（应用数学专业论文）局部算子族理论及其应用.pdf

摘要 本文我们主要研究局部8 沁固一次积分算子族及它对穗象c a u c h y 问 题好应竣。全文共分四个主要部分。 第一章我们首先研究了局部o t 一次积分年群，并证明了它的一些基本慷质。 淑们也给出了m i l d 局部8 一次积分存在族的概念。我们证嘴了，如果a 是 b a n a c h 空潮的一个线褴算予，零么( o t + 1 ) f 娃显) 一次抽象c a u c h y 同题 的遗定性和当a 与算予族可交换时，a 的m i l d 局部弘次积分存在族以及爿 次生成非退化的局部a 一次积分半群是等价的。最廖，我们也给出了局部血一次 积分半群的生成定理。止 “ 第二举我 3 主要谚究了局毒毋次积分正则半群，菸证明了它的一些基本性 质。l 给出了m i l d 局部o l 一次积分g 存在族的概念。我们同样证明了( a + 1 ) ( d r ) 次抽象c a u c h y 问题的( 一适定性和闭线性算予a 在一定条件下，其m i l d 局部o z 。次积分c 存在藏以及a 次生成局部船次积分正姗半群是等价的。此 外，若a c - 1 a c ，这燕g 是一个单射有界算子，爰l | 上述结论屯等价亍a 在 x 中生成l 退纯的局部酗次积分正受4 半群。我们也证明了局鄙一次积分正则 半群的生成定理。王 ， ， 第三章我们研究局部次积分余弦函数，并证明了他酚一些基本柽质给 交了m i l d 局部一次积分余弦存在族缒凝念。我们证明了，如果a 是b a n a c h 空闷的一个闳算子，那么( a + 1 ) ( aer ) 一次二阶抽象c a u c h y 问题的g 适定 性和当a 与算子族可交换时，a 的m i l d 局部一次积分存在族以及4 次生成 非退化的局部位一次积分半群是等价的衫 第四章我 1 1 主要辑究了局- a8 一次积分正划余弦婚数，并证明j 它的一些 基本性质。f 给出了m i l d 局部d 一次积分c 一正则存在族的概念。我 r 门同样证明 了( a + 1 ) ( o z r ) 一次抽象c a u c h y 问题的c 适定性和闭线性算子。4 与算子 族可交换时，其m i l d 局部取一次积分( x 余弦存在族以及a 次生成局部一次 积分正羯余弦函数是等铃的。诧外，筹a = c - 1 a c ，这里g 莛一令单射有莽算 子，则上述结论也等价于a 在义中生成 退化的局部理，次织分正则半群。) 万 关键词：积分半群，强连续算子族；局部积分半群；局部积分正剜半群 局部积分余弦函数；局部积分正则余弦霸数；搬象姆西问题；生戎屯：阉算y - a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw em a i n l ys t u d yl o c a ld ( 髓r ) 一t i m e si n t e g r a t e do p e r a t e rf a m i l i e sa n di t sa p p l i c a t i o n st oa b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m s t h e p a p e r i sd i v i d e di n t of o u rp a r t s i nf i r s tp a r tw ei n v e s t i g a t el o c a la - t i m e si n t e g r a t e ds e m i g r o u p sa n d p r o v ei t ss o m eb a s i cp r o p e r t i e s 。w 毫a l s og i v eo u tt h en o t i o no fm i l dl o c a l a t i m e si n t e g r a t e de x i s t e n c ef a r r l i l y , a n dp r o v et h a tw h e nai 8al i n e a ro p 。 e r 舔o ri 1 1 秽a n a c hs p a c e 。t h ew e l l p o s e d n e s so ft h ea - t i m e sa b s t r a c tc a u c h y p r o b l e m si se q u i v a l e n tt om i l dl o c a la t i m e si n t e g r a t e de x i s t e n c ef a m l i y g e n e r a t e db yo p e r a t o ra w h e r eac o m m u t e sw i t h o p e r a t o rf a m i l y a n dn o n 。 