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矩阵特殊积不等式 任林源 摘要由于自然界存在着大量的不等关系，具体地反映在数学领域，就表现为 不等量关系的领域要比等量关系的领域要大的多，所以，从某种意义上讲研究不 等式要比研究等式具有更大的用处而矩阵理论，它不仅是数学的一个重要分支， 而且也已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具 【1 1 - 在矩阵理论中，也有大量的不等关系，很多作者科用各种方法得到了大量有 用的矩阵不等式矩阵特殊积在矩阵理论的研究和计算方法中都有着十分重要的作 用，如矩阵的k r o n e o k e r 积在系统控铡等工程领域对线性矩阵方程韵求解，其它如 矩阵的关于k h a r t i r ，a o 积和t r a c y - s i n g h 积的不等式在经济学模型和统计学模型 的大量应用，都说明了研究矩阵特殊积不等式具有重要的应用意义 张复真教授在文献【2 中，利用一个含有矩阵k r o n e o k e r 积的不等式，通过变换 于一些系数和矩阵，从而得到一系列的已知的矩阵不等式。我们通过对这个不等式 中的符号的互换从而得到一个定理，对这个定理结论中系数和矩阵的不同取值， 进而得到另外些已知矩阵不等式，这便是我们第一章中的内容，在以上所述的矩 阵不等式中，矩阵的逆是在普通意义下的逆，逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有 意义早在1 9 2 0 年e h ，m o o r e 提出了广义逆矩阵的概念。由于广义逆矩阵在数 理统计，系统理论，优化计算和控制论等许多领域中的重要应用逐渐为人们所认识 【l 】因而我们考虑，是否在矩阵广义逆的情况下，上述矩阵不等式也成立7 是否也 可得到另外一些含有广义逆矩阵的不等式呢? 我们在第二章中，在将a l b e r t 定理 推广到复矩阵的基础上，得到另外的几个含有广义逆矩阵的矩阵不等式+ 对分块矩阵而畜。c gk h a t r i ，c r r a o ，( 1 9 6 0 ) 和d s t r a c y ，r ps i i l g h ( 1 9 7 2 ) 分别引入了矩阵的k h a t r i - r a o 积和t r a c y s i n g h 积矩阵k h a t r i r a o 积可看作是 矩阵h a d a m a r d 积的推广，在文献【3 , 4 ，5 ，6 】中得到广泛的讨论和应用；而矩阵的 t r a c y - s i n g h 积可看作是矩阵k r o n e c h e r 积的推广”1 在第一、二疆中，由矩阵的 k r o n e c h e r 积褪h a d a r m a r d 积的关系式a ob = z ：( a p b ) 瓦，由个统一的矩 阵不等式得到一系列已知的矩阵不等式，那么在第三章中，我们由文献9 1 ，矩阵的 k h a t r i - r a o 积和t r a c y - s i n g h 积的联系公式 m 园n = z ：( m 闻n ) z a i 可以利用它得到很多的包括这两种积的矩阵不等式，这些矩阵不等式在统计学中， 得到了比较广泛的应用作者l i u 在文献 9 1 中得到了以下几个含有k h a t r i r a o 积 的矩阵不等式t m 7 1 国n s 嵴( m 国) ， 膨翻一( m 一1 厨n 一1 ) 一1 ( 、酉一、，瓤) 2 i ， ( m 国) 2 m 2 团n 2 ， 形如，以上不等式的关于矩阵h a d a m a r d 积也有类似的结论f 川，在本文中，我们给 出了这些不等式的另外一种证明方法 在矩阵论中，向量之间的比较，通常是通过优化式来实现的，c h h a r d 、r ， j h l i t t l e u o o d 和c p o l y a 首先接触了这方面的内容【l l 】，t a n d o 在这方面作了大量 的工作。得到了一系列的结果而i s c h u r 在1 9 1 1 年经典的论文f 1 5 】中，获得 几个很有用的关于矩阵h a d a m a r d 积的特征值不等式当矩阵是具有合适阶的分块 阵时，便可得到类似的含有矩阵k t - a t r i - r a o 积的不等式； 2 恕a t ( 1 4 “) h m ( 口) a 嘶n ( a a b ) = 入商n ( b 回a ) s m 酞( b 团a ) = m a x ( a 团b ) 曼畏怒 m a x ( a “) 入m “( b ) 当我们考虑a ，b 是半正定h e r m i t e 方阵时，还得到了一些优化不等式 关键词：矩阵不等式，h a d a m a r d 积，k r o n e c k e r 积，k h a t r i r 和积，t r a