（应用数学专业论文）带有扩散和sigmoidal响应函数的捕食模型的定性分析.pdf

dr e 工 r 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名：辫 日期：兰唑 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：鞋导师签名：弦 日期： 带有扩散和s i g m o i d a l 口$ 应函数的捕食模型的定性分析 研究生：李慧聪 j 导师：王明新教授陈文彦副教授 东南大学数学系，南京，中国，2 1 0 0 1 8 关键词：捕食模型；正平衡解；不动点指数；稳定性；大时间性质 摘要：本文考虑的是带有s i g m o i d a l 响应函数和d i r i c h l e t 边界条件或r o b i n 边界条件的 反应扩散捕食模型首先利用锥上的拓扑度理论给出了正平衡解存在的充分必要条件；其次 讨论当d _ 。，或者e - o o ，或者c l o + 时，共存解的稳定性；再次，研究了共存解的分支； 最后探讨了相应的抛物型方程组的解的大时间性质 q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fap r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hs i g m o i d a l r e s p o n s ef u n c t i o na n dd i f f u s i o n c a n d i d a t ef o rm d ：l ih u i c o n g s u p e r v i s o r ：p r o f w a n gm i n g x i n p r o f c h e nw e n y a n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y , n a n j i n g ，p r c h i n a k e y w o r d s ：p r e d a t o r p r e ym o d e l ；p o s i t i v es t e a d y s t a t e s ；f i x e dp o i n ti n d e x ；s t a b i l i t y ；l a r g e - t i m eb e h a v i o r a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ed y n a m i c so fap r e d a t o r - p r e yi n t e r a c t i o ns y s t e mb e - t w e e nt w os p e c i e sw i t hs i g m o i d a lr e s p o n s ef u n c t i o na n dd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n so rr o b i n b o l m d a r yc o n d i t i o n s f i r s t ，w ep r o v i d es m f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n sm a i n l yb yv i r t u eo ff i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y , t h e nw ed e a lw i t ht h e s t a b i l i t ya n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n sw i t hs o m ea s s u m p t i o n so nt h ep a z , a m - e t e r s i na d d i t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h eb i f u r c a t i o na l o n gat r i v i a ls o l u t i o n f i n a l l y , w ed i s c u s st h e l a r g et i m eb e h a v i o ro ft i m e - d e p e n d e n tp o s i t i v es o l u t i o n st ot h es y s t e m ， 目录 引言与预备知识 1 问题的提出 1 特征值问题2 锥上的拓扑度理论： 3 主要结果与证明 5 先验估计。