d e g e n e r a t el o c a la t i m e si n t e g r a t e ds e m i g r o u p sg e n e r a t e db y a a t l a s t ，w e c o n c l u d et h eg e n e r a t i o nt h e o r e mo fl o c a la - t i m e si n t e g r a t e ds e m i g r o u p s i nt w o p a r tw e e x a m i n el o c a la - t i m e si n t e g r a t e dg s e m i g r o u p sa n di t s s o m eb a s i cp r o p e r t i e s w ba l s ow r i t eo u tt h en o t i o no fm i l dl o c a la t i m e s i n t e g r a t e dc - e x i s t e n c ef a m i l y s i m i l a r l y , w 毫p r o v et h a tw h e n ai sac l o s e d o p e r a t o ri nb a n a c hs p a c e ，t h ec w e l l p o s e d n e s so ft h ea t i m e sa b s t r a c t c a u c h yp r o b l e m s i se q u i v a l e n tt om i l dl o c a la - t i m e si n t e g r a t e dg e x i s t e n c e f a m l i yg e n e r a t e db yo p e r a t o ra w h e r eas a t i s f i e sw i t hs o m ec o m m u t a b l e c o n d i t i o na n dn o n d e g e n e r a t el o c a la t i m e si n t e g r a t e dc - s e m i g r o u p sg e n e r a t e di fa = c - 1 a c f i n a l l y , w eo b t a i nt h eg e n e r a t i o nt h e o r e mo f1 0 c a l a - t i m e si n t e g r a t e dc - s e m i g r o u p s i nt h r e ep a r tw es t u d yl o c a la - t i m e si n t e g r a t e dc o s i n ef u l n c t i o na n d p r o v ei t ss o m eb a s i cp r o p e r t i e s w | ea l s og i v eo u tt h en o t i o no fm i l dl o c a l a - t i m e si n t e g r a t e dc o s i n ee x i s t e n c ef a m l i y a n dp r o v et h a tw h e nai sa c l o s e do p e r a t o ri nb a n a c h s p a c e ，t h ew e l l p o s e d n e s so f t h eo l t i m e sa b s t r a c t c a u c h yp r o b l e m s ( a c r ) i se q u i v a l e n tt om i l dl o c a l 一t i m e si n t e g r a t e d c o s i n ee x i s t e n c ef a m l i yg e n e r a t e db yo p e r a t o raw h e r eac o r n m u t e sw i t h o p e r a t o rf a m i l ya n dn o n d e g e n e r a t e l o c a lo t i m ei n t e g i a t e dc o s i n ef u n c t i o n g e n e r a t e db ya i nt h ef i n a lp a r tw ee x a l n i n el o c a l 戏一t i m ei n t e g