（概率论与数理统计专业论文）止损再保险在var风险度量下公平门限的确定.pdf

摘要 再保险是指保险人在原保险合同的基础之上，通过签订分保合 同，将其所承担风险的一部分转移给再保险公司的行为。其中，最常 见的有成数再保险与停止损失再保险。在停止损失再保险中，再保 险人在总索赔量j 中所占的份额为：x r = ( x d ) + ，d 为参数，它表示 原保险人的自留额。若选择停止损失再保险，那么，如何确定原保 险公司即分出公司的自留额及相应的再保险金额就是再保险决策 首先要解决的问题。解决这个问题需要以公司经营者所持的风险态 度为依据。对于风险厌恶型的公司经营者，他是希望自己所承担风 险不要太大的；而对于风险偏好型的公司经营者，他是愿意自己所 承担风险比较大的。本文假设，签订分保合同的保险公司与再保险 公司双方的经营者都是风险厌恶型的或者都是风险偏好型的，那么 如何选定一个公平的自留额使得双方都满意，这正是本文所要研究 的问题。本文用v a r 度量保险公司与再保险公司的风险，并用指数 原理计算再保险保费。 本文的创新工作主要是以下两个方面： 1 依据v a r 的定义以及分位数的性质，得出了保险公司，再保险 公司和投保人三方v a r 的关系式。( 第三章) 2 根据三方v a r 的关系式，得到了公平自留额满足的方程式，并 给出了唯一解存在的条件。在本文的最后，选取了丹麦的d a n i s h 火 灾保险数据，并依据第三章得到的方程式，使用统计软件s p l u s 求 出了公平自留额的近似解。( 第四章) 关键词：停止损失再保险：公平自留额；w a r ；指数保费计算原理。 i i a b s t r a c t t h es o c a l l e dr e i n s u r a n c ei st h a tt h ei n s u r a n c ec o m p a n y t r a n s f e r sp a r t so fh i sr i s kt oar e i n s u r a n c ec o m p a n yw i t ha c e d i n gi n s u r ec o n t r a c t si nt h eb a s i so ft h eo r i g i n a li n s u r a n c e c o n t r a c t t h e r ea r et w om o s tc o m m o nk i n d so fr e i n s u r a n c e ，q u o t a s h a r er e i n s u r a n c ea n ds t o p l o s sr e i n s u r a n c e i nt h es t o p l o s sr e i n s u r a n c e ，t h er e i n s u r a n c eg e tt h es h a r e o ft h et o t a la m o u n tx i sr = ( x - b ) + ，a n dt h ep a r a m e r t e rb i st h e o r i g i n a li n s u r e rr e t e n t i o n i ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yc h o o s e s t h es t o p l o s sr e i n s u r a n c e ，h o wt od e t e r m i n et h ei n s u r a n c e c o m p a n yr e t e n ti o na n dt h ec o r r e s p o n d i n ga m o u n to fr e i n s u r a n c e i st h ef i r s tp r o b l e mt h a tt h er e i n s u r a n c ed e c i s i o n m a k i n gm u s t s o l v e t or e s o l v et h i sp r o b l e mi sb a s e do nt h ec o m p a n y s s o l v e n c y sa t t i t u d et ot h er i s k w ek n o wt h a tt y p eo fr i s ka v e r s i o nf o rc o m p a n i e sw h ow a n t t oo w na r en