5 不动点指数的计算5 正平衡解的存在性1 0 正平衡解的稳定性 1 2 共存解的分支1 6 解的大时间性质 2 0 2 4 参考文献 l n 啼m 舭娜 罩泓m娜骅娜娜 谢 第 第 一 致 第一章引言与预备知识 1 1 问题的提出 在自然界中任何一种物种都不是孤立存在的，它总要同其它物种发生这样或那样的关 系，物种之间的相互作用关系对于整个生物界的生存和发展是极为重要的，它决定着群落和 生态系统的稳定性，而捕食模型则是近年来数学界与生物学界研究的一个十分重要的课题 上个世纪二十年代微分方程理论第一次在生物科学中得到了应用，l o t k a 和v o l t e r r a 两 位学者运用动力学方法建立了经典的l o t k a o v o l t e r r a 模型1 9 6 5 年，h o l l i n g 1 在实验的基 础上对l o t k a - v o l t e r r a 模型加以改进，对不同类型的物种提出了三种不同的功能性反应函数 h o l l i n gi ( i i ，i i i ) 型，特别是h o l l i n gi i 型功能性反应，许多学者都进行了深入的研究【2 - 5 后 来b e d d i n g t o n 【6 】6 和d e a n g e l i se ta 1 【7 】又分别提出了b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 型功能性反应函 数自从l o t a k 和v o e l t r a 建立了经典的捕食模型以来，生物数学模型取得了很大的进展几 十年来，国内外许多应用数学学者和生物学学者一直在从事这方面的研究工作人们不但考 虑密度分布均匀的生物数学模型，即常微分方程动力系统，而且考虑密度在空间分布不均匀 铲 的生物数学模型，即具有扩散的偏微分方程动力系统，并且取得了许多有意义的成果 8 - - 1 3 在捕食模型中，通常假设响应函数p ( u ) 在f 0 ，o o ) 上连续可微并且满足 ，。 p ( o ) = 0 ，( u ) 0 ，溉p ( 仳) = m 0 ， z q ，t 0 ， z 乏o f t ，t 0 ， ( 1 1 ) z o f t ，t 0 ， z q 这里qcr 是具有光滑边界a q 的有界区域，为边界a q 的单位外法向向量t ，t ，分别表 示被捕食者和捕食者的分布密度a ，b ，c 1 ，c 2 ，d ，e ，k ，均为正常数吩1 ，尤2 为非负常数，即边界 条件为d i r i c h l e t 或r o b i n 边界条件的情况d 为半饱和常数k 表示整个系统对食物的最大 承载能力 本文的主要目的是考察( 1 1 ) 的正平衡解，也就是如下的椭圆型方程组的正解： f 山= u ( n 一兰k 一南) ， z 以 博- z x v = i 一) ( b - ，v + 羔l 2 ， 【k 。笔+ t ，= o ， z m 我们说( u ，”) 是系统( 1 2 ) 的正解是指对任意z q ，有u ( z ) 0 ，口( z ) 0 我们对本文做如下安排：以下两节给出预备引理，主要是关于特征值问题和锥上的拓扑 度理论的一些已知结论第二章是本文的主要组成部分，我们首先通过计算不动点指数给出 了正甲衡解存在的充分必要条件，其次讨论了当参数变化时正甲衡解的稳定性和唯一性最 后我们研究了共存解的分支以及相应的抛物型方程组的解的大时间性质 1 2 特征值问题 设q ( 。) c 。( - f i ) 并且k 0 ，则如下的特征值问题： k - 吕a 罟u + + u q ( ：z ) 。u ，= a 札z x e a f 2 q , c 1 3 ， 存在一组特征值 a n 和相应的特征函数 如，满足a 1 a 2 a 3 且l i r a 。k = o o 【1 6 ，1 7 1 问题( 1 3 ) 的第一特征值a 1 所对应的特征函数咖l 在q 上是正的在本文中，我们用 a l ，。( 口( z ) ) 表示( 1 3 ) 的第一特征值a 1 并把入l ，。( o ) 简记为a l ，。 2 k-暑a罟u+=uu：f(x。，,“)， z q z 0 q 其中q 为r 上的有界光滑区域函数f ( x ，u ) ：孬【o ，o 。) 