（理论物理专业论文）超导金属小粒子的电子磁化率性质.pdf

西南师范大学研究生学位论文原创性声明 秉承我校勤奋、严谨学风，本人申明所呈交的论文是在导帅指导 下进行研究工作所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含在 我校或其他教育机构获得学位论文上的材料，与我共同工作的同事对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 该申请学位论文与资料如有小实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 日期：砂呱、誓。订 西南师范大学研究生学位论文版权协议书 本人完全了解西南师范大学有关保护知识产权之规定，即：研究 生在攻读学位期问所完成的论文的知识产权人单位为西南师范大学。 本人保证毕业离校后，发表攻读学位期间所完成的论文或使用这些论 文中的原创性技术成果时，署名单位为西南师范大学，或在明显位置 标明，该成果是作者在西南师范大学攻读学位期间完成的。学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅和借阅。学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密内容除 外) ，可以采用影印、缩印或其他手段保存论文。 论文作者签名：毒风指导教师签名：憩乞i 奄 日 期：? 口ps 、4 、z s 李凤：硕士论文 超导金属小粒子的电子磁化率性质 学科专业：理论物理 指导教师：陈志谦( 教授) 摘要 研究方向：凝聚态理论 研究生：李风( 2 0 0 2 3 6 8 ) 本文考虑随机矩阵理论中高斯正交系综、高斯辛系综和高斯幺正系综所对应 的电子能级分布和任意两个能级之间的关联，从约化b c s 哈密顿量出发，采用 配分函数的静态路径积分表示方法，计算了 ( 1 ) 常规超导金属纳米粒子正常超导相变临界区域附近的磁化率，得到了量 子效应、奇偶效应、小尺寸效应导致超导金属纳米粒子的磁化率偏离块状超导 体的磁化率的性质曲线； ( 2 ) 强磁场中的超导金属纳米粒子相变区域附近的磁化率特性： 得到如下结论： ( 1 ) 超导金属小粒子所含的电子数奇偶性不同，其电子磁化率是不同的，这与 大块金属有本质区别；低温极限时电子磁化率受能级分布的影响很大；而在高 温时，有大量的电子参与能量配位，磁化率遵循大块金属的线性规律，能级分 布的影响消失； ( 2 ) 对于超导金属小粒子，b c s 磁化率和大块样品一样在转变温度处存在突 变，但在不同的自旋或尺寸下，突变值的大小不一样在低温时磁化率曲线与粒 子的尺寸与自旋有密切关系；在转变温度以后都趋于正常粒子磁化率值； ( 3 ) 外加磁场对超导金属小粒子的磁化率的影响随着磁场的加强而逐渐显著； ( 4 ) 随着粒子尺寸的减小，在相变临界区域热力学涨落越来越重要；而电子数 的奇偶效应在低温乃至相变区域都是重要的 关键词：超导金属小粒子，磁化率，随即矩阵理论，配分函数 2 李凤：超导金属小粒子的电子磁化率性质 e l e c t r o n i cs p i ns u s c e p t i b i l i t yo fm e t a l l i cs u p e r c o n d u c t i v e n a n o - p a r t i c l e s m a j o r ：t h e o r yp h y s i c sd i r e c t i o n ：t h et h e o r yo ft h ec o n d e n s e dm a t t e r s u p e r v i s o r ：p r o z h i q i a nc h e n a u t h o r ：f e n gl i ( 2 0 0 2 3 6 8 ) a b s t r a e t i nt h i s a r t i c l e ，w eo b s e r v et h et h e r m o d y n a m i c p r o p e r t i e so fm e t a l l i c s u p e r c o n d u c t i v en a n o - p a r t i c l e si nt h eg r a n dc a n o n i c a le n s e m b l e ，t h el e v e ld i s t r i b u t i o n a n dt h el e v e lc o r r e l a t i o nb e t w e e nt h ed i s c r e t ee l e c t r o n i ce n e r g yl e v e l sa r ec o n s i d e r e d t oc a l c u l a t et h ee l e c t r o n i c s p i n s u s c e p t i b i l i t yo ft h ee n s e m b