c y s i n g h 积 i i i n e q u a l i t e so f m a t r i xs p e c i a lp r o d u c t r e nl i n y u a n a b s t r a c t ：t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e sam a t r i xi n e q u a l i t yo n t h ek r o u e c k e rp r o d u c tt h a tu n i f i e st h ep r o o f so fm a n ye x i s t i n gi n e q u a l i t e si nt h el s w n e rp a r t i a lo r d e r i n g o nt h es u m ，o r d i n a r yp r o d u c ta n dh a d a m a r d ( s c h u r ) p r o d u c t i ns e c t i o n1 f o re x a l n p l e ，t h ef a m o u sh a y n s w o r t h si n e q u a l i t y c a nb eo b t a i n e df r o mo u r g e n e r i ci n e q u a l i t y o u rm e r i t si ny i e l d i n gav a r i e t yo ri n e q u a l i t e sb yd i r e c t l yc h o o s i n gd i t l e l e u tm l m b e r s a n dm a r r i e si nt h ei n e q u a l i t y s c l m rc o m p l e m e n t ss e r v e sa st h eb a s i ct 0 0 1 t h e nw e u s et h es a m ew a yt og e ts o m em a t r i xi n e q u a l i t i e si nt h em o o r e p e n r o s ei n v e r s ei n t h es e c t i o n2 f o rp a r t i t i o n e dm a t r i c e s ，k h a t r i r a oa n dt r a c y s i n g hp r o d u c tc a n b es e e nt h eg e n e r a l i z e dh a d a m a r da n dk r o n e c k e rp r o d u c te a c ho t h e r ，r a o ，k l e f fa n d l i uh a sr e c e n t l yg o ts o m ei n e q u a l i t e so fp a r t i t i o n e dm a t r i c e si n v o l v e dk h a t r i r a o p r o d u c t t h ek i n do fp r o d u c ti sm o r eu s e f u li ne s t i m a t i o na n dh y p o t h e s i st e s t i n g i nl i n e a rt i m es e r i e sr e g r e s s i o n sw i t hu n i tr o o t sa n dl i m i t e di n f o r m a t i o ni n & x i n i u l u l i v e l i h o o de s t i m a t i o nf o ra n a l y s i so fs u r v e l yd a t a w eg i v e sa n o t h e rp r o o f so ft h e s e i n e q u a l i t i e si n v o l v i n gk h a t r i h a op r o d u c to fp a r t i t i o n e dm a t r i si ns e c t i o n3a n dw e g e ts o m ei n e q u a l i t e so fm a j o r i z a t i o no ft h eh a d a m a r dp r o d u c t k e yw o r d s ：l n e q u a l i t yo fm a t r i x ，h a d a m a r dp r o d u c t ，k r o n e c k e rp r