l a w dc 一【o s i n ef u l i t 、t i o n a n d 沁ss o m eb a s i cp r o p e r t i e s w ea l s o w r i t eo u tt h en o t i o no tm i l dl o c a l a t i m e si n t e g r a t e dc - c o s i n ee x i s t e n c ef a m l i y s i m i l a r l y , w ep r o v et h a tw h e n ai sac l o s e do p e r a t o r i nb a n a c h s p a c e ，t h ec w e l l p o s e d n e s s o ft h ea _ t i m e s a b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m si se q u i v a l e n tt om i l dl o c a la - t i m e si n t e g r a t e d c 0 c o s i n ee x i s t e n c ef a m l i yg e n e r a t e db yo p e r a t o ra w h e r eas a t i s f i e sw i t h s o m ec o m m u t a b l ec o n d i t i o na n dn o n d e g e n e r a t el o c a la - t i m e si n t e g r a t e d c - c o s i n ef u n c t i o ng e n e r a t e di fa c - 1 a c k e yw o r d s ：i n t e g r a t e ds e m i g r o u p o fo p e r a t o r ；s t r o n g l yc o n t i n u o u s o p e r a t o r ；l o c a li n t e g r a t e ds e m i g r o u p ；l o c a li n t e g r a t e dc 。s e m i g r o u p s ；l o c a li n t e g r a t e dc o s i n ef u n c t i o n ；l o c a li n t e g r a t e dc c o n s i n ef u n c t i o n ；a b s t r a c t c a u c h yp r o b l e m ；g e n e r a t o r ；c l o s e do p e r a t o r 1 l l 土一 月u 土一 口 众所周知，算子半群理论形成于本世纪初，自1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 提 出强连续线性算子半群的生成理论以来，算子半群理论得到了飞速的发展，目前 它已经成为数学的一个重要分支，而且广泛应用于偏微分方程、数学物理、控制 理论以及位势理论等各种领域。 强连续线性算子半群的理论体系目前已经比较完善( 1 1 ，2 i ) ，但其生成元必 须是满足某些条件的稠定算子，而且对适用的函数空间有一定的限制，从而其应 用范围具有一定的局限性。1 9 8 7 年a r e n d t ( 3 ) 、d a v i e s 和p a n g ( 4 】) 分别 提出了两类新的算子半群，积分半群和正则半群。这两种半群在很多方面实质性 地发展了强连续线性算子半群。其中正则半群的生成元的定义域可以不稠，预解 集可c a 为空集( 积分半群的生成元预解集必须是非空的) ，在应用上体现出很强的 优势，故近年来得到了人们的广泛关注( 5 1 6 ) 。d e l a u b e n f e l s 的专著( | 6 i ) 对正则半群的基本理论有较系统的介绍。 本文主要给出了b a n a c h 空间x 中几种局部积分算子族的概念及其生成 元的定义，并研究了它们的一些基本性质和对应的抽象c a u c h y 问题。1 9 9 0 年 n t a n a k a 和n o k z a w a 首次提出了局部c 一半群和局部积分半群( 1 1 7 i ) ，并 对礼n ，推导了n 一次局部积分半群6 相关问题。w a r e n d t 等人在1 9 9 4 年 定义了( 礼+ 1 ) 一次积分c a u c h y 问题的适定性，并给出了相关等价问题的证明 ( f 1 8 1 ) 。