（理论物理专业论文）有限时间热力学循环性能的研究.pdf

摘要 之间的关系曲线。通过数值解，对谐振子系统布雷顿热机循环的性能参数进行 了优化分析。 第五章研究了谐振子系统量子热机循环性能。首先探讨了不可逆谐振子量 子热机循环模型理论。它是由两个等频率过程和两个绝热过程组成。当谐振子 在频率变化过程中不满足量子绝热条件时， 就会产生 “ 非绝热” 现象 在对 应的过程中系统和外界虽然没有热交换但系统内部有热量产生.为此引入类似 于经典热力学循环中的内摩擦概念来描述这种内损耗所产生的热量。应用谐振 子理论、量子主方程和半群方法，推导出谐振子系统的热力学第一定律和时间 演化一般公式，对以谐振子系统为工质的量子热机循环的输出功、效率、输出 功率、嫡产 率和工质的温度进行了优化分析，同时也简要地分析了 诸如无内 摩 擦、高温等特殊情况下的循环性能特征。 第六章研究了以自旋 1 / 2系统为工质的量子热机循环性能。通过详细分析 构成循环的两个等磁场和两个等自旋角动量过程中工质的状态的变化，利用自 旋理论和量子主方 程，得到了 热机循环的几个重要参数，包括 效率， 输出 功率， 嫡产率等.通过数值解，计算出最大输出功率和对应的性能参数。进而推导出 效率，工 质温度、 周期等参数的 优化区间。最后， 简要地分析无内 摩擦、高温 等特殊情况， 并且推广到自旋j 系统量子热机循环， 从而使获得结果更具有普遍 性。 关键词:性能特征;效率:摘产率;量子系统 ab s t ra c t abs tract f i n i t e - t i m e t h e r m o d y n a m i c s , a s a s i 咖 fi c a n t b r a n c h o f t h e m o d e m t h e r m o d y n a m i c s , i s m a i n l y a i m e d t o i n v e s t i g a t e t h e re g u l a t i o n o f e n e r g y a n d e n t r o p y fl o w s o f n o n - e q u i l i b r i u m s y s t e m s i n f in i t e t i m e . s i n c e t h e 1 9 7 0 s , re s e a r c h i n t o i d e n t i f y i n g t h e p e r f o r m a n c e l i m i t s o f t h e r m o d y n a m i c p r o c e s s e s a n d o p t i m i z a t i o n o f t h e r m o d y n a m i c c y c l e s h a s s e e n t r e me n d o u s p r o g r e s s m a d e勿 s c i e n t i s t s a n d e n g i n e e r s w i t h f in i t e t i m e t h e r m o d y n a m i c s . f i n i t e - t i m e t h e r mo d y n a m i c s h a s b e e n w i d e l y a p p l i e d t o m a n y fi e l d s s u c h a s i n d u s t r i a l a n d a g r i c u l t u r a l p r o d u c t i o n , c h e m i c a l e n g i n e e r i n g a n d t h e r m a l e c o n o m i c s . i t i s a l s o i m p o r t a n t i n t h e o ry t o o p e n 叩 n e w e n e r g i e s , i m p r o v e e c o l o g i c a l e n v i r o n m e n t s , a n d p ro t e c t n a t u r a l r e s o u r c e s , e t c . f i n i t e - t i m e t h e r m o d y n a m i c s h a s g a i n e d m a n y g r e a t a c h i e v e m e n t s i n m a n y re s e a r c h fi e l d s , p a rt i c u l a r l y i n t h e i n v e s t i g a t i o n o f o p t i m i z i n g t h e p e r f o r m a n c e o f t h e r mo d y n a m i c c y c l e s . a fi n i t e - t i m e t h e r m o d y n a m i c c y c l e m a y b e c l a s s i c a l o r q u a n t u m . r e c e n tly , re s e a r c h in to q u a n t u m th e rm o d y n a m i c c y c l e s h a s b e c o m e a n e w b r a n c h o f r e s e a r c h i n t o f i n i t e - t i m e t h e r m o d y n a m i c c y c l e s . 