( r ) 龇r ：( ( 。) ) = 。s 2 ( f ( ) ) ，2 = 1 ，2 m ) = 观( 川 因此e 皿( f ) i 几 _ l ( f ) 即结论成立 北京工业大学理学硕士学位论文 根据定理2 2 2 ，在无条件( c ) 的情况下，我们也能够得到和【9 ( 定理3 1 3 ) 相同的结果，下面我们给出证明 定理2 2 3 f ( t ) ，a ：t o ) 和 g ( t ) ，a ：t o ) 上2 ( k 。( 倒) ) ，则有 曰 。pd 斋( 厂f ( 。) d 。，f g o ) d 。) 4 e 癌( f t f ( 。) d 。，f t g ( 。) 扎。) ( 1 ) 曰0 銎昌4 斋( zf ( s ) 。s ，上g ( s ) 。w s ) 4 e 癌( 上f ( s ) d 姚，z g ( s ) 。虬) ( 1 ) 0 t r，0j 0 j0 j 0 证明令( m ( t ) ) 垃。和( ( t ) ) 垃。是两个集值鞅，由 1 1 ( 引理2 6 ) ，当t 三s 时， 日妇( 尬，m ) h 如( e m 】( ) ，e 陬限 ( ) ) = 如( 蝇，s ) 这就说明了妇( 舰，肌) 垃。是一个实值下鞅 现令m t = 五( f ) = 名f ( s ) d m 。，= 五( g ) = g ( 8 ) 如。则由d o o b 最大不 等式，我们可以得到不等式( 1 ) 成立 下面证明在无条件( c ) 的情况下，最大值不等式成立 定理2 2 。4 f ( t ) ，a ：t o ) 和( g ( t ) ，a ：t2o ) p ( k 。( 刚) ) ，则有 以以，丁 引。器4 备( 上f ( s ) 扎s ，0g ( 。) 咖s ) 】4 e i 0 舀( f ( 吐g ( 枷8 s 】( 2 )0 o 使得对所有x ，y k 。( r d ) ，有 | f ( t ，x ) 】l 蠢+ l i g ( t ，x ) | | 莨d ( 1 + i i x l l 莨) ， 则集值随机微分方程( 2 3 1 ) 有唯一的强解仁( t ) ：t o ) 证明定义弱( t ) = 弱n e ，给定t o ，对所有的t 【o ，t 】，由条件( 2 ) 则 有 ， e i g ( t ，j ) i i 丧州茎d t ( 1 + e 叫j | | 丧 ) 。 j0 因此( g ( t ，弱) k o l 2 ( k 。( 掣) ) 由集值i 协积分的定义，能够定义露g ( s ，) 如。 因此定义连续过程： 甄( t ) = + z 2 f ( s ，凰) d s + z g ( s ，凰) 如， 且对所有的t o ，卅有：研i i x l ( t ) 限 。现我们定义连续过程： 。 厂。 一 五( 。) = + of ( 8 ，蜀一1 ( 5 ) ) 如+ 上g ( 3 x h ( s ) ) 龇s ，江2 ，3 ，n 第2 章集值i 积分和它的鞅性 满足s u pe 川玉( t ) 哝】 o 。，则由条件( 2 ) 可得 0 t t e i i g ( s ，( s ) ) i i k d s d t ( 1 + s u pe | | 蜀( t ) i | 灸) o 。 j0 0 9 s t 因此： ( g ( t ，弱( t ) ) ) t o 工2 ( k 。( r 6 ) ) 现在定义连续过程 + ，= 凰+ z f ( s ，蜀( 胡d s + z 。g ( s ，( s ) ) d w 。 则由数学归纳法：得到一列随机过程 ( ) 0 ( t ) ) 电o ) 酽( k c ( 础) ) ，n = l ，2 由定理2 2 3 和 9 ( 定理3 1 4 ) ，条件( 1 ) 可得 e s u p 略( 五。( t ) ，x n + 1 ( t ) ) 】 0 t 2 引。器咯( e f ( s ，矗一1 ) ( s ) d s ，片f ( s ，矗( s ) ) 幽) + 2 引。芝舄咯( 靠g ( s ，矗一1 ( s ) ) d 片g ( s ，( s ) ) 幽s ) 2 7 e 旧赡( f ( s ，一l ( s ) ) ，f ( s ，( s ) ) ) d s + 8 e 【j 孑略( g ( s ，x 。一1 ( s ) ) ，g ( s ，x 。( s ) ) ) d s 】 s ( 2 t + 8 ) f 片e 8 u pd 备( k 。一l ( t ) ，。 o ( t ) ) 】d t o 5 ( t ( 2 t + 8 ) m ) n 口矗1 片一1e 【! “p 曲( ，x 1 ( s ) ) 出。出2 出1 o ( 5 t “ 因此有 e s u pd 备( 巯，x 1 ( s ) ) ( 2 t + 8 ) d t ( 1 + l l 茁o i l 2 ) o 墨t s t n 引。器。备( 狲隅“删坚等等婴( 1 小旷)0 t 丁l n 十1j ： 北京工业大学理学硕士学位论文 根据切比雪夫不等式，则有 p ( s u pd 日( x 。