l en u m e r i c a l l y t h e q u a n t u me f f e c t ，e v e n - o d de f f e c ta n do t h e r ss p e c i a le f f e c t se x i s t i n gi nt h em e t a l l i c n a n o p a r t i c l e sa l ea l s os t u d i e di nt h i sa r t i c l e w ec a l c u l a t e dt h e s p i ns u s c e p t i b i l i t i e s o ft h e n o r m a ls u p e r c o n d u c t i v e n a f l o 。p a r t i c l e sa n dt h es u p e r c o n d u c t i v ep a r t i c l e si nw e a km a g n e t i s ma tt h ec r i t i c a l t e m p e r a t u r eu s i n gt h es t a t i cp a t ha p p r o x i m a t i o nm e t h o d h a v i n ga n a l y z e dt h em a t h e m a t i c a lr e s u l t ，w ed r a wt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： ( 1 ) f o rt h ed i f f e r e n tm e t a l l i cs u p e r c o n d u c t i v ep a r t i c l e s 谢me v e nn u m b e ro ro d d n u m b e r t h es u s c e p t i b i l i t yi sv a r i e d t h er e s u l ti sd i f f e r e n tf r o mt h eb u l km e t a l i ne s s e n c e a tl o wt e m p e r a t u r e ，t h ed i s t r i b u t i o no f t h ed i s c r e t ee n e r g yl e v e l sh a s i m p o r t a n te f f e c t so nt h es u s c e p t i b i l i t y , a th i g ht e m p e r a t u r e ，t h ec o r r e s p o n d i n g e f f e c t sv a n i s h e sb e c a u s et h ee n e r g yl e v e l sb e c o m ec o n t i n u e s ( 2 ) f o rt h es a m es i z eb u td i f f e r e n ts p i np a r t i c l e s ，t h e yh a v ed i f f e r e n ts p i n s u s c e p t i b i l i t ya tl o wt e m p e r a t u r e a tt h et r a n s f e rt e m p e r a t u r e ，t h e ya l s oh a v e d i f f e r e n ta b r u p tv a l u e s ( 3 ) t h es m a l l e rt h ep a r t i c l e s ，t h em o r ei m p o r t a n tt h ee f f e c to f t h ed i s t r i b u t i o no f t h e e n e r g yl e v e l sa n dt h ee v e n - o d de f f e c ti s k e yw o r d s ：s u p e r c o n d u c t i v en a n o - p a r t i c l e s ，s u s c e p t i b i l i t y , r a n d o mm a t r i c e st h e o r y , p a r t i t i o nf u n c t i o n 李风：硕士论文 绪论 金属纳米粒子是指在组分相在形态上被缩小至纳米程度( 5 1 0 0 n m ) 金属颗 粒，这种新型纳米材料，其原子和电子结构不同于化学成分相同的金属粒子，著 名的理论物理学家、诺贝尔奖金获得者费曼也曾说过：“毫无疑问，当我们得以 对细微尺度的事物加以操纵的话，将大大扩充我们可能获得物性的范围令人 惊讶的是自然界早就解决了这个问题，在基因的某一点上，仅3 0 