o d u c t ， k h a t r i r a op r o d u c t ，t r a c y s i n g hp r o d u c t i i i 引言 矩阵理论在现代科学技术中的重要性得到广泛的认同【1 1 而关于特殊矩阵 积的不等式是矩阵论中的一个重要研究方向对于矩阵h a d a m a r d 积的不鼍式， i s c h u r 在1 9 1 1 年的论文中，证明当矩阵a ，b 是半正定矩阵时，则a ob 也是 半正定矩阵自此以后，很多作者，如b e l l m a n 1 9 7 0 ) ，d a v i s ( 1 9 6 2 ) ，b a p a t s l l n d e r ( 1 9 8 5 ) ，o n g ( 1 9 8 4 ) ，就将这种元索与元素相乘的矩阵积称为s c l n n 积，而由于 p ，h a l m o s 第一次在文章f i n i t e d i m m l s i o n a l v e c t o l s p a c e s 中将这种积叫做h a d a m m ( 1 积，所以这种叫法更为普遍，i s c h u r 在那篇文章中，得到了半正定矩阵h a d a m a r d 积关于其特征值、谱范数等的不等式1 9 5 2 年，t o y a m a 首先证明了ao 3 是 a 圆b 的顺序主子阵这个重要事实从此以后，很多作者利用各种方法，得到很多 关于h a d a m a r d 积的不等式如1 9 7 9 年，t ，a n d o 利甩矩阵k r o x m e h e r 积得到一 些关于h a d a m a r d 积的不等式，通过很多作者的努力，关于h a d a m a r d 积的矩阵不 等式的结果相当多，如关于特征值、范数、述、奇异值等等张复其教授在文【2 1 中，利用s c h u r 补这个工具，得到一个矩阵不等式，进而通过些系数和矩阵的不 同取值，得到了一些已知的关于h a d m a r d 积的不等式c e o r g ev i s i e k 也做了这方 面类似的工作1 1 5 】，他是利用h a d a m a r d 积和k r o n e c k e r 积之间关系的联系桥梁一 选择矩阵的性质来推导出一部分已知的矩阵不等式我们通过一个定理的结论，进 而得到另外一些已知的矩阵不等式，这是本文第一部分的内容 我们考虑，当矩阵的逆是广义逆时，是否可以也能得到类似的一个定理，在第 二章中，我们利用a l b e r t 定理，得到了一个定理，进而通过对一个不等式中系数与 矩阵的不同取值，得到一些含有广义逆的矩阵不等式，进而得到几个的含有广义逆 的矩阵不等式 作者c a k h a t r i ，c r ，r a o 和d s t r a e y , r ps i n g h 于1 9 6 8 年和1 9 7 2 年分别引 入了分块矩阵的k h a t r i r a o 积和t r a c y s i n g h 积，这两类矩阵积在统计学中得到了 广泛的应用 k h a t r i r a o 积和t r a c y s i n g h 积可分别看作是矩阵h a d a m a r d 积和 k r o n e c k e r 积的推广1 2 8 】。在1 9 8 8 年，作者r a o 和k l e f t e 在文献f 2 4 中，证明了一些含 有k h a t r i r a o 积的等式作者s h u a n g z h el i u 也得到一系列含有这种积的结果如在 文献1 9 j 中得到的形如：m - 1 圈n 一1 糕( m 图) ，m n n 一( m 一1 图n 一1 ) 一， ( v 石一、天d 2 i 和( m 回) 2sm 2 团n 2 等等的不等式我们利川知：k i 呲t l i _ ii i ， 积和t r a c y - s i n g h 积的联系公式， m 囡n = z ；( m 嗣) 玩，进而给出了这些结果的 另外证法，进而得到另外一些已知的矩阵不等式， 当矩阵是具有合适阶的分块矩阵时，得到类似s c h u r 定理中的关于矩阵k h a t r i - r 加积的特征值不等式： 1 r a 连i n ，k ( a i ) a m t t ( a 图b ) = a “n ( b 图a ) = 入m “图a ) = k “( 县回a ) = a m 一( a 回b ) 攫麓a m 一( a ，) a m “( b ) - 矩阵论中，向量的比较，通常 是通过优化不等式的比较实现的，我们考虑，当a ，b 是半正定h e r m i t e 矩阵时， 从面得到一些优化不等式 2 第一章一些关于h a d a m a r d 积的矩阵不等式 矩阵的h a d a m a r d 积和k r o n e c k e r 积在统计学和经济学中有着广泛的应用，很 多作者利用各种方法得到大量的含有h a d a m a r d 积的矩阵不等式在文献【2 中，作 者利用分块矩阵的s c h u r 补，得到一个含有k r o n e c k e r 积的矩阵不等式，并通过变换 一些系数和矩阵，从而用一个不等式统一了一些已知的矩阵不等式如a 。