o tt ot o om u c kr is k ：p r e f e r e n c ef o rr is k b a s e d c o m p a n yw h oa r ew il l i n gt or i s kt h e i rr e l a t i v e l yl a r g e i nt h is p a p e r ，t h ea s s u m p ti o n b o t ht h ei n s u r a n c ea n d r e i n s u r a n c ec o m p a n i e s o p e r a t o rw h os i g n e dt h ec e d i n gi n s u r e c o n t r a c t sa r er i s k a v e r s eo rr i s k b a s e d ，t h e nh o wt os e l e c ta i i i f a i rr e t e n t i o nt h a tt h et w os i d e sw e r es a t i s f i e dw i t h ，i s e x a c t l yw h a tt h i sa r t i c l eh a st ow o r ko n i nt h i sp a p e r ，v a r i su s e dt om e a s u e rt h ei n s u r a n c ea n dr e i n s u r a n c ec o m p a n i e s r i s k ，a n dt h ee x p o n e n t i a lp r i n c i p l ei su s e dt oc a l c u l a t e r e i n s u r a n c ep r e m u m t h em a i ni n n o v a t i o n so ft h i sa r t i c l ea r et h ef o l l o w i n gt w o a s p e c t s ： 1 a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o no fv a r ，a sw e l la st h en a t u r e o ft h eq u a r t i l e ，o b t a i n e dt h ei n s u r a n c ec o m p a n i e s ，r e i n s u r a n c e c o m p a n i e sa n dt h ep o l i c y h o l d e r st r i p a r t i t ev a rr e l a t i o n s h i p ( c h a p t e r1 1 1 ) 2 a c c o r d i n gt ot h et r i p a r t i t ev a rr e l a t i o n s h i p ，g e tt h e e q u a t i o nw h i c ht h ee q u a lr e t e n t i o nn e e dt om e e t ，a n dg i v et h e c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fau n i q u es o l u t i o n i nt h ef i n a l ，w es e l e c tt h ed a n i s hf i r ei n s u r a n c ed a t a ，u s e t h es t a t i s t i c a ls o f t w a r es p l u sa n dd e r i v ee q u a lr e t e n t i o n s a p p r o x i m a t es o l u t i o na c c o r d i n gt oe q u a ti nt h ec h a p t e ri ii ( c h a p t e ri v ) k e y w o r d s ：s t o p l o s sr e i n s u r a n c e ：e q u a lr e t e n t i o n ：v a r ；i n d e x p r e m i u mc a l c u l a t i o np r i n c i p l e i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：年月 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：日期：年 月 日 导师签名：日期：年月 日 止损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 第一章引言弟一早ii 1 1 研究背景和意义 再保险与保险一样都是从海上发展起来的，1 4 世纪初，西欧海域 上就有了再保险的萌芽。