（理论物理专业论文）指数势胚宇宙动力学的研究.pdf

摘要 自从上世纪四十年代末g a m o w 建立大爆炸宇宙学以来，人们对这门新兴学科 的追求和探索从未止步。随着近年来实验观测数据的日积月累，人们对宇宙的认 识达到了一个相对成熟的程度，并逐渐建立起一个由奇点大爆炸到早期宇宙暴涨 再到现在由暗能量和物质共同主导的现代宇宙学模型。尽管如此，宇宙学中还有 许多疑问等待科学家们去解决，其中最重要的问题之一是暗能量问题。现代实验 数据已充分表明了它的存在性，但由于无法直接观测，人们对暗能量的性质及演 化一直众说纷纭，于是也就有了各种各样的暗能量模型。 本文着重研究一类近年来颇受关注的暗能量模型：胚世界暗能量模型。在胚 世界宇宙学框架下，我们所生存的四维宇宙被认为是镶嵌在更高维的时空中，而 引力相互作用可以在整个高维时空中传播。额外维度给宇宙学带来的效应目前无 法被实验精确观测，因而也可能产生各种各样有趣和有意义的预言。这成为宇宙 学家们为之不懈追求的动力之一 在胚世界框架下建立的宇宙学暗能量模型也是丰富多样的，本文主要讨论其 中最为流行的两类模型r s 2 模型和d g p 模型。全文结构如下：第一、二章简单 回顾一下宇宙学几十年来的发展概况以及实验观测所取得的成果；第三章归纳宇 宙学在暗能量理论方面取得的成果，并简单介绍几种最具代表性的暗能量模型； 第四章将概括胚宇宙学的发展，) , a d d 模型的提出，到r s 模型的引入，乃至现 在倍受关注的d g p 模型；第五、六章将详细分析r s 2 及d g p 两种模型的宇宙学性质， 尤其是对含指数势的这两种模型的演化行为进行了深入的动力学分析研究我们 观察到由指数势产生的动力学吸引子，可以使模型的后期行为对初始条件不敏 感，从而有效的避免了精调问题。我们还发现标准d g p 模型带来的晚期宇宙自加 速膨胀，使其有效状态方程小于一1 ，而第二类d g p 模型在暗能量存在的情况下， 通过引力修正使宇宙演化的有效状态方程穿越了一1 ，或趋于一l 。这些结果都非常 的有意思，能够很好的与今天的天体实验观测符合，给出加速膨胀的宇宙的解释， 从而预测未来的宇宙演化。 关键词：宇宙学，暗能量胚，q u i n t e s s e n c e ，t a c h y o n ， i 页 a b s t r a c t s i n c eg a m o wp r o p o s e dt h ee x p l o s i o nc o s m o l o g yi nt h ee n do f1 9 4 0 s ，p e o p l e n e v e rs t o ps t u d y i n go nt h i sn e ws u b j e c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eo b s e r v a t i o n , w e g e tm o r ea n dm o r ea c c u r a t ed a t aa n dr e a l i z et h a tt h eu n i v e r s ei sd o m i n a t e db yt h e d a r ke n e r g ya n dd a r km a t t e r t h o u g ht h eo b s e r v a t i o nd a t as h o w st h ee x i s t e n c eo ft h e d a r ke n e r g y , w ec a n to b s e r v ei td i r e c t l y t h en a t u r eo ft h ed a r ke n e r g yr e m a i n sa m y s t e r y v a r i o u sm o d e l so fd a r ke n e r g yh a v eb e e np r o p o s e d i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t es o m ei n t e r e s t i n gm o d e l so fd a r ke n e r g y , e s p e c i a l l y t h eb r a n e s l l a r i o ，i nw h i c ho u rf o u rd i m e n s i o n a lu n i v e r s ei se m b e d d e di nah i g h e r d i m e n s i o n a ls p a c e t i m ew h e r et h eg r a v i t a t i o nc a np r o p a g a t ei n s i n c et h ee f f e c to ft h e e x t r a d i m e n s i o nc a n tb eo b t a i n e db ye x p e r i m e n te x a c t l y , t h eb r a h ew o r mm o d e l s