满足如下条件： ( a 1 ) f ( x ，钍) 关于z 属于c n ，0 q l ； ( a 2 ) ，( z ，t 。) 关于u 属于c 1 且对于任意( z ，乱) 孬 0 ，) 有九( z ，札) o ； ( a 3 ) 存在正常数c ，使得当( z ，t ) 孬【c ，o 。) 时，f ( x ，u ) 0 定理1 2 3 ( 【l s ) ( i ) 问题( 1 4 ) 的非负解札( z ) 满足u ( z ) c ，比瓦i ( i i ) 若a 1 ，。( 一f ( x ，o ) ) 0 ，那么( 1 4 ) 不存在正解并且平凡解0 是全局渐近稳定的； ( i i i ) 若a 1 ，。( 一，( z ，o ) ) 0 ，s t y + r x ) ； 岛= z w ：一z 矾) 对于y w ，易知w 也是一个楔并且包含w 和 一可) ；s 是e 的闭线性子空间【1 6 】 东南大学硕士学位论文 4 定义1 3 2 设t ：矾_ 矾是紧线性算子称t 具有q 性质，如果存在t ( o ，1 ) ，t u w 岛， 使得w t t w 岛 设f ：彬一w 是一个紧线性算子，f 在彬上有不动点y 并且f 在y 处有f r 6 c h e t 导 数，记为l = f 协) 则厶：矾一万设u 为形中的一个开子集，定义i n d e x w ( f , u ) = i n d e x ( f , u ，w ) = d e g ( ，一e 以o ) ，其中j 为恒等映射若y 为f 的孤立不动点，定义f 在 y 处的不动点指数为i n d e x w ( f , y ) = i n d e x ( f , y ，w ) = i n d e x ( f , 【厂( ! ，) ，) ，其中u ( 可) 是y 在w 内的一个小邻域 定理1 3 1 ( 8 ，1 6 】) 设，一在矾上可逆，则 ( i ) 若l 在砜上有q 性质，则i n d e x w ( f , y ) = o j ( i i ) 若l 在觋上没有q 性质，则i n d e x w ( f , y ) = ( - 1 ) 旷，其中盯是l 的所有大于f 的特征 值的重数之和 第二章主要结果与证明 在本章中，我们首先利用锥上的拓扑度理论给出问题( 1 2 ) 的共存解存在的充分条件和 必要条件；其次讨论当d 一。o ，或者e o o ，或者c l _ 0 + 时，共存解的稳定性；最后研究共 存解的分支和抛物型方程组( 1 1 ) 的解的大时间性犀 2 1 先验估计 根据定理1 2 3 ，当a l ，。 a 时，问题 k-。a鲁1罟l=+uu(：a-。，姜)， z q z a q 存在唯一正解，记为u a 同理，当a 1 炮 p ( i ) 当z o q 时，有0 一2 x u ( x o ) u ( x o ) ( a 一掣) 0 矛盾 ( i i ) 当x o a q 时，则器( z o ) 0 但这与边界条件k 1 - a 5 “ f f7 ( 一o 、! + u ( z o ) = 0 矛盾 因此u ( z ) p 记 ( t ，口) = b u + 而c 矗需u 2 ，则q 为 ( p t ，) = 0 的唯一正根同理可证 v ( x ) q 口 2 ，2 不动点指数的计算 为了便于计算不动点指数，我们引入一些记号： e = g 。( 孬) g 。( 豆) ，其中g 。( 豆) = 叫c ( 豆) ：i 碧+ w = 0 ，z a q 】，i = 1 ，2 ； 5 ， 卜 枷“” l | + 山略 东南大学硕士学位论文 w = k 1xk 2 ，其中心= 叫c k 。( 孬) ：叫( z ) 0 ，z 豆) ，i = 1 ，2 ； d = ( u ， ) w ： p + 1 ，t ， q + 1 ) ，d 。= i n t d 由定理2 1 1 可知，问题( 1 2 ) 的任意非负解都属于d 从而存在正常数m ，使得当 ( u ，u ) 一d 时，函数 u ( n 一妻一矿黑) + m u ，u ( b - v + 羔) + m u 都是非负的定义算子f ：e c ( 豆) c ( _ ) ， 聊m _ ( _ + 竹- 卜啮一母+ 讹1 ( 2 1 ) t ，( 6 一u + 甭三卷) + m y 由椭圆型方程的正则性理论易知f 为紧算子，并且问题( 1 2 ) 有解等价于算子方程f ( u ，u ) = ( 札，口) 有解因此，为了说明问题( 1 2 ) 存在正解，我们只需说明f 在d 。