1 8 世纪中叶以来，工业革命兴起，随着工商 业的繁荣与发展，带动了保险业的发展，也使得再保险从方法，内容 到组织形式的各个方面都发生了深刻变化。1 9 世纪后期尤其是进入2 0 世纪以后，随着现代化生产与科学技术的发展，财产价值越来越高， 作为风险的承担者的保险公司，不可避免的存在一些巨额保险责任， 这就使得保险公司承保了前所未有的巨额风险，从而提出了对再保险 的新要求。 我国再保险市场起步较晚。改革开放前十年时间里，只有p i c c 一家保险公司，因而不存在国内再保险的概念。一直n 8 0 年代末期在 深圳，上海相继成立平安和太平洋两家保险公司，才有了再保险市场 的雏形，1 9 9 5 年颁布实施保险法，才对保险公司的国内优先分包， 法定再保险等方面做出了规定。随着近年来，特别是加入w t o 以后， 我国经济社会发展迅速，我国保险业在面临着国外保险机构挑战的同 时也迎来了前所未有的发展契机，这就使得保险业成为我国发展速度 最快的行业之一。2 0 0 7 年7 月11 日，中国保监会中国再保险市场发 展规划的发布，明确了我国再保险市场的预期目标，发展方向和政 策措施，这必将使我国的再保险市场更加稳定持续快速的发展。中国 硕十学位论文 再保险业正处在关键的变革阶段，眼前的制度改革能否成功，将对中 国再保险市场乃至整个保险市场的未来产生极大的影响。所以，再保 险方面的研究在目前就显得十分必要而又非常紧迫了。 保险公司进行再保险，自己承担的风险通过投保的形式转移一部 分给其他保险人，这样就可以降低自己的风险。然而原保险公司减少 了承受风险的同时，保费收入也因支付再保费而减少，如何权衡保险 公司的自留风险与再保费之间的关系，这就引出了对最优再保险策略 的研究。最优再保险问题是非寿险精算当中的重要课题，它关系到保 险公司的偿付能力，最优再保险决策不但包括选择再保险的形式，而 且包括相关参数的求解和选择相应的自留风险和再保险限额。 1 9 9 4 年，j p m o r g a n 首先公布了它以v a r ( v a l u e a t r i s k ) 为工具度量风险的评估系统。v a r 方法一经提出，就在金融领域被广 t 泛应用，使之成为了最受欢迎的市场风险测定和管理的工具。对于它， 国内外学者们都进行了深入的研究。后来学者们又针对它的不足，提 出了一种改进的风险度量方法一c t e ( c o n d i t i o n a lt a i l e x p e c t a t i o n ) 这两种风险度量方法现在也被尝试应用于解决再保险 的最优化问题中。2 0 0 7 年，蔡军1 1 1 在论文 o p t i m a lr e t e n t i o nf o ra s t o p l o s sr ei n s u r a n c eu n d e rt h ev a ra n dc t er is km e a s u r e s 中给出了再保费采用期望值原理计算时，停止损失再保险在v a r 幂i c t e 风险度量下最优自留额存在的充要条件以及具体形式。2 0 0 8 年，蔡军 1 2 1 又在论文 o p t i m a lr e i n s u r a n c eu n d e rv a ra n dc t er i s km e a s u r e s 中将上述结果从止损再保险形式推广到了一般再保险的形式。本篇论 止损在保险在l e a r 风险度量下公平门限的确定 文也正是受蔡军论文的启发而完成的。 1 2 本文的主要研究工作和论文结构 以上两篇论文当中，蔡军是站在再保险公司的立场上求得一个使 得再保险公司面临风险最小的最优自留额。而本文的研究表明：在v a r 风险度量下，当再保险公司面临风险最小时，保险公司面临风险会最 大。这样一来，就有必要寻找一个公平的自留额使得双方都满意。基 于以上思路，全文结构如下： 首先，作为预备知识，介绍了再保险的定义，分类及其具体的数 学形式：保费计算原理及本文要用到的指数和期望值两条计算原理： v a r 风险度量的基本知识( 第二章) 。 其次，得出了在v a r 风险度量下，保险公司，再保险公司和投保 人三方v a r 的关系式。