a d m i tam u c hw i d e rr a n g eo fp o s s m i l i t i e sf o rd a r ke n e r g y i tf o r c e st h es c i e n t i s t st o u n t i et h em y s t e r y t h e r ea l el o t so fd a r ke n e r g ym o d e l su n d e rt h ef r a m e w o r ko fb r a h ew o r l d s c e n a r i o i nt h i sp a p e rw ew i l lm a i n l yd i s c u s st h er a n d a l l s u n d r u m 2m o d e la n dt h e d v a l i - g a b a d a d z e p o r r a t im o d e l t h es t r u c t u r eo f t h ep a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w s ： i ne h a p t e r l & 2 , ir e v i e wt h eh i s t o r yo ft h eu n i v e r s ea n dt h er e s u l to fo b s e r v a t i o n ； i nc h a p t e r 3 ，ir e p o r tt h ea c h i e v e m e n ti nt h e o r e t i c a ls t u d yo fd a r ke n e r g y ， e m p h a s i z i n go ns e v e r a lt y p i c a lm o d e l s ； i nc h a p t e r4 is t u d yt h ed e v e l o p m e n to ft h eb r a n es c e n a r i oa n d 乳l 衄a r i z c s e v e r a lm a j o rb r a h em o d e l s ； t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si si nc h a p t e r5 & 6i nw h i c hld e s c r i b et h ep r o p e r t y o fr s 2m o d e la n dd g pm o d e l f o re x a m p l e ，w ea n a l y s et h ed y n a m i c a le v o l u t i o no f t h ee x p o n e n t i a lp o t e n t i a lm o d e l a n dw ef i n dt h a tt h ed y n a m i c a la t t r a c t o rc a u s e db y e x p o n e n t i a lp o t e n t i a l c a nm a k et h el a t et i m eb e h a v i o ri n s e n s i t i v et ot h ei n i t i a l c o n d i t i o nt h a ti sh e l p f u lt oa v o i dt h ef m et u n i n gp r o b l e m i na d d i t i o n , w ef m dt h e s t a n d a r dd g pm o d e lh a sal a t e t i m es e l f - a c c e l e r a t i o ns o l u t i o na n di t se q u a t i o no fs t a t e w 一1 w h a t sm o r e ，w i t ht h ee x i s t e n c eo fd a r ke n e r g ya n dt h ec o r r e c t i o no ft h e g r a v i t y , t h ee q u a t i o no fs t a t eo ft h es e c o n dd g p m o d e l 啪c i o 踌一1o ra r o u n d - 1 第u 页 t h e s er e s u l t sa r ea l li n t e r e s t i n g t h e yc a nm a t c ht h ec x t r r e n ta s t r o n o m i c a lo b s e r v a t i o n v e r yw e l l s ot h e s em o d e l sc a ne x p l a i nt h ea c c e l e r a t i o no ft h eu n i v e r s