玩 t h i s t h e s i s , t h e i n v e s t i g a t i o n o f p e r f o r m a n c e o f f i n i t e - t i m e t h e r m o d y n a m i c c y c l e s i n c l u d i n g c l a s s i c a l t h e r m o d y n a m ic c y c l e s a n d q u a n t u m t h e r m o d y n a m i c c y c l e s w i l l b e p r e s e n t e d b y t h e f o l l o w i n g c h a p t e r s . i n c h a p t e r 1 1 , t h e p e r f o r m a n c e c h a r a c t e ri s t i c s o f t h e i n t e rn a l i r r e v e r s i b l e s o l a r - d r i v e n h e a t e n g i n e c y c l e a re d i s c u s s e d . i n t h e c y c l e m o d e l u s e d , i t s a s s u m e d t h a t t h e h e a t t r a n s f e r fr o m山e h o t res e r v o i r i s t o b e i n t h e r a d i a t i o n mo d e wh i l e t h e h e a t re l e a s e d t o t h e c o l d re s e rv o i r i s t o b e c o n v e c t i o n m o d e . b a s ed o n a c y c l e mo d e l o f a n i n t e rn a l i r r e v e r s i b l e s o la r - d r i v e n h e a t e n g i n e , t h e o p t im a l re l a t i o n s a m o n g t h e p e r f o r m a n c e p a r a m e t e r s u n d e r m a x i m u m p o w e r a n d m a x i m u n p o w e r d e n s i ty c o n d i t io n a r e d e r i v e d , re s p e c t i v e l y . b y u s i n g n u m e ri c a l s o l u t i o n , t h e e ff e c t s o n o p t i m a l p e r f o r m a n c e c a u s e d 妙i n t e rn a l i r r e v e r s i b l i t i e s a n d e x t e rn a l i r r e v e r s i l b i l t i e s o f h e a t t r a n s f e r 二 i n v e s t i g a t e d . t h e r e s u l t s o b t a i n e d u n d e r m a x i m u m p o w e r a n d p o w e r d e n s i ty c o n d i t i o n a re c o m p a r e d a n d d i s c u s s e 氏t h e c o n c l u s i o n s i n t h e p r e s e n t c h a p t e r i v a b s tr a c t a re m e a n i n g f u l l y i n s t r u c t i v e t o t h e o p t i m a l d e s i g n o f t h e p r a c t i c a l h e a t e n g i n e s y s t e ms . in