( 第三章) 最后，根据第三章得到的关系式，分别求出了在指数保费计算原 理下公平自留额满足的方程式，并给出了解存在的条件。做为实证， 选取了丹麦的d a n i s h 火灾保险数据，并依据第三章得到的方程式，使 用统计软件s p l u s 求出了公平自留额的近似解。( 第四章) 1 卜损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 2 1 再保险 第二章预备知识 2 1 1 再保险概述 再保险又称分保，是指保险人在原保险合同的基础之上，通过签 订分保合同，将其所承保的部分风险与责任向其它保险人进行保险的 行为。 在再保险交易当中，分出业务的公司称为原保险人或分出公司， 接受业务的公司称为再保险人，或分保接受人或分入公司。 再保险转移风险责任所支付的保费叫做分保费或再保险费；由于 分出公司在招揽业务过程当中支出了一定的费用，由分入公司支付给 分出公司的费用报酬称为分保佣金或分保手续费。 如果分保接受人又将其接受的业务再分给其他保险人，这种业务 活动称为转分保或再再保险，双方分别称为转分保分出人和转分保接 受人。 2 1 2 危险单位 危险单位是指保险标的发生一次灾害事故可能造成的最大损失 范围。 硕士学位论文 危险单位的划分既重要又复杂，应根据不同的险别和保险标的来 决定。其划分关键是要和每次事故最大可能损失范围的估计联系起来 考虑，而并不一定和保单份数相等同，但划分并不是一成不变的。 危险单位划分的恰当与否，直接关系到再保险当事人双方的经济 利益，甚至影响到被保险人的利益，因而是再保险实务中一个技术性 很强的问题。我国保险法第i 0 1 条规定：“保险公司对危险单位 的计算办法和巨灾风险安排计划，应当报经保险监督管理机构核准。 2 1 3 自留额与分保额 对于每一危险单位或一系列危险单位的保险责任，分保双方通过 合同按照一定的计算基础对其进行分配。分出公司根据偿付能力所确 定承担的责任限额称为自留额或自负责任额；经过分保由接受公司所 承担的责任限额称为分保额，或分保责任额或接受额。 自留额与分保额可以以保额为基础计算，也可以以赔款为基础计 算。计算基础不同，决定了再保险的方式不同。自留额与分保额可以 用百分率或者绝对数表示。 根据分保双方承受能力的大小，自留额与分保额均有一定的控 制，如果保险责任超过自留额与分保额的控制线，则超过部分应由分 出公司自负或另行安排分保。为了确保保险企业的财务稳定性及其偿 付能力，许多国家通过立法将再保险的自留额列为国家管理保险业的 重要内容。我国保险法第9 9 条、第1 0 0 条也有类似规定。 f = 损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 2 1 4 再保险的发展 再保险最早产生于欧洲海上贸易发展时期，从1 3 7 0 年7 月在意 大利热内亚签订第一份再保险合同到1 6 8 8 年劳合社建立，再保险仅 限于海上保险。 1 7 、1 8 世纪由于商品经济和世界贸易的发展，特别是1 6 6 6 年的 伦敦大火，使保险业产生了巨灾损失保障的需求，为国际再保险市场 的发展创造了条件。 从1 9 世纪中叶开始，在德国、瑞士、英国、美国、法国等国家 相继成立了再保险公司，办理水险、航空险、火险、建筑工程险以及 责任保险的再保险业务，形成了庞大的国际再保险市场。 第二次世界大战以后，发展中国家的民族保险业随着国家的独立 而蓬勃发展，使国际再保险业进入了一个新的历史时期。 2 0 世纪末，世界各国的保险公司，作为一个独立的经济部门， 无论规模大小都要将其所承担的风险责任依据大数法则及保险经营 财务稳定性的需要，在整个同业中分散风险，再保险已成为保险总体 中不可缺少的组成部分。 2 1 5 再保险的几种情况 从再保险关系形成过程来看，再保险有以下几种情况： 一是再保险的双方都是经营直接保险业务的保险公司( 简称为直 接保险公司，下同) ，一方将自己直接承揽的保险业务的一部分分给 硕十学位论文 另一方。参与分保的双方都是直接公司，前者是分出公司，后者是分 入公司。 二是双方都是直接保险公司，二者之间互相分出分入业务。这种 分保活动称为相互分保，双方互为分出、分入公司。 三是参与分保活动的双方，一方是直接保险公司，另一方是专门 经营再保险业务的再保险公司( 即只能接受分保业务，不能从投保人 处接受直接保险业务) ，前者把自己业务的一部分分给后者，后者则 分入这部分业务。在这种情况下，直接保险公司是分出公司，再保险 公司是分入公司。 四是参与分保业务的双方，一方是直接保险公司，另一方是再保 险公司。