em o r en a t u r a l l y a n dp r e d i c tt h ee v o l u t i o no ft h eu n i v e r s em o r ea c c u r a t e l y k e yw o r d s ：u n i v e r s e ，d a r ke n e r g y , b r a h e ，q u i n t e s s e n c e ，t a c h y o n 第页 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人 或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发 和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：在馋 日期： 砌j 讶 j 二o 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名： 翩虢弦鳞嗍眦谚 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 第一章引言 每一次当我们仰望星空，都会遥想宇宙。什么是宇宙? 宇宙是自然界的一切 物质的总和，是自然科学的最大客体。从2 0 世纪2 0 年代起，人类就知道宇宙不 是静止的，而是在膨胀，自然界所有的看起来像亘古不变的东西实际上都是在缓 i 慢地演化我们的宇宙演化奎今已有1 5 0 亿年了，过去的宇宙完全不同于今天。 它曾是一片炽热的气体，在宇宙的演化中才形成了基本的化学元素，有了碳、氢、 氧、氮等等。这些结果都已为观测所证实，却又让我们无法置信。因此，我们需 要用已知的物理规律去推断遥远的宇宙历史，演绎未来的宇宙演化。 e i n s t e i n 在1 9 1 5 年提出了引力的一般理论，即广义相对论。它为宇宙学的发 展奠定了重要的基础，使人类从理论上获得了宇宙学上的可信结果。1 9 1 7 年， e i n s t e i n 提出了第一个物理的宇宙模型，作了两个简化假设【1 】：( 一) 宇宙物质 在空间上是均匀和各向同性的，( 二) 宇宙物质的分布是不随时间变化的。在这 两个假设的基础上，他建立了静态的宇宙学模型，但是天文观测显示宇宙是在膨 胀。因此，1 9 2 2 年f r i e d m a n n 首先用宇宙学常数项a 一0 的e i n s t e i n 场方程建立 了膨胀的宇宙学模型，也称为标准宇宙学模型。1 9 4 8 年，g a m o w 以f r i e d m a n n 的膨胀宇宙学模型为基础研究了宇宙演化的早期，提出了被后人称为“宇宙大爆 炸”的理论。1 9 8 1 年g u t h 【2 】提出了最早的暴涨模型，也称为旧暴涨模型。它把 早期宇宙的演化解释为一系列的相变，这为标准大爆炸的宇宙模型中的平坦性、 视界、磁单极等问题提供了解决的办法。但是它的相变过程却会使宇宙变得不均 匀因此在1 9 8 2 年l i n d e 【3 】和a l b r e c h t ，s t e i n h a r d t 【4 】提出了新的暴涨模型，通 过使宇宙处于某一标量场中，标量场沿势滚动来避免旧暴涨模型中出现的问题。 这些模型至尽仍被广泛沿用。 暴涨理论不仅解释了宇宙中各种结构的形成，还预言了宇宙空间的平坦，指 出宇宙微波背景辐射的各向异性源于密度及引力波的量子涨落。根据e i n s t e i n 理 论，宇宙的空间曲率是由总能量密度p 。决定的。因而，对于平坦的宇宙，空间 曲率为零，所以总能量密度必须等于一个临界能量密度，即q 。一1 ( q 。代表总 能量密度与临界能量密度的比值) 。2 0 世纪9 0 年代初，大尺度结构的天文观测 第1 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 表明普通物质的能量密度只占总能量密度的三分之一。因为暴涨理论预言了宇宙 的平坦性，并在宇宙微波背景辐射各向异性的观测中得到了证实，于是人们猜测 存在另一种不发光的、“暗”的能量成分统治着今天的宇宙。 1 9 9 8 年，p e r l m u t t e r 4 8 和s e h m i d t 4 9 1 领导的两个小组，通过观测遥远新星 的红移，发现宇宙在加速膨胀，而不是我们过去认为的减速膨胀于是科学家们 初步归结出，宇宙是空间平坦的，其中三分之一为暗物质和重子物质，三分之二 l 为暗能量，它使我们的宇宙加速膨胀。 暗能量的发现把人类对自然的认知推到了一个新的起点的同时，我们的宇宙 也正经历着一个从物质占主导地位的减速宇宙向暗能量占主导地位的加速宇宙 过渡的的特殊时期。不久的将来，暗能量将决定宇宙的未来，因此我们有必要进 一步了解什么是暗能量，它有哪些性质。 本文在简单回顾标准宇宙模型，宇宙的观测和常见的几类暗能量的候选者之 后，我们将着重研究胚宇宙模型，特别是r s 2 模型和d g p 模型。通过标量场的 物态方程在该模型中的演化，和已有观测数据比较，选择最恰当的模型来推断宇 宙早期，演绎宇宙晚期演化。 