c h a p t e r ii i, th e p e rf o rm a n c e o f c a rr o t h e a t e n g i n e w h o s e w o r k in g s u b s ta n c e c o n s i s t s o f n o n - i n t e r a c t i n g e x t r e m e re l a t i v i s t i c p a rt i c l e s c o n f i n e d t o a n i n f in it e p o t e n t i a l w e l l i s s t u d i e d . i n t h i s c h a p t e r , a n e w c y c l i c m o d e l o f q u a n t u m c a m o t h e a t e n g i n e i s s e t u p . i t i s s h o w n t h a t t h e e n g i n e w h o s e c y c l e c o n s i s t s o f t w o a d i a b a t i c a n d i s o t h e r m a l q u a n t u m p r o c e s s e s a re c l o s e a n a l o g u e s o f t h e c o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a l p r o c e s s e s a n d t h e e ff i c i e n c y o f t h i s e n g i n e i s e q u a l t o t h e c a m o t e ff i c i e n c y b e c a u s e q u a n t u m d y n a m i c s i s r e v e r s i b l e . c o n s e q u e n t l y , t h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f t h e h a m i l t o n i a n i n t h e e x p r e s s i o n o f t h e e ff i c i e n c y i s s i m i l a r t o t h e t e m p e r a t u r e i n t h a t o f 止.c l a s s i c a l o n e a c y c l e m o d e l o f a n i r r e v e r s i b l e b r a y t o n h e a t e n g i n e c y c l e w o r k i n g w i t h h a r m o n i c s y s t e m s i s e s t a b l is h e d in t h e c h a p t e r i v b a s e d o n q u a n t u m m a s t e r e q u a t i o n a n d s e m i - g r o u p a p p r o a c h , t h e t i m e e v o l u t i o n o f 伽 c y c l e i s a n a l y z e d . g e n e r a l e x p r e s s i o n s o f t h e t i m e s s p e n t o n t h e t w o c o n s t a n t - fr e q u e n c y p r o c e s s e s , w o 成 t h e r m a l e ff i c i e n c y a n d p o w e r o u t p u t a r e d e r i v e d . f o r a f ix e d c y c l e p e r i o d , t h e c h a r a c t e r i s t i c c u r v e s b e t w e e n s o m e p a r a m e t e r s a r e p lo t t e d a n d t h e p e r f o r m a n c e p a r a m e t e r s o f t h e h e a t e n g i n e c y c l e a r e o p t i m i z e d . t h i s a n a l y s i s m a y o ff e r f u r t h e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e o p t i m u m p e r f o r m a n c e o f t h e q u a n t