再保险公司将自己分入的保险业务的一部分，再分给直接保 险公司，直接保险公司则分入这部分业务。在这里，再保险公司为分 出公司，而直接保险公司则为分入公司。 五是参与分保业务的双方都是再保险公司，一方将自己分入的一 部分保险业务再分给另一方，另一方则分入这部分业务。前者为分出 公司，后者为分入公司。 六是两个再保险公司之间相互分保，即相互转分保。 以上各种分保业务形式，在各种类型的保险公司之间，形成了你 中有我，我中有你，互相渗透，错综复杂，范围广泛的保险经济关系 的网络和体系，使保险市场成为一个不可分割的有机整体。 止损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 2 1 6 再保险的分类 保险公司在经营业务时，依据其资本规模，业务类型，风险偏好 等因素，会将自己所承担的保险责任控制在适当额度内，依据再保险 双方责任划分与限制的不同，再保险可以分为比例再保险与非比例再 保险两大类。比例再保险是指原保险公司和再保险公司共同签订再保 险合同，按照保险金额比例分担原保险责任的一种分保的方法。成数 再保险是最简单也是最常用的一种比例再保险形式。非比例再保险是 指原保险公司和再保险公司相互签订再保险合同，以赔款金额作为基 础分担原保险责任的一种再保险形式。停止损失再保险就是最常用的 非比例再保险。以下来给出成数再保险和停止损失再保险的具体数学 形式： 设x 是原保险公司的责任风险，它为一个非负的随机变量。再设 成数再保险或停止损失再保险存在的情况下，x ，是原保险公司的随 机损失变量，也称为原保险公司的自留风险，以是再保险公司的随 机损失变量，也称为原保险公司的分出风险。 1 成数再保险：原保险公司将每一风险单位的保险金额，按双方 商定的固定比例即自留比例p 确定原保险公司的自留风险和再保险 公司的分出风险。置和x 矗与x 的关系如下： x t = p x ；x r = ( 1 一p ) x ( 2 一1 ) 2 停止损失再保险：原保险公司以固定赔款额度即自留额d ，作 为自留和分保界限的一种分保方式。其置和x 尺与x 的关系如下： 蜀= x ad 叉k = ( x d ) + ( 2 2 ) 硕+ 学位论文 再保险公司支付x 超过白留额的那部分，这就暗示了再保险公司吸收 了超过自留额的那部分风险，从而使保险公司通过限制损失到自留额 有效地避免了潜在的巨大损失。 其次，按照安排方式分类，再保险可分为临时再保险、合同再保 险、预约再保险。 2 2 保费计算原理 一个保费计算原理是一条规则，例如称作万，它把一个实数p 指 定给有分布函数的取值有限的一个随机变量s 。用记号来表示 p = 万( s ) ( 2 3 ) 从数学的角度上讲，保费计算原理万是一个泛函，如果考虑在保 险公司向保险公司收取的再保费，则 p = a ( x r ) ( 2 4 ) 就是分出风险x r 的保费。这一定义的实际解释是：原保险公司的分出 风险为x r ，再保险公司愿意接受这样一份保险合同：原保险公司向再 保险公司支付再保费p = 8 ( x 足) ，而再保险公司对原保险公司承担一 个随机分出风险x 胄。由此定义可以知道，再保险公司从该合同中得 到的收益是p k ，这个收益是随机的，而且显然，再保费p 依赖于 分出风险工尺。 目前许多保费计算原理被提出，用来确定保费的合理水平。如净 保费原理、期望值原理、方差原理、标准差原理、指数保费原理、平 均值保费原理等。下面以分出风险x 足为例列出上述原理。 l l i 损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 1 净保费原理： 2 期望值原理： p = 8 ( x r ) = e ( x r ) ( 2 5 ) p = 艿( ) = ( 1 + p ) e ( k ) ( 2 6 ) 其中p 0 是一个参数。这一参数被称为相对安全负荷。 3 方差原理： p = 万( ) = e ( ) + a v a r ( x r ) ( 2 7 ) 其中货 0 是一个参数。 4 标准差原理： p = a ( x r ) = e ( 以) + f l j v a r ( x r ) ( 2 8 ) 其中 0 是一个参数。 5 指数原理： p = 万( 瓦) = l o g ( e e “x r ) ( 2 9 ) 其中a 0 是参数。这一参数被称为调节系数。 6 平均值保费原理：令v ( x ) 是满足v ( x ) o ，v ( x ) 0 的函数 定义为方程 的解，即 p = 5 ( x 尺) ( 2 - 1 0 ) v ( p ) = 研矿( ) ( 2 1 1 ) p = v - l ( e v ( x r ) 】) ( 2 - 1 2 ) 特殊的，取v ( x ) = e x p ( a x ) ，a 0 ，就可以得到指数原理。 