本文主要对当a r 时，给出了几种d 一次局部积分算子族及其生成元 的定义，讨论了这些a 一次局部积分算子族的性质，我们也给出了m i l d 局部“一 次积分存在族、积分d 存在族、d 一次积分余弦存在族、积分c 一余弦存在族等 的概念。并对( o t + 1 ) 一次积分c a u c h y 问题的适定性给出了定义，就与其相关 的等价问题给出了证明。此外，算子余弦函数与二阶抽象c a u c h y 问题有着密切 的关系( 1 9 2 2 1 ) ，本文在各章节就不同的d 一次局部积分算子族均对该问题做 出了讨论，具体地说，我们证明了( a + 1 ) ( a r ) 一次抽象c a u c h y 问题的( 或 e ) 适定性和闭线性算子a 与算子族可交换时，其m i l d 局部a 一次积分( 或 g 、余弦、c t _ 余弦) 存在族以及a 次生成局部a 次积分( 或正则) 半群( 或 余弦函数、正则余弦函数) 是等价的。此外，若a = c - 1 a c ，这里c 是一个单 射有界算子，则上述结论也等价于a 在x 中生成非退化的局部a 一次积分正则 半群( 或余弦函数) 。我们也证明了局部a 一次积分( 正则) 半群的生成定理。另 外，本文结果主要讨论是a 一次局部积分算子族的问题所得结果推广和包含了 局部岛一半群，局部积分半群，局部积分正则半群，局部强连续余弦函数，局那 正则余弦函数和局部积分余弦函数的相应结果( 11 7 ，2 3 2 7 i ) 。 致谢 本文是在我的导师张寄洲教授的精心指导下完成的在我攻读 硕士研究生期间，他广博的学识、严谨求实的治学态度以及活跃的 学术思想、忘我的工作精神给我留下了深剿的印象，并将在我未来 的学习中继续影响我。张老舜不仅给我提供了良好的学习环境争麟 研环境，并丑在专韭研究上给予我许多耐心和细致的指导，帮助我 不断的进步。在本论文宛成之际，谨向张老烬表示我最诚挚的感谢 和最崇高的敬意，并以诧文来答谢我的老师 衷心感谢上海师范大学数理信息学院和研究生院为我在磺士研 究生期间提供了良好的学习和科研环境感谢数学系朱德通教授 的指导和帮助，以及数理信息学院所有帮助过我的老烨。 感谢同窗学友裔永喇的帮助和支持，让我在讨论中获箍良多。 最后，我还要衷心感谢我的父母和姐姐、在我研究生玲段给予 我精神和物质上的关心和支持，是他们无私的爱使我能够安心地顺 利地完成学业。 ， 第一章局部o z 一次积分半群 n ( n n ) 次积分半群的概念首先是由a r e n d t 等在1 9 8 7 年提出的 3 。 之后，在1 9 9 1 年被h i e b e r 推f na ( o r ) 一次积分半群1 9 9 0 年n t a n a k a 和n o k z a w a 首次提出了局部佗次积分半群的概念( 1 7 】) 在这一章我们提出 局部d ( a r ) 一次积分半群的定义，并研究它的一些基本性质。我们也给出了 局部o z 一次积分半群的生成定理。 设x 为b a n a c h 空间，b ( x ) 为x 上一切有界线性算子的集合，a 为 线性算子，d ( a ) 为a 的定义域，r ( a ) 为a 的值域 a r 且0 0 7 - o o 考虑下面的( o l + 1 ) 一次积分抽象c a u c h y 问题： fu g ( 【o ，7 - ) ， d ( a ) ) n c ( o ，7 _ ) ，x ) g + 1 ( 丁) ： u m ) = a u ( t ) + f i z ，v t o 丁) lu ( o ) = 0 1 1 预备知识 定义1 1 设0 丁 0 0 和o l r ，b ( x ) 中强连续算子族 丁( t ) ) f o ，) 称为局部d 一次积分半群，如果 ( i ) t ( 0 ) = 0 ( i i ) 对所有s ，t ，s + t 0 ，丁) 或z x t ( t ) t ( s ) z = 丽1 ( ，8 一t 一胁+ ) t ( 岫 对v t 0 ，7 - ) ，称丁( ) 为非退化的如果t ( t ) x 三o ( t 0 ，7 _ ) ) ，则有z = 0 在这种情形可以定义其生成元。 定义1 2设q 0 和0 丁 o o ， t ( t ) ) 【o ，) 是非退化的局部n 一 次积分半群，则 t ( t ) ) f 【o ，) 的生成元定义如下：对。d ( a ) _ l i l 2 1 ，当且 仅当 t ( f ) 。r f t 三 面茁= z t ( s ) d s ，v f 。，r ) 这里r ( ) 表示r 函数。 注： 若o l = 0 ，则称 t ( t ) ) t o ，) 是一个局部岛一半群。 定义1 3 设a r 和0 7 _ o o + 1 ) 一次积分抽象c a u c h y 问题 瓯+ 1 ( 下) 是适定的。如果对任意z d ( a ) ，( o a + l ( t ) ) 有唯一解，且存在连续 函数p ：【0 ，下) _ o ，7 _ ) ，满足i i u ( t ) l i p ( t ) l l z l l ( x x ) ，即解关于初值是连续 的。 