第2 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 第二章宇宙学概要 2 1 标准宇宙学模型 1 9 1 7 年e i n s t e i n 将他的广义相对论应用到宇宙学的研究中，结合宇宙均匀各 向同性的性质，建立了静态宇宙学模型。随后，天文学家s l i p e r 观测远处旋涡 状星云的光谱波长的移动，发现多数星云的光谱有红移。表明他们正在向远离我 们的方向退行。同期，天文学家h u b b l e 用观测可靠地论证了某些旋涡星云是远 在银河系之外，而与银河系相类似的恒星集团。于是人们意识到宇宙是在膨胀的， 它随时间演化。1 9 2 2 年，f r i e d m a n n 提出了一个具有非零宇宙学常数和正的空间 曲率的膨胀宇宙学模型，此后又讨论了具有负空间曲率的开宇宙模型。1 9 2 9 年， r o b e r t s o n 研究了空间曲率为零的平坦宇宙模型。它们被统称为 f r i e d m a n n - r o b e r t s o n - w a l k e r 宇宙模型【5 ，6 ，7 】，其度规可以写为： 肌彬( f ) 等( d 0 2 + s i n 20 d 庐2 ) 】 协t ， 其中，4 0 ) 为标度因子，它随时问f 变化反映宇宙的膨胀进程r ，0 ，伊为共动 坐标，即质元随宇宙膨胀而动，其空间坐标是不变的。k 为宇宙空间的曲率因子。 当k - 0 ，空间是平坦无限的，称为平坦宇宙；当k ，0 ，空间是弯曲有限的，称 为闭宇宙；当k 0 ，空间是弯曲无限的，称为开宇宙。 通常，宇宙的介质被看成是理想流体，它具有各向同性的性质，因此其能量 动量张量有如下形式： - d i a g ( 一p ，p ，p ，p ) ( 2 2 ) 其中，p 为能量密度；p 为理想流体压强密度。 决定宇宙动力学行为的规律是e i n s t e i n 场方程： 钟一彤- 寺6 ；r 一断f ( 2 3 ) 和协变能一动张量守恒方程： g ”一0 ( 2 - 4 ) 其中g ? 为e i n s t e i n 张量，彤为r i c c i 张量，r 为r i c c i 标量。在f r w 度规下有： 上海师范大学硬士学位论文 指数势胚宇宙动力学的研究 础丝 口 r j 。( 吾+ j 宝+ 等 6 ， c 2 - 5 ， 睁纠 n 2 字专 弦6 ， 五一枷( p + p ) + 万k ( 2 7 ) 4 一 通常，我们称方程( 2 6 ) 为f r i e a m a n n 方程。由方程( 2 6 ) ( 2 7 ) 及能动 张量守恒方程( 2 - 4 ) ，可以推导出流体的能量守恒方程： ；+ 3 阿+ p ) 0 ( 2 8 ) 将方程( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 联立，消去姜项，我们可以得到 a 竿c p + 印) t 2 9 )。= 一护+ 妒j 。y j a j 因此，当p + 印 1 ，广义相对论的f r i e d m a n n 方程将恢复，但是在晚期h 1 ， 旦项就显得非常重要，f r w 方程也变为非标准的。 ，c 在晚期，引力偏移屏蔽了暗能量，因此有效暗能量可以表示为 4 2 4 3 】： 有效状态方程： 幻一纠等 f r w 方程也可以表示为： 。苦 h 2m ；c d + p a l ) 第1 7 页 ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 禾9 ) 上海师范大学硕士学位论文 指数势胚宇宙动力学的研究 有效能量守恒方程为： 启一3 h ( p , n + p 酊) 将( 4 8 ) 、( 4 - 9 ) 、( 4 - 1 0 ) 联立可得： 1 + 。历h i ( 4 - 1 0 ) ( 4 - 1 1 ) 在本文的第六章中，我们将主要通过讨论方程( 4 - 8 ) 、( 4 - 1 1 ) 中1 + o 是否 大于0 ，来判断该状态方程能否穿越一1 。 第1 8 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 第五章双指数势r a n d a ll s u n d r u m 2 模型 近年来，宇宙微波背景的各向异性，高红移i a 型超新星的红移一光度距离关 系，以及来自s l o a n 数字巡天的星系团数据等大量天文观测已经强烈的表明我们 的宇宙是空间平坦的并且正经历着加速膨胀。因此，我们需要用一个动力学标量 场来实现能量密度和状态方程随宇宙的膨胀而膨胀。如果宇宙中含有理想流体和 指数势的标量场两种物质成分，那么标量场通过其物态方程在广泛的参数空间模 仿理想流体，这些标度解是后期吸引子。q u i n t e s s e n c e 场的运动方程具有类似 的吸引子解，在宇宙早期，初始条件的变化范围可以很大，但很快趋近于几乎相 同的宇宙演化方式。势函数在标准模型中，都能给出精确的解，被广泛用于基础 理论，例如弦m 理论，它在满足跟踪条件的跟踪场时具有很好的性质，状态方 程参数能随背景物质的变化而变化。第二类r a n d a g s u a d m m 模型是一种有趣的 胚模型。