个原子就隐藏 了不可思议的遗传信息”其独特的结构形态决定了其独特的物理性能 由于金属纳米粒子的尺寸小，可与电子的德布罗意波长、超导相干波长及激 子玻尔半径相比拟，电子被局限在一个体积十分微小的纳米空间，电子输运受到 限制，电子平均自由程很短，电子的局域性和相干性增强尺寸下降始金属纳米 体系包含的电子数大大降低，宏观固定的准连续能带消失了，而表现为分立的能 级，量子尺寸效应( q s e ) 十分显著，这使得金属纳米体系的热、磁、光、电等物 理性质与常规材料不同，而出现了许多新奇的特性 f r 6 h l i c h 最早将宏观金属样品中的所末菲布拉和自由电子模型直接用于金属小 粒子，在对其电子比热进行修正：高温极限下，电子比热是温度的线性函数( 与 常规块体材料相同) ；低温极限下，比热随温度的降低而指数减小，这个结论是 对q s e 的典型说明而上世纪久保及其合作者提出的久保理论史上世纪8 0 年代 之前最有争议的关于金属纳米粒子的理论久保理论包含两点假设：( 1 ) 简并费 米液体假设：久保把超微粒子靠近费米面附近的电子状态看作是受尺寸限制的简 并电子气，并进一步假设它们的能级为准粒子态的不连续能级，而准粒子之间交 互作用可忽略不计，当k t 6 ( 相邻二能级问平均能级间距) 时，这种体系靠 近费米面的电子能级分布服从泊松( p o i s s o n ) 分布： 1 只( ) = 三( a 8 ) ”e x p ( - a 8 ) ( o - 1 ) t ! d f 占：= 翌v 一1 ( o - 2 ) 3 ( 2 ) 小粒子可能包含有奇数或偶数个电子这就要求在正则系综中来处理小粒 子，且在求系综平均时不仅要考虑能级间距的分布，又要考虑粒子大小的分布久 李风：超导金属小粒子的电子磁化率性质 保理论提出后，c a v i c c h i 、h a l p e r i n 、d e n t o n 等人对其做了修正d e n t o n 等人考 虑了正常金属小粒子费米面附近两三个能级分布的统计效应，定性的说明低温下 电子数的奇偶不同比热和磁化率有很大不同而对于超导金属小粒子，其超导电 性和热力学性质与块体超导体也有很大的不同第一，具有确定电子数n 的超 导金属小粒子的低温性质同样依赖于电子数的奇偶性：当n 为偶数时，所有的 电子都可以配对为库珀对：当n 为奇数时，至少有一个电子就算是在零温时也 无法配对为库珀对，因此它具有比偶数电子多出的能量第二，随着粒子尺寸的 减小，涨落效应很明显的显现出来不同于大块样品，在转变温度区域附近，超 导金属纳米粒子的热力学量对平均场值的而言有很大的涨落偏离 本文在d e n t o n 等人所做的工作的基础上，综合考虑费米面上下所有能级的 统计分布效应，奇偶粒子数效应，用配分函数的路径积分形式，在平均场近似和 静态路径近似下对超导金属小粒子的低温和转变温度附近区域的电子磁化率性 质做了详细的研究 李风：硕上论文 第一章金属小粒子的电子特性 对金属小粒子电子性质的研究是对金属小粒子本身特性的了解的一个重要 组成部分在介绍超导金属小粒子的磁化率性质之前，回顾金属小粒子的电子特 性可以加深对超导金属小粒子特性的理解 1 ，1 金属小粒子的电子性质 对金属小粒子的研究，在过去二三十年里一直是一个非常活跃但不太成熟 的领域首先，对金属小粒子样品的制备在技术上要求非常高，这就在实验上限 制了对金属小粒子在各种环境下的性质的研究；而在理论上仍然没有建立起能够 全面解释金属小粒子由于电子性质而表现出来的各种行为尽管如此，实验物理 学家和理论物理学家仍然作了大量的工作“1 1 ，试图了解和解释金属小粒子的性 质和行为 我们队将大量相同的原则放在一起所形成的系统所表现出的无理行为及其 变化尤感兴趣严格地说，将许多铜原子放在一起，它们的行为和一段铜导线是 完全不同的，尽管它们在化学上所含的成分完全一样这就提出了一个问题 如何探索一个系统从单个原子到宏观样品的过程中物理性质的改变这里所说的 金属小粒子仍然包含大量的电子，所以固体物理中的一般方法仍然适用特别是 电子激发中的准粒子概念仍然具有意义从通常的固体物理概念入手，加上由 于系统很小而引入的修正因此，金属小粒子的线度l 通常小于一些内禀长度， 如光波波长九、电子的平均自由程，、超导体的伦敦深度九。以及超导态的相干长 度等 宏观样品由于其线度l 较大( 在量子力学中通常令l 斗m ) ，它的能谱通 常是连续的但对一个包含许多电子的有限体积的系统( 小粒子) ，它具有分离 的能级将一个多粒子热力学系统的能级密度同单个量子力学粒子的能级密度区 别开( 都具有有限体积) 是非常重要的 一般来说，对于一个多粒子热力学系统，整个系统的分立能级间的距离( 也 称为能级间距) 随着粒子数n 的增加而指数减少也就是说，在一个处于热平衡 的封闭系统中，熵s 可以单独表示为总能量的函数“1 统计权重r ( 相应于能 6 李凤：超导金属小粒子的电子磁化率性质 量间隔a e 内的量子态数) 表示为 a f ：p 剐5 ) 用厶r 除e ，我们得到能量e 附近相邻能级间距，用a 留) 表示： a ( e ) = a e e 。 