u m t h e r m o d y n a m i c c y c l e s a s w e l l a s c l a s s i c a l t h e r mo d y n a m i c c y c le s . i n c h a p t e r v , o p t i m i z a t i o n o n t h e p e r f o r m a n c e o f a n i r re v e r s i b l e b e a t e n g i n e c y c l e w o r k i n g w i t h h a r m o n i c s y s t e m s w i l l b e p e r f o r m e d . t h e c y c l e m o d e l c o n s i s t s o f t w o c o n s ta n t - fr e q u e n c y p r o c e s s e s a n d t w o a d i a b a t i c p r o c e s s e s . a c c o r d i n g t o t h e q u a n t u m a d i a b a t i c t h e o r e m , t h e a d i a b a t i c p r o c e s s c a n b e d e s c r i b e d勿 t h e t u n e e v o l u t i o n o f t h e h a r m o n i c s y s t e m w i t h s l o w l y c h a n g i n g fr e q u e n c y . n o n - a d i a b a t i c p h e n o m e n o n a r i s e s fr o m r a p i d c h a n g e i n t h e e n e r g y l e v e l s t r u c t u r e o f t h e s y s t e m , m e a n i n g t h a t a l t h o u g h t h e r e i s n o h e a t t r a n s f e r r e d t h e w o r k i n g s u b s t a n t c e h e a t s u p i n t h e c o r r e s p o n d i n g p r o c e s s . i t s t h e r e f o r e t h a t t h e i n t e rna l fr i c t i o n s i mi l a r t o t h e i n t e rn a l l y d i s s i p a t i v e f r i c ti o n i s i n t r o d u c e d t o d e s c r ib e t h e q u a n t u m h e a t e n g i n e c y c l e . wit h t h e h e l p o f m a s t e r e q u a t i o n , s e m i - g r o u p a p p r o a c h , a n d h a r m o n i c t h e o ry , t h e g e n e r a l e x p r e s s i o n s f o r s e v e r a l i m p o r t a n t p a r a m e t e r s s u c h a s t h e w o r k , e ff i c i e n c y , v ab s t r a c t p o w e r o u t p u t , a n d r a t e o f e n t r o p y p r o d u c t i o n a r e d e r i v e d . t h e o p t i m a l l y o p e r a ti n g re g i o n s a n d t h e o p t ima l v a l u e s o f p e r f o r ma n c e p a r a m e t e r s o f t h e c y c l e a r e d e t e r m i n e d u n d e r t h e c o n d i t io n o f m a x i m u m p o w e r o u t p u t . s o m e s p e c i a l c a s e s s u c h a s h i g h t e m p e r a t u r e l i mit a n d fr i c t i o n l e s s c a s e , w i l l b e d i s u s e d . i n c h a p t e r v i , t h e a n l y