在这个模型中，我们的3 维宇宙用更高维空间块中的一个胚来描述物 质和除引力之外的作用力都限制在胚上，而引力存在于整个块时空中在低能极 限时，4 维牛顿引力得到恢复。由于这类模型的引力不同于4 维e i n s t e i n 理论， 许多人讨论了它与传统宇宙模型的区别。 本章将胚上的物质看成由通常的理想流体和具有双指数势的q u i n t e s s e n c e 标量场组成。利用动力学系统的方法，分析其稳定性，由状态方程研究胚的演化。 最后，通过插入在不同临界点之间的异宿轨线，研究初始值的变化对整个晚期行 为影响。 5 1 相空间和临界点 在第二类r a n d a l l s u n d n m 模型中，胚的演化中遵循下列等效的f r i e d m a n u 方程： 2 - 等p o + 争+ 参一砉 ( s - 1 ) j盯口。口 其中是h u b b l e 参数，定义为日! 宰；盯是胚的张力，它是一个不随时间 4d f 第1 9 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 变化的常数；p 是宇宙物质的能量密度；f 2 - 断g ；| | 是描述胚曲率的常数， k 0 , k 一0 ，七0 分别对应于球形，平坦的和双曲型的胚；是b u l l 【黑洞的质量 参数，因此导项可看成暗辐射。很显然，在低能时，! 标准宇宙学得到恢复。 根据目前的观测，我们将胚的曲率取为0 ，同时忽略暗辐射，方程简化为 - 等卅争 ( 5 - 2 ) 能量动量守恒方程取通常形式 p + 3 h p + p ) i 0 ( 5 - 3 ) “”表示对时间t 求导。 假定胚的物质密度由两部分组成，一部分为理想流体，其状态方程为 p ，- o 一1 ) p ，其中2 ，苫o ，另一部分为具有双指数相互作用势的标量场 y ) - 口，w + 口2 e 。卅，其中嵋- 口，。卅，屹i ( z 2 e 。屯一。由此，我们得到下面一 组演化方程： 轧譬h2 ) p 2 + 3 h t p ，- 0 妒+ 3 h 妒+ i ，。( 妒) 10 动力学系统的方法被证明是一种描述宇宙演化的有效方法， 法，我们定义以下变量： 第页 ( 5 - 4 ) 为了利用这方 掣 +l 面- - r ； r 击 h 一警； y ：警； 警； n i n 口 将方程( 5 - 4 ) 重新表达为： 嘉- 一缸+ 击y ? + 隽y ；+ 主纰2 + x 。6 _ 一1 ) 等- - 击 + z z + 拼x 。6 _ 一1 ) 等一隽y 一+ 鲁( 咖x 。6 _ 一1 ) 嘉- - 等+ 妒倒x ，6 _ 一d 其中，s z 2 + x 2 + _ ，；+ _ ) ，； 标量场的状态方程可以表示为： 一老- 罱2 嚣2 2 ：p x + y i + y i ( 5 - 5 ) ( 5 6 ) ( 5 刁) 根据方程( 5 6 ) 我们可以得到l 临界点，并研究这些点的稳定性，结果如表 5 - 1 从表5 - 1 中可见，临界点( i ) 和( i i i ) 是t r a c k i n g 吸引子，i 临界点( ) 和( ) 是q u i n t e s s e n c e 吸引子，而临界点( v ) 相应于渐近区域中的动能优势的解，这是一 个不稳定的临界点。临界点( v i ) 是一个不能确定其稳定性的点。利用数值分析， 我们可以发现一些新的性质。 第2 1 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 u 卸 孔 q 屯眄 i y 最，。，霉，瞩 v f 订， i y i fo ， i 。，譬，。) ) ，一1 稳定 稳定 y 一1 稳定 量一1 3 1 0 稳定 不稳定 未知 对每个临界点，将在其附近的线性微扰代入( 5 6 ) 中的4 个独立方程中， 保留到一级微扰，可给出线性微扰的演化方程，从中得到4 个本征值。为满足稳 定性要求所有本征值的实部必须为负。由此，我们可以获得保持临界点稳定性的 基本条件，结果如表5 - 2 所示。 第忿页 、_ 孽昏 、l-il， o、， o ， o ， o ， o ， o 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 表5 - 2 特征值及稳定性条件 类 特征值稳定性条件 型 一3 ， 鼯啡厩 3 ( - ( - 2 + ，讲+ 一( 一2 + r w c 2 4 ，z + 研一9 7 , 1 1 2 ) 2 ”。； 4 a ： 一1 y 9 r 2 4 一y z ：s t 厕屯s i 魂一2 + r ) 着+ 一( - 2 + ，w ( 2 4 r2 + 2 石一9 衍j 4 石 苫写； 之 ! 垫= 生2知t o 2 x , s 蛎；尢 o s & s 甄 s 尢 硼，j ( - 3 r 叫朴五 o ： z 一- t t 1 匿咖风s - 瓤专产， 2 z y a 9 2 3 ( - ( - 2 + 力墨+ 一( 一2 + y 陡( 冲：+ 名一9 理 五2 4 ；也；撕巩 叫 i 即一z 轧+ y 蚝+ 一( 一2 + r 阮【2 酽+ 驾一9 堤) ： z o 屯芑历；五s 噬 九再；九乏 0 a ：薯玩 苫a 2 哟，主( - 3 r 峨九删) o 七九乏撕； 屯 v 卜争居居：) ri2 第2 3 页 上海师范大学硕士学位论文指致势胚宇宙动力学的研究 5 2 异宿轨线 临界点总是自治动力学系统严格的常数解。