5 ( 1 1 2 ) 因此，熵函数s ( e 1 确定宏观系统能谱的能级密度根据熵增加原理，包含多个 粒子的宏观系统的相邻能级间距会随着其中粒子数的增加而按自然指数减 小显然，如果系统内的粒子数足够大，表面效应相对于体积效应是可以忽略 的因此能定义单个粒子的熵为j = s n 单个粒子的能量密度在概念上是不同 的，它同时也是系统线度( 尺寸) 的函数在这篇论文中，我们只需要关注单粒 子态密度 如果我们将导电电子的单电子哈密顿量表示为金属小粒子中的“准粒子”， 本征值和本征函数由适当的边界条件确定通常，大体积系统的能级由立方体的 周期边界条件得到在自由电子模型中，能级为e = 0 瘢) 2 ( 2 m f ) 给出这里 三是系统的线度，m + 是电子的有效质量，且咒2 = 嚣：+ 嚣：+ 取整数值在费米 能处两邻近能级的间距为a c = 石2 壳2 ( 2 m r ) 可见，对于宏观系统，三- - m ， 能级间距很难分辨出但随着系统线度的减小，特别是当上在纳米量级，能级间 的间距便不能忽略当三为纳米量级时，占为m e v 的量级。 而金属小粒子，其形状的不规则性消除了由于周期性边界条件而产生的简 并费米能处两能级的平均距离为艿= a 6 ( 2 n n ，s ) ( 其中唧= 印，( 瘢) ，p ，是 费米动量) ，因而为费米能处态密度的倒数的2 倍对于体积为v = 三3 包含个 电子的小粒子，考虑自旋简并能级后，我们有“1 ： 8 - = 2 p b ) = 2 万2 壳3 畅，m + ) = 4 0 r o n ) ( 1 1 3 ) 对于金属小粒子，取直径d = 1 0 h m ，用在宏观样品中测得的电子热容线性定 律的，系数，( 1 1 3 ) 公式给出的万= o 1 0 m e v 从( 1 1 3 ) 公式可以看出，当 n = 1 0 4 ，1 0 5 时平均能间距为a k 。= l ，o 。1 k 这些值相当大，因此金属的很 7 李风：硕士论文 多宏观特性在小粒子中仍然适用多年以前就有人注意到。1 1 ，在费米能附近平 均能间距j 大于热能k e t 、塞曼能o 。h ( h 是外加磁场) 、静电能p 姐和辐射 能h c o 时，会发生很多有趣的效应特别是久保的文章。3 激起了对这类问题的理 论和实验探索热潮 1 2 金属小粒子量子尺寸效应 如果一块金属材料的大小到了纳米量级，那么它就会表现出许多与块体材料 不同的性质，比如量子尺寸效应、小尺寸效应、表面效应、宏观量子隧道效应、 库仑堵塞与量子隧穿和介电陷于等在这篇论文中，对超导金属小粒子磁化率有 重要影响的是量子尺寸效应 1 2 1 量子尺寸效应 当粒子尺寸下降到某一值时，金属费米能级附近的电子能级由准连续变为离 散能级的现象和纳米半导体微粒存在不连续的最高被占据分子轨道和最低未被 占据的分子轨道能级，能隙变宽现象均称为量子尺寸效应 早在1 9 3 7 年，f r 6 h l i c h o 就讨论了金属小粒子中的量子尺寸效应 ( o s e ) f r 6 h l i c h 将宏观金属样品中的索末菲一布拉赫自由电子模型直接用于金 属小粒子，再对其电子热容值进行修正今天看来，他的方法似乎不能得到有意 义的结果，但电子的q s e 的基本思想却是很清楚的 大量事实表明，足够小的金属粒子与块状金属所表现出的行为是定性不同 的这就导致一个最重要的问题：到底金属粒子要多小，其内秉性质才会不同于 块状样品? 设想当金属粒子中的原子数逐渐减少，总有一个时刻金属粒子不在表现出块 状样品的行为临界尺寸的最低极限是粒子中只含一个原子然而，对大多数性 质我们不希望发生从原子到块状样品的突变，而是希望得到这些性质为原子数、 周围环境条件、压强及电磁场的函数 要估计这种变化有两种方法其一是从一个单原子开始一个一个地将原子加 上去：再由分子轨道理论计算其电子态、振动模式和电磁性质这个过程需要大 李凤：超导金属小粒子的电子礅化率性质 量的计算通常原子团簇包含的原子数少于1 0 0 ，以得到合理的结果”，但这些 结果的物理意义通常并不明确 因此，我们关注另一种方法：块状固体理论的方法在很大范围内仍用来描述 小粒子，但对其物理模型须作必要的修正显然这种方法对仅含5 到1 0 个原子 的小粒予不能得出正确的结果但如果小粒子是由宏观固体逐渐减小而来且在发 生转变时仍然含有上千的原子数，这种方法仍能得出有意义的信息这就是 f r s h i c h 最早在金属小粒子中使用的方法 根据f r g h l i c h 的方法，我们考虑金属小粒子的电子热容它由测定为了将 电子气的温度提高丁所施加的能量得到电子能级和简并度分别用s 。和表 示则在温度丁相对于基态能量的能差a u 为： 为 d a u = u - u 。= g 。矗厶一g 。占。 ( 1 2 1 ) n = om = o 其中s 。是费米能唧，是费米分布函数： l2 i 砭i 而1 而 ( 1 2 2 ) 为了推出电子热容e = o u o t ，必须知道电子能级巳及其简并度g 。 简单地，能级矗可由包含在边长为上的立方体中的电子气算出单电子能级 岛筹22 = 芸( 舢沁；k 叫，z ， z 3 ) 。