7 分位数原理：令0 s 1 - 6 ( 2 - 1 4 ) 来确定，即p 是使得出现概率最多为s 的最小保费。 8 零效用原理：与净保费原理一样，思路是要收取一个公平的保 费。此时，公平性不是由货币单位来表达，而是更一般的有货币单位 的效用来表示。假定保险公司对一个盈余x ，嘲 x 0 ，它表示盈余越多越好；但是假定“盯( x ) 0 ， 其含义是指同是l 元的收益，其价值当盈余越大时就越小。因此，对 风险x r 的保费p 是由方程 “( x ) = e “( x + p s ) 】 ( 2 1 5 ) 的解得到的。 其中，本文用到的两种原理是期望值原理和指数原理。 按传统的意义讲，一个好的保费计算原理应该具有下面良好的性 质，这些性质主要包括： 1 安全性：对分出风险s ，应有尸= 8 ( s ) e ( s ) 。即分出风险s 的 保费不应该小于再保险公司的平均损失，否则，再保险公司将面临破 产的高危险 2 有界性：对分出风险s ，应有p = a ( s ) m a x s ) 。即保费不应该 止损在保险在v a r 风险度量下公甲门限的确定 超过风险所带来的最大损失，否则，投保人不会投保： 3 协调性：对分出风险s 及常数c ，有8 ( s + c ) = 艿( s ) + 万( c ) 。若 权益增加了一个可加的常数，则这个常数必须加到保费上。直观地说， 当原保险公司投保了分出风险s 及一个确定的损失c ，对于确定损失 c ，其保费应该就是c ，所以s + c 的保费应该是风险的保费再加上 c 。如果不然，原保险公司可以通过在保险市场上买进卖出而获得无 风险利润。这将与无套利的市场原则不相容： 4 可加性：若墨，最为两个相互独立的风险，应有 艿( s + s z ) - - - 万( 墨) + 万( 是) 。即独立风险和的保费是各风险保费的和： 5 平滑性：若s 。，是为任意两个风险变量，应有艿( s ) = 8 1 8 ( s ll ) 。 2 3 风险度量方法 v a r ( v a l u e a tr i s k ) 即“风险价值”，其含义是指在一定概率水 平( 置信度) 下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的 最大可能损失。v a r 风险管理技术是对市场风险的总括性的评估。它 考虑了金融资产对某种风险来源，如汇率、利率、股票价格、商品价 格等基础性金融变量，的敞口和市场逆向变化的可能性。v a r 方法加 入大量可能影响公司交易组合公允价值的因素，比如证券和商品价 格、外汇汇率、利率、有关的波动率以及这些变量之间的相关值。 关于v a r 定义： 1 对于具有连续型分布f ( x ) 的风险x ， v a r x ( a ) = 1 ( 1 一口) = 1 ) ( 2 - 5 ) 硕七学位论文 2 对于一般分布f ( x ) 的风险x ， v a r x ( 口) = i n f x ：s z ( x ) 口) ( 2 6 ) v a r 定义的表达式很简单。如果我们知道某一个风险对应的v a r 值， 那么也就知道了这一风险超过对应v a r 值的概率不会超过口。这样一 来，参数口就可以解释成为一个风险容忍概率。实际应用时，口的值 常常选择5 或小于5 的常数。例如，某公司在其2 0 0 4 年的年报中 披露：2 0 0 4 年的每日9 9 v a r 值平均为3 5 0 0 万美元，这表明该银行可 以以9 9 的概率做出保证，2 0 0 4 年每一特定时点上的投资组合在未来 2 4 4 , 时内的平均损失不会超过3 5 0 0 万美元。通过这一v a r 值与该银行 2 0 0 4 年6 1 6 亿美元的年利润和4 8 亿美元的资本额相对照，则该银行的 风险状况即可一目了然。 这里介绍三种计算v a r 的基本方法：方差协方差法、历史模拟法、 蒙特卡罗模拟法。 1 方差协方差法。它是一种参数方法，因而需要对资产组合的 收益分布做出假设，一般来说假定影响资产组合的市场风险因子服从 多元正态分布。其核心是建立在对资产报酬的方差一协方差矩阵进行 估计的基础之上。在这种方法中，方差和协方差可以通过若干种方式 来获得：第一种是固定加权法，它假定风险因子的协方差与方差在估 计与预测期为常数，因而，就可以利用固定长度的历史数据来计算样 本的方差与协方差并将它们作为总体方差的一个估计。一个无偏与有 效的估计量就是要利用全部数据并对每一个数据做等值加权。