s i s o f p e r f o r m a n c e o f s p i n q u a n t u m h e a t e n g i n e c y c l e i s p re s e n t e d . b a s e d o n s p i n t h e o ry , q u a n t u m m a s t e r e q u a t i o n , a n d s e m i - g r o u p a p p r o a c h , 血 e x p re s s i o n s o f s e v e r a l i m p o r t a n t p a r a m e t e r s i n c l u d i n g t h e e ff i c i e n c y , p o w e r o u t p u t , r a t e o f e n t r o p y p ro d u c t i o n a re o b t a i n e d . b y u s i n g n u m e r i c a l s o l u t i o n , t h e m a x i m u m p o w e r o u tp u t a n d c o r r e s p o n d i n g p e r f o r m a n c e p a r a m e t e r s a r e c a c u l a t e d . t h e o p t i m a l l y o p e r a t in g r e g i o n s o f t h e e ff i c i e n c y , t e m p e r a t u r e o f t h e w o r k i n g s u b s t a n c e , a n d c y c l e p e r i o d a re d e t e r m i n e d . s o m e s p e c ia l c a s e s s u c h a s t h e f r i c t i o n l e s s c a s e a n d h i g h t e m p e r a t u r e l i m i t a r e a l s o b r i e fl y d i s c u s s e d . f i n a l l y , t h e r e s u l t s o b t a i n e d h e re a r e g e n e r a l i z e d t o t h e p e r f o r m a n c e o p t i m i z a t i o n o f t h e h e a t e n g i n e w o r k i n g w i t h s p i n - j s y s t e m s k 叮wo r d s : p e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t ic s ; e ff i c i e n c y ; r a t e o f e n tr o p y p r o d u c t i o n ; q u a n t u m s y s t e m s 学位论 文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其 他人已 经发表或撰写过的研究成果， 也 不包含为 获得 南昌大李 或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签一a 签 一 夕 年 l 学位论文版权使用授权书 本学 位论文作者完全了 解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。 本人 授权南昌大学可以 将学位 论文的 全部或部分内 容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 ( 手写) : 缨 肠 导师签名 ( 手写) : 签 字 日 期 : 夕 年 月 签 日pq: 于 6 月 学位论文作者毕业后去向: 工作单位:电话 : 通讯地址:邮编 : 第一章 绪论 第一章 绪论 概述 有限 时间热力学是经典热力学的延伸和 推广， 是不可逆热力 学的一个分支， 主要研 究非平衡系统在有限时间中能流和嫡 流的规 律。 最主 要的 作用就是有限时 间热力 学可以 处理时间和速率有关的变量的 变化过程， 在引 进诸如 输出 功率、 制 冷率、泵热率、 输入功率、输出功率密度、嫡产率等许多重要参量时， 对实际过 程提供新的优化判据。 有限热力学涉及许多的研究领域， 其中优化热力学循环性 能的研 究是其中一个重要的领 域。 有限时间热力学的 热力学循环 性能 研究， 主要 讨论典型的热力学循环性能，诸如卡诺循环、布雷顿循环、埃里克森循环等。其 研究主 要分为两方面: 研究方面将分为两方面: 一， 经典的热力循环， 包 括热机、 制冷机 和热泵循环模型。 