= n x l 为标准电子波的波矢，吒矢量的末端在k 空间中t 为正的象限形 成一个简单立方点阵 如果系统中仍有大量电子，在费米能附近的态疗2 = 砰+ 行；+ 疗；是一个大 数大多数的大数可以表示成三个数的平方之和在费米能处，两连续能级的能 差为： 掂旦2 m l , l ( 1 2 4 ) 9 李风：硕土沦文 由于自由电子气的态密度是能量的单调递增函数，又由于能差与能量尢 关，对每个s 。可指定一定的简并度以致总的态数是固定的如果自由电子能级 密度用p p ) 能量的连续函数 表示，n 在c n c + a 6 之间的态数为p g ) s ，只 要s s 由于在f r s h l i c h 的分立能级模型中s 到g + a e 之间的态数为零，态 f 中必须有p - ) f 的简并度，以致态的总数守恒 现在我们用自由电子近似确定g 。在女空间中k 为正的象限从占到f + 占壳 层的体积是： q = 三4 学风 ( 1 2 5 ) 凫3 t 点的密度是( 衫工) 。，因此考虑自旋简并后的态密度由p 0 ) 占= 2 n ( ，r l ) - 3 给出： 刖毒学石 ( 1 z 6 ) 对于连续的能级分布，高于能量占的态为g ) = r p 0 胁而对于分立的 能级分布： 0 ，) = g 。 ( 1 2 7 ) 这里g 。表示能级s 。的简并度必须有： g 。= p 0 。) s ( 1 2 8 ) 作为数量级的估计，对边长为三的立方体我们计算s 和g 。设 s 。：5 e v l = l c m ：占= 4 x 1 0 一”e v ，4 x 1 0 一”k ；g 。= 6 x 1 0 7 工= l o n m ：s = 4 x 1 0 e v ，4 0 k ；g 。= 6 0 卸在两个能级毛和以。的位置由通常的归一化过程确定我们考虑简单的情 况，即卸位于蜀和占一。的中间占。的简并度由p b ) s 给出，( 1 2 2 ) 式的u 变 为： 李风：超导台属小粒子的电子磁化率性质 a u = p 0 。) 驱。 一p 0 。) 岱一。( 1 一正。) ( 1 2 9 ) 由于在k b t 的能量范围内且k 。t “时，厶的值从1 变到0 ，可认为 p 0 ：。) = p 0 ，) = 常数( 1 2 1 ) 式的第一项为温度t 时电子的能量；第二项为热 激发前电子的能量利用 = 1 一f 。以及激发的电子数等于留下的空穴数，可以 得到： 占p 0 。) ，：，= s ，。) ( 1 一正。) ( 1 2 1 0 ) 并用 我们得到 f i n - - 6 e f2 o ： ( 1 2 1 1 ) 钆一卸= 一0 一舢占 “ 2 如m 2 。委确禹云爹而 ：1 2 ) 立即得到电子热容： c , = 2 p k x 引。荟万。司目( 而- 9 ( 1 2 1 3 ) f r s h l i c h 讨论了( 1 2 1 3 ) 式的两个极限：占 七日丁在我们的 估算中，第一个相当于t “1 k 的宏观块状金属 由于( 1 2 1 3 ) 式的费米函数在k 丁内变化不大，在高温极限下，求和可用 积分代替如果我们引入新的变量f ，让f = 0 一 ) 叫k t ，则由 o o t = ( o f a t ) a o 手= 一b 一 ) 刀2 ) a 鸳，可得 e = _ 2 p 碡r 2 面0 而1 = 3p 坨丁( 1 2 1 4 ) 当占 k s t 时，情况大不一样如果占很大，费米函数在第一激发态中不 会只激发一个单电子注意，在( 1 2 1 3 ) 式中只有一= 1 的项有较大贡献： c , z - 2 以，x s ) 2 刍孑南z 以，) 等e 刮b 7 ( 1 z ) 李风：硕士论文 可见，热容随温度的降低而指数减小这是对量子尺寸效应的典型说明 对以上结果需作一些讨论： 使得q s e 参量石= s 肚。t 足够大( x 1 ) 的条件是什么? 显然，对于给定的温 度，立方体的尺寸必须尽可能小在f r 6 h l i c h 的模型中，根据( 1 2 4 ) ，可以得到 占l 2 另一方面，对于给定的三，温度必须足够低对于t * l x ，l 必须相当 小( l o n m ) ：因此说q s e 发生在相当小的粒子中然而必须指出，并不是三本身， 而是x = 彰k 。t ( 1 k 丁x 1 r ) 才是决定性的量 能级的高度简并以及常数能间距a e 过分简单因而是不现实的模型即使在 自由电子模型中，能级s 的实际分布将通过小粒子形状的不规则性产生的边界 条件反映出来标准的立方体形状在实际中是不存在的另外值得指出的是，在 f r j h l i c h 的模型中平均能间距对粒子限度的依赖关系g 1 r 并不总是成立的 在很多情况下，s l y 1 上3 表面性质被忽略了尽管表面态的存在已得到公认，并在一定程度上会扩展 到小粒子的内部当前，对表面性质的研究是非常重大且十分活跃的领域，但将表 面性质带进小粒子会增加无限的复杂性 电子能级的宽度被忽略了，这意味着激发态的寿命是无限的在块状固体中， 不同的散射机制使得能级展宽在q