上存在不动点不妨 假设( 0 ，o ) ，( u 口，0 ) 和( o ，v b ) 为f 的孤立不动点( 否则问题( 1 2 ) 的正解已经存在) 因此它们 在内的指数是有定义的 易证以下结论成立： ( i ) 一w ( o ，o ) = k 1 k 2 ，s ( o ，o ) = ( o ，o ) ) - ( i i ) 而：( 。，o ) = c ( 而) k 2 ，& 。，o ) = c ( _ ) o ) ； ( i i i ) 一w ( o ，) = k t c ( 西) ，s ( o ，) = 0 ) g ( 丽) 对于任意的t 【0 ，1 】，定义一个正的紧算子 脚川_ ( - + 竹- f 地( 0 荫一母h 肌1 。 w ( b 一口+ 西踟) + m y 显然f 1 = f 利用拓扑度的同伦不变性，我们可得以下结论： 引理2 2 1 对于上述定义的d ，有i n d e x w ( f ) d ) = 1 证明显然f 在o d 上没有不动点，即i n d e x w ( v , d ) 有意义对任意的【0 ，i i ，( u ，u ) 是r 的不动点等价于( 缸，u ) 是下述方程组的解： 6 22 q g 5 若 善 z z z z 蠢 一 一 n 仉 p = = 玩 细 口 = i l + + u 口一砂协一砂觚舢c蔷一喘丽 1 一 m 忱 东南大学硕士学位论文 7 由定理2 1 1 知最的任一不动点( 牡，v ) 满足u ( x ) p ，v ( x ) q ，即( u ，口) d 利用 拓扑度的同伦不变性可得i n d e x w ( f t ，d ) 与t 无关从而i n d e x w ( f t ，d ) = i n d e x w ( f t ，d ) = i n d e x w ( f o ，d ) 当t = 0 时，显然问题( 2 2 ) 只有甲凡解( o ，o ) 因此，i n d e x w ( f o ，d ) = i n d e x w ( f o ，( 0 ，o ) ) 直接计算知 l ：= 瑶( o ，0 ) = ( 一a + m ) - 1 注意到w ( o ，o ) = 托鲍，s ( o ，o ) = ( o ，o ) ) 利用引理1 2 2 可得r ( 三) 1 ，从而，一l 在w ( o ，o ) 上可逆易知l 在w ( o ，o ) 上没有o t 性质利用定理1 3 1 可得i n d e x w ( f o ，( o ，o ) ) = ( 一1 ) o = 1 因此i n d e x w ( f , d ) = i n d e x w ( f o ，d ) = 1 口 引理2 2 2 假设a 1 m 0 ，则有a l 朋= a ，矛盾因此荨三0 同理可证7 7 三0 故j f ，( o ，0 ) 在w ( o ，o ) 上可逆 下证f ( o ，0 ) 具有q 性质由于a l ，。 1 ， 且由k r e i n - r u t m a n 定理知7 - 口是算子( 一+ m ) 一1 ( n + m ) 的主特征值，对应的特征函数 0 取t o = 去，则0 0 取t o = 丢，则0 b ，利用引理1 2 2 知r ( 4 ) 1 为算子4 的一个特征值，但这与r ( 4 ) l 为f 7 ( u 。，o ) 的一个特征值，相应的特征函数为( 毒，7 7 ) r ，则有 圳- l ( ( 口+ ( 黧霈c 2 u 2 谚 即 若u a 7 7 1 ， + e u 口+ 。 若叼0 ，由上式的第二个方程可知0 为特征值问题 一叫+ 【( 1 一p ) m 一肛( 6 + 羔 托2 挲+ 硼= 0 ， d 扩 ) 】埘= a w ， z q ， z q z a q ， z 锄 z q z a q 的一个特征值，7 7 为相应的特征函数利用特征值的变化，我们有 。孙m ( ( 1 刊m 刊6 + 羔) ) ( 刊6 + 燕) ) ( _ b 一燕) 一b + m ( 一再c 2 u ：u 2 ) 0 这是一个矛盾故，7 三0 因此毒0 另一方面，利用最大值原理可知u 口。k ，又满足 f 一+ 【( 1 一脚m p ( 8 2 i u a ) 】= o ， z q ， 1 托l 篓+ ：o ， z 肌 、u p 因此 0 a “，( ( 1 一p ) m p ( 。一2 面u 2 ) ) 入l 朋( 一p ( 。一2 尝) ) ( 一p ( n 一妻) ) ( 一( 口一等) ) = o 黧 m m + 卜 水 肿 ， 一叫 | 饥以 。 叩 = = m m 叩 t + + 叩垮一端一沌 笛 却哭丽卸丽 叫 叫 研 忱 rjllt 东南大学硕士学位论文 一 1 0 以上矛盾说明f 7 ( u 。