x ) o ( y + b 一1 y ) ( xo y ) ( ao 口) - 1 ( x 。y ) f ，a a o b b + ( ao b ) ( ao b ) + 1 5 】等 等作者c e o r g ev i s i c k 也通过h a d a m a r d 积与k r o n e c h e r 积关系之间的选择矩阵的 性质也推导出这些矩阵不等式【1 5 】下面。我们通过另外一个定理，得到一个含有 k r o n e c k e r 积的矩阵不等式，进而得到另外一些形如( 1 a 1 2 + l 口1 2 ) o ( 1 g 1 2 + ! d1 2 ) ( i a + 口1 2 ol g + d 1 2 ) 的矩阵不等式 1 1 定义和引理 设g “表示m 礼阶复矩阵，如果m c “，用【肼】a ，4 表示矩阵彤的行 为列为芦的子矩阵当a = p 时，简记为【m 1 ，其中o n ，2 ，m j ，f 9 l ，2 ，n ) 当然，如果矩阵m 是方阵，则f 肘】表示m 的顺序主子阵设理= o t ，蠢 ( 1 ，2 ，托) s 口表示m 阶元素为1 或。的矩阵，其中s 。的第 j 行中位置在0 处的元素为1 ，其余位置上的元素为0 ，显然有i m 。，p = & m ，其 中表示岛的转置矩阵 如果对任意向量$ 伊“，有矿a z 0 ，则称a 为半正定矩阵，a + 表示矩 阵a 的共轭转置阵当a l = a 时，则称a 为h e r m i t e 矩阵，如果a 和b 是两个 同阶的h e r m i t e 矩阵，且a b 0 ，则记作为a 兰b 下面我们先给出几个矩阵特殊积的定义， 定义1 1 1 设矩阵a = ( a i j ) c “，b = ( b 。j ) c p “，则称如下的矩阵 a 圆b = 为矩阵a 与矩阵口的k r o n e c k e r 积 3 地 叩 b 日 b 删掣一 口口 b 掣， b 8 口 ? ： 定义l 1 2 设矩阵a = ( a 玎) c “，b = ( b i j ) c “，则称a 。b = ( 8 i 拍订) c “为矩阵a 与b 的h a d a m a r d 积 矩阵a 与矩阵口的h a d a m a r d 积和k r o n e c k e r 积之间的一个重要联系是a o b 是ao 口的一个子矩阵，以下这个引理说明了这个事实 引理1 1 1 设a 和b 是任意n m 阶矩阵则存在互。互。，使得 a 。b = 瓦( a o b ) 磊。 其中磊是舻n 阶选择矩阵，z = ( e ? ，或；，e c ：2 ) 矩阵砖表示在第i 行第i 列的元素为1 ，其余位置的元素为0 的礼n 阶矩阵 证明 z ：( a 圆b ) z m = ( e 嚣，郦甜) = d i a g ( a t k ，a 2 ， = 1 = ( a i k b i j 6 j k ) 。x 。 = 1 = ( a i j b i j ) n m =a ob o 。l b 。口蹴i 黼驴 臻： 显然，当n = m 时，即a 和b 是n n 阶矩阵时，有 a 。b = 磊( a o b ) 玩 定义l - 1 3 设矩阵a = ( ) c “，b = ( b k t ) c p “，a = ( a 玎) 分块如下， a i j c p 。8 是a 在位置( 巧) 的块子矩阵，其中e m i = m ，哪= n ，e p = p ， e p l = p ，矩阵日也有类似的分块，则称 a 图b = ( a 玎 b 玎) 为矩阵a 与b 的k h a t r i r a o 积，其中a 珏 的阶为m i p i 心啦，4 回b 的阶为 ( e m l p i ) ( 唧口j ) 定义1 1 4 设矩阵a = ( a i d ) c “，b = ( b 肼) 伊u 分块如定义1 1 - 3 ，则 定义 a 吲b = ( a i j 渊日) = ( ( a i l 圆玩f ) 从) 订 4 为a 与b 的t r a c y s i n g h 积，其中a d o b 自l 的阶为m i p k n j q z ，a i j 硼b 的阶为 m p o n j q ，a 嘲b 的阶为m p n q ， 例如，设a = ( 三：2 i ) ，口= ( 主：三：) ，那么 a 圈b = a 1 2 0 口i 2 a 1 2 0 8 2 2 a 2 2 0 8 1 2 a 2 2 0 8 2 2 定义工s 设a = ( 龛：三：) 是复分块矩阵其中a - 是a 的方子矩阵 如果a n 非奇异，则定义a 2 2 一a 2 l a - l l a l 2 是a 中a 1 l 的s c h u r 补，并且，因为 ( 乙一：) a ( ：a = a “锄咆0 内。) 