定义1 4设q 0 和0 7 _ o o ， a 是线性算子， t ( t ) ) 挺【0 ，) 为 b ( x ) 中强连续算子族。如果v 。x 和t f o ，7 _ ) ，有后t ( s ) x d s d ( a ) 2 - a ft ( s ) x d s = t z 一志z ，蚓叶) ( i n 则称 t ( t ) ) 蚝【o ，) 为a 的m i l d 局部a 一次积分存在族。 定义1 5 设o z 0 和0 7 _ o o ，a 是线性算子， t ( ) ) i o ，) 是 一个局部次积分半群。如果 ( i ) 对t 0 ，7 - ) ，t ( t ) a = a t ( t ) ； ( i i ) 对vz x ，有启t ( s ) x d s d ( a ) 且( 1 1 ) 成立。 则称a 次生成局部o l 一次积分半群 t ( t ) ) t 【o ，) ，此时称a 为 t ( t ) h i o ，r ) 的 次生成元。 引理1 6 设a 之0 和0 7 。o ，a 是线性算子， t ( t ) h o ，) 是 b ( x ) 中一个有界算子的非退化强连续族则以下结论等价： ( i ) a 次生成非退化的局部d 一次积分半群 t ( t ) ) 挺附) 。 ( i i ) 线性算子a 与任意t ( t ) 可交换，t ( t ) a = a t ( t ) ，对v x x 和 t 0 ，7 - ) ，j 3 t ( s ) x d s d ( a ) 且 t ( t ) x 志。= a t ( s ) 础，川卟) 证明： ( i ) = 净( i i ) 由定义1 5 易证。 ( i i ) = 专( i ) 对固定的t 【0 ，7 _ ) 和0 r t ，因为l 和丁1 ( - ) 是可交 换的，我们得到： d t ( t r ) 厢t ( a ) x d a = 一生爵乒盯t ( 盯) 。d a t ( t r ) a 盯t ( 仃) d 盯 + t ( t r ) t ( r ) x = 一韭寻瓮厝t ( 盯) 茁d 盯+ 可蓦面t ( t r ) 。 上式两边关于r 从0 到s( 8 t ) 积分，得 t ( t s ) 塔t ( r ) x d r = 一臂堡爵乒( 石t ( 盯) z d 盯) d r + j l 。蕞蚤号丁( r ) z d r = 一塔业r ( 。) 1 r r t 、 咖d 盯) d r 一南扩t ( 咖d r + 雎。嘹乒( 厝t ( 盯) z d a ) d r 由( 1 1 ) 式及上式可得， t ( t s ) t ( s ) x = f 蓦可t 0 一s ) 。+ t ( t s ) 臂t ( r ) z d r = 志t ( t s ) 。一佑乒i t ( r ) z 一南z 弦 一志酏一s ) z 一描z + f i t s 糈t - r 。- 1 丁( r ) z r ( o ) 【1 。，w = 以。等乒t ( r ) 茁一坩乒t ( r ) 。d r = 矗【_ ( 后一詹一8 一臂) ( 一ro - 1 t p ) 茁d r = 斋再( 蛞+ s 一，6 一臂) ( t + s r ) 。一1 t ( r ) z d r 蒜杀z d r 由此可知， t ( t ) ) ，) 是一个局部a 一次积分半群，其生成元是l 的一 个扩张。 差2 主要缝果 定理1 7 如果a 是一个l 蕺算子基c 毛+ l ( r ) 是适定转。? ( ) 是一个 # 退 化强连续函数，则有： ( i ) 对vt 【0 ，7 - ) ，t ( ) 茁= 0 ，则必有x = 0 ( i i ) 对鬈鼢( a ) ，t ( ) 。d ( a ) 且a 于( ) 茹= t ( t ) a x ( i i i ) t ( t ) t ( s ) = ( s ) ? ( 磅，( 0s 8 ，tsf ) 冷，f ) ( v i ) 对茹d ( a ) 和a x = y 当韭仅巍 t 。) 。一f 瓦耋兰丽。+ t ( s ) 掣d s ，v t 【0 ，丁) ( v ) 设p ( a ) 西，贝i ja p ( a ) 且r ( a ，a ) t ( t ) = t ( t ) r ( a ，a ) ，v t 蠢明： ( i ) 辍据定义1 3 虽然成蠢。 ( i i ) 若茁移( 蠢) ，定义于( i ) 。= f ；t ( t ) a 茹幽+ 爵鬈耀 a g t ( t ) x d 8 = a 蛞( g ，( r ) a x d r + 珂蓦可) 幽 = g ( a f 孑t ( r ) a z d r ) d s + 哥蔷a 茹 = g t ( s ) a z d s 一兰a 茹+ 最兰岛a 茹 = 更幻茹一捣嚣 根据解的唯一经，有露) 茁= t ( t ) x 嚣此我们得到， a o tt ( s ) 茁如= r ( s ) a 。