这些点通常是轨道的极端点，因 此能描述渐近行为。如果所有的解都在临界点之间，插入在临界点之间的解形成 异宿轨道和同宿轨道。异宿轨道连接的两个不同的临界点，通常由一个不稳定点 与一个稳定点连接而成。同宿轨道连接的是同一个l f 缶界点。如果将数值计算和临 j 界点分析结合起来，我们可以找到各种异宿轨道。如图5 至图5 - 3 所示，任何 轨线的起始点都是( 0 ，0 ，0 ，o ) 。在图5 - 4 中，状态方程矿随作动力学演化。 y l 图5 - 1t r a c k i n g 吸引子性质 - 1 墨屯一2 0 y - 1 0 ，盯- 墨万一2 异宿轨线 连接了类型( i ) 和未知点( o ，0 ，0 ，o ) 蝣 0n 墨仉s0 帚i 图5 2 t r a c k i n g 吸引子性质 - 3 o ，a 2 - 1 o , y 一0 0 9 , o - 4 , n 一2 异宿轨 线连接了类型( ) 和未知点( o ，0 ，0 ，0 ) 第2 4 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 图5 - 3 q u i n t e s s e n c e 吸引子的性质 - 0 6 屯- 2 o ，r 。1 9 , o r 一6 ，n - 2 异 宿轨线连接了类型( i i ) 和未知点( 0 ，0 ，0 ，0 ) 图5 - 4 状态方程参数r 随的演化，分别选取 a 2 - 1 2 ，a 2 - 2 0 ，a 2m 3 0 ，a 2 - 4 0 和 - 0 7 , y - 1 8 , o - 8 , n - 2 第2 5 页 上海师范大学硕士学位论文指教势胚宇宙动力学的研究 5 3 小结 本章通过对具有双指数势q u i n t e s s e n c e 标量场和理想流体的r s 2 胚模型宇 宙动力学研究发现该模型不仅有t r a c k i n g 吸引子而且有q u i n t e s s e n c e 吸引子。由 图5 - 1 ，图5 - 2 ，及图5 - 3 ，我们可以看出它的异宿轨线解连接不同的临界点，从 不稳定点出发，终结于稳定点。由图5 - 4 ，分析可知，尽管初始条件的变化范围 很大，但最终都趋于近乎相同的演化方式，因此我们可以归结该模型中初始条件 对晚期宇宙演化影响不大，能有效避免精调问题，可以尝试用它来推测宇宙的演 化。 第2 6 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 第六章指数势d g p 模型 在前几章中，我们已经提及，近期人们对超新星的观测已经为宇宙的加速膨 胀提供了强有力的证据。根据观测，状态方程参数的取值范围为出8 w t q 8 2 。 l 特别是对超新星数据的最新分析显示暗能量的状态方程值为w c 一1 ，甚至可能穿 越一1 。最简单的方式是在广义相对论情况下，利用p h a n t o m 标量场来产生，但是 由于该标量场具有负动能项，将导致大撕裂等宇宙学中的诸多问题。因此，我们 很有必要去寻找其它模型来产生wc 一1 。目前，胚世界是高能物理和宇宙学中最 重要的论点之一在本章中，我们尝试在胚宇宙中，以有效状态方程的形式穿越 一1 。在胚世界中，标准模型粒子被限定在一个3 维的胚中，同时引力可以在整个 时空中传播。它的出现为暗能量提供了更多的可能性。例如：由d v a l i ，g a b a d a d z e 和p o r r a t i 提出的标准d g p 模型很自然地给出了一个晚期自加速的解 3 9 ，4 0 。在 这个模型中，引力在短尺度内以四维的形式出现，但是在距离大于可自由调整的 穿越标度t 时，引力在四维胚世界缓慢的泄漏转变到更大不可见的第五维。因此， 我们用引力从四维世界偏离到额外维度来说明晚期加速。此外还存在第二类d g p 模型，它不是自加速的，需要暗能量的作用。l a z k o z 4 6 ，z h u 4 7 等分别对这两 类模型进行了讨论和研究，特别是对第二类d g p 模型的研究得到状态方程w 穿越 1 。在本章中，我们主要通过对第二类d g p 模型下的双指数势q u i n t e s s e n c e 标量场 及d g p 模型中的单指数势t a c h y o n 标量场的有效状态方程的研究，进一步体会两 类d g p 模型的不同，同时与天文观测数据相比较，选择更合适的暗能量模型来演 绎宇宙的演化 6 1 第二类d g p 模型中q u i n t e s s e n c e 场 假定一个胚的物质密度是由一个双指数势的q u i n t e s s e n c e 标量场和理想流 体组成的，则它的压强和密度可以表示为： 第2 7 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 一- 矿) p - y 如) p ，- c - 一1 h ( 6 - 1 ) 其中，y 如) 一嵋+ 匕- v 0 , e 一耐+ e 一磅， ，九为常数，v 0 ，为势的初 始值。 