这种方 法虽然在计算上很简单，但是这种常数性假定显然与观察到得金融数 止损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 据所提供的经验性结论不一致。因而，有些统计学家提出建议，对历 史数据截尾，并且证明了当协方差矩阵是平稳分布时，这一方法的确 是一个改进。第二种是指数平滑法。它本质上具有着一阶自回归结构。 因此，对能对协方差阵的短期变动做出迅速反应，与此同时，它也可 根据协方差的变化情况，调节平滑系数。第三种是多变量广义自回归 条件异方差模型。由于上面两种方法都未能很好地解决协方差阵的集 聚性，有些统计学家建议使用模型来更好地描述这一问题。然而，在 多元中被估计的参数随着变量的增加而大量的增加，这样就给参数估 计带来了一定的难度，而且参数估计的误差也随着变量的增加而大量 的增加，因此一些学者又尝试给协方差矩阵施加一些约束条件，减少 被估计参数的数量，以降低模型在估计上的困难。 方差协方差法计算简单，只需估计每个资产组合的相关系数和标 准差，就可以算出任意资产组合的v a r 。然而，这种方法是建立在线 性假设和正态假设的基础之上的。而且在实际运用时还要有零均值假 设。然而大量研究表明：实际收益的数据并不关于原点对称；实际收 益率数据分布的尾部要比正态分布的厚一些，因而这种方法会低估风 险。 2 历史模拟法。与方差协方差法不同，历史模型法不是对基本 的市场风险要素的统计分布做假定，而是直接利用历史数据模拟分 布，从而估计的值，其假定是历史变化在未来可以重现。用的最多的 基本历史模拟法就是使用市场风险因子的历史值计算现有的资产组 合的每日损失。这样一来，只要假定在这一计算期上一直持有现有资 硕士学位论文 产组合，从而这些损失值就可以看做是这一资产组合的一组实现值。 接着，再将这组损失值由小到大排序，依据预先选定的概率值，便可 以从这一序列中直接读得v a r 的值。因此，基本历史模拟计算可以分 以下三步完成：( 1 ) 确定基本的市场风险要素，获得根据市场风险 要素表达资产组合市值的公式；( 2 ) 由获得的过去期市场风险要素 的历史数据，计算现有资产组合的损失值；( 3 ) 将损失值按照由小 到大排序，根据给定的概率选择相应的分位点，即为该资产组合的值。 历史模拟法本质上是基于历史数据的经验分布，它无需对资产组 合价值变化的分布做出任何假设。这种方法简单，直观，易于操作。 与此同时，它也有许多的缺陷。具体表现在：第一，历史模拟法不能 提供比所观察样本中最小收益还要差的预期损失。第二，收益分布在 整个样本时限内是固定的，如若历史趋势发生逆转，基于原有历史数 t 据的v a r 就会与预期最大损失发生较大的偏离。第三，样本的大小对 v a r 值会造成较大的影响，并产生一个较大的方差。 3 蒙特卡罗模拟法。蒙特卡罗模拟法与历史模拟法类似。它们的 主要区别是，历史模拟法是利用市场风险要素在过去个间隔期限 被观察到的变化量来对资产组合的损失值做模拟，以生成资产组合的 个假象的损失值；蒙特卡罗模拟法是预先选择一个能近似地描述 市场风险要素可能变化的分布，然后，利用计算机模拟出大量市场风 险要素的假想变化数，接着利用这些假想的变化数构建该资产组合假 想的损失极其可能的分布，从而v a r 就可依照指定的概率确定。使用 蒙特卡罗模拟法的基本步骤可以概括如下：( 1 ) 确定基本的市场风 止损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 险要素，从中获取表达资产组合市场值的公式，这与历史模拟法是一 致的。( 2 ) 对基本的市场风险要素假定或确定一个具体的分布，进 而估计分布的参数。实际操作中，由于多元正态分布易于处理，因此， 在大多数情况下，所挑选的为多元正态分布。当然，风险管理者完全 可以依据他们对市场风险要素未来可能的变化的理解与判断，选择他 们认为合理的分布。事实上，所选分布在很大的程度上也是对历史数 据的一种模拟。( 3 ) 根据选择的分布模拟市场风险要素的个假想 的变化值，接着利用这些数据计算资产组合的损失值。( 4 ) 将这些 损失值从小到大排序，依照指定的概率，就直接可以从这个序列当中 读得v a r 的值。 蒙特卡罗模拟法估计精度高，而且能较好的处理非线性问题，随 着计算机的高速发展，该方法已得到越来越多的应用。但是，该方法 计算量大，而且，当维数高时，传统的抽样技术变得非常困难。 上述三种方法的总体思想是对整个损失分布进行估计，而v a r 是 损失分布的一个高阶分位数，这需要对损失分布的尾部进行比较好的 估计。