s e 区域，能间距的有限值占使得散射的作用 小于块状情形的由于散射引起的展宽与s 相比很小，否则，能谱的分离性便表 现不出来 1 2 2 能级的泊松分布 如同f r 6 h l i c h 的处理一样，邻近能间距随着粒子尺寸的减小而 增加这个基本事实作为久保处理金属小粒子电子性质的基本出发点，屏弃等 能间距概念后还需作一些新的、较为现实的假设 最重要的一点是关于能级结构久保强调，小粒子形状的不规则性使得 f r 6 h l i c h 用来确定边界条件的完整立方体模型不再适用由于不能确定小粒子的 形状，久保用一个统计分布来替换( 1 2 3 ) 式这里要用到一个重要的结论，即边 界条件对波动方程本征值的渐进密度的影响这个问题是由h w e y l 解决嘲的它 李风：超导金属小粒子的电子磁化率性质 表明，具有大指数( 用量子力学的语言来说，是高”量子数”态) 的本征值密度 不依赖于所解波动方程区域的形状；类似地，不依赖于边界条件的确切性质具 有大量子数的本征值密度仅是体积的函数结果，在比能间距大得多的能量间隔 内，态密度p 伍) 完全不依赖于边界条件因此，用周期性边界条件可得： p ( e ) = 号s f ( 1 2 1 6 ) 是金属小粒子中的电子数能级是简并的 f r 6 h li c h 曾假定能级是等间距和高度简并的久保在更现实的处理中假定 能级是随机分布的这意味着能级坐标被分成小的间隔： j = 2 p ( s ，) = 拇 ( 1 2 1 7 ) 其中万为两能级的平均间距( 这些能级仅是自旋简并的) 没一个间隔都具有 相同的( 含一个能级的) 小几率根据统计力学，相邻能级间距遵从柏松分布： p ( ) = p 一妒( 1 2 1 8 ) a p ( m 移是在( ，a + d a ) 内从一个能级出发找到最近邻能级的几率( 如图 1 1 ) 这种分布不同于f r & h l i c h 模型中常数s 的等能间距分布 岔 习 甚 图1 2 1 单电子能级的泊松分布 f r s h l i c h 的睇1 r 和久保的醣1 r 的差别可以用数值表明对边长为 1 0 纳米包含大约6 l o 个原子的金立方小粒子( 其电子浓度为 5 9 x 1 0 2 8 m 一3 ) ，6 f = 3 6 x 1 0 4 e v = 4 2 k ，而6 k = 0 6 x 1 0 _ e v = 0 7 1 ( 李风：硕- 上论文 当a = 0 时，p ( ) 取最大值表明在随机分布中，能级互相吸引，导致偶然 简并 久保提出的另一个更深入的概念是小粒子可能包含奇的或者偶的电子数这 个概念基于纯粹的静电学：在真空中对一个直径为d 的球体充上e 的电量需要的 能量是9 2 2 腮。d 这个电荷只可能来自温度为7 的周围介质因此，当 k b7 1 ( 1 0 。e v ，在l k ) p2 2 a g 。d ( 1 0 e v ，对于d = 2 0 们) ，一个电子被小粒子 俘获的几率非常小，电荷涨落几乎不可能由于小粒子处于它的最低能态，当总 电荷等于零时，低温下的小粒子是电中性的 由于不存在电荷涨落，必然有包含奇电子数和偶电子数的小粒子并且，后 来证明，这两种小粒子表现出许多不同的性质后来绝大多数关于金属小粒子的 工作都采用了久保提出的奇偶性概念 原理上，久保对于小粒子的热力学性质的计算是直接的然而，对前面所提 到的小粒子的性质我们仍须小心谨慎 电荷守恒( 即电子数奇偶性的存在) 使计算变得相当复杂，因为关于小粒子 的所有参量都必须放在正则系综中已经证明，含奇电子数和偶电子数的金属小 粒子在q s e 区域中表现出的行为有很大的差别而通常使用的巨正则系综由于含 有电子数的涨落而不能继续使用在简并费米气体模型中，涨落可表示为 研= 警驴矿 z 对线度为1 0 纳米和电子密度为1 0 2 9 肼- 3 的小粒子。( ，) 2 * 1 ，这个数相对于 总电子数n “1 0 5 来说，不值一提然而，不同于传统的统计力学，在金属小粒 子中，重要的不是相对涨落( ) 2 ，而是中一个电子数的绝对变化换言 之，一个小粒子包含1 0 0 0 0 或1 0 0 0 2 个电子并不重要，但是包含1 0 0 0 0 和包含1 0 0 0 1 个电子的小粒子其行为就非常不同了 进一步，在对系统求平均的过程中，能级分布函数( 1 2 1 8 ) 式必须计入，即 使所有的粒子都有相同的尺寸当小粒子的尺寸变化时，还须对尺寸分布求平 均这里，小粒子的尺寸由( 1 2 1 7 ) 式给出的占值表征 1 4 李风：超导金属小粒子的电子磁化率性质 在高温极限下( 8 k 。t 1 ) ，仅有高于卸的少数能级( 大约2 或3 个) 被占 据因此，配分函数对郎周围几个单能级的依赖性很强；平均能间距d = 2 p ( , ，) 和能级分布变得很重要电子数的奇偶性效应使得含奇数个电子的小粒子和含偶 数个电子的小粒子的行为产生很大的差别 在零磁场中，久保( q s e ) 的结果为： c 。= 1 6 5 4 日7 p - ，) c e 。