在第四章中我们已经介绍过，在第二类d g p 模型中，胚的演化中遵循下列 等效的f r i e d m a n n 方程： n 鲁弓h 嵋) 2 ， 它的能量动量守恒方程为： 一+ 3 h 以+ p ) ( ) p r + 3 h ( p ，+ p ，) 一0 演化方程可以表示为： 讧p 聊) ( 2 + 瓦1 ) 。 妒- - 3 h 妒+ “k + 如) 为了进一步研冗字面的演化，我们将通过对f r i c d m a n n 方程和能量动量守恒 方程来建立一个动力学自治系统，为方便计算分析设置如下无量纲变量； 膏- ，一： 2 h 胪孕； 舻孕； c 6 - 5 ， z 一： 日t n - i n a 将方程( 6 5 ) 代入方程( 6 2 ) 、( 6 - 3 ) 、( 64 ) ，整理重新表示为： 第鹅页 上海师范大学硕士学位论文 指教势胚宇宙动力学的研究 嘉也+ 击y ：+ 击y ：2 + 土2 + z b 2 + r ( 3 + 钯一g 2 + y ；+ y ；) ) ) 丽d y l 一- - - 隽x y - 囔b 2 + r ( 3 一m ) ) ) 睡旬 面d y 2 一一击 毫b 2 + r ( 3 + 拓一c 【2 + y ? + y ；) ) ) 一 嘉- 2 z z ( 2 x 2 + 7 ( 3 + 瑟一c r 2 + y ? + y ；) ) ) 同时，还有我们得到约束方程： 吼+ q ，一壶以 皤7 ) 其中， q ，- 参- 吾g 2 + 订+ y ；) ( 6 - 8 ) q ，一嘉小z 一；仁2 + y ? + y ；) 通过对方程( 6 6 ) 求解得到临界点并分析这些点的稳定性，我们可以得到 一脚) ，b 咖以o 0 ，厩后写。 其 中 ，0 九to 且 九，一三，但是当我们将这些稳定点代入约束方程( 6 - 7 ) 时 发现所有点都无法满足该方程，因此在由双指数势q u n t e 筠e n 标量场和理想流 体组成的d g p 模型中不存在标量解。虽然方程( 6 - 6 ) 无法给出解析解，但我们 还是可以对它的有效暗能量的状态方程进行数值分析，观测其是否能穿越- 1 。 已知。等，啊嵋一下3 h 怕啊，则我f 也可以表示为： “。警。寰蠹，自蛾佩妣栅涨赫程是 否穿越- 1 的问题转变为研究1 + 0 穿越0 的问题 若令a - 2 x 2 一钯，卢- x 2 + 订+ y ；一亚，则可分别作出其随时间演化的图象 如图昏1 ，6 - 2 ，6 - 3 所示： 第2 9 页 上海师范大学硕士学位论文 指数势胚宇宙动力学的研究 6 - x 口随时间的演化，其中 一0 3 ，如1 0 6 ，ri 0 1 3 图6 - 2 ，随时间的演化，其中 一o 3 九io 6 r - o 1 3 图6 3 口，卢随时间的演化，其中 一0 3 ，屯i 0 6 ，y 一0 1 3 。 第3 0 页 上海师范大学硕士学位论文指数势胚宇宙动力学的研究 由此我们可以概括出，在d g p 模型中双指数势q u i n t e s s e n c e 标量场的有效暗能 量状态方程可以实现穿越w 一1 的可能性我们看到在一0 0 6 时1 + 的值 由大于o 的数值转变为小于0 的数，可知w o 将在该点穿越一1 即在一0 0 6 m ， 从大于1 穿向小于1 6 2d g p 模型中单指数势t a c h y o n 场 为了更滑晰的辨别这两类d g p 模型的不同，本节将分别在这两种情况下，对 具有单指数势t a c h y o n 标量场和理想流体的d g p 模型进行宇宙动力学研究。我们 假定胚的物质密度是由单指数t a c h y 标量场和理想流体组成的，它的压强和密 度可以表示为： 秽p ) 1 n 如p ) 2 c p ，- d 一1 h 其中y 0 ) - p 一，为势的初始值。 ， 6 2 1 第一类指数势d g p 模型中t a c h y o n 场 在第一类d g p 模型中，胚的演化中遵循下列等效的f r i e d m a n n 方程 h 2 _ 兰：h 嵋) ( 6 - 1 0 ) ，-) 。 能量动量守恒方程为： p c + 3 h ( p , + p ) 一0 ( 争1 1 ) 蠢+ 3 h ( p ，+ p ，) 0 ( 6 1 2 ) 将( 6 - 1 0 ) 、( 6 - 1 1 ) 、( 6 - 1 2 ) 整理后可得演化方程为： 上海师范大学硕士学位论文 指教势胚宇宙动力学的研究 叶一埘；+ a ) ( ，一2 ) 置ih zi(yprr+尝+鲁)【2一瓦1h h ) i 。2 日ji以j ( 夸1 3 ) ( 6 1 4 ) 为了方便建立动力学自治系统，对宇宙演化进行动力学系统分析，我们定义 捌下无量纲变量： ：一妒； n - i n a ( 每1 5 ) 将方程( 6 - 1 5 ) 代入( b 1 0 ) 、( 6 - 1 1 ) 、( 昏1 2 ) 整理后，可将该自治系统 表示如下： 出 一- 工 d 嘉一一等妒+ - ，面了舻+ 。 