，0 ) 没有大于1 的特征值，即盯= 0 于是i n d e x w ( f , ( 。，o ) ) = 1 口 类似地，我们有 引理2 2 3 假设a 1 抑 入1 ，。且问题( 1 2 ) 存在正解，j l la l ，。( 一燕) a 1 m 矛盾因此问题( 1 3 ) 的 非负解只能是( 0 ， ) 的形式从而u = 0 或者t ，= v b ( i i ) 由( i ) 知口 入1 ，从而u 。存在根据假设知v b 也存在设( 面，矛) 为i 可眍( 1 2 ) 的正 解利用 一a 盘f t 一= 面( 。一昙一i 品) v b 因此 a ，k 。( - b + v b 一志) a ，一。( 一6 + 移一i 羔) = o 即a 1 总( v b 一蕊) b 口 东南大学硕士学位论文 定理2 3 2 ( i ) 若a l 旭 a 且a 1 心 b ，则问题( 1 2 ) 有正解当且仅当a l ，。 口且a l m ( 一燕) b ，因此问题( 1 2 ) 没有形如( o ，御) 的非零非负解 由于a l 朋 n 且a l m ( 一蕊) b ，因此由引理2 2 1 2 2 3 可得 i n d e x w ( f , d ) 一i n d e x w ( f , ( 0 ，0 ) ) 一i n d e x w ( f , ( t 。，o ) ) = 1 故问题( 1 2 ) 存在正解， 再证必要性设( 面，面) 为( 1 2 ) 的正解首先由定理2 3 1 ( i ) 知a 1 m a ，。( 一燕) 6 所以a l ，一c 。( 一蕊) 2 、五+ e 且、2 以c l + 。一1 ) q 口6 一霄r 一茄 证明记入1 ，。( g ( z ) ) = a 1 脚( q ( z ) ) = a l ，k ( 口( z ) ) 设( 面，面) 为( 1 2 ) 的正解，则由定理2 3 1 ( i ) 知入1 。 a ，从而u 。存在根据定理2 3 1 ( i i ) 的证明可知面 t t a r ( i ) 由于( 矗，百) 为正解，从而 0 = a 蜘( 昙一n + 羔) = a t ，一( f i - b - 羔+ i 羔+ i 南一1 ) 雷+ 6 + 昙一n ) h 小一羔+ 叠+ c 赤叫川+ 昙刊 妯一面山一志) = o 1 1 矛盾 矛盾 在这一部分中，我们首先讨论当d 1 或者e 1 时正解的稳定性为此，我们需要个 渐近性质 足义2 4 1 ( - ，功，( 笪，型) c ( 12 ) n c 。( ) 称为j 可题( 1 2 ) 的一对上。f 砰，如呆百丝，可v 且 f 一西冽。一面u 一羔) ， z 呱 | 一塑出一姜一再c 孺l 7 t v ) ， z q ， j 一西可( 6 一可+ 南) z q ， i 一型型( 6 一型+ 万羔) ， z q ， lk - 粪+ 面。，c - 煮；二，一 。a q ， k 2 嚣+ 可o 独嚣地 z 枫 定理2 4 1 若a l 朋 0 x eo q ( 2 5 ) 一丝笪( 口一吴一再c 。l 型u v + f ，z q ， 一可虿( 6 一面+ 羔) ，z q ， k l 罢丝+ 笪0 ， z a q ( 2 6 ) d 正， k 2 霎+ 移0 ， z a q ( 2 7 ) d 一旦纠b - v + 羔) ，z 鲫，k 2 嘉+ 竺 0 ，存在e ( ? 7 ) 1 ， 使得当e ( 町) 时，不等式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 成立当边界条件为d i r i c h l e t 边界条件时，即在a q 上t 口一玎= 0 ，显然不等式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 在a q 附近成立又因为当e o 。时， 煮畿训，磊训- 在q 的任意紧子集上一致成立，所以当e 1 时，不等式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 成立 定理2 4 2 若a l ，。l n ，6 ，哺在w 2 ，p ( q ) 中有界因此不妨假设在1 , p ( f t ) 中& 一，依一，7 那么我们有 1 2 + 1 2 = 1 注意到盔_ o 。