d s 由a 的闭性，从而t ( t ) x d ( a 1 且a t ( t ) x t ( t ) a x ( i i i j 对s 【0 ，7 - ) ，o x 根据( i i ) 有 a o 。t ( s ) t ( r ) z d r = t p ) 4z 丁( r ) 。办 = t ( s ) t ( 。) z 一赢t ( s ) z 因此u ( t ) = 蛞t ( s ) t ( r ) x d r 是+ 1 ( r ) 的一个解。又由定义1 3 ，知；5t ( s ) t ( r ) z 由 也是( 毛+ 1 ( 7 ) 的一个解。根据解的唯一性，对t 0 ，丁) ，有后t ( s ) t ( r ) x d r = 詹t ( r ) t ( s ) x d r ，从而有t ( s ) t ( r ) x = t ( r ) t ( s ) z ( v i ) 根据定义2 1 和( i i i ) ，即 丁。) z = 亍i ：矗z + t t ( s ) 可d s ，耽 。，丁) ( 1 2 ) t z = 采若z + a f t ( s ) 础m 0 ，丁) ， 我们得到，蛞t ( s ) y d s = a 聒t ( s ) x d s ，因a 是i 司算子，从而t ( t ) x d ( a ) 和a t ( t ) x = t ( t ) 可由( 1 2 ) ，我们有z d ( a ) 和 a z = 鱼鲁l 堕( a t ( ) z a f o t t ( s ) d s ) ：y er ； 从而z d ( a ) ( v ) 设a p ( a ) 和x x ，贝l l 因此 a t ( s ) x d s = s z 一志z r ( a ，a ) a t 丁( s ) x d s = r ( a ，a ) t ) z f 忑差 可r ( a 由于兄( a ，4 ) 和a 可交换，我们有 4 z j r ( a ，4 ) t ( s ) x d s ：r ( a ，a ) t ( t ) z f 万可r ( 根据解的唯一性，可知r ( a ，a ) t ( t ) 一t ( t ) 只( a ，一1 ) ，vf 0 r 1 1 f 1 1 f 定理1 8 设o l 0 和0 下 o , n en ( i i ) i - - 1 - # - 4 z x ，l 1 ( a ) 。d ( a ) 且 ( a a ) l 1 ( a ) z = e - 7 1 ( 9 7 ( a ) z t ( 7 ) z ) ( i i i ) l 1 ( 入) l 7 ( 肛) = l 7 ( 肛) l 1 ( 入) ( i v ) 对每个z d ) ，a “( a ) 。= l 7 a x 证明： ( i ) 显然l 1 ( a ) 是无穷次可微的， 筹训枷卟1 ) n 。1f e 山s t ( s ) 础 志丽d n - 1 州入) 1 1 s 眺内i i t ( s ) | | 志f e 巩s d s = s u p o _ 。墨7 i i t ( s ) l i = 鸠 ( i i ) 因为 l 1 ( a ) = r e - x s c l 一五8t ( ，y ) d ，y d s = e 。1 f t ( 7 ) 嘶+ a fe 。8 f t ( 7 ) d 7 d s 根据a 的闭性，我们有l ，( a ) z d ( a ) 且 ( a a ) l 1 ( a ) 。 = a l ，( a ) a e 一1 7 t ( 7 ) a ? 一赢杀。 s 一a 眉e - a s i t ( s ) 。一南茁】d s = 一e 以7 t ( ，y ) z + e 。1 南z + a 届e - - a s l 。8 。两 。d s = 一e 。7 t ( 7 ) z + 眉e 叫焉z d s = 一e 一1 7 丁( 一y ) 茁+ e 一1 7 9 1 ( a ) 。 ( i i i ) 根据定理1 7 中( i i ) 和( i v ) ，易知( i i i ) 成立。 ( i v ) 对z d ( a ) 由定理1 7 中( i i i ) ，有t ( t ) x d ( a ) 且a t ( t ) x t ( t ) a x ，因此 a 己，( a ) z = a ：e 咄t ( s ) 。d s = e - 1 s t ( s ) a 。d s = l t ( a ) a z 故( i v ) 成立。 定义1 1 0 设a 是一个闭算子，若存在强连续族y ( ) t f o cb ( x ) 使 得在命题1 9 中( i ) ，( i i i ) 和( i v ) 成立，在( i i ) 中t ( 7 ) 用y ( 7 ) 代替仍成立， 则称 三1 ( a ) ：，y 0 ，7 - ) ，a o ) cb ) 为4 的渐近预解式。 