2 一工 生(一3z+机工11-,z2)dhr c， 同时，我们可以得到约束方程： q ，+ q ，+ q - 1 其中一黑3 h 一1 3 _ ) ，2 ( 1 。卜； z 、， 2 - - x ( 争1 6 ) ( 争1 7 ) - 差号；q 。1 以。工，它们分别表示 t a c h y o n 标量场，理想流体，及胚自身能量密度参数。 第3 2 页 去孕 工 y 上海师范大学硕士学位论文指散势胚宇宙动力学的研究 l 厂 1 虱6 - 4 t a c h y o n 标量场q ，理想流体q ，及胚自身能量密度参数q 。随宇 宙演化的示意图，；k - e e ，c 一0 0 1 , a - 0 6 根据方程组( 6 - 1 6 ) ，我们可以得到系统的临界点为 b 拓砖p 斟扣，o ，耐将l i 缶界点代入方程进行线性微扰分析，我们可分别 得到它们的特征值外3 , o , - 3 r ) ，卜一弘句+ 针 _ 3 孚卦托 这三个方程是不独立的，他们都和约束方程相关。将临界点代入方程( 6 - 1 7 ) 后， 我们发现仅p 警 在 枷罢的情况下为稳定点叶o ，孚 ，胚物质能 量密度趋于0 ，从一个普通的四维f r w 解转变为一个由膨胀导致的- r = - 1 的常数 解。因此，我们可以获得一个在早期由物质和辐射主控的宇宙；晚期宇宙在胚自 身能量的作用下进行自加速膨胀，如图6 4 所示。 在- - 类d g p 模型中，它的有效状态方程可以表示为： 1 + w 。上旦上上 ( 6 1 8 ) 1 + 。面h2 一面万 。 h 2 其中嘉一( 鲁+ 鲁+ 参) ( 2 一壶) ，啦，。睾一旦h 2 + 3 啦，。 上海师范大学硕士学位论文指教势胚宇宙动力学的研究 由上面的关系式，我们知道有效状态方程的能否穿越一1 取决于 壶是否大于2 但是，由于受到约束方程的限制b 壶，。，所以有效状态方 程一定是小于- 1 ，将方程( 6 - 1 8 ) 用无量纲参数可表示为： 1 + - 咄 2 一工 y z ( 1 - 1 和w - 1 两种 演化行为，这与只能给出w 1 的第一类指数势d g p 模型中t a c h y o n 场相比，给出 了更加丰富的宇宙学演化图像。 6 3小结 嘴一并十q ， 一y ) f 1 一衍o 上海师范大学硕士学位论文 指教势胚宇宙动力学的研究 总结与展望 本文主要讨论了胚世界模型，重点介绍了r s 2 模型及d g p 模型中宇宙的演 化。 我们首先回顾了在广义相对论框架下宇宙学的发展史，简单介绍了标准宇宙 学模型及天体观测的结果。随后，归纳宇宙学中暗能量的三种后选者：宇宙学常 数，动力学暗能量以及修改引力理论。胚世界模型的发展，也是基于修改引力理 论。最后我们结合了后两种研究方法，重点探讨了指数势胚宇宙动力学。 通过对双指数势q u i n t e s s e n c e 场的r s 2 模型宇宙动力学研究，我们分析了标 度解的存在性和稳定性，同时发现该体系存在异宿轨线，由不稳定点出发，终结 于稳定点。此外，该模型具有动力学吸引子解，因此初始条件对宇宙晚期演化影 响不大，且模型中高阶项的修正，对宇宙晚期的加速膨胀并没有起到很大的作用。 d g p 模型是一种非常有意思的模型。通过对指数势q u i n t e s s e n c e 场d g p 模 型及t a c h y o n 场d g p 模型的动力学分析，我们发现第一类d g p 模型为标准d g p 模型，它具有一个稳定点，不需要暗能量的存在，就能实现宇宙晚期的加速膨胀， 其有效状态方程为w t 一1 。而第二类d g p 模型，不具有稳定点，为了实现晚期 宇宙的加速膨胀，需要暗能量的存在，通过引力修正回避暗能量的作用，其有效 状态方程能穿越1 或趋于1 。这与最新的天文观测很好的符合，推动了宇宙学的 理论研究 随着天文观测的进步，我们将得到更多更精确的天文观测数据，这对我们的 宇宙学研究提出了更高的要求，也给了我们莫大的动力去进一步揭开古老浩瀚宇 宙的神秘面纱，去预测未来宇宙的演化。我期待能在这份事业中，能有所贡献。 第扣页 上海师范大学硕士学位论文 指教势胚宇宙动力学的研究 参考文献 【1 】俞允强，热大爆炸宇宙学( 第二版) ，北京大学出版社，( 2 0 0 3 ) 【2 a h g u t h ，p h y s r f v d 2 3 ，( 1 9 8 1 ) ，3 4 7 【3 a d l i n d e ，p h y s l c t t b 1 0 8 ( ：1 9 8 2 ) ，3 8 9 z i _ a a l b r e c h ta n dj s t e i n h a r d t , p h y s p e v l e t t 镐，( 1 9 8 2 ) ，1 芝2 0 【5 】俞允强，物理宇宙学讲义( 第二版) ，北京大学出版社( 2 0 0 6 ) 【6 e d m u n dj c o p e l a n de ta 1 ，i n t j m o d p h y s d 1 5 ( 2 0 0 6 ) 1 7 5 3 - 1 9 3 6 【7 】p j e p e 圯b l c s ，r e v m o d p h y s 7 5 ( 2 0 0 3 ) 5 5 9 - 6