热源可以 是两个或两个以上的， 热源的热容量可以是无 限或是有限的。 对经典的热力循环进行分析时为了使物理概念清晰， 采用的模型 只考虑一些重要参数或几个主要不可逆因素， 如热阻和热漏等。 采用的研究方法 包括最大嫡产生最小化、 有限时间热力学、热经济学等。二，类似地， 量子热力 学循环同 样有卡诺循环、 布雷顿循环、 埃里克 森循环等。 构成量子热力 学循环的 工质可以是自旋系统、谐振子系统、 量子气体、势阱中的微观粒子等。因此，对 量子热力循环进行分析时， 一般根据构成循环的工质的性质和循环模型推导出热 力循环的时间演化公式，从而获得一些表征循环性能的重要参数的普遍表达式， 然后对这些性能参数进行优化分析. 1 . 2有限时间热力学 循环研究的 历史回 顾和发展 一百多年前，法国人 c a rro t 发表了其奠基性的论文，开创了一个新的科学 领 域 : 经 典 热 力 学 . c a rr o t 的 研 究 表 明 ， 工 作 为 高 温 热 源兀 和 低温 热 源t 之 间 的一切热机所能达到的效率界限为: n 。 二 1 - t i t h ，( 1 . 1 ) 此极为 著名的卡诺效率。卡诺效率为工作于两热源兀和t之间的任 意热机的效 率上限. 在此工作基础上，c l a u s i s和 k e l v i n分别发现了热力学第二定律。人 们通过热力学第一定律和第二定律的应用发展了热力学的数学理论， 找到了反映 物质的 各种 性质的 相应的热力学函数， 包括 嫡、 内能、 h e l m h o l t z 自由 能、 g i b b s 自由 焙等等。利用这些概念和数学及逻辑的方法得到了庞大的经典热力学体系。 第一章 绪论 经典热力学要求所有的实际过程都要与可逆过程进行比较加以研究。 这就显示系 统从一 个状态可 逆地 转换到另一 状态可以 得到最大的功， 而不可逆过程总是 要造 成作功能力的损失。因此， 经典热力学最优问题的解就为可逆热力学过程，即在 过 程中 系统保持内 平衡， 系统和环 境的 总墒不 变， 这就要求过程进行的时间 无穷 大即 输出 功率为 零。 但系 统和外部 环境之间的 热交换 速率不是 无限小， 系 统不能 保持内平衡， 且过程时间是有限的， 即所有的热力过程都是不可逆的。因此经典 可 逆热力学过程 界限 太高， 需要进一步完善。 在1 9 7 5 年， c u r z o n和a l h o m年研究了 热 源和工质之间的 有限速率 热交换 的 不可逆性， 推导出 工质与高、 低温 热源间 存在热阻损失时的卡诺热 机在最大 输 出功率时的效率公式一一 a 效率为 。 以 = ， 一 扩 t / t , ，( 1 . 2 ) 它不同于卡诺效率的一种新的性能界限，它也是有限时间热力学理论的最重要、 最基础的结论. 此 后， 以寻求热力过 程的 性能 界限和优化循环 性能的 研究工作引 起了一大批物理学、 工程学等方面的专家学者的兴趣。在物理学领域，以芝加哥 学派为代表;而 在工程学领域，以 美国的d u k e 大学b e j a n 教授为 代表， 称其 为 “ 嫡产生最小化” 或 “ 热力学优化”理论。两者的根本点是一致的，都是在有限 时间和有限尺寸约束条件下，以减少系统不可逆性为主要 目 标， 优化实际热力系 统为性能。两者均可称之为 “ 有限时间热力学” 。 这类研究主要分析在给定热力学循环过程下， 求 目 标函数的极值及目标函数 之间的相互关系， 即求出系统有限时间热力学界限、 基本优化关系和性能优化准 则，或者是在给定目标时，求最佳热力循环。其中，所取目 标可以是功、功率、 效率、 嫡产生率、 利润率、功率密 度、 生 态学函 数和热经济学函数等。 研究 对象 可以 是热 机、 制冷机、 热泵等实际装置。 循环方 式可以 是卡诺循环、 埃里克 森 循 环、 斯特林循环、 布雷顿循环、 奥 托循环等。 热源可以 是两个或两个以 上， 热 源 的 热容量可以是 有限或 无限的， 等 等。 考虑工质 与热源间的 传热、 热源之间的 热 漏等主要不可逆因素，这些不可逆因素对热力学循环的优化性能有直接的影响。 有限 时间的 热力过 程能 清楚刻画不 可逆性对热力 过程的影响， 这种思想 和方法 现 已被应用于以量子系统为工质的量子热力学循环的性能研究中。 自 从量子理论 建立以后，人们在量子热力 学循环的 研究中 取得了巨 大的 进 展。 量子 热力学循 环不仅在理论上 深刻地揭示了 量子系统特征和帮助人 们更加 深 入地理解 揭示实际 物理现象， 而且能起到联系 抽象理论和具体实践的作用。 在1 9 9 9 年，为 了研究超低温环境中的制冷 循环， 考虑到超低温情 况下的 气 体的量子 简并性不能 忽略， 一些学者对在 低温环 境下的量子气体为工质的 各种 热 力学循环的回热特征和性能参数， 以及量子简并性对热力循环的其他参数的影响 第一章 绪论 进行了研究. 1 9 8 4 年， k o s l ff r建 立了 量子热机循环模型。 在这 个热机循环模型中， 其工 质为和 外场有 祸合谐振子。 