所以，当a 是正定矩阵时，则有a 2 2 一a 2 l a - 1 1 a 1 2 0 如同h a d a m a r d 积和k r o n e e k e r 积之间的关系一样，矩阵k h a t r i r a o 积和 t r a c y - s i n g h 积也有类似的关系 引理1 1 2 设矩阵a ，b ，m ，n 分块如下， a = ( 三：三：) 。，b = ( 三：三：) ，。， 其中a 的阶为m n ，a l l ，a 1 2 ，a 2 l 和a 2 2 的阶分别为m l n l ， l 7 。2 ，m 2 nj 和m 2 礼2 ，b ，b i t ，丑1 2 日2 l 和b 2 2 的阶分别为p q ，p lxq h p lx 如，p 2 q i 和 p 2 q 2 ( r n i + m 2 = m ，m + n 2 = n ，p i + p 2 = p 和口l + 啦= q ) 另设 m = ( 麓 m 1 2 。j 5 = ( 篇帅 、， 2 2玩玩 l 2 日 b ， 、， 他 船 a a 1 2 a a f-ii、 = 8闻a b b b b o & o 圆 心 心 业 船 a a 4 a 卜 心 船 挖 船 他 铭 口b 口口口口 o 8 圆 圆o n n 引 虬 慢 船 a a a a a a n 虬 卧 u 射 日b 口b 口b o o 圆 。圆圆 扪 趴 虬 a a a a a a ，j。，f-。iti、 其中m ，m 尬2 ，l l 和2 2 的阶分别为m m ，f r 1 m 1 ，m 2 7 r t 2 ，p x p ，p l p t 和p 2 p 2 ，m 1 2 和n t 2 的阶分别为m l m 2 和p t p 2 则有 a m b = z ：( a 闪口) 易 m 图n = z f m w n ) z 其中z ，易，z 是具有合适阶的选择矩阵 比如说 显然雹z l = i i ，z z 2 = 砖”1 矩阵 l ，l l ，j 1 2 ，厶2 ，1 和厶分别是阶为m l p i r ，“p i ，m i p 2 ”也p 2 ，n q n l 甄，n 2 q 2 n 2 q 2 ，r r 和s s 的单位矩阵，其中竹l = 7 n l + m 2 ，n = n l + 礼2 ，p = p l + p 2 ，q = 9 1 + ( 1 2 ，r = m l p l + m 2 p 2 和s = n l q l + n 2 q 2 而0 1 1 ，0 2 1 ，0 1 2 和0 2 2 分别 是阶为m i p l m 1 阮，m l p l m 2 p l ，嚣l q t n l q 2 和r 。l q l n 2 q t 的零矩阵 显然，当m l = p i = 哪= = 1 ( i = 1 ，；j = 1 ，) 时，就得到关系式 a 。b = z 7 ( a 圆b ) z 中的两个选择矩阵 定义1 1 6 设矩阵a g “，若矩阵x c “满足如下四个p e n r o s e 方程 a 叉a = a x a x = x ， ( a x ) + = a x ， f x a ) = x a 则称x 为a 的m o o r e - p e n r o s e 逆，记为a + 引理1 1 3 矩阵m 分块如引理1 1 2 ，那么m 0 的充要条件是m 1 1 0 ，m 2 = m n m + m 1 2 和肘j 2 一m 乇m 卉m 1 2 0 ，特别是，m ( 】的充要条件是 m 1 1 0 ，且m 2 2 一m ：2 m 5 1 m 1 2 0 引理1 1 4 设矩阵a ，b ，g 和d 是具有合适阶的分块矩阵，则有 ( i ) ( ad , 4 b ) ( d 阏e ) = a d 阁b e ( i i ) ( a 闻b ) + = a + 闻b + ( i i i ) ( a 回日) = a 图b 6 x ， r 哪 、， o 如 o 屯 l 2 o 如0 1 2 0 0 0 0 l 2 ， o ， o ，、，一 = i | 玩 历 引理1 1 5 设m p 0 ，n q 0 ，矩阵m ，p 和q 是具有合适阶的分 块短阵，贝4m 嗍n p q 0 证明因为 m = ( 竺：m 舰i 2 。阅t 矧n n) ，m 2 舰2 阅 而 m l ：f m l 。1 lm 1 2 。m 2 1 i n 2 1m 2 2 0 飓2 ( i ) 因为n 0 ，由引理1 _ 1 3 可得，1 1 0 ， 2 2 一f 2 碥1 2 0 ，和n t 2 = l l w 1 2 ，又由蝎l 0 再次利用引理1 t 。