定理1 1 1 设a 是一个闭算子，若a 有渐近预解式 三，( a ) ：7 0 ，7 ) ，a o ) ，那么c a u c h y 问题c n + 2 ( 下) 是适定的。 证明： 根据定理1 8 中( i ) 和a r e n d t w i d d e r 定理( 见 1 4 ) ，存在l i p s c h i t z 连续算子函数马( t ) 使得 l 1 ( a ) = a f e 砒已( t ) 出，7 o ，7 - ) ，a 芝0( 1 3 ) 和t 4 0 ) = 0 ，f i t 7 ( t + h ) t t ( t ) l f 对z x ，由( i i ) 知，1 ( a ) z d ( a ) ， a l 7 ( a ) z = a 4 0 0 e 砒已( ) z d t = a 2 4 石0 。e 圳( r l ( s ) 础) 出 另一方面，又由( i i ) 得， a l ，( a ) i = 一e - t l ( 9 、( a ) a ：一y ( 7 ) 3 ：) + l 、( ) e 9 ( 1 4 ) 一ag e 。8 【t ( s ) 。一尚z d s = 一e 一 t ( 7 ) + e 一1 7 可若可z + 入ge - a s 可筹面z d s = - e - 1 t t ( o , ) 。+ 眉- - ) 8 8 。- 1 ，x d s = 一e - 1 t t ( o , ) x + e 一1 7 玑( a ) z ( i i i ) 根据定理1 7 中( i i ) 和( i v ) ，易知( i i i ) 成立。 ( i v ) 对x d ( a ) ，由定理1 7 中( i i i ) ，有t ( t ) x d ( a ) 且a t ( t ) x t ( t ) a x 因此 a l 7 ( a ) z = a fe - 1 s t ( s ) z d s = e - 、s t ( s ) a z d s = l ，( a ) a z 故( i v ) 成立。 定义1 1 0 设a 是一个闭算子，若存在强连续族y ( ) 阶) cb ( x ) 使 得在命题1 9 中( i ) ，( i i i ) 和( i v ) 成立，在( i i ) 中t ( 7 ) 用y ( 7 ) 代替仍成立， 则称 l 7 ( a ) ：，y 0 ，丁) ，a o ) cb ( x ) 为a 的渐近预解式。 定理1 1 1 设a 是一个闭算子，若a 有渐近预解式 “( a ) ：7 0 ，丁) ，a o ) ，那么c a u c h y 问题g 么+ 2 ( r ) 是适定的。 证明： 根据定理1 8 中( i ) 和a r e n d t w i d d e r 定理( 见 1 4 ”，存在l i p s c h i t z 连续算子函数马( t ) 使得 “( a ) = 入f e - 1 t t t ( t ) d t ，y 阶) ，a 0( 1 3 ) 和耳( o ) = 0 ，i i t l ( t + h ) 一马( 圳坞 对x ，由( i i ) 知，l 1 ( 入) 茁d ( a ) ， a l l ( a ) z = a a f e 砒弓( t ) 茁d t = a 2 a 五。e 枷( 弓( s ) 础) 出 另一方面，又由( i i ) 得， a l l ( a ) ? = 一e - 1 1 ( 玑( a ) z v ( 7 ) z ) + a l l ( a ) 。 9 f 】一1 1 则 t ( t ) z ) t 【o ，) 是c 0 + 2 n ) 的解。事实上，由( 1 7 ) 和( 1 8 ) 对7 l ，仇 0 ，r ) ， 未( t 一，y ) ( 咖d s = 一( t 一7 ) a f ( s ) z d s 一苦云篙f 马，( s ) z d s + 础刊a 石7 t “咖n 嗽刊篙础 这里x x 和0 7 t m i n ( 7 1 ，仇) 对上式两边关于r 从0 到t 积分得 。= 错( 也蚪嘶“v 川卟) 所以对t r a i n ( f 1 ，讹) ， 性。 耳。( t ) z = 2 ( t ) z 类似地可证( 五十2 ( 7 - ) 的解的唯一 推论1 1 2 设a 是稠定闭算子，那么c a u c h y 问题c k i ( t ) 是适定的， 当且仅当a 有渐近预解式 厶7 ( a ) ：7 0 ，丁) ，a o ) 证明：根据( 1 3 ) ，马( ) 的l i p s c h i t z 连续性和d ( a ) 的稠密性，可知， z 能被扩张到x 中的一个有界线性算子t ( t ) 使得t ( t ) z 是c 乞+ 1 ( 7 _ ) 的唯一 解。 