在热机循 环的 热源温度很高 的情 况下， 并 且谐 振子和 外场的 祸合强 度趋于零时，得出了 量子热机在最大输出 功率的效率为: 。 ， =1 - m j m 。 二 i - 召 元 7 万 ，( 1 . 3 ) 其中，t . t b 分别高、 低温热源的 温度， 这和方 程 ( 1 . 1 ) 相同。 1 9 9 2年， g e v a e 和k o s l o ff r 再次对以自 旋系统、 谐振子系统为 工质的热 机和热泵模型 进行了 研究。 在 这个模型中， 包括两等温 和两绝热 ( 自 旋系统为等 自 旋角 动量: 谐振子系统为等 粒子数) 过程。 根据量子 力学和 统计物 理的 基本知 识， 基于 量子主 方程和半群分 析法， 推导出 两等温过程的 时间演化公 式， 对热机 循环的一 些重 要性能 参数进行了 优化分析， 并对自 旋系 统和谐 振子系 统两种量子 热机的 性能 特征进行了比 较。 最后将自 旋 1 / 2 系统扩展到自 旋j 系统 进行类似的 分析。 例如当以自 旋1 / 2 系统或谐振子 系统为 热机的 工作物 质时， 可以 得到量子 热机的效率为 ， ， = 1 一 w c l - h ，( 1 . 4 ) 如 果 是自 旋 系 统， m , 和m h 分 别 为自 旋1 / 2 系 统 在 两 等 外 磁 场 过 程中 低、 高 磁 场: 如果 是 谐 振 子 系 统， m , 和 w h 分 别 为 谐 振 子 系 统 在 两 等 频 率 过 程中 低 、高 频率。 2 0 0 0 年，建立了以无限深势阱中的微观粒子 ( 非相对论的微观粒子)为工 质的量 子卡诺热机模型。 为 简单起见， 首 先分析了 一个 处在一维无限 深势阱中的 单个粒子( 并且此粒子 只在基态和第一 激发 态发生跃 迁) 在绝热过程 和等温过程 的 状态变化， 然后根据力学和量 子力 学原理， 得出了 热机循 环的输出 功， 最后推 广到多 粒子体 系和多 量子态的情 况。 最 后， 得出了 与气体卡 诺热机类 似的 效率为 n = i 一 e c l e e，( 1 . 5 ) 其中乓和e x 分 别 是 微 观粒 子 在 基 态 和 激 发 态的 系 统 能 量 平 均 值。 该 式 表明 以 无 限深势阱中的 非相对论粒子为工质的量子卡诺热机循 环的 效率和经典可逆卡诺 热机循环的效 率类似， 只是用系统的 哈密顿量的期望值即系 统的平均能 量代替经 典热力学 循环中的 温度即可。后来b h a tt a c h a r y y a k等人 进一步对以无限 深势阱 中的粒子 为工质的 量子热机作了细 致分析。 2 0 0 0 年， f e l d m a n n t 和k o s l o ff r分 析了量子热机和热泵循环在绝热过 程中 含时的哈密顿系统随时间变化不是极其 缓慢时即不能 看作量 子绝热近似时的 情况， 和以 前讨论的量 子热机或制 冷循环不 同的是， 在绝热过程中， 系统能级( 即自 旋系统所处的外磁 场或谐振子 系统的频 率) 随时 间变化比较快， 这时相对 应的 过 程系统和外界没 有热量的交 换但也有非 绝热现象的 产生。 因 此， 类似分析经 典的 热力学过程， 引入了 便于计算内 耗热量 第一章 绪论 的“ 内摩擦力” 进行分析。 通常情况下， 对于 热机循环和热泵循环的性能参数分 别 进行优化 有如下 方式:1 ， 在给定周期的情况下， 利用拉格朗日 函数对系统分 别 接触 两 热 源 的 时 间 的 分 配 进 行 优 化; 2 ， 外 场0 . , w h 进 行 优 化。 另 外， 对 于 热泵， 在两绝热总的时间给定情况下， 还可以对两绝热过程分别所需的时间进行 了优化， 或者只是在给定循环周期的条件下， 对循环每一过程所需的时间进行优 化。 作为量子物理中的两个典型自旋系统和谐振子系统为循环工作物质， 许多学 者对以自旋系统、谐振子系统等为工质的量子热机循环和制冷循环等进行了研 究。 在研究以自 旋系统或谐振子系统为工作物质的的量子热机或制冷循环时， 首 先建立模型， 根据统计理论和量子主方程和半群分析方法， 推导出量子系统所对 应的热力学第一定 律，如自 旋系统和谐振子系统的热力 学第一 定律分别为 d e=d w+ d q二 s d w + w d s，( 1 . 6 ) d e=d w+ d q= n d m+ m d n ，( 1 . 7 ) 然后利用算符 在海森堡表象运动方程， 得出时间的 演化公式进而得到其它的诸 如 输出功、输出功率、 效率、嫡产率等重要的性能参数，然后按前面所述的方法对 量子系统热机或制冷机循环的性能进行优化研究。这类研究也和经典情况相似， 就是在给定的目 标函数 ( 功率、 功、 嫡产率) 求出 最佳的热力学 循环， 已 经取得 了许多有益的结论。 构成量子热机循环的工作物质扩展到了光子气体， 一些学者 根据量子热 机的 概念， 利用量子力学的知识， 进一 步分析量子热机循环中， 量子 系统对应的热力学第一定律: d q = 艺e . dp m ，( 1 . 8 ) d w = 艺p . d e . 。( 1 . 