( t ) ，) “+ 1 ( t ) ) i i b ) o t t 一 4 ”+ 1 e 【s u p 瑶( x i ) ，x 二+ l ( t ) ) 0 0 是集值随机微分方程( 2 3 1 ) 的任意两 个强解，则由以上相似的推导过程，对所有的t 0 ，t 可得 e 【d 备( x ( 巩x m ) ) 3s2 m ( 1 十t ) z e 【诏( x ( s ) ，x7 ( s ) ) 】d s 则由g r o n w a h 引理，对所有的t 0 ，卅可得： e d 备僻( t ) ，x 心) ) = o 因此当t _ + o 。，对所有的t o 可得x ( t ) = x ( t ) o e 又因为( t ) ) t o 和瞵7 ( t ) ) t o 关于t 是妇连续( 。e ) ，因此可得对所有的t 兰ox ( t ) = x 协) 。e 题目得证 第2 章集值i t 6 积分和它的鞅性 2 4 本章小结 本章引进k i m 在【9 中关于集值i t 6 积分的定义，在此基础之上，在空 间r d 上，首先证明了集值i 协积分的可加性，其次在无条件( c ) 的情况下主 要讨论了集值i t 6 积分的鞅性和最大值不等式性，连续性利用选择的方法证 明了在无条件( c ) 的情况下集值i 协积分是一个集值鞅最后利用迭代法研究 了集值随机微分方程强解的存在唯一性定理 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章模糊集值i t 6 积分和它的鞅性 3 1 模糊集值i 的积分 定义3 1 1 模糊值随机变量x 的期望是一个模糊集，表示为e 捌；满足 对每一个o ( o ，1 ，( 昱【嗣) 。= c l e 【x 。】，其中闭包在耐中取到 由存在性定理【2 7 】，我们能够得到等价定义： e ( x ) ( z ) = s u p a 0 ，1 ：。曰l x j 】 值得注意的是当( n ，4 ，p ) 是无原子时，e 陋】总是凸的，因此我们定义的条件 期望是在工1 ( q ，_ ，卢；f 。( r 8 ) ) 上 定义3 1 2 令山是a 的子盯域，在给定山下模糊值随机变量x 的条件期 望是一个模糊集值随机变量，表示为刀陋i 山】；满足e i 山】三1 ( q ，山，p ；f 。( 倒) ) 和对任意的a 山， 上日陋j 一4 。 咖= 正x 咖ja|a 对于x 工1 ( n ，4 ，p ；f 。( r d ) ) ，条件期望e 瞵l 且o 】是唯一存在的，且有陴1 4 0 ) 。 = e 【j 已l a o 】 2 7 定义3 1 3 模糊集值随机过程 x ( ) ：t o ) 称为是a 适应的，假 如x 。( t ) = 伍( t ) ) 。是a 适应的；模糊集值随机过程 x ( t ) ：t o ) 称为是a 可测的，假如对所有的o 0 ，1 ，x 。( ) 是a 可测的 定义3 1 4适应的模糊集值随机过程仁( t ) ，a ：0 称为模糊集值 鞅，如果： 第3 章模糊集值i 积分和它的鞅性 ( 1 ) 对所有的t o ，x ( t ) l 1 ( n ，a t ，p ；f 。( r 4 ) ) ( 2 ) 对o s t ，e 瞵( t ) i 一4 。 = x 扣) ( 2 ) 等价与( 2 ) 7 ：对任意的口( o ，1 和o s t ，e 陋。( t ) 1 a _ ( s ) 。e 对任意给定的适应的模糊集值随机过程x = 协( t ) ，a ：t o ) 和任意n ( o ，1 3 我们都有集值随机过程 墨( t ) ，a ：t o ) 的i 伯积分，表示为五、。伍) = 矗五( s ) d w 。利用第二部分关于集值i 积分的定义，我们可以得到和 1 4 ( 定 理4 6 ) 相同的结果 定理3 1 5 ( 见【2 】) 对任意适应的模糊集值随机过程弘( t ) ，a ：t o ) l 2 ( f 。( 掣) ) ，存在唯一的模糊集值随机变量z ( t ) 工2 ( n ，a ，一；f 。( 础) ) ，使得对 所有的t o 和q ( o ，1 有 睢酞d ：砷2 。) = z 玩州”汕e ， 定义3 1 6 以上定理中模糊集值随机过程t z 吼t o ) 称为是模糊集值 随机过程 x ( t ) ，a ：t 0 ) 二2 ( f 。( r 4 ) 关于实值布朗运动 w t ：t o ) 的i t 6 积分，对任意的t o 表示为： z 。) = 小帆 3 2 主要结果 对任意模糊集值随机变量x 1 ，x 2 2 ( q ，a ，p f 。( r d ) ) 我们定义模糊集 值随机变量的加法如下： ( x 1 + x 2 ) ) = x 1 ) + x 2 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 在这里1 ( u ) + x 2 ( u ) ) ( 。) = s u p d o ，1 ：z 霹( u ) + x ：( u ) ) ，那么则有