3 ，可得m 1 l n 0 ( i i ) 因为m 0 ，所以由引理1 1 3 ，有m 2 2 一m ：2 m m 1 2 0 ，而n 0 ，所以 由( i ) 可得 ( m 2 2 一叫2 m 矗m 1 2 ) 闻n2 0 ， 即 ( 2 一呱2 m 卉m r 2 ) 闪( + n ) 0 ， 则由引理1 1 4 可得 尬2 吲n 一( m ；2 闻) ( m l l ) + ( m t 2 n ) ( ) ( i i i ) 再由引理1 1 4 中的( i i ) 和( i i i ) ，有 m 1 2 冈n = m l l m 卉m t 2 哪+ = ( m n 吲n ) ( m n 啁) + ( m 1 2 跚) 这样，由( i ) ( i i ) 和( i i i ) 式，再次利用引理1 1 3 ，就证明了该引理 因为，当m 0 ，n 0 时，有m 闻n 0 ，又由关系式m g l n = z 7 ( m n ) z ， 所以 当m 0 ，n 0 时，有 f 囡n 0 i 引 判定两个半正定阵的k h a t r i r a o 积是否是半正定阵。在实际中有着重要的意 义如s i m se ta l 在考虑线性时段序列回归的估计【3 6 】和c h a m b e r se ta l 在分析在 关于社会调查报告中的数据信息的最大化估计中【3 7 】，分别得到了两个变换矩阵，而 7 在这两个变换矩阵中，都含有矩阵的k h a t r i r a o 积，所以在实际问胚中，重要的是 在什么情况下矩阵的k h a t r i r a o 积是正定的【3 引 第一个变换矩阵是妒= q 囤w 其中 n=( 茎茎) 。，e 。， = ( f r ：i r f ；：；：) = ( ：) ( ；：) 。，r t r j 2 。 显然，当q 0 ，w 0 时，就有妒2 0 具体地说，因为 r l r ： 0 ， f 2 f ；一r 2 r j ( r l r j ) 一1 ( f i e 2 ) 0 第二个变换阵是 a = 尸囡q 【3 7 】 其中 p = ( 茎) 。，q = h 三) 其中冠= 厶一i n i n l 0 0 ，n n + t ，h 是大予零的数e 是( g + 1 ) 阳+ 1 ) 阶变换矩阵。g 是( 垡+ 1 ) l 阶向量。 那么，如果t l = h d 一c 【3 7 l 大于零，则当 o 时，q 0 ，进而有a 0 引理1 1 5 设4 是竹n 阶正定矩阵，则对阶为n m 的任意矩阵x ，有 i x b 芦【a j ：1 k 廖sl x a 一。x k 特别地，对任意阶为订礼的短阵a o ，和x 有 【a _ 1 i x 】a - 1 x _ 证明当a 0 时。对任意具有合适阶的矩阵x ，由文献【1 7 f 西得 ( x a 。算x 卜 8 且y = x a 一1 x 是使a 。；1 。的最小矩阵 所以。有 ( 。辫。 因为【a 1 。非奇异，所以，拳j 用i a 。的s c h u r 补，则右 【x a _ 1 x b 【x + k 。 a ：1 口 。，口 引理1 1 _ 5 可在文献【1 8 ，1 9 】中见到不同的证明 1 2 一个定理 定理1 2 1 设矩阵日，凡伊“，k ，s c ”“，且日，r ，k ，s 都足正定矩阵 贝 j 对任意矩阵a ，c c “，b ，d c “，配v e ”“，和b 是任意实数 那么有 【口。( a h “a 】+ ( b k l b ) jo 【b z ( c b “c ) + ( d s “d ) 】 ( a a u 。+ b ) o ( b c v + d ) 1 【( u h u + + k ) o ( v r v + s ) 1 【( a u a + 口) 圆( b v c + d ) 证明当t o 时，自然对任意含有合适含阶的矩阵x ， 有( 三x ：x 。1 。，又由半正定的定义有 ( i 姑麓) ( 叫独 即当y 是具有合适阶的任意矩阵时，有 ( y x t y y ，+ x y x t 一* 。x + ) 2 。 9 e = ( ：，( u h u + u a 廿a 一。a + ) ( ：，) 一f u h u a u a + l a u + a 2 a h 。a 同理 g = ( v b c 月v ! ：+ 6 b y 2 c g r + 一1 c 。) 2 。 = ii q 一c 而又因为 f = ( 莒口= 曩) 独= ( 三。幺) 。 所以，由前面的结论可得e 厨f 0 ，g 嗣n 0 那么 m = e 图f + g 图n = ( ：+ 然a ) 图kb ：b 。) + ( v r v 。：g b v r c 一。 g 。) 图s ，。当j 。) 一f ( u h u + k ) ( v r v + s ) ( a u a + b ) 固( b v c + d ) ( a a u + b ) 圆( b c v + d )( 2 a h 一1 a + b k 一1 b + ) 固( b 2 c r 一1 c + d s l d ，1 区为h ，冠，k ，s 都是芷定阵所以( u h u + k ) 9 ( v r v + + s ) 是菲奇异阵 又由m 0 ，且它的s c h u r 补是大于等于零的 所以 。 ( 铲a j 丁一1 a + b k 一b + ) o ( 6 2 c 月一o + d s i d ) ( ( a a 沪+ b ) o ( b c v + d ) i u h u + k ) o ( v r v + + s ) 】叫( 1 ，2 1 ) 【( a u a + b + ) o ( b v c + d ) 】 1 3 一些不等式 在( 1 2 1 ) 中，我们利用对实数，b 和矩阵a ，b ，c ，d ，h ，k ，r ，u v 的不同取 值，得到一些矩阵不等式 引理1 3 。l 若a o ( o ) ，b o ( o ) ，则a b o ( o ) 且a o b 之o ( o ) 情形l 如果设。= l ，b = 0 ，u = j ，v = o ，则( 1 2 1 ) 式变为 ( a h 一1 a 4 - b k - 1 口+ ) 。d s “d 0 3 , 1 、 ( a u + b ) 固d ( u h u + k ) ( v r v + + s ) 】“i ( u a + b + ) p d + ) 】 由于 ( u h u + + k ) o d 】【v r v + s ) 是n 2 舻阶正定阵，且( a u 4 + b ) d 和( + b 。) od 都是n 2 xn 2 阶矩阵 所以，由引理1 1 5 和矩阵h a d a m a r d 积与k r o n e c k e r 积的关系，有 ( a hr 1 a + b k 。b ) 0 d s 。d + = 【( a a r | 1 a 。+ b k “b + ) od s “d 【( a + b ) 圆d 【( 日+ k ) os 1 1 ( a + + b + ) d 】 取主子阵 【( 以+ b ) o d 】【( 日+ k ) o 别一【( a + b ) 。d + ( 1 3 2 ) 在( 1 3 2 ) 式中，如令b = 0 ，k = o ，则有 a h a + o d s - 1 d 。( a o d ) 旧。s ) - 1 ( a o d + ) ( 1 3 3 ) 在( 1 3 2 ) 式中，如果令h = k = s = i ，则有 1 ( a a + b b + ) od d 4 言 ( a + b ) od 【( a + 口) + od + ( 1 3 4 ) 如果矩阵a ，b ，d 都是h e r m i t e 矩阵，则由( 13 4 ) 式可得 ( a 2 + b 2 ) 。d 2 ；【( a + b ) o d 2 ，( 1 3 5 ) 当a 0 ，b o ，d 0 时，则用a ，b ，d 分别代替a ，b ，d 时，则( 1 3 5 ) 变为 ( a + b ) 。d ；【( a j + b ；) 。d 5 ( 1 心6 ) 在( 1 3 2 ) 式中，如果令a = b = d ：，对，则有 i ( ( 日 1 + k - 1 ) 。s - 1 ( 日+ k ) 。别 ( 1 3 7 ) 1 1 情形2 在( 1 2 1 ) 式中，如令n = b = 1 ，h = k = s = r = = 矿= ，则 ( 1 2 。1 ) 可写为 ( a a + b b ) ( c c + + d d + ) ；【( a + b ) o ( c + _ d ) 【( a + b + ) o ( c + d ) = ； ( a + b ) ( a + + b + ) o ( c + d ) ( g + + d 。) 】 所以，由引理1 1 5 ，有 ( ( a a + + b b ) o ( c c + d d ) = 【( a a + b b ) 圆( c c + + d d + ) 】 ( 1 3 8 ) ；i ( a 十b ) ( a 十b ) o ( c + d ) ( g + d ) 在( 1 , 3 8 ) 式中，如果令c = b ，d = a ，则可得 ( a 4 + + b 口) 。( a a + + b 口+ ) f 1 3 ，9 1 ；【( a + 口) ( a + b ) o ( a + b ) ( a + b ) + 。 因为a 小= i a l 2 所以，( 1 3 9 ) 式即为 ( a 1 2 + i b l 2 ) o ( 1 a 1 ) 2 + l b l 2 ) ；n a 十b 1 2 。i a + b 1 2 ) 定义1 3 1 设b 是礼阶正定h e r m i t e 阵，则存在礼n 酉矩阵u ，有 b = u + d i a g ( a l ，a 2 ，- ，a 。) c ， 其中九 0 是b 的实特征值，虽然，b 7 = u + d i a , j ( n ，a ；，k ) 己， 定理1 3 1 设日是n 阶正定h e r m i t e 矩阵，则对任意r ( 1 11 有 o b 2 ( ，o b ) 2 证明设t = ( n ，疋) ，其中五，正分别是n 2 n 和札2 n 阶矩阵，则有 t t + 0 ，即 ( 羔) ( 夏芸凳箕) ( 孑曼) u 其中磊是具有合适阶的选择矩阵 如设置= i 圆a ，t 2 = iob ，a ，b 都是同阶正定阵且0 ，冬l 那么，有 ( 墓芸菱) = ( ：三 ：薹1 ，i 圆圆( 。