9 ) 同 时 ， 他 们也 分 析 了 两 能级 或 者 三 能 级 热 机 循 环能 够 作 功 的 条 件 。 例如 ， 和 经 典 卡诺热机做功的条件不同，t i e n d . k i e u得出了两能级量子热机循环的效率: n 9 = 1 一 2 / a , ，( 1 . 1 0 ) 两能 级能 级 差 : 。 ， 并 且推 导出 量 子 热机 能 够做 功 的 条 件 : 即 两 热 源的 温 度 t , ，t z 满足必须满 足下列关系 不 t z 伍 , / 6 z ) o ( 1 . 1 1 ) 根 据 式( 1 . 8 ) 和( 1 . 9 ) 可以 得 到 量 子 热 机的 效 率 ， 。 比 经 典 卡 诺 热 机 的 效 率n , 满 足 关 系 式， 即刀 ， t j a j a j 9 . ( 1 . 1 2 ) 其中 c / a , 37m . ) 比 卡诺 效 率17 ( n , = 1 一 r ) 要小。 同时， 通过图2 . 8 分析 可知， 在两 热源温度比 值t 确定的前提下内 不可逆 热 机 和 内 可 逆卡 诺 热 机 最大 输出 功 率条 件下 得 到 效 率叮 。 比 最 大 输出 功 率 密 度 得 到 的 效 率i d . 要 小 。 对 于 任 意 。 值， 内 可 逆热 机 的 效 率 满 足 n c , n . , 1l ) 一 全 i. . f e . 。 ( 3 . 1 4 ) 假设一维无限深势 阱壁像经典卡诺循环中的活 塞一样能够移动， 当势阱 壁变化无 穷小量d l 时，系 统的 波函 数、 本征函 数和能级都会随着l 发生无穷小 变化， 系 统的 哈密顿量的期 望值也会发生无穷小变化。 明 显地， 我们可定 义作用 在势阱壁 的力为 f ( l ) =一 d e ( l ) d l ( 3 . 1 5 ) 依据式 ( 3 . 1 3 )和 ( 3 . 1 4 )可得到 f (l ，一 e iaiz l 二 ( 3 . 1 6 ) 在量子等温过程中，由于势阱壁移动，势阱宽度也会发生变化， 但系统的哈 密顿量的期望值保 持不变， 这和经典等温过程中 温度保持不变是类似的。 经典 等 温过程是系统始终和热源保持热接触来实现的， 而量子等温过程可以认为系统和 外界通过输入或输出能量( 例如利用镭射等方式) 的方式来实现。 根据式( 3 . 1 4 ) , 系 数 ia . l， 即 系 统 处 于 各 种 不 同 量 子 态 的 几 率 必 须 在 此 过 程 中 变 化 使 系 统 能 量 的 平均值恒定。 但必 须满足归一化条件，即式 ( 3 . 1 1 ) . 在量子绝热过 程中， 势阱壁移动， 势阱宽度改变。 在 绝热过程系统一直保 持 平 衡 ， 因 此 系 数 la ! 必 须 保 持 不 变， 系 统处 于 各 量 子态 的 几 率 不 变， 也 就 是 绝 热 过程中系统所处的量子态保持不变。 根据式 ( 3 . 1 3 ) 和 ( 3 . 1 4 ) ， 在绝热膨胀 ( 压 缩) 过程中，随着势阱壁l 增大 ( 减小) ，能量的本征值减小 ( 增大) ，因此，系 统能量的平均值减 小 ( 增大) 。 量子卡诺循环模型如图 3 . 1 所示， 它包括两个绝热过程和两个等温过程， 闭 合曲 线a b c d的 面积表示在一个循环周期中 系统对外界所作的 功，即 w = j f ( l ) d l 。(3 . 1 7 ) 第三章 量子卡诺循环 图 3 . 1量子卡诺循环示意图 3 . 4 f子卡 诺循环性能分析 考虑处在一维无 限深势阱中的 粒子系统， 为简单 起见， 假设粒子只有两个本 征态即基态 和第一 激发 态。在等温膨胀过程a - + b ， 系统的能量平均值 恒定为 e, 粒 子 分 别 处 在 基 态 和第 一 激发 态 的 几 率 发 生 变 化。 在循 环 的 起 始 点a 粒 子 处在基态，则起始时刻作用在势阱壁上的瞬时力 ( 3 . 1 8 ) 在a一 b 等温过程系统哈密顿量的期望值是 ( 3 . 1 9 ) a峥b 过程中， 势阱 壁在移动， 系统的哈密 顿量的期 望值恒定， 系统的状 态由 基 态激发到第一激发态，根据式 ( 3 . 1 0 ) ，在此等温过程中系统的波函数可以写为 vi(x) = a, (l)抒 51nsin( l x)一 (l) l sm l l x 1， ( 3 . 2 0 ) 并 且 粒 子 处 于 基 态 和 第 一 激 发 态 的 几 率 必 须 满 足 卜 .， 十 卜 2 ， = 1 ， 系 统 的 哈 密 顿 量 的期望值 e = (h ) = 笋一 耐 ( 3 . 2 1 ) 根据式 ( 3 . 1 9 )和式 ( 3 . 2 1 )可得 第三章 量子卡诺循环 : = l , (2 一 ta i 1z ), ( 3 . 2 2 ) 当 。 ， = 。 ， 即 粒 子 处 在 基 态 的 几 率 为。 时 ， 处 在 第 一 激 发 态 的 几 率 为1 ， 这 时 系 统 完 全处 在 第 一 激 发 态 ， 势 阱 壁 膨 胀到 l , 的 最 大 值 并 且 为 l , = 2 l 一在 等 温 过程中作用在