和( 2 1 1 ) 式，在( 2 1 2 ) 式中取极限知，在弱的意义下，( p ，叩) 满足 l 一越+ ( - a + 2 i u a ) = 眨 z q ， ；- a t l + ( 一6 + 2 v b ) o = p 叼， z f t ， 1k l 尝+ ：o ， z o f t ， ik 2 祟+ ，7 ：0 ， z o f t 因此p 为实数且p 0 若0 ，则有a l ，。- a + 2 静) p 0 另一方面，a l ，。- a + 2 静) a l 朋- a + 鬻) = 0 矛盾因此兰0 同理可得7 7 三0 这与1 2 + 1 2 = 1 矛盾 口 东南大学硕士学位论文 注2 4 2 同于定理2 4 2 可证：若a l m o ，a 1 m 0 ，存在e ( 叩) 1 ， 使得当e2e ( ，7 ) 时，问题( 1 2 ) 至少存在一个非退化且线性稳定的正解 下面讨论当c 1 0 + 时，正解的稳定性假设a 址， 口：a 1 m ( 一再署) 6 则由定理 一h 孙v = v ( b 叫+ 蔫) ，一， ( 2 1 3 ) ik 。+ ， “ 删娆 p “叫 引理2 4 3 若a l ，。 a 1 朋( 静一日) = 0 因此- a + 2 静口可逆，从而z = ( 一+ 2 静- a ) 一1 又 因为。为问题( 2 1 3 ) 的正解，从而入1 m ( _ 6 + 毋一再碗c 2 1 l 2) = 0 故a l ，。( 一厶+ 2 。一d + , 虫! u a + u a 、 0 由此可知一+ ( 一6 + 2 。一d - t - e 虫u a + u a 、j 可逆由( 2 1 4 ) 的第二个方程知口也存在且唯一因此 t 为正则算子结合隐函数定理与引理2 4 3 知，若问题( 1 2 ) 的正解存在，则必唯一与定理 2 4 2 的证明类似，若此时( 1 2 ) 的正解存在，则必是非退化且线性稳定的 口 结合定理2 3 2 ，显然我们可得以下的结论： 定理2 4 5 若a l ，。 n ，a 1 ，。2 b ，则存在正常数c ，使得当c 1 c 时，问题( 1 2 ) 存在唯一 正解，并且该正解是非退化，线性稳定的 2 5 共存解的分支 在上一部分中，我们讨论了当d 1 ，或者e 1 ，或者c 1 1 时，共存解的稳定性在本 节中，我们把b 视为分支参数，利用分支理论研究共存解的分支，以及当参数c l 适当小时? 分 支共存解的稳定性 定理2 5 1 设a l m n ，并记云= 入1 ，。：( 一燕) 那么点( 云，口，o ) 是问题( 1 2 ) 的共存解 的分支点，并且当0 0 ，点( 5 ，0 ) 都是共存解的分支点 1 8 一畦 ，毪怖 乏州 k 型魄 坠k 一+ 仉q 十 +崞一砂叻一眇汁卅武一岛丽 & 山 研 忱 东南大学硕士学位论文 定理2 5 2 假设a l m a 那么当c l 充分小时，在点( 5 ，u 。，0 ) 附近的共存解分支( 即局部分 支) ( 扎( s ) ，u ( s ) ) 是非退化的，并且当0 s 1 时( t ( s ) ，可( s ) ) 是线性稳定的 证明为了书写方便，简记6 ( s ) = b ，( “( s ) ，u ( s ) ) = ( i t ，口) 那么问题( 1 2 ) 在( u ，u ) 处的线 性化问题可以写成 l ( 0 = p ( ：) ，l = ( 笔：笼) 其中 尬l = 一一( 口一2 吴一c l ( u ) u ) ，a 矗2 = c l p ( 札) ， m 2 1 = 一c 2 p t ( u ) v ，m 2 2 = 一一( b 一2 v + c 2 p ( t ) ) 容易看出，当8 0 ，c l _ 0 时， 2 ( - a + 0 引a0 b 熹，卜 一一( + 万曼! 物) 因为8 = 入l 阳( 静) a l ，。( 2 静) ，所以算子一+ ( 2 铅一n ) 的最小特征值大于0 又因为 5 = 入1 抛( 一高) ，所以算子一一( 5 + 熹) 的最小特征值为0 由【1 6 】可知，算子如 的最小特征值为0 ( 对应的特征函数为( 0 ，圣) ) ，并且三。的其它特征值都是正的并远离0 从 而由摄动定理【2 0 】知，当s 1 ，c l 1 时，三存在唯一的特征值肛一0 ，并且工的其它特征 值都有正的实部并远离0 下面讨论当s 1 时，r e ( p ) 的符号取与肛对应的特征函数( f j7 7 ) ，使得( f ，7 ) 一( 0 ，蛋) 用v 乘以l ( e ，叼) = p ( ，7 7 ) 的第二个方程并在q 上积分得 上v 叩v u 如+ 恚上。