a b r 中b r ) 所以 而10 a ( ) 非奇异 f 。a r ( 小) + i ，。b r ( 小) 所以有 ，。a r ( 曰r ) + 、 、7 l 0 ，o b ( 伊) ， i 。b 7 ( 口) 【f ob ( a ) i io a 7 ( a 7 ) 一1 【，oa 7 ( b 7 ) 。 当a = i ，b = b ，上式即为 jo b 2 7 ( jo8 r ) ( fo b 7 ) 定理2 3 3 设a ，b 都是n n 阶正定h e r m i t e 阵则对r 0 ，1 有a 打o b 2 r ( 。b r ) 2 证明令k = a 圆b 7 ，则因为 。卸v ，耳) ：f 7k 1 k + k + k 又因 ( 芝) ( 二k k ) ( 羔) 。 所以，利用引理2 1 5 和s c h u r 补定理即可证 注1 当r = 1 时，由定理2 3 3 可得a 2 。b 2 ( ao 口) 2 l t l 注2 当r = ；时，由定理2 3 3 可得a 。b ( a ；。b ；) 2 1 7 】 1 3 第二章含有广义逆矩阵的矩阵不等式 在第章，我 f 1 所得到的矩阵不等式中含有的逆矩阵是普通意义下的逆，也就 是只考虑非奇异阵的逆矩阵，如果是任意矩阵，则我们应考虑广义逆矩阵在本章 中。我们利用a l b e r t 定理和一个定理，得到几个含有广义逆矩阵的矩阵不等式_ 2 1 定义和引理 引理。工- 如果矩阵以分块如下：a = ( ： 则a 0 的充要条件 是a l l 0 ，a 1 2 = a l l 4 a 1 2 和a 2 22 a 2 a 矗a 1 2 证明必要性，若a 0 ，a n 0 ，则存在矩阵r ，有a 1 2 = a r 而 ( 二a 乞a 矗：) ( ：三：) ( ：；a a 1 2 ) a 1 1 a 1 2 一a 1 t a + 1 a , z 1 、a ：2 一a i 2 a + l a 儿a 2 2 一a t 2 a 斗1 a 1 2 ， 因为a 1 2 = a l l r ，利甩定义1 1 6 中的第一个方程，有a l 。= a l l 4 a t 2 所以，上式为 ( 乞1a 。：一a 0 k a 矗a 。) 。 那么，有a l l 0 ，a 1 2 ；a 充分性当a l l 0 ，贝 l l a a ( 之1 ( a 。幺o ) t a , l o il , a + t ，a b )a 。a ， ) = ( a 。a a l 矗la 。4 。三i 2 蓉a ：) = ( 如a l l 饨) 独 、il， 心 弛 a a 2 a + a ，憎 a 一 盟 o a 一 且 b 0 0 所以 a = ( 复 = ( 竺 0 2 2 一个定理 o a 2 ：一a ：a + l a 。 矩阵a ，c c ”“，b ，d c “，u v c “和任意实数“，b ，如果有a + = h h + a ，b = k k + b ，c + = r r + c 和d + = s s + d 。，贝u 有 2 a h + a ob k + b + + 铲c r + c d s + d ( a a u 圆b + b c v d ) ( u h u + o k + u r v s ) +( 2 2 1 ) ( a u a 圆b + b v c + s d ) 证明由引理2 1 1 的证明，可知。当t 0 时。有 ( 三x 复，) 孤 其中p = ? t + x + ，则对具有任意合适阶的矩阵( ：) ，有 ( ：姑x 纛) ( 州狐 ( = 竺。卜 ( 裟+ 。竺。) 狐( 兰口三b 。) 独 ( 嚣铲箸) 狐( 三。磊。) 刈 0 0 ， + 、 心 a )砧 幢 船 。垤 a a a 那么，有 m = ( 墨扩篇) 图kb 暑口+ ) + ( 嚣+ 铲篡。) 图( 三。品+ ) f u h u 圆k + u r v o sa u a + o b + + b v c + d a u o b + b c v + o da 2 a h + o b k + b + + 酽c r + c + o d s + d + 2 0 ， 对矩阵m ，应用引理2 1 1 ，即可得结论 2 3 几个含广义逆的矩阵不等式 下面通过对( 2 2 1 ) 式中的实数a ，b 和矩阵，兄，k ，s ，a ，口，c ，d ，y 的变 换，来得到几个关于广义逆矩阵的不等式 情形1 当n = 1 ，k = s = b = d = ( 1 ) ，u = v = ，则由( 2 2 1 ) 式可得 扩a h + a + b 2 c r + c + ( 口a + b c