= 2 s n k ；r p ( , ，)( 8 k d ，日_ o ) ( 1 2 ( 1 2 忽2 2 a 6 ； 在低场极限下斜j 】 ， 1 ，驯占 l ，。8 日卢 1 ) ： 肼。= 2 p 。p ；h 6 + 扣。【l + e x p ( - 4 地i z 口日6 ) 】 吖一= 2 p 。p ；h a 一 如 1 + e x p ( - 4 p o p 。h 8 ) ( 1 2 2 3 b ) 0 2 2 4 a ) 0 2 2 4 b ) ( 1 2 2 5 a ) ( 1 2 2 5 b ) 李凤：硕士论文 不同于f r s h l i c h ( 1 2 1 5 ) 式的结果，泊松能级分布的电子热容是温度的线 性函数和块状材料相比，它的值减少了大约三分之一更新的性质是泡利自旋 顺磁性具有奇电子数的小粒子在低温下的行为其磁性质由占据态上的自由电子 的自旋确定( 这个态在h = 0 时仅是自旋简并的) 更有趣的是，z 一永不消失， 即使形。t j 。这是泊松能级结构的结果在泊松分布中，能级是互相”吸引” 的：能间距越小，发生的几率越大因此，对任意的吖k t 值，都有可能找到能 间距为 l 下进行的de n t o n 、m a h l s c h e g e l 和s c a l a p i n o “”用等能间距模型计算，以考察高阶( 彰k t ) 项的影 响，证明了仅当条件形k t 1 0 满足时，仅含( 叫k 丁) _ 1 项的低阶近似才成立 1 6 拿凤：超导金属小粒子的电子磁化率性质 第二章随机矩阵理论简介 随机矩阵理论3 ( r a n d o mm a t r i c e st h e o r y ) 是在对核物理在研究中形成和 发展起来的一种新的理论研究方法尤其在过去的半个多世纪中，随机矩阵理论 得以迅速发展，并成功地运用于核物理、凝聚态物理及量子混沌和无序介观系统 等诸多方面而且随机矩阵理论中的高斯正交系综、高斯辛系综和高斯幺正系综 几乎能描述所有的金属小粒子 2 。l 随机矩阵理论的形成和发展 在慢中子共振的实验中，核物理学家对不同的核得到大量的激发谱。在 不同的能量位置上峰具有不同的宽度和高度在这种能谱图形中，峰的位置对应 于原子核的能级，其高度称为跃迁强度其基态和低激发态可用独立粒子模型进 行较为成功的解释这种模型假设核子可以在平均势阱中自由移动“”随着激发 能的增加，越来越多的核子被甩出，这种近似处理方法便越来越不准确在较高 能量的激发中，核态非常稠密，此时要解释单个态的性质就显得无能为力但如 果我们抛开这类问题而去试图了解所有态的整体性质，所面临的问题就简单多 了 不同能级的平均行为在研究核反应时非常重要事实上，核反应大体上可分 为两大类：快反应和慢反应在第一类中，典型的反应时间与入射核通过靶核的 时间具有相同的数量级入射核的波长远小于核的线度：入射核处在靶核的中的 时间非常短以致仅和靶核中部分核子发生相互作用结果入射核与出射核间具有 较强的干涉作用在慢反应中，反应时间比快反应中大两到三个数量级此时入 射核在靶核中被俘获，其能量和动量交予靶核中其它的核子进行重新分配，和靶 核融为一体形成一个中间过程的复合核( 记忆消失) 最后，复合核分解成出 射核和剩余核“” 在慢反应中，大量复合核的能级被涉及在核反应中因此，研究它们的平均 性质( 比如核子分布、能间距等) 就变得越来越重要因此必然会导致种新的 统计理论的产生在以后的讨论中，我们主要关注核能级的平均性质( 如能间距、 能级关联函数和最近邻能级分布) 1 7 李风：硕土论文 根据量子力学，一个系统的能级通常由被称为哈密顿量的厄密算符膏的本 征值描述一个系统的能级通常包含连续和分离的能级部分系统的哈密顿量应 当具有相同的本征值结构，因此可以在有限希尔伯特空间中进行处理由于我们 只对于不同量子系统的分离能级部分感兴趣，所以我们用个有限维空间来近似 这个希尔伯特空间在此空间中选择一个适合的基，用有限维矩阵表示哈密顿 量如果解本征方程， 黜l = e 鼍 将得到系统的所有本征值和本征函数，且原则上任何物理信息均可由此得 到但是在核物理中，这样做所带来的困难是不可想象的，首先是不知道体系的 哈密顿量；其次，即使知道了哈密顿量，要解本征方程也太难 因此，从一开始我们就将对疗与一般对称性一致的统计假设，选择一套完 整的函数作为基底，将哈密顿量疗表示为矩阵，其矩阵元为随机变量( 其分布 受到将加于算符系综对称性质的限制) 因此所要考虑的问题变成从本征值的行 为得到信息“统计理论不会预示任何核详尽的能级细节，但它会描述整体概貌 和能级结构的不规则程度”“我们将复杂的核系统视为具有大量按未知定律相 互作用的粒子的黑箱如同在正统的统计力学中，我们将考虑一个哈密顿量系综， 其中每个哈密顿量描述一个不同的核因此在逻辑上强烈预示着，尽管在数学上 还未得到严格证明，系综平均能够正确描述一个所考察的特别系统的行为”“” 魏格纳早指出这种假设意味着一个简单能级序列的局域统计行为等同于随 机矩阵的本征值一个简单序列是指所有具有相同的自旋、宇称和严格守恒量的 那些能级将其相应的对称性要求加于其随机矩阵上它的矩阵元是随机的，即 呈高斯分布，除此而外对矩阵没有其它的限制p o r