：u 砸s 一上u 叩( 6 - 2 v + 沈p ( u ) ) 出一q 正p 7 ( u ) u 2 d z = p 丘u 叩d z ( 2 2 1 ) 用 乘以问题( 1 2 ) 的第二个方程两边并在q 上积分，我们有 五v t 7 v 如+ 三上n u 帕s = 疋口叼( 6 - v + t 。2 j c 2 p ( u ) ) 出( 2 2 2 ) ，2，8 n2 由此及( 2 2 1 ) 式可得 p 五u 叼如= 正u 2 叼妇一晓上p ，( ，u ) 2 d z 注意到( 让， ) = ( 1 t a + s 皿十( ) ( s 2 ) ，s q ) + o ( s 2 ) ) ，并且f 一0 ，7 _ 雪，上式两边除以5 2 ，取极限得 枷l i mk 8 蒜d x 0 s _ 0 j nq 1 9 的解根据【1 8 定理1 2 5 1 ，我们有以下结论： 定理2 6 1 设( u ( z ，o ) ，u ( z ，o ) ) = ( t i o ( z ) ，( z ) ) ( o ，o ) ，则问题( 1 1 ) 存在唯一有界解( u ，口) 满 足 ( 0 ，0 ) ( u ( z ，) ， ( z ，t ) ) ( c 厂( z ，) ，y u ( z ，) ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，。o ) 若还有u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 和”( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ，则( u ，u ) 为正解 东南大学硕士学位论文 定理2 6 2 设( 札，u ) 为问题( 1 1 ) 的正解以下结论成立： ( i ) 若入l ，。l a ，则当t o o 时，u 一0 ，并且l i r a s u p 。o o m a x , - v ( ，t ) b 若还有a l ，。2 6 + c 2 ， 则当t 一时( 札，u ) _ ( o ，0 ) j ( i i ) 若a l m o ， 【u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ， z q 应用比较原理可得0 让( z ，t ) u ( z ，) 由于入l ，。a ，则由定理1 2 3 ( i i ) 知，当t _ 。o 时， u ( z ，t ) _ 0 在孬上一致成立因此l i r a s u p 扣o om a x 百u ( ，t ) = 0 对任意r 0 ，存在t 0 ，使 得对于任意z 豆，t t 成立u ( x ，t ) ，7 因此u 满足 仇二口= ”( b - v + 万南) u ( b - v + 蔫) ，z q ，t 正 k 2 娑+ 口：0 ，z o f t ，t z d 从而有口6 + 矗密由，7 的任意性可得l i m s u 乳。o 。m 崦 ( ，) b 进一步，若成立a l ，。b + c 2 我们取蜥满足 ( u r ) t a v t = v t k 2 掣+ 硌：o ，k 2 i 一十l ，tou ， d 扩 ( z ，t ) = u ( z ，t ) b 一坼+ 蔫) ，x e1 2 , t t ， z a q t t z q 则由比较原理知当t t 时，0 u ( z ，) sv t ( z , ) y n ；2 入l ，。：b + c 2 b + 本密，所以由 定理1 2 3 ( i i ) 知，当t 一时，许( z ，) _ 0 在豆上一致成立，因此l i m s u p 扣o 。m a x 西，( ，) = 0 ( i i ) 首先同于( i ) 的证明，我们有0 u ( x ，t ) u ( z ，) 利用定理1 2 3 ( i i i ) 可知当t _ o 。 时，u ( x ，t ) 一u 。( z ) 在孬上一致成立任意r l 0 ，存在t 0 ，使得 u ( z ，t ) t t a ( z ) + 卵，z q ，t t ( 2 2 5 ) 2 1 一一 东南大学硕士学位论文2 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = = = = = ：= = = = ：= ：= ：= = = 口t ：t ，= u ( 6 一t ，+ 羔) z k z 嘉+ u = o ， 、4 “。“ z a q ，t 丁， 【u ( z ，t ) 0 ， z q 利用a 1 抱( 一b 一再采茸藉芸铲) a l , t c 2 ( 一b c 2 ) o ，类似于( i ) 可证l i m s u p o 。m a x i t (