注：在本章的一系列结果中，若我们取乜= n 和0 ，则我们可得到局部 扎一次积分半群和局部c b - 半群相应结果( 见 1 7 】) 第二章局部o l 一次积分正则半群 n ( n n ) 次积分正则半群的概念首先是由h i e b e r 等在1 9 9 2 年提出的 ( 2 8 】。之后，在1 9 9 7 年被l i 和s h a w 推广到凹( 。r ) 一次积分正则半群 4 2 最近，l i n ，z h a o 和l i 等研究了局部n 次积分半群( 见 9 ，1 1 ，2 9 ) 在 这一章我们提出局部q ( a r ) 一次积分正则半群的定义，并研究它的一些基本 性质。我们也给出局部d 一次积分正则半群的生成定理。 设x 为b a n a c h 空间，b ( x ) 为x 上一切有界线性算子的集合，a 为 线性算子，d ( a ) 为a 的定义域，r ( a ) 为a 的值域， d ( a ) 】为d ( a ) 赋 予图象范数的赋范空间，c b ( x ) 为单射算子。 题 设o 0 和0 7 _ 。考虑下面的( 口+ 1 ) 一次积分抽象c a u c h y 问 f 仅+ ，( 丁) ： 【 u g ( o ，7 _ ) ， d ( a ) 】) n c ，( o ，r ) ，x ) u 协) = a u ( t ) + 尚z ，v t o ，7 - ) u ( o ) = 0 2 1 预备知识 定义2 1 设0 和0 7 - 。b ( x ) 中强连续算子族 s ( ) ) f r n ，) 称为局部a 一次积分正则半群如果 ( i ) s ( t ) c = c s ( t ) v t 【0 ，7 - ) 且s ( o ) = 0 ( i i ) 对所有s ，t ，s4 - t 0 ，丁) 和z x ， 踯) ) z = 高( 一o 乞0 5 ) ( s + t - r 广1 即) g z d r 对v t 0 ，7 - ) ，称s ( ) 为非退化的如果s ( t ) x 三o ( t 0 ，7 ) ) ，则有j = 【1 在这种情形可以定义其生成元。 定义2 2设a20 和0 7 - 。， s ( t ) ) f ，) 是非退化的局邓t 卜 欠积分正则半群，州 s ( f ) ) ，i 【1 ，1 的生成元定义如下：对l ，) ( 4 ) ， 1 r _ i 当且仅当 s ) z f i 害；酉c z = t s ( s ) 可d s ，v 0 ，丁) 注： 若o = 0 ，则称 s ( t ) ) 阶) 是一个局部正则半群( 见 1 7 ) 。 定义2 3 设0 和0 7 - 。对所有z x ，( 口+ 1 ) 一次积分抽 象c a u c h y 问题c 乞+ 1 ( 7 - ) 称为( 适定的。如果任意z r ( c ) ，c 0 + l ( 7 _ ) 有唯 一解，且存在连续函数p ： 0 ，7 - ) _ o ，7 - ) ，满足i i u ( t ) i isp ( t ) l l x f l ，( z x ) 即解关于初值是连续的。 定义2 4 设q 0 和0 7 - a 是闭算子， s ( ) ) 蛭【0 ，) 为b ( x ) 中强连续算子族。如果vz x 和t 0 ，7 - ) ，有j ；s ( s ) x d s d ( a ) 且 a f o ts ( s ) x d s = s ( t ) 。一f t 主；= _ 可c z ， 0 ，丁) ( 2 1 ) 则称 s ( t ) ) 【0 丁) 为a 的m i l d o 次局部积分c 一存在族。 定义2 5设q 0 和0 丁 o o ，a 是闭算子， s ( t ) ) t 阶) 是一 个局部o l 一次积分正则半群。如果 ( i ) 对t 0 ，7 - ) ，c ( t ) a a c ( t ) ； ( i i ) 对v 。x ，有蛞s ( s ) x d s d ( a ) 且( 2 1 ) 成立。 则称a 次生成局部 a 一次积分正则半群 s ( t ) ) 挺卧) ，此时称a 为 s ( t ) ) 挺f o ，) 的次生成元。 引理2 6 设a 0 和0 7 - o o a 是闭算子， s ( t ) h o ，) 是b ( x ) 中一个有界算子的非退化强连续族，则有下列结论等价： ( i ) a 次生成非退化的局部a 一次积分正则半群 s ( t ) ) 拒 o ，) 。 ( i i ) c 是单射且与任意s ( t ) 可交换，s ( t ) a a s ( t ) ，对v x r 和 t 【0 ，7 _ ) ，蛞s ( s ) x d s d ( a ) 且 鼢一志c x = a 五邓驯s 证明 ( i ) = 净( i i ) ，由定义2 5 易证。 ( i i ) = = 争( i ) ，由c 是单射算子及( 2 1 ) 式可得 s ( t ) ) 挺 o ，) 是非退化的。 募 s ( 一r ) 盯s ( a )