实际情况是，样本当中极端数据比较少，因而使用蒙特卡罗模 拟法和历史模拟法来获取模拟值，并找出合适的分位点是难以实现 的。对于方差协方差法，也应为正态分布不能较好的描述金融数据的 尾部而常常低估风险。 基于以上原因，下面介绍一种利用极值理论度量v a r 的方法，即 利用广义p a r e t o 模型度量风险。记g ，盯表示广y p a r e t o 分布，其定 义为： 硕士学位论文 f g 舶( x ) = 【 - u 4 1 + 孝等j 靴o 时 呻( 一等) 躲。时 1 广义p a r e t o 模型指的是分布族： g ，仃( x ) i _ o o 7 + o o ，一o 。 犹) ( 2 - 1 4 ) 硕士学位论文 如，= 惫+ 志“ 。( 2 - 1 5 ) 因此，平均超出函数p ( “) 是关于门限“的线性函数。这样就可以 通过样本的经验平均超出函数 咖) = 丽南喜( 置叫+ ( 2 - 1 5 ) 其中，j f i 1 i 刀， “) 表示在 五，扛1 ，2 ，n ) 中比门限“大的 数的个数。 因此，某个门限值“以后的经验平均超出函数趋向于线性时，我 们就可以选取这个值为门限值。 止损在保险在v a r 风险度量下公平门限的确定 第三章保险公司和再保险公司m a r 的关系 考虑一份止损保险合同，这牵扯到投保人，保险公司和再保险公 司三方。首先投保人向保险公司投保，设保险公司面临的风险为x ， 随机变量x 具有连续的分布函数兄( x ) 及密度函数厶( x ) ，其生存函数 及密度函数分别为墨( 工) 与厶( 口) 。为了分担风险，保险公司将其面 临的风险x 的一部分x r 兰( x d ) + 转移给再保险公司，这一部分称为 再保险公司的超出损失随机变量，其生存函数和风险价值和别记为 & 。( x ) 与v a r x l , ( d ，口) 。保险公司自身留下风险为x ，= x ad ，这一部 分则称为保险公司的自留损失随机变量，其生存函数和风险价值和别 记为( x ) 与v a r x , ( d ，口) 。其中，d 称作门限，且d ( o ，o o ) 。与此同 时，保险公司需要向再保险公司交纳一定数量的再保费万。整个流程 如下图： i 投保人一b 保险，公司一争一再保险公司i x 。 图3 - 1 保险公司和再保险公司三方关系 令h ：r 专r ，称h ( x ) = x a d 为保留函数；令k ：r 专r ，称 k ( x ) = ( x d ) + 为补偿函数。显然，它们具有以下三条基本性质： ( 1 ) 五( x ) + 尼( x ) = x ，v x 足 ( 2 ) 0 办( x ) x ，v x r ( 3 ) h ( 0 1 = 0 由于实际当中，索赔额增加都会有助于h ( x ) 与k ( x ) 的增加，从而 硕七学位论文 我们有理由假设函数h ( x ) 与k ( x ) 具有另一条性质： ( 4 ) h ( x ) 与k ( x ) 为增函数 设8 ( d ) 为保险公司向再保险公司交纳的保费，则乃= 五十a ( d ) 为 保险公司的总共损失随机变量，疋= k 一8 ( d ) 为再保险公司的总共 损失随机变量。 定理3 1 ：设投保人，保险公司和再保险公司三方所面临的风险 分别是x ，乃与碌，其风险价值分别为v a r x ( 口) ，v a r t , ( d ，口) ，v a ( d ，口) ， 则 z a p v , ( d ，口) + v a g ( d ，甜) = v a r x ( a ) ( 3 1 ) 证明：考虑到以上h ( x ) 与k ( x ) 的性质，对v 口( o ，1 ) f 。- ，i ( d ，1 一口) fc 露) ( d ，1 一e t ) v a r x , ( d ，口) 一万( d ) ) = p ( 义k 一万( d ) 砌以，( d ，口) 一万( d ) ) = p ( x r v a r x ，( d ，口) ) 从而 妇尺( d ，口) = v a r x r ( d ，口) 一万( d ) 同理可得 v a r r , ( d ，口) = v a r x , ( d ，口) + 万( d ) 综上所述，可得 v a r r , ( d ，a ) + v a ( d ，口) = 呐( 口) 2 0 0 7 年，蔡军在论文( o p t i m a lr e t e n t i o nf o ras t o p l o s s r e i n s u r a n c eu n d e rt h ev a ra n dc t er i s km e a s u r e s 中给出了再 保费采用期望值原理计算时，停止损失再保险在v