t e r 和r o s e n z w e i g “”最早在 此领域开始分析由h a r v e y 和h u g h e s 侧以及r o s e n “”得到的核实验数据以及由 m o o r e “o 得到的原子数据他们发现在简单序列中两能级互相靠拢的情形非常罕 见从理论上戴逊发现一个不可约化的在对称群g 下保持不变的矩阵系综必须属 于三类中之一，他命名为正交系综、辛系综和幺正系综 李风：超导金属小粒子的电子磁化率性质 图2 1 1 某些典型的能级序列( a ) 能级问无关联的随机分布：泊松分布： ( b ) 质数序列；( c ) 来自“d 的慢中子共振能级；( d ) 粒子的西奈能级序列； ( e ) r i e m a n n - z e t a 函数在r e z = 线上的零点；( f ) 等能间距序列 能间距它是能级统计理论中要描述的重要参量之一让能级密度为已知的激 发能的函数，并在e 处考虑能级间隔e ，这个能级间隔同e 相比非常小但仍然 包含大量能级，即e e j 这里j 为平均能间距在此能量间隔中能级如 何分布是我们所关心的问题在图2 1 1 中给出一些能级系列的例子在所有的 情形中，能级密度都先被认定是相同的，即在所有的情形中平均能间距定为一在 图2 1 1 ( a ) 中，当能级间不存在关联时( 即泊松分布) ，有两个甚至三个能级的重 合：在图2 1 1 ( e ) 中，能间距或多或少有些近似相等而在图2 1 1 ( b ) 、( c ) 和( d ) 中的情形既不同于规则分布( 等能间距分布) ，也不同于无关联的完全随机的泊松 序列 与能级统计理论相类比起来，统计力学描述系统的总体性质，而且这个系 统通常包含大量的粒子由于粒子的数量非常大，系统随时间变化的精确过程是 无法确定的，尽管粒子间的相互作用是已知的统计力学给出系统的总体平均性 质，如象压强和温度等 而对于小粒子，电子的激发在小粒子中形成简并费米气体，它们相互作用这 种互作用非常复杂因此，电子系统的哈密顿量也非常复杂要求出哈密顿量的 能谱，即单电子近似的定态是非常困难的 如果实的哈密顿量由可解的本征方程合理地近似替代，系统的低激发态能够 求得然而，对于我们所感兴趣的高能量( ，附近) ，随着能量的增加扰动对能谱 的影响越来越来大这些扰动很复杂也是未知的，哈密顿量的本征函数便不能求 至量兰量耋圣喜三至喜。量三ll|量薹耋薹寻 喜塞圣蚕量兰詈蚕一。 三量圣重茎三茎争圣莹量三耋三。量圣圣詈重亍 车风：硕士论文 得因此，如同在核物理中一样，引入能级统计的概念，以期得到能级的总体性 质，比如能级本征值的几率分布 为了说明”已知”量和”未知”量的相互作用，我们从统计力学过度到能级 统计在表1 1 中，给出了传统统计力学与随机矩阵理论的比较 表2 1 1随机矩阵理论与传统统计力学的比较 统计力学随机矩阵理论 系统的态t p ，q 未知 系统内的互作用未知 对互作用作统计假设 对态的分布及其相空间中的占有作统计假 希望求得能谱的总体性质，特别 设 是能量本征值的几率分布 希望求得系统的总体性质：p ，t 等 电子在金属小粒子中的互作用是非常复杂的哈密顿量h 的具体形式通常 不能由能谱给出但是，我们知道，哈密顿量可能具有某些对称性质下面我们 对哈密顿量的对称性进行讨论。在希尔伯特空间中，哈密顿量可表示成厄密矩阵 h ： h = h + = 厅+ ( 2 1 1 ) 日+ 是厄密共厄矩阵，由转置矩阵膏的复共厄得到如果不存在时间反演不 变性，对哈密顿矩阵日是一无所知的( 除了知道它是复厄密矩阵) 幺正变换为： u + u = 域u + = u 。1 ( 2 1 2 ) 除了厄密性，还可以考虑哈密顿量的其它不变性( 列于表2 1 2 ) 空间变换 不变性导致动量守恒；时间变换不变性导致能量守恒我们的任务是，在不同对 称性质的组合下分析哈密顿量的结构 表2 1 2 哈密顿量的对称性质 不变性 守恒量 空间变换总动量 时间变换总能量 空间反演宇称 空间转动总角动量 让我们先考察时间反演不变性时间反演算符f 是反幺正的，可以表示成幺 李风：超导金属小粒子的电子磁化率性质 正算符u 和复共厄算符k 之积：t = u k 如果哈密顿量中不包含自旋项，选择 适当的基底，u 可以是单位算符： t = k 。t 2 = k 2 = i 当哈密顿量中包含自旋时，u 的选择由总角动量算符i ，的性质确定从 t j t = 一，可知： t = i c r y k = e x p ( i 玎s y h ) x 丁2 = z 盯，k i k = ( 三： ( 二： k 2 = 一， 2 1 3 其中s 是白旋算符，c r 。是泡利自旋矩阵f f i ：j z n 个自旋： t = e x p ( i t r z s 。肛皿 t 2 = + ， ( 2 1 4 ) r 2 = 一 当r 2 ：+ ，时，u 可被对角化；选择一个基底，以致r = 世。“ 时间反演不变性以及h 的厄密性一起给出： 日= 珏! 。馨 ：h ，h ：青 h = h + = h 。j 因此，哈密顿量是实的和对称的的这种对称性质在正交变换o 下保持 不